《有理数的乘方》有理数及其运算PPT课件

意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德
方等于它本身的数是 ±1，0 。
⒊ 一个数的15次幂是负数，那么这个数的
2003次幂是 负数 。
⒋ (－2)6中指数是 6 ，底数是 －2 。
⒌ 平方等于－1 的数是 ±－1 ，立方等于－1
的数是
－1 4
64
。
8
ห้องสมุดไป่ตู้
64
有一张厚度是0.1毫米的纸，将它对折1 次后，厚度为2×0.1毫米。
1次
2次
（1）对折2次后，厚度为多少毫米？ 30次
（2）对折30次后，厚度为多少毫米？
这张纸对折30
220＝10.48576m
次后能超过珠
穆朗玛峰吗？
230＝10737.41824m
棋盘上的学问
你认为国王的 国库里有这么
多米吗？
讨论：
（1）2×32和（2×3）2有什么区别？ 各等于什么？
（2）32和23有什么区别？各等于什 么
（3）-34和（-3）4有什么区别？各等 于什么？
例1. 计算：
⑴ ⑶
((－ －－313)2×)3 ；(－2)3；⑵
－32×23；
⑷ －2×32； ⑸ (－2×3)2；
⑹ ⑺
(－－(2－)124)×4；(－－12 ⑻)15；(－1)2001；
⑼ －23＋(－3)2；
⑽ (－2)2 ×(－3)2.
反思
这节课你学会了一种什么运算？你有 何体会？
“乘方”精神：虽然是简简单 单的重复，但结果却是惊人 的。做人也要这样，脚踏实 地，一步一个脚印，成功也 会令你惊喜的。
⒈ 试计算：
2.52003×(－0.4)2004
⒉ 试比较422，333，244的大小。

12/7/2021
1.(-7)7表示 ( ) A.7个-7的积 B.-7与7的积 C.7个-7的和 D.-7与7的和 答案 A (-7)7=(-7)×(-7)×(-7)×(-7)×(-7)×(-7)×(-7). 2.下列各幂中是负数的是 ( ) A.23 B.(-2)2 C.(-1)2 018 D.(-1)5 答案 D 正数的任何次幂都是正数,负数的偶次幂是正数,奇次幂是负 数,故选D.
12/7/2021
易错点 对幂的相关定义理解不透彻
例 计算:(1)(-5)2;(2)-54;(3)- 2 2 .
5
错解 (1)(-5)2=-5×2=-10.
(2)-54=(-5)×(-5)×(-5)×(-5)=625.
(3)- 2 2 =-2 2× 4=- .
5 5 5 25
正解 (1)(-5)2=(-5)×(-5)=25.
(2)-54=-5×5×5×5=-625.
(3)- 2 2 =-2 2=- 4 .
5
55
错因分析 将乘方与乘法混淆,误认为(-5)2=(-5)×2;-54的底数是5而不是
-5;22的底数是2, 52 的 2 底数是
2
5
.
12/7/2021
知识点一 有理数乘方的意义 1.(2017北京房山期中)乘积(-3)×(-3)×(-3)×(-3)可以表示为 ( ) A.-34 B.-(+3)4 C.(-3)4 D.-(-3)4 答案 C (-3)×(-3)×(-3)×(-3)=(-3)4. 2.下列说法正确的是 ( ) A.-25的底数是-2 B.-110读作“负1的10次幂” C.(-3)3与-33意义相同 D.(-1)2 017=-12 017 答案 D -25的底数是2;-110读作“负的1的10次幂”;(-3)3表示3个-3相 乘,-3123/表7/2示0213个3相乘的相反数;(-1)2 017=-12 017=-1.只有D选项正确.

(2)
(3)－26＝－2×2×2×2×2×2＝－64.
总 结
1. 两个互为相反数的数的偶次幂相等，奇次幂仍然互为相反数；
2. 任意数的偶次幂都是非负数；
3. 1的任何次幂都是 1；－1的偶次幂是 1，－1的奇次幂是－1.
1、计算：
3
4
3
3 1 1
5 5 5 125 .






