高中数学 1.3中国古代数学中的算法案例 新人教B版必修3

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作1.3中国古代算法案例 【目标要求】1.知道几个中国古代数学中的算法案例.2.通过模仿、操作、探索,经历设计算法、设计框图,编写程序以解决具体问题的过程,发展应用算法的能力.3.感受并认识现代信息技术在解决数学问题中的重要作用和威力,形成自觉将数学理论和现代信息技术结合的思想.【巩固教材——稳扎马步】1．我国古代数学发展一直处于世界领先水平，特别是宋、元时期的“算法”，其中可以同欧几里德辗转相除法相媲美的是 ( ) A ．割圆术B ． 更相减损术C ． 秦九韶算法D ． 孙子乘余定理2.利用“更相减损术”求78和36的最大公约数时,第三步操作的结果是 ( ) A. (6,36 ) B. (6,24 ) C. (42,6 ) D. (6,30 )3. 用秦九韶算法计算多项式1876543)(23456++++++=x x x x x x x f 当4.0=x 时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是 ( ) A. 6 , 6 B. 5 , 6 C. 5 , 5 D. 6 , 54.用秦九韶算法计算多项式654323567983512)(x x x x x x x f ++++-+=, 在4-=x 时的值时,3V 的值为 ( )A. －845B. 220C. －57D. 34 【重难突破——重拳出击】5. 一个三位数的十位和个位上的数字互换,得到一个新的三位数,新、旧两个三位数都能被4整除.设计一个算法,求满足条件的三位数的个数,并用Scilab 程序指令写出其算法程序.6.李明今年大学毕业,在人才市场.同时有三家公司愿意聘用他,三家公司给予有待遇如下:甲公司年薪3万元, 1年后每年奖金2000元;乙公司半年薪金1.5万元,半年后每半年奖金1200元;丙公司月薪2000元,1 年后每月在上月基础上加薪100元.合同可签三年或五年.请你设计一个算法,帮助李明进行选择.7. 一辆邮车依次前往城市Ａ１，Ａ２，Ａ３，…A m （,2m N m *∈≥），每到一个城市先卸下前面各城市发往该城市的邮袋1个，然后再装上该城市发往后面各城市的邮袋各1个， 设a ｎ是邮车从第ｎ个（1≤n ＜m ，n ∈N * ）城市出发时邮车上邮袋的个数，设计一个算法，对任给两个正数ｍ＞ｎ，求a ..【巩固提高——登峰揽月】8.（李白买酒)“无事街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒”．设计求酒壶中原有多少酒的一个算法并写出其程序．9. 一个三位数,如果每一位数字的立方和等于它本身,则称之为“水仙花数”．设计一个算法，找出所有的水仙花数．【课外拓展——超越自我】10.一个三角形内有三个点时,与三个顶点相连,可得三个小三角形, 若再多增加一个点时,小三角形的内数则可以增加两个, 设三角形内有n 个点,可将三角形最多分成n j 个小三角形, 则可以证明12n n j j +=+, 写出就用此关系式求2005j 的程序.11.意大利数学家菲波拉契,在1202年出版的一书里提出了这样的一个问题:一对兔子饲养到第二个月进入成年,第三个月生一对小兔,以后每个月生一对小兔,所生小兔能全部存活并且也是第二个月成年,第三个月生一对小兔,以后每月生一对小兔.问这样下去到年底应有多少对兔子? 试画出解决此问题的程序框图,并编写相应的程序.I=0For n=100:4:999x =int(n/100)y =int(n-100x)/10z =n-100x-10yif int((100x+10z+y)/4=100x+10z+y)/4 thenI=I+1End ifEnd forPrint n第5题图Input nK=0A=3n+0.2(n-1)B=3n+0.24(n-1/2)For I=1:1:12(n-1)k =k-0.01*II =I+1Nent IEnd ForC=2.4n+kEnd ForM=Max(a,b,c)If M=a thenPrint 选择甲公司Else if M=bIf thenPrint 选择乙公司ElsePrint 选择丙公司End if第6题图S=0For i=1:1:3S=(S+1)/2 EndPrint S第8题图For n=100:1:999x=int(n*100)y= int(n-100*x)/10z=n-100*x-10*yIf n=x3+y3+z3 then pint nend ifnext nend for第9题图Read m,nIf m≤n then Print “错误！ｍ必须大于ｎ”ElseS=0For I from 1 to nS=S+(m- I)-(I-1) Next IEnd ForEnd IfPrint S第7题图j=3for n=1:1:2005 j=j+2 ; endj第10题图1.3中国古代算法案例1.B2. D3.A4. C5. 6.7.解析:到达第n个城市时,邮袋个数为前一个城市的邮袋个数减去前面城市发往该市的n-1个邮袋，再加上发往后面各城市的（m-n）个邮袋，可用循环计算I从1至ｎ时，aｎ的变化.11.分析: 根据题意可知,第一个月有1对小兔,第二个月有1对成年兔子,第三个月有两对兔子,从第三个月开始,每个月的兔子对数是前面两个月兔子对数的和,设第N个月有两F对兔子,第N－1个月有S对兔子,第N－2个月有Q对兔子,则有F=S+Q,一个月后,即第N+1个月时,式中变量S的新值应变第N个月兔子的对数(F的旧值),变量Q的新值应变为第N－1个月兔子的对数(S 的旧值),这样,用S+Q 求出变量F 的新值就是N+1个月兔子的数,依此类推,可以得到一个数序列,数序列的第12项就是年底应有兔子对数,我们可以先确定前两个月的兔子对数均为1,以此为基准,构造一个循环程序,让表示“第×个月的I 从3逐次开始输出F结束I =I +1 Q =S S =F F =S +QI ≤12I =3S =1 Q =1NY 第11题图S=1 Q=1 I =3WHILE I <=12 F=S+Q Q=S S=F I =I +1 WEND PRINT F END第11题图。

