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一元微积分与数学分析—常见函数的T aylor展开梅加强南京大学数学系如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.注意:f光滑并不意味着其T aylor展开收敛到自身.例如,考虑函数f(x)=e−1 x2(x=0),f(0)=0,则f在0处的各阶导数均为零,其Maclaurin展开恒为零.问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?定理1(T aylor公式系数的唯一性)设f在x0处n阶可导,且f(x)=nk=0a k(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0),则a k=1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n.证明.根据带Peano余项的T aylor公式,f(x)又可写为f(x)=nk=01k!f(k)(x0)(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0).如果令b k=a k−1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n,则两式相减可得nk=0b k(x−x0)k=o(x−x0)n(x→x0).首先,在上式中令x→x0即得b0=0.其次,上式两边除以x−x0,再令x→x0可得b1=0.这个过程可以继续,当等式两边除以(x−x0)k并令x→x0时就得到b k=0(0≤k≤n).T aylor展开的运算性质设f,g在x0=0处的Taylor展开分别为∞n=0a n x n,∞n=0b n x n,则(1)λf(x)+µg(x)的Taylor展开为∞n=0(λa n+µb n)x n,其中λ,µ∈R.(2)f(−x)的Taylor展开为∞n=0(−1)n a n x n;(3)f(x k)的Taylor展开为∞n=0a n x kn,其中k为正整数;(4)x k f(x)的Taylor展开为∞n=0a n x k+n,其中k为正整数;(5)f (x)的Taylor展开为∞n=1na n x n−1=∞n=0(n+1)a n+1x n;(6)x0f(t)d t的Taylor展开为∞n=0a nn+1x n+1;例子例11=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).1−x例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例2ln(1−x)=−∞n=1x nn=−x−x22−···−x nn−···,∀x∈[−1,1).(1)对数函数的展开证明.利用积分可得ln(1−x)=−xd t1−t=−x1+t+···+t n−1+t n1−td t=−x−x22−···−x nn−xt n1−td t.如果−1≤x<0,则xt n1−td t≤xt n d t=|x|n+1n+1→0;(n→∞)如果0≤x<1,则xt n1−td t≤11−xxt n d t=x n+1(1−x)(n+1)→0.(n→∞)由此即得(1).将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.例3arctan x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33+x55−x77+···,∀x∈[−1,1].(3)证明.利用积分可得arctan x=xd t1+t2=x−x33+x55+···+(−1)n−1x2n−12n−1+R n(x),其中余项R n(x)=(−1)nxt2n1+t2d t.当x∈[−1,1]时|R n(x)|≤|x|0t2n d t=|x|2n+12n+1→0(n→∞),这说明(3)式成立.特别地，取x=1,我们就重新得到了Leibniz公式π4=1−13+15−17+···.(Leibniz-Gregory)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)证明.e x的各阶导数仍为它自己,由Lagrange余项可得e x=n−1n=0x kk!+R n(x),R n(x)=eθxn!x n,其中θ∈(0,1).此时有如下估计|R n(x)|≤e|x||x|nn!→0(n→∞).这说明(4)式成立.例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)证明.利用sin x=cos x,cos x=−sin x可得sin(2k+1)(0)=(−1)k,sin(2k)(0)=0.由带Lagrange余项的T aylor公式可得sin x=x−x33!+x55!+···+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+(−1)n x2n+1cosθx(2n+1)!,(θ∈(0,1))当n→∞时余项趋于零.cos x的展开类似可得.。
