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一元微积分与数学分析—常见函数的T aylor展开梅加强南京大学数学系如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.注意:f光滑并不意味着其T aylor展开收敛到自身.例如,考虑函数f(x)=e−1 x2(x=0),f(0)=0,则f在0处的各阶导数均为零,其Maclaurin展开恒为零.问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?定理1(T aylor公式系数的唯一性)设f在x0处n阶可导,且f(x)=nk=0a k(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0),则a k=1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n.证明.根据带Peano余项的T aylor公式,f(x)又可写为f(x)=nk=01k!f(k)(x0)(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0).如果令b k=a k−1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n,则两式相减可得nk=0b k(x−x0)k=o(x−x0)n(x→x0).首先,在上式中令x→x0即得b0=0.其次,上式两边除以x−x0,再令x→x0可得b1=0.这个过程可以继续,当等式两边除以(x−x0)k并令x→x0时就得到b k=0(0≤k≤n).T aylor展开的运算性质设f,g在x0=0处的Taylor展开分别为∞n=0a n x n,∞n=0b n x n,则(1)λf(x)+µg(x)的Taylor展开为∞n=0(λa n+µb n)x n,其中λ,µ∈R.(2)f(−x)的Taylor展开为∞n=0(−1)n a n x n;(3)f(x k)的Taylor展开为∞n=0a n x kn,其中k为正整数;(4)x k f(x)的Taylor展开为∞n=0a n x k+n,其中k为正整数;(5)f (x)的Taylor展开为∞n=1na n x n−1=∞n=0(n+1)a n+1x n;(6)x0f(t)d t的Taylor展开为∞n=0a nn+1x n+1;例子例11=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).1−x例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例2ln(1−x)=−∞n=1x nn=−x−x22−···−x nn−···,∀x∈[−1,1).(1)对数函数的展开证明.利用积分可得ln(1−x)=−xd t1−t=−x1+t+···+t n−1+t n1−td t=−x−x22−···−x nn−xt n1−td t.如果−1≤x<0,则xt n1−td t≤xt n d t=|x|n+1n+1→0;(n→∞)如果0≤x<1,则xt n1−td t≤11−xxt n d t=x n+1(1−x)(n+1)→0.(n→∞)由此即得(1).将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.例3arctan x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33+x55−x77+···,∀x∈[−1,1].(3)证明.利用积分可得arctan x=xd t1+t2=x−x33+x55+···+(−1)n−1x2n−12n−1+R n(x),其中余项R n(x)=(−1)nxt2n1+t2d t.当x∈[−1,1]时|R n(x)|≤|x|0t2n d t=|x|2n+12n+1→0(n→∞),这说明(3)式成立.特别地，取x=1,我们就重新得到了Leibniz公式π4=1−13+15−17+···.