2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形
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2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形
1.在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；
（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线C2经过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴的交点为E．
（1）求抛物线C2的函数解析式；
（2）点P（m，n）（﹣3＜m＜0）是抛物线C2上的动点，设四边形OAPE的面积为S，求S与m的函数关系式，并求四边形OAPE的面积的最大值；
（3）若y＝x2与平移后的抛物线对称轴交于D点，在抛物线C2的对称轴上，是否存在一点M，使得以M，O，D为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣1与x轴，y轴的交点分别为A、B，以x＝﹣1为对称轴的抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，直线x＝﹣1与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段AB上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）若点Q在第三象限内，且tan∠AQD＝2，线段CQ是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
4．已知直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、C，抛物线y＝﹣+bx+c过点A、C，且与x轴交于另一点B，在第一象限的抛物线上任取一点D，分别连接CD、AD，作DE⊥AC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ACD面积的最大值；
（3）若△CED与△COB相似，求点D的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点，点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求△ABE面积的最大值．
（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出点D坐标；若不存在，说明理由．
6．如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴相交于点C．
（1）求该函数的表达式；
（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．
①求线段PQ的最大值；
②若以点P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．
7．如图所示，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C，
（1）求cos∠CAO的值；
（2）求直线AC的函数关系式；
（3）如果有动点P是y轴上，且△OPA与△OAC相似，求P点坐标．
8．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；
（3）若点M在抛物线上，且在y轴的右侧．⊙M与y轴相切，切点为D．以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，求点M的坐标．
9．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
10．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、点C，与y轴交于点B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标，并求出△ABP周长的最小值；
（3）在线段AC上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．
11．已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1，﹣2），直线y＝kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，0），B点在y轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设点P的横坐标为x，求线段PE的长（用含x 的代数式表示）；
（3）点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似，请求出P点的坐标．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点M，连接AC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线对称轴上存在一点H，连接AH、CH，当△AHC周长最小时，求此时点H坐标．
（3）设对称轴与x轴交于点E，在对称轴上是否存在点G，使以B、E、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝4，OB＝2，点D是抛物线上一动点，且在y轴的左侧，连接AD，BC，AC，CD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线m：y＝kx+8（不经过点B），同时与x轴和y轴相交，若直线m与x轴和y轴围成的三角形与△BCO相似，求k的值；
（3）连接OD，若△ACD的面积是△ABC的面积的时，求△DOC的面积．
14．如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+1与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）点E是直线BC上一动点，求出△ADE周长的最小值；
（3）点P，M分别是抛物线和直线BC上的动点，是否存在以P，M，C为顶点的三角形与△AOC相似．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，点A（0，2），B（1，0），连接AB并将线段AB绕点B顺时针旋转90°，点A转到点C处．一抛物线经过C、B两点，与x轴交于另一点D（3.5，0）．
（1）求点C的坐标和抛物线的解析式．
（2）在BC上方抛物线上是否存在一点P，使得四边形PBDC的面积最大？若存在，求出P的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由．
（3）连接CD，
①求证：CD∥AB；
②直线CD上是否存在一点M，使得△MBC与△AOB相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，且4CO＝2BO＝OA＝4，点D是线段AB上的动点，过点D作DF⊥x轴，交x轴于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D的坐标是多少时，DE最长，最长是多少？
（3）当DE最长时，在直线DE上是否存在点P，使得以P、A、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
17．已知抛物线与直线AC相交于A、C两点，且A（﹣2，0）、C（4，3）．
（1）填空：b＝ ，c＝ ；
（2）长度为的线段DE在线段AC上移动，点G与点F在上述抛物线上，且线段DG与EF始终平行于y轴．
①连接FG，求四边形DEFG的面积的最大值，并求出对应点D的坐标；
②CH⊥AB，垂足为点H，线段DE在移动的过程中，是否存在点D，使△DEG与△ACH相似？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，试说明理由．
18．如图1，抛物线y＝ax2+bx+4的顶点为（1，），抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，沿射线AC方向平移抛物线y＝ax2+bx+4，分别记A、C两点的对应点为E、F，在平移过程中，是否存在以A，E，B为顶点的三角形与△ABF相似，若存在，请求出此时平移后的E的横坐标；若不存在，请简要说明理由；
（3）如图3，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且∠ANM+∠ACM＝180°，求N点坐标． 19．如图，二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）（a＞0）的图象与x轴交于点A，B（A在B的左边），与y轴交于点C，点P是二次函数图象上一动点．
（1）若点C的坐标为（0，﹣3），求二次函数及直线BC的函数关系式．
（2）如图①，在（1）的条件下，若点P在第四象限，过P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，求线段PQ长的最大值．
（3）如图②，若点P在第一象限，且△ABP有△ABC相似，求点P的坐标．
20．如图，若抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，与y轴相交于点C，直线y＝﹣x+3经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线位于第二象限上的一点，连接BP交线段AC于点Q，若△AQB与△AOC相似，求点P的坐标；
（3）若点D为抛物线位于第一象限上的一点，过点D作x轴的垂线，垂足为F，直线DF交直线BC于点E，若△CDE为等腰三角形，请直接写出点D的坐标．
