下载文档原格式
人教版高中必修3(B版)1.3 中国古代数学中的算法案例课程设计课程简介本课程将介绍中国古代数学中的算法案例，包括“过鸡抵毁”、“商功开方”、“勾股定理”等，旨在通过了解这些古代算法的实际运用，提高学生的数学思维和解决问题的能力。
课时安排本课程设计共设置4个课时，每个课时约45分钟。
课时主题内容第一课时介绍介绍中国古代数学中的算法案例第二课时过鸡抵毁讲解过鸡抵毁算法及其应用第三课时商功开方讲解商功开方算法及其应用第四课时勾股定理讲解勾股定理及其应用课程内容第一课时：介绍在第一课时中，将向学生介绍中国古代数学中的算法案例，包括各算法的基本概念、历史渊源以及现实应用。
同时，也会引导学生认识到古代数学在如今应用的广泛性。
通过讲解，让学生建立对古代数学的基本认知和认识。
第二课时：过鸡抵毁第二课时主要讲解“过鸡抵毁”算法。
这是一种古代算法，其可以用来解决一些几何问题，例如“如何用一块固定面积的木板去切割另一块面积未知的木板，使得两块木板面积相等”。
在讲解的同时，需要与学生一起做一些实际操作，例如让学生进行拼图操作，以加深学生对算法的理解。
同时也要阐述“过鸡抵毁”算法在现实生活中的应用，例如灭蚊草的研发过程中应用了该算法。
第三课时：商功开方第三课时主要讲解“商功开方”算法。
该算法可用来求解二次方程的解。
讲解中需要引导学生深入理解算法原理，例如如何将二次方程转换成商功差式再求解。
同时需要和学生一起进行实际操作，例如用解二次方程，以加深学生对算法的理解。
在讲解过程中，也需要提及“商功开方”算法在现实生活中的应用，例如在导弹制导和卫星轨道计算中的应用。
第四课时：勾股定理第四课时主要讲解“勾股定理”。
在讲解中，需要引导学生对勾股定理的几何意义进行深入理解，例如如何用直角三角形三边长度来计算直角三角形的面积。
同时需要和学生一起进行实际操作，例如用勾股定理计算直角三角形的梯形面积，以加深学生对算法的理解。
在讲解过程中，还需要提及勾股定理在现实生活中的应用，例如在建筑工程、电路设计、地图测量等方面广泛应用。
1.3 中国古代数学中的算法案例一、更相减损之术(等值算法)1．更相减损之术(等值算法)：用两数中较大的数减去较小的数，再用差数和较小数构成新的一对数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数．2．用“等值算法”求最大公约数的程序：二、割圆术用圆内接正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率的近似值．三、秦九韶算法1．把一元n 次多项式函数P (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0改写为P (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0＝(a n x n －1＋a n －1x n －2＋…＋a 1)x ＋a 0＝((a n x n －2＋a n －1x n －3＋…＋a 2)x ＋a 1)x ＋a 0＝(…((a n x ＋a n －1)x ＋a n －2)x ＋…＋a 1)x ＋a 0.令v k ＝(…(a n x ＋a n －1)x ＋…＋a n －(k －1))x ＋a n －k ，则递推公式为：⎩⎨⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k ，其中k ＝1,2，…，n . 2．计算P (x 0)的方法： 先计算最内层的括号，然后由内向外逐层计算，直到最外层的一个括号，然后加上常数项．1．我国古代数学发展一直处于世界领先水平，特别是宋、元时期的“算法”，其中可以同欧几里得辗转相除法相媲美的是( )A ．中国剩余定理B ．更相减损之术C ．割圆术D ．秦九韶算法 B [同欧几里得辗转相除法相媲美的是“更相减损之术”．]2．我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的计算方法来求圆周率π，其算法的特点为( )A ．运算速率快B ．能计算出π的精确值C ．内外夹逼D ．无限次地分割C [因为刘徽采用的是正多边形面积逐渐逼近圆面积的方法，所以其特点关键是“内外夹逼”．]3．秦九韶算法可解决下列问题中的( )A ．求两个正整数的最大公约数B ．求多项式的值C ．求圆周率近似值D ．计数问题B [秦九韶算法解决的是“求多项式的值”．]4．用更相减损术求81与135的最大公约数时，要进行________次减法运算．3[更相减损术的过程如下：(135,81)→(54,81)→(54,27)→(27,27)，进行3次减法．]【例1】(1)204与85；(2)378与90.[思路探究]解答本题的关键是首先明确两数相差不大，再按更相减损之术的求解步骤求最大公约数．[解](1)第一步，204－85＝119,119－85＝34；第二步，85－34＝51,51－34＝17；第三步，34－17＝17，因此，17是204与85的最大公约数．或者因为(204,85)→(119,85)→(34,85)→(34,51)→(34,17)→(17,17)．所以17是204与85的最大公约数．(2)∵378与90都是偶数，∴用2约简得189和45.(189,45)→(144,45)→(99,45)→(54,45)→(9,45)→(9,36)→(9,27)→(9,18)→(9,9)．∴378与90的最大公约数为2×9＝18.1．在使用更相减损之术求两个正整数的最大公约数时，如果两个数都是偶数应提前约分，求得约简后的最大公约数后，再乘以约分的数即为所求．2．用更相减损之术时，当同一个数字连续重复出现时，一般它就是最大公约数．1．求325,130,270三个数的最大公约数．