2022年全国版高考数学必刷题第五单元导数的概念与计算定积分与微积分定理

第五节定积分与微积分基本定理突破点(一) 求定积分基础联通 抓主干学问的“源”与“流”1．定积分的定义一般地，假如函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．4．微积分基本定理假如f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了便利，我们经常把F (b )－F (a )记为F (x )b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )b a ＝F (b )－F (a ).考点贯穿 抓高考命题的“形”与“神”利用微积分基本定理求定积分[例1] 计算下列定积分： (1)⎠⎛1(－x 2＋2x )d x ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (4) 20⎰π1－sin 2x d x .[解] (1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎠⎛01(－x 2)d x ＋⎠⎛012x d x ＝－13x 3⎪⎪⎪10＋x 2|10＝－13＋1＝23. (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x )|π0－sin x|π0＝2.(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝⎠⎛12e 2x d x ＋⎠⎛121xd x ＝12e 2x | 21＋ln x|21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (4)20⎰π1－sin 2x d x ＝20⎰π|sin x －cos x |d x ＝40⎰π (cos x －sin x )d x ＋24⎰ππ (sin x －cos x )d x＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x ) ⎪⎪⎪π2π4＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.[方法技巧]利用微积分基本定理求定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值． (5)计算原始定积分的值．利用定积分的几何意义求定积分[例2] 利用定积分的几何意义计算下列定积分：(1)⎠⎛011－(x －1)2d x ；本节主要包括2个学问点： 1.求定积分； 2.定积分的应用.(2)⎠⎛5－5 (3x 3＋4sin x )d x .[解] (1)依据定积分的几何意义，可知⎠⎛011－(x －1)2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14(如图所示的阴影部分)．故⎠⎛011－(x －1)2d x ＝π4.(2) ⎠⎛5－5 (3x 3＋4sin x )d x 表示直线x ＝－5，x ＝5，y ＝0和曲线y ＝3x 3＋4sin x 所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．设y ＝f (x )＝3x 3＋4sin x ，则f (－x )＝3(－x )3＋4sin(－x )＝－(3x 3＋4sin x )＝－f (x )，又f (0)＝0， 所以f (x )＝3x 3＋4sin x 在[－5,5]上是奇函数，所以⎠⎛0－5 (3x 3＋4sin x )d x ＝－⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x ，所以⎠⎛5－5(3x 3＋4sin x )d x ＝⎠⎛0－5(3x 3＋4sin x )d x ＋⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x ＝0.[方法技巧]1．利用定积分几何意义求定积分的策略当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，利用定积分的几何意义求定积分．2．两个常用结论设函数f (x )在闭区间[－a ，a]上连续，则由定积分的几何意义和奇、偶函数图象的对称性可得两个结论： (1)若f (x )是偶函数，则⎠⎛a－a f (x )d x ＝2⎠⎛0af (x )d x ； (2)若f (x )是奇函数，则⎠⎛a－a f (x )d x ＝0.力量练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点一]⎠⎛1－1(x －1)d x ＝( )A ．2B ．－2 C.13D.12解析：选B ⎠⎛1－1 (x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22－x 1－1＝⎝⎛⎭⎫12－1－⎝⎛⎭⎫12＋1＝－2. 2.[考点一]20⎰πsin 2x2d x ＝( )A ．0 B.π4－12 C.π4－14D.π4－1 解析：选B ∫20⎰πsin 2x2d x ＝20⎰π1－cos x 2d x ＝12x －12sin x ⎪⎪⎪⎪π20＝π4－12.3.[考点一]设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为( )A.43 B ．2 C ．1 D.23解析：选A 依据定积分的性质，可知⎠⎛0e f (x )d x 可以分为两段，则⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪e＝13＋1＝43. 4.[考点二]⎠⎛12－x 2＋4x －3d x ＝________.解析：依据定积分的几何意义，可知⎠⎛12－x 2＋4x －3d x 表示圆(x －2)2＋y 2＝1与x ＝1，x ＝2及y ＝0所围成的圆的面积的14，即⎠⎛12－x 2＋4x －3d x ＝π4.答案：π45.[考点二]⎠⎛－11[1－x 2－sin x ]d x ＝________. 解析：令1－x 2＝y ，则x 2＋y 2＝1(y ≥0)，该方程表示以(0,0)为圆心，1为半径的圆的一半．所以⎠⎛－111－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝1与x 轴所围成的上半圆的面积，因此⎠⎛－11－11－x 2d x ＝π2.又由于⎠⎛－11sin x d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪1－1＝－cos 1－[－cos(－1)]＝0，所以⎠⎛1－1[1－x 2－sin x ]d x ＝π2.答案：π2突破点(二) 定积分的应用基础联通 抓主干学问的“源”与“流”1．定积分与曲边梯形面积的关系 如图：设阴影部分面积为S.图形阴影部分面积S ＝⎠⎛ab f (x )d xS ＝－⎠⎛ab f (x )d xS ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d xS ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛ab g(x )d x＝⎠⎛ab [f (x )－g(x )]d x2．求变速运动的路程做变速运动的物体在时间[a ，b ]上所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b]上的定积分，即s ＝⎠⎛ab v (t )d t .具体步骤为：①找出速度函数v ＝v (t )，作出图形．②观看v ＝v (t )的图形是否满足v (t )≥0.③若v (t )≥0，则相应的时间段[a ，b ]上的路程为s ＝⎠⎛ab v (t )d t ；若v (t )<0，则相应的时间段[a ，b ]上的路程为s ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛ab v (t )d t ＝－⎠⎛ab v (t )d t .考点贯穿 抓高考命题的“形”与“神”利用定积分求平面图形的面积[例1] 由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163D ．6[解析] 作出曲线y ＝x 和直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A(4,2)． 因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[]x －(x －2)d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝23x 32－12x 2＋2x 4＝23×8－12×16＋2×4＝163.[答案] C [方法技巧]利用定积分求平面图形面积的步骤 (1)依据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案．定积分在物理中的应用[例2] (1)一辆汽车在高速大路上行驶，由于遇到紧急状况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车连续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.[解析] (1)由v (t )＝7－3t ＋251＋t＝0，可得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )40＝4＋25ln 5. (2)由题意知，力F (x )所做的功为 W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝5x|20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝5×2＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)． [答案] (1)C (2)36 [方法技巧]定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程：假如物体做变速直线运动，且其速度为v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝∫b a v (t )d t .(2)求变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝∫b a F (x )d x .力量练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]若x (单位：m)表示位移的大小，一物体在力F (x )＝x(单位：N )的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4 m ，力F (x )做功为( )A ．8 JB ．12 JC ．15 J D.163 J解析：选D 由题意得W ＝⎠⎛04x d x ＝23x 32⎪⎪⎪40＝163J. 2.[考点一]曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 2解析：选D 由曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1联立，解得x ＝－1，x＝2，如图所示，故所求图形的面积为S ＝∫42⎝⎛⎭⎫x －1－2x d x ＝12x 2－x －2ln x |42＝4－2ln 2. 3.[考点一](2022·衡阳一模)如图，阴影部分的面积是( )A ．32B ．16 C.323 D.83解析：选C 由题意得，阴影部分的面积S ＝⎠⎛1－3 (3－x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫3x －13x 3－x 2⎪⎪⎪1－31－3＝323. 4．由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．解析：如图所示，由x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1，0)和(1,0)． 所以S ＝⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －x 3310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－x 21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎣⎡⎦⎤83－2－⎝⎛⎭⎫13－1 ＝2. 答案：25.[考点二]物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ，v 的单位：m/s )在始终线上运动，在此直线上与物体A 动身的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s )的速度与A 同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A 的动身地的距离是________m.解析：设b s 后两物体相遇，则⎠⎛0b(3t 2＋1)d t －⎠⎛0b10t d t ＝5，即b 3＋b －5b 2＝5，(b 2＋1)(b －5)＝0，解得b＝5，此时物体A 离动身地的距离为⎠⎛05(3t 2＋1)d t ＝(t 3＋t )|50＝53＋5＝130(m)． 答案：130近五年全国卷对本节内容未直接考查[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考 [练基础小题——强化运算力量] 1.⎠⎛01e x d x 的值等于( )A ．eB ．1－eC ．e －1D.12(e －1)解析：选C ⎠⎛01e x d x ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.2．已知t 是常数，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4解析：选D 由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x )|t 0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)．3．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在其次秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝g t (g 为常数)，则电视塔高为( )A .12g B ．g C .32g D ．2g解析：选C 由题意知电视塔高为⎠⎛12g t d t ＝12g t 2|21＝2g －12g ＝32g.4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 围成的封闭图形的面积为( ) A .16 B .13 C .23D ．1解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点为(0,0)和(1,1)，故所求面积(如图阴影部分的面积)为⎠⎛1(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3232－13x 3)|10＝13. 5．20⎰π2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝________. 解析：依题意得20⎰π2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝20⎰π(sin x ＋cos x )d x ＝(sin x －cos x ) ⎪⎪⎪⎪π2＝⎝⎛⎭⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2.答案：2[练常考题点——检验高考力量] 一、选择题1．定积分|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D ∵|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛2－2|x 2－2x |d x ＝⎠⎛0－2(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2|0－2＋⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2|20＝8.2．(2021·河北五校联考 )若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A 由于f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1. 3．若S 1＝⎠⎛121x d x ，S 2＝⎠⎛12(ln x ＋1)d x ，S 3＝⎠⎛12x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 1<S 3<S 2D ．S 3<S 1<S 2解析：选A 如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A.4．(2021·贵阳监测)若由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m >0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．1D ．8解析：选A 由题意得，围成的图形的面积S ＝⎠⎛0m2(m －x )d x ＝⎝⎛⎭⎫mx －23x 32⎪⎪⎪m2am 20＝m 3－23m 3＝83，解得m ＝2.5．设变力F (x )(单位：N )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正方向从x ＝1 m 处运动到x ＝10 m 处，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正方向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为( )A ．1 JB ．10 JC ．342 JD ．432 J解析：选C 变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正方向从x ＝1运动到x ＝10所做的功W ＝∫101F (x )d x ＝∫101(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |101＝342(J)． 6．若函数f (x )，g(x )满足⎠⎛1－1f (x )g(x )d x ＝0，则称f (x )，g(x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g(x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g(x )＝x －1；③f (x )＝x ，g(x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 对于①，⎠⎛1－1sin 12x cos 12x d x ＝⎠⎛1－112sin x d x ＝0，所以①是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于②，⎠⎛1－1 (x ＋1)(x －1)d x ＝⎠⎛1－1 (x 2－1)d x ≠0，所以②不是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于③，⎠⎛1－1x ·x 2d x ＝⎠⎛1－1x 3d x ＝0，所以③是区间[－1,1]上的一组正交函数．选C.二、填空题7．若函数f (x )＝x ＋1x ，则⎠⎛1e f (x )d x ＝________.解析：⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎫x22＋ln x |e 1＝e 2＋12. 答案：e 2＋128．(2021·洛阳统考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x |0－1＋e x |10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12. 答案：e －129.⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛2－24－x 2d x ＝________；解析：⎠⎛1e 1xd x ＝ln x |e 1＝1－0＝1，由于⎠⎛2－24－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴上方的面积，故⎠⎛2－24－x 2d x ＝12π×22＝2π.所以原式＝2π＋1.答案：2π＋110．如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t <1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是________．解析：设图中阴影部分的面积为S(t )，则S(t )＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝43t 3－t 2＋13.由S ′(t )＝2t (2t －1)＝0，得t ＝12为S(t )在区间(0,1)上的最小值点，此时S(t )min ＝S ⎝⎛⎭⎫12＝14. 答案：14三、解答题11．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解：(1)设f (x )＝a x 2＋b x ＋c(a ≠0)， 则f ′(x )＝2a x ＋b. 由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0，∴f (x )＝a x 2＋2－a.又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(a x 2＋2－a)d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x ⎪⎪⎪1＝2－23a ＝－2.∴a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4. (2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]． ∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2.12．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积． 解：∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点， 设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)⎪⎪⎪x＝1＝2， ∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形如图：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x可得交点A(2,4)，O(0,0)， 故y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3| 20＝4－83＝43.。

