河南省沈丘县第一高级中学2020_2021学年高一数学1月月考试题

2020～2021学年高一上学期元月月考数 学 试 卷一、单项选择题（本大题共8小题，共40分） 1.sin454cos176︒+︒的值为（ ）A.sin4︒B.cos4︒C. 0D. 2sin4︒2.已知集合仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为（ ） A.B. 0，C.D.3.已知命题：命题；命题，且p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围（ ）A.B.C. D.4.函数在区间内的零点个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3D. 45.已知函数，，则下列说法正确的是（ ）A. 与的定义域都是B. 为奇函数，为偶函数C. 的值域为，的值域为D.与都不是周期函数6.将函数()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 函数的图象关于点(,0)3π-对称B. 函数的最小正周期为2π C. 函数的图象关于直线6x π=对称 D. 函数在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 7.已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）A.15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 10,2⎛⎤⎥⎝⎦D. (0,2]8.已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有13[()log ]4f f x x +=，且方程在区间上有两解，则实数a 的取值范围（ ）A.B.C.D.二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分） 9.下列结论中正确的是（ ）A. 终边经过点的角的集合是；B. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是3π； C. 若是第三象限角，则是第二象限角，为第一或第二象限角；D.，则．10.下列说法正确的是（ ）A. 若都是第一象限角且，则；B. 1312tan()tan()45ππ->-； C. cos()2y x π=-在区间2[,]63ππ的值域为1[2； D. 已知()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中,,,a b αβ都是非零实数。