(必修三)13中国古代数学中的算法案例(一)(人教B版) 1.3中国古代数学中的算法案例(一)1.求两个正整数最大公约数的算法辗转相除法求两个数的最大公约数，其基本步骤是带余除法m=nq+r(0≤r<n),反复执行，直到余数r=0为止.求任意两个数的最大公约数的算法是第一步：输入两个正整数a,b(a>b);第二步：求出a÷b的余数r;第三步：令a=b,b=r,若r≠0,重复第二步；第四步：输出最大公约数a.举例说明.m=90,n=36,m=2n+18,r=18.令m=36,n=18.又有36=18某2,即m=2n,此时r=0.令m=18,n=0.故最大公约数为18.开始算理：记为a;a=b某t+c;若c≠0,记a=b,b=c,返回第2步进行循环；若c=0,输出b.输入a,b先找到a,b中较大的，=aModbcc=amodbb=ca=bc≠0N输出b结束Ya=input(“a=”);b=input(“b=”);c=mod(a,b);whilec<>0a=b;b=c;c=mod(a,b);endb更相减损术例如，求78和36的最大公约数：以两数中较大的数减去较小的数，即78-36=42;以差数42和较小的数36构成新的一对数；对这一对数再用大数减去小数，即42-36=6,再以差数6和较小的数36构成新的一对数；对这一对数再用大数减去小数，即36-6=30,再构成新的一对数；继续这一过程,直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数.操作如下：(78,36)→(42,36)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18)→(6,12)→(6,6).理论依据：由a-b=r→a=b+r,得(a,b)与(b,r)有相同的公约数.算法如下：S1输入两个正数a,b(a>b);S2如果a≠b,则执行S3,否则转到S5;S3将a-b的值赋予r;S4若b>r,则把b赋予a,把r赋予b,否则把r赋予a,重新执行S2;S5输出最大公约数开始输入a,ba=a-bYa≠bN输出bYa>bb=b-aN结束程序：a=input(“a=”);b=input(“b=”);whilea<>bifa>=ba=a-b;eleb=b-a;endendprint(%io(2),b,“两数的最大公约数例2:用辗转相除法验证上例中两数的最大公约数是否正确。

人教版高中必修3(B版)1.3 中国古代数学中的算法案例课程设计课程简介本课程将介绍中国古代数学中的算法案例，包括“过鸡抵毁”、“商功开方”、“勾股定理”等，旨在通过了解这些古代算法的实际运用，提高学生的数学思维和解决问题的能力。

课时安排本课程设计共设置4个课时，每个课时约45分钟。

课时主题内容第一课时介绍介绍中国古代数学中的算法案例第二课时过鸡抵毁讲解过鸡抵毁算法及其应用第三课时商功开方讲解商功开方算法及其应用第四课时勾股定理讲解勾股定理及其应用课程内容第一课时：介绍在第一课时中，将向学生介绍中国古代数学中的算法案例，包括各算法的基本概念、历史渊源以及现实应用。

