第三章 三角函数、解三角形 质量检测

三角函数及解三角形测试题(含答案)三角函数及解三角形1.在锐角三角形ABC中，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。

根据正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中R为三角形外接圆的半径。

根据余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。

根据正切的定义，$\tan A=\frac{a}{b}$。

根据余切的定义，$\cotA=\frac{b}{a}$。

根据正割的定义，$\sec A=\frac{c}{a}$。

根据余割的定义，$\csc A=\frac{c}{b}$。

2.选择题：1.设$\alpha$是锐角，$\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=3+\sqrt{22}$，则$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{22}}{36}$。

2.一艘船向XXX，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时5海里。

4.已知函数$f(x)=3\sin\omega x+\cos\omega x$，$y=f(x)$的图象与直线$y=2$的两个相邻交点的距离等于$\pi$，则$f(x)$的单调递增区间是$(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})$，其中$k\in Z$。

5.圆的半径为4，$a,b,c$为该圆的内接三角形的三边，若$abc=162$，则三角形的面积为$22$。

6.已知$\cos\alpha=-\frac{4}{\pi}$，且$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，则$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=-\frac{7}{7}$。

三角函数与解三角形本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部。

总分值150分。

考试时间120分钟。

第一卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符号题目要求的。

)1．角α终边上一点P ，则2sin 23tan αα-=〔 〕A ．1--B ．1-C ．-D ．0[答案] D 2．y＝(sin x＋cos x )2－1是( )A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数[答案] D[解析] y ＝(sin x ＋cos x )2－1＝2sin x cos x ＝sin2x ，所以函数y ＝(sin x ＋cos x )2－1是最小正周期为π的奇函数．3．把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移π6个单位，再将图像上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得的图象解析式为y ＝sin x ，则 ( )A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝2，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝π12[答案] B[分析] 函数y ＝sin(ωx ＋φ)经过上述变换得到函数y ＝sin x ，把函数y ＝sin x 的图象经过上述变换的逆变换即可得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．[解析] 把y ＝sin x 图象上全部点的横坐标缩小到原来的12倍得到的函数解析式是y ＝sin2x ，再把这个函数图象向右平移π6个单位，得到的函数图象的解析式是y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，与函数比拟得ω＝2，φ＝－π3. [点评] 此题考查三角函数图象的变换，试题设计成逆向考查的方法更能考查出考生的分析解决问题的灵敏性，此题也可以根据比拟系数的方法求解，根据的变换方法，经过两次变换后函数y ＝sin(ωx ＋φ)被变换成y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx 2＋ωπ6＋φ比拟系数也可以得到问题的答案． 4．tan α＝2，则2sin 2α＋1sin2α＝ ( )A.53 B ．－134C.135D.134[答案] D[解析] ∵tan α＝2，∴2sin 2α＋1sin2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝134.5．函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最大值是2，则ω的最小值等于( )A.23B.32 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 由条件知f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin π4ω＝2，∴ω＝8k ＋2，∵ω>0，∴ω最小值为2. 6．假设函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫－π8，0 B.⎝⎛⎭⎫π8，0 C ．(0,0) D.⎝⎛⎭⎫－π4，0 [答案] A[分析] 把函数化为一个角的一种三角函数，根据函数的最小正周期求出ω的值，根据对称中心是函数图象与x 轴的交点进行检验或直接令f (x )＝0求解．[解析] f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，这个函数的最小正周期是2πω，令2πω＝1，解得ω＝2，故函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，把选项代入检验知点⎝⎛⎭⎫－π8，0为其一个对称中心．[点评] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称中心，就是函数图象与x 轴的交点． 7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是 ( ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2[答案] D[解析] 由最大值为4，最小值为0得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋m ＝4－A ＋m ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2m ＝2， 又因为正周期为π2，∴2πω＝π2，∴ω＝4，∴函数为y ＝2sin(4x ＋φ)＋2，∵直线x ＝π3为其对称轴，∴4×π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－5π6，取k ＝1知φ＝π6，应选D.8．cos(x ―π6)=― 3 3 ，则cosx+cos(x ―π3)的值是 ( )A 、― 2 3 3B 、± 2 33C 、―1D 、±19．△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则角A 等于 ( )A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°[答案] D[解析] 根据正弦定理得1sin A ＝2sin45°，∴sin A ＝12，∵a <b ，∴A 为锐角，∴A ＝30°，应选D.10．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的一局部图象如下图，如图A >0，ω>0，|φ|<π2，则( )A ．φ＝－π6B ．φ＝－π3C ．φ＝π3D ．φ＝π6[答案] D[解析] 由图可知⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋b ＝4－A ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2b ＝2， 又T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2， ∴y ＝2sin(2x ＋φ)＋2，将⎝⎛⎭⎫5π12，2代入得sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝0，结合选项知选D. 第二卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共5个小题，每题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos(10°－60°)2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2.12．在△ABC 中，假设a ＝b ＝1，c ＝3，则∠C ＝________.[解析] cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋1－32＝－12，∴C ＝2π3.13．假设tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________．[答案] 17[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)·tan α＝3－21＋3×2＝17.14．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________． [答案] [－1,2][解析] f (x )在[0，π2]上有两个不同零点，即方程f (x )＝0在[0，π2]上有两个不同实数解，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈[0，π2]与y ＝m 有两个不同交点， ∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin(2x －π6)≤1，∴－1≤y ≤2，∴－1≤m ≤2.15．对于函数f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x －1(x ∈R )给出以下命题： ①f (x )的最小正周期为2π； ②f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；③直线x ＝π8是f (x )的图像的一条对称轴；④f (x )的图像可以由函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π4而得到．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的都填上)．[答案] ②③[解析] f (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，最小正周期T ＝π；由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，故f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，∴x ＝π8是f (x )的图象的一条对轴称；y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位得到的图象对应函数为y ＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2，因此只有②③正确． 三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题总分值12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的局部图象如下图．(1)求函数f (x )的解析式；(2)假设f ⎝⎛⎭⎫α2＝45，0<α<π3，求cos α的值． [解析] (1)由图象知A ＝1f (x )的最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2 将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入f (x )的解析式得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1， 又|φ|<π2，∴φ＝π6故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 (2)f ⎝⎛⎭⎫α2＝45，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，又0<α<π3， ∴π6<α＋π6<π2，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 又cos α＝[(α＋π6)－π6]＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6＝33＋410. 17．(本小题总分值12分) )cos 2,sin (cos ),sin ,sin (cos x x x b x x x a -=+=,设b a x f ⋅=)(.(1)求函数)(x f 的单调增区间；〔2〕三角形ABC 的三个角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，且满足(),103A fB π==+=，求边c .[解析](1) b a x f ⋅=)( =x x x x x x cos 2sin )sin (cos )sin (cos ⋅+-⋅+ =x x x x cos sin 2sin cos 22+- =x x 2sin 2cos +=)2sin 222cos 22(2x x +=cos2cossin 2)44x x ππ+=)42sin(2π+x ………………………………3分由()f x 递增得：222242k x k πππππ-+≤+≤+即3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ∴)(x f 的递增区间是3[,],88k k k Z ππππ-++∈ 。

