高中数学 第十五教时 二次函数的图形与性质(含最值)教案 新人教A版必修1

高中数学教案：二次函数的性质与图像一、二次函数的性质二次函数是高中数学中重要的一个概念，它是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数。

二次函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等等。

下面将依次介绍二次函数的各种性质。

1. 定义域和值域二次函数的定义域是实数集R，即所有实数都适用于二次函数。

对于一般的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其值域的范围则取决于a的正负情况：当a > 0时，二次函数的最小值即为函数的值域的下界；当a < 0时，二次函数的最大值即为函数的值域的上界。

2. 对称轴和顶点对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其对称轴是直线x = -b/2a。

对称轴将二次函数分为两部分，左右对称。

顶点是二次函数的最高点或最低点，其坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

3. 单调性和极值点二次函数的单调性取决于a的正负情况。

当a > 0时，二次函数在对称轴两侧是上凸的，函数值随着x的增大而增大；当a < 0时，二次函数在对称轴两侧是下凸的，函数值随着x的增大而减小。

极值点即为二次函数的顶点，其值为函数的最大值或最小值。

4. 奇偶性和轴对称当二次函数满足f(-x) = f(x)时，即为偶函数；当二次函数满足f(-x) = -f(x)时，即为奇函数。

对于二次函数而言，当且仅当b = 0时，二次函数才是偶函数；否则为奇函数。

此外，对于偶函数来说，其图像关于y轴对称；对于奇函数来说，其图像关于原点对称。

二、二次函数的图像了解二次函数的性质后，接下来将对二次函数的图像进行详细解析。

1. 顶点式和一般式通过配方法得到的顶点式和一般式是表示二次函数图像的两种常见形式。

顶点式为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)为顶点的坐标；一般式为f(x) = ax^2 + bx + c。

通过变换常数a、h和k的值，可以分别绘制出不同形状的二次函数图像。

数学教案高中必修一二次函数第一课时：二次函数的定义和基本性质1. 二次函数的定义：二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

3. 二次函数的性质：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)；当a>0时，抛物线开口向上，顶点为最小值点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点为最大值点。

4. 二次函数的对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a。

第二课时：二次函数的图像和变换1. 二次函数的图像变换：对二次函数y=ax^2+bx+c进行平移、伸缩和翻转等变换，可以得到不同形态的抛物线。

2. 二次函数的平移：当二次函数y=ax^2+bx+c向左平移h个单位时，变为y=a(x-h)^2+bx+c；向上平移k个单位时，变为y=a(x)^2+bx+(c+k)。

3. 二次函数的伸缩：当二次函数y=ax^2+bx+c关于y轴进行水平伸缩d倍时，变为y=a(d*x)^2+bx+c；关于x轴进行垂直伸缩e倍时，变为y=a*x^2+bx+c/e。

4. 二次函数的翻转：当二次函数y=ax^2+bx+c关于x轴翻转时，变为y=-a*x^2+bx+c；关于y轴翻转时，变为y=a*x^2-bx+c。

第三课时：二次函数的应用1. 二次函数在几何中的应用：二次函数在抛物线、圆弧、悬链线等图形的描述和分析中有广泛的应用。

2. 二次函数在物理中的应用：二次函数在运动学、力学等物理领域中有着重要的作用，例如自由落体运动的描述。

3. 二次函数在经济学中的应用：二次函数在成本、收益、效益等经济指标的分析中起到关键作用，例如产量与利润之间的关系。

教学要点：通过本课程的学习，学生应该掌握二次函数的定义、性质、变换和应用，了解二次函数在数学、几何、物理和经济学中的重要作用，并能够灵活运用二次函数进行问题分析和解决。

教学方法：本教案采用讲授、示范和练习相结合的方式进行，引导学生主动思考和参与课堂讨论，激发学生的学习兴趣和动力。

y ox-11y ox-11yox -11yox-112019-2020年高中数学二次函数的性质与图象教案(I)新课标人教版必修1(B)教学目标：研究二次函数的性质与图像教学重点：进一步巩固研究函数和利用函数的方法 教学过程： （习题课）1、某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程。