(2)(－10)2，(－10)3，(－10)4 ，(－10)7.
(2)(－10)2＝(－10)×(－10)＝100；
(－10)3＝(－10)×(－10)×(－10)＝－1 000；
(－10)4＝(－10)×(－10) ×(－10)×(－10)＝10 000；
(－10)7＝(－10)×(－10) ×(－10)×(－10)×(－10) ×
(－10)×(－10)＝－10 000 000.
2、
下列等式成立的是(
B )
A. (－3)2＝－32
B. －23＝(－2)3
C. 23＝(－2)3
3、
D. 32＝－32
若a2＝(－3)2，则a等于( D )
A. －3
B. 3
负数，负数的偶次幂是正数； 0的任何整数次
幂都是0．
例 2 计算：
4
(1) (－2)3；
1
3 ；
(2)

(3) －26.
解： (1) (－2)3＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8.
4
1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 81 .
C. 9
D. ±3

学以致用
练1、计算：） −
） −
解：
） −


）−




；
；
） − −） − Nhomakorabea
−

；
）
； ）

−
；


−
.


= ； ）− − = −； ） −





=−
； ）− −





=−
；




=
； ） −
=−
.



LOGO
例题讲解
4
1
⋯ + 的值吗？
2
解：
1 1
①
②
；

ⓝ ==2；
2
1
4
= =
+
1
+
8
1
；③
2
2
64
= _______;
1
8
= =
1
； ⋯ ； ⑥
3
2
=
1
；
26
63
1 11 11
11
11
+ +
+ ++⋯⋯++6 = = ① +
+ ②
+
++⋯⋯++⑥
==11−− 6 =
②
ⓝ
2 44 88

3、2 × 2 × ⋯ × 2 × 2 = _____；

4、
= _____；

＋
＝0.
9
9
9
9
9
.
我劝天公重抖擞，不拘一格降人才
2n
1
1
－
2
n
n＋1
n
n
2＋Biblioteka 12＋11
＋
3

2
＋
2

2


（2）用含n的式子表示第n个等式：an＝_______________＝_______________；
14
43
（3）a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________(得出最简结果)；
（4）计算：a1＋a2＋…＋an.
3. 0的任何次幂等于零；
4. 1的任何次幂等于1；
5. -1的偶次幂等于1 ；-1的奇次幂是-1．
我劝天公重抖擞，不拘一格降人才
新知探究
问题：我们学习了有理数的哪些运算？
加法，减法，乘法，除法，乘方.
一个运算中，含有有理数的加、减、乘、除、乘方
等多种运算，称为有理数的混合运算.
思考：有理数的混合运算顺序是什么？
复习回顾
思考下列问题：
(1)2÷(2×3)与2÷2×3有什么不同？


(2)2÷( -2)与2÷ -2有什么不同？


我劝天公重抖擞，不拘一格降人才
(3)6÷(-3)2与6÷(-32)有什么不同？
注意运算顺序
我劝天公重抖擞，不拘一格降人才
复习巩固
乘方的符号规律
1. 正数的任何次幂是正数；
2. 负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负数；
新知探究
1
3 50 2 1
5
2
运算
加

