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《中国古代数学中的算法案例》教案2（新人教B版必修3）《进位制》说课稿各位老师：大家好!我叫***，来自**。
我说课的题目是《进位制》，内容选自于新课程人教A版必修3第一章第三节，课时安排为一个课时。
下面我将从教材分析、教学目标分析、教学方法与手段分析、学法分析和教学过程分析等五大方面来阐述我对这节课的分析和设计：一、教材分析1．教材所处的地位和作用必修三模块所讲授的都是一些数学思想方面的问题，这对提高学生的数学素养很有帮助。
就单独的算法初步这一内容，则是为了提高学生有条理地处理和解决问题的能力，并能理解计算机的某些基本语言中的算法（数学）成分。
2 教学的重点和难点重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换难点：除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计二、教学目标分析1．知识与技能目标：了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
2．过程与方法目标：学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律。
3．情感,态度和价值观目标领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系。
三、教学方法与手段分析1．教学方法：基于本节课内容的特点和学生认知的最近发展区，我以探究式互动教学法为主，范例教学为辅，利用课件、实物投影等媒体辅助教学。
2．教学手段：通过各种教学媒体（计算机）调动学生参与课堂教学的主动性与积极性。
四、学法分析在学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k去余法。
五、教学过程分析㈠问题引入提出问题：我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又又什么联系呢?（由此问题激起学生们对下面所要学习内容的兴趣，使教学能够进行得更加顺利）（二）导入新知1.介绍进位制2.例1 把二进制数110011(2)化为十进制数（二进制与十进制的转换）设计意图：由学生熟悉的十进制数出发，以二进制为例类比十进制数的表示法体会"二进制转十进制"的算法原理，为得到"k进制转十进制"的算法程序作铺垫；3.提出问题：如何得到十进制数12个位和十位上的数字？设计意图：引导他们得到"除10取余法"，并用除法算式表示，再通过类比修改算式得到"除2取余法"，进而推广得到"除K取余法"，从而解决十进制转化为k进制的问题，这样使学生从解决个别案例入手，进而获得解决一类问题的方法3. 例2 把89化为二进制数.4. 例3利用除k取余法把89转换为5进制数设计意图：为了使学生的算法思想得到提升，进一步从理论上加以完善，我设计了此环节。
示范教案错误!教学分析在学生学习了算法的初步知识,理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力．三维目标1．理解算法案例的算法步骤和程序框图,进一步体会算法的思想．2．引导学生得出自己设计的算法程序，提高分析问题和解决问题的能力．重点难点教学重点:引导学生得出自己设计案例的算法步骤、程序框图和算法程序．教学难点：编写算法案例的程序．课时安排2课时错误!第1课时求两个正整数最大公约数的算法导入新课思路1(情境导入)．大家喜欢打乒乓球吧,由于东、西方文化及身体条件的不同,西方人喜欢横握拍打球，东方人喜欢直握拍打球，对于同一个问题,东、西方人处理问题方式是有所不同的．在小学，我们学过求两个正整数的最大公约数的方法：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来。
当两个数公有的质因数较大时(如8 251与6 105)，使用上述方法求最大公约数就比较困难．教师点出课题．思路2（直接导入）．前面我们学习了算法步骤、程序框图和算法语句．今天我们将通过“更相减损之术”来进一步体会算法的思想．推进新课错误!错误!错误!讨论结果：(1)如果整数a能被整数b整除，则b称为a的一个约数．(2)两个整数m与n的公约数中的最大值称为m与n的最大公约数．(3)求两个整数a与b的最大公约数，“更相减损之术”的算法步骤：对于给定的两个数，以两数中较大数减去较小的数，然后将差和较小数构成一对新数，再用较大数减去较小的数，反复执行此步骤,直到差数和较小的数相等,此时相等的两数便为原两数的最大公约数．程序如下：错误!错误!思路1例求78和36的最大公约数．分析：用(a,b）形写出求解过程．解:（78,36)→(42，36）→(6,36）→(6,30）→(6,24）→（6，18）→(6，12）→（6,6）．即78和36的最大公约数是6.点评：这种算法，只做简单的减法,操作方便、易懂，也完全符合算法的要求，它完全是机械的运算，据此很容易编出程序，在计算机上运算.思路2求294与84的最大公约数．分析:由于这两个数都是偶数，同除以2后再用“更相减损之术"．解：∵294÷2＝147,84÷2＝42，∴取147与42的最大公约数后再乘2.(147,42）→（105，42)→（63,42）→(21，42）→（21，21)．∴294与84的最大公约数为21×2＝42.点评：当m与n均为偶数时，可以同除以2后再求解。
