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专题一第6讲导数的综合应用和定积分PPT课件

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高中数学第1章导数及其应用153定积分的概念课件新人教A版选修20

高中数学第1章导数及其应用153定积分的概念课件新人教A版选修20

B.lni→m∞∑ i＝n1f(ξi)·b－n a
n
C.lni→m∞∑ i＝1f(ξi)ξi
n
D.lni→m∞∑ i＝1f(ξi)(ξi－ξi－1)
解析：由定积分的概念可知答案为 B.
答案：B
题型二 定积分几何意义的应用
利用定积分的几何意义求下列各式的值．
(1)
1
x3dx；
-1
(2)
2
4－x2dx；
-2
(3) 2(1＋x)dx. 1
【思路探索】 利用定积分的几何意义求解．
【解】 (1)∵y＝x3 在[－1,1]上为奇函数，图象关于坐标原
点对称，由在 x 轴上方和下方面积相等的两部分组成，即1 x3dx -1
＝0.
(2)∵y＝ 4－x2表示的曲线是圆心在原点，半径为 2 的半圆，
由定积分的几何意义知2
是极限的一种记号．
(1)当函数 f(x)≥0 时，定积分bf(x)dx 在几何上表示由直线 x a
＝a，x＝b(a＜b)，y＝0 及曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积． (2)当函数 f(x)≤0 时，曲边梯形位于 x 轴的下方，此时bf(x)dx
a
等于曲边梯形面积 S 的相反数，即bf(x)dx＝－S. a
a
a
a
b[f(x)－g(x)]dx＝bf(x)dx－bg(x)dx＝1，
a
a
a
两式相加，得bf(x)dx＝2， a
两式相减，得bg(x)dx＝1. a
(2)b[3－2f(x)]dx＝b3dx－2bf(x)dx
a
a
a
＝3(b－a)－2×1＝3b－3a－2.
[名 师 点 拨]
定积分的性质为我们求定积分提供了方便，可以把复杂的被

导数及其应用PPT课件

导数及其应用PPT课件

解：(1)
4.已知a>0,n为正整数。 (1)设y=(x-a)n, 证明y’=n(x-a)n-1; (2)设fn(x)=xn-(x-a)n , 对任意n≥a,证明：
小
求函数单调区间的步骤：
求函数极值的步骤：
结
(1)求导函数f ’(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; (2)求方程f ’(x)=0的根；(3)检查f ’(x)在 方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取得最大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得最 小值。 求闭区间上函数的最值的方法：
y
极大值
极大值
x0
极小值
0
x
极小值
显然在极值处函数的导数为０．
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是_____________. ２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的 （B ）
A.充要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(0,2) 单调递增区 ３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_____, (-∞,0) , (2,+∞) 。 间为______________
x
f(x)
极大值 极小值
由此可得，函数在ｘ＝－ ，处取得极大值２＋ ２
在ｘ＝ ，处取得极小值２- ２ ．草图如图
y
∵ａ＞０，显然极大值必为正，
故只要看极小值的正负即可。
－
０
x
y
方程x3-3ax+2=0有惟一的实根；
－
０ y
x
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根 （其中有一个为二重根）；

高中数学 第1章 导数及其应用 1.5.2 定积分课件 苏教版选修2-2.pptx

高中数学 第1章 导数及其应用 1.5.2 定积分课件 苏教版选修2-2.pptx
第1章 1.5 定积分(选学)
1.5.2 定积分
1
学习目标
1.了解定积分的概念，会用定义求定积分. 2.理解定积分的几何意义.
2
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
3
问题导学
4
知识点一 定积分的概念
思考
分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的 共同点. 答案 两个问题均可以通过“分割、以直代曲、作和、逼近” 解决，都可以归结为一个特定形式和的逼近.
9
题型探究
10
类型一 利用定积分的定义求定积分 例1 利用定积分的定义，计算ʃ 21(3x＋2)dx的值.
11 解答
利用定义求定积分的步骤
反思与感悟
15
跟踪训练1 利用定积分的定义计算ʃ 32(x＋2)dx.
16 解答
类型二 利用定积分的几何意义求定积分 例2 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值. (1)ʃ 102dx； 解 ʃ 102dx 表示的是图①中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个 长方形的面积为 2，所以 ʃ 102dx＝2.
2
3
由定积分的几何意义，得
2
sin
xdx ＝0.
2
所以
3
2
(2－5sin
x)dx ＝
3
2
2dx－
5
3
2
sin
xdx ＝2π.
2
2
2
12345
34 解答
规律与方法
n
1.定积分 ʃ baf(x)dx 是一个和式
b－a n f(ξi)的极限，是一个常数.
12345
解析 32 答案
4.ʃ 502(x－2)dx＝__5_. 解析 ʃ 50(x－2)dx＝S2－S1＝12×32－12×22＝52，故 ʃ 502(x－2)dx＝5.