幂次方的定义
乘方的定义
理解幂的概念
通过乘方运算可以更深入地理解幂的概念，即一个数的n次幂等于该数自乘n次。
表达式的简化
通过乘方运算可以简化数学表达式，例如(ab)^2可以简化为a^2b^2。
乘方的意义
1
乘方的应用
2
3
在科学计算中，乘方运算被广泛用于计算一些需要大量相乘的数值，例如计算矩阵的行列式或计算概率分布等。
03
04
乘方的法则
正整数的任何次幂都是正整数。
正整数乘方
负整数乘方
正分数乘方
负分数乘方
负整数的偶次幂是正数，奇次幂是负数。
正分数的任何次幂都是正数。
负分数的偶次幂是正数，奇次幂是负数。
$a^n \times a^m = a^{n+m}$
交换律
$(a^n)^m = a^{n \times m}$
结合律
电路设计与电阻的关系
在材料科学中，材料的强度和应力之间的关系是有理数乘方关系。具体来说，材料的强度（σ）和应力（σ0）之间的关系可以表示为σ=σ0(1-v)，其中v是泊松比。当应力增大时，材料的强度也会增大，但它们之间并不是简单的线性关系。同时，材料的强度还受到泊松比的影响。
材料强度与应力的关系
工程中的有理数乘方
在相对论中，能量和动量是两个基本物理量，它们之间存在有理数乘方的关系。具体来说，E^2=p^2c^2+m^2c^4，其中E是能量，p是动量，c是光速，m是质量。这个公式表明，当动量增大时，能量也会增大，但它们之间并不是简单的线性关系。
波长与频率的关系
物理中的有理数乘方
化学中的有理数乘方
在化学中，化学键能是衡量化学键稳定性的重要参数之一。一般来说，键能越大，化学键越稳定。然而，在判断化学反应活性时，仅仅考虑键能是不够的，还需要考虑反应物和生成物之间的能量差。这个能量差可以通过有理数乘方进行计算和描述。

2×2×2×2×2×2 记作 26
它们都是乘法；并且它们各自的因数都相同。
同学乘们方想：一求想几：个这相样同的因运数算的都积能的像运平算方，、叫立做方乘那方样。简写吗？
ห้องสมุดไป่ตู้般地，n个相同的因数a相乘，记作an． 即 a×a×a×…×a=an.
n个a
底数
an
指数
幂
a n 读作a的n次方
a n 看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂
第二章·课题九
有理数的乘方
教学目标
1.在现实背景中，理解有理数乘方的意义。 2.能进行有理数乘方运算。 3.通过实例感受当底数大于1时，乘方运算的结果增长得很快。
边长为a的正方形的面积如何表示？棱长为a的正方体的体积如何表示？
a
a
a×a＝ a 2
读作：a的平方（或a的二次方）
a×a×a＝ a 3
例1 把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义．
(1)6×6×6 ； (2)(-2)×(-2)×(-2)； (3) 2× 2× 2× 2；
3 3 33
(4) 3 ×3 ×3 × 3× 3.
55 5 5 5
导引：先确定底数，再写成乘方的形式。
解：(2)(-2)×(-2)×(-2)＝(-2)3； 底数-2表示相同的因数；指数3表示相同因数的个数。
一次得：2个； 两次得：2×2个; 三次得：2×2×2个; 四次得：2×2×2×2个； 六次得：2×2×2×2×2×2个；
5小时要分裂10次，十次得： 2×2×2×…….×2×2个
10个2
请认真观察式子,说一说它们有什么相同点?
2×2
2×2×2
2×2×2×2
记作 24

想一想
(1) ( 1 ) ( 1 ) ( 1)
99 =-1
99个
(1) ( 1 ) ( 1 ) ( 1)
100
=1
10个 0
若n为正整数，则
(-1)2n=_1___ (-1)2n+1=_-_1__
！议一议
(1)-34与（-3）4的区别在哪里？
-34读作:34的相反数，而(-3)4读 作:-３的四次方；-34=-81, (-3)4=81; 底数与指数的区别。
2、
9
4
=
7
79 79 ；79 79
3、ab=2 aba ；b
练习二 判断下列各题是否正确：
（错）① 23 2；3 （错）② 222；23 （对）③ 434；44 （错）④ 2 4 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
精讲点拨
例2、计算：
(1 ( ) 2 )3 ;(2 2 )4 ;(3 ( ) 2 )5 .
作
2 3
7
2
；表示3 个
2 3
的7次方(幂）
，读
相7乘的积。
2
73
(3)在3中16，-3是 数底，16是 数指，读
作
-3的1；6次表方示
个 16 相(-乘的积。
(4)在 中，底数是 ；指数是 ；3读)
作 a17 ；表示 a个
相1乘7的积。
a的17次方
17 a
（5）5的底数是 5，指数是 ，1 可读
(2)
2 2
2
2
的区别？
3 3
精讲点拨 (-3)4 表示4个 -3相乘.
-34表示 4个3相 乘的相 反数.
对应训练：课本60页
计算： (1) (-3)3; (2) (-2)6; (3) -83;

