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复变函数第一章(2)复数的乘幂与方根

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西安交大西工大 考研备考期末复习 工程数学复变函数 复数与复变函数

西安交大西工大 考研备考期末复习 工程数学复变函数 复数与复变函数
z r cos i sin
z rei
三角表达式 指数表达式
说明： z r cos i sin
rei
复变函数
例1.将下列复数写为三角表达式与指数表达式
1)z 12 2i
2)z sin i cos
5
5
3)z 1 cos i sin
0
例2.求证 z1 z2 z1 z2
z2
x22 y22
复变函数
2.复数的运算法则
z1 z2 z2 z1, z1z2 z2 z1
(交换律)
z1 z1
(z2 z3) (z1 (z2 z3 ) (z1z2 )z3
z2
)
z3
(结合律)
z1(z2 z3 ) (z1z2 z1z3 ) (分配律)
复变函数
3.共轭复数
2k
n
其中 k 0,1, , n 1
例2.求 1) 1 i 6
2) 6 1
复变函数
本次课小结 本次课的内容要点
1.复数的概念 2.复数的代数运算 3.复数的几何表示 4.复数的乘幂与方根
作业：习题一 4(4)、8(1,3,6)、11 14(3、4)、16、21(4、6)
复变函数
说明：1) z 0 若z=0，则辐角不定
2） tan y ，即tan Argz y
x
x
3) 多值性 Argz 2k
4) 把满足 的辐角称为辐角主值
记为 arg z
arg z arctan y x
复变函数
arg z arctan y
x
arg z arctan y
x
arg z arctan y x
复变函数
复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主 要是围绕柯西 、魏尔斯特拉斯和黎曼三人的工作进 行的。

复变函数第一章

复变函数第一章

z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或

(最新整理)复变函数

(最新整理)复变函数

i z i ( x iy )
y ix
Reiz()3
zrcosirsin
=|z|[cos(Argz)isin(Argz)]
可化为复数的代数表示式.
2021/7/26
29
5 曲线和平面图形的复数方程 引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程 （或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程 （或不等式）来确定它所表示的平面图形。
例1 用复数方程表示: y
4.哈尔滨工业大学建筑工程学院博士导师刘殿魁简介 _..
长期从事弹性波散射与动应力集中问题的研究,并首创分 析弹性波散射与动应力集中的复变函数与保角映射方法, 是经典弹性...《美国应用力学》杂志创刊50周年出版的 特刊中曾著文《固体中的弹性波》,评论:“刘殿魁等人首 创了用于处理特殊类型散射..
2021/7/26
o
x
3. 三角表示法
4. 指数表示法
由xy
r cos 得 r si n
再由 Eule公r 式:
ei cos isin得
zr(co is sin )
z rei
2021/7/26
28
注意: 复数的各种表示法可以相互转化,以适应 不同问题的需要.
(1)已知复数的代数表示式,先求出复数的模和 辐角,即可化为复数的三角表示. (2)已知复数的三角表示式 ,利用
(最新整理)复变函数
2021/7/26
1
课程简介
课程名称 复 变 函 数
Complex Variables
教材 总学时 教师姓名
复变函数 36学时
李雪艳
2021/7/26
2
对 象 复变函数（自变量为复数的函数）
主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系，

复变函数第一章(2)复数的乘幂与方根

复变函数第一章(2)复数的乘幂与方根

设w f (z)是定义在D上的复变函数
z x iy, w u iv
则u, v的取值由x, y来确定
u u(x, y) v v(x, y)
w f (z) u(x, y) iv(x, y)
复变函数w
f
(
z)一一对应二元实变函数对uv

