专题03 三角函数与解三角形(理)(教学案)-2014年高考数学二轮复习精品资料(解析版)

2014年高考数学（理）二轮复习精品资料-高效整合篇专题03 三角函数与解三角形（预测）解析版Word 版含解析（一） 选择题（12*5=60分）1.【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试理科】已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=（ ）A ．13-B ．23-C ．13D ．232.【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向 右平移6π个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（ ）.A sin 2y x = .B cos 2y x = .C 2sin(2)3y x π=+.D sin(2)6y x π=-3.【浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考】已知cos 2θ=，则44sin cos θθ-的值为 （ ）B C 1811 D 29-【解析】4.【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试（理）】已知0ω>，函数()cos()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．15[,]24B ．17[,]24C ．39[,]44D ．37[,]245.【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A.向右平移6π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度D. 向左平移3π个单位长度6.【安徽省六校教育研究会2014届高三素质测试理】函数)42sin()(π-=x x f 在]2,0[π上的单增区间是 （ ） A ．]8,0[π B ．]2,8[ππC ．]83,0[πD ．]2,83[ππ7.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（理）】已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，其导函数()f x '的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．1()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．1()4sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()4sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．13()4sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭8.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】若sin()πα-=且3(,)2παπ∈，则sin()22πα+=（ ）A ．B ． C得9.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理】已知函数()sin())(0,||)2f x x x πωφωφωφ=+-+><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递增函数B ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π， 且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π， 且在(0,)2π上为单调递减函数10.【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-，将()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的解析式为（ ）A ．()g x x =B ．()g x x =C ．3())4g x x π=-D ．()4g x x =11.【四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题理科】定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）A.(sin )(cos )f f αβ>B.(sin )(cos )f f αβ<C.(cos )(cos )f f αβ<D.(cos )(cos )f f αβ>12.【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试（理）】已知方程sin x k x=在()0,+∞上有两个不同的解α、()βαβ<，则下列结论正确的是（ ）A.2sin 22cos ααα=B.2cos 22sin ααα=C.2sin 22cos βββ=D.2cos 22sin βββ=（二）填空题（4*5=20分）13.【江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高三数学考试】函数()2sin()4f x x π=-，[,0]x π∈-的单调递减区间单间为__________．14.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理】在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，60B =︒．则b15.【四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题理科】已知2242-=--)sin()cos(πααπ，则_______sin cos =+αα.16.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（理）】已知函数()cos sin f x x x =⋅，给出下列五个说法：①19211124f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.②若12()()f x f x =-，则12x x =-.③()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. ④将函数()f x 的图象向右平移34π个单位可得到1cos 22y x =的图象. ⑤()f x 的图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称． 其中正确说法的序号是 .（二） 解答题（10+5*12=70分）17. 【江西师大附中2014届高三年级10月测试试卷理】已知函数(sin cos )()2cos ,x f x x x x R -=∈．(I)求函数()f x 图像的对称中心；(Ⅱ)求函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,8ππ上的最小值和最大值故函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,8ππ1-，最小值为－2．18.【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试（理）】已知函数()()sin ,0,0,2f x A x x R A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图3所示.（1）试确定函数()f x 的解析式； （2）若123f απ⎛⎫=⎪⎝⎭，求2cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.试题解析：（1）由图象知，()max 2f x A ==，19.[山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考理】已知函数2()sin(2)2cos 1()6f x x x x R π=-+-∈.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1()2f A =,2a b c =+,18bc =.求a 的值.12cos 2sin(2)26x x x π=+=+…………………………………………3分20.【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（理）】已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，x ∈R 的最大值是1，最小正周期是2π，其图像经过点(,1)M π-． （1）求()f x 的解析式；（2）设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且3()5f A =，5()13f B =-，求()f C 的值．21.【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos 2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若6AB =，且18CA CB ⋅= ，求,AC BC 的长．由①②解得6,6AC BC ==． …………………12分22.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】已知函数2()cos cos ()f x x x x m m R =-+∈的图像过点(,0)12M π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图像各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移3π个单位，得函数()g x 的图像.若,,a b c 分别是ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，4a c +=，且当x B =时，()g x 取得最大值，求b 的取值范围.由226222πππππ+≤-≤-k x k ，k Z ∈，得36ππππ+≤≤-k x k ，（四）附加题（15分）23.如图4所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥. （1）设30MOD ∠= ，求三角形铁皮PMN 的面积； （2）求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值.【解析】。

