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复数的乘幂与方根

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复变函数：第三节 复数的乘幂与方根

复变函数：第三节 复数的乘幂与方根

i
sin
4
n
(
2)n
cos
n 4
i
sin
n 4
cos
n 4
i
sin
n 4
n2
22
cos
n
.
4
例4 计算 3 1 i 的值.
解
1i
2
1 2
1 2
i
2cos
4
i
sin
4
3
1i
6
2cos
4
2k 3
i sin
4
2k
3
(k 0,1,2).
即
w0
6
2cos
12
i
记作 zn , zn z z z .
n个
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
如果我们定义zn
1 zn
,
那么当n
为负整数时,
上式仍成立.
2.棣莫佛公式
当 z 的模 r 1,即 z cos i sin ,
(cos i sin )n cosn i sin n .
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
例5 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8
2
cos

复变函数第一章(2)复数的乘幂与方根

复变函数第一章(2)复数的乘幂与方根

n
n
注: （1）复数z的n次方根共有n个。
(2)几何意义：n z的n个值就在以原点为圆心，
n r为半径的圆内接正n边形的n个顶点。
例3：计算4 1 i
解:
因为
1i
2(cos i sin )
4

4
2k
2k
所以 4 1 i 8 2 (cos 4
i sin 4
复变函数w f (z)涉及4个变量x, y,u, v
我们需要两个平面去描述函数的图像。
我们取两个平面，分别称为z平面与w平面。
如果在z 平面上函数w f (z)的定义域D内取一点z0 ,
通过w f (z)在w平面上有相应的点w0对应。
当z取遍点集D时，w平面上有相应的点集G与之对应。
例7 两类常见的复变函数
n次多项式函数 P(z) a0 a1z a2 z 2 an z n
其中，a0 , a1, a2 , , an (an 0)为复常数，n为非负整数
有理函数 P(z) 其中，P(z), Q(z)为多项式函数。 Q(z)
1.4.2 复变函数的几何解释—映照
)
4
4
(k 0,1,2,3)
即
w0

8
2(cos i sin )
16
16
w1

8
2 (c os 9
16
i sin
9 )
16
w2

8
17
2 (c os 16
i sin 17
16
)
w2
w3

8
2 (c os 25
16
i sin

高二数学复数的乘方与根式的求解方法

高二数学复数的乘方与根式的求解方法

高二数学复数的乘方与根式的求解方法复数是数学中一个重要的概念，它由实数部分和虚数部分组成。

在高二数学中，我们需要掌握复数的乘方和根式的求解方法。

本文将详细介绍高二数学中复数的乘方和根式的求解方法。

一、复数的乘方复数的乘方是指对一个复数进行指数运算，即复数的幂。

复数的幂可以通过极坐标形式和指数形式来求解。

1. 极坐标形式如果我们将复数表示为幅角和模长的形式，即z = r(cosθ + isinθ)，其中r表示模长，θ表示幅角，那么复数的乘方可以通过将模长和幅角分别进行乘方来求解。

例如，对复数z = 2(cosπ/6 + isinπ/6)进行平方，我们可以将幅角π/6倍增，模长2进行平方，即得到z² = 4(cosπ/3 + isinπ/3)。

2. 指数形式复数的指数形式是指将复数表示为指数函数的形式，即z = re^(iθ)，其中r表示模长，θ表示幅角。

对于复数的乘方，我们可以直接对指数进行运算。

例如，对复数z = 2e^(iπ/6)进行平方，我们可以直接对指数进行平方，即得到z² = 4e^(iπ/3)。

二、复数的根式求解方法复数的根式是指对一个复数求根的过程，即解复数的等式。

复数的根式可以通过极坐标形式和指数形式来求解。

1. 极坐标形式对于复数的根式，我们可以使用极坐标形式进行求解。

假设我们要求解复数z的n次根，那么根式的公式可以表示为 w =r^(1/n)(cos(θ+2kπ)/n + isin(θ+2kπ)/n)，其中r表示模长，θ表示幅角，k 为整数。