数学试卷考试时间：120分钟；一、单选题（12小题，每小题5分，共60分）1．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（ ） A ．{}0,2 B ．{}2,2-C ．2,0,2D ．{}2,1,0,1,2-- 2．下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．()2f x x =()2f x x = B ．(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与()g t t = C ．21y x =-11y x x =+-D ．()1f x =与()0g x x = 3．已知函数()1f x +的定义域为[]2,1-，则函数()()122g x f x x =+--的定义域为 A ．[1,4] B ．[0,3] C ．[1,2)(2,4]⋃ D ．[1,2)(2,3]⋃4．已知函数1,2()(3),2x x f x f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则(1)(9)f f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．6 D ．75．下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（ ）．A ．()3f x x =-B ．()23f x x x =-C ．()11f x x =-+D ．()f x x =-6．在映射f ：M N →中，(){},,,M x y x y x y R =<∈，(){},,N x y x y R =∈，M 中的元素(),x y 对应到N 中的元素(),xy x y +，则N 中的元素()4,5的原象为（ ） A ．()4,1 B ．()20,1C ．()1,4D ．()1,4和()4,1 7．已知全集U =R ，集合91A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭和{}44,B x x x Z =-<<∈关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个 8．函数24y x x -+ ）A ．(],4-∞B ．(],2-∞C ．[]0,2D ．[]0,49．已知函数()()()22,12136,(1)x ax x f x a x a x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩，若()f x 在(),-∞+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,1]2 B ．1(,)2+∞ C ．[1，)+∞ D ．[1，2]10．函数()f x 是奇函数，且在∞（0，+）内是增函数，(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为（ ）A ．∞（-3,0）（3，+）B ．∞（-，-3）（0,3）C ．∞∞（-，-3）（3，+）D ．（-3,0）（0,3）11．已知函数24y x x =-+-的最小值为（ ）A ．6B ．2-C ．6-D ．212．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+.且当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()11f x f x =--，那么表达式1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．654- B ．65- C ．1314- D ．1312-二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数()f x 的图象经过3,3)，则函数2)f =_____14．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x 的值为________. x 1 23 4f(x)1 3 1 3 g(x)3 2 3 215．已知32()(2)5f x m x nx =+++是定义在[,4]n n +上的偶函数，则2m n +等于_______. 16．某同学在研究函数 f （x ）=1x x+（x ∈R ） 时，分别给出下面几个结论： ①等式f （-x ）=-f （x ）在x ∈R 时恒成立；②函数f （x ）的值域为（-1，1）；③若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2）；④方程f （x ）=x 在R 上有三个根．其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上）三、解答题（共70分）17（10分）．已知集合{|121}A x a x a =-<<+，{}B 03x x =<≤，U =R . （1）若12a =，求A B ⋃；()U A C B ⋂． （2）若A B φ⋂=，求实数a 的取值范围. 18（12分）．设函数()1,00,01,0x D x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()()()42D x f x x =-.（1）写出x ∈R 时分段函数()f x 的解析式；（2）当()f x 的定义域为[]3,3-时，画出()f x 图象的简图并写出()f x 的单调区间.19（12分）．已知函数2()21f x x ax a =-++-，（1）若2a =，求()f x 在区间[0,3]上的最小值；（2）若()f x 在区间[0,1]上有最大值3，求实数a 的值.20（12分）．已知函数()m f x x x=+，()12f =. （1）判定函数()f x 在[)1,+∞的单调性，并用定义证明；（2）若()a f x x -<在()1,+∞恒成立，求实数a 的取值范围.21（12分）．已知函数()1f x x x =-（1）求()f x 单调区间（2）求[0,]x a ∈时，函数的最大值.22（12分）．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =+. （1）求(0)f 的值；（2）求此函数在R 上的解析式；（3）若对任意t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f k t -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 23（12分）．函数()f x 的定义域为R ,且对任意,x y R ∈,有()()()f x y f x f y +=+,且当0x >时()()0,12f x f <=-.（1）证明:()f x 是奇函数;（2）证明:()f x 在R 上是减函数;（3）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小数学试卷参考答案1．C{}{}333A x x x x =<=-<<，{}2,B x x k k ==∈Z ，因此，{}2,0,2A B =-. 故选：C.2．B选项A ：()f x =R ，()2f x =的定义域为[)0+，∞，两函数的定义域不同，故不是同一函数.选项B ：()00t t g t t t t ≥⎧==⎨-<⎩和函数(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域、法则和值域都相同，故是同一函数.选项C ：y =(][)11+-∞-⋃∞，，，y =的定义域为[)1+∞，，两函数的定义域不同，故不是同一函数.选项D ：()1f x =的定义域为R ，()0g x x =的定义域为{}|0x x ≠，两函数的定义域不同，故不是同一函数.故选：B【点睛】本题考查判断两个函数是否是同一函数，属于基础题.3．C【解析】【分析】首先求得()f x 定义域，根据分式和复合函数定义域的要求可构造不等式求得结果.【详解】()1f x +定义域为[]2,1- 112x ∴-≤+≤，即()f x 定义域为[]1,2-由题意得：20122x x -≠⎧⎨-≤-≤⎩，解得：12x ≤<或24x <≤ ()g x ∴定义域为：[)(]1,22,4本题正确选项：C本题考查函数定义域的求解问题，关键是能够通过复合函数定义域确定()f x 定义域，从而利用分式和复合函数定义域的要求构造不等式.4．A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式分别求得()()19,f f 的值，然后求解两者之差即可.【详解】由题意可得：()()1413f f ===，()914f ==， 则(1)(9)341f f -=-=-.故选A.【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．5．C【解析】【分析】A ，B 可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C 利用1y x =-以及平移的思路去判断；D 根据y x =-的图象的对称性判断.【详解】A ．()3f x x =-在R 上是减函数，不符合；B ．()23f x x x =-在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，不符合； C ．()11f x x =-+可认为是1y x=-向左平移一个单位所得，所以在()1,-+∞上是增函数，符合； D ．()f x x =-图象关于y 轴对称，且在(),0-∞上是增函数，在()0,∞+上是减函数，不符合；【点睛】（1）一次函数()0y kx b k =+≠、反比例函数()0k y k x=≠的单调性直接通过k 的正负判断； （2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断；（3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断.6．C【解析】【分析】由题意得4 5xy x y =⎧⎨+=⎩，再由x y <，能求出N 中元素()45，的原像. 【详解】由题意得4 5xy x y =⎧⎨+=⎩，解得1 4x y =⎧⎨=⎩或4 1x y =⎧⎨=⎩， ∵x y <，∴N 中元素()45，的原像为()1,4， 故选：C .【点睛】本题考查象的原象的求法，考查映射等基础知识，考运算求解能力，考查函数与方程思想. 7．B【解析】【分析】先解分式不等式得集合A ，再化简B ，最后根据交集与补集定义得结果.【详解】 因为91(0,9)A x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，{}{}44,3,2,1,0,1,2,3B x x x Z =-<<∈=---， 所以阴影部分所表示集合为(){0,1,2,3}U C A B =---,元素共有4个，故选B【点睛】 本题考查分式不等式以及交集与补集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.【解析】【分析】配方即可得到()224=24x x x -+--+，从而得出≤2，即得出y 的范围，从而得出原函数的值域．【详解】∵()224=24x x x -+--+，∴0≤()224x --+≤4；∴≤2；∴函数y =的值域为[0,2].故选：C .【点睛】本题考查函数的值域，利用配方法即可，属于简单题.9．D【解析】【分析】根据分段函数单调性的性质进行求解即可．【详解】∵当1x ≤时，函数f （x ）的对称轴为x a =，又()f x 在(),-∞+∞上为增函数， ∴ 1210125a a a a ≥⎧⎪-⎨⎪-+≤-⎩＞，即1122a a a ≥⎧⎪⎪>⎨⎪≤⎪⎩，得1≤a 2≤， 故选D ．【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键，注意分段处保证单调递增．10．D【解析】【分析】易判断f （x ）在（-∞，0）上的单调性及f （x ）图象所过特殊点，作出f （x ）的草图，根据图象可解不等式．【详解】∵f （x ）在R 上是奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴f （x ）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f （-3）＝0，得f （﹣3）＝﹣f （3）＝0，即f （3）＝0，作出f （x ）的草图，如图所示：由图象，得()0xf x <()()0000x x f x f x ><⎧⎧⇔⎨⎨<>⎩⎩或 解得0＜x ＜3或﹣3＜x ＜0，∴xf （x ）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3），故选D ．【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．11．D【解析】【分析】用绝对值三角不等式求得最小值．【详解】24(2)(4)2y x x x x =-+-≥---=，当且仅当(2)(4)0x x --≤，即24x ≤≤时取等号．所以min 2y =．故选：D ．【点睛】本题考查绝对值三角不等式，利用绝对值三角不等式可以很快求得其最值，本题也可以利用绝对值定义去掉绝对值符号，然后利用分段函数性质求得最值．12．C【解析】【分析】由()f x 是定义在[1-，1]上的奇函数，且()1(1)f x f x =--，推出()1f ，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再结合当(0,1)x ∈时，2()()5xf f x =，推出1()5f ，1()25f ，4()5f ，4()25f ，由题意可得x 对任意的1x ，2[1x ∈-，1]，均有2121()(()())0x x f x f x --，进而得1903193201()()()2020202020204f f f =⋯===，再由奇函数的性质()()f x f x -=-算出最终结果．【详解】解：由()()11f x f x =--，令0x =，得()11f =，令12x =，则1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭﹐ 当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()152x f f x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即()1111522f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，111125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且4111552f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，414125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11903204252020202025<<<， 19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()21210x x f x f x --≥，190120204f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，同理19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()f x 是奇函数， 1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭19019131932013120202020202020204f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C 【点睛】本题考查函数的奇偶性，函数值计算，属于中档题． 13．2 【解析】 【分析】设幂函数()f x x α=，将点代入求出α，即可求解.【详解】设()f x x α=，()f x 的图象经过，23,2,(),2f x x f αα=∴==∴=.故答案为:2. 【点睛】本题考查幂函数的定义以及函数值，属于基础题. 14．2或4 【解析】 【分析】对于x 的任一取值，分别计算()()f g x 和()()g f x 的值若两个值相等，则为正确的值. 【详解】当1x =时，()()()()()()131,113f g f g f g ====，不合题意.当2x =时，()()()()()()223,233f g f g f g ====，符合题意.当3x =时，()()()()()()331,313f g f g f g ====，不合题意.当4x =时，()()()()()()423,433f g f g f g ====，符合题意.故填2或4.【点睛】本小题主要考查函数的对应法则，考查复合函数求值.在计算这类型题目的过程中，往往先算出内部函数对应的函数值，再计算外部函数的函数值.属于基础题. 15．-6 【解析】 【分析】由函数是偶函数，则定义域关于原点对称、()()f x f x -=即可求出参数m 、n 的值； 【详解】解：已知32()(2)5f x m x nx =+++是定义在[,4]n n +上的偶函数，所以40n n ++=，解得2n =-，又()()f x f x -=，()3232(2)5(2)5m x nx m x nx ∴+-++=+++302(2)m x +=∴解得2m =-，所以26m n +=- 故答案为：6- 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，属于基础题. 16．①②③ 【解析】 【分析】由奇偶性的定义判断①正确，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；根据单调性，结合单调区间上的值域说明③正确；由1xx x=+只有0x =一个根说明④错误． 【详解】对于①，任取x ∈R ，都有()()11x xf x f x x x--==-=-+-+，∴①正确；对于②，当0x >时，()()110,111x f x x x==-∈++， 根据函数()f x 的奇偶性知0x <时，()()1,0f x ∈-， 且0x =时，()()()0,1,1f x f x =∴∈-，②正确； 对于③，则当0x >时，()111f x x=-+， 由反比例函数的单调性以及复合函数知，()f x 在()1,-+∞上是增函数，且()1f x <；再由()f x 的奇偶性知，()f x 在(),1-∞-上也是增函数，且()1f x >12x x ∴≠时，一定有()()12f x f x ≠，③正确；对于④，因为1xx x=+只有0x =一个根， ∴方程()f x x =在R 上有一个根，④错误． 正确结论的序号是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 17．（1）1|32AB x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，()1|02U AC B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭；（2）1|24a a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭≥或. 【解析】 【分析】 （1）当12a =，求出集合A ，按交集、并集和补集定义，即可求解； （2）对A 是否为空集分类讨论，若A =∅，满足题意，若A ≠∅，由A B φ⋂=确定集合A 的端点位置，建立a 的不等量关系，求解即可. 【详解】（1）若12a =时1|22A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}|03B x x =<≤， ∴1|32AB x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，由{|0U C B x x =≤或3}x >，所以()1|02U A C B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭（2）由AB =∅知当A =∅时121a a -≥+∴2a ≤-当A ≠∅时21113a a a +>-⎧⎨-≥⎩或211210a a a +>-⎧⎨+≤⎩∴4a ≥或122a -<≤-综上：a 的取值范围是1|24a a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭≥或. 【点睛】本题考查集合间的运算，以及集合间的关系求参数范围，不要忽略了空集讨论，属于基础题.18．（1）()48,04,04,02x x f x x x x ⎧⎪->⎪==⎨⎪⎪<-⎩； （2）图见解析；单调递增区间为(]0,3，单调递减区间为[)3,0- 【解析】 【分析】(1)代入()1,00,01,0x D x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩求解即可. (2)根据一次函数与分式函数的图像画图,再根据图像判断单调区间即可. 【详解】（1）()48,0 4,04,02x xf x xxx⎧⎪->⎪==⎨⎪⎪<-⎩；（2）()f x的图象如下图所示：单调递增区间为(]0,3,单调递减区间为[)3,0-.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用与一次函数、分式函数的图像与性质等.属于基础题. 19．（1）min()(0)1f x f==-；（2）2a=-或3a=.【解析】试题分析：（1）先求函数对称轴，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最小值取法（2）根据对称轴与定义区间位置关系三种情况分类讨论最大值取法，再根据最大值为3，解方程求出实数a的值试题解析：解：（1）若2a=，则()()224123f x x x x=-+-=--+函数图像开口向下，对称轴为2x=，所以函数()f x在区间[]0,2上是单调递增的，在区间[]2,3上是单调递减的，有又()01f=-，()32f=()()min01f x f∴==-（2）对称轴为x a =当0a ≤时，函数在()f x 在区间[]0,1上是单调递减的，则 ()()max 013f x f a ==-=，即2a =-；当01a <<时，函数()f x 在区间[]0,a 上是单调递增的，在区间[],1a 上是单调递减的，则()()2max 13f x f a a a ==-+=，解得21a =-或，不符合；当1a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，则()()max 11213f x f a a ==-++-=，解得3a =；综上所述，2a =-或3a =点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式. 20．（1）单调递增,证明见解析.（2）3a ≤ 【解析】 【分析】（1）先根据()12f =求得m 的值,得函数解析式.进而利用作差法证明函数单调性即可. （2）构造函数()()g x f x x =+.根据（1）中函数单调性,结合y x =的单调性,可判断()g x 的单调性,求得()g x 最小值后即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）函数()mf x x x=+,()12f = 代入可得211m=+,则1m = 所以()1f x x x =+函数()1f x x x=+在[)1,+∞上单调递增.证明:任取12,x x 满足121x x ≤<,则()()21f x f x -212111x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212111x x x x =-+- 122112x x x x x x -=-+()()2112121x x x x x x --=因为121x x ≤<,则21120,10x x x x ->->所以()()21121210x x x x x x -->,即()()210f x f x ->所以()()21f x f x > 函数()1f x x x=+在[)1,+∞上单调递增. （2）若()a f x x -<在()1,+∞恒成立 则()a f x x <+, 令()()g x f x x =+ 由（1）可知()1f x x x=+在()1,+∞上单调递增,y x =在()1,+∞上单调递增 所以()()g x f x x =+在()1,+∞上单调递增 所以()()13g x g >=所以3a ≤即可满足()a f x x -<在()1,+∞恒成立 即a 的取值范围为3a ≤ 【点睛】本题考查了利用定义证明函数单调性的方法,根据函数单调性解决恒成立问题,属于基础题.21．（1）单调增区间是()11,2∞∞-+，和,单调减区间为112（，）；（2）当10a 2<<时，函数的最大值为()2f a a a =-+.， 当112a 2+≤≤时，函数的最大值为11f 24⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当12a +≥时，函数的最大值为()2f a a a =-． 【解析】 【分析】（1）对函数()f x 去绝对值，表示成分段函数模型并作出图像，由函数图像进行判断． （2）令()12f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1x >），解出122x +=，对实数a 的范围分类讨论求解． 【详解】（1）()22,1f x ,1x x x x x x ⎧-+≤=⎨->⎩， 由分段函数的图象知,函数的单调增区间是()11,2∞∞-+，和,单调减区间为112（，）. （2）当10a 2<<时，函数的最大值为()2f a a a =-+ 当112a 22+≤≤时，函数的最大值为11f 24⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当12a +>()2f a a a =-. 【点睛】（1）考查了分段函数单调性问题，结合分段函数图像可直接判断单调区间.（2）主要考查了分类讨论思想，结合分段函数图像，对区间端点的范围讨论，自变量的范围不同，对应的函数的最值也不同.22．（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：(1)利用奇函数的特性,定义在的奇函数必过原点,易得值；(2)当,则,根据函数为奇函数及当时,,可得函数在时的解析式,进而得到函数在上的解析式；(3)根据奇函数在对称区间上单调性相同,结合二次函数图象和性质,可分析出函数的单调性,进而将原不等式变形,解不等式可得实数的取值范围.试题解析：（1）为上的奇函数，；（2）设，则，，又为奇函数，，即，.（3）在上为增函数，且，为上的奇函数，为上的增函数，原不等式可变形为：即，对任意恒成立，（分离参数法）另法：即，对任意恒成立，∴解得：，取值范围为.考点：函数的奇偶性；函数的解析式；解不等式. 【方法点晴】(1)由奇函数的特性,在时必有，，故定义在的奇函数必过原点；(2)当,则,根据函数为奇函数及当时,,可得函数在时的解析式,进而得到函数在上的解析式；(3)根据奇函数在对称区间上单调性相同,结合二次函数图象和性质,可分析出函数的单调性,进而将原不等式变形,解不等式可得实数的取值范围.23．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 最大值是6,最小值是-6. 【解析】 【分析】（1）令x ＝y ＝0，则可得f （0）＝0；y ＝﹣x ，即可证明f （x ）是奇函数，（2）设x 1＞x 2，由已知可得f （x 1﹣x 2）＜0，再利用f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），及减函数的定义即可证明．（3）由（2）的结论可知f （﹣3）、f （3）分别是函数y ＝f （x ）在[﹣3、3]上的最大值与最小值，故求出f （﹣3）与f （3）就可得所求值域． 【详解】（1）因为()f x 的定义域为R ,且()()()f x y f x f y +=+,令y x =-得()()()f x x f x f x +-=+-⎡⎤⎣⎦,所以()()()0f x f x f +-=; 令0x y ==,则()()()0000f f f +=+,所以()00f =,从而有()()0f x f x +-=,所以()()f x f x -=-,所以()f x 是奇函数. （2）任取,x y R ∈,且12x x <,则()()()()121121f x f x f x f x x x -=-+-⎡⎤⎣⎦()()()()112121f x f x f x x f x x =-+-=--⎡⎤⎣⎦,因为12x x <,所以210x x ->,所以()210f x x -<,所以()210f x x -->, 所以()()12f x f x >,从而()f x 在R 上是减函数.（3）由于()f x 在R 上是减函数,故()f x 在区间[]3,3-上的最大值是()3f -,最小值是()3f ,由于12f ,所以()()()()()()()31212111f f f f f f f =+=+=++()()31326f ==⨯-=-,由于()f x 为奇函数知， ()()3-36f f -==,从而()f x 在区间[]3,3-上的最大值是6,最小值是-6.【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性，深刻理解函数奇偶性和单调性的定义及充分利用已知条件是解决问题的关键．。