高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.若，则．【答案】【解析】【考点】1．二倍角公式；2．同角三角函数2.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为．【答案】2【解析】由题意得：，因为在上为增函数，所以，即的最大值为2【考点】三角函数图像变换与性质3.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】C【解析】由图可知则，又，结合可知，即，为了得到的图象，只需把的图象上所有点向右平移个单位长度．【考点】函数图象、图象的平移．4.在中，角所对的边分别为，满足，且．（1）求角的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角的值．【答案】（1）；（2）当时，取到最大值．【解析】本题主要考查余弦定理、正弦定理、两角和的正弦公式、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用三角形的内角和定理转化为A的三角函数，利用两角和的正弦公式求解，结合正弦定理把边转化为角，求出表达式，求出结果即可；第二问，由余弦定理以及基本不等式求出的最值，注意等号成立的条件即可．试题解析：（1）由，可得，即，又，所以，由正弦定理得，因为，所以0，从而，即．（2）由余弦定理，得，又，所以，于是，--10当时，取到最大值．【考点】余弦定理、正弦定理、两角和的正弦公式、基本不等式．5.下列各式中，值为的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A，B、，C、， D、，故选择C【考点】三角恒等变换6.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则c＝．【答案】【解析】由余弦定理可得【考点】余弦定理解三角形7.已知面积为，，则BC长为．【答案】【解析】由三角形面积公式可知【考点】三角形面积公式8.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又c＝，b＝4，且BC边上的高h＝2．（1）求角C；（2）求边a的长【答案】（1）；（2）5；【解析】（1）角C在直角三角形ADC中，根据定义求解即可；（2）由（1）知的值，利用余弦定理即可．本题注意活用余弦定理．试题解析：（1）由于△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，，则．（2）由余弦定理，可知则，即所以或（舍）因此边长为5．【考点】1．正弦的定义；2．余弦定理；9.△ABC中，，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】A【解析】由正弦定理可知，，整理得，所以，则△ABC为等腰三角形．【考点】正弦定理的应用．10.在中，，则边的长为（）A．B．3C．D．7【答案】A【解析】由三角形的面积公式，得，解得；由余弦定理，得，即；故选A．【考点】1．三角形的面积公式；2．余弦定理．11.（2011•安徽）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为．【答案】15【解析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 的面积．解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：15【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理．12.（2015秋•醴陵市校级期末）正弦函数y=sinx在x=处的切线方程为．【答案】【解析】先求导函数，利用导函数在x=处可知切线的斜率，进而求出切点的坐标，即可求得切线方程．解：由题意，设f（x）=sinx，∴f′（x）=cosx当x=时，∵x=时，y=∴正弦函数y=sinx在x=处的切线方程为即故答案为：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．13.如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里．问:乙船每小时航行多少海里？【答案】【解析】连接，则∴△是等边三角形，求出，在△中使用余弦定理求出的长，除以航行时间得出速度试题解析：如图，连接A1B2，由题意知，A1B1＝20，A2B2＝10，A1A2＝×30＝10（海里）又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2＝105-60°＝45°．在△A1B2B1中，由余弦定理得＝202＋（10）2－2×20×10×＝200，∴B1B2＝10（海里）．因此乙船的速度大小为×60＝30（海里/小时）．【考点】解三角形的实际应用；余弦定理14.（2015春•东城区期末）下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①【答案】B【解析】根据三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”⇒“结论”，分析即可得到正确的次序．解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y=cosx（（x∈R ）是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y=cosx（（x∈R ）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③故选B【考点】演绎推理的基本方法．15.在△ABC内部有任意三点不共线的2017个点，加上A、B、C三个顶点，共有2020个点，把这2020个点连线，将△ABC分割成以这些点为顶点，且互不重叠的小三角形，则小三角形的个数为（）A．4037 B．4035 C．4033 D．4032【答案】B【解析】三个点时，有1个三角形，4个点时有3个三角形，5个点时有5个三角形，每加一个点，三角形的个数加2，因此2020个点时三角形的个数为1＋（2020－3）×2＝4035．【考点】归纳推理．16.在锐角中，内角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理得的值，再由题意可得的大小；（2）由已知条件代入余弦定理可求得的值，代入面积公式可得三角形的面积.试题解析：（1）∵中，，∴根据正弦定理，得∵锐角中，，∴等式两边约去，得∵是锐角的内角，∴；（2）∵，，∴由余弦定理，得，化简得，∵，平方得，∴两式相减，得，可得.因此，的面积.【考点】正弦定理、余弦定理.17.设函数，若为奇函数，则= ；【答案】【解析】，函数为奇函数，所以【考点】三角函数性质18.已知的三内角所对的边分别为，且，则．【答案】【解析】由正弦定理及得，所以，所以．【考点】正弦定理与余弦定理．19.函数的部分图像如图所示，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由图象可知，，所以，当时，，故选A．【考点】函数的图象．20.在锐角中，分别为角所对的边，且．（1）确定角的大小；（2）若，且的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据正弦定理化简已知的式子求出，在由锐角三角形的特征求出角的大小；（2）根据余弦定理和条件，可得，利用三角形的面积公式和条件求出和的值，由完全平方公式即可求出的值．试题解析：（1）由及正弦定理得，，∵，∴．∵是锐角三角形，∴．（2）∵，由面积公式得，即．．．．①由余弦定理得，即，∴．．．．②，由①②得，故．【考点】正弦定理与余弦定理．21.已知：f（x）=2cos2x+sin2x﹣+1（x∈R）．求：（Ⅰ）f（x）的最小正周期；（Ⅱ）f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若x∈[﹣，]时，求f（x）的值域．【答案】见解析【解析】解：f（x）=sin2x+（2cos2x﹣1）+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为T==π（Ⅱ）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+得2kπ﹣≤2x≤2kπ+∴kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z（Ⅲ）因为x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴f（x）∈[0，3]．【点评】本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，是基础题．22.在中，三内角的对边分别为，面积为，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，化为，又因为，解得或（舍去），所以．【考点】余弦定理．23.已知函数，（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数的极小值和最大值，并写明取到极小值和最大值时分别对应的值．【答案】（1）;（2）详见解析．【解析】（1）先求函数的导数，并且根据辅助角公式化简函数，并求导数在的零点，同时讨论零点两侧的单调性，确定函数的单调递减区间；（2）根据（1）的讨论，可求得极值点和极值以及端点值的大小，经比较可得函数的最大值以及极小值．试题解析：（1）f′（x）＝cosx＋sinx＋1＝sin（x＋）＋1 （）令f′（x）＝0，即sin（x＋）＝－，解之得x＝π或x＝π．x，f′（x）以及f（x）变化情况如下表：（π，π）π（π，2π）－0＋∴f（x）的单调减区间为（π，π）．＝f（）＝．（2）由（1）知f （x）极小而f（π）＝π＋2，，所以．【考点】导数的简单应用24.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水深为，高潮时水深为．每天潮涨潮落时，该港口水的深度（）关于时间（）的函数图象可以近似地看成函数的图象，其中，且时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意分析可知函数的最大值为15，最小值为9，周期T=12，所以，又当t=3时，函数取得最大值，所以答案为A。

