高一数学教案二次函数的图形与性质(含最值)

关于二次函数的图像与性质的数学教案（9篇）二次函数的图像与性质的数学教案篇1【学问与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并依据图象熟悉、理解和把握其性质.2.体会数形结合的转化，能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简洁的实际问题.【过程与方法】经受探究二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象讨论函数的阅历，培育观看、思索、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间沟通争论，到达对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a＞0)的图象.2.理解，把握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步熟悉问题 1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么外形呢?问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线.二、思索探究，猎取新知探究1 画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互沟通、展现，表扬画得比拟标准的同学.②从列表和描点中，体会图象关于y轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和进展趋势.误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形。

误区三:无视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延长，而并非到某些点停顿.二次函数的图像与性质的数学教案篇2一学习目标1、把握二次函数的图象及性质；2、会用二次函数的图象与性质解决问题；学习重点：二次函数的性质；学习难点：二次函数的性质与图像的应用；二学问点回忆：函数的性质函数函数图象a0a0性质三典型例题：例 1：已知是二次函数，求m的值例 2：（1）已知函数在区间上为增函数，求a的范围；（2）知函数的单调区间是，求a；例 3：求二次函数在区间[0，3]上的最大值和最小值；变式：（1）已知在[t，t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。

2．3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时二次函数与一元二次方程、不等式学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点二一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c 的零点．知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x≠－b2aRax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅预习小测自我检验1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号) 答案 ②④解析 一定是一元二次不等式的为②④. 2．不等式x (2－x )>0的解集为________． 答案 {x |0<x <2}解析 原不等式可化为x (x －2)<0，∴0<x <2. 3．不等式4x 2－9<0的解集是________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <32 解析 原不等式可化为x 2<94，即－32<x <32.4．已知一元二次不等式ax 2＋2x －1<0的解集为R ，则a 的取值范围是________． 答案 {a |a <－1} 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4＋4a <0，∴a <－1.一、解不含参数的一元二次不等式 例1 解下列不等式： (1)－x 2＋5x －6>0； (2)3x 2＋5x －2≥0； (3)x 2－4x ＋5>0.解 (1)不等式可化为x 2－5x ＋6<0.因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x 2－5x ＋6＝0有两个实数根：x 1＝2，x 2＝3. 由二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x |2<x <3}．(2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0，所以方程3x 2＋5x －2＝0的两实根为x 1＝－2，x 2＝13.由二次函数y ＝3x 2＋5x －2的图象(图②)，得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－2或x ≥13. (3)方程x 2－4x ＋5＝0无实数解，函数y ＝x 2－4x ＋5的图象是开口向上的抛物线，与x 轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R .反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤第一步：把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正，右边为0的形式)；第二步：求Δ＝b 2－4ac ；第三步：若Δ<0，根据二次函数图象直接写出解集；若Δ≥0，求出对应方程的根写出解集． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)4x 2－4x ＋1>0； (2)－x 2＋6x －10>0.解 (1)∵方程4x 2－4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝12.作出函数y ＝4x 2－4x ＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠12.(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅.二、三个“二次”间的关系及应用例2 已知二次函数y ＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，且y >0的解集为{x |－3<x <2}． (1)求二次函数的解析式；(2)当关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R 时，求c 的取值范围． 解 (1)因为y >0的解集为{x |－3<x <2}，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－b －8a，－3×2＝－a －aba，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，所以y ＝－3x 2－3x ＋18.(2)因为a ＝－3<0，所以二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512.所以当c ≤－2512时，－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R .反思感悟 三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式． 跟踪训练2 已知关于x 的不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12. (1)求a ，c 的值；(2)解关于x 的不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0.解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根为13和12，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＝13＋12，c a ＝12×13，解得a ＝－6，c ＝－1.(2)由a ＝－6，c ＝－1知不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0可化为－6x 2＋8x －2≥0，即3x 2－4x ＋1≤0，解得13≤x ≤1，所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤1. 三、含参数的一元二次不等式的解法例3 设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.解 (1)当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}． (2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a.①当a <－12时，解不等式得－1a<x <2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x <2；②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a或x >2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1a 或x >2. 反思感悟 解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． 跟踪训练3 (1)当a ＝12时，求关于x 的不等式x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集；(2)若a >0，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集．解 (1)当a ＝12时，有x 2－52x ＋1≤0，即2x 2－5x ＋2≤0，解得12≤x ≤2，故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤2. (2)x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1≤0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －a )≤0，①当0<a <1时，a <1a ，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ≤x ≤1a； ②当a ＝1时，a ＝1a＝1，不等式的解集为{1}；③当a >1时，a >1a，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1a≤x ≤a. 综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ≤x ≤1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为{1}；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a≤x ≤a.1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅ D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝－13 答案 D解析 原不等式可化为(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.2．