第1讲导数的概念及运算一、填空题1．设y＝x2e x，则y′＝________.解析y′＝2x e x＋x2e x＝(2x＋x2)e x.答案(2x＋x2)e x2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)＝________.解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案－13．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是________．解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x －y＋1＝0.答案2x－y＋1＝04．(2017·苏州调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为________．解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝1x0，切线方程为y－ln x0＝1x0(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1 e.答案1 e5．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析因为y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝1 2.答案1 26．(2017·南师附中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.解析由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－13，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0. 答案07．(2017·苏北四市模拟)设曲线y＝1＋cos xsin x在点⎝⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________.解析∵y′＝－1－cos xsin2x，∴由条件知1a＝－1，∴a＝－1.答案－18．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．解析由y＝x＋ln x，得y′＝1＋1x，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.又该切线与y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y，得ax2＋ax＋2＝0，∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.答案8二、解答题9．已知点M是曲线y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1， 所以切线方程为3x ＋3y －11＝0.(2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.11．(2016·山东卷改编)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数：①y ＝sin x ；②y ＝ln x ；③y ＝e x ；④y ＝x 3.其中具有T 性质的是________(填序号)．解析 若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于①：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k∈Z)时，结论成立；对于②：y′＝1x，若有1x1·1x2＝－1，即x1x2＝－1，∵x1＞0，x2>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；对于③：y′＝e x，若有e x1·e x2＝－1，即e x1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；对于④：y′＝3x2，若有3x21·3x22＝－1，即9x21x22＝－1，显然不存在这样的x1，x2.答案①12．(2017·合肥模拟改编)点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x，得y′＝2x－1x＝1，解得x＝1或x＝－12(舍去)，故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于2，∴点P到直线y＝x－2的最小距离为 2.答案 213．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x(x>0)．∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，即x＋1x－a＝0有解，∴a＝x＋1x≥2(当且仅当x＝1时取等号)．答案[2，＋∞)14．已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.。

2022年导数压轴真题解法荟萃与命题原理分析（新高考版）新高考1卷压轴与同构视角下的多变量问题函数同构问题是当下的一个热门问题，2022，2020,的导数问题就可以从同构角度构造恒成立.同构问题常见于指对混合函数的恒成立或零点问题中，重在观察和变形，所以技巧性较强.当然这类指对混合函数的恒成立也可用其他方法完成，在这里学习同构，更多的是提升观察与思维能力.一．基本原理解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，则将不等式变形为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的结构，()f x 即为外层函数，其单调性易于研究.常见变形方式：①ln x x x xe e +=；②ln x x xe ex -=；③ln x x x x e e -=；④()ln ln x x x xe +=；⑤ln ln xe x x x-=.答题思路；1.直接变形：（1）积型：b b ae aln ≤⇒()ln ln a bx a e b ef x xe ⋅≤⋅⇒=（同左）；ln ln a a e e b b ⇒⋅≤⋅()ln f x x x ⇒=（同右）；⇒()ln ln ln ln a a b b +≤+⇒()ln f x x x =+（取对数）.说明：取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知.（2）商型：b b a e a ln <⇒ln ln a b e e a b <()xe f x x⇒=（同左）；ln ln a a e b e b ⇒<⇒xxx f ln )(=（同右）；⇒)ln(ln ln ln b b a a -<-⇒x x x f ln )(-=（取对数）.（3）和差型：b b a e a ln ±>±⇒ln ln a b e a e b ±>±⇒x e x f x±=)(（同左）；ln ln a a e e b b ⇒±>+⇒x x x f ln )(±=（同右）.2.先凑再变形：若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以x ，同加上x 等，再用上述方式变形.常见的有：①x ae axln >ln ax axe x x ⇒>；②[]ln 1ln()ln (1)1ln ln(1)1x xx a e a ax a a e a x e a x a->--⇒>--⇒->--ln ln(1)ln ln(1)1ln(1)x a x e x a x x e x --⇒+->-+-=+-；③ln ln ln log (ln )ln ln x x a x a a xa x e x a e x x a>⇒>⇒>二．典例分析例.（2022全国新高考1卷）已知函数()e =-xf x ax 和()lng x ax x =-有相同的最小值.（1）求a ；（2）证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.解析：（1）()e '=-xf x a ，()1g x a x'=-①0a 时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，即()f x 没有最小值.该类情况应舍去.②0a >时，()f x '在(),ln a -∞上小于0，在()ln ,a +∞上大于0，所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，所以()f x 在ln x a =处有最小值为()ln ln f a a a a =-，所以()g x '在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上小于0，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上大于0，所以()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()g x 在1x a =处有最小值为11ln g a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值.所以有()1ln ln 1ln f a a a a g a a ⎛⎫=-==+⎪⎝⎭，即ln 1ln a a a a -=+因为0a >，所以上式等价于1ln 01a a a --=+，令()()1ln 01x h x x x x -=->+，则()()22101x h x x x +'=>+恒成立，所以()h x 在()0,+∞上单调递增又因为()()10h h a ==且0a >，所以1a =.（2）证明：由（1）()e =-xf x x ，()lng x x x =-，且()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且()()min min 1f x g x ==.①1b <时，此时()()min min 1f x g x b ==>，显然y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有0个交点，不符合题意；②1b =时，此时()()min min 1f x g x b ===，y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；③1b >时，首先，证明y b =与曲线()y f x =有2个交点：即证明()()F x f x b =-有2个零点，()()1xF x f x e ''==-，所以()F x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，又因为()e0--=>bF b ，()010F b =-<，()e 20=->b F b b ，（令()e 2=-bt b b ，则()e 20'=->bt b ，()()1e 20>=->t b t ）所以明()()F x f x b =-在(),0-∞上存在且只存在1个零点，设为1x ，在()0,+∞上存在且只存在1个零点，设为2x .其次，证明y b =与曲线和有2个交点：即证明()()G x g x b =-有2个零点，()()11G x g x x''==-，所以()G x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，又因为()ee0--=>bbG ，()010G b =-<，()2ln 20G b b b =->，（令()ln 2b b b μ=-，则()110b bμ'=->，()()11ln 20b μμ>=->）所以()()F x f x b =-在()0,1上存在且只存在1个零点，设为3x ，在()1,+∞上存在且只存在1个零点，设为4x .再次，证明存在b 使得23x x =：因为()()230F x G x ==，所以2233e ln =-=-x b x x x ，若23x x =，则2222e ln -=-x x x x ，即222e 2ln 0-+=x x x ，所以只需证明e 2ln 0-+=xx x 在()0,1上有解即可，即()e 2ln ϕ=-+xx x x 在()0,1上有零点，因为1e 3312e 30e e ϕ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()1e 20ϕ=->，所以()e 2ln ϕ=-+xx x x 在()0,1上存在零点，取一零点为0x ，令230x x x ==即可，此时取00e =-xb x 则此时存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，最后证明1402x x x +=，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列：因为()()()()()()1203040F x F x F x G x G x G x ======，所以()()()100ln F x G x F x ==，又因为()F x 在(),0-∞上单调递减，10x <，001x <<即0ln 0x <，所以10ln x x =同理，因为()()()004e ==x F x G G x ，又因为()G x 在()1,+∞上单调递增，00x >即0e1>x ，11x >，所以04e =x x ，又因为000e 2ln 0-+=xx x ，所以01400e ln 2+=+=xx x x x ，即直线y b =，与两条曲线()y f x =和()y g x =从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.三．习题演练习题1．已知函数()ln x f x x=，()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221k x e x ⎛⎫⎪⎝⎭的最大值为（）A．2e B．eC．24e D．21e解析：()ln x f x x = ，()()ln xx x x x e g x f e e e ===，由于()111ln 0x f x k x ==<，则11ln 001x x <⇒<<，同理可知，20x <，函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()21ln 0xf x x -'=>对()0,1x ∀∈恒成立，所以，函数()y f x =在区间()0,1上单调递增，同理可知，函数()y g x =在区间(),0-∞上单调递增，()()()212x f x g x f e ∴==，则21xx e =，()22221x x x g x k x e ∴===，则2221k k x e k e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，构造函数()2k h k k e =，其中0k <，则()()()222k k h k k k e k k e '=+=+.当2k <-时，()0h k '>，此时函数()y h k =单调递增；当20k -<<时，()0h k '<，此时函数()y h k =单调递减.所以，()()2max 42h k h e =-=.故选：C.习题2．已知函数()e x ax f x =和ln ()x g x ax=有相同的最大值.（1）求a ；（2）证明：存在直线y =b ，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.（2）由（1）知()()()ln ,ln e x x x f x g x f x x===，由于0x >时，()0f x >，1x >时，()0>g x ，因此只有10e b <<才可能满足题意，记()e x x h x b =-，且10eb <<，由（1）得()h x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且()()110,00e h b h b =->=-<，所以存在()10,1x ∈，使得()10h x =，设2()e x x x ϕ=-，则()e 2x x x ϕ'=-，设()()m x x ϕ'=，则()e 2x m x =-'，0ln 2x <<时，()0m x '<，()m x 递减，ln 2x >时，()0m x '>，()m x 递增，所以min ()(ln 2)22ln 20m x m ==->，所以()(ln 2)0x ϕϕ''≥>，()ϕx 是增函数，0x >时，()(0)10x ϕϕ>=>，1211()e 0bb b ϕ=->，11e bb b <又1110e b b h b b ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以存在011,x b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即此时y b =与()y f x =有两个交点，其中一个交点在()0,1内，另一个交点在()1,+∞内，同理y b =与()()ln y f x g x ==也有两个交点，其中一个交点在()0,e 内，另一个交点在()e,+∞内，若y b =与()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，则其中一个交点为两条曲线()y f x =和()y g x =的公共点，记其横坐标为2x ，令()()()222ln f x g x f x ==，则()()221,e ,ln 0,1x x ∈∈，记y b =与()(),y f x y g x ==的三个交点的横坐标从左到右依次为324,,x x x ，且满足()()()()32432241e ,x x x f x f x g x g x <<<<===，且2222ln e x xx x =，即2222e ln x x x =，又()()()()3224ln ,ln f x f x f x f x ==，且()()3224,ln 0,1,,ln 1,e x x x x ∈∈，且()f x 在()0,1和()1,e 上分别单调，所以3224ln ,ln x x x x ==，即24e x x =，所以22342,x x x x =为34,x x 的等比中项，所以从左到右的三个交点的横坐标324,,x x x 成等比数列.