二次函数最值问题 优秀教学设计(教案)

中学数学二次函数的最值求解方法解析教案一、引言二次函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域有着广泛的应用。

其中，求解二次函数的最值是一项重要且常见的问题。

本教案将介绍两种常用的方法来求解二次函数的最值，帮助学生更好地理解和掌握相关概念与技巧。

二、方法一：配方法求解二次函数的最值1. 通过配方法将二次函数化为完全平方形式。

(1) 首先，对二次函数进行配方，将其化为完全平方形式。

例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过加减常数项的方法将b项配方，得到f(x) = a(x + p)^2 + q，其中p为常数，q为待定常数。

(2) 根据完全平方公式，利用配方结果与一次项系数的关系，可以求得二次函数的最值。

例如，对于函数f(x) = a(x + p)^2 + q，最值点的x坐标为-x=p，最值点的y坐标为q。

2. 通过配方法解题示例举例说明配方法求解二次函数最值的步骤：(1) 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 5，我们可以使用配方法求其最值。

(2) 首先，将f(x)化为完全平方形式：f(x) = (x - 3)^2 - 4。

(3) 根据完全平方公式，得知最值点的x坐标为3，最值点的y坐标为-4。

(4) 因此，函数f(x)的最值为f(3) = -4。

三、方法二：导数法求解二次函数的最值1. 通过导数的性质求解二次函数的最值。

(1) 导数为零的点可以是函数的最值点。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其导数f'(x) = 2ax + b，可以求出导数为零时的x值，即x = -b/2a。

(2) 二次函数的凹凸性与最值点的关系。

当二次函数的二次项系数a大于零时，函数开口向上，最值为最小值；当a小于零时，函数开口向下，最值为最大值。

2. 通过导数法解题示例以函数f(x) = 2x^2 - 8x + 3为例，使用导数法求解其最值：(1) 首先，求出导函数f'(x) = 4x - 8。

高中数学教学备课教案二次函数的应用函数的最值问题高中数学教学备课教案二次函数的应用——函数的最值问题一、教学目标1. 理解二次函数的最值问题，包括最大值和最小值的定义及求解方法。

2. 能够利用二次函数的最值问题解决实际生活中的应用问题。

3. 掌握相关的解题技巧和方法。

4. 培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学重难点1. 理解最值问题的定义和求解方法。

2. 应用最值问题解决实际问题的能力。

三、教学过程导入：通过与学生的互动讨论，引出最值问题的概念。

1. 什么是最值问题？最大值和最小值有何不同？2. 举例说明最值问题在日常生活中的应用场景。

讲解一：最值问题的基本思路与方法1. 对于一元二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，求最大值或最小值的过程。

2. 最值问题的关键在于找到临界点，即导数为0的点，进而求得函数的最值。

3. 通过二次函数的图像，直观地理解最值的求解过程。

演示一：求解一元二次函数的最值1. 设一个具体的一元二次函数，如 f(x) = x^2 - 4x + 3。

2. 计算导数 f'(x) = 2x - 4，并令其等于0，解方程得到临界点 x = 2。

3. 讨论 x 的取值范围及对应的函数值，确定最大值和最小值。

讲解二：应用二次函数最值解决实际问题1. 通过具体例子，介绍如何将实际问题转化为数学问题，利用最值问题求解。

（例子1：某汽车行驶问题；例子2：抛物线的喷水问题）2. 强调建立数学模型的重要性，培养学生的数学建模能力。

演示二：解决实际问题的步骤及方法1. 选择合适的变量与函数模型。

2. 建立函数模型并确定函数的最值。

3. 根据实际问题的限制条件，确定变量的取值范围。

4. 求解最值并给出合理的解释。

讲解三：其他相关问题的讨论1. 当函数的定义域为有限区间时，如何确定最值？2. 如何处理一元二次函数的最值问题时出现的特殊情况？演示三：解决其他相关问题的方法1. 分析问题，考虑定义域的限制及函数图像的特点。

二次函数最值问题教学设计学习目标：1. 学习二次函数的定义和特性；2. 理解二次函数最值问题的概念；3. 掌握计算二次函数最值的方法；4. 运用二次函数最值解决实际问题。