专题6导数的简单应用与定积分(理)-2021届高三高考数学二轮复习PPT全文课件

专题6导数的简单应用与定积分(理)-2021届高三高考数学二轮复习PPT全文课件

● 考向2 利用函数的单调性求参数取值(范围)
●
(1)(2020·厦门模拟)若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区
间 ( k － 1 ， k ＋典1 )例内 不3 是 单 调 函 数 ， 则 实 数 k 的 取 值 范 围
●是_ ______
3
1，2 ●
( 2 ) ( 20 1 9 ·安 庆 二 模 ) 若 函 数 f ( x ) ＝ x 2 － 4 e x － a x 在 R 上 存 在 单 调 递 增 区 间 ， 则 实 数 a 的 取 值 范
围为____________________.
(－∞，－2－2ln 2)
【解析】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝4x－1x.
由 f′(x)＝0，得 x＝12.
据题意，得k－1<12<k＋1， k－1≥0
解得 1≤k＜23.
●
(2)因为f(x)＝x2－4ex－ax，所以f′(x)＝2x－4ex－a.由题意，f′(x)＝2x－4ex－a>0，
即a<2x－4ex有解．
●
令g(x)＝2x－4ex，则g′(x)＝2－4ex.
●
令g′(x)＝0，解得x＝－ln 2．
●
当x∈(－∞，－ln 2)时，函数g(x)＝2x－4ex单调递增；
●
当x∈(－ln 2，＋∞)时，函数g(x)＝2x－4ex单调递减．
●
所以当x＝－ln 2时，g(x)＝2x－4ex取得最大值－2－2ln 2，
考查角度 导数的几何意义
导数的几何意义的应用
分值 5
6
专题6导数的简单应用与定积分（理） -2021 届高三 高考数 学二轮 复习PPT 全文课 件

导数的综合应PPT课件

导数的综合应PPT课件

又 f12＝1－ln2，f(2)＝－12＋ln2， f(12)－f(2)＝32－2ln2＝lne3－2 ln16， ∵e3>16，∴f12－f(2)>0，即 f12>f(2)． ∴f(x)在区间12，2上的最大值 f(x)max＝f12＝1－ln2.
综上可知，函数 f(x)在12，2上的最大值是 1－ln2，最小值是 0.
(2)因为当x<1时，f′(x)>0； 当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0， 所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a； 当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a. 故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根． 解得a<2或a>52.
考点2 利用导数证明不等式问题
例 2：已知函数 f(x)＝1－ axx＋lnx. (1)若函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求正实数 a 的取值范 围； (2)当 a＝1 时，求 f(x)在12，2上的最大值和最小值； (3)当 a＝1 时，求证：对大于 1 的任意正整数 n，都有 lnn>12＋ 13＋14＋…＋1n.
解析：(1)∵f(x)＝1－ ax x＋lnx，∴f′(x)＝axa－x2 1(a>0)． ∵函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数， ∴f′(x)＝axa－x21≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立． ∴ax－1≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立． 即 a≥1x对 x∈[1，＋∞)恒成立． ∴a≥1.
图4－3－3
关于导数的应用，课标要求 (1)了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的 单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导 数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上 不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．

《导数的应用》ppt课件

《导数的应用》ppt课件

设 x 1 cos , y 1 sin ,由x,y为正实数得: 0 .
xy
1
(1
2
cos
)si n
.
2
设 f ( ) 1 (1 cos )sin .
2
f
(
)
1
[
s i n2
(1
cos
) co s
]
(cos
1)(cos
1 ).
2
2
令 f ( ) 0,得 cos 1,cos 1 ;又0 , .
从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即:
2
1
2 3
(1
x)3
成立.
令 Y
x6
3
0
1 2x
,得
4.
x
1.
当x<-1时, Y 0,则Y单调减小;当-1<x<0时, Y 0,则
Y单调增加;当0<x<1时,Y 0,则Y单调减小;当x>1
时,Y 0 ,则Y单调增加. 故当x 1时,Y有最小值5/6,此时点 (1, 1 )为所求.
3
例4: 如图,在二次函数f(x)=
2 ( x 1)3( x 3
0).
则
f
( x)
1 x
1 x2
( x 1)
2( x 1)2
(x
1)3
2x 1 x2 ,
令f (x) 0 ,结合x>0得x=1.
而0<x<1时, f (x) 0;x>1时,f (x) 0 ,所以x=1是f(x)的 极小值点.
所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.
令
S(
x)
0