如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a等于( ) A ．－81 B ．81 C ．－64 D ．64 答案 B解析 不等式x 2<ax ＋b 可化为x 2－ax －b <0， 其解集是{x |1<x <3}，那么，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝a ，1×3＝－b ，解得a ＝4，b ＝－3；所以b a＝(－3)4＝81.故选B. 3．不等式x 2－2x >0的解集是( ) A ．{x |x ≥2或x ≤0} B ．{x |x >2或x <0} C ．{x |0≤x ≤2} D ．{x |0<x <2}答案 B解析 解x 2－2x >0，即x (x －2)>0， 得x >2或x <0，故选B.4．不等式x 2－3x －10<0的解集是________． 答案 {x |－2<x <5}解析 由于x 2－3x －10＝0的两根为－2,5，故x 2－3x －10<0的解集为{x |－2<x <5}．5．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解，则m 的取值范围是________________． 答案 {m |m ≥9或m ≤1}解析 由方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解， ∴Δ＝(m －3)2－4m ≥0， 即m 2－10m ＋9≥0， ∴(m －9)(m －1)≥0， ∴m ≥9或m ≤1.1．知识清单：解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的简图； ③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 2．方法归纳：数形结合，分类讨论．3．常见误区：当二次项系数小于0时，需两边同乘－1，化为正的．1．(2019·全国Ⅰ)已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－4<x <3} B ．{x |－4<x <－2} C ．{x |－2<x <2} D ．{x |2<x <3}答案 C解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}， ∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C.2．若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎪⎫x －1m <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m <x <m B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1m 或x <m C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >m 或x <1m D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m <x <1m 答案 D解析 ∵0<m <1，∴1m>1>m ，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m <x <1m ，故选D. 3．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，如果a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3} D ．{x |－3<x <2}答案 C解析 由题意知－2＋3＝－ba ，－2×3＝c a， ∴b ＝－a ，c ＝－6a ，∴不等式ax 2＋bx ＋c >0可化为ax 2－ax －6a >0， 又a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0， ∴－2<x <3，故选C.4．若不等式5x 2－bx ＋c <0的解集为{x |－1<x <3}，则b ＋c 的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．－25 D ．10 答案 B解析 由题意知－1,3为方程5x 2－bx ＋c ＝0的两根， ∴－1＋3＝b 5，－3＝c5，∴b ＝10，c ＝－15，∴b ＋c ＝－5.故选B.5．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．{m |m ≤－2或m ≥2} B ．{m |－2≤m ≤2} C ．{m |m <－2或m >2} D ．{m |－2<m <2}答案 B解析 ∵x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ， ∴Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2，故选B. 6．不等式x 2－4x ＋4≤0的解集是________． 答案 {2}解析 原不等式可化为(x －2)2≤0，∴x ＝2. 7．不等式x 2＋3x －4<0的解集为________． 答案 {x |－4<x <1}解析 易得方程x 2＋3x －4＝0的两根为－4,1，所以不等式x 2＋3x －4<0的解集为{x |－4<x <1}．8．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m<x <2，则m 的取值范围是________． 答案 {m |m <0}解析 ∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m <x <2，∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0，∴m 的取值范围是m <0.9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B . (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集． 解 (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3， ∴A ＝{x |－1<x <3}． 由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，∴B ＝{x |－3<x <2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴－x 2＋x －2<0，∴x 2－x ＋2>0， ∵Δ＝1－8＝－7<0，∴不等式x 2－x ＋2>0的解集为R .10．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0； (2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?解 (1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0， 解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0， 若此不等式解集为R ，则Δ＝b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.11．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1. 其中解集为R 的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 C解析 ①显然不可能；②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R ； ③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化为2x 2－3x ＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.12．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( ) A ．{x |0<x <2} B ．{x |－2<x <1} C ．{x |x <－2或x >1} D ．{x |－1<x <2}答案 B解析 根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)， 又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0， 故不等式的解集是{x |－2<x <1}．13．若关于x 的方程(a －2)x 2－2(a －2)x ＋1＝0无实数解，则a 的取值范围是________． 答案 2≤a <3解析 若a －2＝0，即a ＝2时，原方程为1＝0不合题意， ∴a ＝2满足条件，若a －2≠0，则Δ＝4(a －2)2－4(a －2)<0， 解得2<a <3，综上有a 的取值范围是2≤a <3.14．已知不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对∀x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 {a |－1≤a ≤4}解析 x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4≥a 2－3a 恒成立， ∴a 2－3a ≤4，即a 2－3a －4≤0， ∴(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4.15．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a －1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________． 答案 32解析 原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54， 所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32. 16．已知不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.解 ∵ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立．当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上，0≤a ≤1.由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0.∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ，即0≤a <12时，a <x <1－a ； ②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解； ③当1－a <a ，即12<a ≤1时，1－a <x <a . 综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为{x |a <x <1－a }；当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为{x |1－a <x <a }．。

