1992-2016年南京大学627数学分析考研真题及答案解析-汇编

南京大学1992年数学分析试题一、定0a ，0a ≠k π（k ∈Z ）,设1+n a =sin n a (n=0,1,2,…).1) 求∞→n lim n a ；2）求lim ∞→n 21nna . 二、设f(x) ∈]1,0[C ,在}0{\)1,1(- 内可微，且)0(+'f 及)0(-'f 存在有限,而数列}{},{n n b a满足条件,101<<<<-n n b a 且∞→n lim n a =∞→n lim n b =0，求证存在子序列}{},{k k n n b a 及正数p,q,p+q=1,使∞→n lim )0()0()()(-+'+'=--f q f p a b a f b f k k k k n n n n三、设)(x f 在]1,1[-上（R ）可积，令⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=01,10,)1()(x e x x x nx n n 当当ϕ 1） 证明函数)()(x x f n ϕ在]1,1[-上（R ）可积；2） 又若)(x f 在x=0还是连续的，求证∞→n lim⎰-=11)0()()(2f dx x x f n n ϕ 四、证明⎰∑∞=+-=1011)1(n n n x n dx x . 五、试以u 为因变量，ηξ,为自变量，对方程y z xz ∂∂=∂∂22 进行变量代换z y x y u yy x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-==4exp ,1,2ηξ. 六、已知⎰∞+-=0212πdx e x ，求()⎰+∞->00cos 2a bxdx e ax 之值. 七、计算()()()⎰⎰++++++++=Sdxdy b a z dzdx a c y dydz c b x I 222，其中S 为半球面 ()()()c z R c z b y a x ≥=-+-+-,2222的上侧.八、设)(),(),(t t t p ψϕ是区间],[b a 上的连续函数，)(),(t t ψϕ单调增加，0)(>t p ，试证1）⎰⎰⎰⎰⋅≤⋅b a ba b a ba dt t t t p dt t p dt t t p dt t t p ;)()()()()()()()(ψϕψϕ 2）若0)(,)(],[>∈t F C t Fb a 且单调减少，证明⎰⎰⎰⎰≤b a b a ba b a dtt F dt t F dt t tF dtt F t )()]([)()]([22 （2005年5月27日sciphi 输入）。

1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数()y y x =由方程ecos()0x yxy ++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu =_____________.(3)设()f x =211x-+ 00x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于_____________.(4)微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =_____________.(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠=则矩阵A 的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x →时,函数1211e 1x x x ---的极限 (A)等于2 (B)等于0(C)为∞(D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos )(nn a n ∞=--∑常数0)a > (A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a 有关(3)在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线 (A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条(D)不存在(4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为(A)0 (B)1 (C)2(D)3(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为(A)[]212-(B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求0x x →(2)设22(e sin ,),xz f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.zx y ∂∂∂(3)设()f x =21ex x -+ 00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰ 四、(本题满分6分)求微分方程323e xy y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =.六、（本题满分7分）设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分）在变力F yzi zxj xyk =++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c ++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值. 八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问: (1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论.(2)(2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论. 九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出. (2)求(nn A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A 、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }XE X -+=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中22()e)t xx dt --∞Φ=.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】sin()sin()x y x y e y xy e x xy ++---【解析】函数()y y x =是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方程两边对x 求导,将y 看做x 的函数,得(1)sin()()0x yey xy xy y +''+++=.解出y ',即sin()sin()x y x y dy e y xy y dx e x xy ++-'==--.【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅. 2.两函数乘积的求导公式：[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅.(2)【答案】{}21,2,29- 【解析】对函数u 求各个分量的偏导数,有2222u x x x y z ∂=∂++；2222u y y x y z ∂=∂++；2222u z z x y z∂=∂++. 由函数的梯度(向量)的定义,有{}2221,,2,2,2u u u gradu x y z x y z x y z⎧⎫∂∂∂==⎨⎬∂∂∂++⎩⎭, 所以 {}{}222122,4,41,2,212(2)9Mgradu=-=-++-. 【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (3)【答案】212π【解析】x π=是[,]ππ-区间的端点,由收敛性定理—狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在x π=处收敛于22111[(0)(0)][11]222f f ππππ-++-=-++=. 【相关知识点】收敛性定理—狄利克雷充分条件：函数()f x 在区间[,]l l -上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；(ⅱ) 只有有限个极值点.则()f x 在[,]l l -上的傅里叶级数收敛,而且01(cos sin )2n n n a n n a x b x l lππ∞=++∑[][] (), (,)()1(0)(0), (,)()21(0)(0), .2f x x l l f x f x f x x l l f x f l f l x l ⎧⎪∈-⎪⎪=++-∈-⎨⎪⎪-++-=±⎪⎩若为的连续点,若为的第一类间断点,若 (4)【答案】cos cos ,y x x C x C =+为任意常数【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于tan 1|cos |xdxe x ⎰=,方程两边同乘1cos x,得 111cos cos y y x C xx '⎛⎫=⇒=+⎪⎝⎭积分.故通解为cos cos ,y x x C x C =+为任意常数. (5)【答案】1【解析】因为矩阵A 中任何两行都成比例(第i 行与第j 行的比为ija a ),所以A 中的二阶子式全为0,又因0,0i i ab ≠≠,知道110a b ≠,A 中有一阶子式非零.故()1r A =.【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在r 阶子式不为零,而所有的1r +阶子式全为零时,则此矩阵的秩为r .二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点0x 的极限是否存在需要判定左极限0x x -→和右极限0x x +→是否存在且相等,若相等,则函数在点0x 的极限是存在的.11211111lim lim(1)01x x x x x e x e x ----→→-=+=-, 11211111lim lim(1)1x x x x x e x e x ++--→→-=+=∞-, 0≠∞,故当1x →时函数没有极限,也不是∞.故应选(D).(2)【答案】(C)【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小2111cos()2n n n-→+∞,22(1)(1cos )1cos()2nn n nn ααα --=-→+∞,又因为p 级数：11p n n ∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散. 所以有 22112n n α∞=∑收敛. 1(1)(1cos )n n n α∞=⇒-- ∑收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C).注：对于正项级数1n n a ∞=∑,确定无穷小n a 关于1n的阶(即与p 级数作比较)是判断它的敛散性的一个常用方法.该题用的就是这个方法. (3)【答案】B【解析】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为0得切点对应的t 值.求曲线上的点,使该点处的切向量τ与平面24x y z ++=的法向量{}1,2,1n =垂直,即可以让切线与平面平行.曲线在任意点处的切向量{}{}2(),(),()1,2,3x t y t z t t t τ'''==-,0n n ττ⊥ ⇔⋅=,即31430t t -+=,解得 11,3t t ==.(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)因此,只有两条这种切线,应选(B). (4)【答案】(C)【解析】因33x 处处任意阶可导,只需考查2||()x x x ϕ,它是分段函数,0x =是连接点.所以,写成分段函数的形式,有33,0,(), 0,x x x x x ϕ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩对分段函数在对应区间上求微分,223,0,()3, 0,x x x x x ϕ⎧-<⎪'⇒=⎨>⎪⎩再考查()x ϕ在连接点0x =处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论.30(0)()0x x ϕ++=''==,30(0)()0(0)0x x ϕϕ--='''=-=⇒=,即 223,0,()3, 0.x x x x x ϕ⎧-≤⎪'=⎨>⎪⎩同理可得 6,0,()6, 0,x x x x x ϕ-<⎧''=⎨>⎩ (0)0ϕ''=,即 6,0()6||6, 0x x x x x x ϕ-≤⎧''==⎨>⎩.对于y x =有(0)1,(0) 1.y y +-''==- 所以y x =在0x =不可导,(0)ϕ'''⇒不存在,应选(C). (5)【答案】(A)【解析】1ξ,2ξ向量对应的分量不成比例,所以1ξ,2ξ是0Ax =两个线性无关的解,故()2n r A -≥.由3n =知()1r A ≤.再看(A)选项秩为1；(B)和(C)选项秩为2；而(D)选项秩为3.故本题选(A). 【相关知识点】对齐次线性方程组0Ax =,有定理如下:对矩阵A 按列分块,有()12n A ,,,ααα=,则0Ax =的向量形式为11220n n x x x .ααα+++=那么, 0Ax =有非零解 12n ,,,ααα⇔线性相关()12n r ,,,n ααα⇔< ()r A n.⇔<三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1)【解析】由等价无穷小有0x →时,22111()22xx --=, 原式=0021sin lim 12x x x x e xx →→--=, 上式为“”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式00cos sin limlim 1x x x x e x e x x →→-+洛必达洛必达1011+==. (2)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求zx∂∂,再求()z y x ∂∂∂∂.由复合函数求导法则得221212(sin )()sin 2x x z f e y f x y f e y f x x x x∂∂∂''''=++=⋅+⋅∂∂∂, 212(sin 2)x z f e y f x x y y∂∂''=+∂∂∂ 111212122(cos 2)sin cos (cos 2)2x x x x f e y f y e y f e y f e y f y x '''''''''=++++ 21112221sin cos 2(sin cos )4cos x x x f e y y f e y y x y f xy f e y '''''''=⋅+⋅++⋅+⋅. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u vf f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂. (3)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.令2x t -=,则.dx dt =当1x =时,1t =-；当3x =时,1t =,于是()310121110(2)()1t f x dx f t dt t dt e dt ----=++⎰⎰⎰⎰分段01301171.33t t t e e --⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭四、(本题满分6分.)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,所对应的齐次方程的特征方程223(1)(3)0r r r r +-=-+=有两个根为11,r =23r =-,而非齐次项2,3x e r αα=-=为单特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解3xY x ae -=⋅,代入方程可得14a =-,故所求通解为33124xxx xy C e C ee --=+-,其中12,C C 为常数. 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .x y e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k xm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.五、(本题满分8分) 【解析】将原式表成I Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑=++⎰⎰,则2223()P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂. 以考虑用高斯公式来求解,但曲面∑不是封闭的,要添加辅助面.如果本题采用投影法计算是比较复杂的,故不采用.添加辅助面222:0()S z x y a =+≤,法向量朝下,S 与∑围成区域Ω,S 与∑取Ω的外法向量.在Ω上用高斯公式得323232222()()()3()SI x az dydz y ax dzdx z ay dxdy x y z dV Ω++++++=++⎰⎰⎰⎰⎰.用球坐标变换求右端的三重积分得222222203()3sin ax y z dV d d d ππθϕϕρρρΩ++=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰455201632sin 32155ad d a a ππϕϕρρππ=⨯=⨯⨯⨯=⎰⎰.注意S 垂直于平面yOz 与平面xOz ,将积分投影到xOy 平面上,所以左端S 上的曲面积分为SPdydzdx Qdzdx Rdxdy ++⎰⎰2200(,,0)xySSD R x y dxdy ay dxdy a y dxdy =++==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2220sin aa d r rdr πθθ=-⋅⎰⎰ (极坐标变换)422350sin 44aa a d r dr a a ππθθπ=-=-⨯⨯=-⎰⎰.因此 5556295420I a a a πππ=+=. 【相关知识点】1.高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有,P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰或()cos cos cos ,P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式. 2.对于球面坐标与直角坐标的关系为：sin cos ,sin sin ,cos ,x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩其中ϕ为向量与z 轴正向的夹角,0ϕπ≤≤；θ为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到向量在xOy 平面上投影线段的角,02θπ≤≤；r 为向量的模长,0r ≤<+∞.球面坐标系中的体积元素为2sin ,dv r drd d ϕϕθ=则三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式是：2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin .f x y z dxdydz f r r r r drd d ϕθϕθϕϕϕθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰六、(本题满分7分)【解析】证法一: 用拉格朗日中值定理来证明.不妨设210x x >>,要证的不等式是1221()()()(0)f x x f x f x f +-<-. 在1[0,]x 上用中值定理,有111()(0)(),0f x f f x x ξξ'-=<<；在212[,]x x x +上用中值定理,又有1221212()()(),f x x f x f x x x x ηη'+-=<<+ 由()0,f x ''<所以()f x '单调减,而12x x ξη<<<,有()()f f ξη''>,所以12211()()()(0)()f x x f x f x f f x +-<-=,即1212()()()f x x f x f x +<+.证法二：用函数不等式来证明.要证11()()(),0f x x f x f x x +<+>,构造辅助函数11()()()()x f x f x f x x ϕ=+-+,则1()()()x f x f x x ϕ'''=-+.由()0,()f x f x '''<单调减,1()(),()0f x f x x x ϕ'''>+>. 由此,11()(0)()(0)()0(0)x f x f f x x ϕϕ>=+-=>.改x 为2x 即得证.【相关知识点】拉格朗日中值定理:如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.七、(本题满分8分)【解析】(1)先求出在变力F 的作用下质点由原点沿直线运动到点(,,)M ξηζ时所作的功W 的表达式.点O 到点M 的线段记为L ,则LLW F ds yzdx zxdy xydz =⋅=++⎰⎰.(2)计算曲线积分：L 的参数方程是 ,,,x t y t z t ξηζ===t 从0到1,1122220()3W t t t dt t dt ηζξξζηξηζξηζξηζ⇒=⋅+⋅+⋅==⎰⎰.化为最值问题并求解：问题变成求W ξηζ=在条件2222221(0,0,0)a b c ξηζξηζ++=≥≥≥下的最大值与最大值点.用拉格朗日乘子法求解.拉格朗日函数为222222(,,,)1F a b c ξηζξηζλξηζλ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭,则有22222222220,20,20,10.FaF b F c F abcξηζλξηξζληζξηλγξηζλ∂⎧=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎪∂⎪=++-=⎪∂⎩解此方程组：对前三个方程,分别乘以,,ξηζ得222222,abcξηζ==(0λ≠时)代入第四个方程得,,ξηζ===. 相应的W ==.当0λ=时相应的,,ξηζ得 0W =. 因为实际问题存在最大值,所以当(,,)ξηγ=时W. 【相关知识点】拉格朗日乘子法：要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,),L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ,这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.八、(本题满分7分)【解析】(1) 1α能由23αα、线性表出.因为已知向量组234ααα、、线性无关,所以23αα、线性无关,又因为123ααα、、线性相关,故1α能由23αα、线性表出. (2) 4α不能由123ααα、、线性表出,反证法：若4α能由123ααα、、线性表出,设 4112233k k k αααα=++. 由(1)知, 1α能由23αα、线性表出,可设11223l l ααα=+,那么代入上式整理得411221233()()k l k k l k ααα=+++.即4α能由23αα、线性表出,从而234ααα、、线性相关,这与已知矛盾. 因此,4α不能由123ααα、、线性表出.【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12m k ,k ,,k ,使11220m m k k k ααα+++=,则称12m ,,,ααα线性相关；否则,称12m ,,,ααα线性无关．九、(本题满分7分)【解析】(1)设112233x x x βξξξ=++,即是求此方程组的解.对增广矩阵123(,,,)ξξξβ作初等行变换,第一行乘以()1-分别加到第二行和第三行上,再第二行乘以()3-加到第三行上,第三行自乘12,有 111111111111123101200120149303820011 ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 第三行乘以()2-、()1-分别加到第二行和第一行上,再第二行乘以()1-加到第一行上,有增广矩阵10020102001 1 ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭.解出31x =,22x =-,12x =,故12322βξξξ=-+.(2) 由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘A ,得22()()A A A A A ααλαλαλα====,再一直这样操作下去,有n n A αλα=.因为0α≠,故0λ≠.按特征值定义知nλ是n A 的特征值,且α为相应的特征向量.所以有,(1,2,3)n ni i i i i i A A i ξλξξλξ===,据(1)结论12322βξξξ=-+,有123123(22)22A A A A A βξξξξξξ=-+=-+,于是 123123112233(22)2222n n n n n n n nA A A A A βξξξξξξλξλξλξ=-+=-+=-+121322231112122233223149223n nn n n n n n +++++⎡⎤-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⋅+=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)【解析】由条件概率和乘法公式：从()0P AB =,可知()()(|)P ABC P AB P AB C =0=, 由加法公式：()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+1111150044416168=++---+=, 故 3()()1()8P ABC P AB C P A B C ==-=.(2)【解析】依题意,随机变量X 服从参数为1λ=的指数分布,故X 的概率密度为,0,()0,0,x e x f x x -⎧ >=⎨ ≤⎩根据连续型随机变量函数的数学期望的求法,得出2220()()()()Xxx x E X ex ef x dx x e e dx +∞+∞-----∞+=+=+⎰⎰3014133xx xe dx e dx +∞+∞--=+=+=⎰⎰.十一、(本题满分6分)【解析】方法一：利用分布函数求密度函数：首先,因2(,)XN μσ,所以X的密度函数为22()()x X f x μσ--=,因Y 服从[,]ππ-上的均匀分布,故Y 的密度函数为11()()2Y f y πππ==--.因为随机变量X 与Y 相互独立,所以二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(,)()()X Y f x y f x f y =.要求Z 的密度函数,先求Z 的分布函数()()()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤(,)x y zf x y dxdy +≤=⎰⎰()()X Y x y zf x f y dxdy +≤=⎰⎰22()12x x y zdxdy μσπ--+≤=⎰⎰.2222()()1122x x z yz ydy dx dy dx μμππσσππππ--------∞--∞==⎰⎰⎰⎰12z y dy ππμπσ---⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭⎰(由标准正态分布来表示一般正态分布) 求出Z 的分布函数,因此,对分布函数求导得密度函数,Z 的密度函数为11()()2Z Z z y f z F z dy ππμϕπσσ---⎛⎫'==⎪⎝⎭⎰ 其中()x ϕ 是标准正态分布的概率分布密度.由于()x ϕ 是偶函数,故有z y y z μμϕϕσσ--+-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是 111()22Z y z z z f z dy ππμπμπμϕπσσπσσ-+-⎡+--+-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==Φ-Φ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰. 最终用标准正态分布函数()x Φ表示出来Z X Y =+的概率分布密度. 方法二：用卷积公式直接计算：直接应用相互独立随机变量之和密度的卷积公式,求()Z f z 更为简单. 因为随机变量X 与Y 相互独立,由卷积公式1()()()2Z X Y f z f z y f y dy π+∞-∞=-⎰2222()()1122z y z y dy dy μμππσσππππ--------==⎰⎰22()12y z dy μπσππ+---=⎰12y z dy ππμπσ-+-⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭⎰ 112y z dy ππμϕπσσ-+-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰ 12z z πμπμπσσ⎡+--+-⎤⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 最终用标准正态分布函数()x Φ表示出来Z X Y =+的概率分布密度.。