[解]325－130＝195,195－130＝65,130－65＝65.所以325和130的最大公约数是65.270－65＝205,205－65＝140,140－65＝75,75－65＝10,65－10＝55,55－10＝45,45－10＝35,35－10＝25,25－10＝15,15－10＝5,10－5＝5.所以270与65的最大公约数为5.所以325,130,270的最大公约数为5.【例2个数最大公约数的程序框图．[思路探究]关键是搞清等值算法的原理，需要反复执行某一操作，故用到循环结构．[解]程序框图如图所示：1．该程序的循环结构中套着一个条件分支结构，其主要作用是保证用较大数减较小数，不至出现负数．2．解决问题要先写程序，后画程序框图．2．根据课本第29页用“割圆术”的算法程序画出其相应的程序框图．[解]程序框图如图所示：[探究问题]1．怎样计算多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1当x＝5时的值呢？统计所做的计算的种类及计算次数分别是什么？[提示]f(5)＝55＋54＋53＋52＋5＋1＝3 906.根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算．2．我们把多项式变形为f(x)＝x2(1＋x(1＋x(1＋x)))＋x＋1，再统计一下计算当x＝5时的计算的种类及计算次数分别是什么？[提示]从里往外计算仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果．3．怎样利用秦九韶算法把求n次多项式f(x)的值转化为求n个一次多项式的值？[提示]f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋a n－2x n－2＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋a n－2x n－3＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝……＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…，v n＝v n－1x＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．【例3】用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x ＝3时的值．[思路探究]改写多项式，确定v0，再依次计算v i，i＝1,2,3,4,5,6,7，最后求得f(3)．[解]根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，由内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝3时的值：由v0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2 369；v6＝2 369×3＋1＝7 108；v7＝7 108×3＝21 324，故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.(变结论)用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值时，共做了几次乘法？几次加法？[解]根据秦九韶算法，把多项式改写为：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，由内到外依次计算一次多项式当x＝3时的值：v0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2 369；v6＝2 369×3＋1＝7 108；v7＝7 108×3＝21 324，由此可知共做了7次乘法，6次加法．1．应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题．(1)要正确将多项式的形式进行改写．(2)计算应由内向外依次计算．(3)当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项补充．2．利用秦九韶算法计算多项式的值时，计算的乘法次数与多项式未知数的最高指数相同，在多项式有常数项的情况下，加法运算的次数与乘法的次数相同．1．本节课的重点是会用更相减损之术求两个数的最大公约数，会用秦九韶算法求多项式的值，难点是会用秦九韶算法求多项式的值．2．本节课要掌握以下几类问题：(1)掌握求最大公约数的方法与步骤．(2)掌握秦九韶算法的步骤．3．本节课的易错点是弄不清秦九韶算法的原理而致错．1．思考辨析(1)用更相减损之术可以求两个正整数的最大公约数．()(2)使用秦九韶算法计算高次多项式的值比常规逐项计算省时的原因是减少了运算次数．()(3)秦九韶算法的实质是把高次式的和转化为一次式的积．()[答案](1)√(2)√(3)√2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11当x＝x0时的值时，应把f(x)变形为()A．x3－(3x＋2)x－11B．(x－3)x2＋(2x－11)C．(x－1)(x－2)x－11D．((x－3)x＋2)x－11D[f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝(x2－3x＋2)x－11＝((x－3)x＋2)x－11.]3．用“等值算法”可求得98与280的最大公约数为________．14[(98,280)→(98,182)→(98,84)→(14,84)→(14,70)→(14,56)→(14,42)→(14,28)→(14,14)，∴最大公约数为14.]4．用更相减损之术求80和36的最大公约数．[解](80,36)→(44,36)→(8,36)→(8,28)→(8,20)→(8,12)→(8,4)→(4,4)，所以80与36的最大公约数为4.。