例如，要求解复数z = 8(cosπ/4 + isinπ/4)的平方根，即求解 w² =8(cosπ/8 + isinπ/8)。

根据公式，我们可以得到两个平方根，分别为w₁= 2(cosπ/16 + isinπ/16)和w₂ = 2(cos17π/16 + isin17π/16)。

2. 指数形式对于复数的根式，我们也可以使用指数形式进行求解。

第一章3复数的乘幂与方根

第一章3复数的乘幂与方根
复变函数与积分变换
第二节
复数的运算
一、复数的代数运算及共轭复数的运算法则
二、复数的代数运算的几何表示
三、复数的乘幂与方根
三、复数的乘幂与方根
1. 乘幂
设复数 ≠ 0, = (cos+sin),
则 = (cosn+sinn) ，为正整数．
规定 z
−n
1
= n.
z
), w3 = 2 (cos
+ i sin
),
16
16
16
16
1
8
1
8
这四个根是内接于以原点为圆心，半径为 2的圆的正方形的顶点
8
谢谢观看！
当 = , + 1, ⋯ 时，这些根又重复出现.
=

=
1

[cos
2 在几何上，

+ 2
+ 2
+ sin
], = 0,1,2, ⋯ , − 1


1
的个值是以原点为圆心， 为
半径的圆的内接正边形的个顶点.
例3．求 1 + .
4


解： 1 + = 2(cos + sin )
特别地，当 = 1时，得到棣莫弗公式
(cos+sin) = cosn+sinn.
2. 方根
z 称为的次方根.
设 z = r (cos + i sin ), w = (cos + i sin )
方程 wn = z 的根 w ，即 w =
n
n
有 (cos n + i sin n ) = r (cos + i sin )

复变函数1-3

复变函数1-3

i,
z1 z2
cos
3
6
i
sin
3
6
3 1i. 22
7
二、幂与根
1. n次幂: n 个相同复数 z 的乘积称为z 的 n 次幂,
记作 zn , zn z z z .
n个
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
如果我们定义
zn
1 zn
,
那么当
幂为负整数时,
求出z的幂.
8
2.棣莫佛公式
当 z 的模 r 1,即 z cos i sin ,
(cos i sin )n cosn i sin n .
棣莫佛公式
3. 方程 wn z 的根 w, 其中 z 为已知复数.
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ n
i sin
2kπ n
(k 0,1,2, ,n 1)
w2
o
w0 x
w3
15
三、小结
应熟练掌握复数乘积与商，幂与根的运算. 在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便:
z1
z2
r1
r ei(12 ) 2
z2 r e2 i(2 1 )
z1 r1
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
(k 0,1,2, ,n 1)
放映结束，按Esc退出.
16
i sin(1 2 n )]
r1 r2 rnei(12 n ) .
5
定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两 个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.

复数的乘幂与方根

复数的乘幂与方根

复数的乘幂与方根教学目的：掌握复数的乘幂与方根的计算方法，了解乘幂、方根的几何意义教学重点：掌握利用复数的三角表示式求解复数的乘幂与方根教学难点：理解乘幂与方根的几何解释，方根的计算方法教学类型：板书教学时数：1学时教学过程：1、乘幂的计算定义1 n 个相同的复数 z 的乘积称为 z 的 n 次幂，记为 z n.显然由定理1 及其推广可知,|z n|=|z|n; Arg z n=nArg z,即若 z=r(cosθ+i sinθ),则有z n=r n(cos nθ+i sin nθ).思考：若是用代数形式 z=x+iy 计算 z n难度有多大？例：计算 (1+i)100.,解：|1+i|=2+12=√2,θ=π4因此，(1+i)100=(√2)100(cos25π+i sin25π)=250(−1+i∙0)=−250.2、方根的计算n.定义2 若 w=z n,称 z 为 w 的 n 次方根,记为 z=√w分析：已知复数 w =r (cos θ+i sin θ)，求复数z =ρ(cos φ+i sin φ),使得 w =z n 成立，即有r (cos θ+i sin θ)= ρn (cos nφ+i sin nφ).从上式中可以得到r = ρn ,θ+2kπ=nφ,k ∈Z .因此，ρ= r 1n , φ=θ+2kπn ⁄, k ∈Z ,z =√w n =r 1n (cos θ+2kπ+i sin θ+2kπ) 究竟有几个？k =0,1,2,⋯,n −1时，得到 n 个互异的值z 0=r 1n (cos θn +i sin θn )； z 1=r 1n (cos θ+2πn +i sin θ+2πn)； ⋯⋯z n−1=r 1n (cos θ+2(n −1)πn +i sin θ+2(n −1)πn) 由三角函数的周期性，可知当 k 取其他整数值时，方根的值重复出现，因此可知 n 次方根有且仅有 n 个！综上所述，n 次方根的计算方法为（1） 将复数w =x +iy 表示成三角表示式w =r (cos θ+i sin θ)（2） √w n =r 1n (cos θ+2kπn +i sin θ+2kπn )（3） k =0,1,2,⋯,n −1例：计算√i 3.解：（1）r =|i |=1,θ=π2, w =i =r (cos θ+i sin θ);（2）√w 3=r 1(cosθ+2kπ3+i sin θ+2kπ3) =cos (1+4k)π6+i sin (1+4k)π6;（3）k =0,1,2.即√i 3 分别为z 0=cos π6+i sin π6；z 1=cos 5π+i sin 5π; z 2=cos 9π6+i sin 9π6. 注解 n 次方根的几何解释上述例子中的3个3次方根正好是以原点为中心以1为半径的圆的内接正三角形的三个顶点。