教学设计：引入部分：1. 利用一个简单的例子引入二次函数的概念，比如：一个抛物线的形状。

2. 引导学生讨论抛物线的特点，比如：顶点、开口方向等。

实际问题部分：3. 呈现一个实际问题，比如：某公司的销售额在一定时间内变化的情况。

给出某段时间内销售额的二次函数表达式。

4. 引导学生分析问题，找到函数的最值对应的实际情况，比如：销售额的最大值对应最大的营业额等。

计算方法部分：5. 教授计算二次函数最值的方法：a. 找到二次函数的对称轴，也就是顶点的横坐标，记作p；b. 将p代入二次函数，得到对应的纵坐标q；c. 判断是最大值还是最小值，可以通过二次函数的开口方向来确定，如果是上凹则有最小值，如果是下凹则有最大值。

练习部分：6. 给学生提供练习题，让他们通过计算找出二次函数的最值。

比如：已知二次函数f(x)=2x^2-4x+1，求函数的最值。

实际问题应用部分：7. 再次呈现一个实际问题，让学生运用二次函数最值的方法来解决问题，比如：某游乐场的过山车最高点的高度。

小结部分：8. 总结二次函数最值的概念和计算方法。

示范部分：9. 利用一个实际问题，再次演示计算二次函数最值的过程。

拓展部分：10. 提出拓展问题，让学生思考其他类型的最值问题，如绝对值函数的最值等。

评估部分：11. 针对学生的表现和理解程度进行评估，例如，给学生几个二次函数，让他们计算最值。

讨论互动：12. 组织学生分享彼此计算二次函数最值的方法和答案，共同讨论、解决问题的过程和思路。

注意事项：1. 在讲解计算方法时要详细解释每一步的原理；2. 引入的例子和实际问题要尽可能贴近学生的实际生活；3. 激发学生的思考和讨论，让他们积极参与到教学活动中来。

4. 尽量提供多样化的练习和问题，以满足不同层次的学生需求。

闭区间上二次函数的最值问题一、 教材分析1、教学背景二次函数是重要的初等函数之一，很多问题都要化归为二次函数来处理。

二次函数又与一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系，因此必须熟练掌握它的性质，并能灵活地运用它的性质去解决实际问题。

二次函数在高考中占有重要的地位，而二次函数在闭区间上的最值在各个方面都有重要的应用，主要考察我们分类讨论和数形结合思想。

这节课我们主要学会应用二次函数的图像和性质求二次函数在闭区间上的最值。

影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

2、学情分析从心理特征来说，高三学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。

但同时，作为普通高中美术班的学生，学生层次参次不齐，个体差异比较明显。

大部分学生接受能力较慢、注意力容易分散，学习数学的自信心和兴趣不够，所以在教学一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性，提高学生自信心。

从认知状况来说，学生在此之前已经复习了函数定义域、值域以及单调性，对二次函数的开口、对称轴已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于闭区间上“动对称轴和动区间”的二次函数最值，由于其抽象程度较高，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。

3、教学重难点重点：轴定区间定的闭区间上二次函数最值问题，轴变区间定的闭区间上二次函数最值，轴定区间变的闭区间上二次函数最值问题难点：轴变区间定的闭区间上二次函数最值，轴定区间变的闭区间上二次函数最值问题二、 教学目标分析1. 会结合图像与函数的知识进行分类讨论，求解一元二次函数的最值问题，提高学生的综合能力，培养学生良好的思维习惯，加深对数形结合、分类讨论等数学思想的认识。

