2-3 用拉普拉斯变换求解线性微分方程

2–5 用拉普拉斯变换方法解微分方程拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1），即可方便地查得相应的微分方程解。

这样就使方程求解问题大为简化。

拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两部分。

有关拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的公式见附录一。

应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。

用古典方法求解微分方程全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。

而应用拉氏变换就可省去这一步。

因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。

而且，如果所有初始条件都为零，那么求取微分方程的拉氏变换式就更为方便，只要简单地用复变量s 来代替微分方程中的dt d ，2s 代替22dtd ，…就可得到。

应用拉氏变换法解微分方程的步骤如下：（1）对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为复变量s 的代数方程（称为变换方程）（2）求解变换方程，得出系统输出变量的象函数表达式。

（3）将输出的象函数表达式展开成部分分式（部分分式展开法参见附录二）。

（4）对部分分式进行拉氏反变换（可查拉氏变换表），即得微分方程的全解。

举例说明【例2-7】 设RC 网络如图2-24所示，在开关K 闭合之前，电容C 上有初始电压)0(c u 。

试求将开关瞬时闭合后，电容的端电压c u （网络输出）。

解 开关K 瞬时闭合，相当于网络有阶跃电压0)(u t u c =·)(1t 输入。

故网络微分方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰idt C u u Ri u c c r 1 消去中间变量i ，得网络微分方程为)(t u u dt du RCr c c =+ （2-44）对上式进行拉氏变换，得变换方程 )()()0()(s U s U RCu s RCsU r c c c =+- 将输入阶跃电压的拉氏变换式su s U r 0)(=代入上式，并整理得电容端电压的拉氏变换式)0()1()1()(0c c u RCs RC RCs s u s U +++= 可见等式右边由两部分组成，一部分由输入所决定，另一部分由初始值决定。

拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。

拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。

因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。

拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为L[f(t)]=F(s)=式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频域。

应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。

通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。

拉普拉斯变换的基本性质本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。

一、唯一性定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一一对应关系。

根据可以唯一的确定其拉氏变换；反之，根据，可以唯一的确定时间函数。

唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。

唯一性的证明从略。

二、线性性质若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为和，和是两个任意常数，则有证根据拉氏变换的定义可根据拉氏变换的定义可得例求的拉氏变换。

解三、时域导数性质（微分性质）例应用时域导数性质求的象函数。

四、时域积分性质（积分规则）例：求单位斜坡函数及的象函数。

五、时域平移性质（延迟性质）作业：书后习题1、2、3、4。

课后记事：注意板书层次，因为内容很多，不要太乱。

常用时间函数的象函数一览表，见教材221页。

8-2、8-3拉普拉斯反变换和运算电路图（4学时）（教材第221页）教学目的：具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求待定系数法，运算电路图的画法。

教学重点：具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法，熟练掌握运算电路图的画法。

www�ele169�com | 93科技论坛0 引言在没有人直接参与的情况下，自动控制（automaticcontrol）是利用外加的设备或装置，能够使机器、参数、生产过程的某个工作状态或设备按照预定的规律自动的运行[1]。

自动控制是一种技术措施，能自动调节、加工、检测的机器设备以及仪表，并给他们规定的程序或特定的指令，以便于让它们自动的作业。

自动控制能够有效的增加产量、降低成本、提高质量，并且能够保障生产安全，确保工人的劳作强度等[2]。

自动控制技术的研究有利于提高人们的工作效率，因此在一些复杂的环境中，人们工作的时间相对于以前降低了很多。

自动控制技术利用了反馈定理，该定理利用输出信号反馈到输入信号，从而使输出值接近于我们想要的值[3-4]。

自动控制系统中涉及到的基本的计算有拉普拉斯变换、傅里叶变换等。

1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换简称拉氏变换，它广泛应用在许多科学技术和工程领域。

研究过程中，我们需要从实际出发，首先以研究对象为基础，将其规划为一个时域数学模型，然后再借助于拉普拉斯变换数学工具转变为复域数学模型，最后如果想要结果表现的更直观，可以使用图形来表示，而图形的表示方法是以传递函数（复域数学模型）为基础，所以拉氏变换是古典控制理论中的数学基础[5-6]。

利用拉氏变换变换求解数学模型时，我们就当作求解一个线性方程，换而言之拉氏变换不仅可用来将简单的时域信号转换为复数域信号，还可以用来求解控制系统微分方程[7]。

拉氏变换是将时域信号变为复数域信号，反之，拉氏反变换是将复数域信号变为时域信号，下面对其概念作具体介绍。

■1.1 拉氏正变换定义：对于定义在[0, ∞)区间上的函数f(t)，有拉普拉斯积分0()()st F s f t e dt −+∞−=∫，其中F(S)称作函数f(t)的拉普拉斯变换，简称为拉氏变换。

■1.2 拉氏反变换拉氏反变换是拉氏正变换的逆运算，其公式为1[()]L F s −=)]()s f t =。

用拉普拉斯变换求解微分方程的过程引言：微分方程是描述自然界中各种变化规律的数学工具，它在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。