y=x 的图像和性质教案篇一：26.2.3y=a(x-h)2的图象和性质(教案)26.2.2二次函数y=a(x-h)2的图象与性质【教学目标】1.知道二次函数y?a(x?h)2与y?ax2的图象之间的关系；2.能说出二次函数y?a(x?h)2的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解其增减性；【教学重点】掌握二次函数y?a(x?h)2的图象特点及其性质。

【教学难点】灵活运用y?a(x?h)2类型函数的性质解决问题。

【多媒体准备】课件【教学过程】篇二：二次函数的图像和性质教案教学过程一、课堂导入同学首先在演算本上画出一次函数y=x+1的图像，利用列表、描点、连线的方式，然后使用同样的方法画出y＝2x2的图像，并根据图像谈论他的性质.二、复习预习二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.三、知识讲解考点1形如：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）那么y叫做x的二次函数，它常用的三种基本形式。

一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0）交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0，x1、x2是图象与x轴交点的横坐标）考点2二次函数的图象与性质二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象是以（?b4ac?b2b,）为顶点，以直线y＝?为对称轴的抛物线。

2a2a4abb时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x＞?2a2a在a ＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，即x＜?时，y随着x的增大而增大。

在a＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，即x＜?＞?b时，y随着x的增大而减小。

2ab时，y随着x的增大而增大。

在对称轴的右侧，即当x2a篇三：《二次函数y=ax 的图象和性质》参考教案22.1.2二次函数y?ax2的图象和性质教学目标1．知识与技能能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质2．过程与方法经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法.3．情感、态度与价值观在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感．教学重点难点1．重点函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质．2．难点用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征．教与学互动设计（一）创设情境导入新课导语一回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？导语二展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？导语三用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？（二）合作交流解读探究1．函数y=ax2的图象画法及相关名称【探究l】画y=x2的图象学生动手实践、尝试画y=x2的图象教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图22-1-1.【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下：①形状是开口向上的抛物线②图象关于y轴对称③由最低点，没有最高点.结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.图22-1-1图22-1-22．函数y=ax2的图象特征及其性质【探究2】在同一坐标系中，画出y=12x，y=2x2的图象.2学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图22-1-2比较图中三个抛物线的异同.相同点：①顶点相同，其坐标都为（0，0）.②对称轴相同，都为y 轴③开口方向相同，它们的开口方向都向上.不同点：开口大小不同.【练一练】画函数y=-x2，y=-施过程）比较函数y=-x2，y=-12x，y=-2x2的图象.找出它们的异同点.212x，y=-2x2的图象.（分析：仿照探究1的实2相同点：①形状都是抛物线.②顶点相同，其坐标都为（0，0）.③对称轴相同，都为y轴④开口方向相同，它们的开口方向都向下.不同点：开口大小不同.【归纳】y=ax2的图象特征：(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a(3)|a|越大，抛物线y==ax2的开口越小（三）应用迁移巩固提高类型之一如何画好二次函数的图象【点拨】画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行.①列表、取值；②描点；③连线但初学者对三个步骤，易犯下列错误，注意避免. 【易错点1】表格中，取值过多或过少.画函数y=ax2图象,取对应值时，一般5组或7组有代表性的对应值即可.．．．【易错点2】连线不是光滑曲线，有的用折线，有的画的过渡不自然，不象抛物线.例1下图是甲、乙、丙三人画得二次函数y=2x2的图象.请你帮助修改.解：图甲中有两个错误的地方.①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连接.②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止.