1.3 复数的乘幂与方根


)3
eπi
1.
变
2 2
函
数
此外，显然有 (1)3 1.
由此引出方根的概念。
8
§1.3 复数的乘幂与方根
§1.3 复数的乘幂与方根
第 一 三、 复数的方根 P15
章
复数求方根是复数乘幂的逆运算。
复 数
定义
设 z 是给定的复数，n 是正整数，求所有满足wn z 的
与 复
复数 w ，称为把复数 z 开 n 次方，或者称为求复数 z 的
2e 3 .
1
12
§1.2 复数的几种表示
附：关于 Arg (z1 z2 ) Arg z1 Arg z2(在集合意义下)
第
一
所谓“在集合意义下”是指：
章 分别从集合 Arg z1 中与集合 Arg z2 中任取一个
复 数
元素(即辐角)，相加后，得到集合Arg (z1 z2 ) 中的
与
一个元素(即辐角)。
2e 6
有
复 数
πi
5π i
( π 5π )i
(1 3 i)( 3 i) 2e 3 2e 6 4e 3 6
与
复
πi
变
4e 2 4 i .
函 数
1 3i 3i
πi
2e 3
5π i
( π 5π )i
7π i
e 3 6 e 6
2e 6
cos 7π i sin 7π 3 1 i .
章 复
wk
n
z
n
r
i(
en
2k n
)
,
(k 0,1, , n 1) .
数 与
描述 在复平面上， 这 n 个根均匀地

复数概念表示法乘幂与方根区域


背景
复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。 为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实 数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复 数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又 得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数 看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪， J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(17071783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义， 澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究 了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛 承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。
邻域复平面上以内部的点的集合称为点的折线连接属于中任意两点均可用完全区域边界与边界点已知点的任何邻域中都包含有界区域与无界区域若存在闭区域区域为圆点表示以re轴的直线几个点只是边界增加了一个或它仍然是区域几个点如果在其中去掉一个或组成它的边界由两个圆周而且是有界的表示一个圆环re表示下半复平面表示右半复平面实变函数表示为
2 2
• 判断复数相等
z z x x , y y , 其 z x 中 iy , z x iy 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 z 0 Re z ) Im ( z ) 0 (
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算


3
例 2 : 求 1
3
解 : 1 co 0 i s 0 s i n
i i 1 2 设 z r e , z r e 1 1 2 2
证明
由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2 ∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z1≠0）
Argz=Argz2-Argz1 即：

