高数函数与极限练习题
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高数函数与极限练习题
一、函数的基本概念
1. 判断下列函数的单调性：
(1) f(x) = 3x + 4
(2) g(x) = 2x^2 + 5x + 1
(3) h(x) = e^x x
2. 求下列函数的定义域：
(4) f(x) = √(x^2 9)
(5) g(x) = 1 / (x 2)
(6) h(x) = ln(x^2 4)
3. 判断下列函数的奇偶性：
(7) f(x) = x^3 3x
(8) g(x) = sin(x) + cos(x)
(9) h(x) = e^x e^(x)
二、极限的计算
4. 计算下列极限：
(10) lim(x→0) (sin(x) / x)
(11) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)
(12) lim(x→+∞) (1 / x^2 1 / x)
5. 讨论下列极限的存在性：
(13) lim(x→0) (sin(1/x))
(14) lim(x→0) (x^2 / sin(x))
(15) lim(x→+∞) (x ln(x)) 6. 计算下列极限：
(16) lim(x→0) (e^x 1) / x
(17) lim(x→+∞) (x^2 + x + 1) / (2x^2 + 3x 1)
(18) lim(x→∞) (x^3 + 3x^2 + 2x + 1) / (x^4 + 4x^3 +
3x^2)
三、无穷小与无穷大
7. 判断下列表达式的无穷小性质：
(19) sin(x) x
(20) 1 cos(x)
(21) e^x 1 x
8. 判断下列表达式的无穷大性质：
(22) 1 / (x 1)
(23) ln(1 / x)
(24) x^2 e^x (x > 0)
四、连续性与间断点
9. 讨论下列函数的连续性：
(25) f(x) = |x 1|
(26) g(x) = { x^2, x < 0; 1, x ≥ 0 }
(27) h(x) = { sin(x), x ≠ 0; 1, x = 0 }
10. 求下列函数的间断点：
(28) f(x) = 1 / (x^2 1)
(29) g(x) = √(1 cos(x))
(30) h(x) = ln|x^2 4|
五、综合题 11. 设函数f(x) = x^2 2x + 3，求lim(x→+∞) f(x)。
12. 设函数g(x) = { x^2, x < 0; x, x ≥ 0 }，讨论g(x)在x
= 0处的连续性。
13. 设函数h(x) = { x^2 + 1, x ≠ 0; 0, x = 0 }，求h(x)的间断点。
14. 计算lim(x→0) (sin(2x) / x)。
15. 设函数f(x) = x^3 3x + 2，求f(x)的单调区间。
六、导数的概念与计算
16. 求下列函数的导数：
(31) f(x) = x^4 3x^2 + 2
(32) g(x) = (x^2 + 1)^3
(33) h(x) = sin^2(x) + cos^2(x)
17. 求下列函数在指定点的导数值：
(34) f(x) = e^(2x), 在x = 0处的导数值
(35) g(x) = ln(x^2 + 1), 在x = 1处的导数值
(36) h(x) = 1 / √(1 x^2), 在x = 0处的导数值
18. 求下列隐函数的导数：
(37) y = x^3 + 3xy^2
(38) x^2 + y^2 = 25
(39) e^x sin(y) = 1
七、高阶导数
19. 求下列函数的二阶导数：
(40) f(x) = x^5 5x^3 + 3x
(41) g(x) = cos(x^2) (42) h(x) = ln(sin(x))
20. 求下列函数的n阶导数：
(43) f(x) = e^x
(44) g(x) = sin(x)
(45) h(x) = x^n (n为正整数)
八、微分中值定理与导数的应用
21. 验证下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理：
(46) f(x) = x^3 3x, 在区间[1, 1]上
(47) g(x) = e^x x 1, 在区间[0, 1]上
(48) h(x) = ln(x + 1), 在区间[0, 1]上
