二次函数的最值几何应用教学案
【教学目标】
1．理解二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质在平面几何问题中的应用，特别是用来求几何图形面积的最大值或最小值．
2．理解二次函数在求解几何问题中的一般方法和步骤． 【重点、难点】
重点：二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质在平面几何中的应用. 难点：如何将几何问题转化为二次函数的图象和性质问题.
【知识要点】
1．一次函数的最值：在函数的取值范围的两个端点，考察该函数的最值； 2．二次函数的最值：在函数的取值范围的两个端点考察该函数的最值； 3．函数的最大值与最小值 最大值：
()()()()()()().
0max 0000x f y x f y x f x f x f
x f x x f y ==≤=记作叫做函数都成立，那么不等式处的函数值是在设函数几何解释：
(1) 函数图像的最高点，纵坐标最大的值
在将一条平行于横坐标的直线从y 坐标。
()()()()()()().0in 0000x f y x f y x f x f x f x f x x f y m ==≥=记作的最小值，
叫做函数都成立，那么不等式处的函数值是在设函数 几何解释：
(2) 函数图像的最高点，纵坐标最小的值
(3) 在将一条平行于横坐标的直线从y 轴的负向向正向平移的过程中，与函数的第一个交点的纵坐标。
【经典例题】
例1．求下列函数的最值(自变量范围是R).
132)1(2+-=x x y
32)2(2++-=x x y
例2．已知实数a,b 满足等式5)3(22=+-b a ，求
a
b
的最大值和最小值。
例3．已知二次函数2
(1)2y x =--
（1）当23x ≤≤时，求函数的最值。 （2）当03x ≤≤时，求函数的最值。
例4．方程()()22160x m x m +-+-=有一根不大于1，另一根不小于1。 （1）求m 的取值范围 （2）求方程两根平方和的最大值与最小值
例5．如图，在矩形ABCD 中，,12,6cm BC cm AB ==点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以s cm /1的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以s cm /2的速度移动．如果Q P ,分别从B A ,同时出发，设S 表示面积，x 表示移动时间()0>x ．
（1）几秒后PBQ ∆的面积等于28cm ；（2）写出D PQ S ∆与x 的函数关系式；（3）写出D PQ S ∆的最小值和最大值，并说明理由．
例6．如图,已知ABC ∆的面积为22400
厘米,底边BC 长为80厘米,若点D 在BC 边上，E 在AC 边上，F 在AB 边上，且四边形BDEF 为平行四边形,设x BD =厘米,y S BDEF =∆厘米. 求：（1）y 与x 的函数关系式；（2）自变量x 的取值范围； （3）当x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？
B
Q
例7．如图所示，公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA ，O 恰在水面中心，m OA 25.1=，由柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路线落下，为使水柱形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离为1m 处达到水面最大高度2.25m ．
（1）如果不计其他因素，水池的半径至少要多少米？才能使喷出的水不至于落在池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0.1m ）?
例8．如图，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴只有一个公共交点P ，与y 轴的交点为Q ，过点Q 的直线m x y +=2与x 轴交于点A ，与这个二次函数的图象交于另一点B ，若A P Q B P Q S S ∆∆=3，求这个二次函数的解析式．
A
O
例9．已知二次函数()m x m x y ----=1122的图象与x 轴交于()()21210,0,,0,x x x B x A <<，与
y 轴交点C ，且满足
CO
OB AO 211=-．（1）求这个二欠函数的解析式；（2）是否存在着直线b kx y +=与抛物线交于点Q P ,，使y 轴平分CPQ ∆的面积？若存在，求出b k ,满足的条件；
若不存在，请说明理由．
【课后练习】
1．抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于B A ,两点，()k Q ,2是该抛物线上一点，且BQ AQ ⊥，则ak 的值等于（ ）.
A 、-1
B 、-2
C 、2
D 、3 2．（扬州市中考时题）已知：039,0=++=+-c b a c b a ，则二次函数c bx ax y ++=2的图象顶点可能在（ ）．
A 、第一或第二象限
B 、第三或第四象限
C 、第一或第四象限
D 、第二或第三象限 3．若二次函数c bx ax y ++=2的图象对称于y 轴，那么（ ）．
A 、ac b 42=
B 、a b
x 2-= C 、a b 2= D 、0=b
4．用长8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大， 那么这个窗户的最大透光面积是多少2m （ ）.
A 、2564
B 、34
C 、3
8
D 、4
5．在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中AD AB 和分别在两直角边上，若AB 所在直角边为80m ，AD 所在直角边为60m ，则长方形的面积()
2m y 与AB 边的长()m x 的函
数关系是什么？且当x 取何值时，y 有最大值？（ ）．
A 、40,60432x x y +-=
B 、40,6043
2x x y +=
C 、40,60432x x y --=
D 、40,604
3
2x x y -=
6．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是4m ，宽是2m ，抛物线的解析式为22
1
2+-=x y ，一辆高3m ，宽2m
A 、能
B 、不能
C 、无法确定
D 、高为2米时可以通过
