中国古代数学中的算法案例PPT参考
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人教B版高中数学必修三课件1.3中国古代中的算法案例
所以，84和72的最大公约数等于12。
2.用秦九韶方法求多项式
f(x)=1+x+0.5x2+0.16667x3+0.04167x4+0.00833x5
在x=－0.2时的值。
公式为
vk
v0 an vk1x ank
k=1,2,…,n
v0=a5
v1=v0x+a4 v2=v1x+a3 v3=v2x+a2
一般的解决方案
x=5;
F（5）=2*5^5–5*5^4–4*5^3+3*5^2–6*5+7;
上述算法一共做了解15次乘法运算，5次加法运算. 优点是简单，易懂; 缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且 计算效率不高。
有没有更高效的算法？
用提取公因式的方法多项式变形为
f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7 =x4(2x－5)－4x3+3x2－6x+7 =x3((2x－5)－4)+3x2－6x+7 ………… =((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7
这样多项式的每一含x的幂的项都是ak与xk 的乘积(k=1，2，…，n)，在计算ak·xk项时， 把xk的值保存在变量c中，求ak+1·xk+1项时， 只须计算ak+1·x·c，同时把x·c=xk+1的值存入 c中，继续下一项的运算。
逐项求和法所用的乘法的次数是2n－1,加
法是n次。
当n≥3时，
n 2n 1 n(n 1) 2
令vk=(…(anx+an－1)x+…+an－(k－1))x+an－k
2.用秦九韶方法求多项式
f(x)=1+x+0.5x2+0.16667x3+0.04167x4+0.00833x5
在x=－0.2时的值。
公式为
vk
v0 an vk1x ank
k=1,2,…,n
v0=a5
v1=v0x+a4 v2=v1x+a3 v3=v2x+a2
一般的解决方案
x=5;
F（5）=2*5^5–5*5^4–4*5^3+3*5^2–6*5+7;
上述算法一共做了解15次乘法运算，5次加法运算. 优点是简单，易懂; 缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且 计算效率不高。
有没有更高效的算法？
用提取公因式的方法多项式变形为
f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7 =x4(2x－5)－4x3+3x2－6x+7 =x3((2x－5)－4)+3x2－6x+7 ………… =((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7
这样多项式的每一含x的幂的项都是ak与xk 的乘积(k=1，2，…，n)，在计算ak·xk项时， 把xk的值保存在变量c中，求ak+1·xk+1项时， 只须计算ak+1·x·c，同时把x·c=xk+1的值存入 c中，继续下一项的运算。
逐项求和法所用的乘法的次数是2n－1,加
法是n次。
当n≥3时，
n 2n 1 n(n 1) 2
令vk=(…(anx+an－1)x+…+an－(k－1))x+an－k
数学必修Ⅲ人教新课标B版1-3中国古代数学中的算法案例课件(36张)
【解析】 (98,280)→(98,182)→(98,84)→(14,84)→(14,70)→(14,56) →(14,42)→(14,28)→(14,14)，∴最大公约数为14. 【答案】 14
教材整理2 割圆术 阅读教材P28～P29，完成下列问题. 用圆内接正多边形面积逐渐逼近 圆面积 的算法是计算圆周率的近似值.
[再练一题] 2.用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.166 67x3＋0.041 67x4＋0.008 33x5在x＝－0.2时的值.
【导学号：25440021】
【解】 x＝－0.2. a5＝0.008 33 v0＝a5＝0.008 33， a4＝0.041 67 v1＝v0x＋a4＝0.04， a3＝0.166 67 v2＝v1x＋a3＝0.158 67， a2＝0.5 v3＝v2x＋a2＝0.468 27， a1＝1 v4＝v3x＋a1＝0.906 35， a0＝1 v5＝v4x＋a0＝0.818 73， 所以f(－0.2)＝0.818 73.
[再练一题] 1.用“等值算法”(更相减损之术)求98与63的最大公约数. 【解】 操作如下： (98,63)→(35,63)→(28,35)→(7,28)→ (7,21)→(7,14)→(7,7)，所以98与63的最大公约数为7.
秦九韶算法的应用
时的值.
用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________
教材整理2 割圆术 阅读教材P28～P29，完成下列问题. 用圆内接正多边形面积逐渐逼近 圆面积 的算法是计算圆周率的近似值.
[再练一题] 2.用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.166 67x3＋0.041 67x4＋0.008 33x5在x＝－0.2时的值.
