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最新中国古代数学中的算法案例

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高中数学人教新课标B版必修3--《1.3中国古代数学中的算法案例》课件4

高中数学人教新课标B版必修3--《1.3中国古代数学中的算法案例》课件4


先算最内层的一次多项式的值，即
v1 anx an1
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
v2 v1x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn2
共计算多少
v3 v2 x an3
次乘法，多 少次加法？
v n v n1 x a 0
共计算n次乘法，n次加法
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一
次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
1.用秦九韶算法计算多项式 f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4 时的值时,需要做乘法和加法的次数分 别是( A ) A.6,6 B.5,6 C.5,5 D.6,5
2.(2010·山东模拟)利用秦九韶算法计 算函数f(x)=x+2x2+3x3+4x4+5x5的值时, 需要做加法､乘法的次数分别为 ____4____､_____5___.
ank (k
1, 2,
,n)
这是一个在秦九韶算法中反复执行 的步骤，因此可用循环结构来实现。
思考3:该算法的程序框图如何表示？
二、程序框图： 开始
输入n, an, x V=an
i=n-1
i=i-1
i>=0? N
输出v
结束
v=vx+ai
输入ai
Y
理论迁移
例1：已知多项式f(x)=3x4+2x2+4x+2，用秦九韶 算法求f(-2)的值及V1,V3的值。 解：补全 f(x)=3x4+0x3+2x2+4x+2
课堂小结：
1、秦九韶算法的方法和步骤 2、秦九韶算法的程序框图
数学示范教案：中国古代数学中的算法案例

数学示范教案：中国古代数学中的算法案例

示范教案错误!教学分析在学生学习了算法的初步知识,理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力．三维目标1．理解算法案例的算法步骤和程序框图,进一步体会算法的思想．2．引导学生得出自己设计的算法程序，提高分析问题和解决问题的能力．重点难点教学重点:引导学生得出自己设计案例的算法步骤、程序框图和算法程序．教学难点：编写算法案例的程序．课时安排2课时错误!第1课时求两个正整数最大公约数的算法导入新课思路1(情境导入)．大家喜欢打乒乓球吧,由于东、西方文化及身体条件的不同,西方人喜欢横握拍打球，东方人喜欢直握拍打球，对于同一个问题,东、西方人处理问题方式是有所不同的．在小学，我们学过求两个正整数的最大公约数的方法：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来。

当两个数公有的质因数较大时(如8 251与6 105)，使用上述方法求最大公约数就比较困难．教师点出课题．思路2（直接导入）．前面我们学习了算法步骤、程序框图和算法语句．今天我们将通过“更相减损之术”来进一步体会算法的思想．推进新课错误!错误!错误!讨论结果：(1)如果整数a能被整数b整除，则b称为a的一个约数．(2)两个整数m与n的公约数中的最大值称为m与n的最大公约数．(3)求两个整数a与b的最大公约数，“更相减损之术”的算法步骤：对于给定的两个数，以两数中较大数减去较小的数，然后将差和较小数构成一对新数，再用较大数减去较小的数，反复执行此步骤,直到差数和较小的数相等,此时相等的两数便为原两数的最大公约数．程序如下：错误!错误!思路1例求78和36的最大公约数．分析：用(a,b）形写出求解过程．解:（78,36)→(42，36）→(6,36）→(6,30）→(6,24）→（6，18）→(6，12）→（6,6）．即78和36的最大公约数是6.点评：这种算法，只做简单的减法,操作方便、易懂，也完全符合算法的要求，它完全是机械的运算，据此很容易编出程序，在计算机上运算.思路2求294与84的最大公约数．分析:由于这两个数都是偶数，同除以2后再用“更相减损之术"．解：∵294÷2＝147,84÷2＝42，∴取147与42的最大公约数后再乘2.(147,42）→（105，42)→（63,42）→(21，42）→（21，21)．∴294与84的最大公约数为21×2＝42.点评：当m与n均为偶数时，可以同除以2后再求解。