【高效整合篇】一．考场传真1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科】函数()2s i n ()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A.2,3π-B.2,6π-C.4,6π-D.4,3π2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科】在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin a B =，则角A 等于（ ） A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π3.【2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科】若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2=8θ，则sin θ=( )A.35 B.45 D.344.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)理科】将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π6B.5．【2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理科】在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I )理科】设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=______.8.【2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)理科】设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(πα+的值为 ．9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I 卷)理科】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB = 3 ，BC =1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°. (1)若PB =12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan PBA .二．高考研究一．基础知识整合1．巧记六组诱导公式对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限． 2．辨明常用三种函数的易误性质3．识破三角函数的两种常见变换(1)y ＝sin x ――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――→横坐标变为原来的1 ω倍 纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)． (2)y ＝sin x ―――――――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin ωx ――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．5．“熟记”两个定理 (1)正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . (2)余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .二．高频考点突破 考点1 三角变换与求值【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科】已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan （ ） A.34 B. 43 C.43- D.34-【规律方法】此题考查同角三角函数商数关系和平方关系的灵活应用，考查二倍角正切公式的应用，考查学生的运算求解能力.【举一反三】【2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】已知s i n c o s 2αα-=，α∈(0，π)，则tan α= ( )A.-1 B. C. D. 1考点2 三角函数的图像与性质【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科】 已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=.（I ）若α是第一象限角，且()f α=求()g α的值； （II ）求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.【规律方法】本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，考查基本运算能力.解决三角函数性质有关的问题时，一是要熟记相关的结论和公式，二是要注意数形结合.【举一反三】【广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理】已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求()f x 的最大值．考点3 三角形中边角关系【例3】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科】设ABC ∆的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，且6,2a c b +==，7cos 9B =. （Ⅰ）求,a c 的值； （Ⅱ）求()sin A B -的值.【规律方法】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了方程思想和运算能力. 由2227cos 29a c b B ac +-==求3a c ==的过程中体现了整体代换的运算技巧，而求()sin A B -的过程则体现了“通性通法”的常规考查.【举一反三】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）理科】△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b =，求△ABC 面积的最大值.考点4 解三角形在实际生活中应用【例4】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）理科】如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min 后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C. 假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长1260m ，经测量，12cos13A=，3cos5C=.（1）求索道AB的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【规律方法】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、二次函数的最值以及三角函数的基本关系、两角和的正弦等基础知识，考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力.【举一反三】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）理科】如图，在等腰直角OPQ ∆中，90POQ ∠= ，OP =M 在线段PQ 上.(Ⅰ) 若OM =PM 的长；（Ⅱ）若点N 在线段MQ 上，且030MON ∠=，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值.三．错混辨析1.忽视函数的定义域出错【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科】已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求()f x 的最小正周期;(Ⅱ) 求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.2.忽视边长的固有范围【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科】在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知cos (cos )cos 0.C A A B +=（1）求角B 的大小；（2）若1a c +=，求b 的取值范围.1.已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A ．()y f x =的图像关于点(,0)π中心对称B ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称C ．()f xD ．()f x 既是奇函数，又是周期函数【题后反思】本题三角函数与导数的结合很巧妙，用导数分析函数的最值，体现在知识的交汇处命题的原则.2.已知函数)0,0)(sin()(πϕϕ<<>+=w wx x f 的周期为π，图象的一个对称中心为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,4π，将函数)(x f 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个2π单位长度后得到函数)(x g 的图象.（1）求函数)(x f 与)(x g 的解析式（2）是否存在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈4,60ππx ，使得)()(),(),(0000x g x f x g x f 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数a 与正整数n ，使得)()()(x ag x f x F +=在()πn ,0内恰有2013个零点【题后反思】本题考查了三角函数的性质、恒等变换、图像以及函数的零点.将函数的所有性质依托于三角函数展示，并且对多方面能力的综合考查.属于难题，但第一问是送给学生的.。

高中数学教学备课教案三角函数的应用解三角形和海伦公式高中数学教学备课教案一、引言在高中数学课程中，三角函数的应用是一个重要的内容。

本教案将重点介绍如何使用三角函数解三角形以及应用海伦公式求解三角形的面积。

二、解三角形的基本概念1. 边的命名与对应的角：分别用小写字母a、b、c表示三角形的三条边，对应的角用大写字母A、B、C表示，即a对应角A，b对应角B，c对应角C。

2. 定义：已知三角形的三个角度或三个边长，可以利用三角函数关系解三角形。

三、已知两边和夹角的情况在已知两边和夹角的情况下，可以使用余弦定理和正弦定理求解三角形的其他边长和角度。

1. 余弦定理根据余弦定理，已知两边a、b和夹角C，可以求解第三边c：c² = a² + b² - 2abcosC2. 正弦定理根据正弦定理，已知两边a、b和夹角C，可以求解第三边c：sinC = （c / a） = （c / b）四、已知三边的情况在已知三边的情况下，可以利用余弦定理求解三角形的角度。

1. 余弦定理根据余弦定理，已知三边a、b、c，可以求解角A：cosA = （b² + c² - a²） / 2bc2. 求解其他角度利用三角形内角和为180°的性质，可以求解角B和角C。

五、海伦公式与三角形面积的求解海伦公式是用来求解三角形面积的一种方法，其公式如下：面积= √[s(s - a)(s - b)(s - c)]其中，s为三角形的半周长，即s = （a + b + c）/ 2。

六、教学案例下面通过一个教学案例来演示如何应用三角函数解三角形和使用海伦公式求解三角形的面积。

案例：已知三角形的两边分别为a = 5cm，b = 7cm，夹角为C = 60°，求解第三边c、角A和角B以及三角形的面积。

解答：1. 求解第三边c：根据余弦定理，可以计算：c² = a² + b² - 2abcosC= 5² + 7² - 2 × 5 × 7 × cos60°≈ 24.762因此，c ≈ √24.762 ≈ 4.976 cm。