1．3中国古代数学中的算法案例一、教学目标：1、了解中国古代数学中求两个正整数的最大公约数的算法、割圆术算法及秦九韶算法2、通过对三种算法的学习，更好的理解将要解决的问题算法化的思维方式，并注意理解推导割圆术的操作步骤二、教学重点和难点：教学重点：了解“更相减损术”、“割圆术”算法及秦九韶算法教学难点:体会算法案例中蕴含的算法思想，利用它解决具体问题三、教学方法和手段：教师指导学生学习，以学生自学为主四、教学过程：1、引导学生对学过的知识进行回顾，使学生理清知识网络，并指明中国古代数学的发展“寓理于算”，不同于西方数学，有自己的鲜明特色2、求两个正整数的最大公约数的算法——辗转相除法，更相减损之术（等值算法）例1求78和36的最大公约数法一辗转相除法步骤：计算出78÷36的余数为6，再将前面的余数36作为新的被除数，36÷6=6余数为0，则此时除数6即为78和36的最大公约数理论依据：a=nb+r→r=a-nb，得a、b与b、r有相同的公约数即（78，36）→（6，36），36能被6整除，余数为0。
法二更相减损之术（等值算法）指导学生阅读书p27-28页，总结步骤，归纳出算法：S1输入两个正整数a、b（a）b）；S2如果a≠b，执行S3，否则执行S5；S3将a-b赋予r；S4若b〉r，则把b赋予a，把r赋予b，否则把r赋予a，重新执行S2；S5输出最大公约数b。
程序：a=input（“a=”）；b=input（“b=”）；while a<>bif a>b；a=a-b；elseb=b-a；endendprint（%io（2），a，b）总结：辗转相除法步骤较少；更相减损之术（等值算法）虽然有些步骤较长，但运算简单，易懂。
练习：用等值算法求下列两数的最大公约数，并用辗转相除法验证3、割圆术——估计圆周率的近似值阅读书p28-29页步骤：第一，从半径为l的圆内接正六边形开始，计算它的面积S6；第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形，正二十四边形，正四十八边形。
高中数学 1.3 中国古代数学中的算法案例教案新人教B版必修3整体设计教学分析在学生学习了算法的初步知识，理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力．三维目标1．理解算法案例的算法步骤和程序框图，进一步体会算法的思想．2．引导学生得出自己设计的算法程序，提高分析问题和解决问题的能力．重点难点教学重点：引导学生得出自己设计案例的算法步骤、程序框图和算法程序．教学难点：编写算法案例的程序．课时安排2课时教学过程第1课时求两个正整数最大公约数的算法导入新课思路1(情境导入)．大家喜欢打乒乓球吧，由于东、西方文化及身体条件的不同，西方人喜欢横握拍打球，东方人喜欢直握拍打球，对于同一个问题，东、西方人处理问题方式是有所不同的．在小学，我们学过求两个正整数的最大公约数的方法：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 当两个数公有的质因数较大时(如8 251与6 105)，使用上述方法求最大公约数就比较困难．教师点出课题．思路2(直接导入)．前面我们学习了算法步骤、程序框图和算法语句．今天我们将通过“更相减损之术”来进一步体会算法的思想．推进新课新知探究提出问题什么叫约数？什么叫最大公约数？阅读教材写出更相减损之术的算法步骤和程序.讨论结果：(1)如果整数a能被整数b整除，则b称为a的一个约数．(2)两个整数m与n的公约数中的最大值称为m与n的最大公约数．(3)求两个整数a与b的最大公约数，“更相减损之术”的算法步骤：对于给定的两个数，以两数中较大数减去较小的数，然后将差和较小数构成一对新数，再用较大数减去较小的数，反复执行此步骤，直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原两数的最大公约数．程序如下：a＝；b＝；while a<>bif a>ba＝a－b；elseb＝b－a；endend，a，；应用示例思路1例求78和36的最大公约数．分析：用(a，b)形写出求解过程．解：(78,36)→(42,36)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18)→(6,12)→(6,6)．即78和36的最大公约数是6.点评：这种算法，只做简单的减法，操作方便、易懂，也完全符合算法的要求，它完全思路2求294与84的最大公约数．分析：由于这两个数都是偶数，同除以2后再用“更相减损之术”．解：∵294÷2＝147,84÷2＝42，∴取147与42的最大公约数后再乘2.(147,42)→(105,42)→(63,42)→(21,42)→(21,21)．∴294与84的最大公约数为21×2＝42.知能训练求1 734与816的最大公约数．解：1 734÷2＝867,816÷2＝408，(867,408)→(459,408)→(51,408)→(51,357)→(51,306)→(51,255)→(51,204)→(51 ,153)→(51,102)→(51,51)．∴1 734与816的最大公约数是51×2＝102.拓展提升求319,377,116的最大公约数．分析：先求319与377的最大公约数m，再求m与116的最大公约数n，则n为所求．