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人教A版选修2-2第一章导数及其应用单元测试试卷(导数的应用,定积分,微积分基本定理)含答案

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高二数学第一章单元测试试题（满分150分 时间 120分钟） （导数的应用，定积分，微积分基本定理）一、选择题(每小题5分)1．()220310x k dx +=⎰，则k =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知()60cos 1x t dx π-=⎰，则常数t 的值为（）A ．3π-B ．1π-C ．32π-D ．52π-3．下列关于积分的结论中不正确的是（ ） A ．11cos d 0x x x -=⎰B ．111sin d 2sin d x x x x x x -=⎰⎰C ．若()f x 在区间[],a b 上恒正，则()d 0ba f x x >⎰D ．若()d 0ba f x x >⎰，则()f x 在区间[],ab 上恒正4．若220a x dx =⎰，230b x dx =⎰，2sin c xdx =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b <<5．设[](]2,0,1,(){1,1,e x x f x x x∈=∈（其中为自然对数的底数），则0()ef x dx ⎰的值为（ ）A ．43B ．54C ．65D ．6．函数()3234f x x x =+-的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量()0390x x ≤≤的关系是()3400900x R x x =-+，0390x ≤≤，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是（ ）A ．150B ．200C ．250D ．3008．已知,由抛物线2y x =、x 轴以及直线1x =所围成的曲边区域的面积为S.如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S.所谓“分之弥细,所失弥少”,这就是高中课本中的数列极限的思想.由此可以求出S 的值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．259．用S 表示图中阴影部分的面积，若有6个对面积S 的表示，如图所示，()caS f x dx =⎰①；()caS f x dx =⎰②；()c a S f x dx =⎰③；()()b ca bS f x dx f x dx =-⎰⎰④；()()c b baS f x dx f x dx =-⎰⎰⑤；()()b cabS f x dx f x dx =-⎰⎰⑥.则其中对面积S 的表示正确序号的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．函数f （x ）1lnxx =+的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．11．已知函数()22f x ax x a =-+，对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],0-∞B ．4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],1-∞D ．[]1,0-12．设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题(每小题5分)13．1||-1x e dx ⎰值为______．14．已知实数x ，y 满足不等式组2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，且z =2x -y 的最大值为a ，则1e a dxx⎰=______．15．已知函数()()32,f x x ax bx a b R =++∈的图象如图所示，它与直线0y =在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为274，则a 的值为_________16．若()f x 在R 上可导, 2()2(2)3f x x f x ='++,则3()=f x dx ⎰____________.三、解答题(17题10分，其他每小题12分)17．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()12f -=，()00f '=，10()2f x dx =-⎰，求a 、b 、c 的值．18．设()x f 连续，且()x f =⎰+10)(2dt t f x ,求)(x f .19.设函数f(x)=a x 3+bx+c(a>0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f'(x)的最小值是-12,求a,b,c 的值.20．已知函数()32f x x ax bx c =+++在1x =处有极值,其导函数()f x ¢的图象关于直线13x =对称.（1）说明()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的图象与()22g x x x =-的图象有且仅有三个公共点,求c 的取值范围．21.