正数的任何正整数次幂都是正数，0的任何正
整数次幂都是0.
-17-
第2课时 有理数的乘方运算
第二章
练一练
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-18-
你能迅速的判断下列各幂的正负吗？
5
4
16 ,
25 ,
2
0.01 ,
( 7) ,
1 2
( ) ,
8
9
( 3) ,
02 ,
6
( 1)
a 2 (a 0),
2×0.1毫米，
∴对折2次的厚度是0.1×22毫米.
（2）对折20次的厚度是0.1×220＝104857.6（毫米）.
-27-
第二章
第2课时 有理数的乘方运算
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-28变式1：按如图方式，将一个边长为1的正方形纸片分
割成6个部分.
1
（1）
①的面积
2
③的面积
1
25
101
,
1 50
( )
4
a 2 (a 0)
第二章
第2课时 有理数的乘方运算
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
试一试
•口答
•（1）13
•（3）(-1)8
•（5）(-1)7
（2）12018
（4）(-1)2018
（6）(-1)2017
-19-
第二章
第2课时 有理数的乘方运算
知识要点基础练
B.<x<x2
C.<x2<x
D.x<x2<
1
1
9.已知 -1 + + 2 2 =0,则 a2020+

乘方运算在数学建模中具有重要意义 ，能够简化计算过程并提高解决问题 的效率。
乘方在金融领域的应用
在金融领域，乘方运算广泛应用于投资、保险、风险管理等领域。 例如，在计算未来价值和风险评估时，需要使用乘方运算来计算复利和指数增长。
此外，在保险行业中，通过使用乘方运算可以更准确地评估风险和制定保险策略。
有理数的乘方
目录
• 乘方的定义与性质 • 有理数的乘方运算 • 乘方在生活中的应用 • 乘方的历史与发展 • 练习与巩固
01
乘方的定义与性质
乘方的定义
乘方的定义
乘方是指将一个数的非零次幂相乘的 结果。记作a^n，其中a是底数，n 是指数。
乘方的性质
乘方运算具有一些基本性质，如负数 的偶次幂为正，奇次幂为负；正数的 偶次幂为正，奇次幂为正；0的任何次 幂都为0。
计算机科学中的乘方
随着计算机科学的发展，乘方运算在计算机领域中的应用越来越广泛。例如，加密算法、数据压缩等 领域都需要用到乘方运算。
物理学中的乘方
在物理学中，许多物理量都涉及到乘方运算，如能量、电荷量等。深入理解乘方的概念有助于更好地 理解和应用这些物理量。
05
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握乘方的基本概念和运算规则
乘方的性质
乘方与指数的关系
乘方运算可以通过指数来表示， 即a^n=a*a*...*a（n个a相乘）。
乘方的运算顺序
乘方运算的优先级高于加减乘除， 即先进行乘方运算再进行其他运算 。
乘方的运算律
乘方运算满足交换律、结合律和分 配律。
乘方的运算规则
乘方的运算规则
在进行乘方运算时，需要注意以下几点，首先底数和指数必须为有理数，其次 底数不能为0，最后负数的偶次幂和奇次幂的运算结果不同。