而求解微分方程是解决实际问题的关键步骤之一。

本文将介绍一种常用的求解微分方程的方法——拉普拉斯变换。

一、什么是拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它可以将一个函数转换为一个复变量的函数。

通过拉普拉斯变换，我们可以将微分方程转化为代数方程，从而更容易求解。

二、拉普拉斯变换的定义：设函数f(t)在区间[0,∞)上有定义，若存在一个常数s0，使得积分F(s)=∫[0,∞) e^(-st) f(t)dt在复平面上收敛，则称F(s)为函数f(t)的拉普拉斯变换，记作F(s)=L{f(t)}。

三、拉普拉斯变换的性质：1. 线性性质：L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)，其中a、b为常数。

2. 平移性质：L{f(t-a)}=e^(-as)F(s)，其中a为常数。

3. 尺度变换性质：L{f(at)}=1/aF(s)，其中a为常数。

4. 初值定理：lim(s→∞) sF(s)=f(0+)，其中f(0+)为f(t)在t=0+时的右极限。

5. 终值定理：lim(s→0) sF(s)=f(∞)，其中f(∞)为f(t)在t→∞时的极限。

四、用拉普拉斯变换求解微分方程的步骤：1. 对给定的微分方程进行拉普拉斯变换，将微分方程转化为代数方程。

2. 解代数方程得到F(s)。

3. 利用拉普拉斯变换表，找到F(s)对应的原函数f(t)。

4. 根据原函数f(t)的表达式，得到微分方程的解。

五、拉普拉斯变换的应用：通过拉普拉斯变换，我们可以求解各种类型的微分方程，包括常微分方程和偏微分方程。

在控制系统、电路分析、信号处理等领域，拉普拉斯变换都有着广泛的应用。

例如，在电路分析中，我们可以通过拉普拉斯变换求解电路的响应，从而得到电路的稳定性和性能。

结论：拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它可以将微分方程转化为代数方程，从而更容易求解。

精心整理目录引言 (1)1 拉普拉斯变换以及性质 (1)1.1拉普拉斯变换的定义 (1)1.2拉普拉斯变换的性质 (1)2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 (3)3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 (3)3.1初值问题与边值问题 (3)3.2常系数与变系数常微分方程 (4)3.3含 函数的常微分方程 (5)3.4常微分方程组 (6)3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 (6)3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 (9)4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 (10)4.1齐次与非齐次偏微分方程 (10)4.2有界与无界问题 (11)5 综合比较，归纳总结 (14)结束语 (15)参考文献 (15)英文摘要 (21)致谢 (16)拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用物理系0801班学生岳艳林指导老师韩新华摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含δ函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。

关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解 引言傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。

为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。

拉普拉斯变换求解微分方程拉普拉斯变换可以把微分方程转化为代数方程。

由于现在是在利用拉氏变换求解微分方程，所以我们暂时不关注拉普拉斯变换中比较细节的方面。

利用拉氏变换解微分方程的基本方法就是把以 t 为变量的函数变换到以 s 为变量的代数函数，而这个过程会把微分项转换为代数式，这样我们就可以求解不含微分项的方程了。

最后再利用拉普拉斯逆变换，把关于 s 的函数变换回关于 t 的函数，就完成了微分方程的求解。

不过我们要先有几样趁手的工具——常用函数的拉普拉斯变化对以及微分的拉普拉斯变换：L[f(t)]=F(s) 表示对 f(t) 进行拉普拉斯变换的结果是 F(s) ，反之， L−1[F(s)]=f(t)表示的是对 F(s) 进行拉普拉斯逆变换得到了函数 f(t) .常用函数的拉普拉斯变换（对应的逆变换也成立）：L[1]=1sL[tm]=m!sm+1L[eat]=1s−aL[cos⁡at]=ss2+a2L[sin⁡at]=as2+a2L[eatf(t)]=F(s−a)拉普拉斯变换是具有线性性质的，也就是说， L[αf(t)+βg(t)]=αL[f(t)]+βL[g(t)] . 逆变换也具有线性性质。

对公式两侧同时进行拉普拉斯逆变换就可以得到逆变换的公式，比如第一个式子： L−1[L[1]]=L−1[1s] ，整理一下就能得到 L−1[1s]=1 .微分的拉普拉斯变换（需要知道原函数已经各阶导数在0处的值）：L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−...−s0f(n−1)(0)式中的 F(s) 是一个未知的函数，是需要我们解出来的。

百闻不如一见，来看例题。

先来一个简单的例题。

例1：求解微分方程 yt′=t,y(0)=1解：第一步，对方程两侧同时进行拉普拉斯变换，即 L[yt′]=L[t] 得到 sY(s)−y(0)=1s2 .第二步，带入初值 y(0)=1 ，得到 sY(s)−1=1s2 .第三步，求解 Y(s) .这时候我们把第二步得到的式子看成一个普通的代数式就可以，很容易解得 Y(s)=1s3+1s 。

摘要我在此论文中主要讨论长微分方程中的非齐次线性微分方程的几种解法。

关键词：线性相关，通解，特解，朗斯基行列式，拉普拉斯变换,线性无关，目录摘要 (1)引言 (3)1.n阶线性齐次微分方程的一般理论: (3)2.n阶线性非齐次微分方程的一般理论: (6)2.1常数变易法 (6)2.2待定系数法: (9)2.1.1第一类型非齐次方程特解的待定系数解法 (9)2.2.2第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法 (11)2.3拉普拉斯变换法 (13)总结 (15)参考文选 (16)致谢 (17)引言非齐次线性微分方程是常微分方程中的重要概念之一。