同时，也会引导学生认识到古代数学在如今应用的广泛性。

通过讲解，让学生建立对古代数学的基本认知和认识。

第二课时：过鸡抵毁第二课时主要讲解“过鸡抵毁”算法。

这是一种古代算法，其可以用来解决一些几何问题，例如“如何用一块固定面积的木板去切割另一块面积未知的木板，使得两块木板面积相等”。

在讲解的同时，需要与学生一起做一些实际操作，例如让学生进行拼图操作，以加深学生对算法的理解。

同时也要阐述“过鸡抵毁”算法在现实生活中的应用，例如灭蚊草的研发过程中应用了该算法。

第三课时：商功开方第三课时主要讲解“商功开方”算法。

该算法可用来求解二次方程的解。

讲解中需要引导学生深入理解算法原理，例如如何将二次方程转换成商功差式再求解。

同时需要和学生一起进行实际操作，例如用解二次方程，以加深学生对算法的理解。

在讲解过程中，也需要提及“商功开方”算法在现实生活中的应用，例如在导弹制导和卫星轨道计算中的应用。

第四课时：勾股定理第四课时主要讲解“勾股定理”。

在讲解中，需要引导学生对勾股定理的几何意义进行深入理解，例如如何用直角三角形三边长度来计算直角三角形的面积。

同时需要和学生一起进行实际操作，例如用勾股定理计算直角三角形的梯形面积，以加深学生对算法的理解。

在讲解过程中，还需要提及勾股定理在现实生活中的应用，例如在建筑工程、电路设计、地图测量等方面广泛应用。

§1.3中国古代数学中的算法案例自主学习学习目标通过三种算法案例：更相减损术、秦九韶算法、割圆术，进一步体会算法的思想，提高逻辑思维能力和算法设计水平．自学导引1．求两个正整数最大公约数的算法(1)更相减损之术(等值算法)用两个数中较大的数减去较小的数，再用____和____________构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生____________，这个数就是最大公约数．(2)用“等值算法”求最大公约数的程序2．割圆术割圆术就是用________________________________的算法来计算圆周率π的一种方法．3．秦九韶算法把n次多项式P(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写为P(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0令v k＝________________________________，则递推公式为其中k＝1,2，…，n.对点讲练知识点一更相减损术例1用更相减损术求下列两数的最大公约数．(1)261,319；(2)1 734,816.点评通过上例可以发现用更相减损术求最大公约数，运算简单，程序易编．变式迁移1用更相减损术求63和98的最大公约数．知识点二秦九韶算法例2已知多项式f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x－1，试求当x＝3时的值．点评利用秦九韶算法计算多项式的值关键是正确地将多项式改写，然后由内向外依次计算，由于下一次的计算用到上一次计算的结果，只有细心，认真，保证中间的结果正确才能保证计算准确．变式迁移2用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．1．更相减损术求两个数的最大公约数时，一定要弄清每一次减法中的被减数、减数，同时要掌握减法应在何种情况下停止运算，得出结果．2．秦九韶算法的特点是通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n 次多项式，只需做n 次乘法和n 次加法即可．3．割圆术以直代曲、无限趋近，主要利用了“内外去留”的思想.课时作业一、选择题1．自然数8 251和6 105的最大公约数为( )A ．37B ．23C ．47D ．1112．五次多项式f (x )＝4x 5＋3x 4＋2x 3－x 2－x －12，用秦九韶算法求f (－2)等于( ) A ．－1972 B.1972 C.1832 D ．－18323．下列哪组的最大公约数与1 855,1 120的公约数不同( )A ．1 120,735B ．385,350C ．385,735D ．1 855,3254．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x ＋3在x ＝2时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )A ．6,6B ．5,6C ．5,5D ．6,55．我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率π是( )A ．准确值B ．近似值C ．循环小数D ．有理数二、填空题6．228与1 995的最大公约数是________．7．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6，x ＝－4时，v 3的值为________．