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2016南京大学心理学考研学硕自主命题626真题解析南京大学虽然早已自主命题，但是题型分布还是和统考一样，分值比例是没有变化。

南大的分值比较基础，重心放在普通心理学上，所以目标是南大的17年的考生，一定要把基础夯实了才可以。

除了普通心理学这一科，实验、统计、测量这三大难点也是实力相当，并且是结合出题，所以对这几科头疼的考生更不能小觑他们的地位。

南大指定的教材里有一本是《心理学与生活》，考自这本书里的题主要是临床、治疗、发展心理学，《心理学与生活》这本书几乎是涵盖了所有的心理学的学科，那么学习这本教材的时候就要一视同仁，莫要含糊过去。

题目分析及复习策略虽然现在南大还是以统考的题型比例为准，但是现在自命题越来越多，保不齐哪年的考纲就变化了。

通过今年的考试自命题的变化就能感受的到，现在题型和考纲命题是变幻莫测的。

针对题型，井老师先讲一下复习重点和策略。

1、选择题南大是分了单项选择和多项选择，可以看到，单项选择题普通心理的比重占了一半还多，说明南大还是非常注重心理学的基础，比如说：记忆、气质、性格、思维、情绪等等，考察的知识点都是比较基础，比较详细的。

那么有些学生就说了，那么我把普通心理学好好复习就行了呗。

是这个道理但也不绝对，普通心理学是考察的比较基础的知识点，那么也就说明，你要把普通心理学复习的融会贯通，并且不留死角才可以。

那么想了想400多页的课本是不是也有点头疼了？其实，普通心理学是复习专业课万变不离其宗的根本，所以17年的考生是务必要重视的。

选择题中统计和实验的比重也是不小的，那么在复习过程中一定要注重细节。

对于概念性的知识点是一定要弄懂而不是似是而非，不然考试的时候就是他认识你，你不认识他了。

2、简答题简答题大家可以看看分布图，除了测量心理学，但凡是涉及到概念性知识点的科目都是出了一道题的，也就是在提醒大家，复习要均衡，不要有侥幸心理。

当然，简答题的难度也是大家比较关注的，今年在《心理学与生活》是出了一道发展心理学的必考题：皮亚杰的认知发展阶段理论，是不是恍然大悟，哦，不难呢，那么在复习的时候，你是否会觉得他过于简单而绕过他了呢？对于统计这一科，简单是出了一道统计效力的题，所以在统计的复习过程中不单单是要复习计算公式，概念性的考点也是值得大家关注的；其实在统计复习过程中，需要大家识记的概念性知识点也就那么几个，在复习的时候整理一下可能出现主观题的知识点分布，就是能够避开这种尴尬了。