已知函数f (x )=x 3-ax 2+bx+c(a,b,c ∈R),(1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,试求a,b 的值;(2)在(1)的条件下,当x ∈[-2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求c 的取值范围. 22.已知函数f(x)=ln x −ax .(1)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性; (2)若f(x)在区间[1,e]上的最小值为32,求a 的值;(3)设g(x)=ln x-a,若g(x)<x 2在区间(0,e]上恒成立,求a 的取值范围.参考答案1．∵()223x k dx +⎰()332|220x kx k =+=+． 由题意得：32210k +=， ∵1k =．2．因为()60cos 1x t dx π-=⎰，所以()60sin |1x tx π-=，所以3t π=-3．对于A ，函数cos y x x =是R 上的奇函数,11cos d 0x x x -=⎰正确；对于B ，因为函数sin y x x =是R 上的偶函数，所以1110sin d 2sin d x x x x x x -=⎰⎰正确；对于C ，因为()f x 在区间[],a b 上恒正，所以()f x 图象都在x 轴上方，故()d 0ba f x x >⎰正确； 对于D ，若()d 0ba f x x >⎰，可知()f x 的图象在区间[],ab 上，在x 轴上方的面积大于下方的面积，故选项D 不正确.4．由题得22320018|33a x dx x ===⎰，2342001|44b x dx x ===⎰，2200sin cos |cos 21c xdx x ==-=-+⎰，则23,3,12a b c <<<，所以c a b <<，故A ．5．0()ef x dx⎰.6．由()()32234'36f x x x f x x x =+-⇒=+，令()'0f x =得0x =或2x =-，当()(),2,0,x ∈-∞-+∞时，()f x 单调递增，当()2,0x ∈-时，函数单调递减，()()20,04f f -==-，画出函数图像，如图所示：故函数图像有两个零点,故C7．设总利润为334001002000030020000900900()x x x x x P x -+--=-+-=（0390x ≤≤） ，2'()300300x P x =-+（0390x ≤≤），令'()0P x =，可得300x =， 当0300x ≤≤时，'()0P x >,当300390x <≤时，'()0P x <，当300x =时，()P x 取得最大值.8．由题意有2311111=(10)00333S x dx x ⎰==⨯-=，即由抛物线2y x =、x 轴、直线1x =所围成的曲边区域的面积为13，故B. 9．由定积分的几何意义知，区域内的面积为：()+()cbbaf x dx f x dx ⎰⎰，又当[],x a b ∈时，()0f x ≤，当[],x b c ∈时，()0f x ≥， 所以()+()=()()()()cb c bbbabaacbf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，或者()()()()|()||()|=|()|cb c b c b cbababaaf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以∵，∵，∵是正确的.故B.10．由f (x )1lnxx =+,得f ′(x )211(0)(1)lnx x x x +-=>+, 令g (x )＝11lnx x +-,则g ′(x )22111xx x x+=--=-＜0,所以g (x )在(0,+∞)上单调递减,又g (e )1e=＞0,g (e 2)2221111lne e e =+-=-＜0,∴存在x 0∵(e ,e 2),使得g (x 0)＝0,∴当x ∵(0,x 0)时,g (x )＞0,f ′(x )＞0; 当x ∵(x 0,+∞)时,g (x )＜0,f ′(x )＜0,∴f (x )在(0,x 0)上单调递增,在(x 0,+∞)上单调递减.故C .11．函数()22f x ax x a =-+,对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤,当[]1,2x ∈时,()0f x ≤即220ax x a -+≤,即为()221a x x +≤,可化为()212x a x ≤+ 令()22()1x g x x +=,则()()22'22221)22((12(212))x x x x g x x x -++-++== 当[]1,2x ∈时,'()0g x <,单调递减. ∴()min 2224()(2)152g x g ⨯==+=∴min 4()5a g x ≤=故实数a 的取值范围是4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故B12设()()e 21x g x x =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当21x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.∴函数()y g x =的最小值为11222g e ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ，故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故D.13．22e -.因为||x y e =是偶函数，11||110-122|2()2(1)x x x e dx e dx e e e e ∴===-=-⎰⎰， 14．