22. 求下列函数在给定区间内的最大值和最小值：
(49) f(x) = x^3 6x^2 + 9x, 在区间[0, 3]上
(50) g(x) = x^2 + 4x + 5, 在区间[1, 3]上
(51) h(x) = e^x / (1 + x^2), 在区间[0, 2]上
九、泰勒公式与应用
23. 将下列函数在指定点展开成泰勒级数：
(52) f(x) = e^x, 在x = 0处
(53) g(x) = sin(x), 在x = 0处
(54) h(x) = ln(1 + x), 在x = 0处
24. 利用泰勒公式求下列极限：
(55) lim(x→0) (1 cos(x^2)) / x^4
(56) lim(x→0) (e^(x^2) 1 x^2) / x^4
(57) lim(x→0) (sin(x) x + x^3/6) / x^5
十、综合应用题 25. 设函数f(x) = x^3 3x + 1，求f(x)在区间[2, 2]上的最大值和最小值。
26. 已知函数g(x) = x^2 2x + 3，求证：对于任意x ∈ [1,
+∞)，有g(x) ≥ 2。
27. 设函数h(x) = x^4 4x^3 + 6x^2 4x + 1，求h(x)的所有极值点。
28. 利用泰勒公式证明：当x → 0时，sin(x) ≈ x x^3/6。
29. 讨论函数f(x) = x^2 / (x^2 1)在区间(0, +∞)上的单调性。
答案
一、函数的基本概念
1. (1) 单调递增 (2) 先增后减 (3) 单调递增
2. (4) (∞, 3] ∪ [3, +∞) (5) (∞, 2) ∪ (2, +∞) (6)
(∞, 2) ∪ (2, +∞)
3. (7) 奇函数 (8) 非奇非偶 (9) 奇函数
二、极限的计算
4. (10) 1 (11) 2 (12) 1/2
5. (13) 不存在 (14) 存在，极限为1 (15) 不存在
6. (16) 1 (17) 1/2 (18) 1
三、无穷小与无穷大
7. (19) 无穷小 (20) 无穷小 (21) 无穷小
8. (22) 无穷大 (23) 无穷大 (24) 无穷大
四、连续性与间断点
9. (25) 在R上连续 (26) 在x = 0处连续 (27) 在x = 0处连续 10. (28) x = 1, x = 1 (29) x = kπ (k为整数) (30) x = 2,
x = 2
五、综合题
11. lim(x→+∞) f(x) = +∞
12. g(x)在x = 0处连续
13. h(x)的间断点为x = 0
14. 2
15. 单调递增区间：(∞, 1)，单调递减区间：(1, +∞)
六、导数的概念与计算
16. (31) 4x^3 6x (32) 6x(x^2 + 1)^2 (33) 2sin(x)cos(x)
17. (34) 2 (35) 2/3 (36) 1
18. (37) y' = 3x^2 + 6xy (38) y' = x/y (39) y' = (e^x
sin(y) + e^x cos(y)) / e^x sin(y)
七、高阶导数
19. (40) 60x^2 30 (41) 4x^3 sin(x^2) (42) cos(x) /
sin^2(x)
20. (43) e^x (44) sin(x + nπ/2) (45) n!
八、微分中值定理与导数的应用
21. (46) 满足 (47) 满足 (48) 满足
22. (49) 最大值：0，最小值：4 (50) 最大值：11/4，最小值：4 (51) 最大值：e^2 / (1 + 4)，最小值：e^0 / (1 + 0)
九、泰勒公式与应用 23. (52) e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + + x^n/n! + (53)
sin(x) = x x^3/3! + x^5/5! + (1)^(n1)x^(2n1)/(2n1)! + (54)
ln(1 + x) = x x^2/2 + x^3/3 + (1)^(n1)x^n/n +
24. (55) 1/6 (56) 1/2 (57) 1/120
十、综合应用题
25. 最大值：125/27，最小值：3/2
26. 证明过程略
27. 极值点：x = 1
28. 证明过程略
29. 在区间(0, 1)上单调递减，在区间(1, +∞)上单调递增