(Leibniz-Gregory)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)证明.e x的各阶导数仍为它自己,由Lagrange余项可得e x=n−1n=0x kk!+R n(x),R n(x)=eθxn!x n,其中θ∈(0,1).此时有如下估计|R n(x)|≤e|x||x|nn!→0(n→∞).这说明(4)式成立.例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)证明.利用sin x=cos x,cos x=−sin x可得sin(2k+1)(0)=(−1)k,sin(2k)(0)=0.由带Lagrange余项的T aylor公式可得sin x=x−x33!+x55!+···+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+(−1)n x2n+1cosθx(2n+1)!,(θ∈(0,1))当n→∞时余项趋于零.cos x的展开类似可得.。
一元微积分与数学分析—凸函数梅加强南京大学数学系导数是函数的变化率.对于质点的位移函数来说,一阶导数表示质点的速度,二阶导数表示加速度.在物理中,二阶导数反映的是作用力或作用强度;导数是函数的变化率.对于质点的位移函数来说,一阶导数表示质点的速度,二阶导数表示加速度.在物理中,二阶导数反映的是作用力或作用强度;在几何中,二阶导数反映的是曲率或几何对象的弯曲程度.以函数图像为例,反映其弯曲性质的有所谓的凸凹性.导数是函数的变化率.对于质点的位移函数来说,一阶导数表示质点的速度,二阶导数表示加速度.在物理中,二阶导数反映的是作用力或作用强度;在几何中,二阶导数反映的是曲率或几何对象的弯曲程度.以函数图像为例,反映其弯曲性质的有所谓的凸凹性.定义1(凸函数)设f为区间I中定义的函数.如果任给a=b∈I以及t∈(0,1),均有fta+(1−t)b≤tf(a)+(1−t)f(b),(1)则称f为I中的凸函数,不等号反向时称为凹函数.不等号为严格小于号时称为严格凸函数,不等号为严格大于号时称为严格凹函数.凸性的几何含义yf(x)ℓ(x)a bO x图1:凸函数注1凸函数的几何形象是很直观的:它的图像总是位于满足同样边界条件的线性函数图像的下方.事实上,满足条件 (a)=f(a), (b)=f(b)的线性函数可以表示为(x)=b−xb−af(a)+x−ab−af(b),于是(1)可以表示为f(x)≤ (x),∀x∈(a,b).(2)事实上,满足条件 (a)=f(a), (b)=f(b)的线性函数可以表示为(x)=b−xb−af(a)+x−ab−af(b),于是(1)可以表示为f(x)≤ (x),∀x∈(a,b).(2)命题1设f为区间I中定义的函数,我们有(1)如果f二阶可导且二阶导数处处非负,则f为凸函数.(2)反之,如果f为凸函数且在I的内点x0处二阶可导,则f (x0)≥0.证明.(1)任取a,b∈I,不妨设a<b.对函数f− 在[a,b]中应用“极值和最值”那一单元例3即可.(2)由x0为内点可知,存在δ>0,使得(x0−δ,x0+δ)⊂I.当h∈(−δ,δ)时,记g(h)=[f(x0+h)+f(x0−h)]/2.如果f为凸函数,则由x0=(x0−h)/2+(x0+h)/2以及(1)可知h=0是g的最小值点.由“极值和最值”那一单元推论1可知g (x0)≥0.另一方面,g (x0)=f (x0),因此f (x0)≥0.证明.(1)任取a,b∈I,不妨设a<b.对函数f− 在[a,b]中应用“极值和最值”那一单元例3即可.(2)由x0为内点可知,存在δ>0,使得(x0−δ,x0+δ)⊂I.当h∈(−δ,δ)时,记g(h)=[f(x0+h)+f(x0−h)]/2.如果f为凸函数,则由x0=(x0−h)/2+(x0+h)/2以及(1)可知h=0是g的最小值点.由“极值和最值”那一单元推论1可知g (x0)≥0.另一方面,g (x0)=f (x0),因此f (x0)≥0.Y oung不等式回顾.指数函数e x的二阶导数恒正,因此为(严格)凸函数.当a,b>0,p,q>1且1/p+1/q=1时,有ab=e1p ln a p+1q ln b q≤1pe ln a p+1qe ln b q=a pp+b qq.Jensen不等式定理1(Jensen不等式)设f是区间I中的凸函数.