新高考2卷压轴与命制恒成立问题的常用方法例2．（2022新高考2卷）已知函数()e e ax x f x x =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；解析：（2）设()e e 1ax x h x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+-，设()()1e e ax x g x ax =+-，则()()22e e ax x g x a a x '=+-，若12a >，则()0210g a '=->，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x '>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x+<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-'=-=<++，故()S x 在()0,∞+上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()01h x h <=-.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x axh x ax '=-+<-+=，所以()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()01h x h <=-.综上，12a ≤.命题原理：（2）等价于0,1>-<x e xex ax恒成立.其实对于左端函数ax xe x g =)(，求导可得：ax e ax x g )1()('+=，于是0>a 时在),0(+∞上递增，0<a 时在),0(+∞先增后减.而右端函数1)(-=xe x h 在),0(+∞递增！同时注意到)0()0(h g =，我们分别对两个函数在0=x 处做泰勒展开：)(23322x o x a ax x xe ax+++=)(621332x o x x x e x+++=-所以，对照泰勒展开式，当0>a 时，)(),(x h x g 均递增，只要21≤a ，0,1>-<x e xe xax 一定恒成立.（这也意味着必要性探路方法可行）.当0<a 时，axxe x g =)(有最大值11)1(--=-e a a g ，此时11(1-=--a e ah ，利用指数不等式：1+≥x e x可得：1(111)1(1ag ae a e a h a -=->-≥-=--，这就表明0<a 时，0,1>-<x e xe x ax 恒成立，综上21≤a !利用导数产生数列放缩1.由不等式1ln -≤x x 可得：+∈<+<+N n nn n ,1)11ln(11.例3.（2017全国3卷）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1(1)222nm ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．解析：（2）由（1）知当(1,)x ∈+∞时，1ln 0x x -->，令112n x =+得11ln(1)22n n +<，从而221111111ln(1ln(1)ln(1)112222222n n n ++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+=-<.故2111(1)(1)(1)222n e ++⋅⋅⋅+<,而23111(1)(1)(1)2222+++>，所以m 的最小值为3．2,.两个正数a 和b 的对数平均定义：(),(,)ln ln ().a ba b L a b a ba ab -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：(,)2a bL a b +≤≤（此式记为对数平均不等式，取等条件：当且仅当a b =时，等号成立.进一步，在不等式左端结合均值不等式可得：当0b a >>时211ln ln b a b a a b->-+，即111ln ln ()2b a b a a b-<+-.令,1a n b n ==+，则111ln(1)ln ()21n n n n +-<++，所以111ln(1)ln (21n n n n +-<++①.(,)L a b<1ln ln ln 2ln (1)a ab x x x b x ⇔-⇔⇔<->其中，接下来令t =2>11(1)n ln n >+，1(n ln n+>②.例4．已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+.（1）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++ ，证明：21ln 24n n a a n-+>.解析：（1）综上可知，λ的最小值时12.（2）由上述不等式①，所以111ln(1)ln (21n n n n +-<++，111ln(2)ln(1)()212n n n n +-+<+++，111ln(3)ln(2)(223n n n n +-+<+++…，111ln 2ln(21)(2212n n n n--<+-.将以上各不等式左右两边相加得：1122221ln 2ln (2123212n n n n n n n n-<+++++++++- ，即111211ln 22123214n n n n n n<+++++++++- ，故11211ln 212324n n n n n +++++>+++ ，即21ln 24n n a a n-+>.例5．（2022新高考2卷解析几何）已知函数()ax x f x xe e =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设*n N ∈(1)ln n ++⋯+>+．1()n ln n+>，进一步求和可得：11231((...(1)12nnk k k n ln ln ln n k n==++>=⨯⨯⨯=+∑，...(1)ln n ++．。

导数概念及其运算、定积分[A 组 基础保分练]1.∫π20(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2解析：由题意知(－cos x －a sin x )|π20＝1－a ＝2，a ＝－1. 答案：A2．函数f (x )＝e x ln x 在点(1，f (1))处的切线方程是( ) A ．y ＝2e(x －1) B.y ＝e x －1 C ．y ＝e(x －1) D ．y ＝x －e解析：f (1)＝0，∵f ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ，∴f ′(1)＝e ， ∴切线方程是y ＝e(x －1)． 答案：C3．(2021·南昌模拟)已知f (x )在R 上连续可导，f ′(x )为其导函数，且f (x )＝e x ＋e －x －xf ′(1)·(e x －e －x)，则f ′(2)＋f ′(－2)－f ′(0)f ′(1)＝( )A ．4e 2＋4e －2 B.4e 2－4e －2 C ．0 D ．4e 2解析：函数f (－x )＝e －x ＋e x －(－x )f ′(1)·(e －x －e x )＝f (x )，即函数f (x )是偶函数，两边对x 求导数，得－f ′(－x )＝f ′(x )．即f ′(－x )＝－f ′(x )，则f ′(x )是R 上的奇函数，则f ′(0)＝0，f ′(－2)＝－f ′(2)，即f ′(2)＋f ′(－2)＝0，则f ′(2)＋f ′(－2)－f ′(0)f ′(1)＝0. 答案：C4．曲线y ＝a x 在x ＝0处的切线方程是x ln 2＋y －1＝0，则a ＝( ) A.12B.2 C ．ln 2 D ．ln 12解析：由题意知，y ′＝a x ln a ，则在x ＝0处，y ′＝ln a ，又切点为(0，1)，∴切线方程为x ln a －y ＋1＝0，∴a ＝12.答案：A5．设函数f (x )＝x ＋1x＋b ，若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线经过坐标原点，则ab ＝( )A ．1 B.0 C ．－1 D ．－2解析：由题意可得，f (a )＝a ＋1a ＋b ，f ′(x )＝1－1x 2，所以f ′(a )＝1－1a 2，故切线方程是y －a －1a－b ＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2(x －a )，将(0，0)代入得－a －1a －b ＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2(－a )，故b ＝－2a ，故ab ＝－2. 答案：D 6．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像．那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )解析：由y ＝f ′(x )的图像知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故排除A 、C.又由图像知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图像在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故排除B. 答案：D 7．(2021·天津模拟)已知函数f (x )＝(x 2－a )ln x ，f ′(x )是函数f (x )的导函数，若f ′(1)＝－2，则a 的值为________．解析：∵f (x )＝(x 2－a )ln x (x ＞0)，∴f ′(x )＝2x ln x ＋x 2－a x，∴f ′(1)＝1－a ＝－2，得a ＝3. 答案：38．已知函数f (x )为奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 3－ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(－1，－1)处的切线的斜率为________．解析：因为当x ＞0时，f (x )＝x 3－ln x ，所以当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－x 3－ln(－x )．因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝x 3＋ln(－x )，则f ′(x )＝3x 2＋1x，所以f ′(－1)＝2，所以曲线y ＝f (x )在点(－1，－1)处的切线的斜率为2. 答案：29．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解析：(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －x 0)， 又切线过点A (2，－2)，∴－2－(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)(2－x 0)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1， ∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. 10．(2021·淮南模拟)已知函数f (x )＝x 2－ln x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图像上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎣⎡⎦⎤12，1上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．解析：(1)由题意可得f (1)＝1，且f ′(x )＝2x －1x，f ′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y －1＝1×(x－1)，即y ＝x .(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤12，1，不妨设x 1＜x 2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得⎝⎛⎭⎫2x 1－1x 1⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 2＝－1， 又函数f ′(x )＝2x －1x在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，函数的值域为[－1，1]， 故－1≤2x 1－1x 1＜2x 2－1x 2≤1，据此有⎩⎨⎧2x 1－1x 1＝－1，2x 2－1x 2＝1，解得x 1＝12，x 2＝1⎝⎛⎭⎫x 1＝－1，x 2＝－12舍去， 故存在两点⎝⎛⎭⎫12，ln 2＋14，(1，1)满足题意． [B 组 能力提升练]1．(2021·南阳模拟)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f (e)＝( )A ．e B.－1eC ．－1D ．－e解析：由f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，所以f ′(e)＝－1e，故f (x )＝－2ex ＋ln x ，所以f (e)＝－1. 答案：C 2．(2021·保定模拟)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．2 B.14C ．4D ．－12解析：因为曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以g ′(1)＝2.又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4. 答案：C 3．(2021·广州模拟)已知过点A (a ，0)作曲线C ：y ＝x ·e x 的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)∪(0，＋∞) B.(0，＋∞) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1) 解析：对y ＝x ·e x 求导得y ′＝e x ＋x ·e x ＝(1＋x )e x .设切点坐标为(x 0，x 0e x 0)，则过点A (a ，0)的切线斜率k ＝(1＋x 0)e x 0＝x 0e x 0x 0－a，化简得x 20－ax 0－a ＝0.依题意知，上述关于x 0的二次方程x 20－ax 0－a ＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝(－a )2－4×1×(－a )＞0，解得a ＜－4或a ＞0. 答案：A4．(2021·宣城模拟)若曲线y ＝a ln x ＋x 2(a ＞0)的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2，则a ＝( ) A.124 B.38 C.34 D.32解析：因为y ＝a ln x ＋x 2(a ＞0)，所以y ′＝ax＋2x ≥22a ，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2，所以斜率k ≥3，因为3＝22a ，所以a ＝38. 答案：B5．已知曲线y ＝1x ＋ln xa 在x ＝1处的切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，则实数a 的值为________．解析：y ′＝－1x 2＋1ax ，当x ＝1时，y ′＝－1＋1a.由于切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，所以⎝⎛⎭⎫－1＋1a ·⎝⎛⎭⎫－23＝－1，解得a ＝25.答案：256．(2021·乌鲁木齐模拟)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝a sin x ＋b cos x (a ，b ，m ∈R )相切于点(0，1)，则a ＋bm的值为________．解析：根据题意，若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝a sin x ＋b cos x (a ，b ，m ∈R )相切于点(0，1)，则点(0，1)为直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝a sin x ＋b cos x 的交点， 则1＝0＋m 且1＝a sin 0＋b cos 0，解得m ＝1，b ＝1. 由y ＝a sin x ＋b cos x ，得y ′＝a ·cos x －b ·sin x ， 所以当x ＝0时，y ′＝a ·cos 0－b ·sin 0＝1，解得a ＝1， 则a ＋b m ＝1＋11＝2.答案：27．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图像过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解析：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. [C 组 创新应用练]1．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( ) A ．在直线y ＝－3x 上 B ．在直线y ＝3x 上 C ．在直线y ＝－4x 上 D ．在直线y ＝4x 上 解析：f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，结合题意知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上． 答案：B2．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26 B.29C ．212D ．215 解析：因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ， 所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212. 答案：C 3．(2021·长春模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将直线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V 圆锥＝⎠⎛01πx 2d x ＝⎪⎪π3x 310＝π3.据此类比：将曲线y＝2ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的体积V ＝________．解析：类比已知结论，将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为π(e y2)2＝πe y ，积分变量为y ，积分区间为[0，1]，即V ＝⎪⎪⎠⎛01πe y d y ＝πe y10＝π(e －1)．答案：π(e －1)。

