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2–5 用拉普拉斯变换方法解微分方程拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1），即可方便地查得相应的微分方程解。
这样就使方程求解问题大为简化。
拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两部分。
有关拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的公式见附录一。
应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。
用古典方法求解微分方程全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。
而应用拉氏变换就可省去这一步。
因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。
而且，如果所有初始条件都为零，那么求取微分方程的拉氏变换式就更为方便，只要简单地用复变量s 来代替微分方程中的dt d ，2s 代替22dtd ，…就可得到。
应用拉氏变换法解微分方程的步骤如下：（1）对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为复变量s 的代数方程（称为变换方程）（2）求解变换方程，得出系统输出变量的象函数表达式。
（3）将输出的象函数表达式展开成部分分式（部分分式展开法参见附录二）。
（4）对部分分式进行拉氏反变换（可查拉氏变换表），即得微分方程的全解。
举例说明【例2-7】 设RC 网络如图2-24所示，在开关K 闭合之前，电容C 上有初始电压)0(c u 。
试求将开关瞬时闭合后，电容的端电压c u （网络输出）。
解 开关K 瞬时闭合，相当于网络有阶跃电压0)(u t u c =·)(1t 输入。
故网络微分方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰idt C u u Ri u c c r 1 消去中间变量i ，得网络微分方程为)(t u u dt du RCr c c =+ （2-44）对上式进行拉氏变换，得变换方程 )()()0()(s U s U RCu s RCsU r c c c =+- 将输入阶跃电压的拉氏变换式su s U r 0)(=代入上式，并整理得电容端电压的拉氏变换式)0()1()1()(0c c u RCs RC RCs s u s U +++= 可见等式右边由两部分组成，一部分由输入所决定，另一部分由初始值决定。
拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。
拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。
因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。
拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为L[f(t)]=F(s)=式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频域。
应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。
通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。
拉普拉斯变换的基本性质本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。
一、唯一性定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一一对应关系。
根据可以唯一的确定其拉氏变换；反之，根据，可以唯一的确定时间函数。
唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。
唯一性的证明从略。
二、线性性质若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为和，和是两个任意常数，则有证根据拉氏变换的定义可根据拉氏变换的定义可得例求的拉氏变换。
解三、时域导数性质（微分性质）例应用时域导数性质求的象函数。
四、时域积分性质（积分规则）例：求单位斜坡函数及的象函数。
五、时域平移性质（延迟性质）作业：书后习题1、2、3、4。
课后记事：注意板书层次，因为内容很多，不要太乱。
常用时间函数的象函数一览表，见教材221页。