二次函数的最值教案【教学内容分析】在解决二次函数最值问题时，学生要先知道二次函数的图象是一个抛物线。

通过观察，可以发现二次函数图象的开口向上还是向下、顶点的坐标的位置与二次函数的系数之间存在一定的关系。

对于开口向上的二次函数，其顶点是图象的最小值点；对于开口向下的二次函数，其顶点是图象的最大值点。

因此，要想求二次函数的最值，就需要找到二次函数的顶点。

二次函数最值问题是二次函数教学中的难点和重点之一，教师要灵活运用多种方法进行指导，从图象、公式和实际问题三个层面全面分析解决问题的途径。

【教学目标】1.知识与技能：通过本课学习，学生将掌握求解二次函数最值问题的方法，并且能够运用所学知识解决相关实际问题。

2.过程与方法：培养学生分析问题、提炼问题和解决问题的能力。

3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们在解决实际问题时运用数学方法的能力。

【教学重难点】重点：二次函数最值问题的解法。

难点：如何将实际问题转化成数学问题，并解决对应的二次函数最值问题。

【教学方法】以问题为导向的教学方法、探究式学习方法、讲授与讨论相结合的教学方法。

【教学准备】教师准备：教案、PPT、黑板、彩色粉笔等。

学生准备：课本、笔记本、作业本等。

【教学过程】Step 1 导入新课教师提问：你学过的二次函数有什么特点？学生回答后，教师出示一道二次函数的题目：求函数y=3x^2-2x+1的最小值或最大值。

思考讨论几分钟，引导学生注意二次函数的图象和顶点与最值之间的关系。

Step 2 理解二次函数的最值1.教师通过PPT呈现二次函数图象，并引导学生观察抛物线的开口方向和顶点位置。

2.教师解释开口向上的二次函数顶点是图象的最小值点，开口向下的二次函数顶点是图象的最大值点。

并出示几个开口向上和开口向下的二次函数图象，让学生观察并总结。

Step 3 寻找二次函数的最值1.教师通过示例问题引导学生寻找二次函数最值的方法。

例如：求函数y=2x^2-4x+3的最小值或最大值。

二次函数的最值问题教案教案目录：I. 教学目标II. 教学过程A. 导入与扩展（约5分钟）B. 理论讲解与示范（约15分钟）1. 二次函数及其图像特征2. 最值问题的概念和求解方法C. 练习与巩固（约20分钟）1. 练习题示例解析2. 学生自主练习D. 拓展与应用（约15分钟）1. 实际问题应用示例2. 提出相关拓展问题E. 总结与评价（约5分钟）III. 教学延伸IV. 教学评价V. 参考资料I. 教学目标本教案旨在帮助学生理解二次函数的最值问题，掌握求解最大值和最小值的方法，并能将其应用到实际问题中。

II. 教学过程A. 导入与扩展在导入部分，教师可以通过一个简单的问题或实例引起学生对二次函数的兴趣，并与他们分享相关的实际应用领域，如物理学中的抛物线运动等。

B. 理论讲解与示范1. 二次函数及其图像特征- 介绍二次函数的标准形式：y = ax^2 + bx + c，并解释各项的含义。

- 讲解二次函数图像的性质：开口方向、顶点、对称轴等。

使用图像示例进行说明。

2. 最值问题的概念和求解方法- 说明最值问题是指在一定条件下，找出二次函数的最大值或最小值。

- 分别介绍求最大值和最小值的方法：- 最大值：判断二次函数的开口方向，如果是向下的，则最大值为顶点的纵坐标；如果是向上的，则最大值为无穷。

- 最小值：判断二次函数的开口方向，如果是向上的，则最小值为顶点的纵坐标；如果是向下的，则最小值为无穷。

C. 练习与巩固1. 练习题示例解析- 指导学生通过解析一些具体的练习题来加深他们对最值问题的理解。

- 解答中要注重引导学生观察二次函数的图像、判断开口方向，并运用求最值的方法进行解答。

2. 学生自主练习- 要求学生独立解决一定数量的练习题，以巩固所学知识。

- 鼓励学生思考如何将问题转化为二次函数，并运用最值求解方法。

D. 拓展与应用1. 实际问题应用示例- 提供一些与日常生活或实际应用相关的问题，如最高飞行物体的模型、成本与利润的优化等。

《二次函数最值问题》教学设计一、教材分析本节课是在学习了二次函数的概念、图像及性质后，对二次函数性质的应用课。

主要内容包括：运用二次函数的最大值解决最大面积的问题，让学生体会抛物线的顶点就是二次函数图象的最高点(最低点)，因此，可利用顶点坐标求实际问题中的最大值(或最小值).在最大利润这个问题中，应用顶点坐标求最大利润，是较难的实际问题。

本节课的设计是从生活实例入手，让学生体会在解决问题的过程中获取知识的快乐，使学生成为课堂的主人。

按照新课程理念，结合本节课的具体内容，本节课的教学目标确定为相互关联的三个层次：1、知识与技能通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)问题的方法。

2、过程与方法通过对实际问题的研究，体会数学知识的现实意义。

进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。

渗透转化及分类的数学思想方法。

3、情感态度价值观(1)通过巧妙的教学设计，激发学生的学习兴趣，让学生感受数学的美感。

(2)在知识教学中体会数学知识的应用价值。

本节课的教学重点是探究利用二次函数的最大值(或最小值)解决实际问题的方法，教学难点是如何将实际问题转化为二次函数的问题。

二、学情分析在解决函数的实际问题时，要善于从实际问题的情境中抽象出数学模型，使实际问题转化为数学问题。

通过数学方法解决问题。

学生刚刚学习了二次函数的概念、图象及性质，因此，只要教师能为学生搭建一个有梯次的研究型学习的平台，学生完全有可能由对具体事例的自主分析，建立数学模型，如再经教师巧妙引领，势必会激发学生对学习的兴趣，从而体会学习的快乐。