6作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z =2x -y 得y =2x -z ，平移直线y =2x -z ，由图象可知当直线y =2x -z 经过点B 时，直线y =2x -z 的截距最小，此时z 最大．由220y x y =⎧⎨--=⎩，得(4,2)B ，即a =z max =2×4-2=6，则1e a dx x ⎰=16e dx x ⎰=6lnx 1|e =6．15．-3．2'()32f x x ax b =++，由题意'(0)0f b ==，32()f x x ax =+，()00f x x x a =⇒==-或，易知0a <，3243401127()()|043124aa a x ax dx x x a --+=+=-=-⎰，所以3a =-．16．-18()()'22'2f x x f =+，令2x =，则()'24f =-，∴()283f x x x =-+，()()3320083f x dx x x dx =-+⎰⎰323043|183x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，故填18-.17． ∵()12f -=，∵2a b c -+=．∵ 又∵()2f x ax b '=+，∵()00f b '==．∵ 而()1120()f x dx ax bx c dx =++⎰⎰，取3211()32F x ax bx cx =++，则()2F x ax bx c '=++，∵1011()(1)(0)232f x dx F F a b c =-=++=-⎰.∵ 解∵∵∵得6a =，0b =，4c =-． 18．记10()a f t dt =⎰,则()2f x x a =+两端积分得111()(2)22f x dx x a dx a =+=+⎰⎰, 122a a =+,12a =-. ∴()1f x x =-19.解:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即-ax 3-bx+c=-ax 3-bx-c,∴c=0. ∵f'(x)=3ax 2+b 的最小值为-12,且a>0,∴b=-12.又f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直. ∴f'(1)=3a+b=-6,∴a=2. 综上可得,a=2,b=-12,c=0.20． （1）()232f x x ax b '=++,由已知得()10133f a ⎧=⎪⎨-='⎪⎩，即3201a b a ++=⎧⎨=-⎩，解得:11a b =-⎧⎨=-⎩，()()()2321311x x x x f x --=+'-= 由()0f x ¢>，得()1,31,x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝∞⎭+U ， 由()0f x ¢<，得1,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴()f x 在区间1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+?上单调递增，1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； （2）由（1）知()32f x x x x c =--+,()()322f x g x x x x c -=-++, 设()322F x x x x c -=++,则()()()2341311F x x x x x '=-+=--,令()0F x '=,得1x =或1x =,列表：两个图象有且仅有三个公共点,只需()12703410F c F c ⎧⎛⎫=+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=<⎩,解得4027c -<<.∵c 的取值范围是4,027⎛⎫- ⎪⎝⎭. 21解:(1)f'(x)=3x 2-2ax+b.∵函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值, ∴-1,3是方程3x 2-2ax+b=0的两根.∴{-1+3=2a3,-1×3=b3,∴{a =3,b =-9. (2)由(1)知f(x)=x 3-3x 2-9x+c, f'(x)=3x 2-6x-9.∴当x ∈[-2,6]时,f(x)的最大值为c+54, 要使f(x)<2|c|恒成立,只要c+54<2|c|即可, 当c≥0时,c+54<2c,∴c>54; 当c<0时,c+54<-2c,∴c<-18, ∴c ∈(-∞,-18)∪(54,+∞).故c 的取值范围为(-∞,-18)∪(54,+∞).22.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x )=1x +ax =x+a x .因为a>0,x>0,所以f'(x)>0,因此f(x)在区间(0,+∞)内是增函数. (2)由(1)知f'(x )=x+a x .①若a≥-1,则x+a≥0,从而f'(x)≥0(只有当a=-1,x=1时,f'(x)=0),即f'(x)≥0在区间[1,e]上恒成立,此时f(x)在区间[1,e]上为增函数.所以f(x)的最小值为f(1)=-a =32,即a=−32,不符合题意,舍去. ②若a≤-e,则x+a≤0,从而f'(x)≤0(只有当a=-e,x=e 时,f'(x)=0),即f'(x)≤0在区间[1,e]上恒成立,此时f(x)在区间[1,e]上为减函数.