一元微积分与数学分析—凸函数梅加强南京大学数学系导数是函数的变化率.对于质点的位移函数来说,一阶导数表示质点的速度,二阶导数表示加速度.在物理中,二阶导数反映的是作用力或作用强度;导数是函数的变化率.对于质点的位移函数来说,一阶导数表示质点的速度,二阶导数表示加速度.在物理中,二阶导数反映的是作用力或作用强度;在几何中,二阶导数反映的是曲率或几何对象的弯曲程度.以函数图像为例,反映其弯曲性质的有所谓的凸凹性.导数是函数的变化率.对于质点的位移函数来说,一阶导数表示质点的速度,二阶导数表示加速度.在物理中,二阶导数反映的是作用力或作用强度;在几何中,二阶导数反映的是曲率或几何对象的弯曲程度.以函数图像为例,反映其弯曲性质的有所谓的凸凹性.定义1(凸函数)设f为区间I中定义的函数.如果任给a=b∈I以及t∈(0,1),均有fta+(1−t)b≤tf(a)+(1−t)f(b),(1)则称f为I中的凸函数,不等号反向时称为凹函数.不等号为严格小于号时称为严格凸函数,不等号为严格大于号时称为严格凹函数.凸性的几何含义yf(x)ℓ(x)a bO x图1:凸函数注1凸函数的几何形象是很直观的:它的图像总是位于满足同样边界条件的线性函数图像的下方.事实上,满足条件 (a)=f(a), (b)=f(b)的线性函数可以表示为(x)=b−xb−af(a)+x−ab−af(b),于是(1)可以表示为f(x)≤ (x),∀x∈(a,b).(2)事实上,满足条件 (a)=f(a), (b)=f(b)的线性函数可以表示为(x)=b−xb−af(a)+x−ab−af(b),于是(1)可以表示为f(x)≤ (x),∀x∈(a,b).(2)命题1设f为区间I中定义的函数,我们有(1)如果f二阶可导且二阶导数处处非负,则f为凸函数.(2)反之,如果f为凸函数且在I的内点x0处二阶可导,则f (x0)≥0.证明.(1)任取a,b∈I,不妨设a<b.对函数f− 在[a,b]中应用“极值和最值”那一单元例3即可.(2)由x0为内点可知,存在δ>0,使得(x0−δ,x0+δ)⊂I.当h∈(−δ,δ)时,记g(h)=[f(x0+h)+f(x0−h)]/2.如果f为凸函数,则由x0=(x0−h)/2+(x0+h)/2以及(1)可知h=0是g的最小值点.由“极值和最值”那一单元推论1可知g (x0)≥0.另一方面,g (x0)=f (x0),因此f (x0)≥0.证明.(1)任取a,b∈I,不妨设a<b.对函数f− 在[a,b]中应用“极值和最值”那一单元例3即可.(2)由x0为内点可知,存在δ>0,使得(x0−δ,x0+δ)⊂I.当h∈(−δ,δ)时,记g(h)=[f(x0+h)+f(x0−h)]/2.如果f为凸函数,则由x0=(x0−h)/2+(x0+h)/2以及(1)可知h=0是g的最小值点.由“极值和最值”那一单元推论1可知g (x0)≥0.另一方面,g (x0)=f (x0),因此f (x0)≥0.Y oung不等式回顾.指数函数e x的二阶导数恒正,因此为(严格)凸函数.当a,b>0,p,q>1且1/p+1/q=1时,有ab=e1p ln a p+1q ln b q≤1pe ln a p+1qe ln b q=a pp+b qq.Jensen不等式定理1(Jensen不等式)设f是区间I中的凸函数.任给{x i}ni=1⊂I,当λi≥0且ni=1λi=1时,均有fni=1λi x i≤ni=1λi f(x i).(3)定理1(Jensen不等式)设f是区间I中的凸函数.任给{x i}ni=1⊂I,当λi≥0且ni=1λi=1时,均有fni=1λi x i≤ni=1λi f(x i).(3)证明.对n用数学归纳法.n=1是显然的,n=2由凸函数定义直接得到.假设不等式(3)对n=k成立.当n=k+1时,不妨设0<λk+1<1,此时k i=1λi1−λk+1=1.证明(续).由归纳假设,有fk+1i=1λi x i=f(1−λk+1)ki=1λi1−λk+1x i+λk+1x k+1≤(1−λk+1)fki=1λi1−λk+1x i+λk+1f(x k+1)≤(1−λk+1)ki=1λi1−λk+1f(x i)+λk+1f(x k+1) =k+1i=1λi f(x i).这说明不等式对n=k+1也成立,从而定理得证.例1设a1,···,a n>0,p i≥0且ni=1p i=1,证明加权算术–几何平均值不等式:p1a1+···+p n a n≥a p11a p22···a p n n.例1设a1,···,a n>0,p i≥0且ni=1p i=1,证明加权算术–几何平均值不等式:p1a1+···+p n a n≥a p11a p22···a p n n.证明.考虑函数f(x)=−ln x(x>0).由f (x)=x−2>0可知f为(严格)凸函数.根据Jensen不等式,当a1,···,a n>0时−ln(p1a1+···+p n a n)≤−(p1ln a1+p2ln a2+···+p n ln a n),即p1a1+···+p n a n≥a p11a p22···a p n n.当p i都等于1/n时就重新得到了算术–几何平均值不等式.设P=(c,d)为平面上的一个固定点.考虑X轴上的点到P的距离函数,它可以表示为ρ(x)=(x−c)2+d2,x∈R.设P=(c,d)为平面上的一个固定点.考虑X轴上的点到P的距离函数,它可以表示为ρ(x)=(x−c)2+d2,x∈R.我们来说明ρ(x)为凸函数.当P落在X轴上时,d=0,ρ(x)=|x−c|,此时显然ρ(x)是凸函数.设P=(c,d)为平面上的一个固定点.考虑X轴上的点到P的距离函数,它可以表示为ρ(x)=(x−c)2+d2,x∈R.我们来说明ρ(x)为凸函数.当P落在X轴上时,d=0,ρ(x)=|x−c|,此时显然ρ(x)是凸函数.O c|x−c|图2:绝对值函数的凸性下设d =0.对ρ(x )求导可得ρ (x )=d 2 (x−c )2+d 2 −3/2,这说明ρ(x )为严格凸函数.特别地,ρ (a +b )/2 ≤[ρ(a )+ρ(b )]/2.下设d =0.对ρ(x )求导可得ρ (x )=d 2 (x−c )2+d 2 −3/2,这说明ρ(x )为严格凸函数.特别地,ρ (a +b )/2 ≤[ρ(a )+ρ(b )]/2. 考虑平面上以P ,(a ,0),(b ,0)为顶点的三角形.上式可以解释为从P 出发的中线的长度不超过从P 出发的两条边的长度之和的一半.下设d =0.对ρ(x )求导可得ρ (x )=d 2 (x−c )2+d 2 −3/2,这说明ρ(x )为严格凸函数.特别地,ρ (a +b )/2 ≤[ρ(a )+ρ(b )]/2. 考虑平面上以P ,(a ,0),(b ,0)为顶点的三角形.上式可以解释为从P 出发的中线的长度不超过从P 出发的两条边的长度之和的一半.P =(c,d )a b O xy 图3:中线长度与距离函数的凸性。