5.1.2导数的概念及其几何意义要点一 导数的概念1．平均变化率：对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，则把Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率．2．导数：如果Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝ ，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 【重点小结】(1)当Δx ≠0时，比值Δy Δx 的极限存在，则f(x)在x ＝x 0处可导；若ΔyΔx的极限不存在，则f(x)在x ＝x 0处不可导或无导数．(2)在x ＝x 0处的导数的定义可变形为f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx 或f ′(x 0)＝lim x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0.要点二 导数的几何意义对于曲线y ＝f (x )上的点P 0(x 0，f (x 0))和P (x ，f (x ))，当 点P 0趋近于点P 时，割线P 0P 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线P 0T 称为点P 0处的切线．割线P 0P 的斜率是k ＝f (x )－f (x 0)x －x 0．当点P 无限趋近于点P 0时，k 无限趋近于切线P 0T 的斜率．因此，函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线P 0T 的斜率k ，即k ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 【重点总结】(1)曲线的切线与割线①曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线． ②曲线的切线就是割线趋近于某一确定位置的直线，体现了无限趋近的思想． (2)曲线的切线与导数①函数f(x)在x ＝x 0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率． ②函数f(x)表示的曲线在点(x 0，f(x 0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x 在x ＝0处有切线，但不可导．曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 要点三 导函数对于 函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx【重点总结】函数在某点处的导数与导函数的区别(1)函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．(2)函数f(x)在x0处的导数就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在x＝x0处有意义，则f′(x0)存在．()(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()(3)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相等．()(4)曲线f(x)＝x2在原点(0,0)处的切线方程为y＝0.()【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√2．若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)＝()A．0 B．－3xC．3 D．－3【答案】D【解析】k＝li mΔx→0－3(x＋Δx)－1－(－3x－1)Δx＝－3.3．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为() A．(0，－2) B．(1,0)C．(0,0) D．(1,1)【答案】B【解析】设点M(x0，y0)，∴k＝limΔx→0(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－2－(x20＋x0－2)Δx＝2x0＋1，令2x0＋1＝3，∴x0＝1，则y0＝0.故选B.4．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.【答案】2【解析】点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上，∴f(5)＝－5＋8＝3.且f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝2.题型一 求函数在某点处的导数【例1】(1)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，则f ′(3)＝________. 【答案】(1)16【解析】(1)Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴f ′(3)＝li m Δx →0(2Δx ＋16)＝16.(2)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，若f ′(x 0)＝12，则x 0＝________. 【答案】(2)2【解析】(2)根据导数的定义f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →2(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )－(2x 20＋4x 0)Δx＝li m Δx →04x 0·Δx ＋2(Δx )2＋4ΔxΔx ＝li m Δx →(4x 0＋2Δx ＋4)＝4x 0＋4，∴f ′(x 0)＝4x 0＋4＝12，解得x 0＝2.【方法归纳】用导数定义求函数在某一点处的导数的三个步骤 (1)作差Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)作比Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)取极限f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 简记为一差、二比、三极限．【跟踪训练1】已知函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(1)＝________.【答案】0【解析】f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0⎣⎡⎦⎤(1＋Δx )＋11＋Δx －(1＋1)Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫Δx ＋11＋Δx －1Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1－11＋Δx ＝0题型二 求曲线的切线方程【例2】已知曲线y ＝13x 3，求曲线在点P (3,9)处的切线方程．【解析】由y ＝13x 3，得y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →013(x ＋Δx )3－13x 3Δx＝13li m Δx →3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx＝13li m Δx →[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝x 2， y ′|x ＝3＝32＝9，即曲线在P (3,9)处的切线的斜率等于9. 由直线的点斜式方程可得，所求切线方程为y －9＝9(x －3)， 即9x －y －18＝0.【变式探究】本例条件不变，求曲线过点M (1,0)的切线方程．【解析】设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30，由例2知切线方程为：y －13x 30＝x 20(x －x 0) ∵切线过点(1,0)， ∴－13x 30＝x 20(1－x 0)即23x 30－x 20＝0，解得x 0＝0或x 0＝32. ∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫32，98，∴切线方程为：y ＝0或y －98＝94⎝⎛⎭⎫x －32. 即y ＝0或9x －4y －9＝0. 设切点，写出切线方程，已知点代入，求切点． 【方法归纳】1．求曲线上某点切线方程的三个步骤2．过曲线外的点P (x 1，y 1)求曲线的切线方程的步骤 (1)设切点为Q (x 0，y 0)．(2)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)．(3)利用Q 在曲线上和f ′(x 0)＝k PQ ，解出x 0，y 0及f ′(x 0)． (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 【跟踪训练2】已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)试问(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由． 【解析】将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，所以切点为(1,1)． Δy Δx ＝(1＋Δx )3－13Δx ＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3Δx＝3＋3Δx ＋(Δx )2， 当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于3，所以y ′|x ＝1＝3.故所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1,1)，(－2，－8)．故(1)中的切线与曲线C 的公共点除切点(1,1)外，还有点(－2，－8)． 题型三 导数几何意义的应用 探究1 求切点坐标【例3】已知曲线y ＝x 2＋6的切线分别符合下列条件，求切点． (1)平行于直线y ＝4x －3； (2)垂直于直线2x －y ＋5＝0. 【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)．f ′(x )＝li m Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝li m Δx →0 (x ＋Δx )2＋6－(x 2＋6)Δx＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .∴过(x 0，y 0)的切线的斜率为2x 0.(1)∵切线与直线y ＝4x －3平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝x 20＋6＝10， 即过曲线y ＝x 2＋6上点(2,10)的切线与直线y ＝4x －3平行． (2)∵切线与直线2x －y ＋5＝0垂直，∴2x 0×2＝－1，得x 0＝－14，y 0＝9716，即过曲线y ＝x 2＋6上点⎝⎛⎭⎫－14，9716的切线与直线2x －y ＋5＝0垂直． 【方法归纳】求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0； (5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．探究2 与曲线的切点相关的问题【例4】已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形面积．【解析】(1)y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx＝lim Δx →02xΔx ＋(Δx )2＋ΔxΔx＝lim Δx →0(2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1.所以y ′|x ＝1＝2×1＋1＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， 则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23，B ⎝⎛⎭⎫－23，－209，所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52. l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0. 所以所求三角形的面积S ＝12×253×52＝12512.(1)先由已知求出l 1的斜率，再由l 1⊥l 2，求出l 2的斜率，进而求出切点坐标，得出l 2的方程． (2)求出l 1与l 2的交点坐标，l 1，l 2与x 轴的交点，求出直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形的面积． 【方法归纳】利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．【跟踪训练3】(1)已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )＝f ′(x B ) C ．f ′(x A )<f ′(x B )D ．f ′(x A )与f ′(x B )大小不能确定 【答案】A【解析】由y ＝f (x )的图象可知，k A >k B ，根据导数的几何意义有f ′(x A )>f ′(x B )．故选A.(2)曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 围成的三角形的面积为16，则a ＝________.【答案】(2)±1【解析】(2)因为f ′(a )＝li m Δx →(a ＋Δx )3－a 3Δx ＝3a 2，所以曲线在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )．令y ＝0，得切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫23a ，0，由题意知三角形面积为12⎪⎪⎪⎪a －23a ·|a 3|＝12×⎪⎪⎪⎪a 3·|a 3|＝16a 4＝16.∴a 4＝1，即a ＝±1. 【易错辨析】求切线方程时忽略“过”与“在”的差异致错【例5】已知抛物线y ＝x 2＋x ＋1，则过抛物线原点的切线方程为________． 【答案】3x －y ＝0或x ＋y ＝0【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝lim Δx →0(2x 0＋1＋Δx )＝2x 0＋1，所以斜率k ＝2x 0＋1，故所求的切线方程为y －y 0＝(2x 0＋1)(x －x 0)，将(0,0)及y 0＝x 20＋x 0＋1代入上式得：－(x 20＋x 0＋1)＝－x 0(2x 0＋1)， 解得x 0＝1或x 0＝－1，所以k ＝3或k ＝－1，所以切线方程为y ＝3x 或y ＝－x ， 即3x －y ＝0或x ＋y ＝0. 【易错警示】 1.出错原因把原点当作切点，易求的是在原点处的切线方程. 2.纠错心得(1)看清楚求的是原点处的切线，还是过原点的切线． (2)过原点的切线，原点不一定是切点，需设切点为(x 0，y 0).一、单选题1．设()f x 在0x x =处可导，则()()000lim2h f x h f x h h→+--=（ ）． A ．()02f x ' B ．()012f x ' C ．()0f x ' D ．()04f x '【答案】C 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】解：∵()f x 在0x 处可导， ∵()()()0000lim2h f x h f x h f x h→+--'=，故选：C.2．函数()y f x =在0x x =处的导数可表示为0x x y ='，即（ ）． A ．()()()000f x f x x f x =+∆-' B ．()()()0000lim x f x f x x f x ∆→'=+∆-⎡⎤⎣⎦ C ．()()()0000lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆D ．()()()000f x x f x f x x+∆-'=∆【答案】C 【分析】结合导数定义直接选择即可. 【解析】x x y ='是()0f x '的另一种记法，根据导数的定义可知C 正确．故选：C3．若函数()f x 在0x x =处可导，则()()000limh f x h f x h→+-的结果（ ）．A ．与0x ，h 均无关B ．仅与0x 有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与0x 无关D ．与0x ，h 均有关【答案】B 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】 解：因为()()()0000limh f x h f x f x h→+-'=，所以结果仅与0x 有关，而与h 无关， 故选：B.4．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(12)lim12x f f x x→--=-，则'(1)f 为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】 因为0(1)(12)lim12x f f x x →--=-，所以20(1)(12)lim =12x f f x x→---，即20(12)(1)lim12x f x f x-→--=--所以'(1)1f =-. 故选：B.5．已知函数f (x )可导，且满足0(3)l (m 2i 3)x f f x x∆→-+∆=∆，则函数y ＝f (x )在x ＝3处的导数为（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．2【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】 由题意，()()()()()003333lim lim3x x f f x f x f f xx∆→∆→-+∆+∆-=-=-∆'∆，所以()32f '=-.故选：B.6．已知函数()f x 的图像如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()()310132f f f f '<-'<< B ．()()()()310312f f f f -''<<< C ．()()()()310312f f f f '<-'<< D ．()()()()310132f f f f ''<<-< 【答案】B 【分析】结合图象，判断出()()()()310,3,,12f f f f ''-的大小关系. 【解析】由题图可知函数()f x 的图像在1x =处的切线的斜率比在3x =处的切线的斜率大，且均为正数，所以()()031f f ''<<. AB 的斜率为()()3131f f --，其比在1x =处的切线的斜率小，但比在3x =处的切线的斜率大，所以()()()()310312f f f f -''<<<. 故选:B7．已知函数()2ln 8f x x x =+，则()()121lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（ ）A ．20-B ．10-C ．10D ．20【分析】根据导数的定义可得()()()0121lim 21x f x f f x∆→+∆='-∆，再用求导公式可得()28f x x'=+，代入1x =即可得解. 【解析】因为()2ln 8f x x x =+，所以()28f x x'=+， 所以()()()()()020121121lim2lim 21202x x f x f f x f f xx∆→∆→+∆-+∆-=∆'==∆.故选：D8．下列说法正确的是（ ）A ．曲线的切线和曲线有且只有一个交点B ．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处无切线D ．若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但()0f x '不一定存在 【答案】D 【分析】根据瞬时变化率和导数的基本概念对各选项逐一判断即可. 【解析】对于A ，曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A 错误；对于B ，过曲线上的一点作曲线的切线，由于曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，所以这个点不一定是切点，故B 错误；对于C ，()0f x '不存在，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率不存在，但切线可能存在，故C 错误； 对于D ，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但切线斜率可能不存在，所以()0f x '不一定存在，故D 正确. 故选：D二、多选题9．已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）A ．()()32f f ''<B ．()()()332f f f '<-C ．()()()232f f f '<-D ．()()320f f -<【答案】AB 【分析】根据导数的几何意义可得()()23f f ''>，记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，根据两点坐标求出直线AB 的斜率，结合图形即可得出()()()323f f f '->. 【解析】由函数的图象可知函数()f x 是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在2x =处的切线斜率1k 大于在3x =处的切线斜率2k ，所以()()23f f ''>； 记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，则直线AB 的斜率()()()()323232f f k f f -==--，由函数图象，可知120k k k >>>，即()()()()23230f f f f ''>->>. 故选：AB10．