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第3章《三角函数、解三角形》（第5课时）（新人教A 版）一、选择题1．(2011·高考湖北卷)已知函数f ()x ＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f ()x ≥1，则x 的取值范围为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z解析：选B.∵f ()x ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，∴f ()x ≥1，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≥1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6≥12，∴π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z . 解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .2．(2012·高考山东卷)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A.当0≤x ≤9，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.3．(2012·高考课标全国卷)已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3C.π2D.3π4解析：选A.由于直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π，所以ω＝1，所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，又0＜φ＜π，所以φ＝π4.4．若函数y ＝2cos(2x ＋φ)是偶函数，且在(0，π4)上是增函数，则实数φ可能是( )A ．－π2B ．0C.π2D ．π 解析：选D.依次代入检验知，当φ＝π时，函数y ＝2cos(2x ＋π)＝－2cos2x ，此时函数是偶函数且在(0，π4)上是增函数．5．(2011·高考山东卷)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.23 解析：选C.由解析式看出，图象过原点，所以T 4＝π3，T ＝4π3，2πω＝4π3，解得ω＝32.二、填空题6．函数y ＝12sin(π4－23x )的单调递增区间为________．解析：由y ＝12sin(π4－23x )，得y ＝－12sin(23x －π4)，由π2＋2k π≤23x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得 9π8＋3k π≤x ≤21π8＋3k π，k ∈Z ， 故函数的单调递增区间为[9π8＋3k π，21π8＋3k π](k ∈Z )．答案：[9π8＋3k π，21π8＋3k π](k ∈Z )7．函数y ＝lgsin x ＋cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x －12≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ， ∴函数的定义域为{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z }．答案：{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z }8.(2011·高考辽宁卷)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________. 解析：如图可知T 2＝3π8－π8，即π2ω＝π4，所以ω＝2，再结合图象可得2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即|φ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k π＋π4＜π2，所以－34＜k ＜14，只有k ＝0，所以φ＝π4，又图象过点(0,1)，代入得A tan π4＝1，所以A ＝1，函数的解析式为f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan π3＝ 3.答案： 3 三、解答题9．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝⎛⎭⎪⎫cos x －232－73，x ∈R .因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73.10．已知函数f (x )＝3(sin 2x －cos 2x )－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈[－π3，π3]，求f (x )的值域和单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2x )－2sin x cos x＝－3cos2x －sin2x ＝－2sin(2x ＋π3)，∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈[－π3，π3]，∴－π3≤2x ＋π3≤π，∴－32≤sin(2x ＋π3)≤1. ∴f (x )的值域为[－2，3]．当y ＝sin(2x ＋π3)递减时，f (x )递增，令2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，则k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，又x ∈[－π3，π3]，∴π12≤x ≤π3.故f (x )的单调递增区间为[π12，π3]．一、选择题1．(2012·高考课标全国卷)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2] 解析：选A.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象可看作是由函数y ＝sin x 的图象先向左平移π4个单位得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的1ω倍(纵坐标不变)得到的，而函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上单调递减，所以要使函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，需满足⎩⎪⎨⎪⎧π4×1ω≤π2，5π4×1ω≥π，解得12≤ω≤54.2．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈(－π2，π2)时，f (x )＝x ＋sin x ，则( )A ．f (1)<f (2)<f (3)B ．f (2)<f (3)<f (1)C ．f (3)<f (2)<f (1)D ．f (3)<f (1)<f (2) 解析：选D.由f (x )＝f (π－x )知：f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，∴f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)．当x ∈(－π2，π2)时，f (x )＝x ＋sin x 是增函数．又－π2<π－3<1<π－2<π2，∴f (π－3)<f (1)<f (π－2)， 即f (3)<f (1)<f (2)． 二、填空题3．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω≠0)对任意的实数x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________．解析：由条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，可知x ＝π3为函数图象的一条对称轴，所以该函数在x ＝π3处应取得最大值或最小值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3或－3. 答案：3或－34．(2013·绍兴检测)关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题：①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)解析：函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是T 2＝π2知①错．利用诱导公式得f (x )＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，知②正确． 由于曲线f (x )与x 轴的每个交点都是它的对称中心，将x ＝－π6代入得f (x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝4sin0＝0，因此点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是f (x )图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f (x )的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y 轴平行，而x ＝－π6时y ＝0，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0不是最高点也不是最低点，故直线x ＝－π6不是图象的对称轴，因此命题④不正确．答案：②③ 三、解答题5．(2013·上海静安质检)已知a ＝(sin x ，－c os x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32.(1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．解：(1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin2x －32(cos2x ＋1)＋32＝12sin2x －32cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∴f (x )的最小正周期为π.令sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝0， 得2x －π3＝k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．故所求对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1， 即f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.。