1.3中国古代数学中的算法案例【入门向导】秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信率1 500名将士与楚王大将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营．当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来．只见远方尘土飞扬，杀声震天．汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗．韩信骑马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌．他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名．韩信马上向将士们宣布：我军有1 073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人．汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”“神机妙算”．于是士气大振，一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团，交战不久，楚军大败而逃．这就是历史上有名的“韩信点兵”，这类问题的有解条件和解题方法被称为“中国剩余定理”，是一个典型的算法案例．1．用等值算法求两个正整数的最大公约数“等值算法”在我国古代也称为“更相减损之术”．有人称其为“约分术”，是一种对分数约分的算法；也可以用来求最大公约数．对于给定的两个不相等的正整数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差和较小的数作比较，并以较大数减去较小数，继续这个操作，直到所得的两数相等为止，则这个数就是所求的最大公约数．例1用“等值算法”求84与294的最大公约数．分析根据等值算法算理计算如下：294－84＝210；210－84＝126；126－84＝42；84－42＝42；42－42＝0.解(294,84)→(210,84)→(126,84)→(42,84)→(42,42)．故84与294的最大公约数是42.2．割圆术所谓“割圆术”，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法．这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上的各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种方法．割圆术的步骤：第一，从半径为1的圆内接正六边形开始，计算它的面积S6.第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形……的面积，到一定的边数(设为2m)为止，得到一列递增的数S6，S12，S24，…，S2m.第三，在第二步中各正n边形每边上作一高为余径的矩形，把其面积(S2n－S n)与相应的正n边形的面积S2n相加，得S2n＋(S2n－S n)，这样又得到一列递增数：S12＋(S12－S6)，S24＋(S24－S12)，S48＋(S48－S24)，…，S2m＋(S2m－S m)．第四，圆面积S满足不等式S2m<S<S2m＋(S2m－S m)．估计S的近似值，即圆周率的近似值．3．秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法(1)秦九韶算法把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值，把求f(x)＝a n x n ＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的值转化为求递推公式：⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n v k ＝v k －1x ＋a n －k (k ＝1,2，…，n )中v n 的值，所以我们可以将这个递推关系通过循环结构编写程序在计算机上实现．(2)运算次数减少，只需至多n 次乘法和n 次加法运算，而直接求和所用乘法的次数为n (n ＋1)2，加法的次数为n 次，从而大大提高了运算效率．计算机做一次乘法运算需要的时间是做加法运算的几倍到十几倍，衡量一个算法“优”“劣”的标准之一就是运算效率，减少乘法运算的次数也就加快了计算速度．所以说，秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法．