8．已知多项式P n (x )＝a 0x n ＋a 1x n －1＋…＋a n －1x ＋a n .如果在一种算法中，计算x k 0 (k ＝2,3,4，…，n )的值需要k －1次乘法，计算P 3(x 0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P n (x 0)的值共需要________次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P 0(x )＝a 0，P k ＋1(x )＝xP k (x )＋a k ＋1 (k ＝0,1,2，…，n －1)．利用该算法，计算P 3(x 0)的值共需要6次运算，计算P n (x 0)的值共需要________次运算．三、解答题9．求2 007与180的最大公约数．10．用秦九韶算法求多项式f (x )＝2x 4－2x 2－5x ＋10在x ＝10的值．§1.3 中国古代数学中的算法案例自学导引1．(1)差 较小的数 一对相等的数 (2)while a ＝a －b b ＝b －a end2．正多边形面积逐渐逼近圆面积3．(…(a n x ＋a n －1)x ＋…＋a n －(k －1))x ＋a n －k v 0＝a n v k ＝v k －1x ＋a n －k对点讲练例1 解 (1)(261,319)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29)， ∴319与261的最大公约数是29.(2)因为两数皆为偶数，首先除以2得到867,408，再求867与408的最大公约数． (867,408)→(459,408)→(51,408)→(51,357)→(51,306)→(51,255)→(51,204)→(51,153)→(51,102)→(51,51)，∴1 734与816的最大公约数是51×2＝102.变式迁移1 解 由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减． (63,98)→(63,35)→(28,35)→(28,7)→(21,7)→(14,7)→(7,7)，所以98和63的最大公约数是7.例2 解 根据秦九韶算法多项式可改写为f (x )＝((((2x －5)x －4)x ＋3)x －6)x －1，按照由内向外的顺序，依次计算为：v 0＝2，v 1＝2×3－5＝1，v 2＝1×3－4＝－1，v 3＝(－1)×3＋3＝0，v 4＝0×3－6＝－6，v 5＝(－6)×3－1＝－19.故当x ＝3时，多项式的值为－19.变式迁移2 解 f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ，所以v 0＝7；v 1＝7×3＋6＝27；v 2＝27×3＋5＝86；v 3＝86×3＋4＝262；v 4＝262×3＋3＝789；v 5＝789×3＋2＝2 369；v 6＝2 369×3＋1＝7 108；v 7＝7 108×3＝21 324，故x ＝3时，多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 的值为21 324.课时作业1．A [利用更相减损术可得它们的最大公约数为37.]2．A [∵f (x )＝((((4x ＋3)x ＋2)x －1)x －1)x －12， ∴f (－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－12＝－1972] 3．D [∵(1 855,1 120)→(735,1 120)→(735,385)→(350,385)→(350,35)，∴1 855与1 120的公约数是35，由以上计算过程可知选D.]4．C5．B6．57 7．－578.12n(n＋3)2n9．解 2 007－180＝1 827 1 827－180＝1 6471 647－180＝1 467 1 467－180＝1 2871 287－180＝1 107 1 107－180＝927927－180＝747 747－180＝567567－180＝387 387－180＝207207－180＝27 180－27＝153153－27＝126 126－27＝9999－27＝72 72－27＝4545－27＝18 27－18＝918－9＝9所以2 007与180的最大公约数为9.10．解把多项式改写成以下形式：f(x)＝2x4＋0·x3－2x2－5x＋10＝(((2x＋0)x－2)x－5)x＋10.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式在x＝10的值．a4＝2v0＝a4＝2a3＝0 v1＝v0x＋a3＝20a2＝－2 v2＝v1x＋a2＝198a1＝－5 v3＝v2x＋a1＝1 975a0＝10 v4＝v3x＋a0＝19 760故f(10)＝19 760.。