三角函数试题含答案第三章三角函数、解三角形(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.集合M,{x|x,sinnπnπ，n?Z}，N,{x|x,cos，n?N}，则M?N等于( ) 32A.{,1,0,1}B.{0,1}C.{0}D.?解析:?M,{x|x,sinnπ333，n?Z},{2，0，2，N,{,1,0,1}，MN,{0}.答案:C2.已知α?π2π)，sinα,35，则tan(α，π4等于17 B.7 C.,17 D.,7解析:由α?(π2π)，sinα,33π1，tanα15，得tanα,,4，tan(α，4)1,tanα7.答案:A3.若函数f(x),(1，3tanx)cosx,0?xπ2则f(x)的最大值为A.1B.2C.3，1D.3，2解析:f(x),(1，3tanx)cosx,cosx，3sinx ,2sin(x，π6，0x,π2f(x)max,2.答案:B4.(2010?温州模拟)函数f(x),2sin(2x，π 6)在[,π2π2上对称轴的条数为A.1B.2C.3 D .0解析:?当,ππ2x?25π62x，π6?76，函数的对称轴为:2x，πππ62，2，x,,π3xπ6 ( ) ( ) ( )答案:Bπ5.要得到y,sin(2x,的图象，只要将y,sin2x的图象( ) 3ππA. B. 33ππC. D.向右平移 66ππ解析:?y,sin(2x,,sin2(x,， 36ππ?只要将y,sin2x的图象向右平移y,sin(2x,的图象. 63答案:Dπ6.使奇函数f(x),sin(2x，θ)，3cos(2x，θ)在[0]上为减函数的θ 值为( ) 4ππ5π2πA., B., C. D. 36632sin(2x，θ，， 3 π解析:由已知得:f(x),ππ由于函数为奇函数，故有θ，kπ?θ,kπ,(k?Z)，可淘汰B、C选项，然后分别将330]上递减，2ππA和D选项代入检验，易知当θ,时，f(x ),,2sin2x其在区间[,故34选D.答案:D3π7.给定函数?y,xcos(x)，?y,1，sin2(π，x)， 2π?y,cos(cos(，x))中，偶函数的个数是( ) 2A.3B.2C.1D.03解析:对于?y,xcos(π，x),xsinx，是偶函数，故?正确;对于?y,1，sin2(π，x),2πsin2x，1，是偶函数，故?正确;对于?y,cos(cos(，x)) 2,cos(,sinx),cos(sinx)，f(,x),cos(sin(,x)),cos(,sinx),cos(sinx),f(x)，函数是偶函数，故?正确.答案:A8.在?ABC中，若sin2A，sin2B,sinAsinB,sin2C，且满足ab,4，则该三角形的面积为( )A.1B.2C.2 3解析:?sin2A，sin2B,sinAsinB,sin2C，a2，b2,c21?a，b,ab,c，?cosC,， 2ab2222113?C,60?，?S?ABC,sinC,×3. 222答案:Dπ9.有一种波，其波形为函数y,sin()的图象，若在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最2高点)，则正整数t的最小值是( )A.3B.4C.5D.62π2π解析:由T,4，可知此波形的函数周期为4，显然当0?x?1时函数单调递增，ωπ2x,0时y,0，x,1时y,1，因此自0开始向右的第一个波峰所对的x值为1，第二个波峰对应的x值为5，所以要区间[0，t]上至少两个波峰，则t至少为5.答案:C10.设集合M,{平面)πππA.π B. C. D. 324π解析:f(x),cos2x3sin2x,2sin(2x，)，则最小正周期为π. 6答案:Aππ11.函数y,sin(2x,)在区间[,π]上的简图是 () 32ππ解析:当x,,y,sin(,π,) 23π3,sin,0，排除B、D， 32πππ当x,y,sin(),sin0,0，排除C. 633答案:Aππ2π12.设函数f(x),Asin(ωx，φ)，(A?0，ω,0，,,φ,)的图象关于直线x,对称，它的223周期是π，则( )15π2πA.f(x)的图象过点(0，) B.f(x)的图象在，]上递减 21235πC.f(x)的最大值为A D.f(x)的一个对称中心是点(，0) 122π解析:T,π，?ω,2.?图象关于直线x,对称， 32π?，φ),?1， 32ππ即×2，φ,，kπ，k?Z 32πππ又?,φ&lt;，?φ, 226π?f(x),Asin(2x，再用检验法. 6答案:D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知扇形 .解析:如图，设内切圆半径为r，则扇形的半径为3r，计算可π得扇形中心角为 31π故S内切圆?S扇形,πr2??3r(3r),2?3. 23答案:2?37π14.已知函数f(x),2sin(ωx，φ)的图象如下图所示，则f(),. 123解析:由图象知，函数的周期为×T,π， 22π?T,3π?f(,0， 47πππ?f(,f(，) 1243πTπ,f(),,f(,0. 424答案:03tanA15.设?ABC的 .33解析:由acosB,bcosA,及正弦定理可得sinAcosB,sinBcosA,sinC，即sinAcosB553,sinBcosA,A，B)，即5(sinAcosB,sinBcosA),3(sinAcosB，sinBcosA)，即sinAcosB5tanA,4sinBcosA，因此tanA,4tanB，所以4. tanB答案:416.下面有五个命题:函数y,sin4x,cos4x的最小正周期是π;kπ?终边在y轴上的角的集合是{α|α,，k?Z}; 2在同一坐标系中，函数y,sinx的图象和函数y,x的图象有三个公共点;ππ?把函数y,3sin(2x，)的图象向右平移y,3sin2x的图象; 36π?函数y,sin(x,在[0，π]上是减函数. 2其中真命题的序号是 .解析:?y,sin2x,cos2x,,cos2x，故最小正周期为π，?正确;k,0时，α,0，则角α终边在x轴上，故?错;由y,sinx在(0,0)处切线为y,x，所以y,sinx与y,x的图象只有一个交点，故?错;ππ?y,3sin(2x，)的图象向右平移 36ππy,3sin[2(x,，],3sin2x，故?正确; 63π?y,sin(x,),,cosx在[0，π]上为增函数，故?错. 2综上，??为真命题.答案:??三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)本小题满分12分)已知AC,sinsin，BC,(cos,sin222222，求f(x)的最小正周期和单调递减区间; (1)设f(x),AC ?，且f(x1),f(x2),1，求x1，x2的值. (2)设有不相等的两个实数x1，x2?解:(1)由f(x),AC?BC得xxxxxxf(x),(cos，sin)?(cossin，(,222222xxxx,cos2,sin22sincos 2222,cosx,sinx π,2cos(x，， 4所以f(x)的最小正周期T,2π.π又由2kπ?x，?π，2kπ，k?Z， 42kπ?x?2kπ，k?Z. 44 π3π得,π3π故f(x)的单调递减区间是[,，2kπ，，2kπ](k?Z). 44ππ2(2)由f(x),1得2cos(x，),1，故cos(x，),. 442，于是有x，,，得x1,0，x2,,，又x? πππ3ππ,π所以x1，x2,,2118.(本小题满分12分)在?ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，tanA,cosB2310,10(1)求角C;(2)若?ABC的最短边长是5，求最长边的长.1解:(1)?tanA,， 2255?A为锐角，则cosA，sinA,5531010又cosB,B为锐角，则sinB， 1010cosC,,cos(A，B),,cosAcosB，sinAsinB 253105102,,51051023又C?(0，π)，?C,π. 4(2)?sinA,sinB， 510A,B，即a,b，b最小，c最大，bc, sinBsinC22sinC得c,b,5,5. sinB101019.(本小题满分12分)在?ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA,510，sinB,. 510(1)求A，B的值;(2)若a,b,1，求a、b、c的值.解:(1)?A、B为锐角，sinA?cosA,1,sinA,25， 5510，sinB,， 51010cosB1,sinB， 10cos(A，B),cosAcosB,sinAsinB,253105102,. 5105102π?0&lt;A，B&lt;π，?A，B,43π2(2)由(1)知C,sinC. 42由正弦定理αbc得 sin Asin BsinC5a,10b,2c，即a,2b，c5b， ?a,b,2,12b,b,2,1，?b,1，a2，c,5.20.(本小题满分12分)如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B点分别在第一、二象限，34点C是圆与x轴正半轴的交点，?AOB是正三角形，若点A的坐标为()，记?COA55,α.(1)求1，sin2α 1，cos2α(2)求|BC|2的值.(1)?A的坐标为)，根据三角函数的定义可知， 55 34解:43sinα,cosα,， 551，sin2α1，2sinαcosα49,,. 2cosα181，cos2αAOB为正三角形，??AOB,60?. (2)??cosCOB,cos(α，60),cosαcos60,sinαsin6031433,3,,， 525210|BC|2,|OC|2，|OB|2,2|OC|?|OB|cos?COB3,437，43,1，1,,10521((本小题满分12分)已知函数f(x),Asin(ωx，φ)，B(A,0，ω,0)的一系列对应值如下表:1 5π4π11π7π 66333 1 -1 1 17π 63 y-1(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式;2ππ(2)根据(1)的结果，若函数y,f(kx)(k,0)周期为，当x?[0时，方程f(kx),m恰有33两个不同的解，求实数m的取值范围;解:(1)设f(x)的最小正周期为T，得11ππT, ,(,,2π， 662π由T,ω,1.ω又5ππ5ππ令ω，φ,，即，φ 6262π解得φ,,， 3π?f(x),2sin(x,)，解得π2π(2)?函数y,f(kx),2sin(kx,，1的周期为， 33又k,0，?k,3.π令t,3x 3π?x?[0， 3π2π?t?[,33π2π3如图sint,s在[,上有两个不同的解的充要条件是s?，1)， 332 π?方程f(kx),m在x?[0时恰好有两个不同的解的充要条件是m?[3，1,3)，3，1,3)( 即实数m的取值范围是322((本小题满分14分)(2010?长沙模拟)长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示(经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面(该圆面的地APCD的面积最大，并求最大值(解:(1)因为四边形ABCD内接于圆，所以?ABC，?ADC,180?，连接AC，由余弦定理:AC2,42，62,2×4×6×cos?ABC,42，22,2×2×4cos?ADC.1所以cos?ABC,，??ABC?(0，π)， 2. 故?ABC,6011S四边形ABCD,×4×6×sin60?，×2×4×sin120? 22,3(万平方米)(在?ABC中，由余弦定理:AC2,AB2，BC2,2AB?BC?cos?ABC1,16，36,2×4×6. 2AC,27.由正弦定理ab,,2R， sinAsinBAC721?2R,,,， 3sin?ABC32221?R,(万米)( 3(2)?S四边形APCD,S?ADC，S?APC，1又S?ADCAD?CD?sin120?,23， 2设AP,x，CP,y.13则S?APC,?sin60?xy. 24又由余弦定理AC2,x2，y2,2xycos60? ,x2，y2,xy,28.x2，y2,xy?2xy,xy,xy.xy28，当且仅当x,y时取等号 ?S四边形APCD,2333xy?3，×28,93，44?最大面积为3万平方米(。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原函数在轴左侧是一段正弦型函数图象，在轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于轴对称的点至少有对，可将左侧的图象对称到轴右侧，即，应该与原来轴右侧的图象至少有个公共点如图，不能满足条件，只有此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得．【考点】分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数2.若，则函数的最大值是___________．【答案】【解析】由题意因为，所以，所以函数的最大值是．【考点】求最大值．3.已知，，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】,【考点】三角函数的性质4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．-2D．【答案】C【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选C．【考点】三角函数的性质．6.设的最小值为，则．【答案】【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以．【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题．7.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．D．-2【答案】D【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选D．【考点】三角函数的性质．8.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y=sin2x+cos2xB．y=sin2xcos2xC．y=cos（4x+）D．y=sin22x﹣cos22x【答案】D【解析】因为A项为非奇非偶函数，B项是奇函数，C项是奇函数，只有D项是符合题意的，故选D．【考点】诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和周期．9.函数的最大值为．【答案】【解析】解析式表示过的直线的斜率，由几何意义，即过定点（4，3）与单位圆相切时的切线斜率为最值．所以设切线得斜率为k，则直线方程为，即 ,【考点】三角函数最值【方法点睛】本题主要考查三角函数最值问题及转化的思想，解决问题的根据是根据所给函数式子转化为直线与圆的位置关系问题，即将所给式子看做定点与单位圆上点的连线的斜率的范围问题，通过模型转化使问题定点巧妙解决，属于经典试题．10.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．（1）求的值；（2）求边的长．【答案】（1）（2）4【解析】（1）利用角的关系，再结合两角差正弦公式展开就可求解（2）先在三角形ABD中，由正弦定理解出BD长，即CD长：由正弦定理，得，即，解得…故；再在三角形ADC中由余弦定理解出AC：；AC= 4试题解析：（1）（2）在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；【考点】正余弦定理11.中，，则的最大值为．【答案】【解析】设，由余弦定理的推论，所以，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为：．【考点】解三角形．【思路点睛】首先假设，然后再根据余弦定理的推论，可得，找到与的关系，再设，代入上式得，利用根的判别式，进而求出结果．本题的关键是利用余弦定理的推论．12.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求函数在区间上的单调减区间．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由图象中的最高点和最低点的纵坐标得到关于的方程组求得，再利用图象得到函数的周期，进而得到值，最后代入最低点坐标或最高点坐标结合的范围求出，即得到函数的解析式；（2）先求出，利用两角和差的正弦公式将其化为的形式，再利用整体思想求其单调递减区间．试题解析：（1）由图知，解得，又，所以，所以，将点代入，得，再由，得，所以；（2）因为由，解得；又，故所求的单调减区间为，．【考点】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变形．13.已知角的终边经过点（-4，3），则= ，= ；【答案】;【解析】由题意可得.【考点】任意角三角函数的定义.14.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把作为整体求之．试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得将上式代入已知即，即．∵∵∵B为三角形的内角，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，结合，可得，所以△ABC的面积．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．15.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】解三角形．【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则 .【答案】【解析】由余弦定理，，又，，，即，，．【考点】1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查的是余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式，属于容易题.因为题目求，且的面积，边的平方的形式一般想到余弦定理，面积展开后利用余弦定理即可求得与的关系，从而利用同角三角函数的基本关系求得.17.（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．18.在中，已知．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】（I）给出了关于角的两个三角函数值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求得其正弦、余弦，再根据三角形的性质可求得的值；（II）在第一问的基础上，利用正弦定理可求得边，再由余弦定理求边，注意利用三角形基本性质舍解．试题解析：（Ⅰ）∵，，又∵，．∵，且，．（Ⅱ）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），，．【考点】三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系式及利用正、余弦定理在解三角形．19.已知，则的值为．【答案】．【解析】，故填：．【考点】三角恒等变形．20.在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，则角的值为（）A．或B．或C．D．【答案】A．【解析】，，∴或，故选A．【考点】余弦定理．【思路点睛】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．21.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变【答案】A【解析】这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.【考点】三角函数的图象变换．【方法点睛】本题是一个三角函数的图象变换问题，属于容易题.一般的要得到函数（其中）的图像可按以下步骤进行：先把的图象向左（）或向右（）平移个单位，再将所得函数的图象上各点的横坐标扩大（）或缩小（）为原来的（纵坐标不变），再把所得函数图象上各点的纵坐标扩大（）或缩小（）为原来的倍（横坐标不变），最后再将所得图像向上（）或向下（）平移个单位，即可得到函数的图象.22.如图，在中，，，点在边上，且，.（I）求；（II）求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由图可知，所以，又，所以，再由两角差的正弦公式可求得；（Ⅱ）由题意可用正弦定理、余弦定理即可求出、的长，在中，有，又从而可求得；在中，由余弦定理得，，从而可求出.试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以【考点】1.解三角形；2.两角差的正弦公式.23.设的内角对边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的值.【答案】(1);(2)。