第二讲 三角变换与解三角形研热点（聚焦突破）类型一 三角变换及求值1．常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．2．项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α；α＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2；α可视为α2的倍角；π4±α可视为(π2±2α)的半角等．3．降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．4．弦、切互化：一般是切化弦．5．公式的变形应用：如sin α＝cos αtan α，sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2，tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)，1±sin α＝(sin α2±cos α2)2等． 6．角的合成及三角函数名的统一a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin (α＋φ)，(tan φ＝ba)．[例1] (2012年高考广东卷)已知函数f (x )＝2cos (ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (5α＋53π)＝－65，f (5β－56π)＝1617，求cos (α＋β)的值．[解析] (1)由T ＝2πω＝10π得ω＝15.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f （5α＋53π）＝－65，f （5β－56π）＝1617，得⎩⎪⎨⎪⎧2cos [15（5α＋53π）＋π6]＝－65，2cos [15（5β－56π）＋π6]＝1617，整理得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos β＝817.∵α，β∈[0，π2]，∴cos α＝ 1－sin 2α＝45，sin β＝ 1－cos 2β＝1517.∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.跟踪训练(2012年高考江苏卷)设α为锐角，若cos (α＋π6)＝45，则sin (2α＋π12)的值为________．解析：化2α＋π12为2(α＋π6)－π4是关键．∵α为锐角且cos (α＋π6)＝45，∴sin (α＋π6)＝35.∴sin (2α＋π12)＝sin [2(α＋π6)－π4]＝sin 2(α＋π6)cos π4－cos 2(α＋π6)sin π4＝2sin (α＋π6)cos (α＋π6)－22[2cos 2(α＋π6)－1]＝2×35×45－22[2×(45)2－1]＝12225－7250＝17250. 答案：17250类型二 正、余弦定理的应用 1．正弦定理的变式(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 2．余弦定理的变式a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B (注意整体变形)．3．面积公式S Δ＝12ab sin C ，S Δ＝abc4R(R 为外接圆半径)；S Δ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．[例2] (2012年高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．[解析] (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝3cos B .所以tan B ＝3，得B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 9＝a 2＋c 2－ac ， 所以a ＝3，c ＝2 3.跟踪训练1．(2012年西安模拟)已知△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则角A 的大小为( ) A ．150° B ．90° C ．60° D ．30°解析：根据正弦定理得1sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝12.∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝30°，故选D. 答案：D2．(2012年济南模拟)在△ABC 中，AC u u u r ·AB u u u r ＝|AC u u u r －AB u u u r|＝3，则△ABC 面积的最大值为( )A.21B.3214C.212D ．321解析：设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，∵AC u u u r ·AB u u u r ＝|AC u u u r －AB u u u r|＝3，∴b cos A ＝a ＝3.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A2，∴cos A ≥25，∴0<sin A ≤215，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最大值为3214.答案：B类型三 解三角形的实际应用1．注意理解有关术语：视角、仰角、俯角、方位角、坡度等． 2．常见的类型：距离、高度、航海问题．[例3] (2012年石家庄模拟)已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇．岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？(参考数据：sin 38°＝5314，sin 22°＝3314.)[解析] 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x 海里，则BC ＝0.5x ，AC ＝5，依题意，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°， 由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°，所以BC 2＝49，BC ＝0.5x ＝7，解得x ＝14.又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC＝5×327＝5314， 所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．跟踪训练如图，在某平原地区一条河的彼岸有一建筑物，现在需要测量其高度AB .由于雨季河宽水急不能涉水，只能在此岸测量．现有的测量器材只有测角仪和皮尺．现在选定了一条水平基线HG ，使得H 、G 、B 三点在同一条直线上．请你设计一种测量方法测出建筑物的高度，并说明理由．(测角仪的高为h )解析：如图，测出∠ACE 的度数，测出∠ADE 的度数，测量出HG 的长度，即可计算出建筑物的高度AB .理由如下：设∠ACE ＝α，∠ADE ＝β，HG ＝s .在△ADC 中，由正弦定理得 AC sin β＝DCsin （α－β）， 所以AC ＝DC sin βsin （α－β）.在直角三角形AEC 中，AE ＝AC sin α＝DC sin β sin αsin （α－β）.所以，建筑物的高AB ＝EB ＋AE ＝h ＋s ·sin β sin αsin （α－β）.析典题（预测高考）高考真题【真题】 (2012年高考江苏卷)在△ABC 中，已知AB u u u r ·AC u u u r ＝3BA u u u r ·BC uuur .(1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值．【解析】 (1)证明：因为AB u u u r ·AC u u u r ＝3BA u u u r ·BC uuur ，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ， 即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ．由正弦定理知 AC sin B ＝BCsin A， 从而sin B cos A ＝3sin A cos B .又因为0<A ＋B <π，所以cos A >0，cos B >0， 所以tan B ＝3tan A . (2)因为cos C ＝55，0<C <π， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝255， 从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2， 即tan(A ＋B )＝－2， 亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2.由(1)得4tan A1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或tan A ＝－13.因为cos A >0，所以tan A ＝1，A ＝π4.【名师点睛】 本题主要考查平面向量的数量积、三角函数的基本关系式、两角和的正切公式、解三角形等知识，本题(1)解决的关键是利用正弦定理，化AC cos A ＝3BC cos B 为角的关系．(2)中注意判断A 为锐角，否则会增解．考情展望高考对三角交换与解三角形的考查，各种题型都有，难度中档偏下，主要考查一是将三角函数图象性质与三角变换相结合．二是将三角变换与解三角形相结合，三是解三角形的实际应用问题，有时涉及平面向量．名师押题【押题】已知向量m ＝(cos B 2，12)与向量n ＝(12，cos B2)共线，其中A ，B ，C 是△ABC 的三个内角．(1)求角B 的大小；(2)求2sin 2A ＋cos (C －A )的取值范围．【解析】 (1)因为向量m ＝(cos B 2，12)与向量n ＝(12，cos B 2)共线，所以cos B 2cos B 2＝14，即cos B2＝±12，又0<B <π，所以cos B 2＝12，所以B 2＝π3，即B ＝2π3.(2)由(1)知A ＋C ＝π3，所以C ＝π3－A ，所以2sin 2A ＋cos (C －A ) ＝2sin 2A ＋cos (π3－2A )＝1－cos 2A ＋12cos 2A ＋32sin 2A＝1＋sin (2A －π6)，因为0<A <π3，所以－π6<2A －π6<π2，所以sin (2A －π6)∈(－12，1)，所以1＋sin (2A －π6)∈(12，2)，故2sin 2A ＋cos (C －A )的取值范围是(12，2)．。