下列图中纵轴表示离校 的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合学生走法的是 （ ）A B C D2、已知函数f(x )及函数g(x )的图象分别如图⑴、⑵所示，则函数y=f(x )·g(x )的图象大致是（ ）A B C D3、若函数是偶函数,则函数的图象A.关于直线对称B.关于直线对称C.关于直线对称D.关于直线对称4、将奇函数的图象沿x 轴的正方向平移2个单位，所得的图象为C ，又设图象 与C 关于原点对称，则对应的函数为 （ ）A ．B ．C ．D ．5、已知函数f （x ）＝｜x 2－2ax ＋b ｜(x ∈R )，给出下列命题：①f （x ）必是偶函数；②当f （0）＝f （2）时f （x ）的图象必关于直线x ＝1对称；③若a 2－b ≤0，则f （x ）在区间［a ，＋∞］上是增函数；④f （x ）有最大值a 2－b ，其中正确命题序号是 .6、对于函数f （x ），若存在x 0∈R ,使f （x 0）＝x 0成立，则称x 0为f （x ）的不动点.如果函数f （x ）＝ax2yox-11图1y o x-11-11图2＋bx＋1（a＞0）有两个相异的不动点x1，x2.(Ⅰ)若x1＜1＜x2，且ｆ（x）的图象关于直线x＝m对称,求证：＜m＜1；(Ⅱ)若｜x1｜＜2且｜x1－x2｜＝2，求b的取值范围.7、已知函数f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c)的图象上有两点A（m，f(m1)）、B(m2，f(m2))，满足f(1)=0且a2+(f(m1)+f(m2))·a+f(m1)·f(m2)=0.（Ⅰ）求证：b≥0；（Ⅱ）求证：f(x)的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是［2，3］；（Ⅲ）问能否得出f(m1+3)、f(m2+3)中至少有一个为正数？请证明你的结论课堂练习：（略）小结：本节课对前面所学习的内容进行复习课后作业：（略）2019-2020年高中数学二维形式的柯西不等式教案一、教学目标①认识二维形式的柯西不等式的三角形式②柯西不等式的一些简单应用二、教学重点：①认识二维形式的柯西不等式的几种形式②运用柯西不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的联系，经过恰当变形，以经典不等式为依据得出具体问题中的不等关系三、教学难点：运用柯西不等式证明不等式四、教学过程：。

二次函数是高中数学必修1中最基础的章节之一，也是所有后续学习的基础。

在本教案中，将学习如何解读二次函数，掌握其基本形式和性质。

通过实例演练和作业训练，我们可以深入理解二次函数的概念和使用方法。

一、知识点梳理1.二次函数的定义二次函数是一种以自变量的二次项多项式为表达式的函数，通常写成f(x)=ax^2+bx+c的形式。

其中a、b、c都是实数，且a不为0。

2.二次函数的图像二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。

当a>0时，抛物线开口朝上，最低点是（h，k），其中h是抛物线的对称轴。

当a<0时，抛物线开口朝下，最高点也是（h，k）。

公式可以简化为f(x)=a(x-h)^2+k。

3.二次函数的性质①对称性：二次函数 f(x)关于x轴对称，当a>0时，还关于y=h 对称。

②单调性：当a>0时，函数在最低点处单调递增；当a<0时，函数在最高点处单调递减。

③零点：如果一个一元二次方程f(x)=0有实数解，对于二次函数的图像而言，该解就是与x轴交点，也被称为零点。

④极值：如果二次函数是开口向上的，最低点是f(x)的极小值；如果二次函数是开口向下的，最高点是f(x)的极大值。

4.二次函数的应用二次函数在生活中有很多应用，比如计算物体受重力作用下的位移和速度，预测带有轻微波动的曲线，并在各种设计中实现平底的可控曲线。

二、课程教学1.知识点和目标在本教案中，我们的目标是帮助学生理解并掌握二次函数的基本概念和性质，通过实例演练和作业训练来加深他们的认知和理解水平。

课程知识点主要包括二次函数的定义、图像、性质和应用。

2.教学重点和难点教学重点主要是能够帮助学生深入理解二次函数的概念和性质，特别是对于常见的二次函数类型，如y=ax^2、y=ax^2+b、y=a(x-h)^2+k等，能够熟练掌握其图像和性质。

教学难点主要是二次函数的实际应用，这需要学生进行实践操作和思考，获得实际应用中的经验和技巧。

北京市101中学2012-2013学年高中数学《二次函数的图象和性质》学案新人教A版必修1学科：数学专题：二次函数的图象和性质主要考点梳理1．二次函数的定义形如（）的函数叫做的二次函数．2．二次函数的图象二次函数的图象是开口向上或开口向下的一条抛物线。