(多选题)若函数f (x )在x ＝x 0处存在导数，则000()()limh f h x f x h→+-的值（ ）A ．与x 0有关B ．与h 有关C ．与x 0无关D ．与h 无关【答案】AD 【分析】由导数的定义进行判定. 【解析】由导数的定义，得：'0000()()lim()h f x f x f x hh →-=+，即函数f (x )在x ＝x 0处的导数与x 0有关，与h 无关. 故选:AD.11．甲､乙两个学校同时开展节能活动，活动开始后两学校的用电量()W t 甲（单位：kW h ⋅），()W t 乙（单位：kW h ⋅）与时间t （单位：h ）的关系如图所示，则一定有（ ）A ．甲校比乙校节能效果好B ．甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小C ．两学校节能效果一样好D ．甲校与乙校在活动期间的用电量总是一样大 【答案】AB 【分析】根据切线斜率的实际意义判断AC 选项的正确性.根据平均变化率的知识确定B 选项的正确性.根据图象判断用电量是否“总是一样大”，由此判断D 选项的正确性. 【解析】由图可知，对任意的()100,t t ∈，曲线()W t 甲在1t t =处的切线斜率的绝对值比曲线()W t 乙在1t t =处的切线斜率的绝对值大，所以甲校比乙校节能效果好，A 正确，C 错误； 由图可知，()() 000W t W t -甲甲()()000W t W t -<乙乙，则甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小，B 正确；由于曲线()W t 甲和曲线()W t 乙不重合，故D 错误. 故选：AB.12．（多选）设()f x 在0x 处可导，下列式子中与()0f x '相等的是（ ） A ．()()0002lim2x f x f x x x∆→--∆∆B ．()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆C ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆D ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆【答案】AC 【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断作答. 【解析】 对于A ，()()()()()000000202222lim lim 22x x f x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→--∆-∆+∆--∆'==∆∆，A 满足； 对于B ，()()()()()000000202lim 2lim 22x x f x x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，B 不满足； 对于C ，()()()00002limx f x x f x x f x x∆→+∆-+∆'=∆，C 满足；对于D ，()()()()()000000302232lim 3lim 33x x f x x f x x f x x x f x x f x x x∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，D 不满足. 故选：AC第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．某生物种群的数量Q 与时间t 的关系近似地符合10()9tt e Q t e =+.给出下列四个结论：①该生物种群的数量不会超过10；②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； ③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； ④该生物种群数量的增长速度最大的时间()02,3t ∈. 根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【分析】对解析式上下同时除以t e ，结合反比例函数模型可判断①正确；对10()9tt e Q t e =+求导，()Q t '即为该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断③错，②④正确 【解析】1010()991t t t e Q t e e ==++，因为0te >，故()911,t e+∈+∞，()100,1091t e ∈+，故该生物种群的数量不会超过10，①正确；由()28109090()()89191t tt t t t e e Q t Q t e e e e=⇒'=+++=+，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正比，③错；因为81tt e e +为对勾函数模型，故81tt e e+≥，当且仅当9t e =时取到等号，故811890t t e e++整体先增加后减小，当()03ln92,t =∈时，()Q t '最大，故②④正确， 综上所述，①②④正确， 故答案为：①②④ 14．若02)(=f x '，则00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+=________.【答案】1- 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+00Δ0(Δ)()1lim 2Δx f x x f x x →+-=- '01()2f x =-1=-.故答案为1-.15．已知函数f (x )，则()1f '＝________. 【答案】12 【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】()()()001111lim lim 21x x f x f f x x →→+∆-'====∆+∆+.故答案为：12.16．函数()f x 在R 上可导，且()02f '＝，x y R ∀∈，，若函数()()()f x y f x f y +＝成立，则()0f ＝________．【答案】1 【分析】令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，再根据条件即可求出答案． 【解析】解：令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，()02f '＝， ()f x ∴不恒为0， ()01f ∴＝，故答案为：1．四、解答题17．已知2()f x x =，利用2'(1)11,(1)2,Δ0.03f f x ====，求(1.03)f 的近似值. 【答案】1.06 【分析】将'(1)1,(1)2,Δ0.03f f x ===代入'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆中计算即可得到答案.【解析】由'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆，可知'(1.03)(1)(1)0.03120.03 1.06f f f ≈+⨯=+⨯=.18．已知某产品的总成本函数为22C Q Q =+，总成本函数在0Q 处导数()0f Q '称为在0Q 处的边际成本，用()0MC Q 表示.求边际成本(500)MC 并说明它的实际意义.【答案】(500)1002MC =，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002. 【分析】利用导数的定义计算即可. 【解析】设500Q =时，产量的改变量为Q ∆，22(500)2(500)(5002500)C Q Q Q Q ∆+∆++∆-+⨯=∆∆ 1002Q =∆+，则0(500)lim (1002)1002Q MC Q ∆→=∆+=，即产量为500时的边际成本为1002，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002.。

2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：导数一．选择题（共5小题） 1．曲线()lnxf x x=在点(1，f （1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( ) A ．14B ．12C ．1D ．22．函数2()lnxf x x=的单调减区间是( ) A ．2[e ，)+∞B ．[,)e +∞C ．(0，2]eD ．(0,]e3．函数()2f x xlnx =-在1x =处的切线方程为( ) A ．20x y +=B ．240x y --=C ．30x y --=D ．10x y ++=4．偶函数()f x '为()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则函数()f x 的图象可能为()A ．B ．C ．D ．5．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对x R ∀∈，都有2()()x f x e f x -=，当0x >时，()()0f x f x '+<，若211(21)(1)a a e f a e f a -+-+，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．(-∞，1][2-，)+∞C ．(-∞，0][2，)+∞D ．[1-，2]二．多选题（共2小题）6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()2()f x xf x f x x <'<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是( ) A ．f π（1）()f π< B ．f π（1）()f π> C ．(2)1(1)42f f <+ D ．(2)1(1)42f f +< 7．对于函数3211()32f x x x cx d =+++，c ，d R ∈，下列说法正确的是( )A ．存在c ，d 使得函数()f x 的图像关于原点对称B ．()f x 是单调函数的充要条件是14cC ．若1x ，2x 为函数()f x 的两个极值点，则441218x x +>D ．若2c d ==-，则过点(3,0)P 作曲线()y f x =的切线有且仅有2条 三．填空题（共6小题）8．已知2()(4)(0f x lnx ax b x a =++->，0)b >在1x =处取得极值，则21a b+的最小值为 ．9．函数()f x xlnx x =-在1[,2]2上的最大值为 ．10．函数()cos 1x f x e x =⋅+在0x =的切线方程为 ． 11．已知函数()f x f +'（1）22x e ex x =+，则()f x '= ． 12．直线3y kx =-与曲线4y x x =+相切，则k = ．13．若函数3()31f x x x =--在区间(2,23)a a -+上有最大值，则实数a 的取值范围是 ． 四．解答题（共10小题）14．已知函数()(1)f x x lnx ax =--，a R ∈．（1）设函数()()(()g x f x f x =''为()f x 的导函数），求()g x 的零点个数； （2）若()f x 的最大值是0，求实数a 的值．15．已知函数32()32f x x ax bx =-+在点1x =处有极小值1-． （1）求a 、b 的值；（2）求()f x 在[0，2]上的值域． 16．已知函数2()x f x xe x ax =--．（1）当12a =时，求()f x 的单调区间； （2）当0x 时，()0f x ，求实数a 的取值范围． 17．已知函数32()3f x x ax a =-+，0a >．（1）求证：()y f x =在(1，f （1）)处和(1-，(1))f -处的切线不平行； （2）讨论()f x 的零点个数．18．已知函数2()((0,1))f x x xlna a =+∈，(0,1)x ∈．（1）当a e =时，求()()x g x e f x =在(0，(0))g 处的切线方程． （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若()x f x ae lnx >对(0,1)x ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围． 19．已知函数212()log (1)f x ax x =-+．（1）若2a =-，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 范围； （3）若函数()f x 的值域为R ，求实数a 范围；（4）若函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数，求实数a 的取值范围． 20．已知函数2()()f x xlnx ax x a R =-+∈． （1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个零点1x ，2x ，且122x x >，证明：1228x x e>． 21．已知函数21()2()2f x x ax lnx a R =-+∈． （1）当53a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）设函数21()()22g x f x x =-+，若()g x 有两个不同的零点1x ，2x ，求证：122x x e +>．22．已知函数2()(1)(1)f x x lnx x m x =--+-，m R ∈． （1）讨论()f x 极值点的个数．（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：12()()24f x f x m +>-． 23．设函数()()x f x x ae a R =-∈． （Ⅰ）求函数()f x 的极值：（Ⅱ）若()+∞时恒成立，求a的取值范围．f x ax在[0x∈，)2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：导数参考答案与试题解析一．选择题（共5小题） 1．曲线()lnxf x x=在点(1，f （1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( ) A ．14B ．12C ．1D ．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先利用导数求出切线方程，然后求出切线的横、纵截距，利用面积公式即可求出面积．【解答】解：由题意知f （1）0=，21()lnxf x x -'=， 故f '（1）1=，所以切线为1y x =-， 令0x =得1y =-；令0y =得1x =，故切线与两坐标轴围成的三角形的面积11|1|122S =⨯-⨯=．故选：B ．【点评】本题考查导数的几何意义和三角形面积的计算，属于基础题． 2．函数2()lnxf x x =的单调减区间是( ) A ．2[e ，)+∞B．)+∞C ．(0，2]eD．【考点】利用导数研究函数的单调性 【分析】求导得312()(0)lnxf x x x -'=>，当x ∈，)+∞时，()0f x '，()f x 单调递减，从而可得答案． 【解答】解：2()(0)lnxf x x x=>， 2431212()(0)x xlnxlnx x f x x x x ⋅--∴'==>，当x ∈，)+∞时，()0f x '，()f x 单调递减，∴函数2()lnxf x x=的单调减区间是)+∞， 故选：B ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，熟练掌握导函数的符号与函数单调性的关系是关键，考查运算能力，属于中档题．3．函数()2f x xlnx =-在1x =处的切线方程为( ) A ．20x y +=B ．240x y --=C ．30x y --=D ．10x y ++=【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出原函数的导函数，得到函数在1x =处的导数值，再求出f （1）的值，利用直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由()2f x xlnx =-，得()1f x lnx '=-， f ∴'（1）11lnx =-=-，又f （1）2=-，∴函数()2f x xlnx =-在1x =处的切线方程为21(1)y x +=-⨯-，即10x y ++=． 故选：D ．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．4．偶函数()f x '为()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则函数()f x 的图象可能为()A ．B ．C ．D ．【考点】导数及其几何意义【分析】利用导函数的正负确定原函数的单调性，即可判断选项A ，D ，由原函数为三次函数，即可判断选选项B ，C ．【解答】解：由题意可知，()f x '为偶函数，设()f x '的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为1x -，1x ， 由图象可得，当1x x <-时，()0f x '>，则()f x 单调递增， 当11x x x -<<时，()0f x '<，则()f x 单调递减， 当1x x >时，()0f x '>，则()f x 单调递增， 故选项A 错误，选项D 错误；由()f x '的图象可知，()f x '在0x =左右的函数值是变化的，不同的，而选项C 中，()f x 的图象在0x =左右是一条直线，其切线的斜率为定值，即导数()f x '为定值，故选项C 错误，选项B 正确． 故选：B ．【点评】本题考查了导函数的图象的理解与应用，导函数与原函数之间关系的应用，解题的关键是掌握导数的正负确定原函数的单调性，考查了逻辑推理能力与识图能力，属于中档题． 5．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对x R ∀∈，都有2()()x f x e f x -=，当0x >时，()()0f x f x '+<，若211(21)(1)a a e f a e f a -+-+，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．(-∞，1][2-，)+∞C ．(-∞，0][2，)+∞D ．[1-，2]【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】令()()x g x e f x =，判断()g x 的单调性和奇偶性，根据211(21)(1)a a e f a e f a -+-+，得到(21)(1)g a g a -+，再求出a 的取值范围．【解答】解：令()()x g x e f x =，则当0x >时，()[()()]0x g x e f x f x ''=+<， 所以()()x g x e f x =在区间(0,)+∞单调递减， 又2()()(())()()x x x x g x e f x e e f x e f x g x ---=-===， 所以()g x 为偶函数，且在区间(,0)-∞单调递增，又211(21)(1)a a e f a e f a -+-+，即(21)(1)g a g a -+， 所以|21||1|a a -+，即22(21)(1)a a -+，解得0a 或2a ，所以a 的取值范围为(-∞，0][2，)+∞． 故选：C ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和函数的奇偶性，考查了转化思想，属中档题．二．多选题（共2小题）6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()2()f x xf x f x x <'<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是( ) A ．f π（1）()f π< B ．f π（1）()f π> C ．(2)1(1)42f f <+ D ．(2)1(1)42f f +< 【考点】利用导数研究函数的最值 【分析】设2()()f x x g x x -=，()()f x h x x=，(0,)x ∈+∞，求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可． 【解答】解：设2()()f x x g x x -=，()()f x h x x=，(0,)x ∈+∞， 则243[()1]2[()]()2()()f x x x f x x xf x f x x g x x x '---'-+'==，2()()()xf x f x h x x '-'=， 因为()()2()f x xf x f x x '<<-对(0,)x ∈+∞恒成立， 所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，()h x 在(0,)+∞上单调递增， 则g （1）g >（2），h （1）()h π<， 即22(1)1(2)212f f -->，(1)()1f f ππ<， 即(2)142f f +<（1），f π（1）()f π<， 故选：AD ．