三角函数和解三角形【知识导读】【方法点拨】三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”．这一部分的内容，具有以下几个特点：1．公式繁杂.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些公式的关键.2．思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.3．变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强.4．应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.第1课三角函数的概念【考点导读】1． 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算．角的概念推广后，有正角、负角和零角；与α终边相同的角连同角α本身，可构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360 αββ；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式r l α=及扇形的面积公式S ＝lr 21（l 为弧长）解决问题.2． 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点(,)P x y （不同于坐标原点），设OP r =（0r =>），则α的三个三角函数值定义为：sin ,cos ,tan y x yr r xααα===． 从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R ；正切函数的定义域为{|,,}2R k k Z παααπ∈≠+∈．3． 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记0、6π、4π、3π、2π的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处. 4． 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念．在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题．基础自测1． 885-化成2(02,)k k Z πααπ+≤≤∈的形式是 ． 2．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 ． 3．已知角α的终边过点(5,12)P -，则cos α= ， tan α= ． 4．tan(3)sin 5cos8-的符号为 ．5．已知角θ的终边上一点(,1)P a -（0≠a ），且a -=θtan ，求θsin ，θcos 的值．【范例解析】例1.（1）已知角α的终边经过一点(4,3)(0)P a a a -≠，求2sin cos αα+的值；（2）已知角α的终边在一条直线y =上，求sin α，tan α的值．例2.（1）若sin cos 0θθ⋅>，则θ在第_____________象限． （2）若角α是第二象限角，则sin 2α，cos2α，sin 2α，cos2α，tan2α中能确定是正值的有____个．例3. 一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？ 分析：选取变量，建立目标函数求最值．作业1．若sin cos θθ>且sin cos 0θθ⋅<则θ在第_______象限． 2．已知6α=，则点(sin ,tan )A αα在第________象限．3．已知角θ是第二象限，且(P m 为其终边上一点，若cos 4m θ=，则m 的值为_______． 4．将时钟的分针拨快30min ，则时针转过的弧度为 ． 5．若46παπ<<，且α与23π-终边相同，则α= ． 6．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_______，这个圆心角所在的扇形的面积是___________．7．（1）已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．（2）若扇形的面积为82cm ，当扇形的中心角α(0)α>为多少弧度时，该扇形周长最小．第2课 同角三角函数关系及诱导公式【考点导读】1.理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系．2.掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变号，变角等作用．【基础练习】 1. tan600°=______．2. 已知α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=______．3.已知cos 22πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且2πϕ<，则tan ϕ＝______． 4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=_____．【范例解析】 例1.已知8cos()17πα-=，求sin(5)απ-，tan(3)πα+的值．例2.已知α是三角形的内角，若1sin cos 5αα+=，求tan α的值．作业1．已知sin 5α=,则44sin cos αα-的值为_____． 2．“21sin =A ”是“A =30º”的_____________条件．3．设02x π≤≤,sin cos x x =-，则x 的取值范围是__________ 4．已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是 ． 5．（1）已知1cos 3α=-，且02πα-<<，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值．（2）已知1sin()64x π+=，求25sin()sin ()63x x ππ-+-的值．6．已知4tan 3α=-，求 （I ）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值；（II ）212sin cos cos ααα+的值．第3课 两角和与差及倍角公式（一）【考点导读】1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系；2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系；4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”． 【基础练习】1.sin163sin 223sin 253sin313+= ___________．2.x x -=_____________． 3. 若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝___________ ． 4.化简：sin sin 21cos cos 2αααα+=++___________ ．【范例解析】例 .化简：（1）42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+；（2(1sin cos )(sincos ))θθθθθπ++-<<．作业1．化简22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+αααα________________．2．若sin tan 0x x ⋅<=_________．3．若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则a 与b 的大小关系是_________． 4．若sin cos tan (0)2παααα+=<<，则α的取值范围是___________．5．已知α、β均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则tan α= .6．化简：222cos 12tan()sin ()44αππαα--⋅+．7．求证：222sin 22cos cos 22cos x x x x +=．8．化简：22sin sin 2sin sin cos()αβαβαβ+++．第4课 两角和与差及倍角公式（二）【考点导读】1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值；2.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角” ． 【基础练习】1．写出下列各式的值：（1）2sin15cos15︒︒=_________；（2）22cos 15sin 15︒-︒=_________；（3）22sin 151︒-=_________； （4）22sin 15cos 15︒+︒=_________．2．已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+=_________． 3．求值：（1）1tan151tan15-︒=+︒_______；（2）5cos cos 1212ππ=_________．4．求值：tan10tan 20tan 20)︒⋅︒+︒+︒=________．5．已知tan32α=，则cos α=________．6．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+=_________． 【范例解析】例1.求值：（1）sin 40(tan10︒︒；（2．例 2.设4cos()5αβ-=-，12cos()13αβ+=，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2παβπ+∈，求cos2α，cos 2β．例3.若3cos()45x π+=，177124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值．12作业1．设)2,0(πα∈，若3sin 5α=，则)4cos(2πα+=__________．2．已知tan 2α=2，则tanα的值为_______，tan ()4πα+的值为___________ ． 3．若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =___________． 4．若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，则tan tan αβ= ． 5．求值：11sin 20tan 40-=︒︒_________．6．已知232,534cos παππα<≤=⎪⎭⎫⎝⎛+．求⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos πα的值第5课 三角函数的图像和性质（一）【考点导读】1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22ππ-上的性质；2.了解函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义，能画出sin()y A x ωϕ=+的图像；3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【基础练习】1. 已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T =_________；初相ϕ=__________．2. 三角方程2sin(2π－x )=1的解集为_______________________． 3. 函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为______________________．43- 第3题4. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象向右平移__________个单位． 【范例解析】例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，长度为一个周期；（Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到．例2.已知正弦函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图像如图所示． （1）求此函数的解析式1()f x ；（2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ； （3）作出函数12()()y f x f x =+的图像的简图．作业1．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图像上所有的点①向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；②向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；③向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）； ④向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）．其中，正确的序号有___________． 2．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向右平移____个单位长度．3．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)3f =，则ω=______；ϕ=__________．4．在()π2,0内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为____________________．5．下列函数： ①sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ②sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ③cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ④cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 其中函数图象的一部分如右图所示的序号有__________．6．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω （1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段时间的函数解析式．7．如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(03)，，且该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点， 当032y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．第6题第5题yx 3O PA第7题第6课 三角函数的图像和性质（二）【考点导读】1.理解三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的性质，进一步学会研究形如函数sin()y A x ωϕ=+的性质；2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究． 【基础练习】1.写出下列函数的定义域： （1）y =的定义域是______________________________； （2）sin 2cos xy x=的定义域是____________________． 2．函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________． 3．函数 22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）的最小正周期是_______． 4. 函数y =sin(2x +3π)的图象关于点_______________对称． 5. 已知函数tan y x ω= 在（－2π，2π）内是减函数，则ω的取值范围是______________．【范例解析】例1.求下列函数的定义域： （1）sin tan xy x =+（2）y =例2．求下列函数的单调减区间： （1）sin(2)3y x π=-； （2）2cos sin()42xy x π=-；例3．求下列函数的最小正周期： （1）5tan(21)y x =+；（2）sin sin 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．作业1．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 _____________． 2．设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x 在[0,2]π上的单调递减区间为___________________．3．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是________________． 4．设函数()sin3|sin3|f x x x =+，则()f x 的最小正周期为_______________． 5．函数22()cos 2cos2xf x x =-在[0,]π上的单调递增区间是_______________． 6．已知函数π124()πsin 2x f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）若角α在第一象限且3cos 5α=，求()f α．7． 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x ．（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像第7课 三角函数的值域与最值【考点导读】1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法． 【基础练习】 1.函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 ．2.函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ．3.函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是___________________．4.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 ．【范例解析】例1.（1）已知1sin sin 3x y +=，求2sin cos y x -的最大值与最小值． （2）求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值．例2.已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． （I ）求()f x 的最大值和最小值；（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．【反馈演练】 1．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于___________． 2．当04x π<<时，函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是______ _______． 3．函数sin cos 2xy x =+的最大值为_______，最小值为________.4．函数cos tan y x x =⋅的值域为 .5．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于_________． 6．已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．第８课 解三角形【考点导读】1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化． 【基础练习】1．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ .2．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是______________.3．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = ．【范例解析】例1. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知20a c +=，2C A =，3cos 4A =． （1）求ca的值；（2）求b 的值．例2.在三角形ABC 中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，试判断该三角形的形状．例3.如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB =AD ，记∠CAD =α，∠ABC =β. （1）证明：sin cos 20αβ+=； （2）若ACDC ，求β．BDCαβA例4作业1．在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =_____________．2．ABC ∆的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且2c a =，则cos B =_____． 3．在ABC ∆中，若2a b c =+，2sin sin sin A B C =，则ABC ∆的形状是_______三角形．4．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += ． 5．在ABC ∆中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．6．在ABC ∆中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．7．在ABC ∆中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆1A2A120105 乙例1（1）第9课 解三角形的应用【考点导读】1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力． 【基础练习】1．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________m ． 2．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值为_______________ km ．3．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶4h 后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km ．4．如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于B ，D ，已知ABD ∆为边长等于a 的正三角形，当目标出现于C 时，测得45BDC ∠=，75CBD ∠=，求炮击目标的距离AC【范例解析】例 .如图，甲船以每小时乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，此时两船相距分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解． A BCD第4题作业1．江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45︒和30︒，而且两条船与炮台底部连线成30︒角，则两条船相距____________m ．2．有一长为1km 的斜坡，它的倾斜角为20︒，现要将倾斜角改为10︒，则坡底要伸长_______km ． 3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东30︒方向，后来船沿南偏东60︒方向航行45海里后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是__________海里．4．把一根长为30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和BC ，且120ABC ∠=︒，则第三条边AC 的最小值是____________cm ．5．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中, 最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=。