河南高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，则（）A．B．C．D．2.下列关系中，成立的是（）A．B．C．D．3.已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为（）A．B．C．D．4.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（）A．4B．5C．6D．75.圆心在直线上且过两圆的交点的圆的方程为（）A．B．C．D．6.—个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是（）A．B．C．D．7.已知事件“在矩形的边上随机取一点，使的最大边是”发生的概率为，则（）A．B．C．D．8.已知只有一个子集,则值范围是（）A．B．C．D．不存在9.已知两条直线和互相垂直，则等于（）A．2B．1C．0D．10.直线与圆没有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．11.已知函数,若方程有三个根,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12.已知函数的定义域是，若对于任意的正数，函数，都是其定义域上的增函数，则函数的图像可能是下图中的（）13.设集合，．（1）求集合；（2）若不等式的解集为，求的值．二、填空题1.设函数是奇函数，则的解集为_______．2.平行于直线且与圆相切的直线的方程是 _________________．3.设函数，若，则的取值范围是_____________________．4.已知命题：“若，则”为真命题，那么字母在空间所表示的几何图形：①都是直线；②都是平面；③是直线，是平面；④是平面，是直线．其中正确结论的序号为___________．三、解答题1.已知函数在定义域上为增函数，且满足, ．（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）解不等式．2.已知函数．（1）若都是从0,1，2,3,4五个数中任取的一个数，求方程有根的概率．（2）若都是从区间任取的一个数，求成立时的概率．3.如图（a）所示，在直角梯形中，，为的中点，在上，且．已知，沿线段把四边形折起如图（b）所示，使平面平面．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积．4.已知定义域为的函数是奇函数。

