高中数学一轮复习 4.7 正弦定理和余弦定理
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第七节 正弦定理和余弦定理
1．正弦定理
2．余弦定理
3．三角形的面积公式
第一课时 正弦定理和余弦定理(一)
考点一 利用正、余弦定理解三角形
考法(一) 正弦定理解三角形
[典例] (1)在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝30°，则cos B＝________.
(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________.
考法(二) 余弦定理解三角形
[典例] (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为( ) A．7.5 B．7 C．6 D．5
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－b2c－a＝sin Asin B＋sin C，则角B＝________.
[题组训练]
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝( )
A.24 B．－24 C.34 D．－34
2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝2，则C＝( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.
(1)求角A的大小；(2)若cos B＝13，a＝3，求c的值．
考点二 判定三角形的形状
[典例] (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin Asin B＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( ) A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
[变透练清]
1.变条件若本例(1)条件改为“asin A＋bsin B
2.变条件若本例(1)条件改为“c－acos B＝(2a－b)cos A”，那么△ABC的形状为________．
3.变条件若本例(2)条件改为“cos Acos B＝ba＝2”，那么△ABC的形状为________． [课时跟踪检测]
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin Aa＝cos Bb，则B的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定
3．在△ABC中，cos B＝ac(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsin A＝3csin B，a＝3，cos B＝23，则b＝( )
A．14 B．6 C.14 D.6
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Bcos C＋csin Bcos A＝12b，且a>b，则B＝( )
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(bcos A＋acos B)＝c2，b＝3,3cos A＝1，则a＝( )
A.5 B．3 C.10 D．4
7．在△ABC中，AB＝6，A＝75°，B＝45°，则AC＝________.
8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－14，3sin A＝2sin B，则c＝________.
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.
10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C成等差数列，且a＝2c，则cos A＝________.
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝2B.
(1)求证：a＝2bcos B； (2)若b＝2，c＝4，求B的值．
12．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小； (2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状． 第二课时 正弦定理和余弦定理(二)
考点一 有关三角形面积的计算
[典例] (1)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝7，c＝4，cos
B＝34，则△ABC的面积等于(
)
A．37
B.372 C．9 D.92
(2)△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若△ABC的面积为34(a2＋c2－b2)，则B＝______.
[变透练清]
1.变条件本例(1)的条件变为：若c＝4，sin C＝2sin A，sin B＝154，则S△ABC＝________.
2.变结论本例(2)的条件不变，则C为钝角时，ca的取值范围是________．
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(2b－a)cos C＝ccos A.
(1)求角C的大小；(2)若c＝3，△ABC的面积S＝433，求△ABC的周长．
考点二 平面图形中的计算问题
[典例] 如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝3π4，AB⊥AD，AB＝1.
(1)若AC＝5，求△ABC的面积；
(2)若∠ADC＝π6，CD＝4，求sin∠CAD.
[题组训练]
1.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sin C的值为________．
2.如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝7，EA＝2，∠ADC＝2π3，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．
(1)求sin∠CED；(2)求BE的长．
考点三 三角形中的最值、范围问题
[典例] (1)在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，A≠π2，sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，则角A的取值范围为( )
A.0，π6 B.0，π4 C.π6，π4 D.π6，π3
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，则cos C的最小值为( )
A.32 B.22 C.12 D．－12 [题组训练]
1．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos A＝bsin A，则sin A＋sin C的最大值为( ) A.2 B.98 C．1 D.78
2．在△ABC中，已知c＝2，若sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，则a＋b的取值范围为________．
3．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos Bb＋cos Cc＝sin A3sin C.
(1)求b的值；(2)若cos B＋3sin B＝2，求△ABC面积的最大值．
考点四 解三角形与三角函数的综合应用
考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换
[典例] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 bsin A＝acosB－π6.
(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质
[典例] 已知函数f(x)＝cos2x＋3sin(π－x)cos(π＋x)－12.
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsin C＝asin A，求△ABC的面积．
[对点训练]
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cos B－bcos C＝0.
(1)求角B的大小；
(2)设函数f(x)＝2sin xcos xcos B－32cos 2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．
[课时跟踪检测]
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为( ) A.12 B.14 C．1 D．2
2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若(2a＋c)cos B＋bcos C＝0，则角B的大小为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
3．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝223，a＝3， S△ABC＝22，则b的值为( ) A．6 B．3 C．2 D．2或3
4．在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，tan∠BAC＝－3，则BC边上的高等于(
)
A．1 B.2 C.3 D．2 5．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且asin B＝3bcos
A，当b＋c＝4时，△ABC面积的最大值为(
)
A.33 B.32 C.3 D．23
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2ccos A＝0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为( )
A．2＋3 B．2＋2
C．3 D．3＋2
7．在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．
8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 12bcos A＝sin B，且a＝23，b＋c＝6，则△ABC的面积为________．
9．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝π2，点D在边BC上，AD＝1，且BD＝2DC，∠BAD＝2∠DAC，则sin Bsin C＝________.
10．如图所示，在△ABC中，C＝π3，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE＝22，则cos A＝________.
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c(1＋cos B)＝b(2－cos C)．
(1)求证：2b＝a＋c；
(2)若B＝π3，△ABC的面积为43，求b.
12．在△ABC中，AC＝6，cos B＝45，C＝π4.
(1)求AB的长；(2)求cosA－π6的值．