8-2、8-3拉普拉斯反变换和运算电路图（4学时）（教材第221页）教学目的：具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求待定系数法，运算电路图的画法。
教学重点：具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法，熟练掌握运算电路图的画法。
www�ele169�com | 93科技论坛0 引言在没有人直接参与的情况下，自动控制（automaticcontrol）是利用外加的设备或装置，能够使机器、参数、生产过程的某个工作状态或设备按照预定的规律自动的运行[1]。
自动控制是一种技术措施，能自动调节、加工、检测的机器设备以及仪表，并给他们规定的程序或特定的指令，以便于让它们自动的作业。
自动控制能够有效的增加产量、降低成本、提高质量，并且能够保障生产安全，确保工人的劳作强度等[2]。
自动控制技术的研究有利于提高人们的工作效率，因此在一些复杂的环境中，人们工作的时间相对于以前降低了很多。
自动控制技术利用了反馈定理，该定理利用输出信号反馈到输入信号，从而使输出值接近于我们想要的值[3-4]。
自动控制系统中涉及到的基本的计算有拉普拉斯变换、傅里叶变换等。
1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换简称拉氏变换，它广泛应用在许多科学技术和工程领域。
研究过程中，我们需要从实际出发，首先以研究对象为基础，将其规划为一个时域数学模型，然后再借助于拉普拉斯变换数学工具转变为复域数学模型，最后如果想要结果表现的更直观，可以使用图形来表示，而图形的表示方法是以传递函数（复域数学模型）为基础，所以拉氏变换是古典控制理论中的数学基础[5-6]。
利用拉氏变换变换求解数学模型时，我们就当作求解一个线性方程，换而言之拉氏变换不仅可用来将简单的时域信号转换为复数域信号，还可以用来求解控制系统微分方程[7]。
拉氏变换是将时域信号变为复数域信号，反之，拉氏反变换是将复数域信号变为时域信号，下面对其概念作具体介绍。
■1.1 拉氏正变换定义：对于定义在[0, ∞)区间上的函数f(t)，有拉普拉斯积分0()()st F s f t e dt −+∞−=∫，其中F(S)称作函数f(t)的拉普拉斯变换，简称为拉氏变换。
■1.2 拉氏反变换拉氏反变换是拉氏正变换的逆运算，其公式为1[()]L F s −=)]()s f t =。
用拉普拉斯变换求解微分方程的过程引言：微分方程是描述自然界中各种变化规律的数学工具，它在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
而求解微分方程是解决实际问题的关键步骤之一。
本文将介绍一种常用的求解微分方程的方法——拉普拉斯变换。
一、什么是拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它可以将一个函数转换为一个复变量的函数。
通过拉普拉斯变换，我们可以将微分方程转化为代数方程，从而更容易求解。
二、拉普拉斯变换的定义：设函数f(t)在区间[0,∞)上有定义，若存在一个常数s0，使得积分F(s)=∫[0,∞) e^(-st) f(t)dt在复平面上收敛，则称F(s)为函数f(t)的拉普拉斯变换，记作F(s)=L{f(t)}。
三、拉普拉斯变换的性质：1. 线性性质：L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)，其中a、b为常数。
2. 平移性质：L{f(t-a)}=e^(-as)F(s)，其中a为常数。
3. 尺度变换性质：L{f(at)}=1/aF(s)，其中a为常数。
4. 初值定理：lim(s→∞) sF(s)=f(0+)，其中f(0+)为f(t)在t=0+时的右极限。
5. 终值定理：lim(s→0) sF(s)=f(∞)，其中f(∞)为f(t)在t→∞时的极限。
四、用拉普拉斯变换求解微分方程的步骤：1. 对给定的微分方程进行拉普拉斯变换，将微分方程转化为代数方程。
2. 解代数方程得到F(s)。
3. 利用拉普拉斯变换表，找到F(s)对应的原函数f(t)。
4. 根据原函数f(t)的表达式，得到微分方程的解。
五、拉普拉斯变换的应用：通过拉普拉斯变换，我们可以求解各种类型的微分方程，包括常微分方程和偏微分方程。
在控制系统、电路分析、信号处理等领域，拉普拉斯变换都有着广泛的应用。
例如，在电路分析中，我们可以通过拉普拉斯变换求解电路的响应，从而得到电路的稳定性和性能。
结论：拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它可以将微分方程转化为代数方程，从而更容易求解。