任给{x i}ni=1⊂I,当λi≥0且ni=1λi=1时,均有fni=1λi x i≤ni=1λi f(x i).(3)定理1(Jensen不等式)设f是区间I中的凸函数.任给{x i}ni=1⊂I,当λi≥0且ni=1λi=1时,均有fni=1λi x i≤ni=1λi f(x i).(3)证明.对n用数学归纳法.n=1是显然的,n=2由凸函数定义直接得到.假设不等式(3)对n=k成立.当n=k+1时,不妨设0<λk+1<1,此时k i=1λi1−λk+1=1.证明(续).由归纳假设,有fk+1i=1λi x i=f(1−λk+1)ki=1λi1−λk+1x i+λk+1x k+1≤(1−λk+1)fki=1λi1−λk+1x i+λk+1f(x k+1)≤(1−λk+1)ki=1λi1−λk+1f(x i)+λk+1f(x k+1) =k+1i=1λi f(x i).这说明不等式对n=k+1也成立,从而定理得证.例1设a1,···,a n>0,p i≥0且ni=1p i=1,证明加权算术–几何平均值不等式:p1a1+···+p n a n≥a p11a p22···a p n n.例1设a1,···,a n>0,p i≥0且ni=1p i=1,证明加权算术–几何平均值不等式:p1a1+···+p n a n≥a p11a p22···a p n n.证明.考虑函数f(x)=−ln x(x>0).由f (x)=x−2>0可知f为(严格)凸函数.根据Jensen不等式,当a1,···,a n>0时−ln(p1a1+···+p n a n)≤−(p1ln a1+p2ln a2+···+p n ln a n),即p1a1+···+p n a n≥a p11a p22···a p n n.当p i都等于1/n时就重新得到了算术–几何平均值不等式.设P=(c,d)为平面上的一个固定点.考虑X轴上的点到P的距离函数,它可以表示为ρ(x)=(x−c)2+d2,x∈R.设P=(c,d)为平面上的一个固定点.考虑X轴上的点到P的距离函数,它可以表示为ρ(x)=(x−c)2+d2,x∈R.我们来说明ρ(x)为凸函数.当P落在X轴上时,d=0,ρ(x)=|x−c|,此时显然ρ(x)是凸函数.设P=(c,d)为平面上的一个固定点.考虑X轴上的点到P的距离函数,它可以表示为ρ(x)=(x−c)2+d2,x∈R.我们来说明ρ(x)为凸函数.当P落在X轴上时,d=0,ρ(x)=|x−c|,此时显然ρ(x)是凸函数.O c|x−c|图2:绝对值函数的凸性下设d =0.对ρ(x )求导可得ρ (x )=d 2 (x−c )2+d 2 −3/2,这说明ρ(x )为严格凸函数.特别地,ρ (a +b )/2 ≤[ρ(a )+ρ(b )]/2.下设d =0.对ρ(x )求导可得ρ (x )=d 2 (x−c )2+d 2 −3/2,这说明ρ(x )为严格凸函数.特别地,ρ (a +b )/2 ≤[ρ(a )+ρ(b )]/2. 考虑平面上以P ,(a ,0),(b ,0)为顶点的三角形.上式可以解释为从P 出发的中线的长度不超过从P 出发的两条边的长度之和的一半.下设d =0.对ρ(x )求导可得ρ (x )=d 2 (x−c )2+d 2 −3/2,这说明ρ(x )为严格凸函数.特别地,ρ (a +b )/2 ≤[ρ(a )+ρ(b )]/2. 考虑平面上以P ,(a ,0),(b ,0)为顶点的三角形.上式可以解释为从P 出发的中线的长度不超过从P 出发的两条边的长度之和的一半.P =(c,d )a b O xy 图3:中线长度与距离函数的凸性。
数学分析（一元微积分）考试大纲考查内容第一章 数列极限(一) 数列极限的定义数列极限的N -ε定义；会用“N -ε语言”证明数列的极限存在。
(二) 收敛数列的性质收敛数列的性质，运用收敛数列的四则运算法则计算数列的极限。
(三) 数列极限存在的条件会用单调有界原理和柯西收敛准则证明某些极限问题。
第二章 函数极限(一) 函数极限概念会用“A x f x =∞→)(lim 的ε-X 定义” 和“A x f x x =→)(lim 0的ε-δ定义”证明简单函数的极限。
（二）函数极限的性质运用函数极限的四则运算法则计算函数的极限。
(三) 函数极限存在的条件（1）归结原则；（2）柯西收敛准则。