高中数学 1.3 中国古代数学中的算法案例教案新人教B版必修3整体设计教学分析在学生学习了算法的初步知识，理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力．三维目标1．理解算法案例的算法步骤和程序框图，进一步体会算法的思想．2．引导学生得出自己设计的算法程序，提高分析问题和解决问题的能力．重点难点教学重点：引导学生得出自己设计案例的算法步骤、程序框图和算法程序．教学难点：编写算法案例的程序．课时安排2课时教学过程第1课时求两个正整数最大公约数的算法导入新课思路1(情境导入)．大家喜欢打乒乓球吧，由于东、西方文化及身体条件的不同，西方人喜欢横握拍打球，东方人喜欢直握拍打球，对于同一个问题，东、西方人处理问题方式是有所不同的．在小学，我们学过求两个正整数的最大公约数的方法：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 当两个数公有的质因数较大时(如8 251与6 105)，使用上述方法求最大公约数就比较困难．教师点出课题．思路2(直接导入)．前面我们学习了算法步骤、程序框图和算法语句．今天我们将通过“更相减损之术”来进一步体会算法的思想．推进新课新知探究提出问题什么叫约数？什么叫最大公约数？阅读教材写出更相减损之术的算法步骤和程序.讨论结果：(1)如果整数a能被整数b整除，则b称为a的一个约数．(2)两个整数m与n的公约数中的最大值称为m与n的最大公约数．(3)求两个整数a与b的最大公约数，“更相减损之术”的算法步骤：对于给定的两个数，以两数中较大数减去较小的数，然后将差和较小数构成一对新数，再用较大数减去较小的数，反复执行此步骤，直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原两数的最大公约数．程序如下：a＝；b＝；while a<>bif a>ba＝a－b；elseb＝b－a；endend，a，；应用示例思路1例求78和36的最大公约数．分析：用(a，b)形写出求解过程．解：(78,36)→(42,36)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18)→(6,12)→(6,6)．即78和36的最大公约数是6.点评：这种算法，只做简单的减法，操作方便、易懂，也完全符合算法的要求，它完全思路2求294与84的最大公约数．分析：由于这两个数都是偶数，同除以2后再用“更相减损之术”．解：∵294÷2＝147,84÷2＝42，∴取147与42的最大公约数后再乘2.(147,42)→(105,42)→(63,42)→(21,42)→(21,21)．∴294与84的最大公约数为21×2＝42.知能训练求1 734与816的最大公约数．解：1 734÷2＝867,816÷2＝408，(867,408)→(459,408)→(51,408)→(51,357)→(51,306)→(51,255)→(51,204)→(51 ,153)→(51,102)→(51,51)．∴1 734与816的最大公约数是51×2＝102.拓展提升求319,377,116的最大公约数．分析：先求319与377的最大公约数m，再求m与116的最大公约数n，则n为所求．解：(319,377)→(319,58)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29)，∴319与377的最大公约数是29.(116,29)→(87,29)→(58,29)→(29,29)，∴116与29的最大公约数为29.∴319,377,116的最大公约数为29.课堂小结本节学习了用“更相减损之术”求最大公约数．作业习题1—3A 1.设计感想数学不仅是一门科学，也是一种文化，本节从知识方面学习求两个正整数的最大公约数，从思想方法方面，主要学习递归思想．本节设置精彩例题，不仅让学生学到知识，而且让学生进一步体会算法的思想，培养学生的爱国主义情操．备课资料求最大公约数的方法：辗转相除法．就是对于给定两数，用较大数除以较小数，若余数不为空，则将余数和较小数构成一对新数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小数是原来两个数的最大公约数．算法步骤(以求两个正整数a、b的最大公约数为例)：S1 输入两个正整数a，b(a>b)；S2 把a÷b的余数赋值给r；S3 如果r≠0，那么把b赋给a，把r赋给b，转到S2；否则转到S4；S4 输出最大公约数b.第2课时割圆术与秦九韶算术导入新课思路1(情境导入)．大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口地吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口地吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样. 怎样求多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1当x＝5时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习割圆术和秦九韶算法．思路2(直接导入)．前面我们学习了更相减损之术，今天我们开始学习割圆术和秦九韶算法．推进新课新知探究提出问题阅读教材，说说割圆术的过程.讨论结果：我们先对单位圆内接正六边形、正十二边形、正二十四边形……的面积之间的关系进行分析，找出它们之间的递增规律．如下图所示，假设圆的半径为1，面积为S，圆内接正n边形面积为S n，边长为x n，边心距为h n.根据勾股定理，h n＝1－x n22.正2n 边形的面积为正n 边形的面积S n 再加上n 个等腰三角形(ADB)的面积和，即S 2n ＝S n ＋n·12·x n (1－h n )．① 正2n 边形的边长为x 2n ＝x n 22＋－h n 2.刘徽割圆术还注意到，如果在内接n 边形的每一边上，作一高为CD 的矩形，就可得到 S 2n <S<S 2n ＋(S 2n －S n )．②这样，我们就不仅可计算出圆周率的不足近似值，还可计算出圆周率的过剩近似值． 从正六边形的面积开始计算，即n ＝6，则正六边形的面积S 6＝6×34.用上面的公式①重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形……的面积．因为圆的半径为1，所以随着n 的增大，S 2n 的值不断趋近于圆周率，这样不断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率近似值．下面我们根据刘徽割圆术的算法思想，用Scilab 语言写出求π的不足近似值的程序：n ＝6；x ＝1；s ＝6 * sqrt(3)/4；for i ＝1：1：5①h ＝sqrt(1－(x/2)^2)；s ＝s ＋n *x * (1－h)/2；n ＝2 *n ；x ＝sqrt(x/2)^2＋(1－h)^2)；endprint(%io(2)，n ，s)；注：①此处i 的终值为5.当i 的终值为1,2，…时，程序分别算出正十二边形、正二十四边形……的面积．运行程序，当边数为192时，就可以得到刘徽求得的圆周率的近似值3.14，当边数为 24 576 时，就得到了祖冲之计算的结果 3.141 592 6.