所以f(x)的最小值为f(e)=1−ae =32,即a=−e2,不符合题意,舍去. ③若-e<a<-1,由f'(x)=0,得x=-a,当1<x<-a 时,f'(x)<0,即f(x)在区间(1,-a)内为减函数;当-a<x<e 时,f'(x)>0,即f(x)在区间(-a,e)内为增函数,所以x=-a 是函数f(x)在区间(1,e)内的极小值点,也就是它的最小值点,因此f(x)的最小值为f(-a)=ln(-a)+1=32,即a=−√e.综上,a=−√e.(3)g(x)<x2即ln x-a<x2,所以a>ln x-x2,故g(x)<x2在区间(0,e]上恒成立,也就是a>ln x-x2在(0,e]上恒成立.令h(x)=ln x-x2,则h'(x)=1x −2x=1-2x2x,由h'(x)=0及0<x≤e,得x=√22.当0<x<√22时,h'(x)>0;当√22<x≤e时,h'(x)<0,即h(x)在区间(0,√22)内为增函数,在区间(√22,e]上为减函数,所以当x=√22时,h(x)取得最大值为ℎ(√22)=ln√22−12.所以当g(x)<x2在区间(0,e]上恒成立时,a的取值范围为(ln√22-12,+∞).。

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新人教A版选修(2-2)第一章《导数及其应用》word单元测试

新人教A版选修(2-2)第一章《导数及其应用》word单元测试

4 27《导数及其应用》训练题一、选择题（每小题5分，共50分）1 .设函数y = f （x ）可导，则 蚂 f （1 +^x ） - f（1）等于（ A . f'(1)B . 3f'(1)3LX1C . - f'(1) 3 ).D .以上都不对 1 2.已知物体的运动方程是 S r ^t 44-4t 3 16t 2 （t 表示时间，S 表示位移），则瞬时速度 为0的时刻是A . 0 秒、 C . 2 秒、 ）.2秒或4秒 8秒或16秒 B . 0秒、D . 0秒、 2秒或16秒 4秒或8秒3.若曲线y = xx 3在x = x 0处的切线互相垂直，则 X ）等于（）.336B .64•若点P 在曲线 3-3x 2• (3 - . 3)x 3上移动，经过点 4P 的切线的倾斜角为:-,则角〉的取值范围是A . [0,二] ).B .[02)U [2 二兀）能的是（ ).6.函数 f （X ）= x37.已知函数 f(x )C .［訂：）II 2■:D .叱七P5 •设f '（x ）是函数•ax -2在区间［1「二）内是增函数，则实数 a 的取值范围是（).C . (-3,::)D . (-3 2=x - px -qx 的图像与x 轴切于点（1,0），则 f （x ）的极大值、 极小值分别为（4 A .).4B . 0,27 4C . —, 0 D . 0,27271 1&由直线x , x = 2，曲线y 及x 轴所围图形的面积是(2x1517 1 , A.B.C. In 2D. 2ln 244239.函数f(x)二x -3bx 3b 在(0,1)内有极小值，则().A . 0 ::: b < 1B . b =1C . b 010. y = ax 2V 的图像与直线y = x 相切，则a 的值为().111A .B .C .-8 4 2、填空题(每小题5分，共20分)11.由定积分的几何意义可知I 4 一 x 2 = -----------12. 函数f(x)=xln x(x 0)的单调递增区间是13.已知函数f(x)二ax-lnx ，若f(x)・1在区间(1,=：)内恒成立，则实数 a 的范围为14.设函数f(x)=x 「ax 的导数为f'(x)=2x ・1，则数列{-^}( n ・N *)的前n 项和 f (n) 是 _______________ .三、解答题(共6题，共80分)15.(本题12分)1求经过点(2,0)且与曲线y相切的直线方程x16.(本题12分)已知 x 1，求证：x In(1 - x).).D .b ：.-17.(本题14分) 已知函数f (x) = -x3 3x2 9x a ,(i)求f (x)的单调递减区间；(n)若f (x)在区间［一2,2］上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.18.(本题14分)已知函数f (x) =x4 -4x3• ax2 -1在区间［0,1］上单调递增，在区间［1,2］上单调递减，(i)求a的值；(n)设g(x) =bx2 -1，若方程f (x) =g(x)的解集恰有3个元素，求b的取值范围.19.(本题14分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格。

人教A版选修2-2第一章 导数及其应用.docx

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第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3y x x =+的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________；4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

三、解答题1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。

高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试(一)

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A. y 2x 1
B. y 3x 2
C. y 2x 3
D. y x 2
7.函数 f (x) e ln x x 在 (0, 2e] 上的最大值为