修改见图甲中虚线.图乙中有一个错误，其中有一个点（1，-2）的位置画错.（或表格中对应值算错）修改见图乙中虚线.图丙种错误是x的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性.修改见图丙中虚线.【点评】此三类错误是初学者应注意的三个方面，以后的练习中，应提醒大家注意.类型之二函数y=ax2的图象特征的应用例2（1）填空：函数y?()2的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是. 1（2）函数y=x2，y=x2，y=-2x2图象如图所示，请指出三条抛物线的名称.2解：（1）y?()2可化为y=2x2.它的图象是抛物线，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，开口方向向上.【点评】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.(2)根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，最上面的抛物线为y=x2，中间的为y=12x，x轴下方的为y=-2x22【点评】抛物线y=ax2中a>0时，开口向上.a（四）总结反思拓展升华【总结】1.本节所学知识：①二次函数y=ax2的图象的画法.②二次函数y=ax2的图象特征及其性质.2.本节所用的方法：实践比较法【反思】函数y=ax2与y=-ax2的图象之间有何关系？（它们关于x 轴对称）【拓展】已知函数y=ax2经过(1,2).（1）求a的值.（2）当x(2)根据函数y=2x2知x【点评】①通常用待定系数法函数y=ax2中只有一个待定系数a,故知道其图象上一点坐标或x，y的一组对应值就可求出解析式.②结合图象知：x（五）当堂检测反馈1.抛物线y=4x2中的开口方向是向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴.抛物线y=-对称轴是y轴.2.二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a=2.【分析】a与-2互为相反数13.在同一坐标系中：①y=x2，②y=-x2，③y=2x2这三个函数图象开口最大212x的开口方向是向下，顶点坐标是（0，0），4的是①y?12x2，开口向下的是②y=-x21解：∵||2∵函数y=-x2中，二次项系数为-114.二次函数y=2x2，y=-2x2，y=x22点（0，0）；②对称轴相同，都是y轴.5．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过(-3,2).求此抛物线的解析式，并指出x>0时，y随x的变化情况.解：设此抛物线的解析式为y=ax2,∵此抛物线过点（-3，2），∴2=a·(-3)2,即a=22,.∴y=x2,∴当x>0时，y随x的增大而增大.99篇四：《二次函数y=ax 的图象和性质》教学设计《二次函数y=ax2的图象与性质》教学设计一、教学分析（一）教学内容分析本节课为沪科版九年级数学第22章第二节的内容，学习二次函数y=ax2的图象与性质.这是学习一次函数的延续，是对函数内容的再认识，也是学生理解二次函数定义，建立二次函数模型的后续学习.它既是前面函数学习的一次升华，又是后续的y=ax2+bx+c的性质和二次函数应用学习顺利进行的保证，还是学生升入高一级学校学习函数的基础，具有承上启下的作用，因此该内容在教材中的地位十分重要. （二）教学对象分析学生在八年级上学期已经学习了函数及一次函数等内容，对函数已经有了初步的认识.学生通过从特殊到一般的数学研究方法，先学习y?ax2这一最简单的二次函数图象与性质，再进一步研究y?ax2?bx?c(a?0)的图象与性质，可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法.由于学生在认知方式、动手能力、语言表达和思维方式等方面存在差异，教师要及时了解并尊重学生的个体差异.教学中要多鼓励学生，对学有困难的学生要及时给予帮助和指导，让他们敢于发表自己的见解，丰富教学活动的经验，发展数学能力. （三）教学环境分析充分利用优质的教学资源，尽量采用现代教育技术手段，用计算机展示函数的图象，形象显示图形的变化与联系，提高教学效果与质量.二、教学目标（一）知识与技能1．能够利用描点法作出二次函数y=x2的图象，并能根据图象总结和理解二次函数y=x2的性质；12．能作出y=-x2,y??x2和y=2x2的图象，并比较它们与y=x2的图象的异同，初步体2会二次函数关系式与图象之间的联系；3．能根据二次函数y=x2的图象，探索二次函数的性质（开口方向、对称轴、顶点坐标）.（二）过程与方法1．经历探索二次函数y=x2的图象和性质的过程，获得用图象研究函数性质的经验；2．由二次函数y=x2的图象及性质类比地学习二次函数y=-x2的图象及性质，并能比较它们的异同点，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法，发展学生的求同求异思维.（三）情感态度与价值观1．通过探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解；2．在利用图象讨论二次函数的性质时，尽可能多地合作交流，以便能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质.三、教学重点难点（一）教学重点作出二次函数y?ax2的图象，并根据图象观察分析出二次函数y?ax2的性质.（二）教学难点经历探索二次函数y=x2的图象的作法与性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.并把这种经验运用于研究二次函数y?ax2的图象与性质方面，实现“探索―经验―运用”的思维过程.四、教学过程篇五：22.1.2二次函数y=ax2图像与性质教案21竭诚为您提供优质文档/双击可除23。