三、实验研究：作为一线教师，应该灵活地处理和使用教材。

充分发挥教师自己的智慧，把学生置于教学的出发点和核心地位，应学生而动，应情境而变，课堂才能焕发勃勃生机，课堂上才能显现真正的活力。

因此我对教材进行了重新开发，从学生熟悉的生活情境出发，与学生生活背景有密切相关的学习素材来构建学生学习的内容体系。

一、教学目标：1.了解二次函数的概念和特点；2.掌握求二次函数的最值的方法；3.学会应用最值的概念解决实际问题。

二、教学重点：1.二次函数的最值问题；2.如何应用二次函数的最值解决实际问题。

三、教学难点：怎样将实际问题转化为二次函数的最值问题，并求解出最优解。

四、教学准备：黑板、彩色粉笔、教学PPT、实例练习题。

五、教学过程：1.导入新课（5分钟）通过引导学生回顾二次函数的概念和特点，例如二次函数的图像形状是抛物线、对称轴方程、顶点坐标等，为今天的课堂引入做铺垫。

2.探究二次函数的最值问题（20分钟）引导学生思考二次函数的图像特点以及对称轴的位置，然后通过实例来说明二次函数的最值问题。

3.求解二次函数的最值（15分钟）教师以简单的二次函数为例，引导学生掌握求解二次函数最值的方法。

首先，通过求得二次函数的导数来判断最值的存在性；其次，应用一元二次方程的求解方法来求最值点横坐标；最后，带入横坐标得到纵坐标。

4.拓展应用实例（15分钟）通过给出一些实际问题的例子，教师引导学生将问题转化为二次函数的最值问题，并通过求解最值来解决实际问题。

例如，有一块矩形草地，其中一边与一堵墙紧贴，另外三边用篱笆围起来，若只有10米篱笆，求该矩形的最大面积。

5.练习与拓展（20分钟）学生自主进行练习题，巩固所学的求解二次函数最值的方法和实际问题的转化。

六、课堂小结（5分钟）对本节课的内容进行总结归纳，并对学生提出的问题进行答疑。

七、课后作业：1.完成教材上相关课后练习；2.自主寻找和解决实际问题，并将其转化为二次函数的最值问题。

八、教学反思：通过本节课的教学，学生在导入环节对二次函数的概念和特点进行了回顾，为学习后续的内容打下了基础。

在探究和求解二次函数最值的过程中，通过引导学生自主思考和举一反三，提高了学生的参与积极性。

在拓展应用环节，通过实际问题的转化，培养了学生应用二次函数求解实际问题的能力。

通过练习与拓展，巩固了学生的求解二次函数最值的方法。

二次函数的运用（1）教学设计何时获得最大利润教学目标:体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．教学重点:本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．教学难点:本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．教学方法:在教师的引导下自主教学。

教学过程:一、有关利润问题：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?二、做一做：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?三、举例：【例1】某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y（1①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式，并画出图象．（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律：①试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式，并求出日销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x与P的取值范围．【例2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg ；单价每降低1元，日均多售出2kg ．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 关于x 的二次函数表达式，并注明x 的取值范围．（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a （x ＋a b 2）2＋ab ac 442-的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？四、随堂练习：1．关于二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx＋c=0必有两个不等实根；③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442-；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称．其中正确命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、小结：本节课我们学习了什么？六、作业1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？4．某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10－3毫克）随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）相吻合．并测得服用时（即时间为0时）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2小时每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时，每毫升血液中含药量为7．5微克．（1）试求出含药量y（微克）与服药时间x（小时）的函数表达式，并画出0≤x≤8内的函数图象的示意图．（2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0的总时间）5．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q 关于x的函数表达式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？6．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）（1）求y与x（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式；（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？教学反思何时获得最大利润1、本节课之前的学习内容中，学生已初步了解求特殊的二次函数最大（小）值的方法，但教材上没有求一般二次函数最大（小）值的方法．在学生探索“何时获得最大利润”的过程中，对求一般二次函数最大（小）值的方法，在这节课中我引导学生从多个角度体会了函数的最值的求法。