非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解的之和。

这个毕业论文中关键的任务是求它的一个特解。

下面我们主要介绍求特解的方法。

1.n 阶线性齐次微分方程的一般理论:()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++= （1） ()(1)11()()()0n n n n y a x y a x y a x y --'++++= （2）定理1：设方程（2）有n 个线性无关的解，这n 个线性无关的解称为方程的基本解组。

定理2：方程（2）的基本解组一定存在。

方程（2）的基本解组的个数不能超过n 个。

定理3：n 阶线性非齐次微分方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和。

定理4：齐次方程（2）的n 个解12,,,n y y y 在其定义区间I 上线性无关的充要条件是在I 上存在点0x ，使得它们的朗斯基行列式0()0W x ≠。

目前为止没有求方程（2）线性无关解的一般方法。

下面我们研究几个例子。

例：方程2)(1220x y xy y '''--+=的两个解是121,ln 121x xy x y x+==-- ∴ 它的通解为121ln 121x x y C x C x+=+-- 定理5：设12,,,n y y y 是方程（2）的任意n 个解。

用拉普拉斯变换求解微分方程的过程拉普拉斯变换是一种将时间域函数转换为复频率域函数的方法，它在求解微分方程中有着广泛的应用。

下面将介绍用拉普拉斯变换求解微分方程的过程。

首先，我们需要将微分方程转换为代数方程。

假设我们要求解的微分方程为：y''(t) + 2y'(t) + 5y(t) = f(t)其中，y(t)为未知函数，f(t)为已知函数。

我们可以将该微分方程转换为拉普拉斯域中的代数方程：(s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)) + 2(s Y(s) - y(0)) + 5Y(s) = F(s)其中，Y(s)为y(t)的拉普拉斯变换，y(0)和y'(0)分别为y(t)在t=0时的初值和初导数，F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。

接下来，我们需要解出Y(s)。

将上式变形可得：Y(s) = (s y(0) + y'(0) + F(s)) / (s^2 + 2s + 5)这样，我们就得到了y(t)的拉普拉斯逆变换：y(t) = L^-1{Y(s)} = L^-1{(s y(0) + y'(0) + F(s)) / (s^2 + 2s + 5)}其中，L^-1表示拉普拉斯逆变换。

最后，我们需要求出y(t)的具体表达式。

这可以通过分解分母的根来实现。

我们可以将分母的根表示为：s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4因此，我们可以将Y(s)表示为：Y(s) = (s y(0) + y'(0) + F(s)) / [(s + 1)^2 + 4]接下来，我们需要求出Y(s)的部分分式分解。

假设分解结果为：Y(s) = A / (s + 1) + B / (s + 1)^2 + C / (s^2 + 4)将Y(s)代入上式，可以得到：A = lim(s->-1) [(s + 1) Y(s)] = lim(s->-1) [(s + 1) (s y(0) + y'(0) +F(s)) / [(s + 1)^2 + 4]] = y(0) + lim(s->-1) [F(s) / (s + 1)]B = lim(s->-1) [d/ds((s + 1)^2 Y(s))] = lim(s->-1) [d/ds((s + 1)^2 (s y(0) + y'(0) + F(s)) / [(s + 1)^2 + 4])] = y'(0) + lim(s->-1) [(s + 1) F(s) / [(s + 1)^2 + 4]]C = lim(s->0) [s^2 Y(s)] = lim(s->0) [s^2 (s y(0) + y'(0) + F(s)) / [(s + 1)^2 + 4]] = lim(s->0) [s F(s) / [(s + 1)^2 + 4]]最终，我们可以得到y(t)的表达式：y(t) = (y(0) + lim(s->-1) [F(s) / (s + 1)]) e^(-t) + (y'(0) + lim(s->-1) [(s + 1) F(s) / [(s + 1)^2 + 4]]) t e^(-t) + lim(s->0) [s F(s) / [(s + 1)^2 + 4]] sin(2t)其中，e^(-t)和sin(2t)是拉普拉斯逆变换的结果。

拉普拉斯变换法在求解微分方程中的应用拉普拉斯变换法在求解微分方程中的应用微分方程是自然界中各种问题的数学表达式。

其中最常见的为线性微分方程，它们可以用拉普拉斯变换法求解。

拉普拉斯变换法不仅使求解微分方程变得容易，而且还具有广泛的应用。

一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种函数变换方法，它能够将一个函数从时间域变换到频率域。

设函数f(t)在区间[0,∞)上有定义，并且成立：L{f(t)}=F(s)=∫_0^∞e^(-st)f(t)dt其中s为复变量，s可以取任意值。

函数F(s)就是函数f(t)的拉普拉斯变换。

二、拉普拉斯变换法的应用1.求解线性微分方程对于线性微分方程Lu(t)=f(t)（其中L为微分算子，u为未知函数，f为已知函数），可以将其转化为代数方程Lu(s)=F(s)。