由于是用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总是小于π的实际值．作为练习，请同学编出程序求S 2n ＋(S 2n －S n )(n ＝6,12，…)作为π的过剩近似值．提出问题错误!讨论结果：(1)怎样求多项式f(x)＝x 5＋x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1当x ＝5时的值呢？一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1＋2＋3＋4＝10次乘法运算，5次加法运算．另一种做法是先计算x 2的值，然后依次计算x 2·x，(x 2·x)·x，((x 2·x)·x)·x 的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算．第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果．(2)上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202～1261)在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法：把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…v n＝v n－1x＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．上述方法称为秦九韶算法．直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法．(3)计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数．如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法．应用示例思路1例用秦九韶方法求多项式f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.166 67x3＋0.041 67x4＋0.008 33x5在x＝－0.2时的值．解：x＝－0.2，a5＝0.008 33 v0＝a5＝0.008 33a4＝0.041 67 v1＝v0x＋a4＝0.04a3＝0.166 67 v2＝v1x＋a3＝0.158 67a2＝0.5 v3＝v2x＋a2＝0.468 27a1＝1 v4＝v3x＋a1＝0.906 35a0＝1 v5＝v4x＋a0＝0.818 73所以 f(－0.2)＝0.818 73.点评：秦九韶用上述多项式求值的算法，并通过减根变换，给出了求高次代数方程根的完整算法．这一成就要比西方同样的算法早五六百年．这样的算法很容易在计算器或计算机上实现．思路2已知一个5次多项式为f(x)＝5x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值．解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝((((5x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝5时的值：v 0＝5；v 1＝5×5＋2＝27；v 2＝27×5＋3.5＝138.5；v 3＝138.5×5－2.6＝689.9；v 4＝689.9×5＋1.7＝3 451.2；v 5＝3 415.2×5－0.8＝17 255.2；所以，当x ＝5时，多项式的值等于17 255.2.点评：观察上述秦九韶算法中的n 个一次式，可见v k 的计算要用到v k －1的值，若令v 0＝a n ，我们可以得到下面的公式：⎩⎪⎨⎪⎧ v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k ＝1，2，…，这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现．算法步骤如下：S1 输入多项式次数n 、最高次的系数a n 和x 的值；S2 将v 的值初始化为a n ，将i 的值初始化为n －1；S3 输入i 次项的系数a i ；S4 v ＝vx ＋a i ，i ＝i －1；S5 判断i 是否大于或等于0.若是，则返回S3；否则，输出多项式的值v. 乘法运算的次数最多可到达＋，加法最多n 次．秦九韶算法通过转化把乘法运算的知能训练当x ＝2时，用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x 5＋8x 4－3x 3＋5x 2＋12x －6的值．解法一：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝((((3x ＋8)x －3)x ＋5)x ＋12)x －6.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x ＝2时的值．v 0＝3；v 1＝v 0×2＋8＝3×2＋8＝14；v 2＝v 1×2－3＝14×2－3＝25；v 3＝v 2×2＋5＝25×2＋5＝55；v 4＝v 3×2＋12＝55×2＋12＝122；v 5＝v 4×2－6＝122×2－6＝238.∴当x ＝2时，多项式的值为238.解法二：f(x)＝((((3x ＋8)x －3)x ＋5)x ＋12)x －6，则f(2)＝((((3×2＋8)×2－3)×2＋5)×2＋12)×2－6＝238.拓展提升用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．解：f(x)＝((((((7x＋6)＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)xv0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2 369；v6＝2 369×3＋1＝7 108；v7＝7 108×3＋0＝21 324.∴f(3)＝21 324.课堂小结本节学习了割圆术和秦九韶算法．作业习题1—3A 4.设计感想古老的算法散发浓郁的现代气息，这是一节充满智慧的课．本节主要介绍了秦九韶算法．通过对秦九韶算法的学习，对算法本身有哪些进一步的认识？教师引导学生思考、讨论、概括，小结时要关注如下几点：(1)算法具有通用的特点，可以解决一类问题；(2)解决同一类问题，可以有不同的算法，但计算的效率是不同的，应该选择高效的算法；(3)算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法等等．备课资料进位制进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定满二进一，就是二进制，约定满十进一，就是十进制．即满几进一就是几进制．一般来说，以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：a n a n－1…a1a0(k)(0<a n<k)，0≤a i＜k(i＝0,1，…，n－1)．将k进制数用十进制表示，应等于：a n a n－1…a1a0(k)＝a n×k n＋a n－1×k n－1＋…＋a1×k1＋a0×k0.将十进制数用k进制表示，可以采用除k取余法．。