课时规范训练[A级基础演练]1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A等于()A.π12 B.π6C.π4D．π3解析：选D.在△ABC中，利用正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B，∴sin A＝3 2.又A为锐角，∴A＝π3.2．(2022·高考天津卷)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝() A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝13，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.3．在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝2，BC＝2，则∠C等于()A．30°B．60°C．120°D．30°或150°解析：选A.在△ABC中，ABsin C＝BCsin A，∴2sin C＝2sin 45°，∴sin C＝12，又AB＜BC，∴∠C＜∠A，故∠C＝30°.4．一艘海轮从A处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里解析：选A.如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里)．5．(2022·高考山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝()A.3π4B．π3C.π4D．π6解析：选C.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0＜A＜π，所以A＝π4.6．(2022·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝2π3，a＝3c，则bc＝．解析：∵a＝3c，∴sin A＝3sin C，∵∠A＝2π3，∴sin A＝32，∴sin C＝12，又∠C必为锐角，∴∠C＝π6，∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠B＝π6，∴∠B＝∠C，∴b＝c，∴bc＝1.答案：17．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为1534，则BC边的长为．解析：由S△ABC＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC＝7.答案：78．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sin Asin C＋sin B，则B＝() A.π6B．π4C.π3 D ．3π4解析：选C.依据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a＝sin Asin C ＋sin B ＝a c ＋b，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.9．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值． 解：(1)证明：∵三角形的三边a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝22.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B 2，故cos(A ＋B )＝－22，所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4. (2)由于S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. [B 级 力量突破]1．(2021·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.2π3 B ．π3 C.3π4D ．5π6解析：选A.由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b . 又由于b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b＝－12.由于C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.2．(2021·北京东城一模)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 B ．13或37 C.37D ．13解析：选D.由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×3×4×sin ∠BAC ＝33，得sin ∠BAC ＝32，由于△ABC 为锐角三角形，所以∠BAC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故∠BAC ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.所以BC ＝13，故选D.3．(2021·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，假如sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2解析：选D.由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ， 再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2， 即b 2＋c 2－a 2>0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0， ∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A ＝A ，A >B ，A >C ， 即3A >A ＋B ＋C ＝π，∴A >π3. 因此得角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.4．(2021·云南第一次检测)已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋asin A的值等于 ． 解析：依题意可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62，所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B ＝16 2.答案：16 25．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过 分钟，海盗船即可到达商船．解析：如图，设开头时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20分钟后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中由已知得∠ABD ＝30°. ∠BAD ＝60°－30°＝30°，∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)． 答案：4036．(2021·成都外国语学校模拟)已知函数f (x )＝23sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且角A 满足f (A )＝3＋1.若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .解：(1)由题意知，f (x )＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x＝3()1＋sin 2x ＋cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋cos 2x ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)由f (A )＝3＋1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，∴2A ＋π6＝π6或5π6，即A ＝0或π3. 又A 为△ABC 的内角，∴A ＝π3. 由A ＝π3，a ＝3.得|BC→|＝|AC →－AB →|＝a ＝3，① 又BC 边上的中线长为3，知|AB →＋AC →|＝6.②联立①②，解得AB →·AC→＝274，即|AB →|·|AC →|·cos π3＝274， ∴|AB →|·|AC →|＝272. ∴△ABC 的面积为S ＝12|AB →|·|AC →|·sin π3＝2738.。