(四) 两个重要的极限利用两个重要极限求极限的方法。
(五) 无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量的性质和关系，无穷小量的比较。
用无穷小量和无穷大量求极限。
第三章 函数的连续性(一) 连续性概念函数在一点的连续性，用定义证明函数在一点连续，间断点及其分类。
(二) 连续函数的性质连续函数的局部性质，闭区间上连续函数的基本性质。
用连续函数求极限。
(三) 初等函数的连续性证明基本初等函数在定义域内连续，判断初等函数间断点的类型。
第四章导数与微分(一) 导数的概念导数的定义，导数的几何意义。
会求曲线切线的斜率。
（二）求导法则导数的四则运算，会用各种求导法则计算初等函数的导数。
(二)参变量函数的导数参变量函数的导数的定义、几何意义；会求参变量函数所确定函数的导数。
(三)高阶导数高阶导函数的概念。
高阶导数的计算。
(四)微分微分概念、微分的几何意义，导数与微分的关系。
第五章微分中值定理及其应用(一) 拉格朗日定理和函数单调性罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的内容、几何意义。
用拉格朗日中值定理证明函数的单调性，证明某些恒等式和不等式。
(二)柯西中值定理和不定式极限柯西中值定理的内容, 用柯西中值定理证明某些带中值的等式。
会求不定式极限。
(三)泰勒公式泰勒定理的实质。
一元微积分微积分是数学中最重要的分支之一，它被广泛应用于自然科学、工程学、经济学、金融学等领域。
在微积分中，学生学习如何利用极限、导数、积分等概念来解决许多与连续变量相关的问题。
本篇文章将重点介绍一元微积分的基本概念和应用。
一、导数导数是微积分中最基础的概念之一。
在数学中，导数可以理解为函数在某点处的斜率。
更准确地说，函数f(x)在点x_0处的导数定义为：f'(x_0) = lim_(h->0) [f(x_0 + h) - f(x_0)] / h.其中，"lim"是取极限的符号，"h"是一个趋近于零的数，表示x_0点向左或向右的距离。
当h足够小的时候，我们可以近似地认为f(x_0+h)和f(x_0)之间的差值和f'(x_0)之间的比率相等。
这个比率称为斜率，它在概念上等于函数f(x)在x_0处的导数。
导数有许多有用的性质，其中最常见的是导数的求导法则。
其中包括：常数法则、幂法则、求和法则和乘积法则。
这些规则使得求导变得更加容易和直观化。
二、微分微分是导数的一种表达方式。
函数f(x)的微分df(x)定义为：df(x) = f'(x) dx,其中dx是一个无穷小的微小量，它表示x轴上的一个非常小的增量。
微分可以用来求解函数的局部变化和线性逼近等问题。
三、积分积分是微积分中的另一个核心概念。
在数学中，积分可以看作是导数的反运算。
给定一条导数，我们可以通过积分来求出原函数。
也就是说，积分可以通过对导数反复求积来追溯函数的起源。
积分的符号表示为∫，读作“积分”。
它的基本形式为：∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
函数f(x)的积分可以看作是将函数曲线下面的面积求和。
这个面积可以通过求和近似，也可以通过解析方法解决。
四、微积分的应用微积分是一门广泛应用的数学科目。
它可以用来解决许多与连续变量相关的问题。
以下是微积分的一些常见应用：1. 切线和曲率微积分可以用来计算给定点上曲线的切线和曲率。
一元微积分与数学分析—简单立体图形的体积梅加强南京大学数学系问题1:怎样得出球体的体积公式?问题1:怎样得出球体的体积公式? 这是古代学者非常关注的问题.问题1:怎样得出球体的体积公式?这是古代学者非常关注的问题.阿基米德(前287年-前212年)发现了杠杆定律，利用它得出球的体积公式.问题1:怎样得出球体的体积公式?这是古代学者非常关注的问题.阿基米德(前287年-前212年)发现了杠杆定律，利用它得出球的体积公式.刘徽(约公元225年-公元295年)指出《九章算术》中球的体积公式是错误的,但他也未能得出准确的公式.问题1:怎样得出球体的体积公式?这是古代学者非常关注的问题.阿基米德(前287年-前212年)发现了杠杆定律，利用它得出球的体积公式.刘徽(约公元225年-公元295年)指出《九章算术》中球的体积公式是错误的,但他也未能得出准确的公式.