1992年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设函数()y y x =由方程cos()0x yexy ++=确定, 则dx dy =xyx e e xy y y x yx sin sin --++. (2) 函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度M gradu ={}9/2,2,12-(3) 设21,0()1,0x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩，则其以2π为周期的傅里叶级数在点π=x 处收敛于 22π. (4) 微分方程x x y y cos tan =+'的通解为x c x y cos )(+=.(5) 设A=111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中0,0i i a b ≠≠,(1,2,,i n = )，则矩阵A 的秩r(A)= 1 . 二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 当x 1→时，函数 112--x x e 11-x 的极限 （D ）(A) 等于2 (B) 等于0. (C) 为∞. (D) 不存在但不为∞.(2) 级数∑∞=--1)cos 1()1(n nnα(常数)0>α (C)(A) 发散. (B) 条件收敛. (C) 绝对收敛. (D) 收敛性与α有关. (3) 在曲线32,,t z t y t x =-==的所有切线中，与平面42=++z y x 平行的切线 (B)(A) 只有1条 (B) 只有2条 (C) 至少有3条 (D) 不存在(4) [92-1、2] 设32()3,f x x x x =+ 则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为 (C)(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.(5) 要使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110,20121ξξ都是线性方程组AX=0的解, 只要系数矩阵A 为 (A)(A) []112- ； (B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-110102 ；(C) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--110201 ；(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---11224110 三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分) (1) 求.111sin lim2xx e x x ----→解：原式2102sin 1lim x x e x x→--=……2分 0cos limx x e xx →-= ……4分 1=.……5分(2) 设22(sin ,)xz f e y x y =+, 其中f 具有二阶连续偏导数, 求 yx z∂∂∂2.解：12sin 2x ze yf xf x ∂''=+∂……2分 221112221sin cos 2(sin cos )4cos x x x zf e y y e y y x y f xyf f e y x y∂'''''''=++++∂∂.……5分 (3) 设()f x =21,0,0x x x e x -⎧+≤⎨>⎩ ，求⎰-31)2(dx x f .解：令2x t -=，则原式11()f t dt -⎰=……2分 01210(1)t t dt e dt --=++⎰⎰……4分 713e=- ……5分四、(本题满分6分)求微分方程x e y y y 332-=-'+''的通解.解：对应齐次方程的通解为：312x x y c e c e -=+ ，其中12,c c 为任意常数. ……3分设原方程的一个特解为*3x y Axe -=，代入原方程得14A =-，所以*314x y xe -=- ……5分 所求通解为331214xxx y c e c exe --=+-. ……6分五、(本题满分8分) 计算面积分⎰⎰∑+++++,)()()(232323dxdy ay z dzdx ax y dydz az x其中∑为上半球面z =222y x a --的上侧．解：记S 为平面2220()z x y a =+≤的下侧，Ω∑为与S 所围成的空间区域，则 原式323232()()()Sx az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+=+++++⎰⎰ 323232()()()Sx az dydz y ax dzdx z ay dxdy -+++++⎰⎰ ……2分 22222223()x y a x y z dxdydz ay dxdy Ω+≤=+++⎰⎰⎰⎰⎰……4分22423203sin sin a ad d d a d r dr πππθϕϕρρθθ=+⎰⎰⎰⎰⎰……6分 55561295420a a a πππ=+=. ……8分六、(本题满分7分)设,0)0(,0)(=<''f x f 证明: 对任何x ,0,021>>x 有)()()(2121x f x f x x f +<+. 证：由微分中值定理，有11111()(0)(),(0)f x f x f x ξξ'-=<<122122212()()(),()f x x f x x f x x x ξξ'+-=<<+.……2分 不妨设12x x <，则有12ξξ<.……4分 由于()0f x ''<，知()f x '单调减少，故21()()f f ξξ''<， 而10x >，所以1221()()()(0)f x x f x f x f +-<-， ……6分 由1212(0)0()()()f f x x f x f x =+<+即得，.……7分七、(本题满分8分)在变力→→→→++=k xy j zx i yz F 的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面1222222=++cz b y a x 上第一卦限的点M(),,ζηξ，问当ζηξ,,取何值时，力→F 所作的功W 最大? 并求出W 的最大值.解：直线段:,,,01OM x t y t z t t ξηζ===从到，……1分 OMW yzdx zxdy xydz =++⎰……2分 1203t dt ξηζξηζ==⎰.……4分222222W 1(0,0,0)abcξηζξηζξηζ=++=≥≥≥下面求在条件下的最大值.222222F(,,)(1)a b c ξηζξηζξηζλ=+---令, ……5分由00F 0F F ξηζ⎧∂=⎪∂⎪⎪∂=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩，得2222,2,2,a b c ληζξλξζηλξηζ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩……6分2222222222221,,3abcabc ξηζξηζ=====从而即得,,333ξηζ===于是得. ……7分 由问题的实际意义知max 3W =. ……8分八、(本题满分7分)设向量组321,,ααα线性相关，向量组432,,ααα，问： (1) 1α能否由32,αα线性表出？证明你的结论. (2) 4α能否由321,,ααα线性表出？证明你的结论.解：(1) 1α能由32,αα线性表出.……1分 因为已知432,,ααα线性无关，所以32,αα线性无关. ……3分 又因为321,,ααα线性相关，故证得1α能由32,αα线性表出.……4分 (2) 4α不能由321,,ααα线性表出.……5分用反证法.假设4α可由321,,ααα线性表出，即4231312αλααλλα++=. 又由(1)知，12233l l ααα=+，故代入上式得421223133()()l l αλλαλλα=+++. 即4α可由23,αα表出，从而432,,ααα线性相关，这和已知矛盾. 因此，4α不能由321,,ααα线性表出.……7分 九、(本题满分7分)设三阶矩阵A 的特征值为,3,2,1321===λλλ对应的特征值向量依次为.931,421,111321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ξξξ 又向量.311⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=β(1) 将β用321,,ξξξ线性表出；(2) 求A n n (β为自然数).(1) 解：设112233x x x βξξξ=++，……1分 则由111111111111123101200120149303820022⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……2分得唯一解(2,2,1)-，故12322βξξξ=-+.……3分 (2) 解一：123(22)n n βξξξ=-+A A……4分 由于,(1,2,3)n ni i i i i ii ξλξξλξ===A A ，……5分 故1231122332222n n n n n n n βξξξλξλξλξ=-+=-+A A A A……6分121321112232122233223149223n nn n n n n n +++++⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-⋅+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.……7分 解二：因1100020003P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中123[,,]P ξξξ=. ……4分故1100020003A P P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，11100100020020003003nn n n A P P P P --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……5分所以112132100111100222302012302022230031490031223n nn nn n n n n n n A P P ββ+-++++⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪==-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.……7分 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分) (1) 已知P (A )=P (B )=P (C )=41,P (AB )=0,P (A C )=P (BC )=161,则事件A ，B ，C 全不发生的概率为3/8(2) 设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望E {}=+-Xe X 24/3.十一、(本题满分6分)设随机变量X 与Y 独立，X 服从正态分布N(2,σμ)，Y 服从[,]ππ-上的均匀分布， 试求Z =X +Y 的概率分布密度. (计算结果用标准正态分布函数)(x Φ表示，其中)21)(22dt ex xt ⎰∞--=Φπ..解：由题设，X 和Y 的概率分布密度为22()2(),2x X f x x μσπσ--=-∞<<+∞； 1()20Y y f y πππ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. ……2分因X 和Y 独立，故可用卷积公式. 考虑到()Y f y 仅在[,]ππ-上才有非零值，所以Z 的概率分布密度为()()()Z X Y f z f z y f y dy +∞-∞=-⎰22()222z y edy μπσπππσ----=.……4分令z y t μσ--=，则22()22z t z Z f z edt πμσπμσππ+----=⎰……5分 12z y z y μμπσσ⎡+---⎤⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ……6分数 学（试卷二）一、二、【 同数学一 第一、二题 】三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分) (1) 【 同数学一 第三、（1）题 】 (2) 【 同数学一 第三、（2）题 】(3) 设矩阵X 满足AX + I = A 2+ X, 其中I 为三阶单位阵，又已知101020101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试求出矩阵X .解：由题设有2()A I X A I -=-，即()()()A I X A I A I -=-+……2分 因A I -=001010100⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭可逆.……3分故1()()()X A I A I A I A I -=--+=+=201030102⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭.……5分四、(本题共3小题，每小题6分，满分18分) (1) 【 同数学一 第四、（1）题 】(2) 求220()()x d x t f t dt dx-⎰，其中()f t 为已知的连续函数. 解：原式222()()x x xf t dt tf t dt '-⎰⎰=[]……3分 2222202()()2()2x x f t dt x f x x x f x x +⋅-⋅⎰= ……5分 22()x x f t dt =⎰.……6分(3) 计算dx e dy dx e dy y yxy yxy ⎰⎰⎰⎰+121212141.解：原式=y xD e dxdy ⎰⎰2112y xxxdx e dy ⎰⎰= ……3分11231()82x x e e dx e e =-=⎰ ……6分五~九、【 同数学一 第五~九题 】数 学（试卷三）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设 ⎩⎨⎧-=-=)1()(3te f y t f x π，其中f 可导且0)0(≠'f ，则0=t dx dy= 3 .(2) 函数2cos y x x =+在区间[]2/,0π上的最大值为6/3π+ .(3) =---→x e x xx cos 11lim 20 0 . (4) =+⎰∞+12)1(x x dx 1ln 22. (5) 由曲线xy xe =与直线y ex =所围成的图形的面积S =12e-. 二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 0→x 时，sin x x -是2x 的 （B ）(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小(2) 设⎩⎨⎧>+≤=.0,,0,)(22x x x x x x f ，则 (D)(A) ⎩⎨⎧>+-≤-=-.0),(,0,)(22x x x x x x f (B) ⎩⎨⎧≥-<+-=-.0,,0),()(22x x x x x x f (C) ⎩⎨⎧>-≤=-.0,,0,)(22x x x x x x f (D) ⎩⎨⎧≥<-=-.0,,0,)(22x x x x x x f(3) 【 同数学一 第二、（1）题 】 (4) 设()f x 连续，F (x) =dt t f x )(22⎰,则)(x F '等于 (C)(A) ).(4x f (B) )(42x f x (C) ).(24x xf (D) )(22x xf(5) 若)(x f 的导数是sin x ，则)(x f 有一个原函数为 (B)(A) 1sin x +. (B) 1sin x -. (C) 1cos x +. (D) 1cos x - 三、(本题共5小题，每小题5分，满分25分)(1) 求 21)63(lim -∞→++x x xx解：原式123lim(1)6x x x-→∞-=++……1分 3(1)62(6)33lim[(1)]6x x x x x--+-+→∞-=++ ……3分 32e -=.……5分(2) 设函数)(x y y =由方程1=-yxe y 所确定，求22=x dx yd 的值.解：在方程两边对x 求导得''0y y y e xe y --=，……1分 在上式两边再对x 求导得2'''('''')0y y y y y e y e y xe y xe y --++=， ……3分由题设知1x =时1y =，代入上面两式解得2'(0),''(0)2y e y e ==.即22022x d y e x =∣=∂. ……5分(3) 求.123dx xx ⎰+ 解：原式222(1)21d x x ++=……1分 2221(1(1)21x d x x =+++⎰ ……3分 3122221(1)(1)3x x c =+-++ . ……5分(4) 求.sin 10dx x ⎰-π解：原式20(sin cos )22x xdx π-⎛⎜⎠=……1分 0sin cos 22x xdx π=-⎰ ……3分 202(cos sin )(sin cos )2222x x x xdx dx πππ=-+-⎰⎰ ……4分 2022[sin cos ]2[cos sin ]4(21)2222x x x x πππ=+-+=.……5分(5) 求微分方程 02)(3=--xdy dx x y 的通解.解：原方程可化为2122x y y x '-=-，……1分这是一阶线性方程，其通解为11222(())2dxdxx x x y ee dx C -⎰⎰=-+⎰.……3分 即521()5y x x C =-+.315y x x =.……5分四、(本题满分9分) 【 同数学一 第三、（3）题 】 五、(本题满分9分)求微分方程x xe y y y =+'-''23的通解. 解：原方程的特征方程为2320r r -+=, ……1分其根为121,2r r ==，于是对应齐次方程的通解为21212,(,)x x y C e C e C C =+为任意常数.……3分由于1λ=是特征方程的单根，故可设原方程的一个特解为：*()x y x ax b e =+， ……5分将其代入原方程得22ax a b x -+-=，解得1,12a b =-=-. ……7分所以2*()2xx y x e =-+，从而所求通解为2212()2x x x x y C e C e x e =+-+. ……9分六、(本题满分9分)计算曲线2ln(1)y x =-上相应于021≤≤x 的一段弧的长度. 解：12201'S y dx =+……2分 122221()1x dx x -=+-……4分 1222011x dx x +=-⎰ ……5分 12011(1)11dx x x =+-+-⎰ ……7分1201[ln(1)ln(1)]ln 32x x x =+---=-.……9分七、(本题满分9分) 求曲线y x =l ,使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成的平面图形面积最小.解：因2y x'=,故y x t t （）处切线l 的方程为)2y t x t t-. ……2分即2ty t=.于是 2042()[(]32t S t x x dx t t t==⎰ 312211'()22S t t t --=-+. ……5分 令'()0S t =，得驻点1t =.……7分由于''10S >（），故1t =时，S 取最小值，此时，l 的方程为122x y =+. ……9分八、(本题满分9分)【 同数学一 第六题 分值不同 】数 学（试卷四）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设商品的需求函数为Q = 100 - 5P, 其中Q, P 分别表示需求量和价格, 如果商品需求弹性 的绝对值大于1, 则商品价格的取值范围是 (10，20 ] .(2) 级数 ∑∞=-124)2(n nnn x 的收敛域为 ( 0, 4 ) . (3) 交换积分次序⎰⎰-=1022),(ydx y x f dy y⎰⎰⎰⎰-+1212022),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx .(4) 设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且,A a =,B b =C =00A B⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则 =C abmn )1(-(5) 将C,C,E,,E,I,N,S 等七个字母随机地排成一行,那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为1/1260.