【导学号：25440021】
【解】 x＝－0.2. a5＝0.008 33 v0＝a5＝0.008 33， a4＝0.041 67 v1＝v0x＋a4＝0.04， a3＝0.166 67 v2＝v1x＋a3＝0.158 67， a2＝0.5 v3＝v2x＋a2＝0.468 27， a1＝1 v4＝v3x＋a1＝0.906 35， a0＝1 v5＝v4x＋a0＝0.818 73， 所以f(－0.2)＝0.818 73.
[再练一题] 1.用“等值算法”(更相减损之术)求98与63的最大公约数. 【解】 操作如下： (98,63)→(35,63)→(28,35)→(7,28)→ (7,21)→(7,14)→(7,7)，所以98与63的最大公约数为7.
秦九韶算法的应用
时的值.
用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________
《中国古代数学中的算法案例》课件2PPT教学课件
学们可以尝试着计算π的近似值.特别将不足近似
值和过剩近似值相结合,通过近似值的上下限
S2n<S<S2n+(S2n-Sn)(n=6,12,…).
2020/12/10
5
第一，从半径为1的圆内接正六边形开始， 计算它的面积S6；
第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数， 分别计算圆内接正十二边形，正二十四边形， 正四十八边形，…的面积，到一定的边数 （设为2m）为止，得到一列递增的数，
【分析】由于63不是偶数,把98和63以大数
减小数,并辗转相减.
【解析】98-63=35,63-35=28,35-28=7,
28-7=14,14-7=7，所以98和63的最大公约数为
7.
【评析】等值算法是当大数减去小数的差等
于小数时停止减法,较小的数就是所求的最大
公约数. 2020/12/10
9
例2、设计程序,求两正整数m,n的最小公倍数.
2020/12/10
4
所谓辗转相除法,就是对于给定的两个数,用较大 的数除以较小的数,若余数不为零,则将余数和较 小的数构成新的一对数,继续上面的除法,直到大 数被小数除尽,这时较小的数就是原来两个数的最 大公约数.
(2)割圆术
π是数学上最重要的常数之一,我国古代数学家在
割圆术上取得了巨大的成就.通过学习割圆术,同
v6=2 369×3+1=7 108,
v7=7 108×3=21 324,
∴f(3)=21 2020/12/10 324.
12
【评析】利用秦九韶算法计算多项式的 值关键是能正确地将所给多项式改写,然 后由内向外逐次计算,由于后项计算需用 到前项的结果,故应认真、细心,确保中间 结果的准确性.
秦九韶算法课堂教学PPT
秦九韶算法的数学证明
秦九韶算法的证明
秦九韶算法的正确性可以通过数 学证明来证实，证明的关键在于 利用多项式的递推关系和数学归
纳法。
递推关系的证明
证明秦九韶算法中的递推关系是正 确的，可以通过数学归纳法来证明。
算法复杂度的分析
秦九韶算法的时间复杂度为O(n)， 空间复杂度为O(1)，比直接法更高 效。
将多项式表示为 “v[0]+v[1]*x+v[2]*x^2+...+v[n]*x ^n”的形式，通过n次乘法和加法运 算得到多项式的值。
利用多项式的递推关系，通过迭代计 算多项式的值，可以减少计算量。
多项式系数与根的关系
多项式的根
多项式等于0的解称为多项式的根 。
系数与根的关系
多项式的系数与多项式的根之间 存在一定的关系，可以通过求解 方程组得到多项式的根。
详细描述
Java语言具有面向对象的特性，能够培养学生的面向对象编程思维。使用Java实 现秦九韶算法可以让学生体验到严谨的编程规范和代码组织方式，同时也能加深 对算法的理解和应用。
使用C实现秦九韶算法
总结词
底层操作，高效执行
详细描述
C语言具有底层操作的特性，能够让学生更加深入地了解计算机底层的工作原理。使用C实现秦九韶算法可以让学 生更加深入地理解算法的实现细节，同时也能提高他们的编程能力和执行效率。
03
秦九韶算法的编程实现
使用Python实现秦九韶算法
总结词
简洁明了，易于理解
详细描述
Python语言具有简洁的语法和易读性，适合初学者学习。使用Python实现秦九 韶算法可以让学生快速理解算法的基本思想，并通过简单的代码实现加深对算 法的理解。
课件5：1.3 中国古代数学中的算法案例
[再练一题]
3.用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时的值时，需要进行的乘法
运算和加法运算的次数分别为( )
A.4,2
B.5,3
C.5,2
D.6,2
【解析】 f(x)＝4x5－x2＋2＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，需 5 次乘法运算和 2 次加
法运算.