三角函数与解三角形 测试题（有解析、答案）(时间120分钟，满分150分) 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)1．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于 ( )A.17 B ．7 C ．－17 D ．－7 解析：由α∈(π2，π)，sin α＝35，得tan α＝－34，tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝17.答案：A2．sin45°·cos15°＋cos225°·sin15°的值为 ( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：sin45°cos15°＋cos225°sin15°＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30° ＝12. 答案：C3．要得到y ＝sin(2x －π3)的图像，只要将y ＝sin2x 的图像 ( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：∵y ＝sin(2x －π3)＝sin2(x －π6)，∴只要将y ＝sin2x 的图像向右平移π6个单位便得到y ＝sin(2x －π3)的图像．答案：D4．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3 解析：∵sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ， ∴a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.答案：D5．有一种波，其波形为函数y ＝sin(π2x )的图像，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析：由T ＝2πω＝2ππ2＝4，可知此波形的函数周期为4，显然当0≤x ≤1时函数单调递增， x ＝0时y ＝0，x ＝1时y ＝1，因此自0开始向右的第一个波峰所对的x 值为1，第二个 波峰对应的x 值为5，所以要区间[0，t ]上至少两个波峰，则t 至少为5. 答案：C6．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为 ( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2 解析：f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x ＜π2，∴f (x )max ＝2.答案：B7．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ 值为 ( )A ．－π3B ．－π6 C.5π6 D.2π3解析：由已知得：f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π3)，由于函数为奇函数，故有θ＋π3＝kπ⇒θ＝kπ－π3(k ∈Z)，可淘汰BC 选项，然后分别将A和D 选项代入检验，易知当θ＝2π3时，f (x )＝－2sin2x 其在区间[－π4，0]上递减． 答案：D8．若向量a ＝(sin(α＋π6),1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于 ( )A ．－34 B.34 C ．－14 D.14解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴4sin(α＋π6)＋4cos α－3＝0，∴sin αcos π6＋cos αsin π6＋cos α＝34，∴12sin α＋32cos α＝14，∴sin(α＋π3)＝14，∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14.答案：C9．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则 ( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π2，φ＝5π4解析：T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，ω＝2πT ＝π4令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4. 答案：C10．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ≠0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图像关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则 ( ) A ．f (x )的图像过点(0，12)B ．f (x )的图像在[5π12，2π3]上递减C ．f (x )的最大值为AD ．f (x )的一个对称中心是点(5π12，0)解析：T ＝π，∴ω＝2.∵图像关于直线x ＝2π3对称，∴sin(2π3ω＋φ)＝±1即2π3×2＋φ＝π2＋kπ，k ∈Z 又∵－π2<φ<π2∴φ＝π6∴f (x )＝A sin(2x ＋π6)．再用检验法．答案：D第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知α是第二象限角，sin α＝12，则sin2a 等于________解析：由已知得cos α＝－32，则sin2α＝2sin αcos α＝2×12×(－32)＝－32.答案：－3212．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像如下图所示，则f (7π12)＝________.解析：由图像知，函数的周期为32×T ＝π，∴T ＝2π3.∵f (π4)＝0，∴f (7π12)＝f (π4＋π3)＝f (π4＋T 2)＝－f (π4)＝0.答案：013．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos(10°－60°)2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2. 答案： 214．设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图像关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.解析：因为图像的对称中心是与x 轴的交点，所以由y ＝2sin(2x ＋π3)＝0，x 0∈[－π2，0]得x 0＝－π6.答案：－π615．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且a cos B －b cos A ＝35c .则tan A tan B的值为________．解析：由a cos B －b cos A ＝35c 及正弦定理可得sin A cos B －sin B cos A ＝35sin C ，即sin A cos B－sin B cos A ＝35sin(A ＋B )，即5(sin A cos B －sin B cos A )＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )，即sin A cos B ＝4sin B cos A ，因此tan A ＝4tan B ，所以tan Atan B＝4. 答案：4三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)设函数f (x )＝cos x －sin x ，试求f (α)的值．解：(1)∵cos(β－π4)＝13，∴cos(2β－π2)＝2cos 2(β－π4)－1＝2×19－1＝－79，即sin2β＝－79.(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2，∴sin(β－π4)>0，cos(α＋β)<0，∴sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35.∴f (α)＝cos α－sin α＝2cos(α＋π4) ＝2cos[(α＋β)－(β－π4)]＝2[cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)]＝2(－35×13＋45×223)＝16－3215.17．(本小题满分12分)如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．解：(1)∵A 的坐标为(35，45)，根据三角函数的定义可知，sin α＝45，cos α＝35，∴1＋sin2α1＋cos2α＝1＋2sin αcos α2cos 2α＝4918.(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°.∴cos ∠COB ＝cos(α＋60°)＝cos αcos60°－sin αsin60°＝35×12－45×32＝3－4310， ∴|BC |2＝|OC |2＋|OB |2－2|OC |·|OB |cos ∠COB ＝1＋1－2×3－4310＝7＋435. 18．(本题满分13分)(2010·黄冈模拟)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且lg a－lg b ＝lgcos B －lgcos A ≠0. (1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(－m ＋n )＝14，求a ，b ，c . 解：由题lg a ＋lgcos A ＝lg b ＋lgcos B ，故a cos A ＝b cos B . 由正弦定理sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B . 又cos A >0，cos B >0，故A ，B ∈(0，π2),2A,2B ∈(0，π)因a ≠b ⇒A ≠B ，故2A ＝π－2B . 即A ＋B ＝π2，故△ABC 为直角三角形．(2)由于m ⊥n ，所以2a 2－3b 2＝0 ① 且(m ＋n )·(－m ＋n )＝n 2－m 2＝14，即8b 2－3a 2＝14 ② 联立①②解得a 2＝6，b 2＝4，故在直角△ABC 中，a ＝6，b ＝2，c ＝10.19．(本小题满分12分)已知a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a 与b 共线时，求2cos 2x －sin2x 的值； (2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的值域．解：(1)∵a 与b 共线， ∴32cos x ＋sin x ＝0.∴tan x ＝－32. 故2cos 2x －sin2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2013. (2)∵a ＋b ＝(sin x ＋cos x ，12)，∴f (x )＝(a ＋b )·b ＝(sin x ＋cos x ，12)·(cos x ，－1)．∴sin x cos x ＋cos 2x －12＝12(sin2x ＋cos2x )＝22sin(2x ＋π4)． ∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4， ∴－1≤sin(2x ＋π4)≤22，∴f (x )的值域为[－22，12]． 20．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式； (2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰 有两个不同的解，求实数m 的取值范围． 解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，得 T ＝11π6 －(－π6)＝2π， 由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧ B ＋A ＝3B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2B ＝1. 令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的周期为2π3，又k ＞0，∴k ＝3. 令t ＝3x －π3，∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]如图sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解的充要条件是s ∈[32，1)，∴方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解的充要条件是m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)． 21．(本小题满分13分)已知函数y ＝|cos x ＋sin x |.(1)画出函数在x ∈[－π4，7π4]上的简图；(2)写出函数的最小正周期和在[－π4，3π4]上的单调递增区间；试问：当x 在R 上取何值时，函数有最大值？最大值是多少？(3)若x 是△ABC 的一个内角，且y 2＝1，试判断△ABC 的形状． 解：(1)∵y ＝|cos x ＋sin x |＝2|sin(x ＋π4)|，∴当x ∈[－π4，7π4]时，其图像如图所示．(2)函数的最小正周期是π，在[－π4，3π4]上的单调递增区间是[－π4，π4]；由图像可以看出，当x ＝kπ＋π4(k ∈Z)时，该函数有最大值，最大值是 2.(3)若x 是△ABC 的一个内角，则有0<x <π， ∴0<2x <2π.由y 2＝1，得|cos x ＋sin x |2＝1⇒1＋sin2x ＝1. ∴sin2x ＝0，∴2x ＝π，x ＝π2，故△ABC 为直角三角形．。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知中，那么角=【答案】π/4【解析】略2.已知f(α)＝(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．【答案】(1)f(α)＝＝－cosα.(2)∵α是第三象限角，且cos(α－)＝－sinα＝，∴sinα＝－，∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝－cosα＝.【解析】略3.已知函数为奇函数，且，其中（1）求的值;（2）若，求的值．【答案】（1） , ；（2）【解析】（1）由为奇函数，可得，函数化为，又根据可求；（2）由（1）可得，由得又因为，所以，再根据两角和的正弦可求试题解析：因为为奇函数，所以，，则（2），因为，即又因为，所以，【考点】函数的奇偶性，三角函数的性质4.设命题函数是奇函数；命题函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．为真B．为假C．为假D．为真【答案】C【解析】因为是偶函数，所以命题是假命题，由余弦函数的性质可知命题是假命题，选项C正确.【考点】1.三角函数性质；2.逻辑联结词与命题.5.（本小题满分12分）某同学用五点法画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：5-5（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；（2）若函数的图像向左平移个单位后对应的函数为，求的图像离原点最近的对称中心．【答案】（1）；（2）．【解析】第一问结合三角函数的性质，确定出对应的值，完善表格，从而确定出函数解析式，第二问利用图形的平移变换，将函数的解析式求出来，利用函数的性质，找出函数图像的对称中心，给赋值，比较从而确定出离原点最近的对称中心．试题解析：（1）根据表中已知数据，解得数据补全如下表：050-50函数表达式为（2）函数图像向左平移个单位后对应的函数是，其对称中心的横坐标满足，所以离原点最近的对称中心是．