第四章符号运算

第4章 符号运算
教学目标 教学重点 教学内容
2020年2月21日
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教学目标
掌握符号对象的创建和使用 掌握符号的基本运算 理解数值运算和符号运算的区别 理解符号表达式的变换 掌握符号微积分、极限和级数的计算方法 了解符号函数的可视化
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教学重点
符号对象的创建和使用 符号对象的基本运算
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4.2.2 任意精度的算术运算
1. 符号工具箱的算术运算方式 （1）数值型 运算速度最快，占用内存最少，但结果不精确。
（2）有理数型 计算时间和占用内存是最大的，产生的结果是非 常准确的。
（3）VPA型 任意精度运算，这种运算比较灵活，可以设置任 意有效精度。
例如：sym(‘1/2+1/3’)
horner
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函数格式
化简前
g=collect(f, 符 f=(x-1)*(x-
号变量)
2)*(x-3)
f=(t-1)*(t-x)
g=expand(f, 符 f=(x-1)*(x-
号变量)
2)*(x-3)
f=cos(x-y)
命令 g=collect(f) g=collect(f,'t') g=expand(f) g=expand(f)
例，>> x=sym('x');
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2. syms函数
syms(s1,s2,s3,…,参数)
或 syms s1,s2,s3,…,参数%创建多个符号变量
syms与sym的关系是：syms(s1,s2,s3,…,参数)等同 于s1=sym('s1',参数)，s2=sym('s2',参数)……
化简成嵌套 的形式
g=(-t+1)*x+(t-1)*t
g=(2)^3*(3)*(5) 进 行 因 式 分
g =(x-1)*(x-2)*(x- 解
3)
32
给出排版形
x - 6 x + 11 x - 6 式 的 输 出 结
果
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6. simplify函数 simplify函数是一个功能强大的函数，利用各种形 式的代数恒等式对符号表达式进行化简，包括求和 、分解、积分、幂、三角、指数、对数、Bessel以及 超越函数等方法来简化表达式。
subs(s,old,new) %用new替换符号表达式s中的old 例如：
>> f1=subs(f,'x-y','S')
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4.3.4 计算反函数和复合函数
1. 反函数 函数f(x)存在一个反函数g(.)，g(f(x))=x，则g和f互 为反函数 g=finverse(f,v) %对f(v)按指定自变量v求反函数 例4-15： >> syms x y >> f=5*sin(x)+y; >> g=finverse(f) %对默认自由变量求反函数 >> g1=finverse(f,'y') %对y求反函数
例： >> syms x y >> f2=cos(x)^2+sin(x)^2; >> g2=simplify(f2) g2 = 1
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练习：
对符号表达式 f cosx sin2 x ，分别使用 collect、expand和simplify函数化简，并与simple 函数的结果比较。
6. 矩阵代数命令
符号运算中的矩阵代数命令有diag，triu， tril，inv，det，rank，poly，expm，eig和svd 等，它们的用法几乎与数值计算中的情况完 全一样
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例4-5：
>> A=sym('[a,b;c,d]'); >> B=sym('[1 2;3 4]'); >> C=A+B C= [ a+1, b+2] [ c+3, d+4]
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例如： 计算 a*x^2+b*x+c的根 计算f=sin(ax)+cos(x)的微分
计算 f 2 a r 2 sin 2 drd 00
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符号运算的特点：
（1）符号运算以推理解析的方式进行，计 算的结果不受计算累积误差影响；
（2）符号计算可以得出完全正确的封闭解 和任意精度的数值解；
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教学内容
4.1 符号对象的创建和使用 4.2 符号对象的运算 4.3 符号表达式的变换 4.4 符号微积分、极限和级数 4.5 符号积分变换 4.6 符号方程的求解 4.7 符号函数的可视化 4.8 综合举例
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符号运算的对象是非数值的符号对象，对 于像公式推导和因式分解等抽象的运算都可 以通过符号运算来解决。
（3）“′”，“.′”
2. 关系运算
只有运算符“= =”、“~=”分别对符号对象进行“ 相等”、“不等”的比较。
3. 三角函数、双曲函数和相应的反函数
三角函数包括sin、cos和tan，双曲函数包括sinh
、cosh和tanh
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4. 指数和对数函数
5. 复数函数
复数的共轭conj、求实部real、求虚部imag 和求模abs函数与数值计算中的使用方法相同 。没有提供求相角的命令。
pretty(f)
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化简后
功能
g=-6+x^3-
将f按照“符
6*x^2+11*x
号变量”的
g =t^2+(-1-x)*t+x 同次幂合并
g=-6+x^36*x^2+11*x
展开成多项 式和的形式
g=cos(x)*cos(y)+si
n(x)*sin(y)
g=-6+(11+(6+x)*x)*x
字母pi、i和j不能作为自由符号变量；
大写字母比所有的小写字母都靠后。
例如，在符号表达式“ax2+bx+c”中，自由符号变 量的顺序为xcba。
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练习：
确定下面各符号表达式中的自由符号变量：
1/(log(t)+log10(w*t))
sqrt(t)/y
10*i+x*j
答案： f=sym('cos(x)+sqrt(-sin(x)^2)') collect(f) expand(f) simple(f) simplify(f)
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4.3.3 符号表达式的替换
1. subexpr函数 subexpr函数用来替换符号表达式中重复出现的子 表达式，通过替换子表达式来化简。 2. subs函数 subs函数用来对符号表达式中某个特定符号进行 替换，命令格式如下：
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2. 不同类型对象的转换
（1）获得VPA型对象
digits(n)
%设定n位有效位数的精度
S=vpa(s,n) %将s按n位有效位数计算得出符号对象S
例：
>> digits
%显示默认精度
Digits = 32
>> q=sym('sqrt(2)')
q=
sqrt(2)
>> q=vpa(q)
3. class函数
s=class(x)
%返回对象x的数据类型
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例： >> a=sym(2) %定义数值符号常量 a= 2 >> a1=sym(a) %定义符号变量 a1 = 2 >> b=sym(b) ??? Undefined function or variable 'b'.