复变函数第2讲

w = ρ (cosnϕ + i sinnϕ) = z = r(cos + i sinθ ) θ
n n
比较， 比较，得
ρ n = r, ⇒ ρ =
nϕ = θ + 2 k π ,
n
r;
⇒ϕ =
θ + 2kπ
n
Hale Waihona Puke 由此得到方根公式n (k = 0, 1, 2, L, n − 1)
w = z = r (cos
结论： 结论： 两个复数乘积的模等于各自模的乘积， 两个复数乘积的模等于各自模的乘积，乘积的幅 角等于各自幅角之和； 角等于各自幅角之和； 两个复数商的模等于各自模的商， 两个复数商的模等于各自模的商，商的幅角等于 被除数与除数的幅角之差。 被除数与除数的幅角之差。 Arg(z1z2)=Argz1+Argz2，Arg(z1/z2)= Argz1-Argz2，
3
0 + 2 kπ 0 + 2 kπ 1 = cos + i sin 3 3 ( k = 0 ,1, 2 ).
1 3 1 3 i, w2 = - i. 即 w 0 = 1, w1 = - + 2 2 2 2
练习： 求下列根式的值. (1) 1+ i ; (2)
3
-2 + 2i .
§4
复平面上的点集
13. 单连通、多连通区域：复平面上的一个区域 如果在其 单连通、多连通区域：复平面上的一个区域D,如果在其 中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部仍属于 而曲线的内部仍属于D，则称D 中任作一条简单闭曲线 而曲线的内部仍属于 ，则称 为单连通域，不是单连通域的都叫多连通域。 为单连通域，不是单连通域的都叫多连通域。 多连通区域的一个显著特点：内部含有洞或裂缝。 注：1. 多连通区域的一个显著特点：内部含有洞或裂缝。 2. 任一简单闭曲线将复平面分为内、外两部分，内部 任一简单闭曲线将复平面分为内、外两部分， 单连通，外部多连通。 单连通，外部多连通。 3. 属于单连通域 内的任何一条简单闭曲线，在D内可 属于单连通域D内的任何一条简单闭曲线 内的任何一条简单闭曲线， 内可 以经过连续的变形而缩成一点， 以经过连续的变形而缩成一点，多联通区域不具备 这个特征。 这个特征。

复数的幂与根的运算

复数的幂与根的运算复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a + bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

在复数运算中，我们经常会遇到复数的幂与根的运算，本文将详细讨论这两种运算及其特性。

一、复数的幂运算复数的幂运算是将一个复数自乘若干次。

设有一个复数z = a + bi，其中a为实部，b为虚部。

1. 复数的平方运算将复数z自乘一次，即z^2 = (a + bi)(a + bi)。

展开得到z^2 = a^2 + 2abi - b^2，整理后可得z^2 = (a^2 - b^2) + 2abi。

可以看出，复数的平方仍旧是一个复数，实部为a^2 - b^2，虚部为2ab。

2. 复数的立方运算将复数z自乘两次，即z^3 = z^2 * z = (a^2 - b^2 + 2abi)(a + bi)。

展开得到z^3 = (a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - b^3i)，整理后可得z^3 = (a^3- 3ab^2) + (3a^2b - b^3)i。

同样地，复数的立方仍旧是一个复数，实部为a^3 - 3ab^2，虚部为3a^2b - b^3。

3. 复数的n次幂运算将复数z自乘n次，即z^n = z^(n-1) * z = ((a + bi)^(n-1))(a + bi)。

根据二项式定理展开后可得z^n = (a^n + na^(n-1)bi + C(n, 2)a^(n-2)b^2i^2 + ... + C(n, n-1)ab^(n-1)i^(n-1) + b^n * i^n)。

在上述展开式中，可以观察到幂次大于1的i项会相互抵消，因为i^2 = -1，而i^3 = -i，i^4 = 1，i^5 = i，以此类推。

因此，最终复数的n次幂展开式可简化为z^n = (a^n + C(n, 2)a^(n-2)b^2 - C(n, 4)a^(n-4)b^4 + ... + (-1)^(n/2)b^n) + (na^(n-1)b - C(n, 3)a^(n-3)b^3 + ... + (-1)^((n-1)/2)ab^(n-1))i。