沈丘县2024届高三年级第一次月考数学试卷（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知集合{}|11M x x =-<<，{|N x y ==，则M N ⋂=A.{}1|0x x << B.{}|01x x ≤< C.{}|0x x ≥ D.{}|10x x -<≤【答案】B 【解析】【分析】确定集合N ,根据集合的交集运算，可求得答案.【详解】由题意，{{}||0N x y x x ===≥，所以M N ⋂={}|01x x ≤<,故选:B2.已知命题p ：*N n ∀∈，21n n >-，则命题p 的否定p ⌝为（）A.*N n ∀∈，21n n <-B.*N n ∀∈，21n n ≤-C.*N n ∃∈，21n n <-D.*N n ∃∈，21n n ≤-【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系可得：命题“p ：*N n ∀∈，21n n >-”的否定式为“*N n ∃∈，21n n ≤-”.故选：D.3.若函数()23f x x ax =--在区间(,4]-∞上单调递减，则实数a 满足的条件是（）A.[)8,+∞B.(],8∞- C.[)4,+∞ D.[)4,-+∞【答案】A 【解析】【分析】求出函数的对称轴，依题意可得42a≥，解得即可.【详解】解：因为函数()23f x x ax =--在区间(,4]-∞上单调递减，函数的对称轴为2ax =，开口向上，所以42a≥，解得8a ≥，即[)8,a ∈+∞.故选：A.4.已知函数()f x 的定义域为()0,2，则函数()3g x -=）A.()3,+∞ B.{}2,4 C.()4,5 D.{}2,3-【答案】C 【解析】【分析】先由函数()f x 的定义域求出()3f x -的定义域，再由>4x 可得答案.【详解】因为函数()f x 的定义域为()0,2，所以()3f x -满足032x <-<，即35x <<，又函数()3g x -=有意义，得3540x x <<⎧⎨->⎩，解得45x <<，所以函数()3g x -=的定义域为()4,5.故选：C5.已知函数()f x 满足()()1f x f x -= ，()0f x >恒成立，则函数()1()()1f xg x f x -=+是A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又偶函数D.非奇非偶函数【答案】A 【解析】【分析】利用奇偶函数的定义，判断()g x -与()g x 的关系．【详解】解：由已知，()()1f x f x -= ，()0f x >，1()()f x f x ∴-=，11()11()()()()1()11()1()f x f x f x g x g x f x f x f x ----∴-====--+++，()g x ∴为奇函数；故选：A ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性的判断；在定义域关于原点对称的情况下，判断()f x -与()f x 的关系，属于基础题．6.已知正实数a 、b 满足2a b +=，则141a b ++最小值为（）A.B.4C. D.3【答案】D 【解析】【分析】命题人以已知条件为依托，经过巧妙的构思设制一道组合优题，考查了考生灵活的运用均值公式和探究问题的能力，这体现了数学的理性思维、等价转化、恒等变形的数学核心素养，落实了基础性、探究开放的考查要求．试题难度：中．【详解】∵2a b +=，则13a b ++=，于是整合得1414133243311a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++++-≥=+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时取等号，于是141a b ++的最小值为3．故选:D ．7.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(2022)f =（）A.2022-B.0C.1D.2022【答案】B 【解析】【分析】求出函数的周期，利用周期和(0)0f =可得答案.【详解】因为(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，所以(2)(0)0f f =-=，(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==.故选：B.8.若[]1,1m ∀∈-，()24420x m x m +-+->为真命题，则x 的取值范围为（）A.(,1]-∞B.()1,3C.(,1)(3,)-∞+∞D.[]1,3【答案】C 【解析】【分析】主元变换，构造关于m 的函数()g m .根据函数性质，只需(1)g -与(1)g 都大于0即可.【详解】由题意知，[]1,1m ∀∈-，()24420x m x m +-+->恒成立，设函数2()(2)(2)g m x m x =-+-，即[1,1]m ∀∈-，()0g m >恒成立.则(1)0(1)0g g ->⎧⎨>⎩，即222(2)02(2)0x x x x ⎧-+->⎨-+->⎩，解得1x <，或3x >.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法错误的是（）A.()200ax a >>的解集为R B.不等式210x x ++<的解集为∅C.如果20ax bx c ++=中a<0，Δ0=，则20ax bx c ++≥的解集是2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭D.2340+->x x 的解集和不等式组1040x x ->⎧⎨+>⎩的解集相同【答案】ACD 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，()200ax a >>的解集为{}0x x ≠，A 错误；对于B ，1430∆=-=-< ，210x x ∴++<的解集为∅，B 正确；对于C ，若a<0，Δ0=，则20ax bx c ++≥的解集为2b x x a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，C 错误；对于D ，2340+->x x 的解集为()(),41,-∞-+∞U ；不等式组1040x x ->⎧⎨+>⎩的解集为()1,+∞，D 错误.故选：ACD .10.当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的范围可以是（）A.139m -<<-B.95m -<<-C.51m -<<-D.13m -<<【答案】AB 【解析】【分析】将(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，转化为(12)x ∈，时，不等式4m x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭恒成立求解.【详解】解：因为(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，所以(12)x ∈，时，不等式4m x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭恒成立，令()4g x x x=+，由对勾函数的性质得()g x 在(12)，上递减，所以()()15g x g <=，则()5g x ->-，所以5m ≤-，所以m 的范围可以是139m -<<-，95m -<<-，故选：AB11.已知0,0a b >>且1a b +=，则下列不等式成立的是（）A.14ab ≤ B.114a b+≤C.+≤ D.2212a b +≥【答案】ACD 【解析】【分析】根据基本不等式，判断不等关系，即可求解.【详解】A.0,0a b >>，2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，故A 正确；B.11224a b a b b a a b a b a b +++=+=++≥+，当且仅当b a a b =时，即a b =时等号成立，故B错误；C.2112a b a b =++=+++=，当且仅当a b =时，等号成立，+≤，故C 正确；D.()22211212122a b a b ab ab +=+-=-≥-=，当且仅当a b =时，等号成立，故D 正确.故选：ACD12.设函数()f x 的定义域为R ，()1fx +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，()2f x ax b =+.若()()036f f +=，则下列关于()f x 的说法正确的有（）A.()f x 的一个周期为4B.6x =是函数的一条对称轴C.[]1,2x ∈时，()222f x x =- D.2025522f ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】ABD 【解析】【分析】由(1)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数，可求得()f x 的周期为4，即可判断函数()f x 的对称性，由(1)f x +为奇函数，可得f ()10=，结合()()036f f +=，可求得a ，b 的值，从而得到[]1,2x ∈时，()f x 的解析式，再利用周期性从而求出20252f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．【详解】对于A ，)1(f x + 为奇函数，f ∴()10=，且(1)(1)f x f x +=--+，函数()f x 关于点()1,0，(2)f x + 偶函数，(2)(2)f x f x ∴+=-+，函数()f x 关于直线2x =对称，[(1)1][(1)1]()f x f x f x ∴++=--++=--，即(2)()f x f x +=--，(2)(2)()f x f x f x ∴-+=+=--，令t x =-，则(2)()f t f t +=-，(4)(2)()f t f t f t ∴+=-+=，(4)()f x f x ∴+=，故()f x 的一个周期为4，故A 正确；对于B ，则直线6x =是函数()f x 的一个对称轴，故B 正确；对于C 、D ，∵当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+，(0)(11)(2)4f f f a b ∴=-+=-=--，(3)(12)(12)(1)f f f f a b =+=-+==+a b =+，又(0)(3)6f f +=，36a ∴-=，解得2a =-，)0(1b f a =+= ，2b a ∴=-=，当[]1,2x ∈时，2()22f x x =-+，故C 不正确；2202513352222222f f f⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-=--⨯+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.集合{|14}A x x =<<，{|}B x x a =>，若A B ⋂=∅，则实数a 的范围是_____【答案】[)4,+∞【解析】【分析】由A B ⋂=∅可知集合A 与集合B 没有公共的元素,由此可得a 的范围【详解】由题,因为A B ⋂=∅,所以4a ≥故答案为：[)4,+∞【点睛】本题考查由集合的运算结果求参数问题,做题时合理利用数轴会更清晰直观地得到结果14.若()f x 是偶函数且在[)0,∞+上单调递增，又()21f -=，则不等式()11f x -<的解集为______．【答案】()1,3-【解析】【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可；【详解】因为()f x 是偶函数，所以()()221f f =-=，所以()()12f x f -<，又因为在[)0,∞+上单调递增，所以12x -<，解得：13x -<<，故答案为：()1,3-.15.若函数()()2231,14,1a x x f x ax x x ⎧+->=⎨-≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】要求分段函数每一段上均单调递增，且分段处，右端函数值大于等于左端函数值，从而得到不等式组，求出实数a 的取值范围.【详解】根据题意得2302123141a a a a +>⎧⎪≥⎨⎪+-≥-⎩，解得122a ≤≤，所以实数a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.函数()22(1)221x xx f x x -++-=+，在区间[]2019,2019-上的最大值为M ，最小值为m .则M m +=_____.【答案】2【解析】【分析】可将原函数化为()2222+11x x x f x x -+-=+，可设()22221x xx g x x -+-=+，可判断()g x 为奇函数，再根据奇函数与最值性质进行求解即可．【详解】因为()222(1)22222=+111x x x xx x f x x x --++-+-=++设()[]()22222019,20191x xx g x x x -+-=∈-+，，所以()()()()2222222211x xx x x x g x g x x x ---+-+--==-=-+-+；则()g x 是奇函数，所以()f x 在区间[]2019,2019-上的最大值为M ，即()1max M g x =+，()f x 在区间[]2019,2019-上的最小值为m ，即()min 1m g x =+，∵()g x 是奇函数，∴()()max min 0g x g x +=，则()()22max min M m g x g x +=++=.故答案为：2．【点睛】本题主要考查奇函数的性质，利用奇函数最值性质进行转化是解决本题的关键．属于中档题．四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知全集U =R ，集合{}{}|29,|25A x x B x x =<<=-≤≤．（1）求A B ⋂,()U B A ⋃ð；（2）已知集合{}|2C x a x a =≤≤-，若()R U C B ⋃=ð，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|25A B x x ⋂=<≤，{}()|5,9U B A x x x ⋃=≤≥或ð；（2）3a ≤-【解析】【分析】（1）根据集合的交并补运算，即可得到本题答案；（2）结合题意，列出不等式组求解，即可得到本题答案.【小问1详解】全集U=R ，集合{}{}|29,|25A x x B x x =<<=-≤≤；∴{}|25A B x x ⋂=<≤；{}=|29U A x x x ≤≥或ð，∴{}()|5,9U B A x x x ⋃=≤≥或ð；【小问2详解】∵{}|25U B x x x =<->或ð，又集合{}|2C x a x a =≤≤-，且()R U C B ⋃=ð，∴2225a a a a ≤-⎧⎪≤-⎨⎪-≥⎩，解得3a ≤-，∴实数a 的取值范围是3a ≤-．18.已知函数()21ax bf x x +=+（,a b R ∈）是定义在()1,1-上的奇函数，且12(25f =.（1）求a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在()1,1-的单调性，并证明.【答案】(1)1a =，0b =；(2)单调递增，证明见解析.【解析】【分析】(1)由奇函数的性质及所给1()2f 的值列式即可得解；(2)利用函数单调性定义通过“取值，作差，判断符号”的步骤即可作答.【详解】(1)因函数()f x 是()1,1-上的奇函数，于是有(0)0f =，解得0b =，即有()21axf x x =+，211222(1255()12aa f ===+，解得1a =，此时()21x f x x =+是()1,1-上的奇函数，所以1a =，0b =；(2)函数()f x 在()1,1-上单调递增，1212,(1,1),x x x x ∀∈-<，1212121222221212()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，而120x x -<，1210x x ->，2212(1)(1)0x x ++>，于是得12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数()f x 在()1,1-上单调递增.19.已知函数()221f x x ax a =-++-.（1）当1a =时，求()f x 在[]1,6-上的最值；（2）若()f x 在[]0,1上有最大值2，求实数a 的值.【答案】（1）最大值为1，最小值为24-；（2）1-或2.【解析】【分析】（1）把1a =代入函数式，再利用二次函数性质求出最值作答.（2）根据二次函数图象对称轴与区间的关系分类，探讨取得最大值2的a 值作答.【小问1详解】当1a =时，函数22()2(1)1f x x x x =-+=--+，[1,6]x ∈-，显然函数()f x 在[1,1]-上递增，在[1,6]上递减，当1x =时，max ()1f x =，当6x =时，min ()24f x =-，所以函数()f x 的最大值为1，最小值为24-.【小问2详解】函数22()()1f x x a a a =--+-+，[]0,1x ∈，当0a ≤时，函数()f x 在[]0,1上单调递减，max ()(0)1f x f a ==-，由12a -=，得1a =-，则1a =-；当1a ≥时，函数()f x 在[]0,1上单调递增，max ()(1)f x f a ==，即有2a =，则2a =，当01a <<时，2max ()()1f x f a a a ==-+，由212a a -+=，解得12a =，无解，所以实数a 的值为1-或2.20.已知函数()31log 21ax f x x +=-是奇函数．（1）求实数a 的值；（2）当51,8x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()()30f x f x m ---≤，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2a =（2）[)4,-+∞【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义可得出()()f x f x -=-，结合对数的运算性质可求得a 的值，对参数的值进行检验，即可得出实数a 的值；（2）求出函数2121y x =+-在51,8⎡⎤--⎢⎣⎦上的值域为11,93⎡⎤⎢⎣⎦，令()t f x =，则[]2,1t ∈--，由已知不等式结合参变量分离法可得出3t m t -≥-在[]2,1--上恒成立，求出函数()g t 在[]2,1--上的最大值，即可得出实数m 的取值范围.【小问1详解】解：由()31log 21ax f x x +=-是奇函数，得()()f x f x -=-，即3331121log log log 21211ax ax x x x ax -++-=-=---+，所以121211ax x x ax -+-=--+，整理得222114a x x -=-，对于()f x 定义域内的每一个x 恒成立，所以24a =，解得2a =±．当2a =时，()321log 21x f x x +=-为奇函数，符合题意；当2a =-时，21121x x -+=--，()f x 不存在．综上，2a =.【小问2详解】解：()33212log log 12121x f x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，其中51,8x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，易知2121y x =+-在51,8⎡⎤--⎢⎣⎦上单调递减，所以1193y ≤≤．设()t f x =，则[]2,1t ∈--，由()()30f x f x m ---≤，得3t m t -≥-在[]2,1--上恒成立，令()3tg t t -=-，其中[]2,1t ∈--，因为函数y t =、3t y -=-均为[]2,1--上的增函数，故()g t 在[]2,1--上单调递增，所以()()max 1134g t g =-=--=-，则4m ≥-，故实数m 的取值范围为[)4,-+∞．21.已知函数()()21f x x a x a =-++.（1）当2a =时，求关于x 的不等式()0f x >的解集；（2）求关于x 的不等式()0f x <的解集；（3）若()20f x x +≥在区间()1,+∞上恒成立，求实数a 的范围.【答案】（1）()()12,∪,-∞+∞；（2）答案见解析；（3）(3⎤-∞⎦.【解析】【分析】（1）把2a =代入可构造不等式2320x x -+>，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集.（2）根据函数()()()()21010f x x a x a x a x =-++<⇒--<，分类讨论可得不等式的解集.（3）若()20f x x +≥在区间()1,+∞上恒成立，即21x x a x +≤-在区间()1,+∞上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a 的范围.【小问1详解】当2a =时，则()232f x x x =-+，由()0f x >，得()()2320210x x x x -+>⇒-->，原不等式的解集为()()12,∪,-∞+∞；【小问2详解】由()()()010f x x a x <⇒--<，当1a >时，原不等式的解集为()1,a ；当1a =时，原不等式的解集为∅；当1a <时，原不等式的解集为(),1a .【小问3详解】由()20f x x +≥即()210x x x a +--≥在()1,+∞上恒成立，得21x x a x +≤-.令1t x =-()0t >，则()22112331t t x x t x t t++++==++≥+-当且仅当t =，即1x =时取等号.则3a ≤+，.故实数a 的范围是(3⎤-∞⎦22.已知奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x f x g x +=（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）判断并证明()g x 在[)0,∞+上的单调性（3）若对于任意的[]11,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()125g x mf x +=，求实数m 的取值范围【答案】（1）()222x x f x --=，()222x xg x -+=（2）()g x 在[)0,∞+上单调递增，证明见详解（3）692,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据已知条件用x -替换x ，构造一个关于()f x -、()g x -的方程，再利用函数的奇偶性化简，与已知方程联立即可求得答案；（2）先判断，在利用定义法证明；（3）设A ={}5()|12g x x -≤≤，B ={}()|12mf x x ≤≤，由()()125g x mf x +=可知，A B ⊆，列出不等式组即可求出k 的范围．【小问1详解】由奇函数()f x 和偶函数()g x 可知，()()f x f x -=-，()()g x g x -=，因为()()2xf xg x +=，①用x -替换x 得故()()2x f x g x --+-=，即()()2xf xg x --+=，②联立解得，()222x x f x --=，()222x xg x -+=【小问2详解】()g x 在[)0,∞+上单调递增；证明如下：取[)1212,0,,x x x x ∀∈+∞>所以1122122222()()22x x x x g x g x --++-=-1212222222x x x x ----=+()121211122+222x x x x -⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎝⎭⎣-⎥⎦()21121212222+222x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣-⎦-()121211221222x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-因为[)1212,0,,x x x x ∈+∞>所以1212122>122x x x x >≥，，1212210x x ->所以1212()()0()()g x g x g x g x ->⇒>所以()g x 在[)0,∞+上单调递增【小问3详解】设A ={}5()|12g x x -≤≤，令[]22,4xt =∈，则()222x xg x -+=化为12y t t +=，易知12y t t +=在[]2,4t ∈上单调递增，故()min 125224g x +==，()max 1417428g x +==，故2315,84A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；设B ={}()|12mf x x ≤≤，令[]22,4xt =∈，则()222x xf x --=化为12y t t -=，易知12y t t -=在[]2,4t ∈单调递增，故()min 123224f x -==，()max 1415428f x -==则[]1,2x ∈时，()315,48f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．若对于任意的[]11,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()125g x mf x +=可知A B ⊆，则A B ⊆，则显然0m >，则B =315,48m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2315315,,8448m m ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则32348151548m m ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得692,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．。