二次函数的图像说课稿（精选6篇）二次函数的图像说课稿 1尊敬的各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的题目是《二次函数的图像》，这是北师大版必修1第二章的第四节课。

下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”、“为什么这样教？”三个问题，从教材内容、教法学法、教学过程这三个方面逐一分析说明。

一、教材内容分析：１、本节课内容在整个教材中的地位和作用。

概括地讲，二次函数的图像在教材中起着承上启下的作用，它的地位体现在它的思想的基础性。

一方面，本节课是对初中有关内容的深化，为后面进一步学习二次函数的性质打下基础；另一方面，二次函数解析式中的系数由常数转变为参数，使学生对二次函数的图像由感性认识上升到理性认识，能培养学生利用数形结合思想解决问题的能力。

2、教学目标定位。

根据教学大纲要求、新课程标准精神和高一学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标。

第一个层面是基础知识与能力目标：理解二次函数的图像中a、b、c、k、h的作用，能熟练地对二次函数的一般式进行配方，会对图像进行平移变换，领会研究二次函数图像的方法，培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力；第二个层面是过程和方法：让学生经历作图、观察、比较、归纳的学习过程，使学生掌握类比、化归等数学思想方法，养成即能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯；第三个层面是情感、态度和价值观：在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。

3、教学重难点。

重点是二次函数各系数对图像和形状的影响，利用二次函数图像平移的特例分析过程，培养学生数形结合的思想和划归思想。

难点是图像的平移变换，关键是二次函数顶点式中h、k的正负取值对函数图像平移变换的影响。

二、教法学法分析：数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，感受数学的自然美。

初中数学教案：二次函数的性质与图像一、二次函数的基本性质二次函数是指形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c分别为实数且a≠0。

在初中数学中，学习二次函数的性质和图像是非常重要的内容，掌握了这些基本知识后能够更好地理解和应用二次函数。

1. 首先是关于二次函数的开口方向。

通过观察函数的系数a可以判断其开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口朝上；当a<0时，二次函数的图像开口朝下。