精心整理目录引言 (1)1 拉普拉斯变换以及性质 (1)1.1拉普拉斯变换的定义 (1)1.2拉普拉斯变换的性质 (1)2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 (3)3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 (3)3.1初值问题与边值问题 (3)3.2常系数与变系数常微分方程 (4)3.3含 函数的常微分方程 (5)3.4常微分方程组 (6)3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 (6)3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 (9)4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 (10)4.1齐次与非齐次偏微分方程 (10)4.2有界与无界问题 (11)5 综合比较，归纳总结 (14)结束语 (15)参考文献 (15)英文摘要 (21)致谢 (16)拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用物理系0801班学生岳艳林指导老师韩新华摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含δ函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。
关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解 引言傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。
为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。
拉普拉斯变换求解微分方程拉普拉斯变换可以把微分方程转化为代数方程。
由于现在是在利用拉氏变换求解微分方程，所以我们暂时不关注拉普拉斯变换中比较细节的方面。
利用拉氏变换解微分方程的基本方法就是把以 t 为变量的函数变换到以 s 为变量的代数函数，而这个过程会把微分项转换为代数式，这样我们就可以求解不含微分项的方程了。
最后再利用拉普拉斯逆变换，把关于 s 的函数变换回关于 t 的函数，就完成了微分方程的求解。
不过我们要先有几样趁手的工具——常用函数的拉普拉斯变化对以及微分的拉普拉斯变换：L[f(t)]=F(s) 表示对 f(t) 进行拉普拉斯变换的结果是 F(s) ，反之， L−1[F(s)]=f(t)表示的是对 F(s) 进行拉普拉斯逆变换得到了函数 f(t) .常用函数的拉普拉斯变换（对应的逆变换也成立）：L[1]=1sL[tm]=m!sm+1L[eat]=1s−aL[cosat]=ss2+a2L[sinat]=as2+a2L[eatf(t)]=F(s−a)拉普拉斯变换是具有线性性质的，也就是说， L[αf(t)+βg(t)]=αL[f(t)]+βL[g(t)] . 逆变换也具有线性性质。
对公式两侧同时进行拉普拉斯逆变换就可以得到逆变换的公式，比如第一个式子： L−1[L[1]]=L−1[1s] ，整理一下就能得到 L−1[1s]=1 .微分的拉普拉斯变换（需要知道原函数已经各阶导数在0处的值）：L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−...−s0f(n−1)(0)式中的 F(s) 是一个未知的函数，是需要我们解出来的。
百闻不如一见，来看例题。
先来一个简单的例题。
例1：求解微分方程 yt′=t,y(0)=1解：第一步，对方程两侧同时进行拉普拉斯变换，即 L[yt′]=L[t] 得到 sY(s)−y(0)=1s2 .第二步，带入初值 y(0)=1 ，得到 sY(s)−1=1s2 .第三步，求解 Y(s) .这时候我们把第二步得到的式子看成一个普通的代数式就可以，很容易解得 Y(s)=1s3+1s 。
摘要我在此论文中主要讨论长微分方程中的非齐次线性微分方程的几种解法。
关键词：线性相关，通解，特解，朗斯基行列式，拉普拉斯变换,线性无关，目录摘要 (1)引言 (3)1.n阶线性齐次微分方程的一般理论: (3)2.n阶线性非齐次微分方程的一般理论: (6)2.1常数变易法 (6)2.2待定系数法: (9)2.1.1第一类型非齐次方程特解的待定系数解法 (9)2.2.2第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法 (11)2.3拉普拉斯变换法 (13)总结 (15)参考文选 (16)致谢 (17)引言非齐次线性微分方程是常微分方程中的重要概念之一。
非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解的之和。
这个毕业论文中关键的任务是求它的一个特解。
下面我们主要介绍求特解的方法。