注: (1)此公式对于任意整数n都成立。
(2)特别地，当r 1时， (ei )n ein
cos i sin n cos n i sin n 棣莫弗公式.
例1：将cos 3利用cos ,sin表示
解: cos3 Re[cos3 i sin 3 ]
不是区域(不连通)
r2 z0 r1
区域
z2
如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面, 即存在正数 M,使区域 D的每个点z都满足 |z|<M, 则称 D为 有界的, 否则称为无界的.
|z|>M M
0
1.3.2 曲线
1.简单曲线,简单闭曲线
在数学上, 经常用参数方程来表示各种平面曲线. 如果 x(t)和y(t)是两个连续的实变函数, 则方程组
u(x, v(x,
y) y)
例6 考察函数w z2 令 z x iy, w u iv 则
u iv (x iy)2 x2 y2 i2xy
函数w f (z)所对应的二元实变函数对
u x2 y2, v 2xy
例7 两类常见的复变函数
n次多项式函数 P(z) a0 a1z a2 z 2 an z n
如果在z 平面上函数w f (z)的定义域D内取一点z0 ,
通过w f (z)在w平面上有相应的点w0对应。

复变函数第1章

复变函数第1章

于是
z1z2 r1 r2 z1 z2 ,
Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2. 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两 个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
应该注意的是 Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2 中的 加法是集合的加法运算：即将两个集合中所有的
元素相加构成的集合
(3 4) (4 3)i 7 1 i.
2
22
z1 7 1 i. z2 2 2
例 1.2 i1 i, i2 1, i3 i i2 i, i4 i 2 i 2 1, ……
i 4n 1, i4n1 i, i4n2 1, i4n3 i, i4n4 1.
例1.3 设z1, z2是两个复数, 证明
z1 z1 , z2 z2
Arg
z1 z2
Argz1
Argz2
.
两个复数商的模等于它们模的商差.
对给定的复数z, 方程wn=z的解w称为z的n次
方根, 记做
n
z
或
1
zn.
如果
z r(cosq i sinq ), w (cos i sin ),
y .
x
利用直角坐标与极坐标之间的关系
x r cosq , y r sinq ,
复数z=x+yi 可表示为 z r(cosq i sinq ), 称为复
数z的三角表示式. 再利用Euler公式
eiq cosq i sinq ,
复数z=x+yi 又可表示为 z reiq , 称为复数的
指数表示式, 其中r=|z|, q=Argz.
z1 z2 z1z2 2 Re z1 z2 .
证明 因为
z1 z2 z1 z2 z1z2 , 所以由运算规律7，有

复变函数1-3

复变函数1-3

i,
z1 z2
cos
3
6
i
sin
3
6
3 1i. 22
7
二、幂与根
1. n次幂: n 个相同复数 z 的乘积称为z 的 n 次幂,
记作 zn , zn z z z .
n个
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
如果我们定义
zn
1 zn
,
那么当
幂为负整数时,
求出z的幂.
8
2.棣莫佛公式
当 z 的模 r 1,即 z cos i sin ,
(cos i sin )n cosn i sin n .
棣莫佛公式
3. 方程 wn z 的根 w, 其中 z 为已知复数.
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ n
i sin
2kπ n
(k 0,1,2, ,n 1)
w2
o
w0 x
w3
15
三、小结
应熟练掌握复数乘积与商，幂与根的运算. 在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便:
z1
z2
r1
r ei(12 ) 2
z2 r e2 i(2 1 )
z1 r1
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
(k 0,1,2, ,n 1)
放映结束，按Esc退出.
16
i sin(1 2 n )]
r1 r2 rnei(12 n ) .
5
定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两 个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.