1.3中国古代算法案例 【目标要求】1.知道几个中国古代数学中的算法案例.2.通过模仿、操作、探索,经历设计算法、设计框图,编写程序以解决具体问题的过程,发展应用算法的能力.3.感受并认识现代信息技术在解决数学问题中的重要作用和威力,形成自觉将数学理论和现代信息技术结合的思想.【巩固教材——稳扎马步】1．我国古代数学发展一直处于世界领先水平，特别是宋、元时期的“算法”，其中可以同欧几里德辗转相除法相媲美的是 ( ) A ．割圆术B ． 更相减损术C ． 秦九韶算法D ． 孙子乘余定理2.利用“更相减损术”求78和36的最大公约数时,第三步操作的结果是 ( ) A. (6,36 ) B. (6,24 ) C. (42,6 ) D. (6,30 )3. 用秦九韶算法计算多项式1876543)(23456++++++=x x x x x x x f 当4.0=x 时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是 ( ) A. 6 , 6 B. 5 , 6 C. 5 , 5 D. 6 , 54.用秦九韶算法计算多项式654323567983512)(x x x x x x x f ++++-+=, 在4-=x 时的值时,3V 的值为 ( )A. －845B. 220C. －57D. 34 【重难突破——重拳出击】5. 一个三位数的十位和个位上的数字互换,得到一个新的三位数,新、旧两个三位数都能被4整除.设计一个算法,求满足条件的三位数的个数,并用Scilab 程序指令写出其算法程序.6.李明今年大学毕业,在人才市场.同时有三家公司愿意聘用他,三家公司给予有待遇如下:甲公司年薪3万元, 1年后每年奖金2000元;乙公司半年薪金1.5万元,半年后每半年奖金1200元;丙公司月薪2000元,1 年后每月在上月基础上加薪100元.合同可签三年或五年.请你设计一个算法,帮助李明进行选择.7. 一辆邮车依次前往城市Ａ１，Ａ２，Ａ３，…A m （,2m N m *∈≥），每到一个城市先卸下前面各城市发往该城市的邮袋1个，然后再装上该城市发往后面各城市的邮袋各1个， 设a ｎ是邮车从第ｎ个（1≤n ＜m ，n ∈N * ）城市出发时邮车上邮袋的个数，设计一个算法，对任给两个正数ｍ＞ｎ，求a ..【巩固提高——登峰揽月】8.（李白买酒)“无事街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒”．设计求酒壶中原有多少酒的一个算法并写出其程序．9. 一个三位数,如果每一位数字的立方和等于它本身,则称之为“水仙花数”．设计一个算法，找出所有的水仙花数．【课外拓展——超越自我】10.一个三角形内有三个点时,与三个顶点相连,可得三个小三角形, 若再多增加一个点时,小三角形的内数则可以增加两个, 设三角形内有n 个点,可将三角形最多分成n j 个小三角形, 则可以证明12n n j j +=+, 写出就用此关系式求2005j 的程序.11.意大利数学家菲波拉契,在1202年出版的一书里提出了这样的一个问题:一对兔子饲养到第二个月进入成年,第三个月生一对小兔,以后每个月生一对小兔,所生小兔能全部存活并且也是第二个月成年,第三个月生一对小兔,以后每月生一对小兔.问这样下去到年底应有多少对兔子? 试画出解决此问题的程序框图,并编写相应的程序.I=0For n=100:4:999x =int(n/100)y =int(n-100x)/10z =n-100x-10yif int((100x+10z+y)/4=100x+10z+y)/4 thenI=I+1End ifEnd forPrint n第5题图Input nK=0A=3n+0.2(n-1)B=3n+0.24(n-1/2)For I=1:1:12(n-1)k =k-0.01*II =I+1Nent IEnd ForC=2.4n+kEnd ForM=Max(a,b,c)If M=a thenPrint 选择甲公司Else if M=bIf thenPrint 选择乙公司ElsePrint 选择丙公司End if第6题图S=0For i=1:1:3S=(S+1)/2 EndPrint S第8题图For n=100:1:999x=int(n*100)y= int(n-100*x)/10z=n-100*x-10*yIf n=x3+y3+z3 then pint nend ifnext nend for第9题图Read m,nIf m≤n then Print “错误！ｍ必须大于ｎ”ElseS=0For I from 1 to nS=S+(m- I)-(I-1) Next IEnd ForEnd IfPrint S第7题图j=3for n=1:1:2005 j=j+2 ; endj第10题图1.3中国古代算法案例1.B2. D3.A4. C5. 6.7.解析:到达第n个城市时,邮袋个数为前一个城市的邮袋个数减去前面城市发往该市的n-1个邮袋，再加上发往后面各城市的（m-n）个邮袋，可用循环计算I从1至ｎ时，aｎ的变化.11.分析: 根据题意可知,第一个月有1对小兔,第二个月有1对成年兔子,第三个月有两对兔子,从第三个月开始,每个月的兔子对数是前面两个月兔子对数的和,设第N个月有两F对兔子,第N－1个月有S对兔子,第N－2个月有Q对兔子,则有F=S+Q,一个月后,即第N+1个月时,式中变量S的新值应变第N个月兔子的对数(F的旧值),变量Q的新值应变为第N－1个月兔子的对数(S 的旧值),这样,用S+Q 求出变量F 的新值就是N+1个月兔子的数,依此类推,可以得到一个数序列,数序列的第12项就是年底应有兔子对数,我们可以先确定前两个月的兔子对数均为1,以此为基准,构造一个循环程序,让表示“第×个月的I 从3逐次开始输出F结束I =I +1 Q =S S =F F =S +QI ≤12I =3S =1 Q =1NY 第11题图S=1 Q=1 I =3WHILE I <=12 F=S+Q Q=S S=F I =I +1 WEND PRINT F END第11题图。