高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念课件新人教版选修2_2

解析答案
4.根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：
①1xdx__>___1x2 dx；
0
0
②2
4－x2dx__<___22dx.
0
0
1234
答案
课堂小 结
1.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：
(1)分割：n等分区间[a，b]；
(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
(1) 在区间[a，b]上，若 f(x)≥0，则 S＝bf(x)dx，如图(1)所示，
bf(x)dx＝S
a
即 a
.
答案
(2)在区间[a，b]上，若 f(x)≤0，则 S＝－bf(x)dx，如图(2)所示，
bf(x)dx＝－S.
a
即 a
.
(3)若在区间[a，c]上，f(x)≥0，在区间[c，b]上，f(x)≤0，则 S＝cf(x)dx
n b－a
(3)求和： f(ξi)· n ； i＝1
n b－a
(4)取极限：S＝lim n→∞
f(ξi)·
n
.“近似代替”
i＝1
也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上
的一些特殊点，如区间的端点(或中点).
n b－a
2.定积分bf (x)dx 是一个和式
a
i＝1
n f (ξi)的极限，是一个常数.
∴R
R2－x2dx＝π2R2.
－R
解析答案
易错易 混
因对定积分的几何意义理解不准确致误
例4 如图所示，f(x)在区间[a，b]上，则阴影部分的面积S为( )
A.bf (x)dx a
B.cf (x)dx(x)dx

导数及其应用课件


个数便是确定的了，它除了不依赖于定义
中的区间分法和 的取法外，也不依赖
于符号 b
＝ f (t)dt
ab，f (x因)dx此中，的定积积分分变记量号ｘ中，的即积分ab f (变x)dx
a
量可以用任何字母来表示．此外，对于定
a x b 积分符号
化范围是
b
a f (x)dx
，意味着积分变量
（五）求函数 y = f ( x ）在点x 。处的导数有两 种方法，即导数定义法和导函数的函数值法．
（六）导数的应用
１利用导数判断函数的单调性
2 函数的极值
（l ）设函数 f ( x ）在点 x 。的附近有定义，如果对附 近所有的点都有：
（2 ）可导函数 f ( x ）在极值点处的导数为０，但 导数为０的点不一定是极值点。
由于定积分反映的是函数在一个区间上的整体性质，所以 不能用它来研究函数的局部性质，例如有两个在 [ a ，b]上 可积的函数 f (x)和 g ( x ) ，若
则由定积分的性质知道
• 奇函数或偶函数在对称区间上的定积分的结论也是 很有用的，但要求被积函数是奇函数或偶函数，积 分区间是对称区间 [- a , a ] ．不过在解题时可以活 用，例知:
（1）在闭区间［a ，ｂ］上连续的函数 f ( x ) ，在 ［ a ，ｂ］上必有最大值和最 小值． （2 ）利用导数求最值的步骤：
① 求 f （x ）在（ a , b ）内的极值；
② 将 f ( x ）的各极值与 f ( a ) , f （b ）比较， 确定 f （x ）的最大值和最小值．
（七）定积分的概念
１关于定积分的定义
在定 f （x ）在 ［a , b ］上连续或可导的条件 相比是最弱的条件，即 f （x ）在［ a ，ｂ］ 上有以下关系：