3．二次函数的性质（1）顶点坐标及对称性顶点坐标：，对称轴方程：。

（2）开口方向、单调性及最值① 当时，抛物线开口向上，并向上无限延伸；在对称轴的左侧，即在区间上，函数单调递减；在对称轴的右侧，即在区间上，函数单调递增．抛物线有最低点，当时，有最小值，并且．②当时，抛物线开口向下，并向下无限延伸；在对称轴的左侧，即在区间上，函数单调递增；在对称轴的右侧，即在区间上，函数单调递减．抛物线有最高点，当时，有最大值，并且．4．二次函数的几种常见形式一般式：；顶点式：，顶点坐标是，其中；双根式：，其中是一元二次方程的两个实数根．金题精讲题一题面：已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当，，，时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 .题二题面：如图，两条抛物线、与分别经过点,且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（）．A．8 B．6 C．10 D．4题三题面：设，二次函数的图象为下列之一则的值为（）．A ．B ．C ．D ．题四题面：定义[]为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：① 当时，函数图象的顶点坐标是(，)；② 当时，函数图象截轴所得的线段长度大于；③ 当时，在上，为减函数；④ 当时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（）．A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②④题五题面：如图，已知二次函数的图象经过两点．（Ⅰ）求这个二次函数的解析式；（Ⅱ）设该二次函数的对称轴与轴交于点，连结，求的面积．课后拓展练习注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.题一题面：如果二次函数在区间上是增函数，那么实数的取值范围是_________________________．题二题面：如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下点打出一球向球洞点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡与水平方向的夹角为30o ，两点相距8米．（Ⅰ）求出点的坐标及直线的解析式；（Ⅱ）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（Ⅲ）判断小明这一杆能否把高尔夫球从点直接打入球洞点．讲义参考答案金题精讲题一答案：．题二答案：A．题三答案：B．题四答案：B．题五答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）．课后拓展练习题一答案：．详解：因为二次函数在区间上是增函数，则必有．又对称轴方程为直线，故，即，解得，或．注意到，故．所以实数的取值范围是．题二答案：（Ⅰ）点的坐标为（12，），的解析式为；（Ⅱ）；（Ⅲ）不能把高尔夫球从点直接打入球洞点．详解：（Ⅰ）在中，因为，，所以，．所以点的坐标为（12，）．设的解析式为，把点（12，）的坐标代入，得，解得．所以的解析式为．(Ⅱ) 因为顶点的坐标是（9，12），点的坐标是（0，0），故可设抛物线的解析式为，把点的坐标代入得：，解得．所以抛物线的解析式为，即．(Ⅲ) 因为当时，，所以小明这一杆不能把高尔夫球从点直接打入球洞点．。

二次函数一、考纲要求1、掌握二次函数的概念、图像特征2、掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值3、掌握二次函数、二次方程、二次不等式（三个二次）之间的紧密关系，提高解综合问题的能力。

二、高考趋势由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，加上三次函数的导数是二次函数，因此二次函数在高中数学中应用十分广泛，一直是高考的热点，特别是借助二次函数模型考查考生的代数推理问题是高考的热点和难点，另外二次函数的应用问题也是2010年高考的热点。

三、知识回顾1、二次函数的解析式（1）一般式：（2）顶点式：（3）双根式：求二次函数解析式的方法：○1已知时，宜用一般式○2已知时，常使用顶点式○3已知时，用双根式更方便2、 二次函数的图像和性质二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像是一条抛物线，对称轴的方程为 顶点坐标是（ ） 。

（1）当0>a 时，抛物线的开口 ，函数在 上递减，在 上递增，当abx 2-=时，函数有最 值为（2）当0<a 时，抛物线的开口 ，函数在 上递减，在 上递增，当abx 2-=时，函数有最 值 为 。

（3）二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f当 时，恒有 ()0.>x f ， 当 时，恒有 ()0.<x f 。

（4）二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f ，当042>-=∆ac b 时，图像与 x 轴有两个交点，.),0,(),0,(21212211ax x M M x M x M ∆=-= 四、基础训练1、已知二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的对称轴方程为x=2,则在f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)中，相等的两个值为 ，最大值为 。

2函数()322+-=mx x x f ，当]1,(-∝-∈x 时，是减函数，则实数m 的取值范围是 。

教学设计课题二次函数的性质课时安排 1 课前准备几何画板，ppt教材内容分析本节课是在学完二次函数的图像后再一次研究二次函数，在讨论二次函数性质的过程中，其图像显然起了重要作用，但是又不能忽视解析式的作用。