二次函数最值专题教学设计导言：二次函数是高中数学中的重要内容，它具有丰富的数学性质和应用场景。

其中，求二次函数的最值是一个关键概念，也是解决实际问题的基础。

本篇教学设计将以二次函数最值为核心，通过灵活的教学方法和实践性的学习活动，帮助学生深入理解二次函数的最值概念，并掌握求解最值的方法。

一、教学目标：1. 知识与能力目标：了解二次函数的图像特征，理解二次函数的最值概念，掌握求解二次函数最值的方法。

2. 过程与方法目标：培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的数学建模能力。

3. 情感态度与价值观目标：引导学生对数学知识的兴趣，培养学生的实际应用思维，激发学生的创新精神。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：二次函数最值的概念和求解方法。

2. 教学难点：如何将二次函数最值与实际问题相结合，培养学生的应用思维。

三、教学过程：1. 导入新内容：- 引入二次函数的概念和图像特征；- 回顾线性函数最值的概念，引出二次函数最值的概念。

2. 探究活动：- 给予学生一个简单的二次函数，如y = x²，让学生观察其图像，并讨论最值分别是多少；- 引导学生观察二次函数图像的凹凸性质，找出最值点的共同特征。

3. 知识讲解：- 以幻灯片为辅助，讲解二次函数的最值是函数图像的最高点或最低点；- 介绍二次函数最值的概念，如最大值、最小值；- 通过公式和图像的对比，讲解最值点在坐标系上的表示。

4. 解题方法：- 引导学生观察二次函数最值与二次函数的多项式系数的关系，讲解最值的推导过程；- 通过例题，教授学生求解二次函数最值的方法。

5. 练习与应用：- 分组练习：设计一道综合应用题，要求学生结合实际问题，求解二次函数的最值，并给出问题的解释和解决思路；- 学生展示：每组选派一位学生进行展示，让其他同学进行点评。

6. 拓展与延伸：- 引导学生思考二次函数最值与实际问题的关系，帮助学生理解数学知识的应用；- 引导学生研究二次函数最值在自然界、经济学等领域的实际应用。

《二次函数的最值问题》微教案一、学习目标1 .能从实际问题中抽象归纳出二次函数模型，写出二次函数表达式，并根据题意能求出自变量的取值范围，体会模型思想.2 .能用一般式、顶点式、交点式快速熟练地求出函数最值.3 .借助函数图象能理解二次函数的最值对应的自变量的值可能是顶点的横坐标或自变量的端点值，理解、应用数形结合思想.二、学习重难点重点：能根据题意写出二次函数表达式，求出自变量的范围，并求出函数最值.难点：能借助函数图象能理解二次函数的最值对应的自变量的值可能是顶点的横坐标或自变量的端点值.三、学习过程（一）问题背景【设计意图】：通过小明家碰到的实际问题引入，激发学生的学习兴趣和探究欲望.（二）问题探究尝试利用一堵墙（墙所足够长），用197米长的围栏围成一个矩形果园ABC与墙平行的一边BC上要预留3米宽的入口（如图中MN所示，不用围栏）.那怎么围才能使矩形果园ABCD的面积最大，面积最大值是多少平方米？—华F3w, 1d IIIC问题1你要求的是什么？即目标是什么？M.V问题2矩形果园ABeO面积怎么求？问题3在这个等量关系中有几个变量？哪个变量作为自变量？问题4如果设AB为X米，那么你能用X表示BC吗？【设计意图】：通过四个问题的追问帮助学生理清如何建立二次函数模型.问题5回顾解题过程，你还有什么疑惑吗？【设计意图】：通过一个没有求自变量取值范围的错误解题过程，让学生来思辨错误的原因，从而激发学生的好奇心，加深他们对容易忽视的知识点的印象，最后师生共同归纳如何求自变量的取值范围的方法.【设计意图】：师生共同总结如何从实际问题中归纳抽象出二次函数模型，学生体会模型思想.变式利用一堵墙（墙所最多能利用80米），用197米长的围栏围成一个矩形果园ABCD,与墙平行的一边3。

上要预留3米宽的入口（如图中MN所示，不用围栏）.那怎么围才能使矩形果园ABCQ的面积最大，面积最大值是多少平方米？【设计意图】：通过改变题目的已知条件，帮助学生理解函数的最值与自变量的取值范围有关，最后借助函数图象得到结论：如果二次函数有最值，最值对应的自变量的值要么是顶点的横坐标，要么是自变量范围的端点值.例如图，小明家窗户的上部是由两个正方形组成的矩形，窗框材料总长为6米，如何改进设计才能使窗户透光面积最大，最大面积是多少平方米（保持窗户的样式不变）？问题1你要求的是什么？即目标是什么？问题2窗户透光面积怎么求？问题3在这个等量关系中有几个变量？哪个变量作为自变量？如果设AB为X米，那么你能用X表示A。