1.2复数的运算及其几何意义


x1 ) y1 )
参数 t (, ),
上式可以借助复数合并为一个式子，即：
z x(t ) iy(t ) x1 t( x2 x1 ) + i [y1 t( y2 y1 )]. 过z1 , z2的直线方程是： z z(t ) z1 ), 0 t 1.
则将向量OZ1按逆时针方向
•z
y
旋转一个角 2 ,
r • z1
再伸长(缩短)到原来的 r2 倍，
所得向量OZ就表示乘积z1 z2.
1
o
r1
2
•
r2
z2
x
z1z2 r1r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
10
可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:
设 zk rk (cosk i sink ) rkeik , (k 1,2,, n)
28
cos
π 4
2kπ 4
i sin
π 4
2kπ 4
w3
(k 0,1,2,3).
即 0
1
28
cos
π 16
i
sin
π 16
,
1
1
28
cos
9π 16
i
sin
9π 16
,
2
1
28
cos
17π 16
i
sin
17π 16
,
3
1
28
cos
25π 16
i sin
25π 16
.
15
;
(2) z z;
(3) z z z 2 ;
(4) z z 2 Re(z), z z 2i Im(z).
复数和、差、共轭的几何意义

《复变函数》第1章


实部：x = Re(z) 虚部：y = Im(z)
纯虚数：z = iy ( y ≠ 0 )
2020/7/21
《复变函数》(第四版)
第2页
共轭复数： x iy x iy
z=0 x=y=0
z1= x1 + iy1 , z2= x2 + iy2 , z1 = z2 x1 = x2 , y1 = y2
连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点, 又在平面上引入一个假想点∞与球面北极对应, 构成扩充复平面 与球面点的一一对应, 即复数与球面上的点的一一对应, 球面称 为复球面.
2020/7/21
《复变函数》(第四版)
第16页
规定: | ∞| = +∞
α≠∞, α + ∞ = ∞ + α = ∞
解: 1) 几何上看 | z + i | = | z －(－i ) | = 2 : 与点－i
的距离为2的点轨迹, 即中心为(－i ),半径为2的圆.
代数推导: 设 z = x + iy
则 | x + (y + 1)i | = 2
(见书P10 图1.5)
x2 + (y + 1)2 = 4
解: 2) | z － 2i | = | z +2 | —— 到点 2i 和－2 距离
复变函数
（第四版）
电子教案
中山大学公共卫生学院 刘素芳 邓卓燊 编写
第一章 复数与复变函数
复变函数——自变量为复数的函数. 复变函数研究的中心对象: 解析函数． 复变函数论又称为解析函数论．
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念
i — 虚数单位
i 2 =－1

2023大学_工程数学《复变函数》西安交通大学第四版课后答案下载

2023工程数学《复变函数》西安交通大学第四版课后答案下载工程数学《复变函数》内容简介第一章复数与复变函数第一节复数及其运算第二节复数的几何表示第三节复数的乘幂与方根第四节复平面上的点集第五节复变函数第六节复变函数的极限与连续性小结习题第二章解析函数第一节复变函数的导数第二节解析函数第三节初等函数小结习题第三章复变函数的积分第一节复变函数的积分第二节柯西积分定理第三节不定积分第四节柯西积分公式第五节调和函数小结习题第四章解析函数的级数表示第一节复数项级数第二节幂级数第三节泰勒级数第四节洛朗级数小结习题第五章留数定理及其应用第一节孤立奇点第二节留数定理第三节应用留数定理计算实积分第四节辐角原理小结习题第六章保形映射第一节复平面上的曲线及其简单性质第二节保形映射第三节几个初等函数构成的映射第四节分式线性映射第五节关于保形映射的例题第六节几个特殊的保形映射和一般性定理第七节保形映射的一个应用小结习题第七章傅立叶变换第一节傅立叶变换第二节傅立叶变换的性质小结习题第八章拉普拉斯变换第一节拉普拉斯变换第二节拉普拉斯变换的性质第三节拉普拉斯逆变换小结习题习题解答工程数学《复变函数》图书目录本书是根据复变函数课程教学基本要求编写的，全书共八章，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的'级数表示、留数定理及其应用、保形映射、傅立叶变换、拉普拉斯变换，每章末有小结，以帮助学生掌握要点;书后附有习题答案，供学生参考。

