【参考借鉴】南京大学数学分析考研试题及解答.doc

考研数学分析真题答案一、选择题1. 根据极限的定义，下列哪个选项是正确的？A. \(\lim_{x \to 0} x^2 = 0\)B. \(\lim_{x \to 0} \sin x = 1\)C. \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = 1\)D. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)答案：A2. 函数 \(f(x) = \sin x + x^2\) 在 \(x = 0\) 处的导数是多少？A. 1B. 2C. 0D. -1答案：A二、填空题1. 函数 \(y = \ln x\) 的定义域是 _________。

答案：\((0, +\infty)\)2. 若 \(\int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}\)，那么\(\int_{0}^{1} x^3 dx\) 的值是 _________。

答案：\(\frac{1}{4}\)三、解答题1. 证明：对于任意正整数 \(n\)，\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}\)。

证明：首先，我们可以将求和式拆分为部分和的形式：\[\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)\]通过观察，我们可以看到这是一个望远镜求和，大部分项会相互抵消，最终只剩下：\[1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}\]2. 求函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\) 在 \(x = 2\) 处的泰勒展开式，并计算其近似值。

解：首先，我们计算函数在 \(x = 2\) 处的各阶导数：\[f'(x) = 3x^2 - 6x + 2, \quad f''(x) = 6x - 6, \quad f'''(x) = 6\]在 \(x = 2\) 处，\(f(2) = 0\)，\(f'(2) = -2\)，\(f''(2) =6\)，\(f'''(2) = 6\)。

南京大学1992年数学分析试题一、定0a ，0a ≠k π（k ∈Z ）,设1+n a =sin n a (n=0,1,2,…).1) 求∞→n lim n a ；2）求lim ∞→n 21nna . 二、设f(x) ∈]1,0[C ,在}0{\)1,1(- 内可微，且)0(+'f 及)0(-'f 存在有限,而数列}{},{n n b a满足条件,101<<<<-n n b a 且∞→n lim n a =∞→n lim n b =0，求证存在子序列}{},{k k n n b a 及正数p,q,p+q=1,使∞→n lim )0()0()()(-+'+'=--f q f p a b a f b f k k k k n n n n三、设)(x f 在]1,1[-上（R ）可积，令⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=01,10,)1()(x e x x x nx n n 当当ϕ 1） 证明函数)()(x x f n ϕ在]1,1[-上（R ）可积；2） 又若)(x f 在x=0还是连续的，求证∞→n lim⎰-=11)0()()(2f dx x x f n n ϕ 四、证明⎰∑∞=+-=1011)1(n n n x n dx x . 五、试以u 为因变量，ηξ,为自变量，对方程y z xz ∂∂=∂∂22 进行变量代换z y x y u yy x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-==4exp ,1,2ηξ. 六、已知⎰∞+-=0212πdx e x ，求()⎰+∞->00cos 2a bxdx e ax 之值. 七、计算()()()⎰⎰++++++++=Sdxdy b a z dzdx a c y dydz c b x I 222，其中S 为半球面 ()()()c z R c z b y a x ≥=-+-+-,2222的上侧.八、设)(),(),(t t t p ψϕ是区间],[b a 上的连续函数，)(),(t t ψϕ单调增加，0)(>t p ，试证1）⎰⎰⎰⎰⋅≤⋅b a ba b a ba dt t t t p dt t p dt t t p dt t t p ;)()()()()()()()(ψϕψϕ 2）若0)(,)(],[>∈t F C t Fb a 且单调减少，证明⎰⎰⎰⎰≤b a b a ba b a dtt F dt t F dt t tF dtt F t )()]([)()]([22 （2005年5月27日sciphi 输入）。

