信号统计分析典型习题

信号与系统练习题（带答案）1. 信号f(t)的波形如图所示。

分别画出信号(24),(24),(24)f t f t f t '''-+-+-+的波形，并且写出其表达式。

答案：2. 信号f ( t )的图形如下所示，对(a)写出f ' ( t )的表达式，对(b)写出f " ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。

解 (a)20,21≤≤tf ' (t)= δ(t -2)， t = 2-2δ(t -4)， t = 4(b) f " (t ) = 2δ(t ) - 2δ(t -1)-2δ(t -3)+2δ(t -4)3. 已知f(5-2t)的波形如图所示，试画出f(t)的波形。

52:()(2)(2)(52)5252252:(52)(2)(2)()f t f t f t f t t tf t f t f t f t −−−→−−−→-−−−→---=-∴-→-→→ 压缩反转平移左移反转拉伸分析（）右移求解过程55[52()]2,22t t t t -+=-∴+ 以代替而求得－2t ，即f(5-2t)左移(52)(2)f t f t -−−−→-时移由（2）反转：f(-2t)中以-t 代替t ，可求得f(2t),表明f(-2t)的波形 以t ＝0的纵轴为中心线对褶，注意()t δ是偶数，故112()2()22t t δδ--=+(2)(2)f t f t -−−−→反褶由（3）尺度变换：以12t 代替f(2t)中的t ，所得的f(t)波形将是f(2t)波形在时间轴上扩展两倍。

4. 求序列{}12[]1,2,1,0,1,2[][1cos()][]2f n n f n n u n π===+和的卷积和。

解：{}112222[]1,2,1[]2[1][2][]*[][]2[1][2]f n n n n f n f n f n f n f n δδδ==+-+-=+-+-5. 试求下列卷积。

1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。

解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解：第①问 ()112f x dx k ∞-∞==⎰ 第②问 {}()()()211221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=⎰随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。

{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。

设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。

随机信号分析课后习题答案随机信号分析课后习题答案随机信号分析是现代通信系统设计和信号处理领域中的重要基础知识。

通过对随机信号的分析，我们可以更好地理解和处理噪声、干扰等随机性因素对通信系统性能的影响。

下面是一些关于随机信号分析的课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 什么是随机信号？随机信号是在时间域上具有随机性质的信号。

与确定性信号不同，随机信号的每个样本值都是随机变量，其取值不是确定的。

随机信号可以用统计特性来描述，如均值、方差、功率谱密度等。

2. 什么是平稳随机信号？平稳随机信号是指在统计性质上不随时间变化的随机信号。

具体来说，平稳随机信号的均值和自相关函数不随时间变化。

平稳随机信号在实际应用中较为常见，因为它们具有一些方便的数学性质，可以简化信号处理的分析和设计。

3. 如何计算随机信号的均值？随机信号的均值可以通过对信号样本值的求平均来计算。

对于离散时间随机信号，均值可以表示为：E[x[n]] = (1/N) * Σ(x[n])其中，E[x[n]]表示信号x[n]的均值，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。

4. 如何计算随机信号的方差？随机信号的方差可以用均方差来表示。

对于离散时间随机信号，方差可以表示为：Var[x[n]] = E[(x[n] - E[x[n]])^2]其中，Var[x[n]]表示信号x[n]的方差，E[x[n]]表示信号的均值。

5. 什么是自相关函数？自相关函数是用来描述随机信号与其自身在不同时间延迟下的相似性的函数。

自相关函数可以用来分析信号的周期性、相关性等特性。

对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = E[x[n] * x[n-m]]其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，E[ ]表示期望运算。

6. 如何计算随机信号的自相关函数？随机信号的自相关函数可以通过对信号样本值的乘积进行求平均来计算。

对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = (1/N) * Σ(x[n] * x[n-m])其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。

1. 2. 3. 4. 5.6.有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。

第二批有500个零件，其中40%是次品。

第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。

我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。

（1） 问所选零件为次品的概率是多少？（2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。

()()()()123414P B P B P B P B ====()()()()12341002000.050.420005001001000.10.110001000P D B P D B P D B P D B ========()11110.050.40.10.10.16254444P D =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）发现次品后，它来自第二批的概率为，()()()()2220.250.40.6150.1625P B P D B P B D P D ⨯===7.8.9. 设随机试验X 的分布律为求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。

解：()()()()0.210.520.33f x x x xδδδ=-+-+-()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-10.11. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。