高中数学第一章算法初步1.3中国古代数学中的算法案例秦九韶算法素材新人教B版必修3

高中数学第一章算法初步1.3中国古代数学中的算法案例秦九韶算法素材新人教B版必修3

1.3 中国古代数学中的算法案例秦九韶算法
中国数学名家－秦九韶
秦九韶(1202～1261年)，字道古，南宋普州安岳(今四川省安岳县)人。

,有记载则说秦九韶自称鲁郡(现山东滋阳、曲阜一带)人，幼年时随父亲在四川巴州居住。

青少年时饱受战乱，成年后离开四川，在湖北、安徽、江苏、浙江、广东等地做官，任过县尉、通判、州守等职，死于梅州(今广东梅县)。

秦九韶的突出数学成就表现为四个方面：
（1）“大衍求一术”。

即为一次同余式组解法。

西方解决同类问题的理论是高斯于1801年建立的，比秦九韶晚了554年。

他还把这种理论用于解决商功、利息、粟米、建筑等问题。

(2)线性方程组解法。

他在《数书九章》中解决了许多相当于线性方程组的问题，其中数字相当大，计算也很复杂。

他在“均货推本”题草中，井然有序地写出厂解题过程，这种解法与高斯消元法本质相当，但比高斯早约600年。

(3)高次方程数值解法。

他集秦汉以来“开方术”之大成，运用贾宪的“增乘开方法”，解决于数字高次方程有理数根和无理数根的近似值计算问题。

他所设计的演算程序被称为“秦九韶方法”。

西方同类问题的探究始于19世纪，他比意大利的鲁菲尼、英国的霍纳要早五、六百年。

(4)“三斜求积”。

他在《数书九章》中，依据分别为12、14、15的三边求出了相应的三角形面积，其方法具有一般性。

这与西方的海伦公式是等价的。

- 1 -。

1.3中国古代数学中的算法案例

1.3中国古代数学中的算法案例


三、概念形成
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
概念1.求两个正整数的最大公约数 概念1.求两个正整数的最大公约数 1.
当两个数比较大时（ 8610与6300），使用上述方法 当两个数比较大时（如8610与6300），使用上述方法 ）， 求最大公约数就比较困难。 求最大公约数就比较困难。下面我们介绍两种古老而有效 的算法——辗转相除法与更相减损术。 ——辗转相除法与更相减损术 的算法——辗转相除法与更相减损术。 （1）辗转相除法(*) 辗转相除法(*) 例子:辗转相除法求8610和6300的最大公约数。 例子:辗转相除法求8610和6300的最大公约数。 8610 的最大公约数 为了简洁，我们把8610和6300的最大公约数记作（8610， 为了简洁，我们把8610和6300的最大公约数记作（8610， 8610 的最大公约数记作 6300）。 6300）。 把8610变为下式 8610变为下式 6300× 8610 = 6300×1 + 2310 Bqr6401@
Hale Waihona Puke Bqr6401@三、概念形成
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
概念2.割圆术 概念2.割圆术 2.
所谓“割圆术” 所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限 逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法， 逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法，是我国魏 晋时期刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后， 晋时期刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后， 经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。 经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。 可以想象，在当时需要付出多么 按照这样的思路，刘徽把圆内接 刘徽从圆内接正六边形把圆周等 可以想象， 按照这样的思路， 分为六条弧的基础上，再继续等分， 艰辛的劳动。 正多边形的面积一直算到了正3072 3072边 正多边形的面积一直算到了正3072边 分为六条弧的基础上，再继续等分， 艰辛的劳动。现在让我们用刘徽的思 把每段弧再分割为二， 3.14和 使用计算机求圆周率的近似值。 形，并由此而求得了圆周率 为3.14和 把每段弧再分割为二，做出一个圆内 想 使用计算机求圆周率的近似值。 接正十二边形， 3.1416这两个近似数值 这两个近似数值。 计算机的最大特点是运算速度快， 接正十二边形，这个正十二边形的周 3.1416这两个近似数值。这个结果是 计算机的最大特点是运算速度快，只 要我们将运算方法告诉计算机， 长不就要比正六边形的周长更接近圆 要我们将运算方法告诉计算机，计算 当时世界上圆周率计算的最精确的数 周了吗？如果把圆周再继续分割，做” 周了吗？如果把圆周再继续分割， 机会迅速得到所求的答案。“割圆术” 据。刘徽对自己创造的这个“割圆术 机会迅速得到所求的答案。 刘徽对自己创造的这个 成一个圆内接正二十四边形， 新方法非常自信， 成一个圆内接正二十四边形，那么这 新方法非常自信，把它推广到有关圆 形计算的各个方面， 个正二十四边形的周长必然又比正十 形计算的各个方面，从而使汉代以来 二边形的周长更接近圆周。 的数学发展大大向前推进了一步。 二边形的周长更接近圆周。 的数学发展大大向前推进了一步。 Bqr6401@
课件3：1.3 中国古代数学中的算法案例