河南高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.集合用列举法表示为（）．A．{0,1,2,3,4}B．{－1,0,1,2,3,4}C．{1,2,3,4}D．{1,2,3,4,5}2.下列集合中表示同一集合的是（）．A．M＝{（3,2）}，N＝{（2,3）}B．M＝{3,2}，N＝{2,3}C．M＝{（x，y）|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{1,2}，N＝{（1,2）}3.设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则a的范围是（）A．a＜1B．a≤1C．a＜2D．a≤24.设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,4,5}，则（）∩（）等于（）．A．B．{4}C．{1,5}D．{2,5}5.如下图给出的四个对应关系，其中构成映射的是（）．A．（1）（2）B．（1）（4）C．（1）（2）（4）D．（3）（4）6.函数的定义域是（）．A．[2，＋∞）B．（3，＋∞）C．[2,3）∪（3，＋∞）D．（2,3）∪（3，＋∞）7.已知则的值等于（）．A．－2B．4C．2D．－48.|的图象是（）．9.已知集合A＝{1,3， }，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝（）．A．0或B．0或3C．1或D．1或310.已知，则的解析式为（）．A．B．C．D．11.函数的值域是（）．A．B．（0,1）C．D．（0，＋∞）12.已知集合，，则M∪N等于（）．A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|x＞2}D．{x|x＞2或x＜0}二、填空题1.设全集U＝R，，，则图中阴影表示的集合为．2.已知集合，，则A∩B＝．3.已知函数的定义域为（－1,1），则函数＋的定义域是．4.下列图形是函数的图象的是．三、解答题1.已知集合M是由三个元素－2,，组成，若，求x．2.已知是一次函数，满足，求的解析式．3.已知若，求的值．4.已知集合，，若B⊆A，求实数m组成的集合．5.已知，．（1）当m＝1时，求A∪B；（2）若B⊆，求实数m的取值范围．6.某地上年度电价为0．8元，年用电量为1亿千瓦时，本年度计划将电价调至0．55元～0．75元之间，经测算，若电价调至元，则本年度新增用电量（亿千瓦时）与（－0．4）元成反比例．又当＝0．65时，＝0．8．（1）求与之间的函数关系式；（2）若每千瓦时电的成本价为0．3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年增加20%？[收益＝用电量×（实际电价－成本价）]河南高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.集合用列举法表示为（）．A．{0,1,2,3,4}B．{－1,0,1,2,3,4}C．{1,2,3,4}D．{1,2,3,4,5}【答案】B【解析】因为，所以选B．【考点】集合的表示方法．2.下列集合中表示同一集合的是（）．A．M＝{（3,2）}，N＝{（2,3）}B．M＝{3,2}，N＝{2,3}C．M＝{（x，y）|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{1,2}，N＝{（1,2）}【答案】B【解析】A选项中的两个集合表示的是点集，点的坐标不同所以A错；C选项中的两个集合,集合表示的是点集，集合表示的是数集所以C错；D选项中的两个集合,集合表示的是数集,集合表示的是点集所以D错；B选项中的两个集合都表示的是数集且元素相同所以B正确．【考点】函数的三要素．3.设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则a的范围是（）A．a＜1B．a≤1C．a＜2D．a≤2【答案】B【解析】有分析题意可知：集合的范围比集合的范围要小即所覆盖的范围比所覆盖的范围大，所以．考点:集合间的基本关系．4.设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,4,5}，则（）∩（）等于（）．A．B．{4}C．{1,5}D．{2,5}【答案】C【解析】因为U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,4,5}；所以，，所以（）∩（）．【考点】集合的运算．5.如下图给出的四个对应关系，其中构成映射的是（）．A．（1）（2）B．（1）（4）C．（1）（2）（4）D．（3）（4）【答案】A【解析】由映射的定义可知：集合A中的元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应；但是（2）中的元素1,4没有象与之对应，（3）中的1,2都有两个象，所以（1）（4）正确．【考点】映射的定义．6.函数的定义域是（）．A．[2，＋∞）B．（3，＋∞）C．[2,3）∪（3，＋∞）D．（2,3）∪（3，＋∞）【答案】C【解析】因为，所以．【考点】函数的定义域．7.已知则的值等于（）．A．－2B．4C．2D．－4【答案】B【解析】当时，，当时，，所以．【考点】函数求值．8.|的图象是（）．【答案】B【解析】首先把的图像画出，然后再画|的图象；即把轴下方的图像对应翻到上方去即可．【考点】含绝对值函数的图像．9.已知集合A＝{1,3， }，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝（）．A．0或B．0或3C．1或D．1或3【答案】B【解析】因为A＝{1,3， }，B＝{1，m}且A∪B＝A，所以或，由集合元素的相异性的特征可知：或．【考点】集合相等．10.已知，则的解析式为（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】令因为所以，所以的解析式为．【考点】函数的解析式．11.函数的值域是（）．A．B．（0,1）C．D．（0，＋∞）【答案】D【解析】当时，；当时，，所以函数的值域为．【考点】函数的值域．12.已知集合，，则M∪N等于（）．A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|x＞2}D．{x|x＞2或x＜0}【答案】A【解析】因为,,所以M∪N．【考点】集合的运算．二、填空题1.设全集U＝R，，，则图中阴影表示的集合为．【答案】【解析】因为，，所以．【考点】集合间的基本的运算．2.已知集合，，则A∩B＝．【答案】【解析】因为，，所以．【考点】集合间的基本的运算．3.已知函数的定义域为（－1,1），则函数＋的定义域是．【答案】【解析】因为函数的定义域为（－1,1），所以所以函数＋的定义域为．【考点】函数的定义域．4.下列图形是函数的图象的是．【答案】③【解析】作分段函数的图像可以先画出在R上的图像然后再截取对应区间上的图像，剩下的这部分是相同的，所以应选③．【考点】分段函数的图像．三、解答题1.已知集合M是由三个元素－2,，组成，若，求x．【答案】【解析】首先根据元素与集合间的基本关系可得：或，然后再用分类讨论的思想逐一验证，这就需要把集合元素的三个特征牢记在心．象这类题目在这三个特征中用到最多的是互异性．试题解析：因为,所以或；当时，，经检验可知：都不满足元素的互异性，所以舍去．当时，，经检验可知：都符合题意．所以【考点】元素与集合的关系．2.已知是一次函数，满足，求的解析式．【答案】【解析】因为是一次函数，所以首先设函数的解析式为，然后根据可得，所以由对应系数相等列方程组为进而可求得系数的值，最后可确定函数解析式．试题解析：因为是一次函数，所以设，又因为满足，所以，所以，所以所以．【考点】求函数的解析式．3.已知若，求的值．【答案】【解析】像这样解分段函数的方程应逐一求解，首先分段求解如：当时，求解后再分析结果是否在对应范围内；当时，也是如此最后得出的值．试题解析：（1）当时，或（舍），所以．当时，都不符合的范围；所以综上可得：．【考点】分段函数的应用．4.已知集合，，若B⊆A，求实数m组成的集合．【答案】【解析】首先把集合中的元素确定，然后根据两集合间的关系B⊆A，把集合B的所有情况判断出来即：．下面根据集合B的情况讨论m的取值如：当时，；当时，；当时，；这样既可得到实数m的所有值．试题解析：因为且B⊆A，所以，当时，；当时，；当时，；所以综上可得：实数m组成的集合为．【考点】集合间的基本关系．5.已知，．（1）当m＝1时，求A∪B；（2）若B⊆，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）或【解析】（1）首先把集合中的元素确定，然后借助数轴求出并集；（2）根据两集合间的关系B⊆，把集合B的所有情况判断出来，下面根据集合B的情况讨论m的取值即当时应满足；当时，应满足；这样既可得到实数m的所有值．试题解析：（1）当m＝1时，，所以；因为所以，又因为所以当时应满足；当时，应满足即；综上可得：或．【考点】集合间的基本关系及运算．6.某地上年度电价为0．8元，年用电量为1亿千瓦时，本年度计划将电价调至0．55元～0．75元之间，经测算，若电价调至元，则本年度新增用电量（亿千瓦时）与（－0．4）元成反比例．又当＝0．65时，＝0．8．（1）求与之间的函数关系式；（2）若每千瓦时电的成本价为0．3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年增加20%？[收益＝用电量×（实际电价－成本价）]【答案】（1）；（2）0．6【解析】（1）设出函数解析式，代入时，，即：根据（亿度）与成反比例可得到与之间的函数关系式，利用待定系数法求解即可；（2）利用收益=用电量×（实际电价-成本价），建立方程，即可求得结论．试题解析：（1）由题意，设，因为当时，，所以，所以，从而．（2）根据题意，得．整理得所以．又，所以．故当电价调至0．6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%．【考点】函数模型的应用．。