祖暅(祖冲之的儿子)完成了刘徽的心愿,他提出“祖暅原理”,比意大利人Cavalieri早1100年.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是指水平截面的面积,“势”是指几何体的高.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是指水平截面的面积,“势”是指几何体的高.意思是两个等高的几何体,若其任意等高处的水平截面积相等,则这两个几何体的体积相等.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是指水平截面的面积,“势”是指几何体的高.意思是两个等高的几何体,若其任意等高处的水平截面积相等,则这两个几何体的体积相等.祖暅原理也可以这样理解:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是指水平截面的面积,“势”是指几何体的高.意思是两个等高的几何体,若其任意等高处的水平截面积相等,则这两个几何体的体积相等.祖暅原理也可以这样理解:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.比如,取一摞书或一叠纸堆放在水平桌面上,然后用手推一下以改变其形状,这时高度没有改变,每页纸张的面积也没有改变,因而这摞书或纸张的体积与变形前相等.祖暅原理Ωa bzx OyΩAΩB图1:简单立体图形设Ω为R3中一块立体区域,夹在平面x=a与x=b(a<b)之间.记S(x)为x∈[a,b]处垂直于x轴的平面截Ω的截面面积函数.如果S(x)关于x连续,则Ω的体积为bS(x)dx.(1)V=a设Ω为R3中一块立体区域,夹在平面x=a与x=b(a<b)之间.记S(x)为x∈[a,b]处垂直于x轴的平面截Ω的截面面积函数.如果S(x)关于x连续,则Ω的体积为bV=S(x)dx.(1)a特别地,如果两块区域ΩA和ΩB的截面面积函数相等,则其体积相同.这个事实在公元5到6世纪由祖暅所发现,17世纪时意大利人Cavalieri也发现了这一事实.设Ω为R3中一块立体区域,夹在平面x=a与x=b(a<b)之间.记S(x)为x∈[a,b]处垂直于x轴的平面截Ω的截面面积函数.如果S(x)关于x连续,则Ω的体积为V=baS(x)dx.(1)特别地,如果两块区域ΩA和ΩB的截面面积函数相等,则其体积相同.这个事实在公元5到6世纪由祖暅所发现,17世纪时意大利人Cavalieri也发现了这一事实.例1求椭球体x2a2+y2b2+z2c2≤1的体积.O abc xyz图2:椭球O abc xyz图2:椭球O abc xyz图2:椭球解.固定x∈(−a,a),椭球的截面为椭圆面y2b2+z2c2≤1−x2a2,O abc xyz图2:椭球解.固定x∈(−a,a),椭球的截面为椭圆面y2b2+z2c2≤1−x2a2,截面面积为S(x)=πb1−x2/a212c1−x2/a212=πbc1−x2/a2,故椭球的体积为V=a−a S(x)d x=a−aπbc1−x2/a2d x=43πabc.旋转体的体积设f∈C0[a,b],Ω是由平面图形{(x,y)|a≤x≤b,0≤|y|≤|f(x)|}绕x轴旋转一周所得旋转体.设f∈C0[a,b],Ω是由平面图形{(x,y)|a≤x≤b,0≤|y|≤|f(x)|}绕x轴旋转一周所得旋转体.该旋转体在x处的截面为圆盘,其面积为S(x)=πf2(x).因此Ω的体积为V=ba S(x)d x=πbaf2(x)d x.设f∈C0[a,b],Ω是由平面图形{(x,y)|a≤x≤b,0≤|y|≤|f(x)|}绕x轴旋转一周所得旋转体.该旋转体在x处的截面为圆盘,其面积为S(x)=πf2(x).因此Ω的体积为V=ba S(x)d x=πbaf2(x)d x.|y|≤|f(x)|a bO xyz图3:旋转体rh Oxyz图4:圆锥体rh Oxyz图4:圆锥体rh O x yz图4:圆锥体例2求高为h,底半径为r 的圆锥体的体积.rh Ox yz图4:圆锥体例2求高为h,底半径为r 的圆锥体的体积.解.由上面的体积公式可得V =πh 0 r h x 2d x =13πr 2h .这跟我们熟知的公式一致.。