因此教材突出数与形的有机结合。

本节教材先给出了抽象的字母形式的配方结果，进而从字母出发对a＞0时函数的单调性进行了证明。

与二次函数的图像一节相比，例题也比较综合，有一定的难度。

而且应该适度综合，适度抽象。

高中学生，已经处于思维接近成熟的阶段，有些情况下，不能就事论事，而应该适度思考一些带有综合性的问题，但不可过分。

对一般学生来说，分寸掌握到课本例题和习题的水平为宜。

程度好一些的学生，当然，也可以自选一些题目来做。

对于抽象的一般二次函数单调性的证明，用文字表示对称轴、顶点、最大(小)值、单调区间等，教师应该带领学生尝试。

解决实际问题，是数学学习的重要目的，也是引起学生思考的重要方法。

有些例题，如例3，意在联系实际。

但是，编者眼界有限。

设计理念1．从数学生活实际出发，引导学生思考2．Ppt展示更加形象3．典例分析，重点突出4．技术革新，引领潮流学情分析学生基础较差，从基础开始引导教学目标【知识与能力目标】会对二次函数配方，并讨论图像的开口方向、顶点、对称轴、单调性、最值等性质。

【过程与方法目标】让学生通过二次函数的图像来研究二次函数的性质，体会数形结合思想。

【情感态度价值观目标】通过学生独立思考，分组讨论，培养学生自主学习的习惯，与人合作的团队精神。

教学重难点【教学重点】二次函数的性质。

【教学难点】应用二次函数的性质解决实际问题。

教学过程教学环节（一）师生活动一、导入部分“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，人们在制造时一般是期望在它达到最高点(大约是距地面25米到30米处)时爆炸，烟花冲出去后的运动路线是抛物线形的，为了达到放烟花的最佳效果，烟花设计者按照有关的数据设定引线的长度，如果是你来设计，你可以吗？设计意图:从生活实际切入，激发了学生的学习兴趣，又为新知作好铺垫。

第三单元 §1.3.1 函数的基本性质----函数的最值课型：新授课 日期：2012.8 第一部分：【三维目标】 问题，第二部分：【自主性学习】1.旧知识铺垫（1）求函数223y x x =--最小值。

（2）求函数223y x x =--在0,3⎡⎤⎣⎦上的最大值、最小值。

2.新知识预览精读本节课本内容，思考下列问题：（1）函数最值的定义○1最大值： ○2最小值： （2）函数单调性与最值的关系。

○1若函数在闭区间,a b ⎡⎤⎣⎦上是减函数，则f(x)在,a b ⎡⎤⎣⎦上的最大为 ，最小值为 。

○2若函数在闭区间,a b ⎡⎤⎣⎦上是增函数，则f(x)在,a b ⎡⎤⎣⎦上的最大为 ，最小值为 。

○3若函数f(x)在,a b ⎡⎤⎣⎦上是增（减）函数，在,b c ⎡⎤⎣⎦上是减（增）函数，则f(x)在,a c ⎡⎤⎣⎦上的最大（小）值是 ，最小（大）值是f(a)与f(c)中较小（大）的一个。

3. 我的疑难问题：第三部分：【重难点解析】题型一 利用函数的单调性求最值例1.已知函数2()1f x x =-（2,6x ⎡⎤∈⎣⎦），求函数的最大值和最小值。

变式训练：求32y x =-在区间3,6⎡⎤⎣⎦上的最大值和最小值。

题型二 最值在生活中的应用例2.某厂商制造一张CD 的成本为4元，如果一张CD 的定价为10元，可卖出1000张，如果每提高1元，售出张数就会减少20，当一张CD 定价为多少时，利润最大？并求最大值。

变式训练：某公司在甲乙两地销售一种品牌车，利润（万元）分别为21 5.060.15y x x =-和22y x =，其中x 为销售量（辆），若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ） A.45.6万元 B.45.606万元 C.45.56万元 D.45.51万元【知识结构】第四部分：限时训练一、选择题1.定义在区间1,3⎡⎤-⎣⎦上的函数()y f x =是减函数，则它的最大值是（ ）A.f(-1)B.f(3)C.-1D.3 2.函数1(),1,21f x x x ⎡⎤=∈⎣⎦+的最小值是（ ） A.f(1) B.f(2) C.f(0) D.不存在3.函数223y x x =--在0,3⎡⎤⎣⎦上的最大值，最小值为（ ）A.-3,0B.-4,0C.0，-3D.0，-4二、填空题4.函数()2f x x =-+在0,1⎡⎤⎣⎦上的最大值为a ，最小值为b ，则a-b= .[来源:学_科_网Z_X_X_K]三、解答题5.已知函数2()41f x x mx =-+在(),2-∞-上递减，在)2,⎡-+∞⎣上递增，求f(x)在1,2⎡⎤⎣⎦上的值域。