书中带“__”号内容，可供各专业选用。

2023年大学_《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载

2023年《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载《高等数学》第四册内容简介第一篇复变函数论第一章复数与复变函数第一节复数1.1.1. 复数域1.1.2. 复平面1.1.3. 复数的模与幅角1.1.4. 复数的乘幂与方根第二节复变函数的基本概念1.2.1. 区域与约当曲线1.2.2. 复变函数的概念1.2.3. 复变函数的极限与连续性第三节复球面与无穷远点1.3.1. 复球面1.3.2. 闭平面上的几个概念习题第二章解析函数第一节解析函数的概念及哥西一黎曼条件 2.1.1. 导数的定义2.1.2. 哥西一黎曼条件2.1.3. 解析函数的定义第二节解析函数与调和函数的关系2.2.1. 共轭调和函数的求法2.2.2. 共轭调和函数的几何意义第三节初等解析函数2.3.1. 初等单值函数2.3.2. 初等多值函数习题第三章哥西定理哥西积分第一节复变积分的概念及其简单性质3.1.1. 复变积分的定义及其计算方法3.1.2. 复变积分的简单性质第二节哥西积分定理及其推广3.2.1. 哥西积分定理3.2.2. 不定积分3.2.3. 哥西积分定理推广到复围线的情形第三节哥西积分公式及其推广3.3.1. 哥西积分公式3.3.2. 解析函数的无限次可微性3.3.3. 模的最大值原理哥西不等式刘维尔定理摩勒纳定理第四节解析函数在平面场中的应用3.4.1. 什么叫平面场3.4.2. 复位势3.4.3. 举例习题第四章解析函数的幂级数表示第一节函数项级数的基本性质4.1.1. 数项级数4.1.2. 一致收敛的函数项级数第二节幂级数与解析函数4.2.1. 幂级数的敛散性4.2.2. 解析函数的幂级数表示第三节罗朗级数4.3.1. 双边幂级数的收敛圆环4.3.2. 解析函数的罗朗展式4.3.3. 罗朗展式举例第四节单值函数的孤立奇点4.4.1. 孤立奇点的`三种类型4.4.2. 可去奇点……习题第五章残数及其应用第六章保角变换第二篇数学物理方程第七章一维波动方程的付氏解第八章热传导方程的付氏解第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解第十章波动方程的达朗贝尔解第十一章数学物理方程的解的积分方式第十二章定解问题的适定性第十三章付里叶变换第十四章拉普拉斯变换第三篇特殊函数第十五章勒让德多项式球函数第十六章贝塞耳函数柱函数第十七章厄密多项式和拉盖尔多项式附录《高等数学》第四册目录本书内容为数学物理方法，包括复变函数论、数学物理方程、积分变换和特殊函数等部分，可供综合大学和师范学院物理类专业作为教材。

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2
w0
) )
w2
x
2 (cos
w3
四个根是内接于中心在原点,半 径为21/8的圆的正方形的四个 顶点.
1.3 平面点集
1.3.1 区域
平面上以 z0为中心, d (任意的正数)为半径的圆: |zz0|<d 内部的点的集合称为z0的邻域, 而称由不等式 0<|zz0|<d 所确定的点集为z0的去心邻域. 设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存在z0的一 个邻域, 该邻域内的所有点都属于G, 则称z0为G的内点. 如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为开集 平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列两个条件: 1) D是一个开集; 2) D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来.
n
sin n r sin

r , cos n cos , sin n sin
n 2 k , k 0 , 1, 2 ,


n
2 k
n
n
, k 0 , 1,
w
k 0
z
r (cos
r (cos
n
n
r (cos
r (cos
2 ( n 1 )
2n
n
n
i sin
n 2 ( n 1 )
i sin
2 n
) wn 2
i sin
n 2n
n
)
)
w0
z r (cos
n
n
2k
n
n
i sin
2k
n
), k o,1, , n 1
3 i)
Arg (
i

