复变函数一复数的乘幂与方根

单连通域 (一个整体)
多连通域 (带有裂痕,漏洞)
9 )
16
w2
8
17
2 (c os 16
i sin 17
16
)
w2
w3
8
2 (c os 25
16
i sin
25
16
)
四个根是内接于中心在原点,半 径为21/8的圆的正方形的四个 顶点.
y
w1
1i
8 2 w0
x
w3
1.3 平面点集
1.3.1 区域
平面上以 z0为中心, d (任意的正数)为半径的圆: |zz0|<d 内部的点的集合称为z0的邻域, 而称由不等式 0<|zz0|<d
1.2 复数的乘幂与方根
1.2.1 复数的乘幂
复数乘积的指数表达式
z1
z2
r r ei(1 2 ) 12
z1 r1ei1 , z2 r2ei2
特殊情况：z1 z2 z rei ,则z 2 z1 z2 r 2ei2
推广(幂运算）：若z rei ,则zn r nein
注: (1)此公式对于任意整数n都成立。
由几段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.
假设x'(t), y'(t)同时为零，则
导数（斜率）dy y' (t) 不存在 dx x' (t)
1.3.3 单连通区域,多连通区域
定义：设D是平面上一区域，若在D内任作一条简单 闭曲线，而曲线所围成的部分总属于D，则称区域 D为单连通区域；
不是单连通的区域称为多连通区域（复连通区域）。
(c
os
)k
(i
sin
)3
k
cos3 3 cos sin2 i(3 cos2 sin sin3 )
cos3 cos3 3cos sin2
例2： 计算（1 i）5
( 3 i)6
解: 1 i 2 Arg(1 i) 2k
i
1 i 2e 4
4
(1 i)5 (
2)5
i 5
e4
3 i 2 Arg( 3 i) 2k
i
3 i 2e 6
(3ຫໍສະໝຸດ 6i)626
i
e
6
6
（1 i）5
(
2
)5
i
e
5 4
( 3 i)6
26
e
i
6 6
( 2)5 26
ei( 5 6 )
4 6
1
i
e4
82
1.2.3 复数的方根(乘幂的逆运算)
称满足方程 wn z (w 0, n 2)的复数w为z的n次方根， 1
记作n z 或 z n。
设z rcos i sin , w cos i sin
则 wn n (cos n i sin n)
n cos n r cos , n sin n r sin
n r , cos n cos , sin n sin
n 2k , k 0,1,2,
n r为半径的圆内接正n边形的n个顶点。
例3：计算4 1 i
解:
因为
1i
2(cos i sin )
4
4
2k
2k
所以 4 1 i 8 2 (cos 4
i sin 4
)
4
4
(k 0,1,2,3)
即
w0
8
2(cos i sin )
16
16
w1
8
2 (c os 9
16
i sin
(2)特别地，当r 1时， (ei )n ein
cos i sin n cos n i sin n 棣莫弗公式.
例1：将cos 3利用cos ,sin表示
解: cos3 Re[cos3 i sin 3 ]
cos 3 i sin 3 (cos i sin )3
3 k0
c3k
所确定的点集为z0的去心邻域.
设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存在z0的一 个邻域, 该邻域内的所有点都属于G, 则称z0为G的内点.
如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为开集
平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列两个条件: 1) D是一个开集; 2) D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D
z=z(t) (atb) 来代表. 这就是平面曲线的复数表示式.
设C: z=z(t) (atb)为一条连续曲线, z(a)与z(b)分别为C
的起点与终点. 对于满足 a<t1<b, at2b 的 t1与 t2, 当 t1t2 而有 z(t1)=z(t2) 时, 点 z(t1)称为曲线 C的重点. 没有重点的 连续曲线 C, 称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线. 如果简
k
n
1,
wn1
n
r (cos
2(n 1)
n
i sin
2(n 1)
n
)
k n,
wn
n
r (cos
2n
n
i sin
2n
n
)
w0
n z n r (cos 2k i sin 2k ), k o,1, , n 1
n
n
注: （1）复数z的n次方根共有n个。
(2)几何意义：n z的n个值就在以原点为圆心，
的一条折线连接起来.
例4: 圆环：r1 z z0 r2
r
z0
z z0 r
不是区域 (不是开集)
z1
点集S {z | z 1}{z | z 2 1}
不是区域(不连通)
r2 z0 r1
区域
z2
如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面, 即存在正数 M,使区域 D的每个点z都满足 |z|<M, 则称 D为 有界的, 否则称为无界的.
|z|>M M
0
1.3.2 曲线
1.简单曲线,简单闭曲线
在数学上, 经常用参数方程来表示各种平面曲线. 如果 x(t)和y(t)是两个连续的实变函数, 则方程组
x=x(t), y=y(t), (atb) 代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令
z(t)=x(t)+iy(t) 则此曲线可用一个方程
2k , k 0,1,
n
w
n
z
n
r (cos
2k
i sin
2k
)
n
n
k 0
k 1,
w0
w1 n
n r (cos
n
r (cos 2 n
i sin )
n
isin 2 ) n
w1 wn1
(cos 2
n
(cos 2
n
2
i sin n )w0
2
i sin n )wn2
单曲线 C的起点与终点闭合, 即 z(a)=z(b) , 则曲线 C 称为
简单闭曲线.
z(b)
z(b)
z(a) z(b)
简单,闭
z(a)
简单,不闭
z(a)
非简单,不闭
z(a) z(b)
非简单,闭
2.光滑曲线,逐段光滑曲线
设曲线C的方程为
z(t) x(t) iy(t), (a t b)
若在区间[a,b]上，x'(t), y'(t)连续且不全为零，则称 曲线C为光滑曲线。