课件3：1.3 中国古代数学中的算法案例

解：f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8. v1=5×5+2=27； v2=27×5+3.5=138.5； v3=138.5×5-2.6=689.9； v4=689.9×5+1.7=3451.2； v5=3451.2×5-0.8=17255.2. 所以f(5)=17255.2.
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的 值的方法，称为__秦__九__韶__算__法__. 秦九韶算法的特点： 通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于 一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可.另外这种 算法还避免了对自变量x单独做幂的计算，而是与系数一起 逐次增长幂次，从而可提高计算的精度.
思考2 两种算法各用了几次乘法运算和几次加法运算？ 解： 算法一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算； 算法二共做了4次乘法运算，5次加法运算. 通过对比，很明显，算法二比算法一优越，这种算法就是 秦九韶算法.
思考3 秦九韶算法的概念和特点是怎样的呢？
解答： 设 f (x)是一个n 次多项式，
1.3 中国古代数学中的算法案例
算法案例一 更相减损术
思考1 小学学过的求两个数的最大公约数的方法是 怎样呢？
解答： 先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得 的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.
例1：求两个正整数的最大公约数：
（1）求25和35的最大公约数; （2）求49和63的最大公约数. 解：
谢谢！！！
算法案例二 秦九韶算法
思考1 想想怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当 x=5时的值呢？ 解：
[指导]1.3中国古代数学中的算法案例

[指导]1.3中国古代数学中的算法案例


v2=v1x+3=42×8+3=339
v3=v2x+0=339×8+0=2712
v4=v3x+1=2712×8+1=21697
v5=v4x-8=21697×8-8=173568
∴ f(8) =173568
h 5次加法，5次乘法
9
所以：78和36的最大公约数是6 理论依据： 由a－b=r → a=b+r，得(a, b)与(b, r)有相同的公约数.
更相减损术
h
3
例1 ：用等值算法（更相减损术）求下列两数的最大公约数。 （1）225，135； （2）98，280.
答案: (1) 45;
(2) 14.
h
h
1
1. 求两个正整数最大公约数的算法 问题：求78和36的最大公约数。
2
78 36
3 39 18
13 6 所以：78和36的最大公约数是2×3=6
思考：假设a和b的最大公约数p，那么a-b，或是b-a 是否能被p整除？
h
2
例如，求78和36的最大公约数：
(78，36) → (42，36) → (6，36) → (6，30) → (6，24) → (6，18) → (6，12) → (6， 6).
∴ f(5) =2677 总结：这样共作了5次加法，5次乘法.
h
秦九韶算法
8
练习：用秦九韶算法求多项式f(x)=5x5+2x4+3x3+x-8当x=8时的值，并回答需要几 次乘法？几次加法？
解： f(x)= 5x5+2x4+3x3+0x2+x-8 f(x) =((((5x+2)x+3)x+0)x+1)x-8, x=8 v0=5 v1=v0x+2=5×8+2=42
原创1：1.3中国古代数学中的算法案例

原创1：1.3中国古代数学中的算法案例


练习
将下面的十进制数化为二进制数？
（1）10 （2）20 （3）128 （4）256
3、十进制转换为其它进制
例3 把89化为五进制数
解：根据除k取余法
以5作为除数，相应的除法算式为：
5
5
89
17
5 3
0
所以，89=324（5）。
余数
4
2
3
小结与作业
再见
一个循环结构。
m=n×q＋r
8251=6105×1+2146
用程序框图表示出右边的过程
6105=2146×2+1813
r=m MOD n
2146=1813×1+333
m=n
1813=333×5+148
n=r
r=0?
是
否
333=148×2+37
148=37×4+0
思考：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？
行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两
数便为原来两个数的最大公约数。
3、方法：
例: 用更相减损术求98与63的最大公约数.
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，
并辗转相减
98－63＝35
63－35＝28
35－28＝7
28－7＝21
21－7＝21
14－7＝7
所以，98和63的最大公约数等于7
练习：
1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．
思路分析：先约简，再求21与18的最大公约数,
然后乘以两次约简的质因数4。
2、求324、243、135这三个数的最大公约数。
思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个
1.3中国古代数学中的算法案例