【考点】三角函数的性质，图像的变换．6.（本小题满分10分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）设，求的值域和单调递减区间．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再求出周期即可；（2）先根据x的范围求得，再结合正弦函数的性质可得到函数f（x）的值域，求得单调递减区间．试题解析：（1）（2）∵，，的值域为．的递减区间为．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性7.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，已知，向量，且∥．（1）求角的大小；（2）若成等差数列，求边的大小．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用数量积运算、正弦定理即可得出；（2）由成等差数列，可得，或，即2a=b．再利用直角三角形的边角关系、余弦定理即可得出．试题解析：（1）∥，得，由正弦定理可得，（2）成等差，所以化简整理得：即或得或若若【考点】正弦定理；平面向量数量积运算8.在中，角所对的边为．已知，且．（1）求的值；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据已知条件中的式子，结合正弦定理，将其化为的方程，即可求解；（2）利用已知条件，结合余弦定理，可求得，的值，再利用三角形面积计算公式即可求得的值．试题解析：（1）∵，∴①，又∵，∴②，联立①②，即可求得，；（2）由（1）结合余弦定理可知，或，由已知易得，∴，∴，．【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．9.（本题满分12分）已知，,函数．（1）求的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）的最小正周期为，其对称中心的坐标为（）（）；（2）的值域为．【解析】（1）先用降幂公式和辅助角公式，将进行化简整理得到，然后根据正弦函数的周期公式可得函数的最小正周期，进而求出函数的零点，即为函数的图像对称中心的坐标；（2）根据可得到，最后结合正弦函数的图像与性质可得函数的值域．试题解析：（1）因为=，所以的最小正周期为，令，得，∴故所求对称中心的坐标为（）（）．（2）∵，∴，∴，即的值域为．【考点】1、三角函数中的恒等变换；2、三角函数的周期性及其求法；3、正弦函数的图像及其性质．【方法点晴】本题考查了三角函数中的恒等变换、三角函数的周期性及其求法和正弦函数的图像及其性质，重点考查学生对三角函数的基本概念、基本性质和基本原理，属中档题．解决这类问题最关键的一步是运用降幂公式、倍角公式及三角函数的和差公式等将函数的表达式化简为同角的正弦或余弦形式．因此需要大家应熟练掌握相关公式并结合三角函数的图像及其性质进行求解．10.若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得：，解得，选A．【考点】正切函数性质11.（本小题满分12分）已知向量，．（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，，求当时，的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中，利用，得出，把转化为的式子，从而求解；（2）熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形，把形如化为，研究函数的性质由的取值范围确定的取值范围，再确定的取值范围．试题解析：（1），，，（2）由正弦定理得，得或，，因此，，即．【考点】1、同角三角函数的基本关系；2、三角函数的化简；3、求三角函数的值域．12.（2012秋•泰安期中）已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（α）=，求sin（π﹣4α）的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）﹣．【解析】（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，可得函数的最小正周期为π，根据周期公式，可求ω的值；（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；（III）由f（a）=，可得sin（2a+）=，根据sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1，即可求得结论．解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，∴函数的最小正周期为π∴=π∴ω=1；（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+）∴﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数f（x）的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（III）∵f（a）=，∴sin（2a+）=∴sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1=﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．13.已知向量，且函数在时取得最小值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，分别是内角的对边，若，，，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式，求的值；（Ⅱ）先求出，再利用正弦定理，即可求的值．试题解析：（Ⅰ）由于（Ⅱ）由上知,于是由正弦定理得:【考点】正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，向量的数量积14.已知，函数在单调递减，则的取值范围是．【答案】【解析】，，由题意，所以，由于，所以只有，．【考点】三角函数的单调性．【名师】求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ（ω＞0）”视为一个“整体”；②A＞0（A＜0）时，所列不等式的方向与y＝sin x（x∈R），y＝cos x（x∈R）的单调区间对应的不等式方向相同（反）．15.（2015秋•南京校级期中）将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得的图象关于直线x=对称，则m的最小值为．【答案】【解析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．解：将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），可得y=2sin[2（x+m）﹣]=2sin（2x+2m﹣）的图象．∵所得的图象关于直线x=对称，∴2•+2m﹣=kπ+，k∈Z，即 m=+，k∈Z，则m的最小值为，故答案为：．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．16.（2015秋•昌平区期末）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数f（x）的单调递减区间是．）【解析】（Ⅰ）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，即可求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的单调性即可求函数f（x）的单调递减区间．解：（Ⅰ）==所以最小正周期．（Ⅱ）由，得．所以函数f（x）的单调递减区间是．）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．17.已知函数．（1）求的最小正周期和在上的单调递减区间；（2）若为第四象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）对的表达式进行三角恒等变形，利用三角函数的性质即可求解；（2）利用同角三角函数的基本关系求得的值后即可求解．试题解析：（1）由已知，所以最小正周期，由，得，故函数在上的单调递减区间；（2）因为为第四象限角，且，所以，所以．【考点】三角函数综合．18.已知是第二象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由,得，又∵是第二象限角,∴，∴原式=；故选C．【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式．19.在中，角所对的边分别为，且，则的最大值为_____.【答案】【解析】由及正弦定理得，又因为，于是可得，所以，所以，则的最大值为，故答案填.【考点】1、正弦定理；2、两角和与差的三角函数；3、基本不等式.20.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得，再向左平移个单位，得，令，解得，令，得，即所得函数图象的一条对称轴的方程是，故选D．【考点】三角函数的图象变换与三角函数的性质．21.设平面向量.（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用向量数量积的坐标表示求出，利用商数关系求出得值，再利用二倍角公式求出的值，最后代入到的展开式即可求得；（2）欲求，先求出，再根据求的范围，从而可得的取值范围.试题解析：（1）因为，所以，∴，∴.（2），，.【考点】1、向量数量积的坐标表示；2、二倍角公式；3、三角函数；4、商数关系；5、向量的模．22.设中的内角所对的边长分别为，且.（1）当时，求角的度数；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出,再由正弦定理求出,求出角；（2）求三角形面积的最大值,即求的最大值,由,,求出,就可以求出面积的最大值.试题解析：解：（1）因为，所以.因为，由正弦定理可得.因为，所以是锐角，所以.（2）因为的面积，所以当最大时，的面积最大.因为，所以.因为，所以，所以（当时等号成立）.所以面积的最大值为.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.重要不等式.23.在中，内角的对边为，已知.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】根据正弦定理可得，根据内角和定理和两角和的正弦公式整理可得，即得角的值；（2）由的面积为，求得的值，根据余弦定理表示构造的另一个方程，解方程组即可求得.试题解析：（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，又∵是三角形的内角，∴（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴【考点】正余弦定理解三角形.24.的三个内角满足：，则（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】由已知条件以及正弦定理可得：，即，再由余弦定理可得，所以，故选B.【考点】正弦定理、余弦定理.25.在中，角，，的对边分别是，，，已知，．（I）求的值；（II）若角为锐角，求的值及的面积．【答案】（I）；（II）【解析】（I）根据题意和正弦定理求出a的值；（II）由二倍角的余弦公式变形求出sin2A，由A 的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．试题解析：（I）因为，且，所以．因为，由正弦定理，得．（II）由得．由余弦定理，得．解得或（舍负）．所以．【考点】正弦定理；余弦定理26.如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数的解析式是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】由题意得，，故排除B，D；又∵，故排除A，故选C.【考点】三角函数的图象和性质．27.已知，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】和差倍半的三角函数．28.在中，角所对的边分别为,．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的面积．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理将边统一成角：，再利用三角形内角关系、诱导公式、两角和正弦公式将三角统一成两角：，最后根据同角三角函数关系将弦化切：（Ⅱ）由（Ⅰ）易得，已知两角一对边，根据正弦定理求另一边：，利用三角形内角关系求第三角的正弦值：，最后根据面积公式求面积：试题解析：解：（Ⅰ）由及正弦定理得.所以,所以.（Ⅱ）,所以, ,,所以的面积为.【考点】正弦定理，弦化切【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.29.同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，函数的最小周期为，则，又函数图象关于直线对称，则函数为函数的最小值，则只有B、C满足，由当时，，则函数是单调递增函数，故选C．【考点】三角函数的性质．30.若函数的最大值为5，则常数______.【答案】【解析】，其中，故函数的最大值为，由已知得，，解得.【考点】三角函数的图象和性质.【名师】解决三角函数性质问题的基本思路是通过化简得到，结合角的范围求解.. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.31.定义在区间[0，]上的函数的图象与的图象的交点个数是 .【答案】7【解析】由，因为，所以故两函数图象的交点个数是7.【考点】三角函数图象【名师】求函数图象的交点个数，有两种方法：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解；二是数形结合，分别画出函数图象，数出交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其是要明确函数的增长幅度.32.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（A）（B）（C）2 （D）3【答案】D【解析】由余弦定理得，解得（舍去），选D.【考点】余弦定理【名师】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！33.将函数y=2sin（2x+）的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x–）D．y=2sin（2x–）【答案】D【解析】函数的周期为，将函数的图像向右平移个周期即个单位，所得图像对应的函数为，故选D.【考点】三角函数图像的平移【名师】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x而言的,不要忘记乘以系数.34.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝．【答案】5【解析】，，所以，．【考点】解三角形．【名师】在解直角三角形时，直角三角形中的三角函数定义是解题的桥梁，利用它可以很方便地建立边与角之间的关系．35.设函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为直线是它的一条对称轴，排除B，D，因为图象过点，排除选项A,选C.【考点】三角函数图象与性质.36.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，则角等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，故应选A。