A.1 e C. e
B. 1 D. 0
8.若函数 f (x) x(x c) 2 在 x 2 处取得极大值，则常数 c
A. 2 C. 2 或 6
数学选修 2-2 第一章《导数及其应用》单元测试
一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1.定积分 2 (ex 2x)dx 的值为 0
A.1
B. e2
C. e2 3
D. e2 4
2.某物体的位移 s (米)与时间 t (秒)的关系式为 s t 2 t ，则该物体在 t 2 时的瞬时速度为
A. 2 米/秒 C. 5 米/秒
B. 3 米/秒 D. 6 米/秒
3.已知曲线 y x2 上一点 P 处的切线与直线 2x y 1 0 平行，则点 P 的坐标为
A. (1,1)
B. (1,1)
C. (2, 4)
D. (3, 9)
4.已知 f (x) x2 2x f (1) ，则 f (3)
11.若函数 f (x) lnx ax 1 在[1, ) 上是单调函数，则实数 a 的取值范围为 x
A. (, 0] [1 , ) 4
B. (, 1 ] [0, ) 4
C.[ 1 , 0] 4
D. (,1]
12.已知函数 f (x) ax 1 (a 1) ln x 1 在 (0,1] 上的最大值为 3 ，则实数 a x
即 2x y 1 0 .(6 分)
人教A版选修2-2第一章 导数及其应用 本章练测.docx

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第一章 导数及其应用 本章练测一、 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1.若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h →+--=（ ）A ．3-B ．6-C ．9-D ．12- 2．函数()323922y x x x x =---<<有（ ）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值 3．函数xx y 142+=的单调递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),21(+∞ D ．),1(+∞4．函数xxy ln =的最大值为（ ）A ．1e -B ．eC ．2eD ．310 5.已知曲线32114732y x x x =++-在点Q 处的切线的倾斜角α满足216sin 17α=，则此切线的方程为（ ）Ａ．470x y -+=或4x −y −416=0Ｂ．4x −y −416=0Ｃ．470x y --=或4x −y −416=0Ｄ．470x y --=6.抛物线y = x 2在点M (12,14)处的切线倾斜角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 7.已知函数y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，不等式f(x)＋xf ′(x)>0恒成立.若a ＝20.3f(20.3)，b ＝(log π 2)f(log π 2)，c ＝(log 2 14)f(log 2 14)，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >b >a C ．b >a >c D ．a >c >b 8.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内的极小值点有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个9.已知函数f(x)＝12x 3－x 2－72x ，则f(－a 2)与f(－1)的大小关系为( )A ．f(－a 2)≤f(－1)B ．f(－a 2)<f(－1)C ．f(－a 2)≥f(－1)D ．f(－a 2)与f(－1)的大小关系不确定10.已知函数f(x)＝x 3＋(1－a)x 2－a(a ＋2)x ＋b －2(a ≠1)的图象过原点，且在原点处的切线的斜率是－3，则不等式组{x −ay ≥0，x −by ≥0所确定的平面区域在圆x 2＋y 2＝4内的面积为( )A.πB. π2C. π3D.2π11.已知函数f(x)＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)12.设f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（ ）A ．(－3，0)∪(3，+∞)B ．(－3，0)∪(0，3)C ．(－∞，－3)∪(3，+∞)D ．(－∞，－3)∪(0，3)二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 13.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a = 14．若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上是增函数，则,,a b c 的关系式为 . 15.已知sin (ππ)1cos xy x x=∈-+，，，当2y '=时，x = ．14.在曲线y =x 3+3x 2+6x －10的切线斜率中斜率最小的切线方程是_________.三、解答题（本题共5小题，共74分）17.（本小题满分14分）求下列函数的导数：(1)y =x(x 2+1x +1x3)；(2)y =(x +1)(x +2)(x +3)； (3)y=(1-√x )(1+√x ).19.