《二次函数最值问题》教学设计教学目标：1. 理解二次函数的顶点和最值的概念；2. 掌握求二次函数最值的方法；3. 能够运用二次函数最值的概念解决实际问题。

教学重点：1. 二次函数的顶点和最值的概念；2. 求解二次函数最值的方法。

教学难点：1. 如何确定二次函数的最值；2. 如何将二次函数最值应用到实际问题中。

教学准备：1. 教师准备PPT以及教学板书；2. 学生准备笔记本、铅笔和计算器。

教学过程：Step 1：引入问题引导学生思考一个问题：在开场音乐会上，音响师设计了一个二次函数模型来描述音量随时间变化的情况。

如何确定音量的最大值和最小值呢？Step 2：引入概念通过示意图和实际例子介绍二次函数的顶点和最值的概念。

1. 顶点：二次函数的图像呈现出一个拱形，该拱形的顶点即为二次函数的顶点。

2. 最值：二次函数的最大值称为最大值，最小值称为最小值。

Step 3：求解二次函数最值的方法1. 对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，如果a>0，则f(x)在顶点处取最小值；如果a<0，则f(x)在顶点处取最大值。

2. 顶点公式：对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为y=f(-b/2a)。

Step 4：示例演练通过一道典型的二次函数最值问题来演示求解过程。

如：已知二次函数f(x)=2x^2-4x+3，求最大值和最小值。

Step 5：应用实例引导学生运用二次函数最值的概念解决实际问题，如：某工厂的销售额关于年份的变化可以用二次函数f(x)=0.1x^2-2x+3.5来描述，求销售额的最大值和最小值。