【答案】 C
当堂检测
[探究共研型] 探究点 秦九韶算法中的运算次数
探究1 怎样计算多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1当x＝5时的值呢？统计所 做的计算的种类及计算次数分别是什么？
【提示】 f(5)＝55＋54＋53＋52＋5＋1＝3 906.根据我们的计算统计可以得出 我们共需要 10 次乘法运算，5 次加法运算.
，
则递推公式为：vv0k＝＝vakn－，1x＋an－k， 其中 k＝1,2，…，n.
2.计算P(x0)的方法： 先计算 最内层的括号，然后 由内向外 逐层计算，直到 最外层的一个括号 ， 然后加上 常数项 .
自我检测
用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11当x＝x0时的值时，应把f(x)变形 为( )
故选 D. 【答案】 D
2.用更相减损之术求 294 和 84 的最大公约数时，需做减法的次数是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】∵(294,84)→(210,84)→(126,84)→(42,84)→(42,42)，∴需做 4 次减法.
【答案】 C
3.用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的
v4＝262×3＋3＝789； v5＝789×3＋2＝2 369； v6＝2 369×3＋1＝7 108； v7＝7 108×3＝21 324， 故 x＝3 时，多项式 f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x 的值为 21 324.
新人教B版必修三1.3《中国古代数学中的算法案例》ppt课件1
S=42,i=21
说明：“S=S+5” 的意思是将 S+5 后的值赋给 S
思考： “S=S+i ” 是什么意思？ “i=i+1”呢？
概念探究—实践
例1 如何画出1+2+3+……+100的框图？ 思考一：有没有改进措施？ 思考二：框图正确吗？如何改？
初始值 循环条件
累计变量
计数变量
循环体
概念形成—探索
S=1+2+3+……+100
n
…
S
…
nn==1n012301+2+11
输出S
结结束束
思考： （1）初值改为S=0，n=1；或者
S=1，n=2行吗？
（2） S=S+i，i=i+1分别有何作用？
曲径通幽
如果改为另一种结构如何修改？
开始
开始
初SS=始=00值,i,=i=11 i≤条1件00 否
是 累S计=变S+量i
人教出版社B版 必修三 算法初步
1.1.3 算法的基本逻辑结
构----循环结构
创设情境
问题1： 核裂变原理 如果轰击64次铀核，如何求释放出的总能量？
次数 铀核 11 2 21 3 22 4 23 …… 64 263
概念探究—温故
如何求1+2+4+……+263 的值？
思考：用我们已经学过的顺序结构和条件分支结构能
分析：
n an an+1 an+2
11
12
21
23
32 3 5
43 55
58 8 13
2= 1+1 3= 1+2 5= 2+3 8= 3+5 13=5+8
新人教B版必修三1.3《中国古代数学中的算法案例》ppt课件2
r=m MOD n m=n n=r
r=0?
否
是
6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148
333=148×2+37 148=37×4+0
思考：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？
(1)、算法步骤：
第一步：输入两个正整数m,n(m>n). 第二步：计算m除以n所得的余数r. 第三步：m=n,n=r. 第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；
第三步：把a-b的差赋予r;
第四步：如果b>r, 那么把b赋给a,把r赋给b;否 则把r赋给a，执行第二步；
第五步：输出最大公约数b.
(2)、程序框图
开始
输入a,b
a≠b?
否
是
r=a-b
否 a=r
r<b?