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设F(x)=⎰-xa dt t f ax x ,)(2其中f(x)为连续函数,则)(lim x F a x →等于 (B) (A) 2a . (B) )(2a f a . (C) 0 . (D) 不存在.(2) 当x 0→时,下列四个无穷小量中,哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量? (D)(A) 2x . (B) x c o s1- (C) .112--x (D) x x t a n- (3) 设A 为m n ⨯矩阵，则齐次线性方程组AX = 0仅有零解的充分条件是 (A)(A) A 的列向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性无关 (D) A 的行向量线性相关(4) 设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则 (B)(A) P (C )≤ P (A )+P (B )-1 (B) P (C )≥P (A )+P (B )-1(C) P (C ) = P (AB ) (D) ()()P C P A B = (5) 设n 个随机变量12,,,n X X X 独立同分布，21σ=DX ,11ni i X X n ==∑, ∑=--=ni i X X n S 122)(11,则 (C) (A) S 是σ的无偏估计量 (B) S 是σ的最大似然估计量 (C) S 是σ的相合估计量(即一致估计量) (D) S 与X 相互独立.三、(本题满分5分)设函数()f x =ln cos(1),11sin 21,1x x x x π-⎧≠⎪⎪-⎨⎪=⎪⎩若若，问函数()f x 在1x =处是否连续? 若不连续，修改函数在1x =处的定义，使之连续．解：因为111sin(1)ln cos(1)cos(1)lim ()lim lim 1sin cos222x x x x x x f x x xπππ→→→----==--……1分12(1)limcos2x tg x x ππ→-=2112cos (1)lim sin 22x x x πππ→-=- ……2分24π=-.……3分 而(1)1f =，故1lim ()(1)x f x f →≠. 所以函数在1x =处不连续……4分 若令24(1)f π=-，则函数在1x =处连续.……5分四、(本题满分5分)计算I=dx ee arc xx⎰cot . 解：x x I arcctge de -=-⎰……1分 21xxxxxe e arctge e dx e -=--+⎰ ……2分 21x x xdxe arctge e=--+⎰ ……3分 22(1)1x x xxe e arcctge dx e -=---+⎰ ……4分 21ln(1)2x x x e arcctge x e C -=--+++.……5分五、(本题满分5分)设sin()(,)xz xy x yϕ=+，求2z x y ∂∂∂. 其中),(νϕu 有二阶偏导数.解：记,x u x v y ==，有1cos()u v z y xy x yϕϕ∂=++∂ ……2分于是222211cos()sin()()()()uv v vv z x x xy xy xy x y y y y yϕϕϕ∂=-+-+-+-∂∂2231cos()sin()uv v vv x xxy xy xy y y yϕϕϕ=----.……5分六、(本题满分5分)求连续函数)(x f , 使它满足.)(2)(02⎰=+xx dt t f x f解：两边求导，得'()2()2f x f x x +=. ……1分记()2,()2P x Q x x ==，有通解()()()[()]p x dx p x dxf x e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰……2分 22(2)x x e xe dx C -=+⎰……3分 2x Ce x -=+-12. ……4分由原方程易见(0)0f =，故1C 2=，从而所求函数211()22x f x e x -=+-. ……5分七、(本题满分6分)求证:当1x ≥时, 212arccos 214x arctgx x π-=+. 证：令212()arccos 214x f x arctgx x π=--+， ……1分则22222222112(1)4()12(1)41(1)x x f x x x xx +-'=+++-+2222221112(1)0(1)121(1)x x x x x x +-=+⋅⋅≡>+-+. ……3分 因为()f x 在[1,)+∞连续，所以()f x 在[1,)+∞上为常数，故 ……4分 ()(1)0f x f ==.……5分 212arccos 214x arctgx x π-=+即. ……6分八、(本题满分9分) 设曲线方程为(0)x y e x -=≥.(1) 把曲线x y e -=、x 轴、y 轴和直线(0)x ξξ=>所围平面图形绕x 轴旋转一周, 得一旋转体，求此旋转体体积()V ξ；并求满足1()lim ()2V a V ξξ→+∞=的a . (2) 在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积.解：(1) 222200()(1)22x x V y dx e dx e e ξξξξππξππ---===-∣=-⎰⎰.……2分 于是lim ()2V ξπξ→+∞=，2()(1)2a V a e π-=-……3分故由1()lim ()2V a V ξξ→+∞=，有224a ππ-（1-e ）=.由此可见1ln 22a =……4分 (2) 设切点为,e αα-()，则切线方程为()y e e x ααα---=-- ……5分令0x =，得(1)y e αα-=+；令0y =，得1x α=+，故切线与坐标轴所夹面积21(1)2S e αα-=+ ……6分于是221111'(1)(1)(1)()(1)2222S e e e e ααααααααα----=+-+=+-=-， ……7分令'S ＝0，得121,1αα==-，其中2α应舍去.由于当1α<时，S'>0；当1α>时，S'0<，故当1α=时，面积S 有极大值，即最大值.此时，所求切点为1(1,)e -，最大面积2111S=222e e --⋅=. ……9分九、(本题满分7分)设矩阵A 与B 相似，其中20010022,02031100A x B y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， (1) 求x 和y 的值；(2) 求可逆矩阵P,使得P .1B AP =-解：(1) 因为~A B ，故其特征多项式相同，即||||I A I B λλ-=-， ……1分 亦即2(2)[(1)(2)](1)(2)()x x y λλλλλλ+-++-≡+--.……2分 令0λ=，得2(2)2x y -=，即2y x =-；令1λ=，得2y =-，即0x =；……4分(2) 由(1)知，200100202020311002A B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，.对应于A 和B 共同的特征值1,2,2--的特征向量为123(0,2,1),(0,1,1),(1,0,1)T T T ξξξ=-==- ……6分则可逆矩阵001210111P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，满足1.P AP B -=……7分十、(本题满分6分)已知三阶矩阵0B ≠,且B 的每一个列向量都是以下方程组的解：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ，(1) 求λ的值； (2) 证明 .0=B解：(1) 因0B ≠，故B 中至少有一个非零列向量. 依题意，所给齐次线性方程组有非零解，故必有系数行列式||A =122210311λ--=-. ……2分由此可得1λ=.……3分 (2) 因B 的每一列向量都是原方程组的解，故有0AB =. ……4分因此由0A ≠必有||0B =. 事实上，倘若不然，设||0B ≠，则B 可逆. 故在0AB =两边右乘1B -，得0A =，这与条件矛盾，可见必有||0B =.……6分十一、(本题满分6分)设,A B 分别为m ，n 阶正定矩阵,试判定分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B AC 00是否正定矩阵. 解：设m n +维列向量(,)T T T Z X Y =,其中1212(,,,),(,,,)T T m m m m n X x x x Y y y y +++== .若0Z ≠，则,X Y 不同时为0.不妨设0X ≠，因A 是正定矩阵，所以0TX AX >. ……3分 又因为B 是正定矩阵，故对任意n 维向量Y ，有0TY BY ≥.……4分 于是有0()00T T T T TA X Z CZ X Y X AX Y BYB Y ⎡⎤⎡⎤==+>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. ……6分又显然C 是对称阵，故C 是正定矩阵.十二、(本题满分7分)假设测量的随机误差X ～N (0,210),试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量 误差的绝对值大于19.6的概率α,并利用泊松分布求出α的近似值(要求小数点后取两位有 效数字λ1 2 3 4 5 6 7 λ-e0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001解：设p 为每次测量误差的绝对值大于19.6的概率，则 ||19.6||{||19.6} 1.960.05101010X X p P X P P ⎧⎧⎫⎫=>=>=>=⎨⎬⎨⎬⎭⎭⎩⎩. ……3分又记μ为100次独立重复测量中事件}{||19.6X >出现的次数，知μ服从参数为100n =，0.05p =的二项分布，故所求概率为{3}1{3}P P αμμ=≥=-<100999821009910.951000.950.050.950.052⨯=--⨯⨯-⨯⨯. ……5分由泊松定理，知μ近似服从参数为1000.055np λ==⨯=的泊松分布，故21(1)2e λλαλ-≈-++10.00718.50.87=-⨯≈.……7分十三、(本题满分5分)一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和 0.30. 假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调的部件数，试求X 的数学期望EX 和方差DX.解一：设i A ={第i 个部件需要调整}，1,i=1,2,30i i i A X A ⎧=⎨⎩若出现；（），若不出现； ……1分易见()()[1()]i i i i i EX P A DX P A P A ==-；，……2分 123X X X X =++，……3分 因此，由123,,X X X 独立，可见0.10.20.30.6EX =++=，……4分 0.10.90.20.80.30.70.46DX =⨯+⨯+⨯=.……5分解二：【 见数学五 第十四题 分值不同 】 十四、(本题满分4分)设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<=-它其00),(y x e y x f y ，求：(1) 求随机变量X 的密度)(x f X ； (2) 概率{}1≤+Y X P .解：(1) ,0()(,)00y x x X e dy e x f x f x y dy x +∞--+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪≤⎩⎰⎰.……2分(2) {}112011(,)xy xx y P X Y f x y dxdy dx e dy --+≤+≤==⎰⎰⎰⎰……3分11(1)122[]12x xee dx e e-----=--=+-⎰. ……4分数 学（试卷五）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设xx t x t x t t f ⎪⎭⎫⎝⎛-+=∞→lim )(,则=')(t f 2(21)t e t +. (2) 【 同数学四 第一、（1）题 】(3) 设2()sin ,[()]1f x x f x x ϕ==-，则2()arcsin(1)x x ϕ=-(4) 矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111111111111111A 的非零特征值是 4 . (5) 设对于事件A,B,C,有P(A)=P(B)=P(C)=41,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=81，则A,B,C 三个事件中至少出现一个的概率为 5 / 8 .二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学四 第二、（1）题 】(2) 当x 0→时，下列四个无穷小量中,哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量? (D)(A) 2x . (B) x c o s1- (C) .112--x (D) s i n x x -(3) 设A, B, A+B, A11--+B 均为n 阶可逆矩阵, 则(A 111)---+B 等于 (C)(A) A11--+B (B) A + B (C) A(A + B)1-B (D) (A + B)1-(4) 设12,,,m ααα 均为n 维向量，那么下列结论正确的是 (B)(A) 若 11220m m k k k ααα+++= ，则12,,,m ααα 线性相关.(B) 若对任意一组不全为零的数1,2,,m k k k ，都有11220m m k k k ααα+++≠ ，则12,,,m ααα 线性无关.(C) 若12,,,m ααα 线性相关，则对任意一组不全为零的数12,,,m k k k ，都有11220m m k k k ααα+++= .(D) 若120000m ααα+++= ，则12,,,m ααα 线性无关.(5) 设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则 (D)(A) P (C ) = P (AB ) (B) ()()P C P A B = (C) P(C)≤P(A)+P(B)-1 (D) P(C)≥P(A)+P(B)-1三、(本题满分5分) 求极限1ln cos(1)lim1sin2x x xπ→--.解：11sin(1)ln cos(1)cos(1)lim lim 1sin cos222x x x x x x xπππ→→----=--……2分12(1)limcos2x tg x x ππ→-= ……3分212sec (1)limsin 22x x xπππ→-=- ……4分24π=-.……5分四、(本题满分5分)【 同数学四 第四题 】 五、(本题满分6分) 求连续函数()f x ,使它满足⎰+=1.sin )()(x x x f dt tx f解：令tx u =，则原式变为01()()sin xf u du f x x x x =+⎰，……2分即20()()sin xf u du xf x x x =+⎰两边求导数，得2()()'()2sin cos f x f x xf x x x x x =+++ 即'()2sin cos f x x x x =-- ……3分 积分，得()2cos sin f x x xd x =-⎰……4分2cos sin sin 2cos sin cos x x x xdx x x x x C =-+=--+⎰cos sin x x x C =-+.……5分六、(本题满分5分)【 同数学四 第五题 】 七、(本题满分6分)设生产某产品的固定成本为10,而当产量为x 时的边际成本函数为240203MC x x =--+， 边际收入函数为3210MR x =+，试求：(1) 总利润函数；(2) 使总利润最大的产量.解：(1) 总成本函数223010(40203)104010xC x x dx x x x =+--+=--+⎰. ……1分总收入函数20(3210)325xR x dx x x =+=+⎰，……2分总利润函数22323(325)(104010)107215R C x x x x x x x x π=-=+---+=-++- ……3分(2) 由2,402033210MC MR x x x =--+=+知，2330720x x --=……4分 1212,2()x x ==-于是舍去……5分2'72303,''306;x x x ππ=+-=-由于112''0,(0,+)x ππ=∣<∞在内只有一个极大值点.可见，当产量为12时,总利润最大.……6分八、(本题满分6分)求证：方程0cos =++x q p x 恰有一个实根，其中,p q 为常数，且01q <<． 证明：令()cos f x x p q x =++，……1分由lim ()x f x →+∞=+∞，知存在b ，使()0f b >；又由lim ()x f x →-∞=-∞，知存在a ，使()0f a <；故由介值定理可见，()0f x =在[,]a b 至少存在一个实根.……3分又因为()1sin 0f x q x '=->，故()f x 在(,)-∞+∞内单调，所以()0f x =在(,)-∞+∞内 至多有一个实根. 综上所述，cos 0x p q x ++=恰有一个实根……6分九、(本题满分8分) 给定曲线21x y =， (1) 求曲线在横坐标为0x 的点处的切线方程； (2) 求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度. 解：(1) 因曲线上横坐标为0x 点为0201(,)x x ，故曲线在该点切线的斜率为0302x x y x ='∣=-……2分 所以过此点的切线方程为：0230012()y x x x x -=--.……3分(2) 设所求点的横坐标为0x ，则过此点的切线方程如（1）所求，由此可得切线在x 轴与y 轴的截距分别为02033,2X x Y x == ……4分 设切线被坐标轴所截线段长度为l ，则222220044009919()44x l X Y x x x =+=+=+.……5分令2z l =，由005049()0,22x z x x '=-==±02x =±故由61209()02z x ''=+>，知l 在02x =±……7分 因此所求最短长度为221279()444l =+=，332l =.……8分十、(本题满分5分)【 同数学二 第三、（3）题 】 十一、(本题满分5分)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ的系数矩阵为A,三阶矩阵B ≠0,且AB=0.试求λ的值.解：设123(,,)B B B B =，其中123,,B B B 是三维列向量.由于0B ≠，至少存在一个非零的列向量，不妨设为10B ≠.由123()0AB A B B B ==，知10AB =.……3分 因此线性方程组有非零解1B ，所以122||210311A λ-=-=-，……4分 从而解得1λ=.……5分十二、(本题满分6分)已知实矩阵33()ij A a ⨯=满足条件：(1) ij ij A a =（,1,2,3i j =），其中ij A 是ij α的代数余子式；(2)011≠a . 计算行列式|A|.解： 因为ij ij a A =，所以*TA A =. 由*||T AA AA A E == ……2分 两边取行列式，得23||||A A =，从而||1A =或||0A =.……4分由于011≠a ，可知222111112121313111213||0A a A a A a A a a a =++=++≠.于是||1A =. .……6分 十三、(本题满分7分)【 同数学四 第十二题 】十四、(本题满分7分)【 同数学四 第十三题 分值不同 】解：设i A ={第i 个部件需要调整}(1,2,3)i =，则123,,A A A 独立，于是有123{0}()0.90.80.70.504P X P A A A ===⨯⨯=； 123123123{1}()()()P X P A A A P A A A P A A A ==++0.10.80.70.90.20.70.90.80.30.398=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；……2分123123123{2}()()()P X P A A A P A A A P A A A ==++0.10.20.70.10.80.30.90.20.30.092=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；123{3}()P X P A A A ==0.10.20.30.006=⨯⨯=.……4分因此X 的概率分布为0123~0.5040.3980.0920.006X ⎡⎤⎢⎥⎣⎦从而10.39820.09230.0060.6EX =⨯+⨯+⨯=；……5分 222()10.39840.09290.006(0.6)DX EX EX =-=⨯+⨯+⨯-0.820.360.46=-=.……7分。