2019----2020学年郏县第一高级中学高一第一次月考数学试卷参考答案一、选择题(每小题5分共60分）(1)D (2)C (3)B (4)D (5)C (6)C (7)B (8)C (9)A (10)B (11)B (12)A二、填空题(每小题5分共20分)13、{3,5,7,9} 14、2x 15、（3，） 16、①③④二、解答题（共70分）17.解：（1）A={xI3≦x<7},U=R={xIx<3,或x≧7}又B={xI2<x<10}()B={xI2<x<3,或7≦x<10} -- - - -6分(2)A C,且C={xIx<a}a>3a的取值范围是（3，+) -- - - - -10分18.解:（1）由f(-x)=f(2+x)知，二次函数f(x)的图像关于直线x=1对称设二次函数f(x)=a(x-1)2+b (a、b待定）又f(2)=4,f(-1)=1a=-1,b=5f(x)=-(x-1)2+5即f(x)=-x2+2x+4 - - - - -- - - 6分(2)由(1)知<a<,或a 1实数a的取值范围为（，）[1,+) - - - -12 分19.解：(1)f(x)为偶函数①当x>0时 -x<0f(x)=x2+2x f(-X)=(-X)2-2(-X)=x2+2xf(-x)=f(x） - - - - - - - -- - - - - - 4分②当x<0时 -x>0f(x）=x2-2x f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2xf(-x)=f(x) - - - - - - - -- - - - - -8分综上知，恒有f（-x）=f(x)f(x)为偶函数 - - - - - - - - -- - - - - - 10分(2)图像如图：略 - - - - - - - -- - - - - - --12分20.（1）证明：设x 1<x20 则-x1>-x20 - - - - - - - -2分f(x)在[0，+)上为增函数f(-x1)>f(-x2) - - - - - - - 3分又f(x）是偶函数f(-x1)=f(x1) f(-x2)=f(x2) - - - - - - - -4分f(x1)>f(x2)f(x)在（-,0]上为减函数. - - - - - - - 6分(2) 由(1)知>32x-1<-3,或2x-1>3x<-1,或x>2不等式的解集为{xIx<-1,或x>2} - - - - -12分21.解:(1)f(x)为奇函数f-x)=-f(x)=-即-x-a+2=-(x-a+2)a=2又g(x)为偶函数g(-x)=g(x)(-x)2-bx+1=x2+bx+1b=0a=2,b=0 - - - - - - - - - - - - -- - - -6分(2)由2f(x)g(x)<g(x)-m得m<x2-2x+1=（x-1)2 对任意的x R恒成立m<0m的取值范围为（-，0) - - - - - - - - - -12分22.解：(1）由f(x+y)=f(x)+f(y)得f(0+0)=f(0)+f(0)f(0)=0 - - - - - - - - - - -2分(2)设x1<x2x2-x1>0又x>0时f(x)>0f(x2-x1)>0f(x 2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)>0f(x 2)>f(x1)即f(x1)<f(x2)f(x)在R上为增函数 - - - - - - - - - - - -7分(3）由f(3x+1）+f(-x+5)<0及性质知f(3x+1-x+5)<0即f(2x+6)<f(0)由(2)知 2x+6<0x<-3不等式的解集为{xIx<-3} - - - - - - - - -- - - - 12分。

2023-2024学年河南省周口市沈丘县第一高级中学高一数学文联考试卷含解析专业课理论基础部分一、选择题（每题1分，共5分）1.若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像是抛物线，开口向上，顶点坐标为（）。

A. (1, -2)B. (2, -1)C. (3, 0)D. (4, 1)2.已知集合A = {x | x = 2k + 1, k ∈ Z}，集合B = {x | x = 3k - 1, k ∈ Z}，则A∩B =（）。

A. {x | x = 5k - 2, k ∈ Z}B. {x | x = 6k - 3, k ∈ Z}C. {x | x = 2k + 1, k ∈ Z}D. {x | x = 3k - 1, k ∈ Z}3.若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则数列的通项公式为（）。

A. an = a1 + (n - 1)dB. an = a1 - (n - 1)dC. an = a1 * (n - 1)dD. an = a1 / (n - 1)d4.若矩阵A = ()，则A的行列式值为（）。

A. 2B. -2C. 5D. -55.若复数z = 3 + 4i，则|z| =（）。

A. 5B. 7C. 9D. 25二、判断题（每题1分，共5分）1.函数f(x) = x^3 - 3x在实数域上单调递增。

2.集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {4, 5, 6, 7, 8}，则A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}。

3.若向量a = (1, 2)，向量b = (2, 3)，则向量a与向量b的点积为5。

4.若矩阵A = ()，矩阵B = ()，则矩阵A与矩阵B的乘积为()。

5.复数z = 3 + 4i的共轭复数为3 - 4i。

三、填空题（每题1分，共5分）1.已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，则第10项a10 = ______。