数学分析（一元微积分）考试大纲考查内容第一章 数列极限(一) 数列极限的定义数列极限的N -ε定义；会用“N -ε语言”证明数列的极限存在。
(二) 收敛数列的性质收敛数列的性质，运用收敛数列的四则运算法则计算数列的极限。
(三) 数列极限存在的条件会用单调有界原理和柯西收敛准则证明某些极限问题。
第二章 函数极限(一) 函数极限概念会用“A x f x =∞→)(lim 的ε-X 定义” 和“A x f x x =→)(lim 0的ε-δ定义”证明简单函数的极限。
（二）函数极限的性质运用函数极限的四则运算法则计算函数的极限。
(三) 函数极限存在的条件（1）归结原则；（2）柯西收敛准则。
(四) 两个重要的极限利用两个重要极限求极限的方法。
(五) 无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量的性质和关系，无穷小量的比较。
用无穷小量和无穷大量求极限。
第三章 函数的连续性(一) 连续性概念函数在一点的连续性，用定义证明函数在一点连续，间断点及其分类。
(二) 连续函数的性质连续函数的局部性质，闭区间上连续函数的基本性质。
用连续函数求极限。
(三) 初等函数的连续性证明基本初等函数在定义域内连续，判断初等函数间断点的类型。
第四章导数与微分(一) 导数的概念导数的定义，导数的几何意义。
会求曲线切线的斜率。
（二）求导法则导数的四则运算，会用各种求导法则计算初等函数的导数。
(二)参变量函数的导数参变量函数的导数的定义、几何意义；会求参变量函数所确定函数的导数。
(三)高阶导数高阶导函数的概念。
高阶导数的计算。
(四)微分微分概念、微分的几何意义，导数与微分的关系。
第五章微分中值定理及其应用(一) 拉格朗日定理和函数单调性罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的内容、几何意义。
用拉格朗日中值定理证明函数的单调性，证明某些恒等式和不等式。
(二)柯西中值定理和不定式极限柯西中值定理的内容, 用柯西中值定理证明某些带中值的等式。
会求不定式极限。
(三)泰勒公式泰勒定理的实质。
一元微积分微积分是数学中最重要的分支之一，它被广泛应用于自然科学、工程学、经济学、金融学等领域。
在微积分中，学生学习如何利用极限、导数、积分等概念来解决许多与连续变量相关的问题。
本篇文章将重点介绍一元微积分的基本概念和应用。
一、导数导数是微积分中最基础的概念之一。
在数学中，导数可以理解为函数在某点处的斜率。
更准确地说，函数f(x)在点x_0处的导数定义为：f'(x_0) = lim_(h->0) [f(x_0 + h) - f(x_0)] / h.其中，"lim"是取极限的符号，"h"是一个趋近于零的数，表示x_0点向左或向右的距离。
当h足够小的时候，我们可以近似地认为f(x_0+h)和f(x_0)之间的差值和f'(x_0)之间的比率相等。
这个比率称为斜率，它在概念上等于函数f(x)在x_0处的导数。
导数有许多有用的性质，其中最常见的是导数的求导法则。
其中包括：常数法则、幂法则、求和法则和乘积法则。
这些规则使得求导变得更加容易和直观化。
二、微分微分是导数的一种表达方式。
函数f(x)的微分df(x)定义为：df(x) = f'(x) dx,其中dx是一个无穷小的微小量，它表示x轴上的一个非常小的增量。
微分可以用来求解函数的局部变化和线性逼近等问题。
三、积分积分是微积分中的另一个核心概念。
在数学中，积分可以看作是导数的反运算。
给定一条导数，我们可以通过积分来求出原函数。
也就是说，积分可以通过对导数反复求积来追溯函数的起源。
积分的符号表示为∫，读作“积分”。
它的基本形式为：∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
函数f(x)的积分可以看作是将函数曲线下面的面积求和。
这个面积可以通过求和近似，也可以通过解析方法解决。
四、微积分的应用微积分是一门广泛应用的数学科目。
它可以用来解决许多与连续变量相关的问题。
以下是微积分的一些常见应用：1. 切线和曲率微积分可以用来计算给定点上曲线的切线和曲率。
一元微积分与数学分析—简单立体图形的体积梅加强南京大学数学系问题1:怎样得出球体的体积公式?问题1:怎样得出球体的体积公式? 这是古代学者非常关注的问题.问题1:怎样得出球体的体积公式?这是古代学者非常关注的问题.阿基米德(前287年-前212年)发现了杠杆定律，利用它得出球的体积公式.问题1:怎样得出球体的体积公式?这是古代学者非常关注的问题.阿基米德(前287年-前212年)发现了杠杆定律，利用它得出球的体积公式.刘徽(约公元225年-公元295年)指出《九章算术》中球的体积公式是错误的,但他也未能得出准确的公式.问题1:怎样得出球体的体积公式?这是古代学者非常关注的问题.阿基米德(前287年-前212年)发现了杠杆定律，利用它得出球的体积公式.刘徽(约公元225年-公元295年)指出《九章算术》中球的体积公式是错误的,但他也未能得出准确的公式.祖暅(祖冲之的儿子)完成了刘徽的心愿,他提出“祖暅原理”,比意大利人Cavalieri早1100年.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是指水平截面的面积,“势”是指几何体的高.