MATLAB 2015b对应的是Symbolic Math Toolbox 5.4，默认的符号运算引擎就由 Mupad代替了原来的Maple引擎。
符号工具箱能够实现微积分运算、线性代 数、表达式的化简、求解代数方程和微分方 程、不同精度转换和积分变换，符号计算的 结果可以以图形化显示，MATLAB的符号运 算功能十分完整和方便。
exp(-a*result)
2020年2月21日
答案：w y x result
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2. findsym函数
findsym(S,n) %确定符号对象S中的n个自由符号变量
例4-7 已知符号对象f=ax2+bx+c，得出自由符号变量。
>> syms a b c x y z;
>> f=a*x^2+b*x+c;
VPA型
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4.3 符号表达式的变换 4.3.1 符号表达式中的自由符号变量
1. 自由符号变量的确定 以下原则来选择一个自由符号变量：
符号表达式中的多个符号变量，按以下顺序来选 择自由符号变量：首先选择x，如果没有x，则选择 在字母表顺序中最接近x的字符变量，如果字母与x 的距离相同，则在x后面的优先；
（3）符号计算命令调用简单； （4）符号计算所需要的时间较长。
2020年2月21日
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4.百度文库 符号对象的创建和使用
创建符号对象都可以使用sym和syms函数来 实现。
1. sym函数
S=sym(s,参数) %由数值创建符号对象
S=sym(‘s’,参数) %由字符串创建符号对象
当被转换的s是数值时，参数可以是'd'、'f' 、'e'或'r' 四种格式，当被转换的's'是字符串 时，参数可以是'real'、'unreal'和'positive'三 种格式
>> whos
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4.1.3 符号表达式
符号表达式是由符号常量和符号变量等构成的表 达式，使用sym和syms函数来创建。
例4-3 分别使用sym和syms函数创建符号表达式。
>> syms a b c x
>> f1=a*x^2+b*x+c
f1 =
a*x^2+b*x+c
>> f2=sym('y^2+y+1')
>> b=sym(‘b’) %定义字符串符号常量 b= b
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4.1.2 符号常量和符号变量
符号常量是不含变量的符号表达式，用sym 函数来创建；符号变量使用sym和syms函数来 创建。
例4-1 创建符号常量和符号变量。
>> a=sin(2) >> a1=sym(sin(2)) %用数值创建符号常量 >> a2=sym(sin(2),'f')%用十六进制浮点表示 >> a3=sym(sin(2),'e')%用估计误差的有理表示
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4.3.2 符号表达式的化简
多项式的符号表达式有多种形式，例如，
f(x)=x3+6x2+11x-6 可以表示为： 合并同类项形式：f(x)=x3+6x2+11x-6 collect expand 因式分解形式：f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)
factor
嵌套形式：f(x)=x(x(x-6)+11)-6
g=horner(f) g=factor(f) pretty(f)
f=x^36*x^2+11*x-6 f=t^2(1+x)*t+x f=sym('120')
f=x^36*x^2+11*x-6 f=x^36*x^2+11*x-6
g=horner(f)
g=horner(f) g=factor(f) g=factor(f)
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2. 复合函数
MATLAB R2010a提供了compose函数可以求出f(x)和g(y) 的复合函数f(g(y))。
A=
[ a, b]
[ c, d]
>> b=[1 2 ;3 4 ] >> B=sym(b) ％sym用来将数值 转换为符号
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4.2 符号对象的运算 4.2.1 符号对象的基本运算
1. 算术运算
（1）“＋”，“－”，“*”，“\”，“/”，“^”
（2）“.*”，“./”，“.\”，“.^”
>> findsym(f)
%得出所有不按顺序排列的自由符号变量
ans =
a, b, c, x
>> findsym(f,4)
%得出4个按顺序排列的自由符号变量
ans =
x,c,b,a
>> g=x+i*y-j*z;
>> findsym(g)
%i和j不能做自由符号变量
ans =
x, y, z
2020年2月21日
%按默认精度计算并显示
q=
1.4142135623730950488016887242097
（2）获得数值型对象
n=double(s)
%将符号对象s转换为双精度数值对象n
2020年2月21日
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（3）不同类型对象转换关系
数值型
double sym
vpa double
有理数型
vpa
2020年2月21日
%创建符号表达式
f2 =
y^2+y+1
>> f3=sym('sin(z)^2+cos(z)^2=1') %创建符号方程
f3 =
sin(z)^2+cos(z)^2=1
2020年2月21日
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4.1.4 符号矩阵
符号矩阵的元素是符号对象，符号矩阵可 以用sym和syms函数来创建。
>> A=sym('[a,b;c,d]')