南京大学化学系考研数学题一、选择题1、设集合A={x|-2<x<4}、B={2,3,4,5},则A∩B=A、{2}B、{2,3}C、{3,4,}D、{2,3,4}2、已知z=2-i，则X=A、6-2iB、4-2iC、6+2iD、4+2i3、已知甲卖桌子乙卖凳子，桌子的底面半径为5，其侧面展开图为一个半圆，则该桌子的母线长为A、2B、21C、4D、414、下列区间中，函数f(x)=7sin(45X)单调递增的区间是A、(0,X)B、(X,X)C、(X0,)D、(0,0)5、已知F1,F2是椭圆C：4的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为A、13B、12C、9D、66、若tanX=-2,则X=A、15B、45C、90D、07、若过点（a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则A、eb<aB、ea<bC、0<a<ebD、0<b<ea8、有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则A、甲与丙相互独立B、甲与丁相互独立C、乙与丙相互独立D、丙与丁相互独立9、有一组样本数据x1，x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1，y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数，则A、两组样本数据的样本平均数相同B、两组样本数据的样本中位数相同C、两组样本数据的样本标准差相同D、两组样本数据的样本极差相同10、已知O为坐标原点，点P1(cosX,sinX),P2(cosY，-sinY),P3(cos(X+Y),sin(X+Y))，A(1，0),则A、X=7 Y=8B、X=7 Y=8C、X=8 Y=7D、X=8 Y=711、已知点P在圆X=16上，点A（4,0），B（0,2），则A、点P到直线AB的距离小于10B、点P到直线AB的距离大于2C、当∠PBA最小时，|PB|=3D、当∠PBA最大时，|PB|=312、在正三棱柱ABC-中，AB=A，点P满足X=15，其中λ∈[0,1]，X∈[0,1]，则A、当λ=1时，P的周长为定值B、当X=1时，三棱锥P=0C、当X=2时，有且仅有一个点PD、当X=1时，有且仅有一个点P三、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分13、已知函数f(x)=4是偶函数，则a=____________14、已知O为坐标原点，抛物线C的焦点为F,P为C上一点，PF 与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP,若|FQ|=6，则C的准线方程为____15、函数f(x)=|2x-l|-2lnx的最小值为_______。

南京大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：数学分析考生须知：1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

————————————————————————————————————————1.(20分)计算:(1)lim n →∞(1n +1n +1+···+12n );(2)∫π2dx1+sin x.2.(20分)计算三重积分∫∫∫Ω(x 2+y 2+z 2)dxdydz ,其中Ω={(x ,y ,z )∈R 3||x |+|y |+|z |≤1}.3.(15分)设函数f :R →R 在每一点附近都单调递增,即∀x 0∈R ,∃δ>0,使f 在(x 0−δ,x 0+δ)中单调递增.证明f 在整个R 中单调递增.4.(15分)设级数∞∑n =1√na n 收敛.证明级数∞∑n =1a n 也收敛.5.(20分)方程x 2+2y 2+3z 3+2xy −z =7在(1,−2,1)附近决定了隐函数z =z (x ,y ).计算二阶偏导数∂2z∂x ∂y (1,−2).6.(20分)证明:存在常数c >0,使得当f ∈C 1[0,1]且∫1f (x )dx =0时成立∫1f 2(x )dx ≤c∫1|f ′(x )|2dx .7.(20分)设A =(a ij )为n 阶实正定对称方阵,b i (i =1,2,···,n )为实数.考虑R n 中的函数f (x 1,x 2,···,x n )=n∑i ,j =1a ij x i x j −n∑i =1b i x i .证明:f 在R n 中有唯一的最小值点.8.(20分)设f :R →R 为连续函数.证明:f 为凸函数当且仅当对任意区间[a ,b ]⊂R ,均有f (a +b 2)≤1b −a ∫ba f (x )dx .注：本试题由南大考研群小碎花提供.考试科目：数学分析第1页共1页。