因此，对于已知f(t)，只需要求出它的拉普拉斯变换F(s)，再求出L的逆变换L^-1，即可得到解u(t)。

2.求解常系数线性微分方程常系数线性微分方程具有形式为ay''(t)+by'(t)+cy(t)=f(t)的特定形式，其中a、b、c为常数。

利用拉普拉斯变换法，可以将它们转化为关于变量s的代数方程，可以更方便地求解。

3.求解偏微分方程偏微分方程是一类多元函数的微分方程，包括了一些重要的物理和工程问题。

利用拉普拉斯变换法将其转化为关于s的代数方程，再求出逆变换，可以得到偏微分方程的解。

三、总结拉普拉斯变换法是求解微分方程的一种常用方法，它可以将微分方程转化为代数方程来求解。

特别是对于常系数线性微分方程和偏微分方程，应用拉普拉斯变换法可以更方便地获得解析解。

因此，它在物理，工程学和应用数学中都有极为丰富的应用。

通过拉普拉斯变换求解线性微分方程的探讨摘要：通过拉普拉斯变换主要用于求解线性微分方程（或积分方程）。

经过变换，原来函数所遵从的微分（或积分）方程变成了像函数所遵从的代数方程，代数方程比较容易求解，从而化难为易，本论文将介绍通过”三“步求解线性微分（或）积分方程。

关键词：拉普拉斯变换 线性方程 原函数 像函数 反演（一） 拉普拉斯变换的定义傅里叶积分与傅里叶变换存在的条件是原函数()f x 在任一区间满足狄里希利条件，并且在(,)-∞∞区间上绝对可积。

这是一个相当强的条件，以致于许多常见的函数（如多项式，三角函数等）都不满足这一条件。

因此需要引入——拉普拉斯变换。

拉普拉斯变换常用于初始值问题，即已知某个物理量的初始时刻0t =的值(0)f ，而求解它在初始时刻之后的变化情况()f t ，至于它在初始时刻之前的值，我们并不感兴趣，不妨置()0f t = (0)t <为了获得宽松的变换条件，把()f t 加工为()g t ，()()t g t e f t σ-=这里t e σ-是收敛因子，就是说，正的实数σ的值选得如此之大，以保证()g t 在区间(,)-∞∞上绝对可积，。

于是，可以对()g t 实施傅里叶变换()011()()()22i t i t G g t e dt f t e dt ϖσϖϖππ∞∞--+-∞==⎰⎰将i σϖ+记作p ，并将()G ϖ改记作()2f p π，则 0()()pt f p f t e dt ∞-=⎰ （1）其中积分0()pt f t edt ∞-⎰称为拉普拉斯积分，()f p 称为()f t 的拉普拉斯变换函数.（1）代表从()f t 到()f p 的一种积分变换，称为拉普拉斯变换（简称拉式变换），pt e-称为拉普拉斯变换的核。

()G ϖ的傅里叶逆变换是1()()()2i t i t g t G e d f i e d ϖϖϖϖσϖϖπ∞∞-∞-∞==+⎰⎰即 ()1()()2i t f t f i e d σϖσϖϖπ∞+-∞=+⎰由 i p σϖ+= ，有1d dp i ϖ=所以 1()()2i ip i f t f p e dp i σσπ+∞-∞=⎰ ()f p 又称为像函数，而()f t 称为原函数，它们之间的关系常用简单的符号写为 []()()f p f t =℘1()()f t f p -⎡⎤=℘⎣⎦（二） 拉普拉斯变换的基本性质（1） 线性定理若1()f t 1()f p ，2()f t 2()f p ，则1122()()c f t c f t + 1122()()c f p c f p + （2） 导数定理'()()(0)f t p f p f - （3） 积分定理 []01()()t d t pψττψ℘⎰（4） 相似性定理1()()p f at f a a（5） 位移定理()()t e f t f p λλ-+（6） 延迟定理00()()pt f t t e f p --(7) 卷积定理 若11()()f t f p ，22()()f t f p ，则1212()()()()f t f t f p f p * 其中12120()()()()tf t f t f f t d τττ*≡-⎰（三） 拉普拉斯变换的反演（1） 有理分式反演法如果像函数是有理分式，只要把有理分式分解成分项分式，然后利用拉普拉斯变换的基本公式，就能得到相应的原函数。