1.3中国古代数学中的算法案例


1.3中国古代数学中的算法案例（二）
秦九韶算法 设计求多项式f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－ 6x+7当x=5时的值的算法，并写出程序。 一般的解决方案
x=5; f=2 * x^5 – 5 * x^4 – 4 * x^3 + 3 * x^2 – 6 * x + 7;
f
上述算法一共做了解15次乘法运算，5 次加法运算. 优点是简单，易懂;
开始
算理： 记为a；
a=b×t＋c； 若c≠0,记a=b, b=c,返 回第2步进行循环； 若c=0，输出b.
输入a,b
先找到a,b中较大的， c = a Mod b
c=a mod b b=c a=b c≠0 N 输出b 结束 Y
更相减损术 例如，求78和36的最大公约数： 以两数中较大的数减去较小的数，即78 －36＝42；以差数42和较小的数36构成新 的一对数； 对这一对数再用大数减去小数，即42 －36＝6，再以差数6和较小的数36构成新 的一对数；
对这一对数再用大数减去小数，即36－ 6＝30，再构成新的一对数；
继续这一过程,直到产生一对相等的数， 这个数就是最大公约数. 操作如下： (78，36) → (42，36) → (6，36) → (6，30) → (6，24) → (6，18) → (6，12) → (6，6). 理论依据： 由a－b=r → a=b+r，得(a, b)与(b, r)有相 同的公约数.
1.3中国古代数学中的算法案例（一）
过程与方法
改变解决问题的思路，要将抽象的思想思 维转变为具体的思维方法，提高逻辑思维 能力。
情感、态度与价值观
通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，培 养学生的探索精神，同时体会中国古代数学对世界 数学发展的贡献，增强爱国主义精神。
新人教B版必修三1.3《中国古代数学中的算法案例》ppt课件1

新人教B版必修三1.3《中国古代数学中的算法案例》ppt课件1


S=42,i=21
说明：“S=S+5” 的意思是将 S+5 后的值赋给 S
思考： “S=S+i ” 是什么意思？ “i=i+1”呢？
概念探究—实践
例1 如何画出1+2+3+……+100的框图？ 思考一：有没有改进措施？ 思考二：框图正确吗？如何改？
初始值 循环条件
累计变量
计数变量
循环体
概念形成—探索
S=1+2+3+……+100
n
…
S
…
nn==1n012301+2+11
输出S
结结束束
思考： （1）初值改为S=0，n=1；或者
S=1，n=2行吗？
（2） S=S+i，i=i+1分别有何作用？
曲径通幽
如果改为另一种结构如何修改？
开始
开始
初SS=始=00值,i,=i=11 i≤条1件00 否
是 累S计=变S+量i
人教出版社B版 必修三 算法初步
1.1.3 算法的基本逻辑结
构----循环结构
创设情境
问题1： 核裂变原理 如果轰击64次铀核，如何求释放出的总能量？
次数 铀核 11 2 21 3 22 4 23 …… 64 263
概念探究—温故
如何求1+2+4+……+263 的值？
思考：用我们已经学过的顺序结构和条件分支结构能
分析：
n an an+1 an+2
11
12
21
23
32 3 5
43 55
58 8 13
2= 1+1 3= 1+2 5= 2+3 8= 3+5 13=5+8
古代数学中的算法案例

古代数学中的算法案例

古代数学中的算法案例古代数学是人类发展历史中的重要组成部分，古代数学家们在没有现代计算设备的情况下，通过发展各种算法来解决实际问题。

以下是几个古代数学中的算法案例。

一、埃及乘法算法埃及乘法算法起源于古埃及时期，被用于解决大数字的乘法问题。

这个算法的基本思想是将一个数字分解为2的幂的和，然后将每个分解项相乘，最后将乘积相加得到结果。

例如，计算15乘以23，首先将15分解为2的幂的和，即15=1+2+4+8，然后将23与每个分解项相乘，得到23、46、92和184、最后将这些乘积相加，得到345，即15乘以23的结果。

二、中国割补算法中国割补算法是中国古代数学中的一种乘法算法，用于计算两个数的乘积。

这个算法的核心思想是通过不断削减和补充相乘数的位数，最终得到乘积。

以计算13乘以21为例，首先将13和21写成两列：```1321--23```然后将第一列的数字逐次除以2，直到最后为0，同时将第二列的数字逐次乘以2、每次除以2时，如果结果为奇数，则将第二列当前行的数字加到最后的乘积上，如果结果为偶数，则不加。

最后将所有加上的数字相加，得到乘积。

在这个例子中，结果为273三、印度乘法算法印度乘法算法是古印度数学中的一种乘法算法，用于计算两个数的乘积。

这个算法的基本思想是将一个数字分解为2的幂的和，然后将每个分解项与另一个数字相乘，最后将乘积相加得到结果。

以计算23乘以16为例，首先将23表示为2的幂的和，即23=1+2+4+16、然后将每个分解项与16相乘，得到16、32、64和256、最后将这些乘积相加，得到368，即23乘以16的结果。