【点评】本题考查导数与不等式的综合应用，考查构造函数的方法的灵活应用与推理论证能力．7．对于函数3211()32f x x x cx d =+++，c ，d R ∈，下列说法正确的是( )A ．存在c ，d 使得函数()f x 的图像关于原点对称B ．()f x 是单调函数的充要条件是14cC ．若1x ，2x 为函数()f x 的两个极值点，则441218x x +>D ．若2c d ==-，则过点(3,0)P 作曲线()y f x =的切线有且仅有2条【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的极值【分析】利用奇函数的定义即可判断选项A ，求出()f x '，利用导数的正负与函数单调性的关系，求解即可判断选项B ，利用极值的定义以及指数的性质、韦达定理求解，即可判断选项C ，求出函数的极值点，作出函数的大致图，即可判断选项D ． 【解答】解：若存在c ，d 使得函数()f x 的图象关于原点对称， 则函数()f x 为奇函数，因为函数3211()32f x x x cx d =+++，c ，d R ∈，则3211()32f x x x cx d -=-+-+，因为2()()2f x f x x d +-=+对于任意的x ，不满足()()0f x f x -+=， 所以函数()f x 不是奇函数， 故选项A 错误；因为函数3211()32f x x x cx d =+++，c ，d R ∈，则2()f x x x c '=++，要使得()f x 是单调函数， 必满足△140c =-，解得14c ， 故选项B 正确；若函数有两个极值点，必满足△0>，即14c <， 此时12121x x x x c +=-⎧⎨=⎩，所以222121212()212x x x x x x c +=+-=-，则4422222222121212()2(12)22412(1)1x x x x x x c c c c c +=+-=--=-+=--，因为14c <， 所以22112(1)12(1)148c -->--=，所以441218x x +>， 故选项C 正确；若2c d ==-，则3211()2232f x x x x =+--，所以2()2f x x x '=+-，令()0f x '=，解得2x =-或1x =，当2x <-时，()0f x '>，则()f x 单调递增， 当21x -<<时，()0f x '<，则()f x 单调递减， 当1x >时，()0f x '>，则()f x 单调递增，所以当2x =-时，()f x 取得极大值，当1x =时，()f x 取得极小值， 作出函数的大致图象如图所示，其中两条虚线代表两条相切的切线， 故选项D 正确． 故选：BCD ．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值的理解与应用，利用导数研究曲线的切线问题，函数图象的理解与应用，奇函数定义的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题． 三．填空题（共6小题）8．已知2()(4)(0f x lnx ax b x a =++->，0)b >在1x =处取得极值，则21a b+的最小值为 3 ．【考点】利用导数研究函数的极值【分析】根据在1x =处取得极值，求出23a b +=，由基本不等式“1“的应用代入求最小值． 【解答】解：1()24f x ax b x'=++-，因为()f x 在1x =处取得极值，所以f '（1）0=， 即1240a b ++-=，所以23a b +=． 所以211211221()(2)(41)(523333b a a b a b a b a b +=++=++++=， 当且仅当1a b ==时取等号．把1a =，1b =代入()f x 检验得，1x =是()f x 的极值点， 故21a b+的最小值为3． 故答案为：3．【点评】本题主要考查利用导数研究极值的方法，基本不等式求最值的方法等知识，属于中等题．9．函数()f x xlnx x =-在1[,2]2上的最大值为 222ln - ．【考点】利用导数研究函数的最值【分析】求导分析，可求得(){max f x max f =（2），1()}2f ，作差f （2）1()2f -，可得答案．【解答】解：()f x xlnx x =-，()11f x lnx lnx ∴'=+-=，当1[2x ∈，1)时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1x ∈，2]时，()g x 单调递增，∴当1x =时，()f x 取得最小值，(){max f x max f =（2），1()}2f ，又f （2）111153()222()20222222f ln ln ln ln ln -=---=-=>=>，所以()222max f x ln =-， 故答案为：222ln -．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．10．函数()cos 1x f x e x =⋅+在0x =的切线方程为 20x y -+= ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出原函数的导函数，得到函数在0x =处的导数值，再求出(0)f ，利用直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由()cos 1x f x e x =⋅+，得()cos sin x x f x e x e x '=⋅-⋅， 则(0)1f '=，又(0)2f =，∴函数()cos 1x f x e x =⋅+在0x =的切线方程为21(0)y x -=⨯-，即20x y -+=． 故答案为：20x y -+=．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．11．已知函数()f x f +'（1）22x e ex x =+，则()f x '= 222x ex e -+ ． 【考点】导数的运算【分析】根据导数的公式即可得到结论． 【解答】解：()f x f +'（1）22x e ex x =+，()f x f ∴'+'（1）22x e ex =+， f ∴'（1）f +'（1）22e e =+， f ∴'（1）2=，()222x f x ex e ∴'=-+， 故答案为：222x ex e -+．【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．12．直线3y kx =-与曲线4y x x =+相切，则k = 3-或5 ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出原函数的导函数，设出切点坐标，由题意可得切点横坐标与k 的方程组，求解得答案．【解答】解：由4y x x =+，得314y x '=+，设切点为4000(,)x x x +，则30400143k x kx x x ⎧=+⎪⎨-=+⎪⎩，解得013x k =-⎧⎨=-⎩或015x k =⎧⎨=⎩． 3k ∴=-或5．故答案为：3-或5．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题． 13．若函数3()31f x x x =--在区间(2,23)a a -+上有最大值，则实数a 的取值范围是 (2-，1]2- ．【考点】利用导数研究函数的最值【分析】对()f x 求导得2()33f x x '=-，求得其最大值点，再根据()f x 在区间(2,23)a a -+上有最大值，求出a 的取值范围．【解答】解：因为函数3()31f x x x =--，所以2()33f x x '=-， 当1x <-时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当11x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以当1x =-时，()f x 取得最大值，又(1)f f -=（2）2=，且()f x 在区间(2,23)a a -+上有最大值， 所以21232a a -<-<+，解得122a -<-，所以实数a 的取值范围是(2-，1]2-．故答案为：(2-，1]2-．【点评】本题考查导数的综合应用，考查了转化思想，属于中档题． 四．解答题（共10小题）14．已知函数()(1)f x x lnx ax =--，a R ∈．（1）设函数()()(()g x f x f x =''为()f x 的导函数），求()g x 的零点个数； （2）若()f x 的最大值是0，求实数a 的值． 【考点】利用导数研究函数的最值【分析】（1）由题意得()2g x lnx ax =-，令()0g x =，得2lnx a x =，设(),0lnxh x x x=>，求导可知函数()h x 的单调递增区间是(0,)e ，单调递减区间是(,)e +∞，作出函数()h x 的大致图象，数形结合即可求出()g x 的零点个数． （2）由（1）可知当12a e 和0a 时，函数()f x 无最大值，当102a e<<时，存在1(1,)x e ∈，2(,)x e ∈+∞，使得12()()2h x h x a==，由单调性可知222222222()()(1)(1)02max lnx f x f x x lnx ax x lnx x x ==--=-⋅-=，从而求出a 的值． 【解答】解：（1）由题意得()()2g x f x lnx ax ='=-， 令()0g x =，得2lnxa x=， 设(),0lnx h x x x =>，则21()lnxh x x-'=， 当x e >时，()0h x '<；当0x e <<时，()0h x '>，∴函数()h x 的单调递增区间是(0,)e ，单调递减区间是(,)e +∞， ∴1()()max h x h e e==， 作出函数()h x 的大致图象如图所示， 数形结合可知， 当20a 或12a e =，即0a 或12a e=时，函数()g x 有1个零点； 当12a e >，即12a e>时，函数()g x 没有零点； 当102a e <<，即102a e<<时，函数()g x 有2个零点．（2）由1可知()(()2)f x x h x a '=-， ①当12ae时，()0f x '恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递减，无最大值， ②当0a 时，存在唯一的0(0x ∈，1]，使得0()2h x a =， 当0x x >时，()0f x '>，当00x x <<时，()0f x '<，()f x ∴在0(0,)x 上单调递减，0(x ，)+∞上单调递增，无最大值，③当102a e<<时，存在1(1,)x e ∈，2(,)x e ∈+∞，使得12()()2h x h x a ==， 易得()f x 在1(0,)x ，2(x ，)+∞上单调递减，在1(x ，2)x 上单调递增，又当(0,1)x ∈时，()(1)0f x x lnx ax =--<，∴222222222()()(1)(1)02max lnx f x f x x lnx ax x lnx x x ==--=-⋅-=， 解得：22x e =，∴22212lnx a x e ==．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了方程的根与函数零点的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题． 15．已知函数32()32f x x ax bx =-+在点1x =处有极小值1-． （1）求a 、b 的值；（2）求()f x 在[0，2]上的值域．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的极值【分析】（1）依题意，得f （1）1=-，f '（1）0=，联立方程组，即可解得a 、b 的值； （2）可求得()(1)(31)f x x x '=-+，[0x ∈，2]，分别解不等式()0f x '>和()0f x '<，可得函数()f x 的单调增区间与单调递减区间，从而可求得()f x 在[0，2]上的值域． 【解答】解：（1）函数32()32f x x ax bx =-+在点1x =处有极小值1-，2()362f x x ax b ∴'=-+，f '（1）3620a b =-+=，① 且f （1）1321a b =-+=-，② 联立①②得：13a =，12b =-；（2）由（1）得32()f x x x x =--，2()321(1)(31)f x x x x x ∴'=--=-+，[0x ∈，2]， 由2()3210f x x x '=-->得12x <； 由2()3210f x x x '=--<得01x <，∴函数()f x 在区间[0，1)上单调递减，在区间(1，2]上单调递增；又(0)0f =，f （1）1=-，f （2）8422=--=， ()f x ∴在[0，2]上的值域为[1-，2]．【点评】本题考查利用导数求函数的极值与最值，考查导数的几何意义，考查方程思想与转化化归思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题． 16．已知函数2()x f x xe x ax =--． （1）当12a =时，求()f x 的单调区间； （2）当0x 时，()0f x ，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）对()f x 求导，利用导数与单调性的关系即可求解()f x 的单调区间； （2）()(1)x f x x e ax =--，令()1x g x e ax =--，求出()x g x e a '=-，对a 分类讨论，即可求解满足题意的a 的取值范围． 【解答】解：（1）当12a =时，21()(1)2x f x x e x =--，则()1(1)(1)x x x f x e xe x e x '=-+-=-+． 令()0f x '=，则1x =-或0，当(x ∈-∞，1)(0-⋃，)+∞时，()0f x '>；当(1,0)x ∈-时，()0f x '<； ()f x ∴的单调递增区间为(,1)-∞-，(0,)+∞，单调递减区间为(1,0)-．（2）由题设，()(1)x f x x e ax =--，令()1x g x e ax =--，则()x g x e a '=-． 若1a ，当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数，而(0)0g =，∴当0x 时，()0g x ，即()0f x ．若1a >，当(0,)x lna ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数，而(0)0g =，∴当(0,)x lna ∈时，()0g x <，即()0f x <，不符合题意．综上，实数a 的取值范围为(-∞，1]．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．17．已知函数32()3f x x ax a =-+，0a >．（1）求证：()y f x =在(1，f （1）)处和(1-，(1))f -处的切线不平行； （2）讨论()f x 的零点个数．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）依题意，若f '（1）(1)f ='-，则0a =，与0a >矛盾，从而证得结论成立； （2）由①知，()f x 在(,0)-∞，(2,)a +∞上单调递增，在(0,2)a 上单调递减，分102a <<，12a =时，12a >三类讨论，可得答案． 【解答】解：（1）证明：2()363(2)f x x ax x x a '=-=-，0a >，① 若()y f x =在(1，f （1）)处和(1-，(1))f -处的切线平行， 则f '（1）(1)f ='-，即3636a a -=+， 解得0a =，与0a >矛盾，所以()y f x =在(1，f （1）)处和(1-，(1))f -处的切线不平行； （2）(0)0f a =>，(1)120f a -=--<，0(1,0)x ∴∃∈-，使得0()0f x =；由①知，()f x 在(,0)-∞，(2,)a +∞上单调递增，在(0,2)a 上单调递减， ()f x ∴在(,0)-∞上有唯一零点0x ； 又311(2)44()()22f a a a a a a =-+=-+-，1∴︒当102a <<时，(2)0f a >，由单调性知()f x 有且仅有一个零点0x ； 2︒当12a =时，(2)0f a =，由单调性知()f x 有且仅有两个零点0x 和1； 3︒当12a >时，(2)0f a <，(3)0f a a =>， 1(0,2)x a ∴∃∈，使得1()0f x =；2(2,3)x a a ∈，2()0f x =，此时共有3个零点0x 、1x ，2x ； 综上，当102a <<时，()f x 有且仅有一个零点； 当12a =时，()f x 有且仅有两个零点； 当12a >时，()f x 有且仅有3个零点． 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论思想、转化与化归思想的综合运用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题． 18．已知函数2()((0,1))f x x xlna a =+∈，(0,1)x ∈．（1）当a e =时，求()()x g x e f x =在(0，(0))g 处的切线方程． （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若()x f x ae lnx >对(0,1)x ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值【分析】（1）根据题意可得，当a e =时，2()()x g x e x x =+，求导得()g x '，由导数的几何意义可得()01k g ='=切，又(0)0g =，即可得出答案．（2）求导得()2f x lna x '=+，(0,1)x ∈，分两种情况：20a e -<，21e a -<<，讨论()f x '的正负，进而可得()f x 的单调区间．（3）由于2xae lnx x xlna <+，则()x x ln ae lnx ae x>对任意(0,1)x ∈恒成立，设()(0)lnxH x x e x=<<，求导分析()H x 的单调性，进而可得x x a e >对任意(0,1)x ∈恒成立，设()xxG x e =，(0,1)x ∈，只需()max a G x >，即可得出答案． 【解答】解：（1）当a e =时，22()()[]()x x x g x e f x e x xlne e x x ==+=+，22()()(21)(31)x x x g x e x x e x e x x '=+++=++， 所以()01k g ='=切， 又(0)0g =，所以()g x 在(0，(0))g 处的切线方程为01(0)y x -=-，即y x =． （2）因为2()f x x xlna =+，(0,1)x ∈， 所以()2f x lna x '=+，(0,1)x ∈， 若20a e -<，即2lna -，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 若21e a -<<，即20lna -<<，012lna<-<，当02lnax <<-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当12lnax -<<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 综上所述，当20a e -<时，函数()f x 在(0,1)x ∈上单调递减， 当21e a -<<时，函数()f x 在(0,)2lna x ∈-上单调递减，在(2lna-，1)上单调递增． （3）因为2x ae lnx x xlnx <+，所以()x x x lnx x lna ln ae x ae ae +<=， 即()x x ln ae lnx ae x>对任意(0,1)x ∈恒成立， 设()(0)lnxH x x e x=<<，则21()lnxH x x -'=， 当(0,)x e ∈时，()0H x '>，()H x 在(0,)e 上单调递增， 又(0,1)x ∈，(0,1)a ∈，所以(0,)x ae e ∈，由()()x H ae H x >得x ae x >对任意(0,1)x ∈恒成立，即x xa e>对任意(0,1)x ∈恒成立， 设()xxG x e =，(0,1)x ∈， 则1()0xxG x e -'=>， 所以()G x 在(0,1)上单调递增， 所以()G x G <（1）1e =，所以a 的取值范围为1[e，1)．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题． 