指导老师：常莉红拉普拉斯变换在微分方程中的应用王彦朋（宝鸡文理学院 数学系，陕西 宝鸡 721013）摘 要： 利用了拉普拉斯变换及其它的性质,讨论了它在线性时不变系统的时域响应和电路分析中的应用.关键词：拉普拉斯变换；微分方程；电路分析随着计算机的飞速发展，系统分析和设计的方法发生了革命性的变化.原来用传统的模拟系统来进行的许多工作，现在都可能用数字的方法来完成.因此，数字电路、离散系统的分析方法就更显得很重要了.其中，拉普拉斯变换是分析这类系统极为有效的方法，从而给学习使用者在应用上带来很大的方便.1 拉普拉斯变换的定义定义[]1：设函数()f t 是定义在[]0∞，+上的实值函数，如果对于复参数s j βω=+，积分()()0e d st F sf t t +∞-=⎰在复平面s 的某一域内收敛，则称()F s 为()f t 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记为()()F s L f t =⎡⎤⎣⎦；相应地，称()f t 为()F s 的拉普拉斯逆变换（简称拉氏逆变换），记为()()1f t L F s -=⎡⎤⎣⎦.有时我们也称()f t 与()F s 分别为象原函数和象函数.2 拉氏变换存在定理若函数()f t 满足下列条件：（1）在0t ≥的任何有限区间上分段连续；（2）当t →+∞时，()f t 具有有限的增长性，即存在常数0M >及0c ≥，使得()e ct f t M ≤ ()0t ≤<+∞（其中c 称为()f t 的增长指数）.则象函数()F s 在半平面Re s c >上一定存在，且是解析的.3 拉普拉斯变换的性质（1） 线性性质：若()()()()1122,,L f t F s L f t F s ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 12,a a 为任意常数，则有()()()()11221122L a f t a f t a F s a F s +=+⎡⎤⎣⎦.（2） 微分性质：若()[](),s F t f L =则()()()d 0d L f t sF s f t -⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.（3） 积分性质：若()[](),s F t f L =则()()01t L f t dt F s s⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰.（4） 位移性质：若()[](),s F t f L =则()()e atL f t F s a -⎡⎤=+⎣⎦.（5） 延迟性质：若()[](),s F t f L =则当00t >时，有()()()000e st L f t t u t t F s ---=⎡⎤⎣⎦. （6） 卷积性质：若()()()()1122,,L f t F s L f t F s ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦则有()()()()1212L f t f t F s F s *=⎡⎤⎣⎦.（7） 初值定理与终值定理:①初值定理: 若()[](),s F t f L =且()s sF s ∞→lim 存在,则()()0lim lim ,s t f t sF s +→∞→=或()()0lim s f sF s +→∞=. ②终值定理: 若()[](),s F t f L =且()s sF s ∞→lim 存在,则()()0lim lim ,t s f t sF s →∞→=或()()0lim s f sF s →∞=.4 拉普拉斯变换的应用4.1 利用拉普拉斯变换方法解线性微分方程这是拉普拉斯变换的一个最基本的应用.含有未知数()t f 及其各阶导数的方程称为微分方程.如果()t f 及其各阶导数都是一次的，则称之为线性微分方程.例 解微分方程()()()()()22d d 22e ,00,0 1.d d tf t f t f t f f t t-'-+=== 解 方程两端同时进行拉氏变换，得()()()211221s F s sF s F s s --+=+ 整理得()()()()()()22221117151551221111s s F s s s s s s s +-==-+++-+-+-+ ()s F 的反拉普拉斯变换就是原方程的解，即()()1117e e cos sin 555t t f t L F s t t --⎛⎫==+-+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭. 从以上分析可知，所谓用拉普拉斯变换解决问题的方法，实质上就是把时间域里的问题变换到s 域去求解，最后通过反变换再返回时间域.上述拉普拉斯变换中的复数s （或s 域）常常称为复频率（或复频域）. 4.2 利用拉普拉斯变换求解线性系统的响应这里讨论的范围，只限于线性系统.所谓系统，是用来处理各种输入信号的装置，这种处理可以用硬件来实现，如由各种电器元件组成的电路网络，机械元件组成的运动系统，都称为系统.这些系统的规律也可以用某中数学方法来描述，如电路方程，微分方程，硬件系统的传递函数（网络函数）等.这时，我们也称这些数学表达方式为系统.也就是说，系统也可以是指从实际物理元件组合中抽出来的数学规律.系统可以用软件表示，因为只要把这些规律掌握了，对实际系统的特性也就能充分地了解了.关于信号，在电路网络中就是指电压和电流.一般通指系统中一些变量和机械系统的位置、速度、压力和流量等等.设一个系统，在输入信号为()t f 1和()t f 2时的输出信号为()t y 1和()t y 2，若输入信号为()()t bf t af 21+时，其输出信号为()()t by t ay 21+（b a ,为常数），则这个系统为线性系统.如果系统的参数（如电阻、电容值等）是不随时间改变的，则称该系统为线性定常系统或线性时不变系统.利用拉普拉斯变换求线性系统的响应是其重要的应用之一.下面通过举例说明高阶微分方程的复频域解与状态方程的复频域解.4.2.1 高阶微分方程的复频域解对于线性系统，将微分方程的全解分解为零输入响应和零状态响应.其中，零输入响应是指没有外加激励信号的作用，仅由系统的储能元件的初始储能所引起的响应，用()zi r t 表示. 零状态响应是指系统初始条件为零（即系统中储能元件的初始储能为零）时，由外加激励信号()e t 产生的响应，用()zs r t 表示.系统的完全响应是零输入响应与零状态响应的和[]2，即()()()zi zs r t r t r t =+.例 系统的方程为()()()()()22d d d322,d d d r t r t r t e t e t t t t++=+()()()().00,10,='==---r r t u e t e t 求零状态响应、零输入响应和完全响应.解 由于()()e t e t u t -=是因果信号，且(),11+=s s E 用拉普拉斯变换求解. 