南京大学考研数学真题南京大学考研数学真题南京大学作为中国著名的高等学府之一，其考研数学真题一直备受考生关注。

考研数学作为考研的重要科目之一，对于考生来说是一大挑战。

下面我们来探讨一下南京大学考研数学真题的特点和备考方法。

南京大学考研数学真题的特点之一是难度较高。

南大数学真题往往涉及到深入的数学理论和复杂的计算，需要考生具备扎实的数学基础和较高的解题能力。

因此，对于考生来说，要想在南大考研数学中取得好成绩，必须要有坚实的数学基础和丰富的解题经验。

南京大学考研数学真题的另一个特点是涉及面广。

在南大数学考研中，各个数学分支都有所涉及，包括高等代数、数学分析、概率统计等。

考生需要全面掌握各个数学分支的知识，并能够将其灵活运用到解题中。

因此，在备考过程中，考生需要注重对各个数学分支的系统学习和理解，同时也要注重练习各个分支的题目，提高解题能力。

对于备考南京大学考研数学真题，考生可以采取以下方法：首先，建立扎实的数学基础。

南大数学考研真题难度较高，需要考生具备坚实的数学基础。

因此，考生需要从大一开始就注重数学基础知识的学习，理解数学的基本概念和定理，掌握基本的计算方法。

只有建立了扎实的数学基础，才能够更好地应对南大数学考研的挑战。

其次，注重解题方法和技巧的学习。

解题方法和技巧对于考研数学的备考非常重要。

南大数学考研真题往往涉及到复杂的计算和推理，需要考生具备一定的解题技巧。

因此，考生需要通过大量的解题练习，熟悉各种解题方法和技巧，提高解题的速度和准确度。

此外，多做真题和模拟题。

做真题和模拟题是备考南大数学考研的重要方法之一。

通过做真题和模拟题，考生可以了解南大数学考研的出题规律和难度水平，熟悉考试的时间分配和解题思路。

同时，做真题和模拟题也可以帮助考生检测自己的备考进度和薄弱环节，及时调整备考计划。

最后，注重知识的巩固和复习。

备考南大数学考研不仅需要掌握各个数学分支的知识，还需要对已学过的知识进行巩固和复习。

目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)南京师范大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (2)南京师范大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (4)南京师范大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (6)南京师范大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (8)南京师范大学2011年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (10)南京师范大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (12)南京师范大学2013年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (15)南京师范大学2014年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (17)南京师范大学2015年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (19)南京师范大学2016年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (22)南京师范大学2017年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (25)南京师范大学2018年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (27)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (29)南京师范大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (29)南京师范大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (37)南京师范大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (45)南京师范大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)南京师范大学2011年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (59)南京师范大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (68)南京师范大学2013年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (76)南京师范大学2014年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (85)南京师范大学2015年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (93)Ⅰ历年考研真题试卷南京师范大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：602数学分析考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。

一、（每小题10分，共30分）计算下列极限1、xt dtx xx ⎰∙+∞→2ln ln lim；2、yx y x y x ++→→2200lim ；3、设),,2,1(),1(),1,0(11 =-=∈+n x x x x n n n 证明{}n nx 收敛并求极限。

南京大学 数学分析考研试题一 设()f x 为1R 上的周期函数，且lim ()0x f x →+∞=，证明f 恒为0。

二 设定义在2R 上的二元函数(,)f x y 关于x ，y 的偏导数均恒为零，证明f 为常值函数。

三 设()n f x (1,2,...)n =为n R 上的一致连续函数，且lim ()()n n f x f x →∞=，1x R ∀∈， 问：()f x 是否为连续函数？若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。

四 是否存在[0,1]区间上的数列{}n x ，使得该数列的极限点（即聚点）集为[0,1]，把极限点集换成(0,1)，结论如何？请证明你的所有结论。

五 设()f x 为[0,)+∞上的非负连续函数，且0()f x dx +∞<+∞⎰，问()f x 是否在[0,)+∞上有界? 若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。

六 计算由函数211()2f x x =和22()1f x x =-+的图像在平面2R 上所围成区域的面积。

七 计算积分222(22)x xy y R edxdy -++⎰⎰。

八 计算积分xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为如下区域：3{(,,):0,0,0,}x y z R x y z x y z a Ω=∈≥≥≥++≤，a 为正常数。

九 设0n a >(1,2,...)n =，1n n k k S a ==∑，证明：级数21n n n a S ∞=∑是收敛的。

十 方程2232327x y z x y z +++-=在(1,2,1)-附近决定了隐函数(,)z z x y =，求2(1,2)z x y∂-∂∂的值。

十一 求函数333(,,)f x y z x y z =++在约束条件2x y z ++=，22212x y z ++=下的极值，并判断极值的类型。

十二 设1[0,1]f C ∈，且(0)(1)0f f ==，证明：1122001[()][()]4f x dx f x dx '≤⎰⎰。

得到拟录取消息的前些天一直忐忑不安，想象着自己失败时的沮丧或者自己成功时的兴奋。

终于尘埃落定，内心激动，又面色平静地拿起手机给每一个关心我的家人和朋友发了这个好消息。

也想在这里写下自己考研路上的点点滴滴，给自己留一个纪念，也希望大家能从中得到一些收获。

立大志者得中志，立中志者得小志，立小志者不得志。

所以我建议刚开始大家就朝着自己喜欢的，最好的学校考虑，不要去担心自己能不能考上的问题，以最好的学校的标准来要求自己去学习。

大家可以去自己想报考的学校官网上下过去的录取分数线，报录比之类的信息给自己一个参考和努力目标。

包括找一些学长学姐问下经验也是很有用的。

备考那个时候无论是老师还是同学们都给了我很多的帮助，让我在备考的路上少走了很多的弯路，尤其是那些珍贵的笔记本，现在回想起来依然很是感动，还好现在成功上岸，也算是没有辜负大家对我的期望。