高三数学二轮复习教学案（解三角形）班级_____________ 学号_____________ 姓名_____________1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=4bsinA ，则cosB=_________．2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若bc b a 322=-，B C sin 32sin =，则A=______________．3．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a=c=26+， 且∠A=75°，则b=__________4．据新华社报道，强台风“康森”在海南三亚登陆，台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少椰子树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m ，则折断点与树干底部的距离是______m ．5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且acosB —bcosA=53c ， 则tan(A －B)的最大值是__________________．6．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD ．已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3min ．若此人步行的速度为每分钟50 m ，则该扇形的半径为_____________m ．7．在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若C b a a b cos 6=+， 求BC A C tan tan tan tan +的值．8．已知在斜三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且AA C A ac c a b cos sin )cos(222+=--（1）求角A（2）若2cos sin >C B，求角C 的取值范围．9．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°、30°，在水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC=0.1 km ，试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，并求出B 、D 的距离．高三数学二轮复习教学案（平面向量）班级_____________ 学号_____________ 姓名_____________1．在四边形ABCD 中，“DC AB 2=”是“四边形ABCD 为梯形’’的______________条件．2．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2BC =16，||||AC AB AC AB -=+ ，则|AM |=_____________3．已知平面向量),0(,βααβα≠≠满足1||=β，且α与αβ-的夹角为120°，则||α的取值范围是_________________4．设向量)cos 3,2(),3,sin 4(αα==b a ，且b a //，则锐角α为____________5．在△ABC 中，已知2π=C ，AC=1，BC=2，则|)1(2|)(CB CA f λλλ-+=的最小值是___________6．如图，在△ABC 中，已知AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若BC AB AM μλ+=，则μλ+=____________7．已知A )0,22(，B )22,0(，M )sin ,(cos αα，点N 满足)1(=++=μλμλON OB OA ，则||MN 的最小值是_______________8．已知)2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos θθθθ-==b a ，且]3,0[πθ∈ （1||b a b a +（2）是否存在实数k ，使||3||b k a b a k -=+？若存在，求出实数k 的值，若不存在，请说明理由。

高中数学教案：三角函数与解三角形一、引言三角函数是数学中的重要分支，解三角形是数学中的常见问题。

理解三角函数与解三角形对于学生的数学素养的提升至关重要。

本教案将以三角函数与解三角形为主题，设计一节高中数学课，帮助学生掌握相关知识和技能。

二、知识与技能目标1. 理解三角函数的概念和性质；2. 掌握常用三角函数的定义和计算方法；3. 学会利用三角函数解决实际问题；4. 理解解三角形的基本概念和原理；5. 掌握解三角形的常用方法。