解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩12.13.14.X Y求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。

信号基础试题及答案一、选择题1. 信号的频谱分析中，傅里叶变换的结果是（）。

A. 时域信号B. 频域信号C. 时域和频域信号D. 空间域信号答案：B2. 在连续时间信号中，周期信号的周期为T，则其频率为（）。

A. TB. 1/TC. T^2D. 1/T^2答案：B3. 一个信号的拉普拉斯变换是S(s)，则其时域信号为（）。

A. L^-1{S(s)}B. F^-1{S(s)}C. Z^-1{S(s)}D. S(t)答案：A二、填空题1. 信号x(t)=sin(2πt)的周期为____。

答案：12. 如果一个信号是偶函数，则其傅里叶变换的结果是____。

答案：实数3. 信号的拉普拉斯变换是s域分析中常用的数学工具，其变量s代表的是复频率，通常表示为s=σ+jω，其中j是虚数单位，σ代表____。

答案：衰减系数三、简答题1. 简述什么是离散时间信号？答案：离散时间信号是指在时间上离散的信号，即信号的取值只在特定的时间点上存在，而非连续变化。

2. 请解释什么是系统的因果性和稳定性。

答案：系统的因果性指的是系统的输出仅取决于当前和过去的输入，而不依赖于未来的输入。

系统的稳定性则是指系统在受到有界输入时，输出也必须是有界的。

四、计算题1. 已知连续时间信号x(t)=e^(-at)u(t)，其中a>0，求其拉普拉斯变换X(s)。

答案：X(s) = 1 / (s + a)2. 给定离散时间信号x[n]=n^2u[n]，求其Z变换X(z)。

答案：X(z) = (1 - z^-1) / (1 - 2z^-1 + z^-2)注意：以上答案仅供参考，实际答案可能因不同教材或课程要求而有所差异。

信号与系统分析试题一、选择题1. 下面哪个选项描述了离散时间信号的特点？A. 信号取值连续，时间离散B. 信号取值离散，时间连续C. 信号取值连续，时间连续D. 信号取值离散，时间离散2. 信号能否同时具备连续时间和离散时间的特点？A. 能B. 不能3. 如果一个信号是周期信号，那么它一定满足的条件是什么？A. 信号的幅度呈周期性变化B. 信号的频率是一个特定值C. 信号的周期是一个特定值D. 信号的相位呈周期性变化4. 傅里叶变换广泛应用于哪些领域？A. 通信工程B. 电力系统分析C. 图像处理与分析D. 所有选项都正确5. 一个系统的单位冲激响应是指什么？A. 输入为单位冲激信号时的输出B. 输入为单位阶跃信号时的输出C. 输入为正弦信号时的输出D. 输入为余弦信号时的输出二、填空题1. 一个信号的宽度可以通过它的_____________来衡量。

2. _____________是一种常用的信号处理方法，可以将信号从时域转换到频域。

3. 离散时间信号与连续时间信号之间的转换可以通过_____________和_____________实现。

4. 一个系统的单位冲激响应与其_____________密切相关。

5. Z变换的变量_____________通常表示离散时间信号。

三、简答题1. 解释什么是时域分析，频域分析和复域分析，并说明它们在信号与系统分析中的应用。

2. 为什么在信号处理过程中会使用傅里叶变换？3. 请简要介绍卷积的定义和性质。

4. 简述拉普拉斯变换的定义和主要性质。

5. 解释什么是系统的冲击响应，并说明冲击响应的重要性。

四、计算题1. 计算以下离散时间信号的宽度：x[n] = {2, 4, 6, 8, 6, 4, 2}2. 已知离散时间信号x[n]的Z变换为X(z) = (1 + z^-1)/(1 - z^-1)，计算x[n]。

参考答案：一、选择题1. B2. 不能3. C4. D5. A二、填空题1. 带宽2. 傅里叶变换3. 采样和保持4. 频率响应5. z三、简答题1. 时域分析是对信号在时间上的变化进行观察和分析，频域分析是对信号的频率特性进行研究，复域分析是使用复数的方法来表示信号和系统。

随机信号分析习题一概率：P( 1)，P(1 2)。

2. 设(X,Y) 的联合密度函数为f XY(x,y)e (x y), x 0, y 0，0 , other求P 0 X 1,0 Y 1 。

3. 设二维随机变量(X,Y) 的联合密度函数为1 12 2 f XY(x, y) 1exp 12(x22xy 5y2)求：(1)边沿密度f X(x) ，f Y(y)(2)条件概率密度f Y|X (y|x)，f X|Y(x|y)4. 设离散型随机变量X 的可能取值为1,0,1,2 ，取每个值的概率都为1/4 ，又设随机变量Y g(X) X3X 。

