函数极限计算练习题

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

高等数学

二、计算题（共 200 小题，）

1、设xxxf12)(，求)(xf的定义域及值域。

2、设xxxf11)(，确定)(xf的定义域及值域。

3、设)ln(2)(22xxxxxf，求)(xf的定义域。

4、的定义域，求设)(sin512arcsin)(xfxxxf。

5、的定义域，求设xfxfxxxf1)(22ln)(。

6、的定义域求函数22112arccos)(xxxxxf。

7、设)(xf的定义域为 )()()(mxfmxfxFba，．，)0(m，求)(xF的定义域。

8、的定义域，求设 )(16sin)(2xfxxxf。

9、的定义域，求设)(12)(2xfxxxf。

10、设，求的定义域fxxxfx()lg()256。

11、设，求的定义域fxxxfx()arctan()2512。

12、

13、,55lg)(xxxf设的定义域；确定)()1(xf的值，求若)2(lg)()2(gxxgf。

14、),00()(abcxcbxxaxf，　　设成立，对一切，使求数0)()(xxfxmfm。

15、1)()1(3)2(3)3()(2xfxfxfxfcbxaxxf，计算设的值，其中cba，，是给定的常数。

16、)1()11(1)(2xxxfxxxf　，求设。

17、)()0(13)1(243xfxxxxxxxf，求　设。

18、)()0( )11()1(2xfxxxxf，求　设。

19、及其定义域，求，设)(02)(ln2xfxxxxf。 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

20、时，且当设 2)(1xxtfxy，)(5222xftty，求。

函数的极限练习题

1. 求下列函数的极限：

a) 当 x 趋近于 2 时，求函数 f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) 的极限。

b) 当 x 趋近于 0 时，求函数 g(x) = (sin x) / x 的极限。

c) 当 x 趋近于 1 时，求函数 h(x) = (ln x) / (x - 1) 的极限。

2. 利用极限的性质求下列极限：

a) 求函数 f(x) = √(x + 1) - 1 的极限，其中 x 趋近于 0。

b) 求函数 g(x) = (e^x - 1) / x 的极限，其中 x 趋近于 0。

c) 求函数 h(x) = (1 - cos x) / x 的极限，其中 x 趋近于 0。

3. 求下列函数的极限：

a) 当 x 趋近于 0 时，求函数 f(x) = (1 + x)^k - 1 的极限，其中 k 为常数。

b) 当 x 趋近于 ∞ 时，求函数 g(x) = (x^n) / (e^x) 的极限，其中 n 为常数。

c) 当 x 趋近于 0 时，求函数 h(x) = (e^(kx) - 1) / (x^2) 的极限，其中 k 为常数。

4. 求下列函数的极限：

a) 当 x 趋近于 0 时，求函数 f(x) = (1 - cos x) / x^2 的极限。 b) 当 x 趋近于 ∞ 时，求函数 g(x) = (ln(x^2 + 1)) / (x + 1) 的极限。

c) 当 x 趋近于 ∞ 时，求函数 h(x) = (x - e^x) / (x + e^x) 的极限。

思路拓展：

对于极限问题的解答，我们可以利用基本的极限公式、L'Hôpital 法则、夹逼定理等进行求解。其中，基本的极限公式包括：

- 当 x 趋近于 0 时，lim(x→0) sin x / x = 1

- 当 x 趋近于 ∞ 时，lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e

一、 极限与连续

一、填空题

1、极限xxxx1sin2357lim2

2、若bxaxx421lim22，则ab

3、21sin(1)lim1xxx

4、设1,0,(),ln(1),0xexfxxxx0x为)(xf 间断点

5、若03sin()2lim,23xmxx，则m

二、选择题

1、“)(xf在点0xx处有定义”是“0xx时，)(xf有极限”的（ ）

A．必要条件 B．充分条件 C．充分必要条件 D．无关条件

2、下列函数中，（ ）在点0x补充定义可成为连续函数

A．2sin2)(xxxf B．xexf1)( C．xxf1sin)( D．211)(xxxxf

3、若161912)(lim23xxxfx，则)(xf（ ）

A．2x B．5x C．13x D．6x

4、下列极限中（ ）正确

A．1sinlimxxx B．11sinlimxxx C．11sin1limxxx D．1sin1limxxx

5、当0x时，下列变量（ ）与x为等价无穷小

A．xxsin B．xxsin C．xx11 D．xx1cos

三、计算题

1、 221limxxx 2、1lim1xxx 3、 111limxxx 4、 10lim1+)xxxxe（

5、0tansinlimxxxx 6、30tansinlimsinxxxx 7、11lim31xxx 8、4213lim22xxx

第２２卷第２期　２ｏｏ２年６月　河池师专学报（自然科学版）　

ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＥＣＨＩ　ＮＯＲＭＡＬｏ０ＬＬＥ（　（ＮＡＴＵＲＡＬＳＣＩＥＮＣＥＳ）　Ｖｄ．２２　Ｎｏ　２　Ｊｕｎ．２００２　

二元函数极限的计算　

沈彩霞　

（河池师专数学系广西宜州５４６３００）　

【摘要】本文讨论了求二元函数极限的几种方法。　

【关键词】　二元函数二重极限　两边夹法则　极坐标变换连续性　【中国分类号】ＴＮ４０２　【文献标识码】Ａ　【文章编号】１００５—７６５（２０ｏ２）０２—００４２—Ｏ３　

二元函数极限（即二重极限）是多元函数微分学中一个重要概念。然而对于如何计算二重极限，教材中　

并没有给出具体的方法。虽然有一个定理可以作为计算二重极限的依据，Ｈｐ（数学分析讲义》下册１４９页的　

定理１：函数ｆ（ｘ，ｙ）在点Ｐｏ（ｘｏ，ｙ０）的二重极限与累次极限（首先ｙ—ｙ０，其次ｘ－＇ｘｏ）都存在，则ｌｉｍｆ（ｘ，ｙ）：　

ｙ＿．ｙ０　ｌｉｍ　ｌｉｍｆ（ｘ，Ｙ）。但使用该定理的前提条件是二重极限与累次极限都存在，而该条件的验证并不容易。故用　

此方法来计算二重极限并没有多大用处。本文给出求二重极限常用的几种方法，以供大家参考。　

１利用不等式，使用两边夹法则求极限　

元函数极限的计算中，两边夹法则是一种常用的方法，对二元函数来说，亦如此。二重极限的两边夹　

法则为：设ｆ（ｘ，Ｙ），ｈ（ｘ，Ｙ），ｇ（ｘ，ｙ）在区域Ｄ有定义，（ｘｏ，ｙ０）是Ｄ的内点或界点，且ｇ（ｘ，ｙ）≤ｆ（ｘ，ｙ）≤ｈ（ｘ，　

Ｙ），　

若ｌｉｍｇ（ｘ，Ｙ）＝ｌｉｒａ　ｈ（ｘ，Ｙ）＝Ａ，则ｌｉｍ　ｆ（ｘ，Ｙ）＝Ａ　

广ｙ０　广ｙ０　ｙ０　该法则对（ｘ，ｙ）一（∞，∞）也有类似的结果。　

例１：求极限ｌｉｎ２　÷　Ｘ十Ｖ　

解：由不等０≤　÷　≤　＝　１　１＋吾）　

而　￣　１　１＋　）＝０　

故　ｌｉｍ　ｘ￣　＋　ｙＺ＝０　

例２：求极限ｌｉｍ　ｏｘ—ｘＹ十ｙ－　

解：由不等式）【２＋ｙ２≥２ｌｘｙｌ得