三、教学重难点1. 三角函数的定义和性质；2. 解三角形的常用方法。

四、教学过程（一）引入教师可以从生活中的实际问题导入，如测量高楼的高度、计算两岸垂直相距较远的两点之间的距离等。

通过这些问题，引导学生思考如何利用三角函数和解三角形的知识来解决实际问题。

（二）三角函数的定义和性质1. 讲解正弦函数和余弦函数的定义，即直角三角形中的对边与斜边的比值；2. 介绍正弦函数和余弦函数的性质，如周期性、奇偶性等；3. 引导学生计算角度的度数和弧度的换算，并讲解正弦函数和余弦函数的图像特点。

（三）解三角形的基本概念和原理1. 讲解解三角形的基本概念，如角、边、高、中线等；2. 介绍解三角形的原理，即利用已知条件和三角函数的性质来确定未知边和角的关系。

（四）解三角形的常用方法1. 讲解正弦定理和余弦定理的原理和推导过程；2. 引导学生通过实例学会应用正弦定理和余弦定理解决三角形的问题；3. 介绍解直角三角形的特殊方法，如利用三角函数和勾股定理求解。

（五）练习与巩固布置相关练习题，包括计算正弦、余弦的值，解决三角形问题等。

通过练习，巩固学生对于三角函数与解三角形的理解和应用能力。

五、教学辅助手段1. 教学PPT：展示三角函数和解三角形的定义、性质、公式和解题步骤；2. 白板和马克笔：用于引导学生演算题目和解题思路。

六、教学评价与反思本节课教学以生活实际问题为切入点，通过讲解三角函数的定义和性质以及解三角形的基本概念和原理，引导学生掌握三角函数的计算和解决三角形问题的方法。

解三角形复习教案教案标题：解三角形复习教案教案目标：1. 复习学生在解三角形方面的基本知识和技能。

2. 强化学生对三角形相关概念的理解。

3. 提供学生机会通过练习和解决问题来巩固所学内容。

教学资源：1. 教科书2. 白板/黑板和彩色粉笔/白板笔3. 幻灯片或投影仪（可选）4. 三角形练习题和解答教学步骤：引入：1. 向学生复习三角形的定义和基本概念，例如三边、三角形内角和外角的性质等。

2. 提示学生，解三角形是通过已知条件来确定三角形的各个要素，如边长、角度等。

主体：3. 讲解解三角形的基本方法，包括使用正弦、余弦和正切函数以及三角恒等式。

4. 通过示例演示如何解决已知三边、两边一角和两角一边的三角形问题。

5. 提供学生机会进行实践，解决一些简单的三角形问题，如计算未知边长或角度。

6. 引导学生思考和讨论解决复杂三角形问题的策略，如使用余弦定理或正弦定理。

巩固：7. 分发练习题给学生，让他们独立或合作解决问题。

8. 鼓励学生互相检查答案，并解释他们的解决方法。

9. 与学生一起回顾和讨论练习题的解答，解释正确答案的推理过程。

总结：10. 总结本节课所学的内容，强调解三角形的重要性和应用领域。

11. 提醒学生复习并巩固所学内容，以便在考试中能够应用。

扩展活动（可选）：12. 鼓励学生在课后进一步探索三角形的性质和解决问题的方法，可以使用在线资源或相关书籍。

13. 提供一些挑战性的三角形问题，以激发学生的兴趣和思考能力。

教学提示：1. 在讲解过程中，使用图示和实例来帮助学生更好地理解和记忆。

2. 鼓励学生积极参与课堂讨论和问题解决，并及时给予肯定和鼓励。

3. 根据学生的学习进度和理解程度，调整教学节奏和难度。

教案评估：1. 观察学生在课堂上的参与度和理解程度。

2. 检查学生在解决练习题和问题时的准确性和推理过程。

3. 提供反馈和指导，帮助学生改进和巩固所学内容。

专题：三角函数及解三角形高三年级数学集体备课组主备人：张艳备课时间：2014-3-6考向分析：本部分主要考查三角函数的基本公式、图象性质、三角恒等变换及解三角形等基本知识．近几年高考题目中每年有1～2道小题，一道大题，解答题以中低档题为主，有时与平面向量综合考查，有时也与不等式、函数最值结合在一起，但难度不大，而三角函数与解三角形相结合，更是考向的主要趋势．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题等是高考的一个关注点，不可小视．命题规律：本部分常以三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式及诱导公式、和差角二倍角公式为基础考查三角函数的值域、最值、单调性、周期性等问题，而解三角形则以正弦定理、余弦定理为依托考查三角形度量问题教学目标：1、明确三角函数及解三角形的考试内容及要求，掌握三角函数相关运算、图象与性质、能运用性质进行解题；2、在三角函数、平面向量的基础上，掌握正弦定理、余弦定理，能灵活应用方程思想、转化与化归思想分析和解决问题；3、通过对典型例题、典型解法的分析研究，使学生能够运用正弦定理、余弦定理及相关知识快速解决三角形中的一些问题，理解并能使用一些解三角形的常用方法，会用数形结合的思想分析研究问题。

重点：加强运算能力，提高灵活运用三角函数、图象与性质，正弦定理、余弦定理及相关知识快速解题的能力。

难点：在明确高考热点的基础上查缺补漏。

学生疑点：解三角形中范围问题的确定及以角为变量的函数思想。

学生易错点：忽视函数的定义域、忽视边长的固有范围出错。

一、真题试做1．（2013四川（理））函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π- (B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π2．（2013湖南（理））在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于（ ）A.12π B.6π C.4π D.3π3．（2013湖北（理））将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( )A.12πB.6πC.3πD.56π4.（2013陕西（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 5．（2013山东（理））将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴 向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为（ ）(A)43π (B) 4π(C)0 (D) 4π- 6．(2012重庆（理）)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则 tan(α＋β)的值为( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．37．（2013新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______8．（2013新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA二、考题研究考点一：三角变换与求值例1．（2013浙江（理））已知210cos 2sin ,=+∈αααR , 则=α2tan （ ） A.34 B. 43C.43-D.34-设计意图：考查同角三角函数商的关系和平方关系的灵活应用，考查二倍角正切公式的应用，考查学生的运算求解能力。