设()(),s R t r ↔则()()()()10-=-↔'-s sR r s sR t r ()()()()()s s R s r sr s R s t r -='--↔''--2200系统方程两边同时进行拉普拉斯变换，有()()()()()231221s R s s sR s R s s E s -+-+=+⎡⎤⎣⎦求得()()()233122+++++=s s s s E s s R ()()233231222+++++++=s s s s s s E s ()()s R s R zi zs +=零状态响应的拉氏变换为()()s E s s s s R zs 23122+++=()()211121s s s s +=⋅+++ ()2313112+-++++-=s s s 则零状态响应为()()()2e 3e 3e t t t zs r t t u t ---=-+-零输入响应的拉氏变换为()21122332+-++=+++=s s s s s s R zi 则零输入响应为()()()22e e t t zi r t u t --=-完全响应的拉氏变换为()()()2222131543232121s s R s E s s s s s s s s ++--=⋅+=+++++++++ 完全响应为()()()()()2e 5e 4e t t t zi zs r t r t r t t u t ---=+=-+-通过上述例题分析可知：利用拉普拉斯变换求系统响应，需首先将描述系统输入输出关系的高阶微分方程逐项进行拉普拉斯变换，得到复频域的代数方程，求出代数方程的解答后，经过反变换即可得到时域解.4.2.2 状态方程的复频域解法 线性系统的状态方程的标准形式为()()()d d t A t B t tλλ=+ （1） 系统的输出方程为()()()y t C t D t λ=+（2） 式中，,,,A B C D 为系数矩阵；,y x λ，分别为状态变量、输出变量和系统的输入变量.对状态方程式()1两边作拉普拉斯变换，得()()()()0s s A s BX s λ-Λ-=Λ+式中，()()()();s L t X s L x t λΛ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦上式经整理得()()()()()110s sI A sI A BX s λ---Λ=-+- （3）对输出方程式()2作拉普拉斯变换，将式()3代入其中，得()()()Y s C s DX s =Λ+()()()()110C sI A C sI A B D X s λ---⎡⎤=-+-+⎣⎦()()zi zs Y s Y s =+ （4）其中，()()10zi Y C sI A λ--=-为系统的零输入响应；()()1zs Y C sI A B D X s -⎡⎤=-+⎣⎦为系统的零状态响应.式()()34与式经拉氏反变换后，得到时域形式的解()()()()(){}1110t L sI A sI A BX s λλ----⎡⎤⎡⎤=-+-⎣⎦⎣⎦（5） ()()()()(){}1110y t L C sI A C sI A B D X s λ----⎡⎤=-+-+⎣⎦（6）比较式()5与状态方程的时域解，即()()()()0e 0e d tA t At t Bx τλλττ---=+⎰可见，状态转移矩阵()()111adj e At sI A L sI A L sI A ---⎡⎤-⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦-⎣⎦（7） 式中，()adj sI A -是()sI A -的伴随矩阵；sI A -是()sI A -的特征多项式.利用式()7可以较方便地计算出e ,At 从而可以求出系统的零输入响应与零状态响应.例 已知状态方程和输出方程中的各矩阵分别为,1021⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A 01,10B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ,1011⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=C ,0101⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D 输入矢量为()(),⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t u δ初始状态为()(),01001211⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--λλ求输出().t y解 首先求e At 的拉普拉斯变换.由式()7有()1112e 01Ats L sI A s ----⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦+⎣⎦()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-=110121110211112s s s s s s s 由()()()---=01λA sI C s Y zi 得系统零输入响应的复频域解，即()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01101110121110112z s s s s s Y i 系统零状态响应的复频域解()()1zs Y C sI A B D X s -⎡⎤=-+⎣⎦2121110110110111010101s s s s ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪--⎢⎥=+⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎢⎥⎪⎪+⎣⎦⎩⎭⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=1101111s s s s s s⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=1112s s因此得系统全响应的时域解为()()()11zi zs y t L Y s L Y s --=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦e 2e 3e 0e e t t t t t --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()0≥t由上例可见，矩阵A 的特征值决定了系统的自由响度.实际上它们就是系统的固有频率，因此可根据A 的特征值来判断系统的特性.4.3 拉普拉斯变换在电路分析中的应用4.3.1 关于线性动态电路的s 域分析法动态电路的s 域分析法，是指应用拉普拉斯变换的电路模型法.其关键在于正确作出动态电路的s 域模型.作电路的s 域模型和进行s 域分析.应明确如下几点.1. s 域中的电压和电流在s 域模型中，时域电源激励函数变换为象函数，各支路电压用象函数表示.通常时域激励函数由查拉氏变换表得出它的象函数.