高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(一)
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高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理（一）
一、基础知识
1．正弦定理
asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
正弦定理的常见变形： (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A.
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C.
3．三角形的面积公式
(1)S△ABC＝12aha(ha为边a上的高)；
(2)S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
二、常用结论汇总
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：A＋B2＝π2－C2.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C； (2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sinA＋B2＝cosC2； (4)cosA＋B2＝sinC2.
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
4．用余弦定理判断三角形的形状
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，当b2＋c2－a2>0时，可知A为锐角；当b2＋c2－a2＝0时，可知A为直角；当b2＋c2－a2<0时，可知A为钝角．
三、考点解析
考点一 利用正、余弦定理解三角形 考法(一) 正弦定理解三角形
例.(1)在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝30°，则cos B＝________.
(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________.
考法(二) 余弦定理解三角形
例.(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为( )
A．7.5 B．7 C．6 D．5
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－b2c－a＝sin Asin B＋sin C，则角B＝________.
跟踪训练
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝( )
A.24 B．－24 C.34 D．－34
2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝2，则C＝( )
A.π12 B. π6 C.π4 D.π3
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.
(1)求角A的大小；
(2)若cos B＝13，a＝3，求c的值．
考点二 判定三角形的形状
例、(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin Asin B＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
变式练习
1.变条件若本例(1)条件改为“asin A＋bsin B 2.变条件若本例(1)条件改为“c－acos B＝(2a－b)cos A”，那么△ABC的形状为________． 3.变条件若本例(2)条件改为“cos Acos B＝ba＝2”，那么△ABC的形状为________． 课后作业 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin Aa＝cos Bb，则B的大小为( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 3．在△ABC中，cos B＝ac(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( ) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsin A＝3csin B，a＝3，cos B＝23，则b＝( ) A．14 B．6 C.14 D.6 5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Bcos C＋csin Bcos A＝12b，且a>b，则B＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(bcos A＋acos B)＝c2，b＝3,3cos A＝1，则a＝( ) A.5 B．3 C.10 D．4 7．在△ABC中，AB＝6，A＝75°，B＝45°，则AC＝________. 8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－14，3sin A＝2sin B，则c＝________. 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________. 10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C成等差数列，且a＝2c，则cos A＝________. 11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝2B. (1)求证：a＝2bcos B； (2)若b＝2，c＝4，求B的值． 12．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大小； (2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状． 提高训练 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2A＋B2－cos 2C＝1,4sin B＝3sin A，a－b＝1，则c的值为( ) A.13 B.7 C.37 D．6 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝3，2sin Aa＝tan Cc，若sin(A－B)＋sin C＝2sin 2B，则a＋b＝________. 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos C－c＝2b. (1)求角A的大小； (2)若c＝2，角B的平分线BD＝3，求a.
