第四章《数列》第一课时 等差数列的概念与通项公式

4.2 等差数列

4.2.1 等差数列的概念

第一课时 等差数列的概念与通项公式

课标要求 素养要求

1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.

2.体会等差数列与一元一次函数的关系. 在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出等差数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.

新知探究

观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题.

我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为

2 017，2 029，2 041，2 053，2 065，2 077，…；①

我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为

275，270，265，260，255，250，…；②

2020年1月中，每个星期日的日期为

5，12，19，26.③

问题 数列①②③有什么共同的特点？ 提示 从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，都是等差数列.

1.等差数列的概念 等差数列的定义中的几个关键词是“从第2项起”，“同一个常数”

条件 从第2项起

每一项与它的前一项的差都等于同一个常数

结论 这个数列就叫做等差数列

有关概念 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示

2.等差中项

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.

3.等差数列的通项公式 一般形式：an＝am＋(n－m)d

(1)通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.

(2)等差数列与一次函数的关系：

①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n，an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.

②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为(k＋b)，公差为k.

拓展深化

[微判断]

1.常数列是等差数列.(√)

2.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(×)

提示 差都是同一个常数.

3.数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列.(×)

提示 {an}不一定是等差数列，忽略了第1项.

[微训练]

1.已知实数m是1和5的等差中项，则m＝( ) A.5

B.±5

C.3 D.±3

解析 由题知：2m＝1＋5＝6，m＝3.

答案 C

2.等差数列{1－3n}的公差d等于( )

A.1 B.3

C.－3 D.n

解析 ∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，

∴d＝a2－a1＝－3.

答案 C

3.等差数列－3，－1，1，…的通项公式为an＝________.

解析 由题知，a1＝－3，d＝2，an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5.

答案 2n－5

[微思考]

1.如果数列{an}满足an＋1－an＝d(常数)或2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，那么数列{an}是等差数列吗？

提示 是等差数列.

2.等差数列{an}的单调性与其公差d有什么关系？

提示 当公差d＝0时，{an}是常数列；

当公差d>0时，{an}是递增数列；

当公差d<0时，{an}是递减数列.

题型一 等差数列的通项公式及相关计算

【例1】 在等差数列{an}中，

(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；

(2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n；

(3)已知a1＝12，a6＝27，求d；

(4)已知d＝－13，a7＝8，求a1和an. 解 (1)an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.

(2)由an＝a1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.

(3)由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27，解得d＝3.

(4)由a7＝a1＋6d得a1－2＝8，解得a1＝10，

所以an＝a1＋(n－1)d＝10－13(n－1)＝－13n＋313.

规律方法 等差数列通项公式中的四个参数及其关系

等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d

四个参数 a1，d，n，an

“知三求一” 知a1，d，n求an

知a1，d，an求n

知a1，n，an求d

知d，n，an求a1

【训练1】 (1)已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝( )

A.－2 B.－12

C.12

D.2

(2)在数列{an}中，已知a1＝3，当n≥2时，1an－1an－1＝15，则a16＝( )

A.25

B.310

C.23 D.32

解析 (1)由条件得a1＋6d－2（a1＋3d）＝－1，a1＋2d＝0.解得a1＝1，d＝－12.

(2)因为当n≥2时，1an－1an－1＝15，所以1an是以13为首项，以15为公差的等差数列，故1a16＝13＋15×15＝103，故a16＝310.

答案 (1)B (2)B

题型二 等差中项及其应用

【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.

解 ∵－1，a，b，c，7成等差数列，

∴b是－1与7的等差中项，

∴b＝－1＋72＝3.

又a是－1与3的等差中项，∴a＝－1＋32＝1.

又c是3与7的等差中项，∴c＝3＋72＝5.

∴该数列为－1，1，3，5，7.

规律方法 (1)由等差数列的定义知an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即2an＝

an－1＋an＋1，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.(2)在设等差数列的项时，可利用上述性质.

【训练2】 若a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为(

)

A.3

B.2

C.32 D.22

(2)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是( )

A.2 B.3

C.6 D.9

解析 (1)由题知a，b的等差中项为1213＋2＋13－2＝12(3－2＋3＋2)＝3.

(2)由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.

两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.

所以m和n的等差中项为m＋n2＝3.

答案 (1)A (2)B

题型三 等差数列的判定 角度1 等差数列的证明

【例3－1】 (1)已知数列{an}是等差数列，设bn＝2an＋3，求证：数列{bn}也是等差数列.

证明 因为数列{an}是等差数列，可设其公差为d，则an＋1－an＝d.

从而bn＋1－bn＝(2an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d，它是一个与n无关的常数，

所以数列{bn}是等差数列.

(2)已知a1＝2，若an＋1＝2an＋2n＋1，证明an2n为等差数列，并求{an}的通项公式.

证明 由于an＋1＝2an＋2n＋1，

所以an＋12n＋1－an2n＝2an＋2n＋12n＋1－an2n＝1，

∴an2n是以1为首项，1为公差的等差数列.

∴an2n＝1＋(n－1)×1＝n.

∴an＝n·2n.

角度2 等差数列的探究

【例3－2】 数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*).

(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；

(2)是否存在λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.

解 (1)∵an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)及a1＝2，a2＝－1，∴a2＝(λ－3)a1＋2，

∴λ＝32.

∴a3＝－32a2＋22，∴a3＝112.

(2)不存在.∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2，即2＋2λ2－10λ＋16＝2(2λ－4)，∴λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解，∴λ不存在，即不存在λ使{an}为等差数列.

规律方法 (1)证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)⇔{an}是等差数列.

②等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.

(2)若证明一个数列不是等差数列，则只要证明其中特定三项(如前三项a1，a2，a3)不是等差数列即可.

【训练3】 已知数列{an}满足an＋1＝6an－4an＋2，且a1＝3(n∈N*).

(1)证明：数列1an－2是等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明 由1an＋1－2＝16an－4an＋2－2＝an＋2（6an－4）－2（an＋2）

＝an＋24an－8＝（an－2）＋44（an－2）＝1an－2＋14，

得1an＋1－2－1an－2＝14，n∈N*，

故数列1an－2是等差数列.

(2)解 由(1)知1an－2＝1a1－2＋(n－1)×14＝n＋34，

所以an＝2n＋10n＋3，n∈N*.

一、素养落地

1.通过学习等差数列的概念，提升数学抽象素养，通过学习等差数列的证明及相关计算，提升逻辑推理及数学运算素养.

2.判断一个数列是不是等差数列的常用方法：

(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；

(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；

(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列.

但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.

3.由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，