电路中的电压和电流用它的象函数表示，如()()s U t u →，()()s I t i →，()()c c u t U s →，()()L L i t I s →等.2.R ，L ，C 元件的s 域形式及其s 模型 （1）电阻元件R 的s 域形式为()()U s RI s =，或()()s GU s I =s 域模型如图1()a ,()b 所示.（2）电感元件L 的s 域形式为()()()0L L L U s sLI s Li -=- 或()()()01L L L i I s U s sL s-=+ s 域模型如图2()a ,()b 所示.其中sL 称为复频域感抗，1sL称为复频域感纳.()-0L Li 是由电感元件初始状态产生的附加电压源复频域电压，与()s I L 为非关联参考方向；()0L i s -是由电感元件初始状态产生的附加电流源电流，与1sL中电流参考方向相同.（3）电容元件C 的s 域形式为()()01c c c u U I s sC s-=+ 或()()()0c c c I s sCU s Cu -=-其中，sC 1称为复频域容纳,()0c u s-是由电容元件初始状态产生的附加电压源复频域电压，与()s U c 参考方向一致，()-0c Cu 是由电容元件初始状态产生的附加电流源电流，与()s U c 为非关联参考方向.由于R ，L ，C 元件阻抗和导纳两种s 域模型，故一个时域动态电路便可以作出两种s 域模型.电路分析时宜采用哪一种s 域模型呢？应视电路的结构而定.一般而言，串联电路宜采用阻抗s 域模型，并联电路则宜采导纳抗s 域模型. 3.基尔霍夫定律的s 域形式[]3基尔霍夫定律包括基尔霍夫电流定律（KCL ）和电压定律（KVL ）. （1）KCL ：在s 域中沿任一节点处各支路电流象函数的代数和为零，即()0I s =∑.（2）KVL ：在s 域中沿任一闭合回路各支路电压象函数的代数和为零，即()0U s =∑.4. s 域阻抗与s 域导纳（1）零状态RLC 串联电路的s 域阻抗()s Z ，是各元件阻抗之和，即()1Z s R sL sC=++（2）零状态RLC 并联电路的s 域导纳()s Y ，是各元件导纳之和，即()1Y s G sC sL=++ （3）s 域阻抗与s 域导纳，是互为倒数的关系，即()()1Z s Y s =，或()()1Y s Z s =（4）s 域阻抗()s Z 与s 域导纳()s Y 两端电压和通过电流象函数()s U ，()s I 符合欧姆定律，称为欧姆定律的s 域形式，即()()()s I s Z s U =或()()()s U s Y s I =下面举例来说明线性动态电路的s 域分析法.例 应用s 域分析法求一般二阶电路的阶跃响应,如图-4()a 所示电路,求阶跃响应()u t 和()i t .图4.3.1-4解 （解题思路）本题是一般直流二阶电路求阶跃响应，即零状态响应.作s 域模型中没有附加电源.s 域分析计算的步骤是，首先做出时域电路的s 域模型，然后应用节点分析法求解出待求量的象函数，并将其展开为部分分式，最后反变换为时域响应.（解题方法）（1）作出时域电路的s 域模型如图4()b 所示.其电压源的象函数是,10s复频域感抗(),s s Z L =复频域容抗()1C Z s s=.（2）求电压(),t u 应用节点分析法，列出节点方程为()110111+=⎪⎭⎫⎝⎛+++s s s U s s 化简整理得()()()()j s j s s s s s s U ++-+=++=111022102js k j s k s k +++-++=11321 计算待定常数()522100201=++=•===s s s s s U s k()()()45251101112-<-=++=•-+=+-=+-=js j s j s s s U j s k 452523-<-==k k 进行拉氏变换得出()()()()15cos 45t u t L U s t t V ε--⎡⎤==-⋅⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦(3)求()t i电路的s 域阻抗为 ()()111+++=s s s Z 故 ()()()()()22110111102+++=+++==s s s s s s s s Z S U s I S ()()()j s j s s s ++-++=11110js k j s k s k +++-++=11321计算待定常数()()5221100201=+++=•===s s s s s s I s k()()()()2111011451s js js k s j I s s s j =-+=-++=+-•==<-++3245k k ==<- ()5I s s =-⎢⎥⎢⎥⎣⎦进行反拉氏变换得出()()()()15cos 45t i t L I s t t A ε--⎡⎤==-⋅⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦本文通过讨论了拉普拉斯变换在线性时不变系统的时域响应，对复频域求解代数方程，得出待求响应量的复频域函数，最后经拉氏反变换为所求解的时域响应.这种变换分析方法，其实质就是时域问题变换为复频域来求解，使分析计算易于进行.应用拉普拉斯变换分析动态电路，把时域电路直接变换为复频域电路，即s 域模型.根据s 域模型进行分析计算，得出响应量的s 域形式，最后反变换为时域响应.这种分析方法易于对任意函数激励的动态电路进行分析计算，是一种具有广泛意义的分析方法. 除了以上所述内容之外，拉普拉斯变换还有许多应用，例如数学上还可以用来解一类积分方程，偏微分方程等等.致谢：本文在撰写过程中得到常莉红老师的悉心指导，在此表示衷心的感谢！参考文献：[1] 华中理工大学数学系编著.复变函数与积分变换[M ].北京：高等教育出版社1997：210-211.[2] 姜建国，曹建中，高玉明编著.信号与系统分析基础（第二版）[M ].北京：清华大学出版社，2006：27-28.[3] 马金龙，胡建萍，王苑苹编著.信号与系统[M ].北京：科学出版社，2006：222-223.Laplace transform and Its Application in the differentialequationsWANG Yan-peng（Department of Mathematics, Baoji University of Arts and Sciences, Baoji 721013, Shaanxi,China）Abstract: Laplace transform and other application are utilized in the article,and then it is discussed to a linear not change the domain of the system and circuit analysis.Key words: Laplace transform; Differential equation;Circuit analysis宝鸡文理学院本科毕业论文任务书注：课题性质分为①理论型②实践应用型。