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南京大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：数学分析考生须知：1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

————————————————————————————————————————1.(20分)计算:(1)lim n →∞(1n +1n +1+···+12n );(2)∫π2dx1+sin x.2.(20分)计算三重积分∫∫∫Ω(x 2+y 2+z 2)dxdydz ,其中Ω={(x ,y ,z )∈R 3||x |+|y |+|z |≤1}.3.(15分)设函数f :R →R 在每一点附近都单调递增,即∀x 0∈R ,∃δ>0,使f 在(x 0−δ,x 0+δ)中单调递增.证明f 在整个R 中单调递增.4.(15分)设级数∞∑n =1√na n 收敛.证明级数∞∑n =1a n 也收敛.5.(20分)方程x 2+2y 2+3z 3+2xy −z =7在(1,−2,1)附近决定了隐函数z =z (x ,y ).计算二阶偏导数∂2z∂x ∂y (1,−2).6.(20分)证明:存在常数c >0,使得当f ∈C 1[0,1]且∫1f (x )dx =0时成立∫1f 2(x )dx ≤c∫1|f ′(x )|2dx .7.(20分)设A =(a ij )为n 阶实正定对称方阵,b i (i =1,2,···,n )为实数.考虑R n 中的函数f (x 1,x 2,···,x n )=n∑i ,j =1a ij x i x j −n∑i =1b i x i .证明:f 在R n 中有唯一的最小值点.8.(20分)设f :R →R 为连续函数.证明:f 为凸函数当且仅当对任意区间[a ,b ]⊂R ,均有f (a +b 2)≤1b −a ∫ba f (x )dx .注：本试题由南大考研群小碎花提供.考试科目：数学分析第1页共1页。