19．已知函数212()log (1)f x ax x =-+．（1）若2a =-，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 范围； （3）若函数()f x 的值域为R ，求实数a 范围；（4）若函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数，求实数a 的取值范围． 【考点】函数的定义域及其求法；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）2a =时，212()log (21)f x x x =--+，利用符合函数的单调性可求函数的单调区间；（2）因为()f x 的定义域为R ，所以210ax x -+>对x R ∀∈恒成立，转化为含参数的一元二次不等式恒成立问题求解；（3）由函数()f x 的值域为R ，则21t ax x =-+可取所有大于0的实数，分析可知0a =和0a >时均有符合条件的a ，解不等式可得a 的取值范围；（4）由符合函数的单调性可转化为21t ax x =-+在(1,1)-上为减函数，且0t >，分三种情况求解即可．【解答】解：（1）2a =时，212()log (21)f x x x =--+，由2210x x --+>，解得1(1,)2x ∈-，故函数定义域为1(1,)2x ∈-，令221t x x =--+，则12log y t =，因为()t x 在1(1,)4--单调递增，在1(4-，1)2单调递减，而12log y t =在0t >时单调递减，由复合函数的单调性可知，()f x 在1(1,)4--单调递减，在11(,)42-单调递增，故()f x 的单调递增区间为11(,)42-，单调递减区间为1(1,)4--；（2）因为()f x 的定义域为R ， 所以210ax x -+>对x R ∀∈恒成立，当0a =时，10x -+>，所以1x <-，不合题意；当0a <时，21y ax x =-+开口向下，必有0y <的部分，不合题意； 当0a >时，由△0<得，140a -<，解得14a >， 综上，a 的取值范围是1(4，)+∞；（3）若函数()f x 的值域为R ， 21t ax x =-+可取所有大于0的实数，当0a =时，1t x =-+，符合题意；当00a >⎧⎨⎩时，即0140a a >⎧⎨-⎩，104a <时符合题意，综上，a 的取值范围是[0，1]4；（4）令221t x x =--+，则12log y t =，因为12log y t =在0t >时单调递减，由复合函数的单调性可知，要满足若函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数， 则21t ax x =-+在(1,1)-上为减函数，且0t >， ①当0a >时，需112(1)110a t a -⎧-⎪⎨⎪=-+⎩，解得102a <；②当0a =时，1t x =-+，只需t （1）110=-+即可，即00，成立，故0a =符合题意； ③当0a <时，需112(1)110a t a -⎧--⎪⎨⎪=-+⎩即1120a a ⎧-⎪⎨⎪⎩，结合0a <可知此情况无解；综上，实数a 的取值范围是[0，1]2．【点评】本题考查了符合函数的单调性，以及利用符合函数单调性求解参数范围的问题，属于中档题．20．已知函数2()()f x xlnx ax x a R =-+∈． （1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个零点1x ，2x ，且122x x >，证明：1228x x e >． 【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）当0a =时，求得()2f x lnx '=+，即可求得()f x 的单调区间； （2）依题意，得12112211lnx lnx a x x x x =+=+，结合式子的特点构造函数，求导，利用函数的导数与函数单调性的关系即可证明结论成立．【解答】解：（1）当0a =时，()(0)f x xlnx x x =+>， ()2f x lnx '∴=+，令()0f x '>，得21x e >，令()0f x '<，得210x e<<， ()f x ∴的单调增区间是21(,)e +∞，单调减区间是21(0,)e ； （2）证明：若()f x 有两个零点1x ，2x ，则22111122220,0x lnx ax x x lnx ax x -+=-+=， ∴12112211lnx lnx a x x x x =+=+． 由122x x >，令211()2x tx t =<，则111111()11lnx ln tx x x tx tx +=+， ∴111lnt lnx t =--，∴211()11tlntlnx ln tx lnt lnx t ==+=--， ∴1212(1)()112111lnt tlnt t lntln x x lnx lnx t t t +=+=-+-=----． 令(1)()2(2)1t lnth t t t +=->-，则212()(1)lnt t t h t t -+-'=-，令1()2(2)t lnt t t tϕ=-+->，则22221(1)()10t t t t t ϕ-'=-++=>，()t ϕ∴在(2,)+∞上单调递增，∴3()(2)2202t ln ϕϕ>=->， ∴2()()0(1)t h t t ϕ'=>-，则()h t 在(2,)+∞上单调递增，∴28()(2)322h t h ln ln e >=-=，即1228()ln x x ln e>， ∴1228x x e >． 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查分离参数法与构造函数法的综合运用，考查转化与化归思想及逻辑推理能力、综合运算能力、抽象思维能力，属于难题．21．已知函数21()2()2f x x ax lnx a R =-+∈． （1）当53a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）设函数21()()22g x f x x =-+，若()g x 有两个不同的零点1x ，2x ，求证：122x x e +>．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】（1）由题意，代入53a =，对函数求导，再求单调区间即可，（2）由题意，()g x 有两个零点，可利用分离参数法，将两个根转化为关于t 的函数，再证明结论即可．【解答】解：（1）当53a =时，2110(),023f x x x lnx x =-+>，21103103(31)(3)()333x x x x f x x x x x-+--'∴=+-==⋅由()0f x '>，得()f x 的单调增区间为1(0,),(3,)3+∞；由()0f x '<，得()f x 的单调减区间为1(,3)3．证明：（2）由题意．得()220g x lnx ax =-+=有两个根122,2lnx x x a x+⇔=有两个根1x ，2x ． 令221()(0),()lnx lnx m x x m x x x+--'=>=． 由11()0,()0m x x m x x e e''>⇒<<⇒>．()m x ∴在1(0,)e上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减．()g x 有两个不同的零点1x ，2.x 不妨设12x x <．∴1210x x e<<< 要证明：122x x e+>，需证：2e>． 需证：1221x x e>．（※） 又1221121221122242lnx lnx lnx lnx lnx lnx a x x x x x x ++-++====-+． ∴22221111122211()(1)()41x x x x x lnln x x x ln x x x x x x +++==--． 今211x t x =>，且(1)()1t lnth t t +--， 得212()(1)t lnt t h t t --'=-． 令1()2r t t lnt t=--，得2221221()10t t r t t t t -+'=+-=>．()r t ∴在(1,)+∞上单调递增，()r t r >（1）0=，即()0h t '>．()h t ∴在(1,)+∞上单调递增，()h t h >（1）2，∴12121221()42()2ln x x ln x x x x e +>⇒>-⇒>， ∴（※）式成立．【点评】本题考查导数的综合应用，考查学生的综合能力，属于难题． 22．已知函数2()(1)(1)f x x lnx x m x =--+-，m R ∈． （1）讨论()f x 极值点的个数．（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：12()()24f x f x m +>-． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值【分析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性的关系即可判断函数的极值点；（2）构造函数()()(2)h x f x f x =+-，利用导数和函数单调性和最值的关系，可得要证12()()24f x f x m +>-，即可证明122x x +，再根据导数和极值的关系去证明2121122lnx lnx x x x x ->-+，再利用换元法，再构造导数，利用导数和函数的最值的关系即可证明． 【解答】解：（1）2()(1)(1)f x x lnx x m x =--+-，函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 1()2f x lnx x m x∴'=--+， 令1()2g x lnx x m x=--+， 222222112121(21)(1)()2x x x x x x g x x x x x x -++--+-∴'=+-==-=-， 当()0g x '=时，解得1x =，当01x <<时，()0g x '>，函数()g x 得到递增， 当1x >时，()0g x '<，函数()g x 得到递减， ()max g x g ∴=（1）3m =-，①当3m 时，()()0f x g x '=恒成立，∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递减， ∴函数()f x 无极值点，②当3m >时，1103m <<，g （1）0>，112()0g ln m m m =-<，1()0g m lnm m lnm m m =--<-<，∴存在11(x m∈，1)，2(1,)x ∈+∞，则12()()0g x g x ==，即12()()0f x f x '='=，故()f x 有2个极值点，综上所述当3m 时，无极值点，当3m >时，有2个极值点． （2）证明：22()()(2)(1)(1)(1)(2)(2)(1)(2)h x f x f x x lnx x m x x ln x x m x =+-=--+-+----+--，01x <<，则11()(2)442h x lnx ln x x x x'=----++-， 则11()(2)442x lnx ln x x x xϕ=----++-， 2211111111()4(2)(1)(2)(1)2(2)22x x x x x x x x xϕ∴'=+-++=+--+-----，01x <<，∴11102x x>>>-， ∴112202x x +>+>-，221122222(1)1x x x x x +==>--+--+， ∴111102x x->->-， ()0x ϕ∴'>，()x ϕ∴在(0,1)上单调递增，则()x ϕϕ<（1）0=，即()0h x '<， ()h x ∴在(0,1)上单调递减，则()h x h >（1）24m =-， 101x <<，111()()(2)24h x f x f x m ∴=+->-，要证12()()24f x f x m +>-， 只需证21()(2)f x f x -， 121x ->，21x >，112x x ->，()f x ∴在1(x ，2)x 上是增函数，∴只需要证112x x -，即证122x x +， 由111120lnx x m x --+=，222120lnx x m x --+=， 两式相减可得212121122()0x x lnx lnx x x x x ----+=， 即212112120lnx lnx x x x x -+-=-，12x x +>，∴2121214()x x x x >+， 下面证明2121122lnx lnx x x x x ->-+， 即证2212112(1)1x x x ln x x x ->+，令211x t x =>， 即证2201t lnt t -->+， 令22()01t p t lnt t -=->+，0t >， 则22214(1)()0(1)(1)t p t t t t t -'=-=>++，()p t ∴在(1,)+∞上单调递增， ()p t p ∴>（1）0=，∴2121122lnx lnx x x x x ->-+， 又21221121212124022()lnx lnx x x x x x x x x -=+->+--++，212121212()()2(2)(1)0x x x x x x x x ∴+-+-=+-++>， 122x x ∴+>，问题得以证明．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．23．设函数()()x f x x ae a R =-∈． （Ⅰ）求函数()f x 的极值：（Ⅱ）若()f x ax 在[0x ∈，)+∞时恒成立，求a 的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值【分析】（Ⅰ）求出()f x '，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()0f x '>求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()0f x '<求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；根据单调性即可求得()f x 的极值⋅（Ⅱ）参变分离，将问题转化为用导数求函数的最值问题⋅ 【解答】解：（Ⅰ）由题可知()1x f x ae '=-，①当0a ，()0f x '，()f x 在R 上单调递增，()f x ∴没有极值； ②当0a >，()0f x '=时，1x ln a=．当1(,)x ln a ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1(,)x ln a ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；()f x ∴在1x ln a =时取得极大值11ln a-，没有极小值⋅综上所述，当0a 时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极大值11ln a-，无极小值；（Ⅱ）()f x ax x ax a ⇒+()x x e x a x e ⇒+ [0x ∈，)+∞，∴xxax e +， 令(),0xxg x x x e =+，则原问题()max a g x ⇔，[0x ∈，)+∞，22(1)(1)()()()x x x x x x e x e e x g x x e x e +-+-'==++，101x x ->⇒<， [0x ∴∈，1)，()0g x '>，()g x 单调递增；(1,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减；∴1()(1)1max g x g e ==+，∴11a e⋅+ a ∴的取值范围为1[1e+，)+∞．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，利用导数研究不等式恒成立问题等知识，属于中等题．。

畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643第五单元 导数的概念与计算、定积分与微积分定理考点一 导数的计算1.(2016年四川卷)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )={-lnx,0<x <1,lnx,x >1图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是( ).A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞) 【解析】由图象易知P 1,P 2位于f (x )图象的两段上,不妨设P 1(x 1,-ln x 1)(0<x 1<1),P 2(x 2,ln x 2)(x 2>1), 则函数f (x )的图象在点P 1处的切线l 1的方程为y+ln x 1=-1x 1(x-x 1),即y=-x x 1+1-ln x 1. ①则函数f (x )的图象在点P 2处的切线l 2的方程为y-ln x 2=1x 2(x-x 2),即y=x x 2-1+ln x 2. ②由l 1⊥l 2,得-1x 1×1x 2=-1,∴x 1x 2=1.由切线方程可求得A (0,1-ln x 1),B (0,ln x 2-1), 由①②知l 1与l 2交点的横坐标x P =2−lnx 1-lnx 21x 1+1x 2=2x1+x 2.∴S △PAB =12×(1-ln x 1-ln x 2+1)×2x1+x 2=2x1+x 2=2x 1+1x1. 又∵x 1∈(0,1),∴x 1+1x 1>2,∴0<2x 1+1x1<1,即0<S △PAB <1.【答案】A2.(2015年天津卷)已知函数f (x )=ax ln x ,x ∈(0,+∞),其中a 为实数,f'(x )为f (x )的导函数.若f'(1)=3,则a 的值为 .【解析】f'(x )=a (lnx +x ·1x)=a (1+ln x ). 因为f'(1)=a (1+ln 1)=a ,又f'(1)=3,所以a=3. 【答案】3考点二 导数的几何意义3.(2016年山东卷)若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质,下列函数中具有T 性质的是( ).A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x 3【解析】若y=f (x )的图象上存在两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2)),使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则f'(x 1)·f'(x 2)=-1.对于A :y'=cos x ,若有cos x 1·cos x 2=-1,则存在x 1=2k π,x 2=2k π+π(k ∈Z )时,结论成立; 对于B :y'=1x,若有1x 1·1x 2=-1,则存在x 1x 2=-1,∵x>0,∴不存在x 1,x 2,使得x 1x 2=-1; 对于C :y'=e x,若有e x 1·e x 2=-1,则存在e x 1+x 2=-1,显然不存在这样的x 1,x 2;对于D :y'=3x 2,若有3x 12·3x 22=-1,则存在9x 12x 22=-1,显然不存在这样的x 1,x 2.综上所述,故选A . 【答案】A4.(2015年全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=ax 3+x+1的图象在点(1,f (1))处的切线过点(2,7),则a= .畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【解析】∵f'(x )=3ax 2+1,∴f'(1)=3a+1.又f (1)=a+2,∴切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1).∵切线过点(2,7),∴7-(a+2)=3a+1,解得a=1.【答案】15.(2016年全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数,当x ≤0时,f (x )=e -x-1-x ,则曲线y=f (x )在点(1,2)处的切线方程是 .【解析】设x>0,则-x<0,f (-x )=e x-1+x.∵f (x )为偶函数,∴f (-x )=f (x ),∴f (x )=e x-1+x (x>0). ∵当x>0时,f'(x )=e x-1+1, ∴f'(1)=e 1-1+1=1+1=2.∴曲线y=f (x )在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0. 【答案】2x-y=06.(2016年全国Ⅱ卷)若直线y=kx+b 是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b= .【解析】求得(ln x+2)'=1x,[ln (x+1)]'=1x+1. 