有理数的乘方在计算面积和体积时有 着广泛的应用，例如计算正方体的表 面积和体积、长方体的表面积和体积 等。
在实际生活中，这种应用体现在各种 几何形状的面积和体积计算中，如建 筑、机械、电子等领域。
其他生活中的应用实例
有理数的乘方在金融领域也有着广泛的应用，例如计算复利 、保险金等。
在计算机编程中，有理数的乘方运算也是实现各种算法和数 据结构的基础，如快速排序、二分查找等。
整数和小数乘方的运算规则
整数和小数的乘方运算与正数乘方的运算规则相同，只是底数不同。整数和小数的乘方运算可以通过 幂的性质进行简化。例如：$0.5^2=(frac{1}{2})^2=frac{1}{4}$。
整数和小数乘方在生活中的应用
整数和小数的乘方可以用于计算面积、体积等实际问题。例如，一个矩形的面积是长和宽的乘积，即 $S=atimes b$；一个立方体的体积是边长的三次方，即$V=a^3$。
感谢您的观看
THANKS
04
乘方在生活中的应用
科学计数法的应用
01
科学计数法是一种表示大数或小数 的简便方法，通过乘方运算，可以 将一个数表示成a×10^n的形式， 其中1≤∣a∣<10，n为整数。
02
在生活中，科学计数法广泛应用 于天文学、物理学、工程学等领 域，例如表示星球质量、原子质 量、光速等。
面积和体积计算中的应用
数学七上《有理数的乘方》 ppt课件
目录
• 引言 • 有理数的乘方概念 • 有理数乘方的运算 • 乘方在生活中的应用 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01
引言
主题介绍
主题名称
有理数的乘方
主题内容
介绍有理数乘方的概念计算技巧，理解乘方 的意义和实际应用

+
10.若 a,b 互为相反数,c 的绝对值为 2,m 与 n 互为倒数,求2019+c2( mn )2019 的值.
解:因为 a,b 互为相反数,c 的绝对值为 2,m 与 n 互为倒数,
所以 a+b=0,|c|=2,mn=1.
+
0
所以2019+c2-( mn )2019=2019×(
第二章
第1课时 乘方的意义
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-1-
知识点1 有理数乘方意义
1.( -2 )4表示意义是( D )
A.( -2 )×4
B.2×( -4 )
C.( -4 )×( -4 )
D.( -2 )×( -2 )×( -2 )×( -2 )
2.关于式子( -5 )4,以下说法错误是( C )
A.表示( -5 )×( -5 )×( -5 )×( -5 )
B.-5是底数,4是指数
C.-5是底数,4是幂
D.4是指数,( -5 )4是幂
第2页
第二章
第1课时 乘方的意义
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-2-
知识点2 有理数乘方运算
3.计算:( -3 )4=( D )
A.-12 B.12 C.-81
±2
2 2019
+(
±
2
)
-1 =0+4-1=3.
)
第5页
第二章
第1课时 乘方的意义
知识要点基础练
11.观察下列各式:
1
综合能力提升练
拓展探究突破练
-5-
1
13+23=9=4×4×9=4×22×32;

反思
这节课你学会了一种什么运算？你有 何体会？
“乘方”精神：虽然是简简单 单的重复，但结果却是惊人 的。做人也要这样，脚踏实 地，一步一个脚印，成功也 会令你惊喜的。
名言摘抄 1、抓紧学习，抓住中心，宁精勿杂，宁专勿多。——周恩来 2、与雄心壮志相伴而来的，应老老实实循环渐进的学习方法。——华罗庚 3、惟有学习，不断地学习，才能使人聪明，惟有努力，不断地努力，才会出现才能。——华罗庚 4、发愤早为好，苟晚休嫌迟。最忌不努力，一生都无知。——华罗庚 5、自学，不怕起点低，就怕不到底。——华罗庚 6、聪明出于勤奋，天才在于积累。——华罗庚 7、应当随时学习，学习一切；应该集中全力，以求知道得更多，知道一切。——高尔基 8、学习永远不晚。——高尔基 9、学习是我们随身的财产，我们自己无论走在什么地方，我们的学习也跟着我们在一起。——莎士比亚 10、人不光是靠他生来就拥有的一切，而是靠他从学习中所得到的一切来造就自己。——歌德 11、单学知识仍然是蠢人。——歌德 12、终身努力便是天才。——门捷列夫 13、知之为知之，不知为不知，学而时习之，不亦说乎？三人行，必有我师焉。——孔子 14、三人行，必有我师也。择其善者而从之，其不善者而改之。——孔子 15、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子 16、学而不厌，诲人不倦。——孔子 17、己所不欲，勿施于人。——孔子 18、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子பைடு நூலகம்19、敏而好学，不耻下问。——孔子 20、兴于《诗》，立于礼，成于乐。——孔子 21、不要企图无所不知，否则你将一无所知。——德谟克利特 22、学习知识要善于思考，思考再思考，我就是用这个方法成为科学家的。——爱因斯坦 23、要想有知识，就必须学习，顽强地耐心地学习。——斯大林 24、向所有人学习，不论是敌人或朋友都要学习，特别是向敌人学习。——斯大林 25、自学，是我们当今造就人才的一条重要途径。——周培源 26、学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。——毛泽东 27、情况在不断的变化，使用也是学习，而且是更重要的学习。——毛泽东 28、饭可以一日不吃，觉可以一日不睡，书不可以一日不读。——毛泽东 29、学习必须和蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来，倘若可在一处，所得就非常有限，枯燥了。——鲁迅 30、伟大的成绩和辛勤劳动是成正比例的，有一分劳动就有一分收获，日积月累，从少到多，奇迹就可以创造出来。——鲁迅