Step 6：归纳总结总结求解二次函数最值的方法和步骤。

Step 7：课堂练习提供一些类似的练习题，让学生在教师的引导下独立解答，巩固所学知识。

Step 8：小结通过回顾课堂内容，对二次函数最值的概念和求解方法进行总结。

Step 9：作业布置布置相应的作业，要求学生运用二次函数最值的概念解决实际问题，并写下求解过程和答案。

二次函数的最值问题教案
教学目标：
1. 理解二次函数的最值概念，掌握求解二次函数最值的方法。

2. 学会分析和解决实际问题，培养创新思维和数学应用能力。

3. 培养学生对数学的兴趣和良好的学习习惯。

教学内容：
1. 二次函数最值的概念。

2. 求解二次函数最值的方法。

3. 应用实例。

教学重点：
1. 掌握二次函数最值的概念和求解方法。

2. 运用二次函数解决实际问题。

教学难点：
1. 分析实际问题中的数学模型。

2. 灵活运用二次函数解决实际问题。

教学方法：
1. 讲解法：通过讲解二次函数的最值概念和求解方法，帮助学生理解掌握。

2. 练习法：通过练习，让学生熟练掌握求解二次函数最值的方法。

3. 案例分析法：通过案例分析，培养学生分析和解决实际问题的能力。

教具准备：
1. 黑板和粉笔。

2. 多媒体课件：用于展示二次函数的图像和求解过程。

3. 教学范例：用于学生分析和解决问题。

教学过程：
1. 导入新课：通过复习已学知识，引出二次函数的最值概念。

2. 新课学习：讲解二次函数最值的概念和求解方法，结合实例进行讲解。

3. 练习巩固：让学生练习求解二次函数最值的题目，检验学生的掌握情况。

4. 案例分析：通过分析实际问题的数学模型，让学生了解如何运用二次函数解决实际问题。

5. 小结作业：总结本节课所学内容，布置作业。

二次函数的最值问题一、内容与内容解析1.内容含参二次函数在m x n ≤≤内的最值问题.２.内容解析本节课在讨论了影响0a ＞时二次函数在m x n ≤≤内最值的因素后对0a ＞时含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题进行探究.主要的研究方法是从函数图像入手，通过几何画板动态演示，确定分类标准，进行分类讨论,进而对分类标准进行优化，得到解决此类问题的一般方法，并运用此方法解决相关的最值问题.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从函数图像入手，运用分类讨论思想求含参二次函数在m x n ≤≤内最值.二、目标和目标解析1.目标(1)通过复习二次函数图像的特征和性质，能够借助二次函数的图像研究二次函数的最值.(2)通过对二次函数在m x n ≤≤内最值问题初探、对含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题的探究，经历直观感知、抽象概括、运算求解、反思与构建等思维过程，体会函数思想，分类讨论等数学思想方法，发展数学感知、数学表征、抽象概括、运算能力等.2.目标解析达成目标(1)的标志是：学生会借助二次函数的图像研究二次函数在m x n ≤≤内的最值，并能由此得到二次函数在m x n ≤≤内最值的影响因素，进一步体会函数思想.达成目标(2)的标志是：借助二次函数的图像求解含参二次函数在m x n ≤≤内最值，进一步体会函数思想和分类讨论的思想.三、教学问题诊断分析学生已学习了二次函数的概念、图像和性质，已经具备了一定的识图能力、分析图形特征的能力、数学说理能力，这为本节课的学习奠定了基础.但对于含参二次函数在m x n ≤≤内的图像及最值问题，由于其抽象程度较高，学生可能会在为什么要进行分类讨论以及如何确定分类标准这两个问题上产生一定的困难.基于以上分析，本节课的教学难点是：如何确定分类标准.四、教学过程设计引言:(展现生活实例，体现研究二次函数在m x n ≤≤内最值的必要性)本节课，我们将结合二次函数的相关知识深入研究二次函数的最值问题.1.复习导入，自主发现问题1如图，(5,),(8,),(1,),( 3.9,)A B C D A y B y C y D y --在二次函数2134y x x =--的图像上，请比较： (1) B y A y ；（2） D y C y ；（3）D y B y ；（4）C y A y .问题2根据问题1的结论填空：（1）二次函数2134y x x =--（58x ≤≤），当x = 时，y 取到最大值；当x = 时，y 取到最小值.（2）二次函数2134y x x =-- ( 3.91x -≤≤-)，当x = 时，y 取到最大值；当x = 时，y 取到最小值.（3）二次函数2134y x x =--（ 3.98x -≤≤），当x = 时，y 取到最大值；当x = 时，y 取到最小值.（4）二次函数2134y x x =--（15x -≤≤），当x = 时，y 取到最大值；当x = 时，y 取到最小值.师生活动: 教师提出问题，学生尝试用已有知识解决这些问题，并交流问题中蕴含的函数知识和对这些知识的理解.追问1：这些二次函数的图像是完整的抛物线吗？追问2：为什么有的（二次函数的）最值能在顶点处取到，有的却不能呢？追问3：通过对上面问题的研究，你认为二次函数在 内的最值的取得与什么有关？师生活动:通过对前面问题的研究，自主发现影响二次函数在 内的最值的因素：对称轴和m x n ≤≤的相对位置.若对称轴不在m x n ≤≤内时，最值在端点处取得；对称轴在m x n ≤≤内时，最值在顶点和端点处分别取得.遇到这类问题时，我们通常要结合函数图象进行分析.设计意图：引导学生通过观察函数图像，直观地发现对称轴和 的相对位置影响了二次函数的最值. 为下一步解决0a ＞时含参二次函数在 内的最值问题做铺垫.2.问题剖析，合作探究探究1：求二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值. 师生活动:教师引导学生先观察函数解析式，分析参数t 的变化对二次函数图像的影响，然后借助计算机软件，直观感受对称轴和m x n ≤≤的相对位置如何影响二次函数的最小值.最后全班交流，确定分类标准，学生独立补全解题过程.追问1：观察本题中的函数解析式与前面有什么区别？ 追问2：随着参数t 的变化，二次函数2134y x tx =--图象的开口方向和开口大小会改m x n ≤≤2134y x x =--m x n ≤≤m x n ≤≤m x n ≤≤变吗？对称轴呢？追问3：二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值是唯一确定的吗？ 师生活动:关注学生是否明确此处为什么要进行分类讨论，体会分类讨论的必要性. 追问4：如何确定分类标准？如何用数学符号表达这种关系呢？师生活动: 师生共同讨论写出分类标准.教师规范格式以后要求学生将过程补齐. 设计意图：探究0a ＞时含参二次函数在 内的最小值问题，让学生体会解决这一类问题的基本方法.培养学生直观感知、抽象概括、数学表征能力，激发自主学习的积极性和探究意识.引导观察，发现分类依据，培养探究意识.探究2：求二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最大值. 师生活动：要求学生独立解决，写出分析过程，小组内交流讨论，最后全班汇报交流.对于学生展示的分类方法，教师适当引导和纠正，让学生理解如何进行分类讨论（不重复，不遗漏），并对分类方法进行优化.最后共同归纳出求含参二次函数在m x n ≤≤内最值的一般方法：一般先确定对称轴与m x n ≤≤的相对位置关系，分别画出示意图，确定分类标准，再进行分类讨论.设计意图：在探究1的基础上进一步探究 时含参二次函数在 内的最大值问题，重点体会解题过程中分类标准的确定.师生活动：回顾探究1和探究2的过程，体会它们的相同与不同之处.追问1：为什么有时候分3类，有时候分2类就可以了？什么时候分2类，什么时候分3类呢？min 2min min 2min 10242,12,2211,2321111,1,2422(1)13()2111()42x t t t x y t t t x t y t t t x y t t t y t t t t =--=-=---==---==--⎧⎪--⎪⎪=---⎨⎪⎪--⎪⎩解：＞，对称轴：（1）当2＜即＜时：（2）当2≤2≤即1≤≤时：，（3）当2＞即＞-时：＜综上所述：1≤≤＞-10241110.5,1,4410.5,2,224111()44122()4x t t t x y t t t x y t t t y t t =--==---=-=-⎧---⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩最大最大最大解：＞，对称轴：（1）当2≤即≤时：（2）当2＞即＞-时：≤综上所述：＞-m x n ≤≤m x n ≤≤0a ＞追问2：你能直接判断它们分别分几类进行讨论吗：变式一：求二次函数2134y x tx =---（21x -≤≤）的最小值. 变式二：求二次函数2134y x tx =---（21x -≤≤）的最大值. 师生活动：通过类比探究1和探究2归纳：求二次函数在m x n ≤≤上的最值不仅要看对称轴与m x n ≤≤的相对位置，还要看开口方向.开口向下时，可类比开口向上的数学模型进行讨论.设计意图：讨论0a ＜时含参二次函数在 内最小值的分类问题，体会开口方向对函数最值的影响.3.拓展应用若223(0)y mx mx m =++≠当32x -≤≤时有最大值4，求m 的值.师生活动：巩固训练，引导学生借助上面解决问题的经验,逆向思考，解决此问题. 设计意图：巩固本节课所学内容，利用前面归纳的结论来解决二次函数最值的相关问题，加深对含参二次函数在 内的最值问题的认识.体会函数思想.提升学生分析问题，解决问题的能力.4.归纳总结师生共同回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课我们研究了哪些问题？（2）我们是如何分析、解决这些问题的？（3）在研究过程中你遇到的问题是什么？怎么解决的？设计意图：通过小结，理清本节课的研究内容和研究方法.让学生体会提出问题、分析问题、解决问题的方法.5.课外作业(1) 必做题：①求二次函数223y x ax =--+（45x -≤≤）的最值.②已知二次函数221y ax ax =++（12x -≤≤）有最大值4，求实数a 的值.(2) 选做题：求二次函数223y x x =-+（2t x t ≤≤+）上的最值.（3）兴趣作业：通过本节课的学习，你能自己提出一个二次函数最值相关的问题并进行解答吗？试试看，和同伴交流你的想法. 1(1)0(2)0x m m =-分析：对称轴：＞时...＜时...m x n ≤≤m x n≤≤。