四、巴比伦平方根算法巴比伦平方根算法是古巴比伦数学中的一种算法，用于求一个数字的平方根。

这个算法的基本思想是通过迭代逼近的方式，不断改进平方根的近似值。

例如，求解数字10的平方根。

首先假设一个初始近似值，例如2、然后通过将这个近似值与10除以这个近似值的平均值相加，得到新的近似值。

新人教B版必修三1.3《中国古代数学中的算法案例》ppt课件2

新人教B版必修三1.3《中国古代数学中的算法案例》ppt课件2


r=m MOD n m=n n=r
r=0?
否
是
6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148
333=148×2+37 148=37×4+0
思考：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？
(1)、算法步骤：
第一步：输入两个正整数m,n(m>n). 第二步：计算m除以n所得的余数r. 第三步：m=n,n=r. 第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；
第三步：把a-b的差赋予r;
第四步：如果b>r, 那么把b赋给a,把r赋给b;否 则把r赋给a，执行第二步；
第五步：输出最大公约数b.
(2)、程序框图
开始
输入a,b
a≠b?
否
是
r=a-b
否 a=r
r<b?
是
a=b
b=r
输出b 结束
(3)、程序
INPUT “a,b=“;a,b WHILE a<>b
r=a-b IF b>r THEN a=b b=r ELSE a=r END IF WEND PRINT b END
小结
比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除 法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数 上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字 大小区别较大时计算次数的区别较明显。
1、定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个
数，用较大的数除以较小的数。若余数不为 零，则将余数和较小的数构成新的一对数， 继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则 这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。