是
a=b
b=r
输出b 结束
(3)、程序
INPUT “a,b=“;a,b WHILE a<>b
r=a-b IF b>r THEN a=b b=r ELSE a=r END IF WEND PRINT b END
小结
比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除 法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数 上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字 大小区别较大时计算次数的区别较明显。
1、定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个
数，用较大的数除以较小的数。若余数不为 零，则将余数和较小的数构成新的一对数， 继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则 这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。
高中数学 1.3中国古代数学中的算法案例PPT 新人教B版必修3
思想方法技巧
方程思想
盈不足术是我国古代数学中的优秀算法《九章算 术》卷七——盈不足，有下列问题：
(1)今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人 数、物价各几何？
(2)今有人买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问 人数、物价各几何？
试编写程序解决上述问题．
[解析] 翻译为现代语言，即
• 又270＝81×3＋27,81＝27×3＋0，则324,243,270的最大公约数为27. • [点评] 求三个数的最大公约数，可先求两数的最大公约数a，然后求a
与第三个数的最大公约数b，则b为所求的三数的最大公约数．该题解法 可推广到求多个数的最大公约数．
• 求324,243和135的最大公约数．
课堂典例讲练
• 用更相减损术求两个正整数的最大公约数
求 80 和 36 的最大公约数．
• [解析] 80－36＝44， • 44－36＝8， • 36－8＝28， • 28－8＝20， • 20－8＝12， • 12－8＝4， • 8－4＝4. • ∴80和36的最大公约数是4.
• [点评] 当大数减小数的差等于小数时停止减法，较小的数就是两数的 最大公约数．
• [答案] C
• [解析] (88,24)→(64,24)→(40,24)→(24,16)→(16,8)→ (8,8)，故88与24 的最大公约数为8.
• 4．三个数72,120,168的最大公约数是________．
• [答案] 24
• [解析] (72,120,168)→(72,120,168－120)→(72,120,48)→ (72,120－ 72,48)→(72,48,48)→ (72－48,48,48)→ (24,48,48)→ (24,48－ 24,48)→(24,24,48)→(24,24,48－24)→(24,24,24)．
课件9：1.3 中国古代数学中的算法案例
本课结束
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知识点三 割圆术 割圆术求 π 的近似值的程序举例．
讲重点 割圆术程序的实际应用 此程序中 i 的终值为 5；当 i 的终值为 1,2，…时，程 序分别算出正十二边形、正二十四边形……的面积.
知识点四 秦九韶算法 秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶首先提出来的，它是求 多项式函数值的一种算法． (1)说明：求多项式 f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 的值时， 常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式求值 比较先进的算法，其实质是转化为求 n 个一次多项式的值， 共进行 n 次乘法运算和 n 次加法运算．
(3)程序框图如图所示．
【课堂探究】
类型一 求两个数的最大公约数 【例 1】 用两种方法求 1443 和 3640 的最大公约数．
解：方法 1：(辗转相除法) 3640＝1443×2＋754， 1443＝754×1＋689， 754＝689×1＋65， 689＝65×10＋39， 39＝26×1＋13， 26＝13×2， ∴最大公约数为 13.写到余数为零时．
变式训练 1 求 324,243,270 的最大公约数．
解：324－243＝81； 243－81＝162； 162－81＝81； 81－81＝0. 则 324 与 243 的最大公约数为 A＝81，
又 270－81＝189； 189－81＝108； 108－81＝27； 81－27＝54； 54－27＝27； 27－27＝0. 所以 324,243,270 的最大公约数为 27.
知识点二 辗转相除法(欧几里得算法) 辗转相除法的基本步骤是用较大的数(用 a 表示)除以较小的数 (用 b 来表示)，得到除式：a＝nb＋r(0≤r＜b)． 由于这是一个反复执行的步骤，且执行的次数由余数 r 是否等 于 0 决定，所以我们可以把它看作一个循环体，用循环结构就 可以来实现其算法.