2020-2021学年高一（上）1月月考数学试卷一、选择题1. 若角α的终边经过点(−2√3,m)，且tan α=−√33，则m =( ) A.−2B.−√3C.√3D.22. 已知函数f(x)=(12)x−1+b ，且函数图像不经过第一象限，则b 的取值范围是( )A.(−∞, −1)B.(−∞, −1]C.(−∞, −2]D.(−∞,−2)3. 已知函数f (x )=√3sin (ωx +φ)(ω>0,−π2<φ<π2)，A (13,0)为其图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC =4，则f (x )的解析式为( )A.f (x )=√3sin (π4x −π12)B.f (x )=√3sin (π4x +5π12)C.f (x )=√3sin (π2x −π6)D.f (x )=√3sin (π2x +π3)4. 已知a =30.2，b =log 64，c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.c <a <bB.c <b <aC.b <a <cD.b <c <a5. 设函数f (x )=x 2−2x+5x−1在区间[2,9]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m +M =( )A.272B.13C.252D.126. 数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m =√5−12的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18∘，则m√4−m 22cos 227∘−1=( ) A.4B.√5+1C.2D.√5−17. 已知函数f (x )是R 上的奇函数，且对任意x ∈R 有f (x +1)是偶函数，且f (−1)=1，则f (2020)+f (2021)=( )A.−1B.0C.1D.28. 在锐角△ABC中，B=π3，则cos A+cos C的取值范围是( )A.(12,1] B.(√32,1] C.(12,√32) D.[−1,1]二、填空题在△ABC中，已知tan A+B2=sin C，给出以下四个论断：①tan A=tan B；②1< sin A+sin B≤√2；③sin2A+cos2B=1；④cos2A+cos2B=sin2C，其中正确的是________.三、解答题已知sin(α−2β)=4√37，cos(2α−β)=−1114，0<β<π4<α<π2.(1)求cos(α−2β)值；(2)求α+β的值．已知函数f(x)=2cos x(sin x+√3cos x)−√3.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈[−π8,π2]时，求y=f(x)的值域．参考答案与试题解析一、选择题1.【答案】D【解析】根据三角函数定义得到tanα=−2√3=−√33，计算得到答案．2.【答案】C【解析】此题暂无解析3.【答案】C【解析】由已知利用正弦函数的图象和性质，正弦函数的周期公式，勾股定理可解得ω=π2，利用正弦函数的性质可知π2×13+φ=kπ，k∈Z，求出φ的值，即可求出结果.4.【答案】B【解析】先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与1进行大小比较，得知a>1，0<b，c<1，再利用换底公式得出b、c的大小，从而得出三个数的大小关系．5.【答案】C【解析】对函数求导，令导数为0，得到极值点，比较端点与极值点的大小即可得最大值，最小即可，相加即得答案.6.【答案】C【解析】利用二倍角公式和同角三角函数基本关系进行求解即可.7.【答案】A【解析】根据题意，由函数奇偶性的定义分析可得f(x+2)=f(−x)=−f(x)，进而可得f (x +4)=−f (x +2)=f (x )，即可得f (x )是周期为4的周期函数，据此求出f (2020)+f (202)的值，相加即可得答案．8.【答案】B【解析】根据题意求出A +C 的度数，用A 表示出C ，代入所求式子利用两角和与差的正余弦函数公式化为一个角的正弦函数．由A 的范围求出这个角的范围．利用正弦函数的值域确定出范围即可．二、填空题【答案】②④【解析】已知式子变形可得A +B =π2，逐个选项判定即可 . 三、解答题【答案】解：(1)因为0<β<π4<α<π2， 所以0<2β<π2，−π2<−2β<0，则−π4<α−2β<π2. 由sin (α−2β)=4√37>0得0<α−2β<π2，所以cos (α−2β)=√1−(4√37)2=√1−4849=17．(2)因为π2<2α<π，−π4<−β<0，所以π4<2α−β<π.因为cos (2α−β)=−1114， 所以sin (2α−β)=5√314，所以cos (α+β)=cos [(2α−β)−(α−2β)]=cos (2α−β)cos (α−2β)+sin (2α−β)sin (α−2β)=−1114×17+5√314×4√37=12. 又因为π4<α+β<3π4，所以α+β=π3． 【解析】(1)根据同角三角函数关系，先求出α−2β的范围，进而求出cos (α−2β)值；(2)利用两角和差的余弦公式进行求解即可．【答案】解：(1)因为f(x)=2cos x(sin x+√3cos x)−√3 =2cos x sin x+2√3cos2x−√3=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3).所以T=2π2=π，所以f(x)最小正周期为π.(2)因为x∈[−π8,π2 ]，所以2x+π3∈[π12,4π3]，所以sin(2x+π3)∈[−√32,1]，故f(x)的值域为[−√3,2].【解析】此题暂无解析。