实际问题中的二次函数的最值问题教学案第一篇：实际问题中的二次函数的最值问题教学案温馨提示：此材料是教师讲课的教案，学生学习的学案，上课时的笔记，课后的复习资料，请同学们装订保管。

发给同学们后请通过研读课本资料，并在同学和老师帮助下完成，并达到能讲的水平。

实际问题中的二次函数的最值问题教学案一、学习目标：能根据实际问题列出函数关系式;使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围;通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。

（学生课后体会）二、重难点：会通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大或最小值;在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．（学生课后检测是否到达要求）三、课前预习：阅读教材第17---19页（学生自行安排时间）四、教具准备：多媒体课件五、学习过程：（一）创设情景导入新课1．对于任意一个二次函数y=ax2+bx+c，如何确定它的开口方向、对称轴和顶点坐标？2．当a＞0时，抛物线有最___点，函数有最__值是_____；当a＜0时，抛物线有最___点，函数有最_____值是_____.3.求下列函数的最大值或最小值（1）y=-1/2x2-x+3(2)y=3(x+1)(x-2)(二）讨论问题问题1：要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?问题2：某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。

将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?（三）例题讲解例、用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。

应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少? 先思考解决以下问题：(1)若设做成的窗框的宽为xm，则长为多少m?(2)根据实际情况，x有没有限制?若有限制，请指出它的取值范围，并说明理由。