（本小题满分14分）已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-.（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间. 20.（本小题满分14分）已知函数2()ln (0).f x x ax x a =-->（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为-2，求a 的值以及切线方程； （2）若()f x 是单调函数，求a 的取值范围.21.（本小题满分16分）已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(1)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(2)求()f x 的单调区间；(3)设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.22.（本小题满分16分）已知平面向量a =(√3,−1),b =(12 ,√32)，若存在不同时为0的实数k和t ，使2(3),,t k t =+-=-+xa b y a b 且⊥x y ，试确定函数()k f t =的单调区间.第三章导数及其应用本章练测答题纸得分：_________一、选择题二、填空题13.___________ 14. ___________ 15. ___________ 16. ___________三、解答题17.18.19.20.21.第一章 导数及其应用 本章练测答案一、 选择题 1．D 解析：'0000000()(3)()(3)lim4lim 4()12.4h h f x h f x h f x h f x h f x h h→→+--+--===-2．C 解析：令'23690, 1.yx x x =--==-得 或x =3 ，当x =3时，不满足题意，故舍去.′由上表可知，函数y 有极大值5，无极小值.3．C 解析：令3'322181180,810,.2x y x x x x x -=-=>->>即得4．A 解析：令'''22(ln )ln 1ln 0, e.x x x x xy x x x -⋅-====得′由上表可知，函数y =ln x x 在x=e 时取得最大值，最大值为1e.5.C 解析：由sin 2α=1617得cos α=±√1717，则切线的斜率k =tan α=±4.因为y ′=x 2+x +4，当y ′=4时，x =0或x =−1，此时点Q 的坐标为(0，−7)或(−1,−656).切线方程为y +7=4x ，或y +656=4(x +1)，即4x −y −7=0或4x −y −416=0.当y ′=−4时，没有满足题意的点,故舍去.6.B 解析：因为y ′=2x ，所以抛物线y =x 2在点M(12,14)处的切线斜率为1,倾斜角为45°. 7.C 解析：设g(x)＝xf(x)，由y ＝f(x)为R 上的奇函数，可知g(x)为R 上的偶函数． 而g ′(x)＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf ′(x).由已知得，当x ∈(－∞，0)时，g ′(x)>0，故函数g(x)在(－∞，0)上单调递增. 由偶函数的性质可知，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为a =g (20.3)，b =g (log π2)，c =g(log 214)＝g(－2)＝g(2)，且2>20.3>log π2>0，故c <a <b .8.A 解析：若f (x )在x =x 0处取得极小值点，则f ′(x 0)=0,在x =x 0的左侧f ′(x )<0，在x =x 0的右侧f ′(x )>0.据此可知，f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有1个.9.A 解析：由题意可得f ′(x)＝32 x 2－2x －72. 由f ′(x)＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73.当x <－1时，f ′(x )>0，f(x)为增函数；当－1<x <73时，f ′(x )<0，f(x)为减函数，当x>73时，f ′(x )>0，f(x)为增函数.所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值.又因为－a 2≤0，故f(－a 2)≤ f(－1)． 10.B 解析：由题意得f ′(x)＝3x 2＋2(1－a)x －a(a ＋2)．{f (0)=b −2=0，f ′(0)=−a (a +2)=−3，解得{a =−3，b =2,则不等式组为{x +3y ≥0，x −2y ≥0.如图所示，阴影部分的面积即为所求．易知图中两锐角的正切值分别是tan α＝12，tan β＝13.设两直线的夹角为 γ，则tan γ＝tan(α＋β)＝12＋131－12×13＝1，所以γ＝π4，而圆的半径是2，所以不等式组所确定的区域在圆内的面积S ＝12|γ|r 2=12·π4·4＝π2.11.B 解析：函数f(x)＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值， 所以方程f ′(x )=3x 2+2mx +m +6＝0有两个不同的实数根.由Δ=4m 2−12(m +6)>0得m 的取值范围为(−∞，−3)∪(6，+∞)． 12.D 解析：因为f ′(x )g (x )+f (x )g ’(x)＞0，即[f(x)g(x)]′＞0， 令t (x )=f (x )g(x)，则t(x)在x ＜0时递增.