高三数学高考一轮复习资料：_正弦定理和余弦定理

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正弦定理和余弦定理

[最新考纲]

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

知 识 梳 理

1．正弦定理和余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则

正弦定理 余弦定理

内容 asin A＝bsin B＝csin C＝2R

(R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A

b2＝a2＋c2－2accos B

c2＝a2＋b2－2abcos C

常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；

(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；

(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝b2＋c2－a22bc；

cos B＝a2＋c2－b22ac；

cos C＝a2＋b2－c22ab

解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角；

(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角

2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况

A为锐角 A为钝角或直角

图形

关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 2

解的个数 一解 两解 一解 一解

3.三角形中常用的面积公式

(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．

(2)S＝12bcsin A＝12absin C＝12acsin B.

(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．

辨 析 感 悟

1．三角形中关系的判断

(1)在△ABC中，sin A＞sin B的充分不必要条件是A＞B.

(×)

(2)(教材练习改编)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，则A＝60°或120°.

(√)

2．解三角形

(3)在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝13，则sin B＝59. (√)

(4)(教材习题改编)在△ABC中，a＝5，c＝4，cos A＝916，则b＝6.

(√)

3．三角形形状的判断

(5)在△ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则此三角形是钝角三角形．

(√)

(6)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则此三角形是锐角三角形．

(×)

[感悟·提升]

1．一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，3

正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，如(1)．

2．判断三角形形状的两种途径 一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.

考点一 利用正弦、余弦定理解三角形

【例1】 (1)(·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin

B＝3b，则角A等于 ( )．

A.π3 B.π4 C.π6 D.π12

(2)(·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝42，B＝45°，则sin C＝______.

解析 (1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝3sin B，

∵B为△ABC的内角，∴sin B≠0.

∴sin A＝32.又∵△ABC为锐角三角形，

∴A∈0，π2，∴A＝π3.

(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－82×22＝25，即b＝5.

所以sin C＝c·sin Bb＝42×225＝45.

答案 (1)A (2)45

规律方法 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．

【训练1】 (1)在△ABC中，a＝23，c＝22，A＝60°，则C＝

( )．

A．30° B．45° C．45°或135° D．60°

(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝ 4

( )．

A．30° B．60° C．120°

D．150°

解析 (1)由正弦定理，得23sin 60°＝22sin C，

解得：sin C＝22，又c＜a，所以C＜60°，所以C＝45°.

(2)∵sin C＝23sin B，由正弦定理，得c＝23b，

∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝－3bc＋c22bc＝－3bc＋23bc2bc＝32，

又A为三角形的内角，∴A＝30°.

答案 (1)B (2)A

考点二 判断三角形的形状

【例2】 (·临沂一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin

A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.

(1)求角A的大小；

(2)若sin B＋sin C＝3，试判断△ABC的形状．

解 (1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，

得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，

∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，∴A＝60°.

(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.

由sin B＋sin C＝3，得sin B＋sin(120°－B)＝3，

∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝3.

∴32sin B＋32cos B＝3，即sin(B＋30°)＝1.

∵0°

∴B＋30°＝90°，B＝60°.

∴A＝B＝C＝60°，△ABC为等边三角形．

规律方法 解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关5

系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．

【训练2】 (1)(·山东省实验中学诊断)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是

( )．

A．钝角三角形 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．等边三角形

(2)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，则△ABC的形状是

( )．

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形

解析 (1)由2c2＝2a2＋2b2＋ab，得a2＋b2－c2＝－12ab，所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝－12ab2ab＝－14＜0，所以90°＜C＜180°，即△ABC为钝角三角形．

(2)由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，

得b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]，

即b2sin Acos B＝a2cos Asin B，

即sin2 Bsin Acos B＝sin2 Acos Asin B，

所以sin 2B＝sin 2A，由于A，B是三角形的内角，

故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.

故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，

即A＝B或A＋B＝π2.

故△ABC为等腰三角形或直角三角形．

答案 (1)A (2)D 6

考点三 与三角形面积有关的问题

【例3】 (·新课标全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.

(1)求B；

(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．

审题路线 (1)a＝bcos C＋csin B――→正弦定理边化角sin A＝…⇒sin(B＋C)＝…⇒求出角B.

(2)由 S＝12acsin B，b2＝a2＋c2－2accos B⇒得出a2与c2的关系式⇒利用基本不等式求ac的最大值即可．

解 (1)由已知及正弦定理，

得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①

又A＝π－(B＋C)，

故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②

由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.

又B∈(0，π)，所以B＝π4.

(2)△ABC的面积S＝12acsin B＝24ac.

由已知及余弦定理，得

4＝a2＋c2－2accosπ4.又a2＋c2≥2ac，

故ac≤42－2，当且仅当a＝c时，等号成立．

因此△ABC面积的最大值为2＋1.

规律方法 在解决三角形问题中，面积公式S＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.

【训练3】 (·湖北卷)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos

2A－3cos(B＋C)＝1.

(1)求角A的大小； 7

(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sin Bsin C的值．

解 (1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，

得2cos2A＋3cos A－2＝0，

即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝12或cos A＝－2(舍去)．因为0＜A＜π，所以A＝π3.

(2)由S＝12 bcsin A＝12bc·32＝34bc＝53，得bc＝20.

又b＝5，所以c＝4.

由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21，

故a＝21.

又由正弦定理，得sin Bsin C＝basin A·casin A

＝bca2sin2A＝2021×34＝57.

1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．

2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a2＝b2＋c2－2bccos A可以转化为sin2 A＝sin2 B＋sin2 C－2sin Bsin Ccos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明．