例2 用秦九韶算法求多项式f (x )＝x 5＋0.11x 3－0.15x －0.04，当x ＝0.3时f (x )的值． 分析 本题中有些项不存在，如x 4，x 2要补上，x 4写为0×x 4，x 2写为0×x 2.解 将f (x )写为：f (x )＝((((x ＋0)x ＋0.11)x ＋0)x －0.15)x －0.04.按从内到外的顺序，依次计算多项式的值．v 0＝1；v 1＝1×0.3＋0＝0.3；v 2＝v 1×0.3＋0.11＝0.2；v 3＝v 2×0.3＋0＝0.06；v 4＝v 3×0.3－0.15＝－0.132；v 5＝v 4×0.3－0.04＝－0.079 6.所以，当x ＝0.3时，多项式的值为－0.079 6.点评 当多项式中有几项不存在时，可将这几项看作0×x n .1．秦九韶算法计算多项式的值，要对多项式进行正确改写例1 f (x )＝3x 4＋2x 2＋4x ＋2，求f (－2)的值．错解 f (x )＝((3x 2＋2)x ＋4)x ＋2v 1＝3×(－2)2＋2＝14v 2＝14×(－2)＋4＝－24v 3＝－24×(－2)＋2＝50∴f (－2)＝50. 错解辨析 错解中v 1中含有x 的二次式，不符合“秦九韶算法”.正解 f (x )＝3x 4＋0·x 3＋2x 2＋4x ＋2＝(((3x ＋0)x ＋2)x ＋4)x ＋2v 0＝3v 1＝3×(－2)＋0＝－6v 2＝－6×(－2)＋2＝14v 3＝14×(－2)＋4＝－24v 4＝－24×(－2)＋2＝50∴f (－2)＝50.2．利用秦九韶算法，当多项式中出现空项时要用0·x n 补齐例2 用秦九韶算法，求当x ＝2时，f (x )＝x 5－5x 4＋x 3－1的函数值．错解 利用秦九韶算法递推公式，有v 0＝1；v 1＝1×2－5＝－3；v 2＝(－3)×2＋1＝－5；v 3＝(－5)×2－1＝－11.所以f (2)＝－11.正解利用公式有v0＝1；v1＝1×2－5＝－3；v2＝(－3)×2＋1＝－5；v3＝(－5)×2＋0＝－10；v4＝(－10)×2＋0＝－20；v5＝(－20)×2－1＝－41.所以f(2)＝－41.课本在算法案例中所介绍的等值算法(即更相减损之术)与辗转相除法(即欧几里得算法)都是求两个正整数的最大公约数的方法，它们既有相同之处，也有不同之处．更相减损之术的具体算法是：用两数中较大的数减去较小的数，用所得的差与较小的数构成新的一对数，对这一对数再用较大的数减去较小的数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是所求的最大公约数．辗转相除法的具体算法是：用两数中较大的数除以较小的数，若余数等于零，则除数为最大公约数；否则把前面的除数作为被除数，余数作为除数，继续运算，直到余数为零，此时除数即为最大公约数．例如：我们用上述两种方法来求68与48的最大公约数．等值算法操作如下：(68,48)→(20,48)→(20,28)→(20,8)→(12,8)→(4,8)→(4,4)．所以4是68与48的最大公约数．辗转相除法操作如下：(68,48)→(20,48)→(20,8)→(4,8)．所以4是68与48的最大公约数．通过比较不难看出，两种方法相同之处是：都在逐步降低两个数的差；不同之处是：更相减损之术要做到产生一对相等的数为止，辗转相除法做到余数等于零即可．如此看来，辗转相除法要比等值算法的操作程序快捷一些．例1现有长度为240 cm和560 cm两种规格的钢筋若干，要焊接一批同规格的正方体模型，问怎样设计才能保证正方体体积最大且不浪费材料？分析剪裁的长度应能被240和560同时整除，本题即为求240和560的最大公约数．解(560,240)→(320,240)→(80,240)→(80,160)→(80,80)，即240和560的最大公约数为80.故将正方体的棱长设计为80 cm时，体积最大且不浪费材料．例2有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g,343 g,133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，每瓶最多装多少克溶液？解每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数，先求147和343的最大公约数．(147,343)→(147,196)→(147,49)→(98,49)→(49,49)∴147和343的最大公约数为49.同理可求得49与133的最大公约数为7.所以每瓶最多装7克.1．(泰安模拟)用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1，当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别为()A．6,6 B．5,6C．5,5 D．6,5答案 A2．(烟台模拟)三个数390,455,546的最大公约数是()A．65 B．91 C．26 D．13答案 D。