1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 设函数()y y x =由方程cos()0x yexy ++=确定,则dydx=____________. (2) 函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度M gradu =____________. (3) 设21, <0,()1, 0<,x f x x x ππ--≤⎧=⎨+≤⎩则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于____________.(4) 微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =____________.(5) 设111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中0,0,1,2.i i a b i n ≠≠=则矩阵A 的秩()r A =____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 当1x →时,函数12111x x e x ---的极限 ( ) (A) 等于2 (B) 等于0 (C) 为∞ (D) 不存在但不为∞ (2) 级数1(1)(1cos )n n n α∞=--∑(常数0α>) ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与α有关 (3) 在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线 ( ) (A) 只有1条 (B) 只有2条 (C) 至少有3条 (D) 不存在(4) 设32()3||f x x x x =+,则使(0)nf 存在的最高阶数n 为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(5) 要使121 00, 121ξξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦都是线性方程组0Ax =的解,只要系数矩阵A 为 ( )(A) ()2 1 1- (B) 2 0 1 0 1 1-⎛⎫⎪⎝⎭(C) 1 0 2 0 1 1-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ (D) 011422011-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1) 求x x →.(2) 设22(sin ,)xz f e y x y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2zx y∂∂∂.(3) 设21, 0,(), >0,x x x f x e x -⎧+≤⎪=⎨⎪⎩求31(2)f x dx -⎰.四、(本题满分6分.)求微分方程323xy y y e -'''+-=的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分323232()()()xaz dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰,其中∑为上半球面z =.六、(本题满分7分)设()0f x ''<,(0)0f =,证明对任何120,0x x >>,有1212()()()f x x f x f x +<+.七、(本题满分8分)在变力F yz zx xy i j k =++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c ++=上第一卦限的点(,,)M ξηζ,问当,,ξηζ取何值时,力F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、(本题满分7分)设向量组123ααα、、线性相关,向量组234ααα、、线性无关,问：(1) 1α能否由23αα、线性表出？证明你的结论. (2) 4α能否由123ααα、、线性表出？证明你的结论.九、(本题满分7分)设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3λλλ===,对应的特征向量依次为1231111,2,3149ξξξ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,又向量123β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, (1) 将β用123,,ξξξ线性表出. (2) 求nA β(n 为自然数).十、填空题(本题满分6分,每小题3分.) (1) 已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =,1()()16P AC P BC ==,则事件A 、B 、 C 全不发生的概率为___________.(2) 设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2()XE X e -+=___________.十一、(本题满分6分)设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,)N μσ,Y 服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数()x φ表示,其中22()t xx e dt φ--∞=).1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】sin()sin()x y x y e y xy e x xy ++---【解析】函数()y y x =是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方程两边对x 求导,将y 看做x 的函数,得(1)sin()()0x yey xy xy y +''+++=.解出y ',即sin()sin()x y x y dy e y xy y dx e x xy ++-'==--. 【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅. 2.两函数乘积的求导公式：[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅.(2)【答案】{}21,2,29- 【解析】对函数u 求各个分量的偏导数,有2222u x x x y z ∂=∂++；2222u y y x y z ∂=∂++；2222u z z x y z ∂=∂++. 由函数的梯度(向量)的定义,有{}2221,,2,2,2u u u gradu x y z x y z x y z⎧⎫∂∂∂==⎨⎬∂∂∂++⎩⎭, 所以 {}{}222122,4,41,2,212(2)9Mgradu=-=-++-.【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (3)【答案】212π【解析】x π=是[,]ππ-区间的端点,由收敛性定理—狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在x π=处收敛于22111[(0)(0)][11]222f f ππππ-++-=-++=. 【相关知识点】收敛性定理—狄利克雷充分条件：函数()f x 在区间[,]l l -上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；(ⅱ) 只有有限个极值点.则()f x 在[,]l l -上的傅里叶级数收敛,而且01(cos sin )2n n n a n n a x b x l lππ∞=++∑ [][] (), (,)()1(0)(0), (,)()21(0)(0), .2f x x l l f x f x f x x l l f x f l f l x l ⎧⎪∈-⎪⎪=++-∈-⎨⎪⎪-++-=±⎪⎩若为的连续点,若为的第一类间断点,若 (4)【答案】cos cos ,y x x C x C =+为任意常数【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于tan 1|cos |xdxe x ⎰=,方程两边同乘1cos x,得 111cos cos y y x C xx '⎛⎫=⇒=+⎪⎝⎭积分.故通解为cos cos ,y x x C x C =+为任意常数. (5)【答案】1【解析】因为矩阵A 中任何两行都成比例(第i 行与第j 行的比为ija a ),所以A 中的二阶子式全为0,又因0,0i i ab ≠≠,知道110a b ≠,A 中有一阶子式非零.故()1r A =.【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在r 阶子式不为零,而所有的1r +阶子式全为零时,则此矩阵的秩为r .二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点0x 的极限是否存在需要判定左极限0x x -→和右极限0x x +→是否存在且相等,若相等,则函数在点0x 的极限是存在的.11211111lim lim(1)01x x x x x e x e x ----→→-=+=-, 11211111lim lim(1)1x x x x x e x e x ++--→→-=+=∞-, 0≠∞,故当1x →时函数没有极限,也不是∞.故应选(D).(2)【答案】(C)【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小2111cos()2n n n -→+∞, 22(1)(1cos )1cos()2nn n nnααα --=-→+∞,又因为p 级数：11p n n ∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散. 所以有 22112n nα∞=∑收敛. 1(1)(1cos )n n n α∞=⇒-- ∑收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C).注：对于正项级数1n n a ∞=∑,确定无穷小n a 关于1n的阶(即与p 级数作比较)是判断它的敛散性的一个常用方法.该题用的就是这个方法. (3)【答案】B【解析】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为0得切点对应的t 值.求曲线上的点,使该点处的切向量τ与平面24x y z ++=的法向量{}1,2,1n =垂直,即可以让切线与平面平行.曲线在任意点处的切向量{}{}2(),(),()1,2,3x t y t z t t t τ'''==-,0n n ττ⊥ ⇔⋅=,即31430t t -+=,解得 11,3t t ==.(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)因此,只有两条这种切线,应选(B). (4)【答案】(C)【解析】因33x 处处任意阶可导,只需考查2||()x x x ϕ,它是分段函数,0x =是连接点.所以,写成分段函数的形式,有33,0,(), 0,x x x x x ϕ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩ 对分段函数在对应区间上求微分,223,0,()3, 0,x x x x x ϕ⎧-<⎪'⇒=⎨>⎪⎩ 再考查()x ϕ在连接点0x =处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论.30(0)()0x x ϕ++=''==,30(0)()0(0)0x x ϕϕ--='''=-=⇒=,即 223,0,()3, 0.x x x x x ϕ⎧-≤⎪'=⎨>⎪⎩同理可得 6,0,()6, 0,x x x x x ϕ-<⎧''=⎨>⎩ (0)0ϕ''=,即 6,0()6||6, 0x x x x x x ϕ-≤⎧''==⎨>⎩.对于y x =有(0)1,(0) 1.y y +-''==- 所以y x =在0x =不可导,(0)ϕ'''⇒不存在,应选(C). (5)【答案】(A)【解析】1ξ,2ξ向量对应的分量不成比例,所以1ξ,2ξ是0Ax =两个线性无关的解,故()2n r A -≥.由3n =知()1r A ≤.再看(A)选项秩为1；(B)和(C)选项秩为2；而(D)选项秩为3.故本题选(A). 【相关知识点】对齐次线性方程组0Ax =,有定理如下:对矩阵A 按列分块,有()12n A ,,,ααα=,则0Ax =的向量形式为11220n n x x x .ααα+++=那么, 0Ax =有非零解 12n ,,,ααα⇔线性相关()12n r ,,,n ααα⇔< ()r A n.⇔<三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1)【解析】由等价无穷小有0x →时,22111()22xx --=, 原式=0021sin lim 12x x x x e xx →→--=,上式为“”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式00cos sin lim lim 1x x x x e x e x x →→-+洛必达洛必达1011+==.(2)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求zx∂∂,再求()z y x ∂∂∂∂. 由复合函数求导法则得221212(sin )()sin 2x x z f e y f x y f e y f x x x x∂∂∂''''=++=⋅+⋅∂∂∂, 212(sin 2)x z f e y f x x y y∂∂''=+∂∂∂ 111212122(cos 2)sin cos (cos 2)2x x x x f e y f y e y f e y f e y f y x '''''''''=++++ 21112221sin cos 2(sin cos )4cos x x x f e y y f e y y x y f xy f e y '''''''=⋅+⋅++⋅+⋅. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u vf f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂. (3)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.令2x t -=,则.dx dt =当1x =时,1t =-；当3x =时,1t =,于是()310121110(2)()1t f x dx f t dt t dt e dt ----=++⎰⎰⎰⎰分段01301171.33t t t e e --⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭四、(本题满分6分.)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,所对应的齐次方程的特征方程223(1)(3)0r r r r +-=-+=有两个根为11,r =23r =-,而非齐次项2,3x e r αα=-=为单特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解3xY x ae -=⋅,代入方程可得14a =-,故所求通解为33124xxx xy C e C ee --=+-,其中12,C C 为常数. 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k xm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.五、(本题满分8分) 【解析】将原式表成I Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑=++⎰⎰,则2223()P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂.以考虑用高斯公式来求解,但曲面∑不是封闭的,要添加辅助面.如果本题采用投影法计算是比较复杂的,故不采用.添加辅助面222:0()S z x y a =+≤,法向量朝下,S 与∑围成区域Ω,S 与∑取Ω的外法向量.在Ω上用高斯公式得323232222()()()3()SI x az dydz y ax dzdx z ay dxdy x y z dV Ω++++++=++⎰⎰⎰⎰⎰.用球坐标变换求右端的三重积分得222222203()3sin ax y z dV d d d ππθϕϕρρρΩ++=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰4552001632sin 32155a d d a a ππϕϕρρππ=⨯=⨯⨯⨯=⎰⎰.注意S 垂直于平面yOz 与平面xOz ,将积分投影到xOy 平面上,所以左端S 上的曲面积分为SPdydzdx Qdzdx Rdxdy ++⎰⎰2200(,,0)xySSD R x y dxdy ay dxdy a y dxdy =++==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2220sin a a d r rdr πθθ=-⋅⎰⎰ (极坐标变换)422350sin 44aa a d r dr a a ππθθπ=-=-⨯⨯=-⎰⎰.因此 5556295420I a a a πππ=+=. 【相关知识点】1.高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有,P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰或()cos cos cos ,P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式. 2.对于球面坐标与直角坐标的关系为：sin cos ,sin sin ,cos ,x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩其中ϕ为向量与z 轴正向的夹角,0ϕπ≤≤；θ为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到向量在xOy 平面上投影线段的角,02θπ≤≤；r 为向量的模长,0r ≤<+∞.球面坐标系中的体积元素为2sin ,dv r drd d ϕϕθ=则三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式是：2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin .f x y z dxdydz f r r r r drd d ϕθϕθϕϕϕθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰六、(本题满分7分)【解析】证法一: 用拉格朗日中值定理来证明.不妨设210x x >>,要证的不等式是1221()()()(0)f x x f x f x f +-<-. 在1[0,]x 上用中值定理,有111()(0)(),0f x f f x x ξξ'-=<<；在212[,]x x x +上用中值定理,又有1221212()()(),f x x f x f x x x x ηη'+-=<<+ 由()0,f x ''<所以()f x '单调减,而12x x ξη<<<,有()()f f ξη''>,所以12211()()()(0)()f x x f x f x f f x +-<-=,即1212()()()f x x f x f x +<+.证法二：用函数不等式来证明.要证11()()(),0f x x f x f x x +<+>,构造辅助函数11()()()()x f x f x f x x ϕ=+-+,则1()()()x f x f x x ϕ'''=-+.由()0,()f x f x '''<单调减,1()(),()0f x f x x x ϕ'''>+>. 由此,11()(0)()(0)()0(0)x f x f f x x ϕϕ>=+-=>.改x 为2x 即得证.【相关知识点】拉格朗日中值定理:如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.七、(本题满分8分)【解析】(1)先求出在变力F 的作用下质点由原点沿直线运动到点(,,)M ξηζ时所作的功W 的表达式.点O 到点M 的线段记为L ,则LLW F ds yzdx zxdy xydz =⋅=++⎰⎰.(2)计算曲线积分：L 的参数方程是 ,,,x t y t z t ξηζ===t 从0到1,1122220()3W t t t dt t dt ηζξξζηξηζξηζξηζ⇒=⋅+⋅+⋅==⎰⎰.化为最值问题并求解：问题变成求W ξηζ=在条件2222221(0,0,0)abcξηζξηζ++=≥≥≥下的最大值与最大值点.用拉格朗日乘子法求解.拉格朗日函数为222222(,,,)1F a b c ξηζξηζλξηζλ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭,则有22222222220,20,20,10.Fa Fb Fc F abcξηζλξηξζληζξηλγξηζλ∂⎧=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎪∂⎪=++-=⎪∂⎩解此方程组：对前三个方程,分别乘以,,ξηζ得222222,a b c ξηζ==(0λ≠时)代入第四个方程得,,ξηζ===. 相应的9W ==.当0λ=时相应的,,ξηζ得 0W =. 因为实际问题存在最大值,所以当(,,)ξηγ=时W. 【相关知识点】拉格朗日乘子法：要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,),L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ,这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.八、(本题满分7分)【解析】(1) 1α能由23αα、线性表出.因为已知向量组234ααα、、线性无关,所以23αα、线性无关,又因为123ααα、、线性相关,故1α能由23αα、线性表出. (2) 4α不能由123ααα、、线性表出,反证法：若4α能由123ααα、、线性表出,设 4112233k k k αααα=++. 由(1)知, 1α能由23αα、线性表出,可设11223l l ααα=+,那么代入上式整理得411221233()()k l k k l k ααα=+++.即4α能由23αα、线性表出,从而234ααα、、线性相关,这与已知矛盾. 因此,4α不能由123ααα、、线性表出.【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12m k ,k ,,k ,使11220m m k k k ααα+++=,则称12m ,,,ααα线性相关；否则,称12m ,,,ααα线性无关．九、(本题满分7分)【解析】(1)设112233x x x βξξξ=++,即是求此方程组的解.对增广矩阵123(,,,)ξξξβ作初等行变换,第一行乘以()1-分别加到第二行和第三行上,再第二行乘以()3-加到第三行上,第三行自乘12,有 111111111111123101200120149303820011 ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 第三行乘以()2-、()1-分别加到第二行和第一行上,再第二行乘以()1-加到第一行上,有增广矩阵10020102001 1 ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭.解出31x =,22x =-,12x =,故12322βξξξ=-+.(2) 由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘A ,得22()()A A A A A ααλαλαλα====,再一直这样操作下去,有n n A αλα=.因为0α≠,故0λ≠.按特征值定义知nλ是n A 的特征值,且α为相应的特征向量.所以有,(1,2,3)n ni i i i i i A A i ξλξξλξ===,据(1)结论12322βξξξ=-+,有123123(22)22A A A A A βξξξξξξ=-+=-+,于是 123123112233(22)2222n n n n n n n nA A A A A βξξξξξξλξλξλξ=-+=-+=-+121322231112122233223149223n nn n n n n n +++++⎡⎤-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⋅+=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)【解析】由条件概率和乘法公式：从()0P AB =,可知()()(|)P ABC P AB P AB C =0=, 由加法公式：()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+1111150044416168=++---+=, 故 3()()1()8P ABC P AB C P A B C ==-=.(2)【解析】依题意,随机变量X 服从参数为1λ=的指数分布,故X 的概率密度为,0,()0,0,x e x f x x -⎧ >=⎨≤⎩ 根据连续型随机变量函数的数学期望的求法,得出2220()()()()X x x x E X e x e f x dx x e e dx +∞+∞-----∞+=+=+⎰⎰3014133xx xe dx e dx +∞+∞--=+=+=⎰⎰.十一、(本题满分6分)【解析】方法一：利用分布函数求密度函数：首先,因2(,)XN μσ,所以X的密度函数为22()()x X f x μσ--=,因Y 服从[,]ππ-上的均匀分布,故Y 的密度函数为11()()2Y f y πππ==--.因为随机变量X 与Y 相互独立,所以二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(,)()()X Y f x y f x f y =.要求Z 的密度函数,先求Z 的分布函数()()()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤(,)x y zf x y dxdy +≤=⎰⎰()()X Y x y zf x f y dxdy +≤=⎰⎰22()12x x y zdxdy μσπ--+≤=⎰⎰.2222()()1122x x z yz ydy dx dy dx μμππσσππππ--------∞--∞==⎰⎰⎰⎰12z y dy ππμπσ---⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭⎰(由标准正态分布来表示一般正态分布) 求出Z 的分布函数,因此,对分布函数求导得密度函数,Z 的密度函数为11()()2Z Z z y f z F z dy ππμϕπσσ---⎛⎫'==⎪⎝⎭⎰ 其中()x ϕ 是标准正态分布的概率分布密度.由于()x ϕ 是偶函数,故有z y y z μμϕϕσσ--+-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是 111()22Z y z z z f z dy ππμπμπμϕπσσπσσ-+-⎡+--+-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==Φ-Φ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰. 最终用标准正态分布函数()x Φ表示出来Z X Y =+的概率分布密度. 方法二：用卷积公式直接计算：直接应用相互独立随机变量之和密度的卷积公式,求()Z f z 更为简单. 因为随机变量X 与Y 相互独立,由卷积公式1()()()2Z X Y f z f z y f y dy π+∞-∞=-⎰2222()()1122z y z y dy dy μμππσσππππ--------==⎰⎰22()12y z dy μπσππ+---=⎰12y z dy ππμπσ-+-⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭⎰ 112y z dy ππμϕπσσ-+-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰ 12z z πμπμπσσ⎡+--+-⎤⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 最终用标准正态分布函数()x Φ表示出来Z X Y =+的概率分布密度.。