《进位制》说课稿各位老师：大家好!我叫***，来自**。

我说课的题目是《进位制》，内容选自于新课程人教A版必修3第一章第三节，课时安排为一个课时。

下面我将从教材分析、教学目标分析、教学方法与手段分析、学法分析和教学过程分析等五大方面来阐述我对这节课的分析和设计：一、教材分析1．教材所处的地位和作用必修三模块所讲授的都是一些数学思想方面的问题，这对提高学生的数学素养很有帮助。

就单独的算法初步这一内容，则是为了提高学生有条理地处理和解决问题的能力，并能理解计算机的某些基本语言中的算法（数学）成分。

2 教学的重点和难点重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换难点：除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计二、教学目标分析1．知识与技能目标：了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。

2．过程与方法目标：学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律。

3．情感,态度和价值观目标领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系。

三、教学方法与手段分析1．教学方法：基于本节课内容的特点和学生认知的最近发展区，我以探究式互动教学法为主，范例教学为辅，利用课件、实物投影等媒体辅助教学。

2．教学手段：通过各种教学媒体（计算机）调动学生参与课堂教学的主动性与积极性。

四、学法分析在学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k去余法。

五、教学过程分析㈠问题引入提出问题：我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又又什么联系呢?（由此问题激起学生们对下面所要学习内容的兴趣，使教学能够进行得更加顺利）（二）导入新知1.介绍进位制2.例1 把二进制数110011(2)化为十进制数（二进制与十进制的转换）设计意图：由学生熟悉的十进制数出发，以二进制为例类比十进制数的表示法体会“二进制转十进制”的算法原理，为得到“k进制转十进制”的算法程序作铺垫；3.提出问题：如何得到十进制数12个位和十位上的数字？设计意图：引导他们得到“除10取余法”，并用除法算式表示，再通过类比修改算式得到“除2取余法”，进而推广得到“除K取余法”，从而解决十进制转化为k进制的问题，这样使学生从解决个别案例入手，进而获得解决一类问题的方法3.例2 把89化为二进制数.4. 例3利用除k取余法把89转换为5进制数设计意图：为了使学生的算法思想得到提升，进一步从理论上加以完善，我设计了此环节。