解三角形（二轮专题复习）教学设计教学目标：1、知道正弦定理、余弦定理是解三角形的核心知识，会用正余弦定理进行边角转换；2、掌握“已知一角及其对边，求相关边角的最值问题”的两种基本思路：（1）运用正弦定理化边为角，转化为三角函数最值问题；（2）运用余弦定理化角为边，利用基本不等式、判别式法等手段构造不等式进而解不等式；3、能运用过去解三角形所积累的解题经验解决与解三角形相关的拓展问题，并获得、积累新的数学基本活动经验。

教学重点：1、与学生一起探究例题的基本解法，并总结归纳出解这类问题的两类基本思路；2、解决函数、不等式问题时所获得的一些数学基本活动经验在解决“已知一角及其对边，求相关边角的最值问题”时的运用、积累与升华。

教学难点：变式2中用余弦定理寻求与错误！未找到引用源。

相关的不等式、求解、验证的过程授课类型：高三第二轮专题复习课教学过程：一、热点分析，把握方向近五年全国卷Ⅰ解三角形考题题号及分值统计：通过此表，我们发现解三角形是高考的必考点，一般属于中档题，是我们的一个主要得分点，因此也是第二轮复习的重点内容.二、小试牛刀，回顾经验引例：（2015广东改编）设错误！未找到引用源。

的内角错误！未找到引用源。

的对边分别为错误！未找到引用源。

，若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

.1、给2分钟时间，让学生独立完成，请同学回答，同时板书两种方法的主要过程；2、解法一：（余弦定理）错误！未找到引用源。

，化简为错误！未找到引用源。

解法二：（正弦定理）由正弦定理得错误！未找到引用源。

，又错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，或错误！未找到引用源。

.3、小结：通过这个题我们可以感受到正弦定理、余弦定理在解三角形中的具体应用.4、问：如果在引例中去掉条件“错误！未找到引用源。

”，这时会是什么结果呢？显然就不能求解错误！未找到引用源。

的具体数值了，但能不能求 错误！未找到引用源。

的范围呢？请试解如下变式。

三角函数复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握三角函数的定义及性质；（2）熟练运用三角函数公式进行计算；（3）理解三角函数在实际问题中的应用。

2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固三角函数的基本概念；（2）学会运用归纳法、类比法等方法总结三角函数的性质；（3）提高运用三角函数解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的团队协作精神；二、教学内容1. 三角函数的定义与性质（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；（2）三角函数的周期性；（3）三角函数的奇偶性；（4）三角函数的单调性。

2. 三角函数公式（1）和差化积公式；（2）积化和差公式；（3）倍角公式；（4）半角公式。

3. 三角函数在实际问题中的应用（1）角度与弧度的互化；（2）三角函数在几何问题中的应用；（3）三角函数在物理问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）三角函数的定义与性质；（2）三角函数公式的运用；（3）三角函数在实际问题中的应用。

2. 教学难点：（1）三角函数公式的灵活运用；（2）解决实际问题时的三角函数求解。

四、教学方法1. 采用讲解法、问答法、讨论法等教学方法；2. 利用多媒体课件辅助教学，增强学生的直观感受；3. 设置适量练习，巩固所学知识。

五、教学过程1. 导入：通过复习三角函数的基本概念，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。

2. 讲解：（1）讲解三角函数的定义与性质，通过示例让学生理解并掌握；（2）介绍三角函数公式，引导学生学会运用公式解决实际问题；（3）讲解三角函数在实际问题中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识，并及时给予解答和指导。

4. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调重点和难点，鼓励学生课后进行自主复习。

5. 课后作业：布置课后作业，巩固课堂所学知识，提高学生的实际运用能力。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问，了解学生对三角函数定义与性质的理解程度。

1 教学课题：三角函数 、解三角形 课时规划：4 教学目标：掌握三角函数的化简、三角函数图形的变换，解三角形。

教学重点：三角函数的图像性质运用，解三角形中正余弦定理的运用 教学难点：解三角形 教学过程一、知识链接（包括学情诊断、知识引入和过渡）1. 复习三角函数诱导公式，倍角公式，两角和差的正余弦公式，三角函数图像变换等知识点。

2.复习三角形正弦定理，余弦定理，在一定区间内求值域的方法等。

3.向量的概念、向量有关的计算；向量垂直于平行的应用。

二、名题探究（包括精讲、例题、跟进练习题） 例1 下列函数中，周期为，且在上为减函数的是_________．A ．B ．C ．D ．例2 设函数)(),0)(2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x .(10分)（1） 求;ϕ（2） 求函数y=f(x)，x []ππ,-∈的单调增区间. 例3、中，三内角成等差数列，则的最大值为 ( )A ．B ．C ．D ．2 例4、 函数的图象大致是例5 已知平面向量，的夹角为60°，，，则——————————————例6 △ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－)，n ＝(cos2B,2cos 2－1)，且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．三、易错题点拨（找几个易错的例题讲解，包括疑难辨析，跟进练习） 例1 若函数)2sin()(ϕ+=x x f 的图像沿x 轴向左平移8π个单位，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为（ ）（A ）43π （B ）4π （C ）0 （D ）4π-例2 函数x x x y sin cos +=的图象大致为y = f (x )(A)3 四、拓展练习（题目题型训练）1. 设ABC ∆的三个内角为A,B,C1cos()m n A B ⋅=++，则C 等于（ ）2. 设ABC ∆的内角,,,A B C 所对的边为,,,a b c 且76,2,c o s .9a cb B +===()I 求,a c 的值；()I I 求()sin A B -的值。