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是指水平截面的面积,“势”是指几何体的高.意思是两个等高的几何体,若其任意等高处的水平截面积相等,则这两个几何体的体积相等.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是指水平截面的面积,“势”是指几何体的高.意思是两个等高的几何体,若其任意等高处的水平截面积相等,则这两个几何体的体积相等.祖暅原理也可以这样理解:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是指水平截面的面积,“势”是指几何体的高.意思是两个等高的几何体,若其任意等高处的水平截面积相等,则这两个几何体的体积相等.祖暅原理也可以这样理解:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.比如,取一摞书或一叠纸堆放在水平桌面上,然后用手推一下以改变其形状,这时高度没有改变,每页纸张的面积也没有改变,因而这摞书或纸张的体积与变形前相等.祖暅原理Ωa bzx OyΩAΩB图1:简单立体图形设Ω为R3中一块立体区域,夹在平面x=a与x=b(a<b)之间.记S(x)为x∈[a,b]处垂直于x轴的平面截Ω的截面面积函数.如果S(x)关于x连续,则Ω的体积为bS(x)dx.(1)V=a设Ω为R3中一块立体区域,夹在平面x=a与x=b(a<b)之间.记S(x)为x∈[a,b]处垂直于x轴的平面截Ω的截面面积函数.如果S(x)关于x连续,则Ω的体积为bV=S(x)dx.(1)a特别地,如果两块区域ΩA和ΩB的截面面积函数相等,则其体积相同.这个事实在公元5到6世纪由祖暅所发现,17世纪时意大利人Cavalieri也发现了这一事实.设Ω为R3中一块立体区域,夹在平面x=a与x=b(a<b)之间.记S(x)为x∈[a,b]处垂直于x轴的平面截Ω的截面面积函数.如果S(x)关于x连续,则Ω的体积为V=baS(x)dx.(1)特别地,如果两块区域ΩA和ΩB的截面面积函数相等,则其体积相同.这个事实在公元5到6世纪由祖暅所发现,17世纪时意大利人Cavalieri也发现了这一事实.例1求椭球体x2a2+y2b2+z2c2≤1的体积.O abc xyz图2:椭球O abc xyz图2:椭球O abc xyz图2:椭球解.固定x∈(−a,a),椭球的截面为椭圆面y2b2+z2c2≤1−x2a2,O abc xyz图2:椭球解.固定x∈(−a,a),椭球的截面为椭圆面y2b2+z2c2≤1−x2a2,截面面积为S(x)=πb1−x2/a212c1−x2/a212=πbc1−x2/a2,故椭球的体积为V=a−a S(x)d x=a−aπbc1−x2/a2d x=43πabc.旋转体的体积设f∈C0[a,b],Ω是由平面图形{(x,y)|a≤x≤b,0≤|y|≤|f(x)|}绕x轴旋转一周所得旋转体.设f∈C0[a,b],Ω是由平面图形{(x,y)|a≤x≤b,0≤|y|≤|f(x)|}绕x轴旋转一周所得旋转体.该旋转体在x处的截面为圆盘,其面积为S(x)=πf2(x).因此Ω的体积为V=ba S(x)d x=πbaf2(x)d x.设f∈C0[a,b],Ω是由平面图形{(x,y)|a≤x≤b,0≤|y|≤|f(x)|}绕x轴旋转一周所得旋转体.该旋转体在x处的截面为圆盘,其面积为S(x)=πf2(x).因此Ω的体积为V=ba S(x)d x=πbaf2(x)d x.|y|≤|f(x)|a bO xyz图3:旋转体rh Oxyz图4:圆锥体rh Oxyz图4:圆锥体rh O x yz图4:圆锥体例2求高为h,底半径为r 的圆锥体的体积.rh Ox yz图4:圆锥体例2求高为h,底半径为r 的圆锥体的体积.解.由上面的体积公式可得V =πh 0 r h x 2d x =13πr 2h .这跟我们熟知的公式一致.。
一元微积分与数学分析—极值和最值梅加强南京大学数学系要研究一个变化的量,可以考察其“最大”值和“最小”值.要研究一个变化的量,可以考察其“最大”值和“最小”值.设函数f可导,如果f (x0)=0,则称x0为f的驻点或临界点.要研究一个变化的量,可以考察其“最大”值和“最小”值.设函数f可导,如果f (x0)=0,则称x0为f的驻点或临界点. 根据Fermat定理,当x0为内部极值点时,x0必为驻点.要研究一个变化的量,可以考察其“最大”值和“最小”值.设函数f可导,如果f (x0)=0,则称x0为f的驻点或临界点.根据Fermat定理,当x0为内部极值点时,x0必为驻点.因此,当我们研究一个可导函数的最值时,可以先找出它的驻点,再比较驻点和可能的区间端点处函数值(或极限)的大小即可.要研究一个变化的量,可以考察其“最大”值和“最小”值.设函数f可导,如果f (x0)=0,则称x0为f的驻点或临界点.根据Fermat定理,当x0为内部极值点时,x0必为驻点.因此,当我们研究一个可导函数的最值时,可以先找出它的驻点,再比较驻点和可能的区间端点处函数值(或极限)的大小即可.例1求函数f(x)=x3−x+1在[−1,1]中的最小值和最大值.要研究一个变化的量,可以考察其“最大”值和“最小”值.设函数f可导,如果f (x0)=0,则称x0为f的驻点或临界点.根据Fermat定理,当x0为内部极值点时,x0必为驻点.因此,当我们研究一个可导函数的最值时,可以先找出它的驻点,再比较驻点和可能的区间端点处函数值(或极限)的大小即可.例1求函数f(x)=x3−x+1在[−1,1]中的最小值和最大值.解.根据最值定理,f在[−1,1]上达到最小值和最大值.我们首先来求驻点:解(续).f (x )=3x 2−1=0⇒x =±1/√3.因此f 可能的极值点为±1,±1/√3.在这些点处计算f 的值如下:f (−1)=1,f (1)=1,f −1/√3 =1+2√3/9,f 1/√3 =1−2√3/9.