这个特点可以通过对比正负值来判断。

2. 其次是关于二次函数的顶点。

顶点是二次函数图像上最高或最低点的坐标，在解析式中可以通过完成平方项得到。

顶点坐标表达形式为(-b/2a, f(-b/2a))或者(xv, yv)，其中xv=-b/2a为顶点横坐标，yv=f(xv)为纵坐标。

3. 还有关于二次函数的对称轴。

对称轴是指经过顶点并与抛物线相切或相交于一点（即x=xv）的某条直线，一般表示为x=xv。

在求出顶点后很容易确定对称轴的方程。

4. 最后是关于二次函数的零点。

零点是使得函数值为0的横坐标，即f(x)=0的解。

求解零点需要将二次函数设置为0，通过公式或者配方法求解出x的值，得到的结果一般有两个，表示抛物线与x轴交点。

二、二次函数图像的绘制了解了二次函数的基本性质后，我们可以通过这些性质来绘制出准确的二次函数图像。

1. 根据顶点和开口方向确定图像大致形状。

如果a>0，则开口朝上，在顶点上方开始从左到右逐渐增大；如果a<0，则开口朝下，在顶点下方开始从左到右逐渐减小。

2. 再通过计算找出顶点坐标和对称轴方程。

根据公式-xv=b/2a，可以求得顶点横坐标xv；然后将xv代入原始方程求得纵坐标yv；对称轴即为x=xv。

3. 找出零点（若存在）。

将函数设置为0，并使用公式或配方法求解出零点。

此时可以用一个特殊符号表示两个实数解。

4. 在坐标系中画出对称轴，并以对称轴为中心按照函数的开口方向分别标出顶点和零点。

高一数学教案二次函数的图形与性质（含最值）教材：二次函数的图形与性质〔含最值〕；苏大«教学与测试»第9课、«课课练»第十课。

目的： 复习二次函数的图形与性质，期望学生对二次函数y=ax 2+bx+c 的三个参数a,b,c 的作用及对称轴、顶点、开口方向和 △ 有更清晰的认识；同时对闭区间内的二次函数最值有所了解、把握。

过程：一、复习二次函数的图形及其性质 y=ax 2+bx+c (a ≠0)1．配方 a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫⎝⎛+= 顶点，对称轴2．交点：与y 轴交点〔0,c 〕与x 轴交点〔x 1,0〕〔x 2,0〕求根公式 a x x ∆=-213．开口4．增减情形〔单调性〕 5．△的定义二、图形与性质的作用 处理苏大«教学与测试»第九课例题：«教学与测试»P17-18例一至例三 略 三、关于闭区间内二次函数的最值咨询题结合图形讲解： 突出如下几点： 1．必须是〝闭区间〞 a 1≤x ≤a 22．关键是〝顶点〞是否在给定的区间内；3．次之，还必须结合抛物线的开口方向，〝顶点〞在区间中点的左侧依旧右侧综合判定。

处理«课课练» P20〝例题举荐〞中例一至例三 略 四、小结：1。

调二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0) 中三个〝参数〞的地位与作用。

我们实际上确实是利用这一点来处明白得决咨询题。

2。

于二次函数在闭区间上的最值咨询题应注意顶点的位置。

五、作业： «课课练»中 P21 6、7、8 «教学与测试» P18 5、6、7、8 及〝摸索题〞 x。

必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）教材分析本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》第１课时。

从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。

从思想层面看，本节课突出体现了数形结合思想。

同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。

学情分析学生在初中已经学习了一元一次不等式、一元二次方程和二次函数的相关知识，对不等式的性质有了初步了解，但因我校学生基础普遍较差，逻辑推理和抽象思维能力仍需提高，还需依赖具体形象的内容理解抽象的逻辑关系。

教学目的1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3.培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

教学重点一元二次不等式的解法教学难点理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系教学过程一、情境导入问题园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．由题意，得:（１２－x）x＞２０（０＜x＜１２）整理得x２－１２x＋２０＜０（０＜x＜１２）。

①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案。

思考：类比一元一次不等式，这个不等式有什么特点？能否给这类不等式起个名字，并写出它的一般形式？由此导出课题。

一元二次不等式的定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0 ，其中a，b，c均为常数，a≠0.思考：为什么要规定a≠0？二、探索新知探究1：回顾一次函数与一元一次方程、不等式的关系请学生画出一次函数y=2x-6的图象，并回答下列问题：1.函数y=2x-6与x轴的交点为；2.方程2x-6=0的根为；3.不等式2x-6>0的解为；4.不等式2x-6<0的解为；师生完成上述问题后小结：三个“一次”的关系。