拉普拉斯变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．1拉氏变换的基本概念在代数中，直接计算是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为，然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数．这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法．1.1 拉氏变换的基本概念定义 设函数当时有定义，若广义积分在的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为的函数，记作，即（7-1）称（1-1）式为函数的拉氏变换式，用记号表示．函数称为的拉氏变换(Laplace) (或称为的象函数)．函数称为的拉氏逆变换（或称为象原函数），记作，即．关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1) 在定义中，只要求在时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在时，．（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用．（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的．例7-1 求一次函数（为常数）的拉氏变换．解．1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流，以表示上述电路中的电量，则由于电流强度是电量对时间的变化率，即328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N N )(t f 0≥t dte tf pt ⎰∞+-0)(P P )(P F dte tf P F pt ⎰∞+-=)()()(t f )()]([P F t f L =)(P F )(t f )(t f )(t f )(P F )(P F )()]([1t f P F L =-)]([)(1P F L t f -=)(t f 0≥t 0<t 0)(=t f P P at t f =)(a t ，0≥⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-∞+-+-=-==00][)(][dte pa e p at etd pa dt ateat L pt pt ptpt2020][0p a e p a dt e papt pt =-=+=∞+-∞+-⎰)0(>p 0=t )(t i )(t Q ⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,0)(t t t Q，所以，当时，；当时，．上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数．定义设，当0时，的极限称为狄拉克（Dirac ）函数，简称为函数．当时，的值为；当时，的值为无穷大，即．和的图形如图7-1和图7-2所示．显然，对任何，有，所以．工程技术中，常将函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将函数用一个长度等于的有向线段来表示（如图7-2所示），这个线段的长度表示函数的积分，叫做函数的强度．例1-2 求的拉氏变换．解 根据拉氏变换的定义，有，即．例1-3 求单位阶梯函数的拉氏变换．解，．t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim )()(0-+==→0≠t 0)(=t i 0=t ∞=-=-+=→→)1(lim )0()0(lim)0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=εεεδεt t t t ，，，00100)(ε→)(t εδ)(lim )(0t t εεδδ→=-δ0≠t )(t δ00=t )(t δ⎩⎨⎧=∞≠=0,0,0)(t t t δ)(t εδ)(t δ0>ε11)(0==⎰⎰∞+∞-dt dt t εεεδ1)(=⎰∞+∞-dt t δ-δ-δ1-δ-δ)(t δdte dt edt edt et t L pt ptptpt-→∞+-→-→∞+-⎰⎰⎰⎰=⋅+==εεεεεεεεδδ01lim0lim)1lim()()]([11lim 1)()1(lim 11lim 1][1lim 00000==''-=-=-=-→-→-→-→εεεεεεεεεεεp p p pt pe p e p e p p e 1)]([=t L δ⎩⎨⎧≥<=0,10,0)(t t t u p e p dt e dt et u t u L pt pt pt1]1[1)()]([00=-=⋅==∞+-∞+-∞+-⎰⎰)0(>p例1-4求指数函数（为常数）的拉氏变换． 解 ，即．类似可得；．习题1–1求1-4题中函数的拉氏变换1．．2．．3．4．是常数）．1.2 拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换． 性质1 (线性性质) 若 ，是常数，且，，则． （7-2）证明．例7-5 求下列函数的拉氏变换：（1）； （2）．解（1）．（2）． 性质2（平移性质） 若，则（为常数）． （7-3）证明．位移性质表明：象原函数乘以等于其象函数左右平移个单位．ate tf =)(a dt e dt e e e L t a p ptat at ⎰⎰∞+--∞+-=⋅=0)(0][)(1a p a p >-=)(1][a p a p e L at >-=)0(][sin 22>+=p p t L ωωω)0(][cos 22>+=p p pt L ωωte tf 4)(-=2)(t t f =atte t f =)(ϕωϕω，()sin()(+=t t f 1a 2a )()]([11p F t f L =)()]([22p F t f L =)]([)]([)]()([22112211t f L a t f L a t f a t f a L +=+)()(2211p F a P F a +=dte tf a dt et f a dt et f a t f a t f a t f a L pt ptpt-∞+-∞+-∞+⎰⎰⎰+=+=+)()()]()([)]()([02211221102211)()()]([)]([22112211p F a p F a t f L a t f L a +=+=)1(1)(at e a t f --=t t t f cos sin )(=)(1}11{1]}[]1[{1]1[1)]1(1[a p p a p p a e L L a e L a e a L at at at +=+-=-=-=----412221]2sin 21[]cos [sin 222+=+⋅==p p t L t t L )()]([p F t f L =)()]([a p F t f e L at -=a ⎰⎰∞+--∞+--===)(0)()()()]([a p F dt e t f dt et f e t f e L t a p ptat atat e a例1-6 求 ，和． 解 因为，，，由位移性质即得性质3（滞后性质） 若，则． （7-4）证明=，在拉氏变换的定义说明中已指出，当时，．因此，对于函数，当（即）时，，所以上式右端的第一个积分为，对于第二个积分，令，则滞后性质指出：象函数乘以等于其象原函数的图形沿轴向右平移个单位（如图1-3所示）．由于函数是当时才有非零数值．故与相比，在时间上滞后了一个值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质．在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在这个函数上再乘，所以滞后性质也表示为．例1-7 求．解 因为，由滞后性质得． 例1-8 求．解 因为，所以．例1-9 求下列函数的拉氏变换：（1） （2）解 （1）由图7-4容易看出，当时，的值是在的基础上加上了（），][at te L ]sin [t e L atω-]cos [t e L at ω-21][p t L =22][sin ωωω+=p t L 22][cos ωω+=p p t L 。