这说明f 的最大值为1+2√3/9,最小值为1−2√3/9.解(续).f (x )=3x 2−1=0⇒x =±1/√3.因此f 可能的极值点为±1,±1/√3.在这些点处计算f 的值如下:f (−1)=1,f (1)=1,f −1/√3 =1+2√3/9,f 1/√3 =1−2√3/9.这说明f 的最大值为1+2√3/9,最小值为1−2√3/9.例2设p >1,研究函数f (x )=x −x p /p 在[0,∞)中的最大值.解(续).f (x )=3x 2−1=0⇒x =±1/√3.因此f 可能的极值点为±1,±1/√3.在这些点处计算f 的值如下:f (−1)=1,f (1)=1,f −1/√3 =1+2√3/9,f 1/√3 =1−2√3/9.这说明f 的最大值为1+2√3/9,最小值为1−2√3/9.例2设p >1,研究函数f (x )=x −x p /p 在[0,∞)中的最大值.解.显然,x =1是唯一的驻点.f 可能的极值点为0,1,+∞.由0=f (0)<f (1)=1−1/p 和lim x →+∞f (x )=−∞可知x =1就是最大值点.解(续).这说明x−x p/p≤1−1/p,∀x≥0.如果记q=p/(p−1),则上式可以改写为x≤x p/p+1/q,∀x≥0.你在哪一个单元见过这个不等式呢?解(续).这说明x−x p/p≤1−1/p,∀x≥0.如果记q=p/(p−1),则上式可以改写为x≤x p/p+1/q,∀x≥0.你在哪一个单元见过这个不等式呢?注1注意,驻点可能是极值点,也可能不是.例如,函数x4和x5均以x0=0为驻点,但x4以x0=0为最小值点,而x5则没有极值点.解(续).这说明x−x p/p≤1−1/p,∀x≥0.如果记q=p/(p−1),则上式可以改写为x≤x p/p+1/q,∀x≥0.你在哪一个单元见过这个不等式呢?注1注意,驻点可能是极值点,也可能不是.例如,函数x4和x5均以x0=0为驻点,但x4以x0=0为最小值点,而x5则没有极值点.问题1怎样判断驻点是不是极值点呢?命题1设x0为f的驻点,如果f在x0处二阶可导,则(1)当f (x0)>0时,x0为f的(严格)极小值点;(2)当f (x0)<0时,x0为f的(严格)极大值点.命题1设x0为f的驻点,如果f在x0处二阶可导,则(1)当f (x0)>0时,x0为f的(严格)极小值点;(2)当f (x0)<0时,x0为f的(严格)极大值点.证明.以(1)为例.设f (x0)>0,则由导数的定义和极限的保序性质可知,存在δ>0,使得当x∈(x0−δ,x0)时f (x)<0;当x∈(x0,x0+δ)时f (x)>0.这说明f在(x0−δ,x0]中严格单调递减,在[x0,x0+δ)中严格单调递增.因此x0为f的(严格)极小值点.命题1设x0为f的驻点,如果f在x0处二阶可导,则(1)当f (x0)>0时,x0为f的(严格)极小值点;(2)当f (x0)<0时,x0为f的(严格)极大值点.证明.以(1)为例.设f (x0)>0,则由导数的定义和极限的保序性质可知,存在δ>0,使得当x∈(x0−δ,x0)时f (x)<0;当x∈(x0,x0+δ)时f (x)>0.这说明f在(x0−δ,x0]中严格单调递减,在[x0,x0+δ)中严格单调递增.因此x0为f的(严格)极小值点.推论1设x0为f的内部极小(大)值点,如果f在x0处二阶可导,则f (x0)≥0(≤0).命题1设x0为f的驻点,如果f在x0处二阶可导,则(1)当f (x0)>0时,x0为f的(严格)极小值点;(2)当f (x0)<0时,x0为f的(严格)极大值点.证明.以(1)为例.设f (x0)>0,则由导数的定义和极限的保序性质可知,存在δ>0,使得当x∈(x0−δ,x0)时f (x)<0;当x∈(x0,x0+δ)时f (x)>0.这说明f在(x0−δ,x0]中严格单调递减,在[x0,x0+δ)中严格单调递增.因此x0为f的(严格)极小值点.推论1设x0为f的内部极小(大)值点,如果f在x0处二阶可导,则f (x0)≥0(≤0).证明.用反证法即可,略.注2如果x0是f的驻点,且f (x0)=0,则x0可能是极值点,也可能不是极值点.之前的函数x4和x5就是例子.注2如果x0是f的驻点,且f (x0)=0,则x0可能是极值点,也可能不是极值点.之前的函数x4和x5就是例子.例3设f∈C0[a,b],且f在(a,b)中二阶可导.如果f ≥0且f(a)=f(b)=0,则f≤0.注2如果x0是f的驻点,且f (x0)=0,则x0可能是极值点,也可能不是极值点.之前的函数x4和x5就是例子.例3设f∈C0[a,b],且f在(a,b)中二阶可导.如果f ≥0且f(a)=f(b)=0,则f≤0.证明.根据最值定理,f达到最大值f(x0).如果x0等于a或b,则已证毕.如果x0在内部,则由Fermat定理可知f (x0)=0.由f ≥0可知f 单调递增,因此在(a,x0)中f ≤0,在(x0,b)中f ≥0.这说明f在[a,x0]中单调递减,在[x0,b]中单调递增.注意到f在a,b处的值相等,此时f必为常值函数.例4设f∈C0[a,b],且f在(a,b)中二阶可导.如果f ≥f且f(a)=f(b)=0,则f≤0.例4设f∈C0[a,b],且f在(a,b)中二阶可导.如果f ≥f且f(a)=f(b)=0,则f≤0.证明.根据最值定理,f达到最大值f(x0).如果x0等于a或b,则已证毕.如果x0在内部,则根据推论1可得f(x0)≤f (x0)≤0,结论仍然成立.。