专题三 三角函数与解三角形强化测试卷（一） 选择题（12*5=60分）1. 【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试数学（文）】s i n480的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．12D ．22.【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学文试题】将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向 右平移6π个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（ ） .A sin 2y x = .B cos 2y x = .C 2sin(2)3y x π=+.D sin(2)6y x π=-3.【浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考】已知cos 23θ=则44sin cos θθ-的值为 （ ）A3 B 3- C 1811D 29-4.【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试（文）】已知0ω>，函数()cos()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．15[,]24B ．17[,]24C ．39[,]44D ．37[,]245.【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A.向右平移6π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度D. 向左平移3π个单位长度6.【安徽省六校教育研究会2014届高三素质测试文】函数)42sin()(π-=x x f 在]2,0[π上的单增区间是 （ ） A ．]8,0[π B ．]2,8[ππC ．]83,0[πD ．]2,83[ππ7.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（文）】已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，其导函数()f x '的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．1()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．1()4sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()4sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．13()4sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭8.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（文）】若sin()3πα-=-且3(,)2παπ∈，则sin()22πα+=（ ）A ．3-B ．6-C ．6D ．3得9.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试文】已知函数()sin()3cos()(0,||)2f x x x πωφωφωφ=+-+><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递增函数B ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π， 且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π， 且在(0,)2π上为单调递减函数10.【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-，将()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的解析式为（ ）A ．()2g x x =B ．()2g x x =C ．3()2)4g x x π=-D ．()2g x x =11.【四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题文科】定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）A.(sin )(cos )f f αβ>B.(sin )(cos )f f αβ<C.(cos )(cos )f f αβ<D.(cos )(cos )f f αβ>12.【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（文）】在△ABC 中，4cos 5A =，8AB AC ⋅=，则△ABC 的面积为 （ ）A.65B.3C.125D.6填空题（4*5=20分）13.【江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高三数学考试】函数()2sin()4f x xπ=-，[,0]x π∈-的单调递减区间单间为__________．14.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试文】在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，60B =︒．则b = .15.【四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题文科】已知2242-=--)sin()cos(πααπ，则_______sin cos =+αα16.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（文）】已知函数()cos sin f x x x =⋅，给出下列五个说法：①19211124f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.②若12()()f x f x =-，则12x x =-.③()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. ④将函数()f x 的图象向右平移34π个单位可得到1cos22y x =的图象. ⑤()f x 的图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称．其中正确说法的序号是 .中心.（二） 解答题（10+5*12=70分）17. 【江西师大附中2014届高三年级10月测试试卷文】已知函数(i n c o s )()2c o s ,x f x x x x R -=∈．(I)求函数()f x 图像的对称中心；(Ⅱ)求函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,8ππ上的最小值和最大值．18.【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试（文）】已知函数()()sin ,0,0,2f x A x x R A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图3所示.（1）试确定函数()f x 的解析式； （2）若123f απ⎛⎫=⎪⎝⎭，求2cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.19.[山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考文】已知函数2()sin(2)2cos 1()6f x x x x R π=-+-∈.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1()2f A =,2a b c =+,18bc =.求a 的值.20. 【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】已知函数x x x f cos 2sin 32)(-= （Ⅰ）若],0[π∈x ,求)(x f 的最大值和最小值；（Ⅱ）若0)(=x f ,求)4sin(21sin 2cos 22π+--x x x的值.21.【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】已知向量(co s,s i n )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos 2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若6AB =，且18CA CB ⋅= ，求,AC BC 的长．22. 【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（文）】已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，x ∈R 的最大值是1，最小正周期是2π，其图像经过点(0,1)M ．（1）求()f x 的解析式；（2）设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且3()5f A =，5()13f B =，求()f C 的值．（四）附加题（15分）23.如图4所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥.（1）设30MOD ∠=，求三角形铁皮PMN 的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值.68；。

高中数学教案三角函数与解三角形高中数学教案：三角函数与解三角形I. 引言三角函数是高中数学中的重要内容之一，它涉及到解三角形等课题。

本教案将介绍三角函数的基本概念、性质以及应用于解三角形的方法和技巧。

II. 三角函数的基本概念与性质1. 三角函数的定义a. 正弦函数b. 余弦函数c. 正切函数d. 余切函数e. 正割函数f. 余割函数2. 三角函数的性质a. 周期性b. 奇偶性c. 增减性d. 推导公式e. 单位圆上的几何意义III. 解三角形的方法1. 解直角三角形a. 根据已知边长解角度b. 根据已知角度解边长c. 应用勾股定理2. 解一般三角形a. 解法一：正弦定理b. 解法二：余弦定理c. 解法三：正切定理d. 应用解法解实际问题IV. 解三角形中的特殊情况1. 一解三角形a. 已知两边和夹角，解第三边b. 已知两角和边，解第三边2. 二解三角形a. 已知两边和夹角，解另外两个角b. 已知一边和两个角，解另外两边和另外一个角V. 解三角形的实际应用1. 测量高度、距离等问题2. 导航与航海问题3. 建筑与工程问题4. 天文与地理问题VI. 总结与拓展通过本教案的学习，学生应掌握三角函数的基本知识和性质，了解解三角形的方法和技巧，并能应用于实际问题中。

同时，鼓励学生进一步拓展应用数学知识的能力，将数学与现实生活相结合，深入了解数学在各个领域中的作用。

附录：例题与解析（在这部分可以列举一些相关的例题，并给出解题步骤和解析，便于学生理解和运用所学知识）参考资料：（此处可提供一些参考资料，如教材、网上资源等，但不在正文中出现）注意事项：教师在讲解时应注意引导学生进行互动交流，激发他们的思维，促进学生对三角函数与解三角形的理解和掌握。

教案的具体执行可根据实际教学情况进行调整和补充。

以上为教案内容，希望对您的教学工作有所帮助。

祝您教学顺利！。