(1)求Y 的可能取值( 2)确定Y 的分布。

(3)求E[Y] 。

5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为：111f XY(x,y) 3(x 2) (y 1) 3(x 3) (y 1) 3(x A) (y A) 试求：(1) X 与Y 不相关时的所有A值。

(2) X 与Y 统计独立时所有A值。

6. 二维随机变量( X ，Y )满足：X cosY sin为在[0，2 ]上均匀分布的随机变量，讨论X ，Y 的独立性与相关性。

7. 已知随机变量X 的概率密度为f (x)，求Y bX 2的概率密度f (y)。

1. 设函数F(x)，试证明F(x) 是某个随机变量的分布函数。

并求下列8. 两个随机变量X1，X 2 ，已知其联合概率密度为f(x1,x2),求X1 X 2的概率密度？9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，y g(x) 如图，求y g(x) 的概率密度f Y(y)W X 2Y2Z X 2设X ，Y是相互独立的高斯变量。

求随机变量W和Z的联合概率密度函数。

11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数WXYZ 2(X Y)已知f XY(x,y) ，求联合概率密度函数f WZ( ,z) 。

,axb ba0，其它1)求X 的特征函数, X( ) 。

一、填空题1.描述周期信号的数学工具是（傅氏级数），描述非周期信号的数学工具是（傅氏变换）。

2.傅氏级数中的各项系数是表示各谐波分量的(振幅)3.复杂的信号的周期频谱是（离散的）。

4.如果一个信号的频谱是离散的。

则该信号的频率成分是（可能是有限的，也可能是无限的）。

5. 多种信号之和的频谱是（随机性的）。

6.连续非周期信号的频谱是（连续非周期的）。

7.时域信号，当持续时间延长时，则频域中的高频成分（减少）。

8.将时域信号进行时移，则频域信号将会（仅有移项）。

9.()12sin ,()x t t t ωδ=为单位脉冲函数，则积分()()2x t t dt πδω∞-∞⋅-⎰的函数值为（12）。

10. 如果信号分析设备的通频带比磁带记录下的信号频带窄，将磁带记录仪的重放速度（放慢），则也可以满足分析要求。

11.如果1)(⇐⇒t δ，根据傅氏变换的（时移）性质，则有0)(0t j et t ωδ-⇔-。

12.瞬变信号x （t ），其频谱X （f ），则∣X （f ）∣²表示（信号沿频率轴的能量分布密度）。

13.不能用确定函数关系描述的信号是（随机信号）。

14.两个函数12()()x t x t 和，把运算式12()()x t x t d ττ∞-∞⋅-⎰称为这两个函数的（卷积）。

15.时域信号的时间尺度压缩时，其频谱的变化为（频带变宽、幅值压低）。

16.信号()1tx t eτ-=- ，则该信号是(瞬变信号)。

17.数字信号的特性是（时间、幅值上均离散）。

18. 信号可分为（确定信号）和 （随机信号）两大类。

19. 确定性信号可分为（周期信号）和（非周期信号）两类，前者的频谱特点是（离散的），后者的频谱特点是（连续的）。

20.信号的有效值又称为（均方根值），有效值的平方称为（均方值），它描述测试信号的强度（信号的平均功率）。

21. 绘制周期信号x （t ）的单边频谱图，依据的数学表达式是（傅氏三角级数中的各项系数（0,,,n n n a a b A 等 ）），而双边频谱图的依据数学表达式是（傅氏复指数级数中的各项系数（,,n n n c c c -））。

第一章测试1.对于高斯随机变量而言，不相关与统计独立等价。

（）A:对B:错答案:A2.随机变量的概率密度函数取值范围为。

（）A:对B:错答案:B3.(特征函数与矩之间的关系为：。

（）A:错B:对答案:B4.设维随机变量的联合概率密度函数为。

若，则。

（）A:错B:对答案:A5.如果非零随机变量与满足，则随机变量与之间的关系为（）A:一般关系B:正交C:统计独立D:不相关答案:D6.假如非零随机变量与满足，则随机变量与之间的关系为（）A:一般关系B:不相关C:统计独立D:正交答案:C7.若非零随机变量与满足，则随机变量与之间的关系为（）A:不相关B:统计独立C:一般关系D:正交答案:D8.假设非零随机变量与满足，则随机变量与之间的关系为（）A:统计独立B:正交C:不相关D:一般关系答案:D9.若非零随机变量与满足条件（）时，则随机变量与之间是统计独立的。