得到拟录取消息的前些天一直忐忑不安，想象着自己失败时的沮丧或者自己成功时的兴奋。

终于尘埃落定，内心激动，又面色平静地拿起手机给每一个关心我的家人和朋友发了这个好消息。

也想在这里写下自己考研路上的点点滴滴，给自己留一个纪念，也希望大家能从中得到一些收获。

立大志者得中志，立中志者得小志，立小志者不得志。

所以我建议刚开始大家就朝着自己喜欢的，最好的学校考虑，不要去担心自己能不能考上的问题，以最好的学校的标准来要求自己去学习。

大家可以去自己想报考的学校官网上下过去的录取分数线，报录比之类的信息给自己一个参考和努力目标。

包括找一些学长学姐问下经验也是很有用的。

备考那个时候无论是老师还是同学们都给了我很多的帮助，让我在备考的路上少走了很多的弯路，尤其是那些珍贵的笔记本，现在回想起来依然很是感动，还好现在成功上岸，也算是没有辜负大家对我的期望。

所以想着成功之后可以写一篇经验贴，希望可以帮助大家。

话不多说，下面跟大家介绍一下我的经验吧。

文末有笔记和真题下载，大家可自取。

南京大学数学的初试科目为：(101)思想政治理论(201)英语一(627)数学分析和(801)高等代数参考书目为：南京大学《数学分析》1996-2017年考研历年真题。

近20年真题，来自官方，真实可靠2、南京大学《数学分析》2000-2010年考研历年真题答案。

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3、南京大学《高等代数》1996-2017年考研历年真题。