导数及其应用定积分与微积分基本定理课件理ppt

求法
求函数的导数有多种方法，例如，利用求导公式求导；利用求导法则求导；利用复合函数求导法则求复合函数 的导数；利用微分学基本定理求高阶导数等。
02
定积分
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是函数在区间[a,b]上的积分，表示 为∫abf(x)dx，其中f(x)是待积函数，a和b 是积分的下限和上限。
定积分的性质
定积分具有一些基本性质，如线性性质、 可加性、可减性、可正可负性等。这些性 质在解决定积分问题时非常重要。
定积分的几何与物理应用
定积分的几何应用
定积分可以用于计算曲线下面积、旋转体体积等问题。例如，计算圆、椭圆 等图形的面积，或求圆柱、圆锥等旋转体的体积。
定积分的物理应用
定积分在物理中有广泛的应用，如计算变力沿直线所做的功、计算液体对平 面所施加的力等。
最优问题求解
导数可以用于求解最优问题，例如在投资组合理论中，通过求解收益率关于资产配置的导数，可以找到最优的资产配置比 例。
动态最优化
导数可以用于建立动态最优化模型，例如在宏观经济学中，通过求解一阶导数和二阶导数，可以研究经济的稳定性和增长 问题。
定积分在物理学中的应用案例
面积和体积计算
定积分可以用于计算曲线下包围的面积和曲线的长度，以及计算立体的体积。例如，在计 算旋转体的体积时，可以将旋转体表面展开成一系列的小圆环，然后利用定积分计算每个 小圆环的面积并求和得到总体积。
微积分基本定理可以用于求解一些方 程，例如在求解一些涉及到多个变量 的方程时，可以通过微积分基本定理 将方程转化为一个易于求解的方程并 求解。
THANKS
感谢观看
物理应用
导数可以描述物理量随时间的变化率，例如速度是位移对时间的导数。导数 在物理中有广泛的应用，例如牛顿第二定律、欧姆定律等。