…… 2×2× ×2×2记作： 210 10个2
4××4记作: 4
3
一般的,任意多个相同的有
理数相乘,我们通常记作:
幂
n a
底数
指数
读作：a的n次方（或a的n 次幂）
其中a代表相乘的因数,n代表
相乘因数的个数，即: n个a a = a×a×a· · · ×a
n
将下列各式写成幂的形式：
3 (-4) (－4)× (－4)× (－4)＝ ；
时,底数一定要加上括弧,这 也是辩认底数的方法.
例1 计算：
（ 1） 5
3
4
3
（2）（-3）
1 （3） 2
抢答练习： 计算
10 100； 10 1000； 10 10000
2
3
4
4 3 （ 10 ） 100； （ 10 ） -1000 （ 10） 10000
n
（3）对于0.1 ,1前面就有n个0
你能发现什么规 律吗?
退出
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励志学习的名言警句 1、在强者的眼中，没有最好，只有更好。 2、成功是努力的结晶，只有努力才会有成功。 3、只有一条路不能选择——那就是放弃的路；只有一条路不能拒绝——那就是成长的路。 4、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 5、生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。 6、忍别人所不能忍的痛，吃别人所别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。 7、没有天生的信心，只有不断培养的信心。 8、成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。 9、自己打败自己的远远多于比别人打败的。 10、当一个小小的心念变成行为时，便能成了习惯，从而形成性格，而性格就决定你一生的成败。 11、忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。 12、高峰只对攀登它而不是仰望它的人来说才有真正意义。 13、你可以这样理解impossible（不可能）——I'm possible（我是可能的）。 14、自己打败自己是最可悲的失败，自己战胜自己是最可贵的胜利。 15、你可以选择这样的三心二意：信心恒心决心；创意乐意。 16、成功与不成功之间有时距离很短——只要后者再向前几步。 17、呈概率分布，关键是你能不能坚持到成功开始呈现的那一刻。 18、书是易事，思索是难事，但两者缺一，便全无用处 19、动是成功的阶梯，行动越多，登得越高。 20、天比昨天好，就是希望。 21、力的人影响别人，没能力的人，受人影响。 22、做的事情总找得出时间和机会； 23、要自卑，你不比别人笨。不要自满，别人不比你笨。 24、面对机遇，不犹豫；面对抉择，不彷徨；面对决战，不惧怕！ 25、个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。 26、超越自己，向自己挑战，向弱项挑战，向懒惰挑战，向陋习挑战。 27、不必每分钟都学习，但求学习中每分钟都有收获。 28、取时间就是争取成功，提高效率就是提高分数。 29、紧张而有序，效率是关键。 30、永远不要以粗心为借口原谅自己。