中国古代数学中的算法案例一、求两个正整数最大公约数的算法（更相减损之术,等值算法） 任意给定两个正整数，用两数中较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数组成新的一对数，对这一对数再用大数减小数，继续这个操作，直到产生一对相等的数，这个数（相等数）就是所求的最大公约数。
更相减损之术,等值算法的程序a=input("please give the first number");b=input("please give the second number"); while a<>bif a>ba=a-b;elseb=b-a;endendprint(%io(2),a,b)二、秦九韶算法秦九韶算法是关于求高次多项式的函数值的一个算法。
一元n 次多项式函数01222211)(a x a x a x a x a x a x P n n n n n n ++++++=----1、 递推公式⎩⎨⎧+==--kn k k n a x V V a V 10，其中n k ,,2,1 = 2、 计算)(0x P 的方法先计算最内层的括号，然后由内向外逐层计算，直到最外层括号，然后加上常数项。
巩固练习1、（2015全国II理科）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更a（ B ）相减损术”. 执行该程序框图，若输入的ba,分别为14,18，则输出的（A）0 （B）2 （C）4 （D）143、78和36的最大公约数是__6__________4、用秦九韶算法求多项式1510105)(2345+++++=x x x x x x f 当2-=x 时的值。
5、用秦九韶算法求多项式763452)(2345+-+--=x x x x x x f 当5=x 时的值。
6、用秦九韶算法求多项式543200833.004167.016667.0051)(x x x x x x f +++++=当2.0-=x 时的值。
《中国古代数学中的算法案例》教案教学目标1.理解更相减损术、割圆术以及秦九韶算法中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析.2.基本能根据算法语句与Scilab并写出算法程序.3.在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，以及理解割圆术与秦九韶算法的原理与应用.教学重难点重点：更相减损术求最大公约数的方法，割圆术的理解，秦九韶算法的运用.难点：割圆术的理解，秦九韶算法的算法理解与运用.教学设计在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数.1.更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术.更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.例1用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝3563－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 98与63的最大公约数是7.练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数.（答案：12）2.割圆术我国魏晋时期的数学家刘徽，他在注《九章算术》中采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率π，用刘徽自己的原话就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”他的思想后来又得到祖冲之的推进和发展，计算出圆周率的近似值在世界上很长时间里处于领先地位.刘徽从圆内正接六边形开始，让边数逐渐加倍，逐个算出这些圆内正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值.第一，从半径为1的圆内接正六边形开始，计算它的面积S 6；第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形，正二十四边形，正四十八边形，…的面积，到一定的边数（设为2m ）为止，得到一列递增的数，S 6，S 12，S 24，S 48，…，S 2m .第三，S 2m 近似等于圆面积.下面的关键是找出正n 边形的面积与正2n 边形的面积之间的关系，以便递推. 设圆的半径为1，正n 边形的边长AB 为xn ，弦心距OG 为h n ；面积为S n ，根据勾股定理，得：容易知道x 6=1,正2n 边形的面积等于正n 边形的面积加上n 个等腰三角形的面积，即正2n 边形的边长为于是由66S =⨯求得S 12=3；S 24≈3.105828；……例2 用Scilab 表示圆内正六边形求π的不足近似值.3.秦九韶算法我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数.