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(b)棣莫佛(De Moivre)公式
特别，当Z=(cosθ+isinθ)时，
(cos i sin )n cosn i sin n .
(c) 计算方程 wn z 的根 w, 其中 z 为已知复数.
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ n
i sin
2kπ n
(k 0,1,2, ,n 1)
8
设 z rei 为已知复数，n为正整数，则称满足方程 wn z
sin(
5
6
)
12
所以
z18
28
c
os(
8
6
)
i
sin(
8
6
)
z
4 2
2
4
c
os(20
6
)
i
s
in(
20
6
)
2
4
cos(
28
6
)
i
sin(
28
6
)
8(1 3i)
13
例３：求 3 8
解：
3
8
3
i 2k
8 e 3 , k
0,1, 2
3
8
0
3
i
8 e 3
2
cos
3
i
sin
3
1
3i
3 8
（3）开集
如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为 开集.
16
例５．解方程 z 6 1 0
解：因为 z6 1 cos i sin
所以
6
1
cos
2k
i sin
2k
6
6
可求出６个根，分别是：
(k 0, 1, 2, 3, 4, 5)
z0
3 1 i, 22
z1 i,
z2
3 1i 22
z3
3 1 i, 22
z 4 i,
z5
3 1i 22
由此逐步可证, 如果
zk rkeik rk (cosk i sin k ), (k 1,2, , n),
则z1z2 zn r1r2 rn[cos(1 2 n )
i sin(1 2 n )]
r1r2 rn ei(12 n )
(1.3.4)
5
定理1.2 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两
r1 r2[(cos1 cos2 sin1 sin2 ) i(sin1 cos2 cos1 sin2 )]
z1 z2 r1 r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )] , z1z2 r1 r2 z1 z2
Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2.
3
几何意义
从几何上看, 两复数对应的向量分别为 z1, z2 ,
复变函数与积分变换
1
第1章 复数与复变函数
复数的乘幂与方根 区域
2
1.3.1 乘积与商
定理1.1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;
两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和。 设复数 z1 和 z2 的三角形式分别为
z1 r1(cos1 i sin1）, z2 r2 (cos2 i sin2）, z1 z2 r1(cos1 i sin1) r2 (cos2 i sin2 )
的所有w值为z的n次方根，并且记为 w n z
设 w ei , 则 nein rei n r ein ei n r , n 2k , k 0,1,2,
9
即
n r,
2k ,
n
k 0,1,2,
wn
i 2k
re n
r
1 n
(cos
2k
i sin 2k )
n
n
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w0
1
rn
(cos
n
i sin
)
n
10
w1
r
1 n
(cos
2
n
i sin
2
n
)
w2
r
1 n(cosຫໍສະໝຸດ 4ni sin
4
n
)
wn1
r
1 n
(cos
2(n 1)
n
i sin
2(n 1)
n
)
结论：在几何上, n z的n个值就是以原点为中心, n r为半径 的圆的内接正n边形的n个顶点.
11
例１： 求 (1 i)4
解：
因为 1 i 2[cos( ) i sin( )]
4
4
所以 (1 i)4 4[cos( ) i sin( )] 4
例２ ：已知 z1
解：
3i
，z2
3i
求
z18
z
4 2
因为 z1
3
i
2
cos(
6
)
i
sin(
6
)
z2
3
i
2
cos( 56
)
i
6
1.3.2 幂与方根
(a) n次幂:
n 个相同复数 z 的乘积称为z 的 n 次幂, 记作 zn , zn z z z .
n个
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
n 为负整数时,
有z n
1 zn
.
因而有 zn z n , Arg zn n Arg z.
7
3
i 2
8 e 3
2cos
i sin 2
1
3
8
2
3
i 4
8 e 3
2
cos
5 3
i sin
5 3
1
3i
14
例４：求 4 1 i.
解： 因为
1i
2
cos
4
i
sin
4
,
所以
4
1i
8
2
cos
4
2k 4
i sin
4
2k 4
,(k
0,1, 2, 3)
15
即
w0
8
2
cos
16
i sin 16
,
w1
8
2
cos
9 16
i sin
9 16
,
w2
8
2
cos
17 16
i sin 17 16
,
w3
8
2
cos
25 16
i sin
25 16
.
w2
结论： 四个根是内接于中心在原点半径 为 8 2 的圆的正方形的四个顶点.
y
w1 1+i
2
82
w0
O
x
w3
17
1.4.1 区域(函数的定义域)的概念
（1）邻域
平面上以 z0 为中心, (任意的正数)为半径 的圆: z z0 内部的点的集合称为z0 的邻域. 不等式 0 z z0 所确定的点的集合称为
z0 的去心邻域.
δ Z0
18
（2）内点
设 G 为一平面点集, z0 为G 中任意一点. 如果 存在 z0 的一个邻域, 该邻域内的所有点都属于 G, 那末 z0 称为G 的内点.
先把 z1 按逆时针方向
•z
y
旋转一个角2 ,
r • z1
再把它的模扩大到 r2 倍, 所得向量 z就表示积 z1 z2 .
o
2 1
r1
•
r2
z2
x
复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.
4
如果用指数形式表示复数:
z1 r1 ei1 , z2 r2 ei2 则定理一可简明地表示为
z1z2 r1r2 ei(12 )
个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.
若 则有
z1 r1(cos1 i sin1）, z2 r2(cos2 i sin2）,
z2 z2 , z1 z1
Arg
z2 z1
Argz2
Argz1 .
设复数z1和z2的指数形式分别为
z1 r1ei1 ,
z2 r2ei2 ,
则 z2 r2 ei(2 1 ) . z1 r1