6
6
2 k
i 6 6

6

3 i 2e
(
3 i) 2 6 e
（1 i ） (
5 6
3 i)

(
2) e 2 e
6 i 6 6
5
i
5 4

(
2) 2
6
5
i(
5 4

6 6
)
e
8
1 2
i

4
e
1.2.3 复数的方根(乘幂的逆运算)
设C: z=z(t) (atb)为一条连续曲线, z(a)与z(b)分别为C 的起点与终点. 对于满足 a<t1<b, at2b 的 t1与 t2, 当 t1t2 而有 z(t1)=z(t2) 时, 点 z(t1)称为曲线 C的重点. 没有重点的 连续曲线 C, 称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线. 如果简 单曲线 C的起点与终点闭合, 即 z(a)=z(b) , 则曲线 C 称为 简单闭曲线. z (b )
sin sin
3
)

cos 3 cos 3 cos sin
（1 i ） (

例 2 ： 计算
3 i)
2

4
解:

1 i
1 i
3 i 2
Arg ( 1 i )
i

4
2 k
5
i 5 4
2e
(1 i ) ( 2 ) 5 e
例4:
圆环： r1 z z 0 r2
r2
z0
r1
z0
r
区域 不是区域( 不是开集)
S { z | z 1 } { z | z 2 1 }
不是区域(不连通)
如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面, 即存在正数 M,使区域 D的每个点z都满足 |z|<M, 则称 D为 有界的, 否则称为无界的.
解:
cos 3 Re[cos
3 i sin 3 ]
3
cos 3 i sin 3 (cos i sin )


2
3 k0
c 3 (cos ) ( i sin )
2
k
k
3 k
cos
3
3 cos sin
3
5 6
2
i ( 3 cos
称满足方程
1
w
n
z ( w 0 , n 2 ) 的复数 w 为 z 的 n 次方根，
记作
n
z 或 z n。
设 z r cos i sin , w cos i sin
则

n

w
n
(cos n i sin n )
n
n
cos n r cos ,
注:
n
（1 ）复数 z 的 n 次方根共有
n 个。
，
( 2 ) 几何意义：
z 的 n 个值就在以原点为圆心 n 边形的 n 个顶点。
r 为半径的圆内接正
4
例 3： 计算
1 i
1 i 2 (cos
解: 因为 所以
4

4
i sin

4
)

1 i
8
2 (cos 4
2 k 4 i sin
|z|>M M
0
1.3.2 曲线
1.简单曲线,简单闭曲线
在数学上, 经常用参数方程来表示各种平面曲线. 如果 x(t)和y(t)是两个连续的实变函数, 则方程组 x=x(t), y=y(t), (atb) 代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令 z(t)=x(t)+iy(t) 则此曲线可用一个方程 z=z(t) (atb) 来代表. 这就是平面曲线的复数表示式.

4
2 k 4 )
( k 0,1,2,3)
即
w0 w1 w2 w3
8 8 8
2 (cos 2 (cos 2 (cos

16 9 16 17 16 25 16
i sin i sin i sin i sin

w1
) )
y
1 i
8
16 9
8
16 17 16 25 16
2 k

n
n
i sin
i sin

n )
2 k
n
)
2 n 2 n
w0
n
k 1,
w1
n
r (cos
2
n
i sin
2
n
w1 (cos
i sin
) w0
)
wn 1 (cos
2
k n 1, w n 1
k n, wn
z (b ) z (a ) z (a )
z ( a ) z (b )
简单,闭
简单,不闭
非简单,不闭
z ( a ) z (b )
非简单,闭
2.光滑曲线,逐段光滑曲线
设曲线 C 的方程为
z ( t ) x ( t ) iy ( t ), ( a t b )
若在区间 [ a,b ] 上， x ' ( t ), y ' ( t ) 连续且不全为零，则称 曲线 C 为光滑曲线。