解：(319,377)→(319,58)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29)，∴319与377的最大公约数是29.(116,29)→(87,29)→(58,29)→(29,29)，∴116与29的最大公约数为29.∴319,377,116的最大公约数为29.课堂小结本节学习了用“更相减损之术”求最大公约数．作业习题1—3A 1.设计感想数学不仅是一门科学，也是一种文化，本节从知识方面学习求两个正整数的最大公约数，从思想方法方面，主要学习递归思想．本节设置精彩例题，不仅让学生学到知识，而且让学生进一步体会算法的思想，培养学生的爱国主义情操．备课资料求最大公约数的方法：辗转相除法．就是对于给定两数，用较大数除以较小数，若余数不为空，则将余数和较小数构成一对新数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小数是原来两个数的最大公约数．算法步骤(以求两个正整数a、b的最大公约数为例)：S1 输入两个正整数a，b(a>b)；S2 把a÷b的余数赋值给r；S3 如果r≠0，那么把b赋给a，把r赋给b，转到S2；否则转到S4；S4 输出最大公约数b.第2课时割圆术与秦九韶算术导入新课思路1(情境导入)．大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口地吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口地吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样. 怎样求多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1当x＝5时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习割圆术和秦九韶算法．思路2(直接导入)．前面我们学习了更相减损之术，今天我们开始学习割圆术和秦九韶算法．推进新课新知探究提出问题阅读教材，说说割圆术的过程.讨论结果：我们先对单位圆内接正六边形、正十二边形、正二十四边形……的面积之间的关系进行分析，找出它们之间的递增规律．如下图所示，假设圆的半径为1，面积为S，圆内接正n边形面积为S n，边长为x n，边心距为h n.根据勾股定理，h n＝1－x n22.正2n 边形的面积为正n 边形的面积S n 再加上n 个等腰三角形(ADB)的面积和，即S 2n ＝S n ＋n·12·x n (1－h n )．① 正2n 边形的边长为x 2n ＝x n 22＋－h n 2.刘徽割圆术还注意到，如果在内接n 边形的每一边上，作一高为CD 的矩形，就可得到 S 2n <S<S 2n ＋(S 2n －S n )．②这样，我们就不仅可计算出圆周率的不足近似值，还可计算出圆周率的过剩近似值． 从正六边形的面积开始计算，即n ＝6，则正六边形的面积S 6＝6×34.用上面的公式①重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形……的面积．因为圆的半径为1，所以随着n 的增大，S 2n 的值不断趋近于圆周率，这样不断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率近似值．下面我们根据刘徽割圆术的算法思想，用Scilab 语言写出求π的不足近似值的程序：n ＝6；x ＝1；s ＝6 * sqrt(3)/4；for i ＝1：1：5①h ＝sqrt(1－(x/2)^2)；s ＝s ＋n *x * (1－h)/2；n ＝2 *n ；x ＝sqrt(x/2)^2＋(1－h)^2)；endprint(%io(2)，n ，s)；注：①此处i 的终值为5.当i 的终值为1,2，…时，程序分别算出正十二边形、正二十四边形……的面积．运行程序，当边数为192时，就可以得到刘徽求得的圆周率的近似值3.14，当边数为 24 576 时，就得到了祖冲之计算的结果 3.141 592 6.由于是用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总是小于π的实际值．作为练习，请同学编出程序求S 2n ＋(S 2n －S n )(n ＝6,12，…)作为π的过剩近似值．提出问题错误!讨论结果：(1)怎样求多项式f(x)＝x 5＋x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1当x ＝5时的值呢？一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1＋2＋3＋4＝10次乘法运算，5次加法运算．另一种做法是先计算x 2的值，然后依次计算x 2·x，(x 2·x)·x，((x 2·x)·x)·x 的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算．第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果．(2)上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202～1261)在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法：把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…v n＝v n－1x＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．上述方法称为秦九韶算法．直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法．