第1课时 等差数列的概念及通项公式

戴氏教育簇桥校区 等差数列 授课老师:唐老师

1 等差数列

知识梳理

1.定义：daann1（d为常数）（2n）；

2．等差数列通项公式：

*11(1)()naanddnadnN ， 首项:1a，公差:d，末项:na

推广： dmnaamn)(． 从而mnaadmn；

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2baA或baA2

（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa

4．等差数列的前n项和公式：1()2nnnaas1(1)2nnnad211()22dnadn2AnBn

（其中A、B是常数） （当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若daann1或daann1(常数Nn) na是等差数列．

（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa．

（3）数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。

（4）数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若daann1或daann1(常数Nn) na是等差数列．

7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）通常把题中条件转化成只含1a和d的等式！ 戴氏教育簇桥校区 等差数列 授课老师:唐老师

§4.2 等差数列

4.2.1 等差数列的概念

第1课时 等差数列的概念及通项公式

学习目标 1.理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差数列的判断与证明方法．

知识点一 等差数列的概念

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零．

思考 你能根据等差数列的概念写出它的数学表达式吗？

答案 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)．

知识点二 等差中项的概念

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b.

思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：

(1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a，b.

答案 插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)a＋b2.

知识点三 等差数列的通项公式

首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.

思考 由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？

答案 只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．

知识点四 从函数角度认识等差数列{an}

若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，

则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．

(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ；

(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.

1．数列4,4,4，…是等差数列．( √ )

2．数列{an}的通项公式为an＝ 1，n＝1，n＋1，n≥2，则{an}是等差数列．( × )

3．若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )

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等差数列复习

一、等差数列的有关概念：

1、等差数列的判断方法：定义法1(nnaadd为常数）或11(2)nnnnaaaan。

如设{}na是等差数列，求证：以bn=naaan21 *nN为通项公式的数列{}nb为等差数列。

2、等差数列的通项：1(1)naand或()nmaanmd。

如(1)等差数列{}na中，1030a，2050a，则通项na （答：210n）；

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d）

3、等差数列的前n和：1()2nnnaaS，1(1)2nnnSnad。

如（1）数列 {}na中，*11(2,)2nnaannN，32na，前n项和152nS，则1a＝ ＿，n＝＿（答：13a，10n）；

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（2）已知数列 {}na的前n项和212nSnn，求数列{||}na的前n项和nT（答：2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnNTnnnnN）.

4、等差中项：若,,aAb成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且2abA。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为„，2,,,,2adadaadad„（公差为d）；偶数个数成等差，可设为„，3,,,3adadadad,„（公差为2d）

5、等差数列的性质：

（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nnnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0.

2.2 等差数列

2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式

从容说课

本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法，即学生主动观察——分析概括——师生互动，形成概念——启发引导，演绎结论——拓展开放，巩固提高.在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.

在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位.创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力.使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化.

教学重点 理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题.

教学难点 (1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用;

(2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式.

教具准备 多媒体课件，投影仪

三维目标

一、知识与技能

1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;

2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.

二、过程与方法

1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力；

2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性.

三、情感态度与价值观

通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.

教学过程