高中数学 1.3中国古代数学中的算法案例课件 新人教B版必修2

把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如 下形式： (…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，
最内层括号内 一次多项式的 求多项式的值时，首先计算______________ v0x＋an－1 ，然后由内向外逐层计算一次多项式 值，即v1＝___________
积就是所求的最大公约数．
割圆术的算法思想 2．
刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出
这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的 数值，来一步一步逼近圆面积，最后求出圆周率的近似 值．用刘徽自己的话概括就是“割之弥细，所失弥少，割 之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”
3． 秦九韶算法
【变式2】 用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需 要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为
5－2＝3 3－2＝1
所以80与36的最大公约数为4.
题型二
秦九韶算法在多项式中的应用
【例＝2的值．
改写成一次 由内 审 题 指 导 多项式求值 ―――――→ 秦九韶算法 ――→ 多项式的形式 向外 结果
[规范解答] 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
规律方法
利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的
一般步骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数．若是， 用2约简．也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影 响最后结果．
【变式1】用更相减损术求80和36的最大公约数． 解 80÷2＝40 36÷2＝18 40÷2＝20 20—9＝11 9－2＝7 2－1＝1 18÷2＝9 11－9＝2 7－2＝5 1×2×2＝4
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0 ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0. S1 计算最内层anx＋an－1的值，将anx＋an－1的值赋给一
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欧几里得
如何使用
以求288和123的最大公约数为例，操作如下：
S1：28 S3：42÷39=1……3 S4：39÷3=13
这是一个辗转相 处的过程……
∴ 3就是288和123的最大公约数。
理论依据
a n r b r a nb
得 a, b 与 b, r 有相同的公约数
刘徽形容他的“割圆术”
说：割之弥细，所失弥少， 割之又割，以至于不可割， 则与圆合体，而无所失矣。
简单来说所谓“割圆 术”，是用圆内接正多边 形的周长去无限逼近圆周 并以此求取圆周率的方法。
计算方法
第一，从半径为1的圆内接正六边形开始， 计算它的面积S6；
第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数， 分别计算圆内接正十二边形，正二十四 边形，正四十八边形，…的面积，到一
开始 输入x,n;a0,a1,a2,…,an
k=n, f=an
k>0
否
是
k=k－1
f=f*x +ak
输出S 结束
Scilab语言：
x=input("x="); n=input("n="); result=input("The first xishu"); for i=1 : 1 : n
a=input("xishu: "); result=result*x+a; end disp(result,"The result is:");
所以辗转相除法更好一些。
割圆术
早在我国先秦时期，《墨经》上就已 经给出了圆的定义。我国古代数学经 典《九章算术》在第一章“方田”章 中写到“半周半径相乘得积步”，也 就是我们现在所熟悉的公式。
为了证明这个公式，我国魏晋时期数 学家刘徽写了一篇1800余字的注记， 这篇注记就是数学史上著名的“割圆 术”。
第一步：输入两个 正整数a，b（a＞b）;
第二步：求出a÷b 的余数r；
第三步：令a=b， b=r，若r≠0，重复第二 步；
第四步：输出最大 公约数a.
更相减损术和辗转相除法的主要区别在于:
前者所使用的运算是“减”，后者是“除”。从算法
思想上看，两者并没有本质上的区别，但是在计算过 程中，如果遇到一个数很大，另一个数比较小的情况 ，可能要进行很多次减法才能达到一次除法的效果，
程序编写
n=6;
s=s+n*x*(1－h)/2;
x=1; s=6*sqrt(3)/4;
n=2*n; x=sqrt((x/2)^2+(1－
for i=1 : 1 : 5
h)^2);
h=sqrt(1－(x/2)^2); end
print(%io(2), n, s)
秦九韶（1208年－1261年） 南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、 朱世杰并称宋元数学四大家。字道 古，汉族，自称鲁郡（今山东曲阜） 人，生于普州安岳（今属四川）。 精研星象、音律、算术、诗词、弓 剑、营造之学，历任琼州知府、司 农丞，后遭贬，卒于梅州任所，著 作《数书九章》，其中的大衍求一 术、三斜求积术和秦九韶算法是具 有世界意义的重要贡献。
定的边数（设为2m）为止，得到一列递
增的数，
S6，S12，S24，S48，…，S2n.
第三，S2n近似等于圆面积。
下面的关键是找出正n边形的面积与正2n
边形的面积之间的关系，以便递推。
设圆的半径为1，正n边形
的边长AB为xn，弦心距OG
为hn；面积为Sn，根据勾股
定理，得：
hn
1
xn 2
2
,
已知一个一元n次多项式函数: P(x)=anxn+an-1xn-1+……+a1x+ao
当知道x值时，我们可以按顺序一项一项的计算， 然后相加，求出P(x)
设有n+1项的n次函数，即： 将前n项提取公因数x ，得: 再将括号内的前n-1项提取公因数x,得:
如此反复提取公因数x ，最后将函数化为:
中国古代数学中的算法案例
最大公约数
算法表示
S1：输入两个正数a,b(a>b) ； S2：如果a≠b，则执行S3，否则转到S5； S3：将a-b的值赋予r； S4：若b>r，则把b赋予a，把r赋予b，否则把
r赋予a，重新执行S2； S5：输出最大公约数b.
开始 输入a,b
a≠b N
输出b
a=a－b
b=b－a
Y
a> N
Y
b
结束
程序：
a=input(“a=”)； b=input(“b=”)；
while a<>b if a>=b a=a－b;
else b=b－a；
end end print(%io(2), b, “两数的最大公约数
辗转相除法
辗转相除法
辗转相除法最早出现 在欧几里得的几何原本 中（大约公元前300 年），所以它是现在仍 在使用的算法中最早出 现的。
《数书九章》在数学内容上颇多创新。中国算筹式记数 法及其演算式在此得以完整保存；自然数、分数、小数、负 数都有专条论述，还第一次用小数表示无理根的近似值；卷 1大衍类中灵活运用最大公约数和最小公倍数，并首创连环 求等，借以求几个数的最小公倍数；在《孙子算经》中“物 不知数”问题的基础上总结成大衍求一术，使一次同余式组 的解法规格化、程序化，比西方高斯创用的同类方法早500 多年，被公认为“中国剩余定理此外，秦九韶还改进了一次 方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完 全一致。
令
......
则： fn即为所求
怎样用程序框图表示秦九韶算法 ？
观察秦九韶算法的数学模型，计算vk时 要用到fk－1的值，若令f0=an，我们可以得 到下面的递推公式： f0=an fk=fk－1·x+an－k (k=1, 2, …, n)
这是一个在秦九韶算法中反复执行的 步骤，可以用循环结构来实现。
x2n
xn 2
2
1hn
2
(n6)
容易知道x6=1,
正2n边形的面积等于正n
边形的面积加上n个等腰三
角形的面积，即
S 2 n S n n1 2x n( 1 h n ) (n 6 )
于是由 S6 6
3 4
求得S12=3；
S24≈3.105828；……
按照这样的思路， 刘徽把圆内接正多 边形的面积一直算 到了正3072边形， 并由此而求得了圆 周率 为3.14和 3.1416 这两个近似数值。 这个结果是当时世 界上圆周率计算的 最精确的数据。