所以想着成功之后可以写一篇经验贴，希望可以帮助大家。

话不多说，下面跟大家介绍一下我的经验吧。

文末有笔记和真题下载，大家可自取。

南京大学数学的初试科目为：(101)思想政治理论(201)英语一(627)数学分析和(801)高等代数参考书目为：南京大学《数学分析》1996-2017年考研历年真题。

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3、南京大学《高等代数》1996-2017年考研历年真题。

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先说英语吧。

词汇量曾经是我的一块心病，跟我英语水平差不多的同学，词汇量往往比我高出一大截。

从初中学英语开始就不爱背单词。

在考研阶段，词汇量的重要性胜过四六级，尤其是一些熟词僻义，往往一个单词决定你一道阅读能否做对。

所以，一旦你准备学习考研英语，词汇一定是陪伴你从头至尾的一项工作。

考研到底背多少个单词足够？按照大纲的要求，大概是5500多个。

高等数学-考研真题详解1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中．（）[南京大学研]【答案】对查看答案【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2为有理数，故a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈Pab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有综上所述的P为数域．2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大学研]【答案】错查看答案【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这里f（a）＝0，并且f ‴（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）．3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（）[南京大学研]【答案】对查看答案【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约．二、计算题1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研]解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则（1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4所以x＋2是f（x）的三重因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2．（2）若p≠4，则继续辗转相除，即当p＝－5时，有（f（x），f′（x））＝x－1即x－1是f（x）的二重因式，再用（x－1）2除f（x）得商式x＋8．故f（x）＝x3＋bx2－15x＋8＝（x－1）2（x＋8）这时f（x）的三个根为1，1，－8．2．假设f1（x）与f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，且x4＋x2＋1整除f1（x3）＋x4f2（x3），试求f1（x）与f2（x）的最大公因式．［上海交通大学研］解：设6次单位根分别为由于x6－1＝（x2）3－1＝（x2－1）（x4＋x2＋1），所以ε1，ε2，ε4，ε5是x4＋x2＋1的4个根.由于ε13＝ε53＝－1，且x4＋x2＋1∣f1（x3）＋x4f2（x3），所以，分别将ε1，ε5代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得从而f1（－1）＝f2（－1）＝0即x＋1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．同理，将ε2，ε4代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得f1（1）＝f2（1）＝0，即x －1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．所以（x－1）（x＋1）是f1（x）与f2（x）的一个公因式．又因为f1（x），f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，所以（f（x），g（x））＝x2－1三、证明题1．设不可约的有理分数p/q是整系数多项式f（x）＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an －1x＋an的根，证明：q∣a0，p∣an[华中科技大学研]证明：因为p/q是f（x）的根，所以（x－p/q）∣f（x），从而（qx－p）∣f（x）．又因为p，q互素，所以qx－p是本原多项式[即多项式的系数没有异于±l的公因子]，且f（x）＝（qx－p）（bn－1xn－1＋…＋b0，bi∈z比较两边系数，得a0＝qbn－1，an＝－pb0⇒q∣a0，p∣an2．设f（x）和g（x）是数域P上两个一元多项式，k为给定的正整数．求证：f（x）∣g（x）的充要条件是fk（x）∣gk（x）[浙江大学研]证明：（1）先证必要性．设f（x）∣g（x），则g（x）＝f（x）h（x），其中h（x）∈P（x），两边k次方得gk（x）＝fk（x）hk（x），所以fk（x）∣gk （x）（2）再证充分性．设fk（x）∣gk（x）（i）若f（x）＝g（x）＝0，则f（x）∣g（x）（ii）若f（x），g（x）不全为0，则令d（x）＝（f（x），g（x）），那么f（x）＝d（x）f1（x），g（x）＝d（x）g1（x），且（f1（x），g1（x））＝1①所以fk（x）＝dk（x）f1k（x），gk（x）＝dk（x）g1k（x）因为fk（x）∣gk（x），所以存在h（x）∈P[x]（x），使得gk（x）＝fk（x）·h （x）所以dk（x）g1k（x）＝dk（x）f1k（x）·h（x），两边消去dk（x），得g1k （x）＝f1k（x）·h（x）②由②得f1（x）∣g1k（x），但（f1（x），g1（x））＝1，所以f1（x）∣g1k －1（x）这样继续下去，有f1（x）∣g1（x），但（f1（x），g1（x））＝1。