河南高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设全集，集合，，则集合（）A．B．C．D．2.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．B．C．D．3.已知函数，则的值是（）A．B．C．0D．14.设为定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则等于（）A．B．C．1D．35.已知，则的值为（）A．1B．4C．1或4D．或46.方程的根所在区间是（）A．B．C．D．7.若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）A．倍B．倍C．2倍D．倍8.已知平面、、，则下列说法正确的是（）A．，则B．，则C．，则D．，则9.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A．1B．C．D．10.已知函数，，，则的最值是（）A．最大值为3，最小值为1B．最大值为，无最小值C．最大值为，无最小值D．最大值为3，最小值为-111.已知对数函数是增函数（且），则函数的图象大致是（）12.当时，（且），则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知集合，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A的个数 .2.下图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则 cm .3.已知三棱锥P-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且，，则该三棱锥的外接球的表面积为 .4.下列命题中：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③若奇函数，则实数；④图象过原点的奇函数必是单调函数；⑤函数的零点个数为2；⑥互为反函数的图象关于直线对称.上述命题中所有正确的命题序号是 .三、解答题1.集合，.（1）若，求实数m的取值范围；（2）当时，求A的非空真子集的个数.2.已知函数，，求的最大值、最小值及此时x的值.3.四面体ABCD中，，E、F分别是AD、BC的中点，且，，求证：平面ACD.4.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健产品的收益与投资成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比. 已知投资1万元时两类产品的收益分别为万元和0.5万元.（1）分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问，怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？5.如图所示，在长方体中，，，M是棱的中点.（1）求异面直线和所成的角的正切值；（2）证明：平面平面.6.已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有成立. （1）判断在上的单调性，并证明；（2）解不等式：；（3）若当时，对所有的恒成立，求实数m的取值范围.河南高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.设全集，集合，，则集合（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，故选B.【考点】集合的运算.2.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】两个函数相同应满足定义域相等，解析式等价.A中两个函数的定义域都为，，所以是同一个函数；B中的定义域为，而的定义域为，所以它们不是同一函数；C中的定义域为，而的定义域为，所以它们不是同一函数； D中的定义域为，而的定义域为，所以它们不是同一函数，故选D.【考点】函数的概念.3.已知函数，则的值是（）A．B．C．0D．1【答案】D【解析】故选D.【考点】分段函数.4.设为定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则等于（）A．B．C．1D．3【答案】A【解析】因为为定义在上的奇函数，且当时，（为常数），所以，当时，，，故选A.【考点】函数奇偶性的应用.5.已知，则的值为（）A．1B．4C．1或4D．或4【答案】B【解析】，，即，故选B.【考点】对数的性质.6.方程的根所在区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，，所以的零点所在的区间是，即方程的根所在区间是，故选D.【考点】函数与方程.7.若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）A．倍B．倍C．2倍D．倍【答案】B【解析】因为在斜二侧画法中，把平行于轴的直线仍画成平行与，长度不变，平行于轴的直线仍画成平行与，长度变为原来的，而与夹角为，所以斜二侧画法作出的直观图，底边长不变，高为原来的倍，所以其面积是原三角形面积的倍，故选B.【考点】平面图形直观图的斜二侧画法.8.已知平面、、，则下列说法正确的是（）A．，则B．，则C．，则D．，则【答案】B【解析】A中垂直于同一平面的两平面可能相交也可能平行，所以A，D不对；B中如果两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，另一个也垂直于这个平面，所以B正确；C中可用底面是直角三角形的直棱柱的三个侧面来说明，则是三棱锥的两条侧棱，所以C不对，故选B.【考点】空间直线与平面平行与垂直关系的应用.9.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】正方体的正视图可以是一个侧面正方形，此时面积最小为，也可以是底面边长为，高为的矩形，此时面积最大，所以正视图的面积，故选C.【考点】空间几何体的三视图.10.已知函数，，，则的最值是（）A．最大值为3，最小值为1B．最大值为，无最小值C．最大值为，无最小值D．最大值为3，最小值为-1【答案】C【解析】由知，当即时，；当，即时，，因此，作出其图象如下图所示，观察图象可以发现，，无最小值，故选C.【考点】分段函数的最值.11.已知对数函数是增函数（且），则函数的图象大致是（）【答案】B【解析】由于函数是增函数，所以，又因为函数是偶函数，其图象关于轴对称，所以关键是作出其在上的图象，而当时，，即把向左平移个单位得到，应该过原点，故选B.【考点】函数的奇偶性，函数图象的平移变换及对数函数的图象与性质.【方法点晴】给出函数解析式选择图象是比较常见的题型，本质上是对函数性质的综合考查，这类题型往往是先观察给出图象的区别，来决定需要研究函数的哪些性质.如观察图象关于原点还是轴对称，可以研究其奇偶性，只要具备奇偶性只需要研究其中轴右侧的图象的即可，另外研究图象上的特殊的点，特别是图象与轴、轴的交点也是比较有效的方法，最后就是其与基本初等函数的图象的关系，逐步排除直至选出答案.12.当时，（且），则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为当时，，所以要使不等式成立，应有，所以必有，在同一坐标系中作出满足的函数的图象，如图下图所示. 当时，过点，由得，如图，由对数函数图象的变化规律可知，图中的底数，所以，故选B.【考点】指数、对函数的图象与性质.【方法点晴】本题中指数函数图象是确定的，因此当时，函数的数值的范围是确定的，首先根据判断出是单调递减的即，排除C、D，再根据定点，求出当时，求出的值，最后再结合对数函数图象随底数的变化规律判断出底数的范围问题得解.二、填空题1.已知集合，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A的个数 .【答案】6【解析】因为中至少含有一个奇数，所以从这个角度，存在三种情况，元素可以是的元素，也可以不是，所以共有如下种情况：.【考点】集合的概念与集合之间的关系.2.下图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则 cm .【答案】4【解析】根据三视图可知这是一个底面是直角三角形，一条恻棱垂直于底面的三棱锥，由三视图的规则可知底面直角三角形的面积，即为三棱锥的高，所以其体积，所以.【考点】几何体的三视图及其体积的求法.3.已知三棱锥P-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且，，则该三棱锥的外接球的表面积为 .【答案】【解析】设棱锥的外接球球心为，半径为，由于，所以点在底面内的射影经过球心并落在的外心上，是以为斜边的直角三角形，所以其外心为斜边的中点，又因为，所以，在中，，在中，，所以该三棱锥的外接球的表面积.【考点】多面体与球的组合体及球的表面积公式.【方法点晴】球与多面体、旋转体的组合体是比较常见的题型，在这类问题中解题的关键是通过研究它们的结构特征确定球心的位置，根据球的截面性质，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于球半径的方程，进而求出球的半径，问题便能顺利求解，本题中，且底面是以为斜边的等腰直角三角形，决定了顶点在底面内射影的位置，恰好为斜边的中点，再解就简单了.4.下列命题中：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③若奇函数，则实数；④图象过原点的奇函数必是单调函数；⑤函数的零点个数为2；⑥互为反函数的图象关于直线对称.上述命题中所有正确的命题序号是 .【答案】③⑥【解析】•可举反例来说明其错误；‚当奇函数在处无定义的时候，图象就不通过原点，比如；ƒ奇函数在处有意义，所以； 若图象过原点的奇函数在单调时，其在定义域内必是单调函数，而当过原点的奇函数在不单调时，它在定义域内就不是单调函数，比如； 函数的零点即函数与的交点，作出图象可以发现它们在轴左侧有一个交点，右侧有两个交点，所以函数的零点个数为； 结合反函数的定义可知原函数的反函数互为逆运算，所以原函数图象若过点，则点必定在反函数的图象上，即它们的图象关于直线对称.【考点】函数奇偶性的图象与性质，函数与方程及互为反函数的函数图象之间的关系.【方法点晴】多选题往往在一套试卷中对要考查的知识点起着补充作用，内容比较零碎，需要对每个命题都要做出准确的判断方能得分，正是这一要求导致其得分率比较低.在判断的过程中思维一定要考虑全面，从正、反两个方面进行考虑，特别是从正面不好直接判断时，可以从命题的反面看能否找出反例进行排除，比如在本题中•‚…是用反例来进行否定，ƒ…†则是从正面直接判断.三、解答题1.集合，.（1）若，求实数m的取值范围；（2）当时，求A的非空真子集的个数.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）说明，可以按集合和两种情况进行讨论；（2）当时，集合中的元素就确定了，一个含有个元素的集合，真子集的个数为个，而其非空真子集需要再减去空集，所以非空真子集共有个.试题解析：（1）∵，∴，当，即时，，满足；当，即时，要使成立，需满足，可得；综上，时，有.（2）当时，，所有A的非空真子集的个数为.【考点】集合概念与集合之间的关系.2.已知函数，，求的最大值、最小值及此时x的值.【答案】当时，，当时，.【解析】观察函数的形式容易发现这是一个以为变量的一元二次函数，可以设进行换元，由得，问题转化为一元二次函数在给定区间上的最值问题.试题解析：令，∵，在定义域递减有，∴，∴，，∴当，即时，取最小值；当，即时，取最大值7.【考点】对数函数的性质，一元二次函数在给定区间上的最值问题及换元法.3.四面体ABCD中，，E、F分别是AD、BC的中点，且，，求证：平面ACD.【答案】证明见解析.【解析】要证明平面，只需要证明垂直于平面内的两条相交直线，由已知条件可知，只需要再证明或者即可；给出了的中点，再取的中点，连接结合给出的长度关系可以证明，问题得证.试题解析：证明：如图所示，取CD的中点G，连接EG、FG、EF.∵E、F分别为AD、BC的中点，∴，，又，∴，在中，，∴，∴，又，即，，∴平面ACD.【考点】空间直线与平面的垂直关系的证明.4.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健产品的收益与投资成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比. 已知投资1万元时两类产品的收益分别为万元和0.5万元. （1）分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问，怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？【答案】（1），；（2）投资稳健产品万元，风险型产品万元，最大收益万元.【解析】（1）原题给出了两种理财产品的收益与投入的函数关系，可以采用待定系数法求解，结合给出的两点求待定系数的值即得其函数关系；（2）设投资股票的资金为万元，则投资债券的资金为万元，列出总收益的表达式，通过换元转化为一元二次函数的最值问题求解.试题解析：（1）设两类产品收益与投资的函数分别为：，，由已知得，，所以，.（2）设投资债券类产品x万元，则股票类投资为万元.依题意得：，令则.所以当，即万元时，收益最大，万.【考点】待定系数法、换元法及一元二次函数最值的求法.【方法点晴】应用问题读懂题意把应用问题转化为函数模型是解题的关键，本题中明确给出了函数模型，需要用待定系数法求出待定系数的值；第二问中，给出了投资两种理财产品的总资金，合理选择一种产品的投资额度设为变量，从而表示出另一种的投资额度这对后面的计算是非常重要的，这类问题往往最后通过换元法转化为基本初等函数的值域、最值问题来求解.5.如图所示，在长方体中，，，M是棱的中点.（1）求异面直线和所成的角的正切值；（2）证明：平面平面.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）在长方体中，过上一点找的平行线，把两条异面直线转化为相交直线就找到了两异面直线所成的角，解三角形即可；（2）因为，所以，通过勾股定理可以证明，这样就能证明平面，从而证得平面平面.试题解析：（1）如图，因为，所以为异面直线与所成的角.因为平面，所以.而，，故.即异面直线与所成的角的正切值为.（2）证明：由平面，平面，得.①由（1）知，，又，，所以，从而.②又，再由①②得平面，而平面ABM，因此平面ABM平面.【考点】异面直线所成角的求法及空间中垂直关系的证明.【方法点晴】异面直线所成的角通常通过平移把异面直线转化为相交直线，通过解三角形求解，按照作——证——指——解的解题步骤求解，其中作平行线是关键；要证明面面垂直，只能证明线面垂直，结合几何体的结构特征和已知条件及已经证得的结论，分析容易找到其中一个平面的垂线是证明的关键所在，而要证明线面垂直则要证明线线垂直，垂线往往就在已知或已证的直线中.6.已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有成立. （1）判断在上的单调性，并证明；（2）解不等式：；（3）若当时，对所有的恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）在上单调递增，证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）要证明在上的单调性，应考虑定义，设出上的两个变量，作差并根据对其变形，判断出它的符号，即得其单调性；（2）在（1）证明其单调性的基础上，结合其定义域和奇偶性，把不等式转化为关于的不等式组求解；（3）这是一个含有多变量的恒成立问题，先考虑“对所有，恒成立”易得，由前面的证明可得，再来解决“当时，恒成立”这是一个关于的一次函数，可设，则，讨论是否为零，即可列出不等式组，求得其范围.试题解析：（1）任取，且，则，又∵为奇函数，∴，由已知得，，∴，即.∴在上单调递增.（2）∵在上单调递增，∴，∴，∴不等式的解集为.（3）∵，在上单调递增，∴在上，，问题转化为，即对恒成立，求m的取值范围.下面来求m的取值范围.设，①若，则，自然对恒成立.②若，则为a的一次函数，若对恒成立，则必须，且，∴∴m的取值范围是【考点】函数单调性、奇偶性的综合应用，含参数的恒成立问题.【方法点晴】纵观本题，证明函数的单调性是解题的关键.现阶段证明函数的单调性，只能通过其定义，本题中难点在于根据其奇偶性和条件“，时，”对进行变形，从而判断出符合得到其单调性；对于函数值的不等式，最常用的方法是根据其单调性和奇偶性转化为自变量的不等式（组），定义域不能漏掉；多变量的恒成立和有解问题，处理的策略是逐个求解，方法是分离参数求最值或直接求最值.。