根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算.我们把多项式变形为：1)))1(1(1()(2+++++=x x x x x x f 再统计一下计算当5=x 时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果.显然少了6次乘法运算.这种算法就叫秦九韶算法.1.秦九韶计算多项式的方法2(6)n n h x n ==≥21...(1)2n n n n S S n x h =+-2n x =1210123120132211012211)))((())(()()(a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++==+++++=+++++=+++++=--------------例3已知一个5次多项式为8.07.16.25.325)(2345-+-++=x x x x x x f 用秦九韶算法求这个多项式当5=x 时的值.练习设计利用秦九韶算法计算5次多项式 0122334455)(a x a x a x a x a x a x f +++++=当0x x =时的值的程序框图. 课程小结1、熟悉更相减损术、割圆术以及秦九韶算法的原理.2、能熟练运用它们的原理进行一些运算.。
1．3中国古代数学中的算法案例一、教学目标：1、了解中国古代数学中求两个正整数的最大公约数的算法、割圆术算法及秦九韶算法2、通过对三种算法的学习，更好的理解将要解决的问题算法化的思维方式，并注意理解推导割圆术的操作步骤二、教学重点和难点：教学重点：了解“更相减损术”、“割圆术”算法及秦九韶算法教学难点:体会算法案例中蕴含的算法思想，利用它解决具体问题三、教学方法和手段：教师指导学生学习，以学生自学为主四、教学过程：1、引导学生对学过的知识进行回顾，使学生理清知识网络，并指明中国古代数学的发展“寓理于算”，不同于西方数学，有自己的鲜明特色2、求两个正整数的最大公约数的算法——辗转相除法，更相减损之术（等值算法）例1求78和36的最大公约数法一辗转相除法步骤：计算出78÷36的余数为6，再将前面的余数36作为新的被除数，36÷6=6余数为0，则此时除数6即为78和36的最大公约数理论依据：a=nb+r→r=a-nb，得a、b与b、r有相同的公约数即（78，36）→（6，36），36能被6整除，余数为0。
法二更相减损之术（等值算法）指导学生阅读书p27-28页，总结步骤，归纳出算法：S1输入两个正整数a、b（a）b）；S2如果a≠b，执行S3，否则执行S5；S3将a-b赋予r；S4若b〉r，则把b赋予a，把r赋予b，否则把r赋予a，重新执行S2；S5输出最大公约数b。
程序：a=input（“a=”）；b=input（“b=”）；while a<>bif a>b；a=a-b；elseb=b-a；endendprint（%io（2），a，b）总结：辗转相除法步骤较少；更相减损之术（等值算法）虽然有些步骤较长，但运算简单，易懂。
练习：用等值算法求下列两数的最大公约数，并用辗转相除法验证3、割圆术——估计圆周率的近似值阅读书p28-29页步骤：第一，从半径为l的圆内接正六边形开始，计算它的面积S6；第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形，正二十四边形，正四十八边形。
《中国古代数学中的算法案例》教案课后任务：【百度百科】九章算术【百度百科】刘徽【百度百科】辗转相除法（增加知识容量）二、割圆术我国魏晋时期的数学家刘徽，他在注《九章算术》中采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率π，用刘徽自己的原话就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。
”他的思想后来又得到祖冲之的推进和发展，计算出圆周率的近似值在世界上很长时间里处于领先地位。
刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步地逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值。
可以想象在当时需要付出多么艰辛的劳动，现在让我们用刘徽的思想，使用计算机求圆周率的近似值，计算机最大的特点是运算速度快，只要我们将运算规律告诉计算机，计算机会迅速得到所求的答案。
我们先对单位圆内接正六边形、正十二边形、正二十四边形……的面积之间的关系进行分析，找出它们之间的递增规律。
【百度图片】刘徽割圆的弧田图如上图所示，假设圆的半径为1，面积为S，圆内接正n边形面积为nS，边长为nx，边心距为nh，根据勾股定理，221⎪⎭⎫⎝⎛-=nnxh。
正2n边形的面积为正n边形的面积nS再加上n个等腰三角形的面积和，即()nnnnhxnSS-⋅⋅+=1212①正2n边形的边长为()22212nnnhxx-+⎪⎭⎫⎝⎛=。
刘徽割圆术还注意到，如果在内接n边形的每一边上，做一高为CD的矩形，就可得到()nnnnSSSSS-+<<222。