一元微积分与数学分析—T aylor展开和近似计算梅加强南京大学数学系在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?阿基米德(前287年–前212年)利用穷竭法得到圆周率的近似值22/7.在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?阿基米德(前287年–前212年)利用穷竭法得到圆周率的近似值22/7.刘徽(约公元225年–公元295年)提出了“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?阿基米德(前287年–前212年)利用穷竭法得到圆周率的近似值22/7.刘徽(约公元225年–公元295年)提出了“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”利用割圆术,刘徽算出圆周率的近似值3.14.阿基米德和刘徽图1:阿基米德图2:刘徽达到精确的程度.于是他进一步精益钻研,去探求更精确的数值,最终得出3.1415926<π<3.1415927.于是他进一步精益钻研,去探求更精确的数值,最终得出3.1415926<π<3.1415927.祖冲之还采用了两个分数值的圆周率,一个是355/113≈3.1415927,这一个数比较精密,所以祖冲之称它为“密率”.另一个是22/7≈3.14,这一个数比较粗疏,所以祖冲之称它祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?微积分发明出来以后人们很快发现可以用来计算圆周率的近似值.祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?微积分发明出来以后人们很快发现可以用来计算圆周率的近似值.我们用T aylor展开来计算π.回顾arctan x的Maclaurin展开arctan x=x−x33+x55−x77+···,x∈[−1,1].取x=1,左边等于π/4.不过,右边收敛得很慢,还不能直接用于π的计算.祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?微积分发明出来以后人们很快发现可以用来计算圆周率的近似值.我们用T aylor展开来计算π.回顾arctan x的Maclaurin展开arctan x=x−x33+x55−x77+···,x∈[−1,1].取x=1,左边等于π/4.不过,右边收敛得很慢,还不能直接用于π的计算.注意到当|x|比较小的时候,右边收敛速度就比较快了.基本的想法就是用若干个注意到tan(u+v)=tan u+tan v 1−tan u tan v,当u=arctan(1/5)时,就有tan(2u)=2/51−(1/5)2=5/12,tan(4u)=10/121−(5/12)2=120/119.因此tan4u−π/4=120/119−11+120/119=1/239,注意到tan(u+v)=tan u+tan v 1−tan u tan v,当u=arctan(1/5)时,就有tan(2u)=2/51−(1/5)2=5/12,tan(4u)=10/121−(5/12)2=120/119.因此tan4u−π/4=120/119−11+120/119=1/239,这就得到等式π4=4arctan15−arctan1239.(1)它可以改写为如下的Machin公式π=16∞n=0(−1)n(2n+1)52n+1−4∞n=0(−1)n(2n+1)2392n+1,(2)这个公式已经可用于实际的计算了.它可以改写为如下的Machin公式π=16∞n=0(−1)n(2n+1)52n+1−4∞n=0(−1)n(2n+1)2392n+1,(2)这个公式已经可用于实际的计算了.1706年,Machin用这个公式将π计算到了小数点后100位.类似地,我们可以得到等式2arctan110=arctan15+arctan1515,从而有π=32arctan 110−4arctan 1239−16arctan1515=32 110−131103+151105−171107+191109−11111011 +δ1−4 1239−1312393 −δ2−16 1515−1315153−δ3,从而有π=32arctan 110−4arctan 1239−16arctan1515=32 110−131103+151105−171107+191109−11111011 +δ1−4 1239−1312393 −δ2−16 1515−1315153−δ3,其中3213×10−13−3215×10−15<δ1<3213×10−13,因此0.24×10−12<δ1<0.25×10−12.同理,1.02×10−12<δ2<1.03×10−12,0.08×10−12<δ3<0.09×10−12,因此−0.88×10−12<δ1−δ2−δ3<−0.85×10−12.同理,1.02×10−12<δ2<1.03×10−12,0.08×10−12<δ3<0.09×10−12,因此−0.88×10−12<δ1−δ2−δ3<−0.85×10−12.另一方面,π≈32 110−131103+151105−171107+191109−11111011−4 1239−1312393 −16 1515−1315153=3.14159265359066...总之得到3.14159265358978<π<3.14159265358982,近似值精确到了小数点后第12位.如何更快地精确计算π是一个很有意思的数学问题.1914年,印度天才数学家Ramanujan得到了一系列公式,其中一个为1π=2√29801∞k=0(4k)!(k!)444k1103+26390k994k,(3)这个公式的每一项可提供π的大约8位有效数字.如何更快地精确计算π是一个很有意思的数学问题.1914年,印度天才数学家Ramanujan得到了一系列公式,其中一个为1π=2√29801∞k=0(4k)!(k!)444k1103+26390k994k,(3)这个公式的每一项可提供π的大约8位有效数字. 1989年,Chudnovsky兄弟发表了公式1π=12∞k=0(−1)k(6k)!