又因为f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以 t (x )= f(x)g(x)为奇函数，关于原点对称，所以t(x)在x ＞0时也是增函数． 因为t (−3)=f (−3)g (−3)=0，所以t (3)=0，所以当x <0时，f (x )g (x )<0可转化为t (x )<t(−3)，即x <−3； 当x >0时，f (x )g (x )<0可转化为t (x )<t(3)，即0<x <3. 二、填空题13.14 解析：设切点P(x 0，y 0).因为y =ax 2，所以y ′=2ax .由题意知x 0-y 0-1=0， ①y 0=ax 02， ② 2ax 0=1， ③由①②③解得：a =14．14．23b ac ≤ 解析：由题意知'2()320f x ax bx c =++≥恒成立，已知a >0，则Δ=4b 2−12ac ≤0，即b 2≤3ac. 15.±2π3解析：y ′=cos x (1+cos x )+sin 2x(1+cos x )2=cos x+1(1+cos x )2=11+cos x=2,x =±23π.14.3x －y －11＝0 解析：因为y ′=3x 2+6x +6，令切线的斜率k =y ′=3x 2+6x +6，当k 取最小值时，x =−1，此时切线的斜率为3，切点为(-1,-14)，切线方程为y −(−14)=3(x +1)，即3x −y −11=0. 三、解答题17.解：(1)因为y =x (x 2+1x+1x 3)=x 3+1+1x 2，所以y ′=3x 2−2x 3.(2)因为y =(x +1)(x +2)(x +3)=x 3+6x 2+11x +6，所以y ′=3x 2+12x +11. (3)因为y =(1−√x)(1+√x)=1−√x √x−1=−√x √x，所以y ′=(−√x √x)′=−12x −12−12x −32=2x √x.18．解：（1）因为c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，所以1c = ①.'3'()42,(1)421f x ax bx k f a b =+==+= ②.由题意得切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)-，得a +b +c =−1 ③.联立①②③得a =52，b =−92，c =1,f (x )=52x 4−92x 2+1.（2）令f ′(x )=10x 3−9x =0，得x 1=0，x 2=310√10，x 3=−310√10 . ′由上表可知，函数y =f(x)的单调递增区间为(−10√10，0)，(10√10，+∞). 19.解：(1)f ′(x )=1−2ax −1x .由题设，f '(1)＝－2a ＝－2，所以a ＝1，此时f(1)＝0，切线方程为y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0． (2) f '(x )＝－2ax 2−x+1x，令2ax 2−x +1=0,Δ ＝1－8a ．当a ≥18时，Δ≤0，f '(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)单调递减． 当0＜a ＜ 18时，Δ＞0，方程2ax 2－x ＋1＝0有两个不相等的正根x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2，则当x ∈(0，x 1)∪(x 2，＋∞)时，f '(x)＜0，当x ∈(x 1，x 2)时，f '(x)＞0， 这时f(x)不是单调函数．综上，a 的取值范围是[ 18，＋∞)．20.解：(1)由已知1()2(0)f x x x'=+>，(1)213f '=+=. 故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3. (2)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>.①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >， 所以函数()f x 的单调递增区间为 (0，+∞). ②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-. 在区间1(0,)a-上，()0f x '>；在区间1(,)a-+∞上，()0f x '<， 所以函数()f x 的单调递增区间为 (0，−1a )，单调递减区间为 (−1a ，+∞).(3)由已知，转化为max max ()()f x g x <，max ()2g x =.由(2)知，当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意.)当0a <时，函数()f x 在(0，−1a )上单调递增，在(−1a，+∞)上单调递减， 故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----， 所以21ln()a >---，解得31ea <-.21．解：由11),(2=-=a b 得0,2, 1.===g a b a b 22222[(3)]()0,(3)(3)0t k t k t k t t t =+--+=-+--+-=g g g g 即，x y a b a b a a b a b b331430,()(3).4k t t k f t t t -+-===-即可化为令f ′(t )=14(3t 2−3)=0，得t 1=1，t 2=−1. 当t 变化时，f ′(t )，f (t )随t 的变化情况如下表：。