课时：2课时年级：高一教材：人教版数学必修一教学目标：1. 知识与技能：使学生理解二次函数的性质，包括开口方向、顶点坐标、对称轴等，并能运用这些性质解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、比较、归纳等方法，引导学生探索二次函数的性质，培养学生的数学思维能力和分析问题的能力。

3. 情感、态度与价值观：让学生体验数学知识的魅力，激发学习数学的兴趣，培养学生严谨的数学态度。

教学重点：1. 二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴等性质。

2. 运用二次函数的性质解决实际问题。

教学难点：1. 理解并掌握二次函数的性质。

2. 将二次函数的性质应用于实际问题。

教学准备：1. 多媒体课件2. 练习题教学过程：第一课时一、导入新课1. 复习一次函数的性质，引导学生思考二次函数的性质。

2. 提出问题：二次函数的图象是什么样的？它与一次函数的图象有何不同？二、新课讲授1. 引入二次函数的概念，让学生了解二次函数的一般形式。

2. 通过观察、比较、归纳等方法，引导学生发现二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴等性质。

3. 结合具体实例，讲解二次函数的性质在解决实际问题中的应用。

三、课堂练习1. 基本练习：判断二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴等。

2. 综合练习：运用二次函数的性质解决实际问题。

四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调二次函数的性质。

2. 引导学生思考如何将二次函数的性质应用于实际问题。

第二课时一、复习导入1. 复习上一节课所学内容，提问学生二次函数的性质。

2. 引导学生思考二次函数的性质在解决实际问题中的应用。

二、新课讲授1. 通过实例讲解二次函数的性质在实际问题中的应用。

2. 引导学生思考如何根据实际问题选择合适的二次函数模型。

三、课堂练习1. 基本练习：根据实际问题列出二次函数关系式。

2. 综合练习：运用二次函数的性质解决实际问题。

四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调二次函数的性质在实际问题中的应用。

高中数学教案：二次函数的图像与性质一、二次函数的定义与基本形式二次函数是指自变量的平方项的系数不为零的函数。

其一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。

二次函数的图像通常为抛物线，其开口方向由系数a的正负确定。

二、二次函数的图像特征与性质1. 平移与伸缩二次函数的图像可以通过平移和伸缩来变换。

当二次函数的形式为f(x) = a(x - h)^2 + k时，抛物线的顶点位置为(h, k)。

当h>0时，图像水平右移h个单位；当h<0时，图像水平左移|h|个单位。

当k>0时，图像上移k个单位；当k<0时，图像下移|k|个单位。

而当a>1时，抛物线的开口向上变得更加尖锐；当0<a<1时，抛物线的开口向下变得更加扁平。

2. 对称轴与顶点二次函数的对称轴是通过抛物线顶点的垂直线。

对称轴的方程为x = h，其中(h, k)为二次函数的顶点坐标。

对称轴将图像分为两个对称的部分。

3. 最值与零点二次函数的最值（最大值或最小值）在其顶点处取得。

当a>0时，二次函数为抛物线开口向上，最小值为顶点；当a<0时，二次函数为抛物线开口向下，最大值为顶点。

此外，二次函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标值。

要求零点，可将二次函数设为f(x) = 0，然后解二次方程ax^2 + bx + c = 0。

4. 判别式与解的情况二次函数的判别式D = b^2 - 4ac可以用来判断二次方程ax^2 + bx + c = 0的解的情况。

当D > 0时，方程有两个不相等的实数根；当D = 0时，方程有两个相等的实数根；当D < 0时，方程没有实数根，但可能存在复数根。

5. 函数的增减性二次函数的增减性与系数a的正负有关。

当a > 0时，函数在对称轴两侧是递增的；当a < 0时，函数在对称轴两侧是递减的。

6. 拉直与倒置若将二次函数表示为g(x) = -ax^2 + bx + c的形式，称为原函数的拉直与倒置形式。