(3k!)(k!)313591409+545140134k6403203k+3/2,(4)这个公式的每一项可提供π的大约15位有效数字.另一方面,1995年,Bailey,Borwein和Plouffe发现了下面的公式π=∞k=048k+1−28k+4−18k+5−18k+6116k,(5)他们利用这个公式证明了,在2进制下可以直接计算π的第n位小数而无需知道其前n−1位小数的值.另一方面,1995年,Bailey,Borwein和Plouffe发现了下面的公式π=∞k=048k+1−28k+4−18k+5−18k+6116k,(5)他们利用这个公式证明了,在2进制下可以直接计算π的第n位小数而无需知道其前n−1位小数的值.人们利用已经发现的这些算法可以在计算机上进行π的快速高精度计算,这也成为了检验计算机运行速度的初步手段.。
一元微积分与数学分析—Riemann积分梅加强南京大学数学系问题1:不连续的函数能定义积分吗?问题1:不连续的函数能定义积分吗?问题1:不连续的函数能定义积分吗?问题1:不连续的函数能定义积分吗?例如,考虑函数f(x)=1/2,x∈[0,1/2), 1,x∈[1/2,1].f在区间[0,1]中有一个间断点.问题1:不连续的函数能定义积分吗?例如,考虑函数f(x)=1/2,x∈[0,1/2), 1,x∈[1/2,1].f在区间[0,1]中有一个间断点.1/211/21f(x)O x y它的图像和直线x=0,x=1以及y=0所围成的区域的面积还是存在的,f在[0,1]中的积分值自然应该定义为1/2·1/2+1·1/2=3/4,这是从面积的观点来看积分.它的图像和直线x=0,x=1以及y=0所围成的区域的面积还是存在的,f在[0,1]中的积分值自然应该定义为1/2·1/2+1·1/2=3/4,这是从面积的观点来看积分.我们也可以从函数的平均值出发考察积分.f在一半的区间上值为1/2,另一半的区间上值为1,它在整个区间中的平均值就应该等于(1/2+1)/2=3/4.它的图像和直线x=0,x=1以及y=0所围成的区域的面积还是存在的,f在[0,1]中的积分值自然应该定义为1/2·1/2+1·1/2=3/4,这是从面积的观点来看积分.我们也可以从函数的平均值出发考察积分.f在一半的区间上值为1/2,另一半的区间上值为1,它在整个区间中的平均值就应该等于(1/2+1)/2=3/4.从直觉上来看,当一个函数连续变化时,平均值应该是有意义的;如果函数变化太过剧烈,取平均值可能就没有什么意义.Riemann和设f是定义在闭区间[a,b]中的函数(不一定连续),考虑由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)围成的曲边梯形.我们想要计算它的面积,或者说定义f在[a,b]中的积分.受连续函数积分定义的启发,我们用小矩形的面积之和去逼近曲边梯形的面积.设f 是定义在闭区间[a ,b ]中的函数(不一定连续),考虑由直线x =a ,x =b ,y =0及曲线y =f (x )围成的曲边梯形.我们想要计算它的面积,或者说定义f 在[a ,b ]中的积分.受连续函数积分定义的启发,我们用小矩形的面积之和去逼近曲边梯形的面积.a b y =f (x )f (ξi )ξi O xy设f 是定义在闭区间[a ,b ]中的函数(不一定连续),考虑由直线x =a ,x =b ,y =0及曲线y =f (x )围成的曲边梯形.我们想要计算它的面积,或者说定义f 在[a ,b ]中的积分.受连续函数积分定义的启发,我们用小矩形的面积之和去逼近曲边梯形的面积.a b y =f (x )f (ξi )ξi O x y为此,设π:a =x 0<x 1<···<x n =b 为区间[a ,b ]的一个分割,当1≤i ≤n 时,任取ξi ∈[x i −1,x i ].记∆x i =x i −x i −1,称n i =1f (ξi )∆x i 为f 在[a ,b ]中的一个Riemann 和(积分和).Riemann积分的定义定义1(Riemann积分)设f如上.如果存在实数I,使得任给ε>0,均存在δ>0,当分割π的模满足 π <δ时,均有ni=1f(ξi)∆x i−I<ε,∀ξi∈[x i−1,x i],i=1,···,n,则称f在[a,b]中Riemann可积(简称可积),记为f∈R[a,b].I称为f在[a,b]中的Riemann积分(简称积分),记为b a f(x)d x=I=limπ →0ni=1f(ξi)∆x i,其中f称为被积函数,[a,b]称为积分区间,a,b分别称为积分下限与积分上限.命题1如果f∈R[a,b],则f必为[a,b]中的有界函数.命题1如果f∈R[a,b],则f必为[a,b]中的有界函数.证明.假设f在[a,b]中可积,沿用上面的记号,记I为其积分.在积分的定义中,取ε=1,此时存在相应的δ>0.取定正整数n>(b−a)/δ,对区间[a,b]作n等分,则b−anni=1f(ξi)−I<1,∀ξi∈[x i−1,x i],i=1,···,n.特别地,当1≤i≤n时,有|f(ξi)|<j=i |f(x j)|+nb−a(1+|I|),∀ξi∈[x i−1,x i].这说明f在每一小区间[x i−1,x i]中均为有界函数,从而是[a,b]中的有界函数.注1有界函数未必可积.考虑在有理数上取值为0,在无理数上取值为1的Dirichlet函数D(x).任给一个分割,当ξi都取[x i−1,x i]中的无理数时,积分和为0;当ξi都取[x i−1,x i]中有理数时,积分和为1.因此D(x)的积分和没有极限.注1有界函数未必可积.考虑在有理数上取值为0,在无理数上取值为1的Dirichlet函数D(x).任给一个分割,当ξi都取[x i−1,x i]中的无理数时,积分和为0;当ξi都取[x i−1,x i]中有理数时,积分和为1.