1.n 阶线性齐次微分方程的一般理论:()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++= （1） ()(1)11()()()0n n n n y a x y a x y a x y --'++++= （2）定理1：设方程（2）有n 个线性无关的解，这n 个线性无关的解称为方程的基本解组。
定理2：方程（2）的基本解组一定存在。
方程（2）的基本解组的个数不能超过n 个。
定理3：n 阶线性非齐次微分方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和。
定理4：齐次方程（2）的n 个解12,,,n y y y 在其定义区间I 上线性无关的充要条件是在I 上存在点0x ，使得它们的朗斯基行列式0()0W x ≠。
目前为止没有求方程（2）线性无关解的一般方法。
下面我们研究几个例子。
例：方程2)(1220x y xy y '''--+=的两个解是121,ln 121x xy x y x+==-- ∴ 它的通解为121ln 121x x y C x C x+=+-- 定理5：设12,,,n y y y 是方程（2）的任意n 个解。
用拉普拉斯变换求解微分方程的过程拉普拉斯变换是一种将时间域函数转换为复频率域函数的方法，它在求解微分方程中有着广泛的应用。
下面将介绍用拉普拉斯变换求解微分方程的过程。
首先，我们需要将微分方程转换为代数方程。
假设我们要求解的微分方程为：y''(t) + 2y'(t) + 5y(t) = f(t)其中，y(t)为未知函数，f(t)为已知函数。
我们可以将该微分方程转换为拉普拉斯域中的代数方程：(s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)) + 2(s Y(s) - y(0)) + 5Y(s) = F(s)其中，Y(s)为y(t)的拉普拉斯变换，y(0)和y'(0)分别为y(t)在t=0时的初值和初导数，F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。
接下来，我们需要解出Y(s)。
将上式变形可得：Y(s) = (s y(0) + y'(0) + F(s)) / (s^2 + 2s + 5)这样，我们就得到了y(t)的拉普拉斯逆变换：y(t) = L^-1{Y(s)} = L^-1{(s y(0) + y'(0) + F(s)) / (s^2 + 2s + 5)}其中，L^-1表示拉普拉斯逆变换。
最后，我们需要求出y(t)的具体表达式。
这可以通过分解分母的根来实现。
我们可以将分母的根表示为：s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4因此，我们可以将Y(s)表示为：Y(s) = (s y(0) + y'(0) + F(s)) / [(s + 1)^2 + 4]接下来，我们需要求出Y(s)的部分分式分解。
假设分解结果为：Y(s) = A / (s + 1) + B / (s + 1)^2 + C / (s^2 + 4)将Y(s)代入上式，可以得到：A = lim(s->-1) [(s + 1) Y(s)] = lim(s->-1) [(s + 1) (s y(0) + y'(0) +F(s)) / [(s + 1)^2 + 4]] = y(0) + lim(s->-1) [F(s) / (s + 1)]B = lim(s->-1) [d/ds((s + 1)^2 Y(s))] = lim(s->-1) [d/ds((s + 1)^2 (s y(0) + y'(0) + F(s)) / [(s + 1)^2 + 4])] = y'(0) + lim(s->-1) [(s + 1) F(s) / [(s + 1)^2 + 4]]C = lim(s->0) [s^2 Y(s)] = lim(s->0) [s^2 (s y(0) + y'(0) + F(s)) / [(s + 1)^2 + 4]] = lim(s->0) [s F(s) / [(s + 1)^2 + 4]]最终，我们可以得到y(t)的表达式：y(t) = (y(0) + lim(s->-1) [F(s) / (s + 1)]) e^(-t) + (y'(0) + lim(s->-1) [(s + 1) F(s) / [(s + 1)^2 + 4]]) t e^(-t) + lim(s->0) [s F(s) / [(s + 1)^2 + 4]] sin(2t)其中，e^(-t)和sin(2t)是拉普拉斯逆变换的结果。
拉普拉斯变换法在求解微分方程中的应用拉普拉斯变换法在求解微分方程中的应用微分方程是自然界中各种问题的数学表达式。
其中最常见的为线性微分方程，它们可以用拉普拉斯变换法求解。
拉普拉斯变换法不仅使求解微分方程变得容易，而且还具有广泛的应用。