三角函数与解三角形 测试题(时间120分钟，满分150分) 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)1．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于 ( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．sin45°·cos15°＋cos225°·sin15°的值为 ( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.323．要得到y ＝sin(2x －π3)的图像，只要将y ＝sin2x 的图像 ( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位4．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3 5．有一种波，其波形为函数y ＝sin(π2x )的图像，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为 ( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2 7．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ 值为 ( )A ．－π3B ．－π6 C.5π6 D.2π38．若向量a ＝(sin(α＋π6),1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于 ( )A ．－34 B.34 C ．－14 D.149．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则 ( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π2，φ＝5π410．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ≠0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图像关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则 ( ) A ．f (x )的图像过点(0，12)B ．f (x )的图像在[5π12，2π3]上递减C ．f (x )的最大值为AD ．f (x )的一个对称中心是点(5π12，0)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．已知α是第二象限角，sin α＝12，则sin2a 等于________12．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像如下图所示，则f (7π12)＝________.13．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.14．设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图像关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.15．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且a cos B －b cos A ＝35c .则tan A tan B的值为________． 答案：4三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)设函数f (x )＝cos x －sin x ，试求f (α)的值．17．(本小题满分12分)如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．18．(本题满分13分)(2010·黄冈模拟)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且lg a－lg b ＝lgcos B －lgcos A ≠0. (1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(－m ＋n )＝14，求a ，b ，c .19．(本小题满分12分)已知a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a 与b 共线时，求2cos 2x －sin2x 的值； (2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的值域．20．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)周期为2π3，当x∈[0，π3]时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．21．(本小题满分13分)已知函数y＝|cos x＋sin x|.(1)画出函数在x∈[－π4，7π4]上的简图；(2)写出函数的最小正周期和在[－π4，3π4]上的单调递增区间；试问：当x在R上取何值时，函数有最大值？最大值是多少？(3)若x是△ABC的一个内角，且y2＝1，试判断△ABC的形状．。