A:B:C:D:答案:BCD10.对于高斯随机变量，下列说法正确的是（）A:两个相互独立正态随机变量的和仍然服从正态分布；B:高斯随机变量经过平方律设备后仍然服从高斯分布；C:若，则随机变量服从对数正态分布。

D:高斯随机变量经过线性变换后仍然服从高斯分布；答案:ACD第二章测试1.随机过程可以看作随时间变化的随机变量，是一簇确定时间函数的集合。

（）A:错B:对答案:B2.两个随机过程联合宽遍历，则这两个随机过程一定联合宽平稳。

（）A:错B:对答案:B3.平稳随机过程自相关函数具有奇对称性。

（）A:错B:对答案:A4.联合平稳的两个随机过程的互相关函数是偶函数。

（）A:错B:对答案:A5.宽平稳高斯随机过程也是严平稳的随机过程。

（）A:错B:对答案:B6.对随机过程，如果，则称和是（）。

A:互不相关的随机过程B:相互独立的随机变量C:互不相关的随机变量D:相互独立的随机过程答案:C7.对随机过程X(t)，如果，则称随机过程在和时刻的状态是（）。

A:既不独立也不相关的；B:相互不独立但相关的C:相互独立的D:互斥的答案:C8.随机过程导数的数学期望等于它数学期望的（）。

信号分析与处理试题与答案1. 设随机信号x(n)中含有加性噪声u(n)，s(n)为有用信号，则：)()()n (n u n s x += ]()([)(s m n x n s E m R x +=)]()([m n s n s E +=)]()()()([m n u n s m n s n s E +++= )m (s R =2. 不改(FFT)的程序直接实现IFFT 的方法 ： 由∑-=--==11,,1,0 ,)(1)(N k nkN N nWk X Nn x 得：∑-==*-=*101101N k nkN N ,,,n,W )k (X N )n (x ∑-===-=****1011011N k nk N N ,,,n )]}k (X {FFT[N]W )k (X [N )n (x1)先取共轭 2)执行FFT 程序 3)对运算结果取共轭，并乘以常数N1 3. 解：1）dt t t t )2()]3cos(5[513-+⎰∞-δ＝0 2）10002.02=ππ， 周期＝100 3)解：22)1()(ππ++=-s e s X s 当aa 1<时：4)1111110111111)()()()()()(22----∞=-∞=-∞=---∞=-∞-∞=--∞=∞=-----+-=+=+=+==∑∑∑∑∑∑∑z a z a z a az z a az azza zazn x z X n n n n n nn nn n n nnnnn当a a 1>时：az a 1>> 4. 1）.混叠现象：在采样前加抗混叠滤波器。

2).频谱泄漏：增加采样点数或其他类型的窗函数 3)栅栏效应：在数据的末端补零。

4)频率的分辨率：增加信号的长度。

5. 解：)(n x *)(n h =2 3 5 9 6 6 4{ )(n x 与)(n h 5点的循环卷积为：｝ 5 9 6 8 7{ )(n x 与)(n h 8点的循环卷积为：｝0 2 3 5 9 6 6 4{ 6.解过程如下：1)0(＝x 1)2(－=x 2)1(=x 3)3(=x 5)0(=X jX +=2)1(5)2(-=X jX -=2)3(2)1(0)0(11＝＝X X 1)1(5)0(22-==X X 04W jW -=14--4W -4W-7. 解：选汉明窗 πω25.0=∆＝Nπ8 N=32 )(n h d ⋅--=)()](sin[απαωn n c 5.1521=⋅-=N α)()]312cos(46.054.0[*)13()]13(25.0sin[)(n R nn n n h N πππ---==∴8．解：数字低通滤波器的截止频率为ωc=0.25π，则巴特沃斯模拟滤波器Ωc 为：T TT c c 828.0225.0tan 22tan 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=Ωπω 模拟滤波器的系统函数为：)828.0/(11)/(11)(sT s s H c a +=Ω+=将双线性变换应用于模拟滤波器，有：11111124159.0112920.0)]1/()1)[(828.0/2(11)()(11----+-=-+=+-+==--z z z z s H z H z z T s a。