因此D(x)的积分和没有极限.以下我们只考虑有界函数.除了连续函数之外,还有哪些有界函数是可积的呢?注1有界函数未必可积.考虑在有理数上取值为0,在无理数上取值为1的Dirichlet函数D(x).任给一个分割,当ξi都取[x i−1,x i]中的无理数时,积分和为0;当ξi都取[x i−1,x i]中有理数时,积分和为1.因此D(x)的积分和没有极限.以下我们只考虑有界函数.除了连续函数之外,还有哪些有界函数是可积的呢? 按照定义,积分是Riemann和的某种极限.在研究一个变化量的极限时,我们可以考察变化量中的“最大”值和“最小”值.注1有界函数未必可积.考虑在有理数上取值为0,在无理数上取值为1的Dirichlet函数D(x).任给一个分割,当ξi都取[x i−1,x i]中的无理数时,积分和为0;当ξi都取[x i−1,x i]中有理数时,积分和为1.因此D(x)的积分和没有极限.以下我们只考虑有界函数.除了连续函数之外,还有哪些有界函数是可积的呢? 按照定义,积分是Riemann和的某种极限.在研究一个变化量的极限时,我们可以考察变化量中的“最大”值和“最小”值.“最大”值和“最小”值之间的差异叫做振幅.注1有界函数未必可积.考虑在有理数上取值为0,在无理数上取值为1的Dirichlet函数D(x).任给一个分割,当ξi都取[x i−1,x i]中的无理数时,积分和为0;当ξi都取[x i−1,x i]中有理数时,积分和为1.因此D(x)的积分和没有极限.以下我们只考虑有界函数.除了连续函数之外,还有哪些有界函数是可积的呢? 按照定义,积分是Riemann和的某种极限.在研究一个变化量的极限时,我们可以考察变化量中的“最大”值和“最小”值.“最大”值和“最小”值之间的差异叫做振幅.基本想法:一个变化的量趋于某个极限时,其振幅趋于零;反之亦然.Darboux 上和与Darboux 下和给定分割π,f 在[x i −1,x i ]中的上确界和下确界分别记为M i ,和m i ,令S π(f )=ni =1M i ∆x i ,s π(f )=n i =1m i ∆x i ,我们称S π(f )为f 关于π的Darboux 上和(简称上和),而s π(f )称为Darboux 下和.O y x O yx引理1设分割π 是从π添加k个分点得到的,则有Sπ(f)≥Sπ (f)≥Sπ(f)−(M−m)k π ,sπ(f)≤sπ (f)≤sπ(f)+(M−m)k π ,其中M,m分别是f的上确界和下确界.特别地,往给定的分割增加新的分点时,下和不减,上和不增.引理1设分割π 是从π添加k个分点得到的,则有Sπ(f)≥Sπ (f)≥Sπ(f)−(M−m)k π ,sπ(f)≤sπ (f)≤sπ(f)+(M−m)k π ,其中M,m分别是f的上确界和下确界.特别地,往给定的分割增加新的分点时,下和不减,上和不增.证明.以k=1例.设新添加的分点¯x∈(x j−1,x j).则Sπ (f)−Sπ(f)=M j(¯x−x j−1)+M j(x j−¯x)−M j∆x j这里Mj 和Mj分别是f在区间[x j−1,¯x]和[¯x,x j]中的上确界.证明(续).由m≤Mj ,Mj≤M j≤M可得0≤Sπ(f)−Sπ (f)=(M j−M j)(¯x−x j−1)+(M j−M j)(x j−¯x)≤(M−m)(¯x−x j−1)+(M−m)(x j−¯x)=(M−m)∆x j≤(M−m) π .下和的情形可类似地证明.证明(续).由m≤Mj ,Mj≤M j≤M可得0≤Sπ(f)−Sπ (f)=(M j−M j)(¯x−x j−1)+(M j−M j)(x j−¯x)≤(M−m)(¯x−x j−1)+(M−m)(x j−¯x)=(M−m)∆x j≤(M−m) π .下和的情形可类似地证明.推论1对于任意两个分割π1及π2,均有sπ1(f)≤Sπ2(f).证明(续).由m≤Mj ,Mj≤M j≤M可得0≤Sπ(f)−Sπ (f)=(M j−M j)(¯x−x j−1)+(M j−M j)(x j−¯x)≤(M−m)(¯x−x j−1)+(M−m)(x j−¯x)=(M−m)∆x j≤(M−m) π .下和的情形可类似地证明.推论1对于任意两个分割π1及π2,均有sπ1(f)≤Sπ2(f).证明.用π1∪π2表示将π1和π2的所有分点合并后得到的分割,则由刚才的引理即得sπ1(f)≤sπ1∪π2(f)≤Sπ1∪π2(f)≤Sπ2(f).定理1(Darboux)lim π →0Sπ(f)=infπSπ(f),limπ →0sπ(f)=supπsπ(f).定理1(Darboux)lim π →0Sπ(f)=infπSπ(f),limπ →0sπ(f)=supπsπ(f).证明.任给ε>0,存在分割π ,使得Sπ (f)<infπSπ(f)+ε/2.设π 有k个分点.任给另一分割π,π∪π 至多比π多k个分点.由引理1可得Sπ(f)−(M−m)k π ≤Sπ∪π (f)≤Sπ (f)<infπSπ(f)+ε/2.于是,当 π <ε2(M−m+1)k时,infπSπ(f)≤Sπ(f)<infπSπ(f)+ε,这就证明了上和的极限等式.下和的极限同理可证.上积分和下积分定理1(Darboux)lim π →0Sπ(f)=infπSπ(f),limπ →0sπ(f)=supπsπ(f).证明.任给ε>0,存在分割π ,使得Sπ (f)<infπSπ(f)+ε/2.设π 有k个分点.任给另一分割π,π∪π 至多比π多k个分点.由引理1可得Sπ(f)−(M−m)k π ≤Sπ∪π (f)≤Sπ (f)<infπSπ(f)+ε/2.于是,当 π <ε2(M−m+1)k时,infπSπ(f)≤Sπ(f)<infπSπ(f)+ε,这就证明了上和的极限等式.下和的极限同理可证.我们称infπSπ(f)为f在[a,b]中的上积分,supπsπ(f)为f在[a,b]中的下积分.。