(3)计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数．如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法．应用示例思路1例用秦九韶方法求多项式f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.166 67x3＋0.041 67x4＋0.008 33x5在x＝－0.2时的值．解：x＝－0.2，a5＝0.008 33 v0＝a5＝0.008 33a4＝0.041 67 v1＝v0x＋a4＝0.04a3＝0.166 67 v2＝v1x＋a3＝0.158 67a2＝0.5 v3＝v2x＋a2＝0.468 27a1＝1 v4＝v3x＋a1＝0.906 35a0＝1 v5＝v4x＋a0＝0.818 73所以 f(－0.2)＝0.818 73.点评：秦九韶用上述多项式求值的算法，并通过减根变换，给出了求高次代数方程根的完整算法．这一成就要比西方同样的算法早五六百年．这样的算法很容易在计算器或计算机上实现．思路2已知一个5次多项式为f(x)＝5x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值．解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝((((5x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝5时的值：v 0＝5；v 1＝5×5＋2＝27；v 2＝27×5＋3.5＝138.5；v 3＝138.5×5－2.6＝689.9；v 4＝689.9×5＋1.7＝3 451.2；v 5＝3 415.2×5－0.8＝17 255.2；所以，当x ＝5时，多项式的值等于17 255.2.点评：观察上述秦九韶算法中的n 个一次式，可见v k 的计算要用到v k －1的值，若令v 0＝a n ，我们可以得到下面的公式：⎩⎪⎨⎪⎧ v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k ＝1，2，…，这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现．算法步骤如下：S1 输入多项式次数n 、最高次的系数a n 和x 的值；S2 将v 的值初始化为a n ，将i 的值初始化为n －1；S3 输入i 次项的系数a i ；S4 v ＝vx ＋a i ，i ＝i －1；S5 判断i 是否大于或等于0.若是，则返回S3；否则，输出多项式的值v. 乘法运算的次数最多可到达＋，加法最多n 次．秦九韶算法通过转化把乘法运算的知能训练当x ＝2时，用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x 5＋8x 4－3x 3＋5x 2＋12x －6的值．解法一：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝((((3x ＋8)x －3)x ＋5)x ＋12)x －6.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x ＝2时的值．v 0＝3；v 1＝v 0×2＋8＝3×2＋8＝14；v 2＝v 1×2－3＝14×2－3＝25；v 3＝v 2×2＋5＝25×2＋5＝55；v 4＝v 3×2＋12＝55×2＋12＝122；v 5＝v 4×2－6＝122×2－6＝238.∴当x ＝2时，多项式的值为238.解法二：f(x)＝((((3x ＋8)x －3)x ＋5)x ＋12)x －6，则f(2)＝((((3×2＋8)×2－3)×2＋5)×2＋12)×2－6＝238.拓展提升用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．解：f(x)＝((((((7x＋6)＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)xv0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2 369；v6＝2 369×3＋1＝7 108；v7＝7 108×3＋0＝21 324.∴f(3)＝21 324.课堂小结本节学习了割圆术和秦九韶算法．作业习题1—3A 4.设计感想古老的算法散发浓郁的现代气息，这是一节充满智慧的课．本节主要介绍了秦九韶算法．通过对秦九韶算法的学习，对算法本身有哪些进一步的认识？教师引导学生思考、讨论、概括，小结时要关注如下几点：(1)算法具有通用的特点，可以解决一类问题；(2)解决同一类问题，可以有不同的算法，但计算的效率是不同的，应该选择高效的算法；(3)算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法等等．备课资料进位制进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定满二进一，就是二进制，约定满十进一，就是十进制．即满几进一就是几进制．一般来说，以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：a n a n－1…a1a0(k)(0<a n<k)，0≤a i＜k(i＝0,1，…，n－1)．将k进制数用十进制表示，应等于：a n a n－1…a1a0(k)＝a n×k n＋a n－1×k n－1＋…＋a1×k1＋a0×k0.将十进制数用k进制表示，可以采用除k取余法．。