中国古代数学中的算法案例34页PPT
中国古代数学中的算法案例
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —Fra bibliotek献 生谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
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授课：XXX
16
更相减损术和辗转相除法的主要区别在于:
前者所使用的运算是“减”，后者是“除”。从算法
思想上看，两者并没有本质上的区别，但是在计算过 程中，如果遇到一个数很大，另一个数比较小的情况 ，可能要进行很多次减法才能达到一次除法的效果，
所以辗转相除法更好一些。
2021/3/10
授课：XXX
25
2021/3/10
授课：XXX
26
秦九韶（1208年－1261年）
南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、
朱世杰并称宋元数学四大家。字道
古，汉族，自称鲁郡（今山东曲阜）
人，生于普州安岳（今属四川）。
精研星象、音律、算术、诗词、弓
剑、营造之学，历任琼州知府、司
农丞，后遭贬，卒于梅州任所，著
作《数书九章》，其中的大衍求一
2021/3/10
授课：XXX
13
如何使用
以求288和123的最大公约数为例，操作如下：
S1：288÷123=2……42 S2：123÷42=2……39 S3：42÷39=1……3 S4：39÷3=13
这是一个辗转相 处的过程……
∴ 3就是288和123的最大公约数。
2021/3/10
授课：XXX
2021/3/10
授课：XXX
6
如何使用
求98与63的最大公约数。 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并
辗转相减：
98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14
14-7=7
∴98和63的最大公约数等于7。
2021/3/10
授课：XXX
7
a b r a b r
S2nSnn1 2xn(1hn) (n6)
于是由 S 6 6
3 4
求得S12=3；
S24≈3.105828；……
2021/3/10
授课：XXX
23
2021/3/10
按照这样的思路， 刘徽把圆内接正多 边形的面积一直算 到了正3072边形， 并由此而求得了圆 周率 为3.14和 3.1416 这两个近似数值。 这个结果是当时世 界上圆周率计算的 最精确的数据。
中国古代数学中的算法案例
2021/3/10
授课：XXX
1
最大公约数
2021/3/10
授课：XXX
2
定义
如果有一个自然数a能被自然数b整除， 则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自 然数公有的约数，叫做这几个自然数的 公约数。公约数中最大的一个公约数， 称为这几个自然数的最大公约数。
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割圆术
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早在我国先秦时期，《墨经》上就已 经给出了圆的定义。我国古代数学经 典《九章算术》在第一章“方田”章 中写到“半周半径相乘得积步”，也 就是我们现在所熟悉的公式。
为了证明这个公式，我国魏晋时期数 学家刘徽写了一篇1800余字的注记， 这篇注记就是数学史上著名的“割圆 术”。
理论依据
a b r a b r
a,b
得 a , b 与 b , r 有相同的公约数
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算法表示
S1：输入两个正数a,b(a>b) ； S2：如果a≠b，则执行S3，否则转到S5； S3：将a-b的值赋予r； S4：若b>r，则把b赋予a，把r赋予b，否则把
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求得最大公约数的方法
• 辗转相除法 （欧几里得算法）
• 更相减损术 （出自《九章算术》）
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更相减损术
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简介
更相减损术是出自 《九章算术》的一 种求最大公约数的 算法，它原本是为 约分而设计的。
但它适用于任何需 要求最大公约数的 场合。
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刘徽形容他的“割圆术”
说：割之弥细，所失弥少， 割之又割，以至于不可割， 则与圆合体，而无所失矣。
简单来说所谓“割圆 术”，是用圆内接正多边 形的周长去无限逼近圆周 并以此求取圆周率的方法。
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计算方法
第一，从半径为1的圆内接正六边形开始，
边形的面积之间的关系，以便递推。
设圆的半径为1，正n边形
的边长AB为xn，弦心距OG
为hn；面积为Sn，根据勾股
定理，得：
hn
1
xn 2
2
,
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x2n
xn 2
2
1
hn
2
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(n 6)
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容易知道x6=1,
正2n边形的面积等于正n
边形的面积加上n个等腰三
角形的面积，即
else b=b－a；
end
end
p20r21/3i/1n0 t(%io(2), b, “两授数课：XX的X 最大公约数
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辗转相除法
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辗转相除法
辗转相除法最早出现 在欧几里得的几何原本 中（大约公元前300 年），所以它是现在仍 在使用的算法中最早出 现的。
欧几里得
计算它的面积S6；
第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数， 分别计算圆内接正十二边形，正二十四 边形，正四十八边形，…的面积，到一
定的边数（设为2m）为止，得到一列递
增的数，
S6，S12，S24，S48，…，S2n.
第三，S2n近似等于圆面积。
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下面的关键是找出正n边形的面积与正2n
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理论依据
a n b r r a nb 得 a , b 与 b , r 有相同的公约数
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第一步：输入两个 正整数a，b（a＞b）;
第二步：求出a÷b 的余数r；
第三步：令a=b， b=r，若r≠0，重复第二 步；
第四步：输出最大 公约数a.
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程序编写
n=6;
s=s+n*x*(1－h)/2;
x=1; s=6*sqrt(3)/4;
n=2*n; x=sqrt((x/2)^2+(1－
for i=1 : 1 : 5
h)^2);
h=sqrt(1－(x/2)^2); end
print(%io(2), n, s)
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r赋予a，重新执行S2； S5：输出最大公约数b.
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开始 输入a,b
a≠b N输出ba=来自－bb=b－aY
a> N
Y
b
结束
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程序：
a=input(“a=”)； b=input(“b=”)；
while a<>b
if a>=b a=a－b;