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先说英语吧。

词汇量曾经是我的一块心病，跟我英语水平差不多的同学，词汇量往往比我高出一大截。

从初中学英语开始就不爱背单词。

在考研阶段，词汇量的重要性胜过四六级，尤其是一些熟词僻义，往往一个单词决定你一道阅读能否做对。

所以，一旦你准备学习考研英语，词汇一定是陪伴你从头至尾的一项工作。

考研到底背多少个单词足够？按照大纲的要求，大概是5500多个。

1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设3(),(1),tx f t y f e π=-⎧⎨=-⎩其中f 可导,且(0)0f '≠,则0t dydx ==＿＿＿＿＿＿. (2) 函数2cos y x x =+在[0,]2π上的最大值为＿＿＿＿＿＿.(3) 01lim cos xx e x→-=-＿＿＿＿＿＿. (4)21(1)dxx x +∞=+⎰＿＿＿＿＿＿. (5) 由曲线xy xe =与直线y ex =所围成的图形的面积S =＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 当0x →时,sin x x -是2x 的 ( )(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但非等价的无穷小(2) 设22 , 0(),0x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩,则 ( )(A) 22 , 0()(),0x x f x x x x ⎧-≤⎪-=⎨-+>⎪⎩ (B) 22(),0() , 0x x x f x x x ⎧-+<⎪-=⎨-≥⎪⎩ (C) 22 , 0(),0x x f x x x x ⎧≤⎪-=⎨->⎪⎩ (D) 22,0() , 0x x x f x x x ⎧-<⎪-=⎨≥⎪⎩ (3) 当1x →时,函数12111x x e x ---的极限 ( ) (A) 等于2 (B) 等于0(C) 为∞ (D) 不存在但不为∞ (4) 设()f x 连续,220()()x F x f t dt =⎰,则()F x '等于 ( )(A) 4()f x (B) 24()x f x (C) 42()xf x (D) 22()xf x(5) 若()f x 的导函数是sin x ,则()f x 有一个原函数为 ( )(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1) 求123lim()6x x x x-→∞++. (2) 设函数()y y x =由方程1yy xe -=所确定,求22x d ydx=的值.(3)求3dx .(4)求π⎰.(5) 求微分方程3()20y x dx xdy --=的通解.四、(本题满分9分)设21,0() , 0x x x f x e x -⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩,求31(2)f x dx -⎰.五、(本题满分9分)求微分方程32xy y y xe '''-+=的通解.六、(本题满分9分)计算曲线2ln(1)y x =-上相应于102x ≤≤的一段弧的长度.七、(本题满分9分)求曲线y =的一条切线l ,使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成的平面图形面积最小.八、(本题满分9分)已知()0,(0)0f x f ''<=,试证：对任意的二正数1x 和2x ,恒有1212()()()f x x f x f x +<+成立.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】3【解析】由复合函数求导法则可得 33/3(1)/()t t dy dy dt e f e dx dx dt f t '-==',于是03t dy dx ==. 【相关知识点】复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (2)6π【解析】令12sin 0y x '=-=,得[0,]2π内驻点6x π=.因为只有一个驻点,所以此驻点必为极大值点,与端点值进行比较,求出最大值. 又 (0)2y =,()66y ππ=,()22y ππ=,可见最大值为()66y ππ=.(3)【答案】0【解析】由等价无穷小,有0x →时,22111()22x x --=,故 2001()12lim lim cos cos x x x x x e x e x→→--=--, 上式为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,由洛必达法则,有 原式0lim 0sin x x xe x→==+.(4)【答案】1ln 22【解析】令b →+∞,原式2222111limlim (1)(1)bb b b dx x x dx x x x x →+∞→+∞+-==++⎰⎰211lim ()1b b xdx x x →+∞=-+⎰(分项法) 221111lim ln lim 21b bb b x dx x →+∞→+∞=-+⎰ (凑微分法) 2111lim ln limln(1)2b bb b x x →+∞→+∞=-+1lim ln 22b →+∞=+1lim ln 22b →+∞=1ln1ln 22=+1ln 22=. (5)【答案】12e- 【解析】联立曲线和直线的方程,解得两曲线的交点为(0,0),(1,)e ,则所围图形面积为1()x S ex xe dx =-⎰,再利用分部积分法求解,得11200122x x e e S x xe e dx ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭⎰.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或者 .udv uv vdu =-⎰⎰二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(B)【解析】20sin limx x x x →-为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有 2000sin 1cos sin lim lim lim 022x x x x x x xx x →→→--===,故选(B). 【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim ()x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=. 若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (2)【答案】(D)【解析】直接按复合函数的定义计算.22(), 0()()(), 0x x f x x x x ⎧--≤⎪-=⎨-+-->⎪⎩22,0,, 0.x x x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩ 所以应选(D).(3)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点0x 的极限是否存在,需要判定左极限0x x -→和右极限 0x x +→是否存在且相等,若相等,则函数在点0x 的极限是存在的.11211111lim lim(1)01x x x x x e x e x ----→→-=+=-, 11211111lim lim(1)1x x x x x e x e x ++--→→-=+=∞-. 0≠∞,故当1x →时函数没有极限,也不是∞.故应选(D).(4)【答案】(C)【解析】 2222240()[()][()]()2()x F x f t dt f x x xf x '''==⋅=⎰,故选(C).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.(5)【答案】(B)【解析】由()f x 的导函数是sin x ,即()sin f x x '=,得()()sin cos f x f x dx xdx x C '===-+⎰⎰, 其中C 为任意常数.所以()f x 的原函数12()()(cos )sin F x f x dx x C dx x C x C ==-+=-++⎰⎰,其中12,C C 为任意常数.令10C =,21C =得()1sin F x x =-.故选(B). 三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.) (1)【答案】32e-【解析】此题考查重要极限：1lim(1).xx e x→∞+= 将函数式变形,有6311362233lim()lim(1)66x x x x x x x x x+---⋅⋅-+→∞→∞+=-++ 3131lim6262lim x x x x x x ee→∞----⋅⋅++→∞==32e -=.(2)【答案】22e【解析】函数()y y x =是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方法1：在方程两边对x 求导,将y 看做x 的函数,得0yyy e xe y ''--⋅=,即 1yye y xe'=-, 把0,1x y ==代入可得(0)y e '=.两边再次求导,得2(1)()(1)y y y y y y e y xe e e xe y y xe ''-++''=-,把0,1x y ==,(0)y e '=代入得(0)y ''=2222x d ye dx ==.方法2：方程两边对x 求导,得0yyy e xe y ''--=； 再次求导可得2()0yyyyy e y e y xe y xe y '''''''--++=,把0,1x y ==代入上面两式,解得(0)y e '=,(0)y ''=2222x d ye dx ==.【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy du dx du dx=⋅, 2.两函数乘积的求导公式：[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅.3.分式求导公式： 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭. (3)【答案】322(1)x C + 其中C 为任意常数. 【解析】方法1：积分的凑分法结合分项法,有3222211(1)(1)22x x =+=+21(1)2d x =+⎰2211(1)(1)22x x =+-+3221(1)3x C =+ 其中C 为任意常数. 方法2：令tan x t =,则2sec dx tdt =,3322tan sec tan (sec )(sec 1)(sec )dx t tdt td t t d t ===-⎰⎰⎰332211sec sec (1)33t t C x C =-+=+-,其中C 为任意常数. 方法3：令2t x =,则x dx ==,312=此后方法同方法1,积分的凑分法结合分项法32211(1)23dt x C ==+⎰,其中C 为任意常数. (4)【答案】1)()(),f x f x =≠不要轻易丢掉绝对值符号；绝对值函数的积分实际上是分段函数的积分.由二倍角公式 sin 2sincos22ααα=⋅,则有2221sin sin cos 2sin cos sin cos 222222ααααααα⎛⎫-=+-⋅=- ⎪⎝⎭.所以0sin cos 22x x dx πππ==-⎰⎰⎰ 202cos sin sin cos 2222x x x x dx dx πππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 2022sin cos 2cos sin 2222x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1)=.(5)【答案】315y x =,其中C 为任意常数【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为 21122y y x x '-=-. 由一阶线性微分方程的通解公式,得1122212dx dx xx y e x edx C -⎛⎫⎰⎰=-+ ⎪⎝⎭⎰315x = 其中C 为任意常数.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰,其中C 为任意常数.四、(本题满分9分)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.令2x t -=,则.dx dt =当1x =时,1t =-；当3x =时,1t =,于是()31012111(2)()1t f x dx f t dt t dt e dt ----=++⎰⎰⎰⎰分段1301171.33t t t e e --⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭五、(本题满分9分)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程2320r r -+=有两个根为121,2r r ==,而非齐次项1,1x xe r αα==为单特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解()xY x ax b e =+, 代入方程可得1,12a b =-=-,所求解为212(2)2x x x xy C e C e x e =+-+,其中12,C C 为任意常数.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .x y e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k xm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分9分) 【解析】由于2ln(1)y x =-,2222222(1),1,1(1)x x y y x x -+''=+=--2211,(0)12x ds dx x x +==≤≤-,所以 221/21/222012(1)11x x s dx dx x x +--==--⎰⎰1/21/21/22000211111112dx dx dx x x x ⎛⎫=-=+- ⎪--+⎝⎭⎰⎰⎰ 1/2111ln ln 3122x x +⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭. 【相关知识点】平面曲线弧长计算：已知平面曲线AB 的显式表示为()y f x =()a x b ≤≤,则弧微分为ds =,弧长as =⎰,其中()f x 在[],a b 有连续的导数.七、(本题满分9分)【解析】过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,其中当0()y x '存在时,0()k y x '=.如图所示,设曲线上一点(t 处的切线方程为)y x t -=-,化简即得2y =. 面积2()S t dx ⎡⎛==⎢⎢⎭⎣⎦⎰, 其一阶导数3/21/211()22S t t t --'=-+=. 令()0S t '=解得唯一驻点1t =,而且S '在此由负变正,即()S t 在(,1]-∞单调递减,在[1,)+∞单调递增,在此过程中()S t 在1t =时取极小值也是最小值,所以将1t =代入先前所设的切线方程中,得所求切线方程为122x y =+.八、(本题满分9分)【解析】证法一：用拉格朗日中值定理证明.不妨设210x x >>,要证的不等式是1221()()()(0)f x x f x f x f +-<-.在1[0,]x 上用中值定理,有 11()(0)(),f x f f x ξ'-=10x ξ<<,在212[,]x x x +上用中值定理,又有 1221212()()(),f x x f x f x x x x ηη'+-=<<+,由()0,f x ''<所以()f x '单调减,而12x x ξη<<<,有()()f f ξη''>,所以12211()()()(0)()f x x f x f x f f x +-<-=,即 1212()()()f x x f x f x +<+.证法二：用函数不等式来证明.要证 11()()(),0f x x f x f x x +<+>. 令辅助函数11()()()()x f x f x f x x ϕ=+-+,则1()()()x f x f x x ϕ'''=-+.由()0,()f x f x '''<单调减,1()(),()0f x f x x x ϕ'''>+>,由此,11()(0)()(0)()0(0)x f x f f x x ϕϕ>=+-=>.改x 为2x 即得证.【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.。