一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种函数变换方法，它能够将一个函数从时间域变换到频率域。
设函数f(t)在区间[0,∞)上有定义，并且成立：L{f(t)}=F(s)=∫_0^∞e^(-st)f(t)dt其中s为复变量，s可以取任意值。
函数F(s)就是函数f(t)的拉普拉斯变换。
二、拉普拉斯变换法的应用1.求解线性微分方程对于线性微分方程Lu(t)=f(t)（其中L为微分算子，u为未知函数，f为已知函数），可以将其转化为代数方程Lu(s)=F(s)。
因此，对于已知f(t)，只需要求出它的拉普拉斯变换F(s)，再求出L的逆变换L^-1，即可得到解u(t)。
2.求解常系数线性微分方程常系数线性微分方程具有形式为ay''(t)+by'(t)+cy(t)=f(t)的特定形式，其中a、b、c为常数。
利用拉普拉斯变换法，可以将它们转化为关于变量s的代数方程，可以更方便地求解。
3.求解偏微分方程偏微分方程是一类多元函数的微分方程，包括了一些重要的物理和工程问题。
利用拉普拉斯变换法将其转化为关于s的代数方程，再求出逆变换，可以得到偏微分方程的解。
三、总结拉普拉斯变换法是求解微分方程的一种常用方法，它可以将微分方程转化为代数方程来求解。
特别是对于常系数线性微分方程和偏微分方程，应用拉普拉斯变换法可以更方便地获得解析解。
因此，它在物理，工程学和应用数学中都有极为丰富的应用。
通过拉普拉斯变换求解线性微分方程的探讨摘要：通过拉普拉斯变换主要用于求解线性微分方程（或积分方程）。
经过变换，原来函数所遵从的微分（或积分）方程变成了像函数所遵从的代数方程，代数方程比较容易求解，从而化难为易，本论文将介绍通过”三“步求解线性微分（或）积分方程。
关键词：拉普拉斯变换 线性方程 原函数 像函数 反演（一） 拉普拉斯变换的定义傅里叶积分与傅里叶变换存在的条件是原函数()f x 在任一区间满足狄里希利条件，并且在(,)-∞∞区间上绝对可积。
这是一个相当强的条件，以致于许多常见的函数（如多项式，三角函数等）都不满足这一条件。
因此需要引入——拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换常用于初始值问题，即已知某个物理量的初始时刻0t =的值(0)f ，而求解它在初始时刻之后的变化情况()f t ，至于它在初始时刻之前的值，我们并不感兴趣，不妨置()0f t = (0)t <为了获得宽松的变换条件，把()f t 加工为()g t ，()()t g t e f t σ-=这里t e σ-是收敛因子，就是说，正的实数σ的值选得如此之大，以保证()g t 在区间(,)-∞∞上绝对可积，。
于是，可以对()g t 实施傅里叶变换()011()()()22i t i t G g t e dt f t e dt ϖσϖϖππ∞∞--+-∞==⎰⎰将i σϖ+记作p ，并将()G ϖ改记作()2f p π，则 0()()pt f p f t e dt ∞-=⎰ （1）其中积分0()pt f t edt ∞-⎰称为拉普拉斯积分，()f p 称为()f t 的拉普拉斯变换函数.（1）代表从()f t 到()f p 的一种积分变换，称为拉普拉斯变换（简称拉式变换），pt e-称为拉普拉斯变换的核。
()G ϖ的傅里叶逆变换是1()()()2i t i t g t G e d f i e d ϖϖϖϖσϖϖπ∞∞-∞-∞==+⎰⎰即 ()1()()2i t f t f i e d σϖσϖϖπ∞+-∞=+⎰由 i p σϖ+= ，有1d dp i ϖ=所以 1()()2i ip i f t f p e dp i σσπ+∞-∞=⎰ ()f p 又称为像函数，而()f t 称为原函数，它们之间的关系常用简单的符号写为 []()()f p f t =℘1()()f t f p -⎡⎤=℘⎣⎦（二） 拉普拉斯变换的基本性质（1） 线性定理若1()f t 1()f p ，2()f t 2()f p ，则1122()()c f t c f t + 1122()()c f p c f p + （2） 导数定理'()()(0)f t p f p f - （3） 积分定理 []01()()t d t pψττψ℘⎰（4） 相似性定理1()()p f at f a a（5） 位移定理()()t e f t f p λλ-+（6） 延迟定理00()()pt f t t e f p --(7) 卷积定理 若11()()f t f p ，22()()f t f p ，则1212()()()()f t f t f p f p * 其中12120()()()()tf t f t f f t d τττ*≡-⎰（三） 拉普拉斯变换的反演（1） 有理分式反演法如果像函数是有理分式，只要把有理分式分解成分项分式，然后利用拉普拉斯变换的基本公式，就能得到相应的原函数。