2020届高考数学(理)二轮复习课件：专题6 导数的简单应用与定积分

数 学
大二轮复习
第一部 分 全程方略课件
专题6 导数的简单应用与定积分
1 高考考点聚
焦
2 核心知识整
合
3 高考真题体
验
4 命题热点突
破
5 课后强化训
练
高考考点聚焦
• 备考策略 • 本部分内容在备考时应注意以下几个方面： • (1)理解并掌握求导公式和求导法则及定积
分的计算公式及性质．
• (2)熟练掌握利用导数研究曲线切线问题、 函数的单调性、极(最)值问题的方法和规 律．
• (3)对于含参数的函数解析式或区间求极值、 最值问题，务必要对参数分类讨论．
• 2．根据函数的单调性求参数取值范围的思 路
• (1)求f ′(x)． • (2)将单调性转化为导数f ′(x)在该区间上
满足的不等式恒成立问题求解．
•命题方向3 用导数研究函数的极值与 最值
• 『规律总结』 • 利用导数研究函数极值与最值的步骤
• (1)利用导数求函数极值的一般思路和步 骤．
• (2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方 程．
• 设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f ′(x0)解得x0， 再由点斜式写出方程．
• (3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的 切线方程：
• 设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列 方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出 方程．
• 4．函数的单调性
• 在某个区间(a，b)内，如果 _______f′_(x_0)_>_0(_f′_(x_0_)<_0_) _____，那么函数y＝f(x) 在这个区间内单调递增(单调递减)．
• 5．函数的极值
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F′(x)＝f(x)，那么bf(x)dx＝F(b)－F(a)． a (2)定积分的几何意义
设函数 y＝f(x)在区间[a，b] 上的图象连续且恒有
考 f(x)≥0，则定积分bf(x)dx 表示由直线 x＝a，x＝b(a≠b)， 训
点 核
a
练 高
心 突
y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的__面__积___．
训 练 高
心
效
突
提
破
能
菜单
高考专题辅导与训练·数学(理科)
第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
基
【例 1】(2013·天津一中模拟)已知函数 f(x)＝ln(x＋a)
础 要
－x2－x 在 x＝0 处取得极值．
解 题 规
点 整 合
(1)求实数 a 的值；
范 流
(2)证明：对任意的正整数 n，不等式 2＋34＋49＋…＋ 程
(2)当 x∈[0,2]时，f(x)≥e12恒成立，求 a 的取值范围．
解析 (1)f′(x)＝－ax2＋2ae－x 1x＋1－a，
考
f′(0)＝1－a.
训
点 核
因为函数 f(x)在点(0，f(0))的切线与直线 2x＋y－1＝0 练 高
心 平行，所以 1－a＝－2，a＝3.
效
突
提
破
能
菜单
高考专题辅导与训练·数学(理科)
n＋n2 1＞ln(n＋1)都成立． [自主解答] (1)f′(x)＝x＋1 a－2x－1.
∵x＝0 时，f(x)取得极值，∴f′(0)＝0，
考 点 核 心
故0＋1 a－2×0－1＝0，解得 a＝1.
训 练 高 效
突
经检验 a＝1 符合题意．
提
破
能
菜单
高考专题辅导与训练·数学(理科)
第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
效 提
破
能
菜单
高考专题辅导与训练·数学(理科)
第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
基 考点核心突破
础 要
解 题 规
点 整
考点一：导数与不等式的综合应用
合
范 流 程
[考情一点通]
题型
解答题
难度
较难
考 点 核
考查 内容
(1)通过求函数的最值解决不等式的恒 成立问题． (2)构造适当的函数，证明不等式.
高考专题辅导与训练·数学(理科)
第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
基 【考点集训】
础 要 点 整
1．(2013·门头沟区一模)已知函数 f(x)＝ax2＋exx＋a.
合
(1)函数 f(x)在点(0，f(0))处的切线与直线 2x＋y－1＝0
解 题 规 范 流 程
平行，求 a 的值；
f(0)＝0，f(2)＝e22，函数 f(x)的最小值为 0，结论不成立．
考
当 a≠0 时，x1＝1，x2＝1－1a，
训
点 核
若 a＜0，f(0)＝a＜0，结论不成立，
练 高
心 突 破
若 0＜a≤1，则 1－1a≤0，在(0,1)上，有 f′(x)＞0，函
效 提 能
数 f(x)增；
菜单
高考专题辅导与训练·数学(理科)
流 程
∴lnn＋n 1＜n＋n2 1，
故
2
＋
3 4
＋
4 9
＋
…
＋
n＋1 n2
＞
ln
2 ＋ ln
3 2
＋ ln
4 3
＋…
＋
考 lnn＋n 1＝ln(n＋1)．
训
点
练
核
高
心
效
突
提
破
能
菜单
高考专题辅导与训练·数学(理科)
第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
基 础 要
解 题 规
点 整 合
第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
在(1,2)上，有 f′(x)＜0，函数 f(x)减，
第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
基 础 要
解 题 规
点
范
整 合
流 程
第6讲 导数的综合应用和定积分
考 点 核 心 突 破
菜单
训 练 高 效 提 能
高考专题辅导与训练·数学(理科)
第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
基 基础要点整合
础 要
解 题 规
点 整
一、构建知识网络
第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
基 础 要 点 整 合
(2)f′(x)＝－ax2＋2ae－x 1x＋1－a
解 题
＝－ax＋1e－x ax－1，令 f′(x)＝0，
规 范 流 程
当 a＝0 时，x＝1，在(0,1)上，有 f′(x)＞0，函数 f(x)
增；Байду номын сангаас
在(1,2)上，有 f′(x)＜0，函数 f(x)减，
考
∴f(0)为 f(x)在(－1，＋∞)上的最大值．
训
点 核
∴f(x)≤f(0)，故 ln(x＋1)－x2－x≤0(当且仅当 x＝0 时，
练 高
心 突
等号成立)．
效 提
破
能
菜单
高考专题辅导与训练·数学(理科)
第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
基 础 要
解 题 规
点 整 合
范
对任意正整数 n，取 x＝1n＞0 得，ln1n＋1＜1n＋n12，
a
a
a
(3)bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx(其中 a＜c＜b)．
考
a
a
c
训
点
练
核
高
心
效
突
提
破
能
菜单
高考专题辅导与训练·数学(理科)
第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
基 础
2．理解一个定理及其几何意义
要
解 题 规
点 整 合
(1)微积分基本定理
范 流
程
一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且
基
础 要
(2)证明 f(x)＝ln(x＋1)－x2－x 的定义域为
解 题 规
点 整
{x|x＞－1}，
合
由(1)知 f′(x)＝－xx＋2x＋1 3，
范 流 程
令 f′(x)＝0 得，x＝0 或 x＝－32(舍去)，
∴当－1＜x＜0 时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当 x＞0 时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
【拓展归纳】利用导数证明与分式、指数式、对数 式、函数等相关的不等式的步骤
范 流 程
第一步：根据待证不等式的结构特征，定义域以及
不等式的性质，将待证不等式化为简单的不等式；
第二步：构造函数；
第三步：利用导数研究该函数的单调性或最值；
考
第四步：根据单调性或极值得到待证不等式．
训
点
练
核
高
心
效
突
提
破
能
菜单
合
范 流 程
考 点 核 心 突 破
菜单
训 练 高 效 提 能
高考专题辅导与训练·数学(理科)
第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
基 二、梳理基础知识
础 要
解 题 规
点 整
1．熟记三个公式
合
范 流 程
(1)bkf(x)dx＝kbf(x)dx；
a
a
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝bf1(x)dx±bf2(x)dx.