设曲线y=ln x+2上的切点为(x 1,y 1),曲线y=ln (x+1)上的切点为(x 2,y 2), 则k=1x 1=1x 2+1,所以x 2+1=x 1.又y 1=ln x 1+2,y 2=ln (x 2+1)=ln x 1, 所以k=y 1-y 2x 1-x 2=2,所以x 1=1k =12,y 1=ln 12+2=2-ln 2, 所以b=y 1-kx 1=2-ln 2-1=1-ln 2. 【答案】1-ln 2考点三 定积分及其应用7.(2014年江西卷)若f (x )=x 2+2∫ 10f (x )d x ,则∫ 10f (x )d x=( ).A.-1B.-13C.13D.1【解析】∵f (x )=x 2+2∫ 10f (x )d x ,∴∫ 10f (x )d x=(13x 3+2x ∫f 10(x)dx)| 01=13+2∫f 1(x)dx, ∴ ∫ 10f (x )d x=-13.【答案】B8.(2014年山东卷)直线y=4x 与曲线y=x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ).A.2√2B.4√2C.2D.4【解析】令4x=x 3,解得x=0或x=±2,∴S=∫24x -x 3)=(2x 2-x 44) 02=8-4=4,故选D .【答案】D9.(2014年陕西卷)定积分∫ 10(2x+e x)d x 的值为( ).A .e +2B .e +1C .eD .e -1【解析】∫ 10(2x+e x )d x=(x 2+e x )|1 0=e .故选C .【答案】C10.(2015年天津卷)曲线y=x 2与直线y=x 所围成的封闭图形的面积为 .【解析】如图,阴影部分的面积即为所求. 由{y =x 2,y =x,得A (1,1). 故所求面积为S=∫ 10(x-x 2)d x=(12x 2-13x 3) 01=16.【答案】16畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP邀请码NJBHKZO，高佣联盟官方正版APP邀请码254864311.(2015年陕西卷)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,由抛物线过点(0,-2),(-5,0),(5,0),得抛物线的函数表达式为y=225x2-2,抛物线与x轴围成的面积S1=∫5-5(2−225x2)d x=403,梯形面积S2=(6+10)×22=16.故原始的最大流量与当前最大流量比为S2∶S1=1.2.【答案】1.2高频考点:导数的几何意义、导数的运算,定积分的计算偶尔涉及.命题特点:导数的几何意义,主要以小题的形式考查,有时也会作为解答题的第一小问出现,难度不大.导数是研究函数的工具,其运算渗透在解答题中,定积分全国卷近几年没有涉及,地方卷偶尔考查,是基础题.§5.1导数概念及其运算一导数的概念1.函数y=f(x)在x=x0处的导数:定义:称函数y=f (x )在x=x 0处的瞬时变化率limΔx →0=f(x 0+Δx)-f(x 0)Δx =lim Δx →0Δy Δx为函数y=f (x )在x=x 0处的导数,记作f'(x 0)或y'| x=x 0.几何意义:函数f (x )在点x 0处的导数f'(x 0)的几何意义是曲线y=f (x )在点 处的 .相应地,切线方程为 .2.函数f (x )的导函数:lim Δx →0=f(x+Δx)-f(x)Δx.二 基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )=x n (n ∈Q *) f'(x )= f (x )=sin x f'(x )= f (x )=cos x f'(x )= f (x )=a x f'(x )= (a>0) f (x )=e xf'(x )=f (x )=log a x f'(x )=1xlnaf (x )=ln x f'(x )=1x三 导数的运算法则1.[f (x )±g (x )]'= ;2.[f (x )·g (x )]'= ;3.[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g (x )≠0).畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP邀请码NJBHKZO，高佣联盟官方正版APP邀请码2548643四复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y x'=,即y对x 的导数等于的导数与的导数的乘积.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)f'(x0)与(f(x0))'表示的意义相同.()(2)函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为3(x2-a2).()(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()(4)若f(x)=sin α+cos x,则f'(x)=cos α-sin x.()若f(x)=x·e x,则f'(1)等于().A.0B.eC.2eD.e2曲线y=sin x+e x在点(0,1)处的切线方程是().A.x-3y+3=0B.x-2y+2=0C.2x-y+1=0D.3x-y+1=0若y=ln(2x+5),则y'=.设函数f(x)的导数为f'(x),且f(x)=f'(π2)sin x+cos x,则f'(π4)=.已知直线y=2x-1与曲线y=ln(x+a)相切,求a的值.知识清单一、1.(x 0,f (x 0)) 切线斜率 y-f (x 0)=f'(x 0)(x-x 0) 二、n ·x n-1cos x -sin x a xln a e x三、1.f'(x )±g'(x ) 2.f'(x )g (x )+f (x )g'(x ) 四、y'u ·u'x y 对u u 对x 基础训练1.【解析】(1)错误,f'(x 0)表示导函数值,(f (x 0))'=0,是常数的导数. (2)正确,由求导公式计算可知f (x )'=3(x 2-a 2).(3)正确.(4)错误,f'(x )=-sin x.【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.【解析】f'(x )=e x+x e x,则f'(1)=2e .【答案】C3.【解析】y'=cos x+e x,则切线斜率k=2,所以切线方程2x-y+1=0.【答案】C 4.【解析】y'=22x+5. 【答案】22x+55.【解析】因为f'(x )=f'(π2)cos x-sin x ,所以f'(π2)=-1,所以f'(π4)=√22f'(π2)-√22=-√2.【答案】-√26.【解析】设切点P (m ,ln (m+a )),又y'=1x+a, 所以{1m+a=2,ln(m +a)=2m -1,解得a=12ln 2.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643题型一 导数的计算【例1】(1)f (x )=x 2+xe x; (2)f (x )=x 3+2x -x 2lnx -1x 2; (3)y=x sin (2x +π2)cos (2x +π2).【解析】(1)f'(x )=(2x+1)e x -(x 2+x)e x (e x )2=1+x -x 2e x .(2)由已知得f (x )=x-ln x+2x -1x2,∴f'(x )=1-1x -2x 2+2x 3=x 3-x 2-2x+2x 3.(3)∵y=x sin (2x +π2)cos (2x +π2)=12x sin (4x+π)=-12x sin 4x ,∴y'=-12sin 4x-12x ·4cos 4x=-12sin 4x-2x cos 4x.熟记导数运算法则,求导之前能化简的要化简;求复合函数的导数,关键在于分析函数的复合关系,适当确【变式训练1】(1)函数y=(1-√x )(1+√x),则y'= .(2)已知f (x )=sin (3x -π4),则f'(π3)= .【解析】∵y=(1-√x )(1√x )=√x-√x =x -12-x 12, ∴y'=-12x -32-12x -12=-12x -32+x -12.(2)∵y'=cos (3x -π4)·(3x -π4)'=3cos (3x -π4),∴f'(π3)=3cos(3×π3-π4)=-3√22.【答案】(1)-12x-32-x12(2)-3√22题型二导数的几何意义【例2】已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.【解析】∵f'(x)=3x2-8x+5,∴f'(2)=1.又f(2)=-2,∴曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,即x-y-4=0.(2)设切点坐标为(x0,x03-4x02+5x0-4),∵f'(x0)=3x02-8x0+5,∴切线方程为y-(-2)=(3x02-8x0+5)(x-2).又切线过点(x0,x03-4x02+5x0-4),∴x03-4x02+5x0-2=(3x02-8x0+5)(x0-2),整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1,∴经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.导数f'(x【变式训练2】(1)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为().A.1B.2C.-1D.-2(2)设a∈R,函数f(x)=e x+ae x 的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP邀请码NJBHKZO，高佣联盟官方正版APP邀请码2548643【解析】(1)设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)的切点为(x0,y0),则y0=1+x0,y0=ln(x0+a).又y'=1x+a,所以y'|x=x0=1x0+a=1,即x0+a=1.又y0=ln(x0+a),所以y0=0,则x0=-1,所以a=2.(2)函数f(x)=e x+ae x 的导函数是f'(x)=e x-ae x.又f'(x)是奇函数,所以f'(x)=-f'(-x),即e x-ae x=-(e-x-a·e x),则e x(1-a)=e-x(a-1),所以(e2x+1)·(1-a)=0,解得a=1,所以f'(x)=e x-1e x.令e x-1e x=32,解得e x=2或e x=-12(舍去),所以x=ln2.【答案】(1)B(2)ln 2题型三导数运算的应用【例3】设点P,Q分别是曲线y=x e-x(e是自然对数的底数)和直线y=x+1上的动点,则P,Q两点间距离的最小值为().A.√22(2−1e) B.√2(2−1e)C.√22D.√2【解析】y'=e-x-x e-x=(1-x)e-x,令(1-x)e-x=1,得e x=1-x,e x+x-1=0,令h(x)=e x+x-1,显然h(x)是增函数,且h(0)=0,即方程e x+x-1=0只有一解x=0,曲线y=x e-x在x=0处的切线方程为y=x,故两条平行线x-y=0和x-y+1=0间的距离为d=√2=√22,即P,Q两点间距离的最小值为√22,故选C.【答案】C导数是研究函数问题的工具,解题时,要有运用导数的意识.【变式训练3】f(x)=x(2017+ln x),若f'(x0)=2018,则x0等于().A.e2B.1C.ln 2D.e【解析】f'(x)=2017+ln x+x×1x=2018+ln x,故由f'(x0)=2018得2018+ln x0=2018,则ln x0=0,解得x0=1.【答案】B方法一 化归转化思想在导数运算中的应用对于比较复杂的函数求导,若直接套用求导法则,计算过程繁琐冗长,且易出错.可先化简将其转化为基本初等函数,再求导,但要注意变形的等价性,避免不必要的失误.【突破训练1】求下列函数的导数. (1)y=√x 1−√x +√x1+√x;(2)y=x ln √2x . 【解析】(1)∵y=(1+√x)2+(1−√x)21−x =2(1+x)1−x =41−x -2,∴y'=4(1-x)2.(2)y=x ln (2x )12=12x ln 2x ,y'=(12xln2x)'=12[x'ln 2x+x (ln 2+ln x )']=12(ln 2x+1).方法二 求切线斜率的方法导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:(1)已知切点A (x 0,f (x 0)),求斜率k ,即求该点处的导数值:k=f'(x 0). (2)已知斜率k ,求切点A (x 1,f (x 1)),即解方程f'(x 1)=k.(3)若求过点P (x 0,y 0)的切线方程,可设切点为(x 1,y 1),由{y 1=f(x 1),y 0-y 1=f'(x 1)(x 0-x 1)求解即可.【突破训练2】已知函数f (x )=x ln x ,若直线l 过点(0,-1),并且与曲线y=f (x )相切,求直线l 的方程.【解析】∵点(0,-1)不在曲线f (x )=x ln x 上,∴设切点为(x 0,y 0).又∵f'(x )=1+lnx ,∴{y 0=x 0lnx 0,y 0+1=(1+lnx 0)x 0,解得x 0=1,y 0=0.∴切点为(1,0).又∵f'(1)=1+ln 1=1,∴直线l 的方程为y=x-1,即x-y-1=0.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码25486431.(2017海南八校一模)已知函数f (x )=axx 2+3,若f'(1)=12,则实数a 的值为( ).A .2B .4C .6D .8 【解析】函数f (x )=axx 2+3,则f'(x )=a(x 2+3)−ax(2x)(x 2+3)2,∵f'(1)=12,即f'(1)=4a -2a 16=12,∴a=4. 【答案】B2.(2017吉林白山二模)设f (x )存在导函数且满足lim Δx →0f(1)-f(1-2Δx)Δx =-2,则曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为( ).A .-1B .-2C .1D .2【解析】y=f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为f'(1)=lim Δx →0=f(1)-f(1-2Δx)2Δx =-1. 【答案】A3.(2017惠州模拟)已知函数f (x )=1x cos x ,则f (π)+f'(π2)=( ).A .-3π2 B .-1π2C .-3πD .-1π【解析】因为f'(x )=-1x 2cos x+1x (-sin x ),所以f (π)+f'(π2)=-1π+2π×(-1)=-3π. 【答案】C4.(2017江西南昌模拟)已知函数f (x )=ln √x 2+1,则f'(2)=( ).A .15B .25C .35D .45【解析】因为f (x )=ln √x 2+1=12ln (x 2+1),所以f'(x )=12×2x 1+x 2=x1+x 2,所以f'(2)=21+22=25,故选B .【答案】B5.(2017西宁复习检测)已知曲线y=x+1x -1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=( ).A .-2B .2C .-12D .12【解析】由y'=-2(x -1)2,得曲线在点(3,2)处的切线的斜率为-12.又因为切线与直线ax+y+1=0垂直,所以a=-2,故选A .【答案】A6.(2017河南郑州二模)设函数f (0)(x )=sin x ,定义f (1)(x )=f'[f (0)(x )],f (2)(x )=f'[f (1)(x )],…,f (n )(x )=f'[f (n-1)(x )],则f (1)(15°)+f (2)(15°)+…+f (2017)(15°)的值为( ).A .√6+√24B .√6-√24C .0D .1【解析】f 0(x )=sin x ,则f (1)(x )=cos x ,f (2)(x )=-sin x ,f (3)(x )=-cos x ,f (4)(x )=sin x ,f (5)(x )=cos x ,…,则f (1)(x )=f (5)(x )=f (9)(x )=…,即f (n )(x )=f (n+4)(x ),则f (n )(x )是周期为4的周期函数.又f (1)(x )+f (2)(x )+f (3)(x )+f (4)(x )=sin x+cos x-sin x-cos x=0,且2017=504×4+1,∴f (1)(15°)+f (2)(15°)+…+f (2017)(15°)=f (1)(15°)=cos 15°=cos (45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin45°sin 30°=√22×√32+√22×12=√6+√24.【答案】A7.(2017江西七校一模)已知函数f (x )=x 2+f'(2)(ln x-x ),则f'(4)= .【解析】f (x )=x 2+f'(2)(ln x-x ),则f'(x )=2x+f'(2)(1x -1),则f'(2)=4+f'(2)(12-1),∴f'(2)=83,∴f'(x )=2x+83(1x -1),∴f'(4)=6.【答案】68.(2017郑州第二次质检)如图,y=f (x )是可导函数,直线l :y=kx+2是曲线y=f (x )在x=3处的切线,令g (x )=xf (x ),其中g'(x )是g (x )的导函数,则g'(3)= .畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【解析】由题图可得曲线y=f (x )在x=3处的切线的斜率为-13,即f'(3)=-13.又因为g (x )=xf (x ),所以g'(x )=f (x )+xf'(x ),g'(3)=f (3)+3f'(3),由题图可知f (3)=1,所以g'(3)=1+3×(-13)=0.【答案】09.(2017保定一模)若函数f (x )=ln x+ax 的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a 的取值范围是 .【解析】函数f (x )=ln x+ax 的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线,即f'(x )=2在x ∈(0,+∞)上有解,而f'(x )=1x+a ,即1x+a=2在x ∈(0,+∞)上有解,a=2-1x,因为x>0,所以2-1x<2,所以a 的取值范围是(-∞,2).【答案】(-∞,2)10.(2017安徽安庆二模)给出定义:设f'(x )是函数y=f (x )的导函数,f″(x )是函数f'(x )的导函数,若方程f″(x )=0有实数解x 0,则称点(x 0,f (x 0))为函数y=f (x )的“拐点”.已知函数f (x )=3x+4sin x-cos x 的拐点是M (x 0,f (x 0)),则点M ( ).A .在直线y=-3x 上B .在直线y=3x 上C .在直线y=-4x 上D .在直线y=4x 上【解析】 f'(x )=3+4cos x+sin x ,f″(x )=-4sin x+cos x ,令f″(x )=0,则有4sin x 0-cos x 0=0,所以f (x 0)=3x 0,故拐点M (x 0,f (x 0))在直线y=3x 上.【答案】B11.(湖南衡阳八中2017适应性试卷)已知函数f (x )=ax 2+bx (a>0,b>0)的图象在点(1,f (1))处的切线的斜率为2,则8a+bab的最小值是( ).A .9B .10C .16D .25【解析】由f (x )=ax 2+bx ,得f'(x )=2ax+b.又因为f (x )=ax 2+bx (a>0,b>0)的图象在点(1,f (1))处的切线的斜率为2,所以f'(1)=2a+b=2,即a+b2=1.则8a+b ab =8b +1a=(a +b 2)(8b +1a )=8a b +b 2a+5≥2√8a b ·b2a+5=9,当且仅当{2a +b =2,8a b=b 2a,即{a =13,b =43时等号成立.所以8a+b ab的最小值是9. 【答案】A12.(2017北京东城区模考)已知M ,N 分别是曲线y=e x与直线y=e x-1上的点,则线段MN 的最小值为( ).A .1e 2+1B .√e 2+1e 2+1C .√e 2+1D .e【解析】设曲线y=e x在某点处的切线为l ,当切线l 与直线y=e x-1平行时,这两条平行直线间的距离就是所求的最小值.因为切线l 与直线y=e x-1平行,所以切线l 的斜率为e .设切点坐标为M (a ,b ),又曲线y=e x在点M (a ,b )处的切线的斜率为y'| x=a =e a,由e a=e ,得a=1,所以切点M 的坐标为(1,e ),故切线l 的方程为y-e=e (x-1),即e x-y=0. 又直线y=e x-1,即e x-y-1=0, 所以d=√2=√e 2+1e 2+1,即线段MN 的最小值为√e 2+1e 2+1.【答案】B13.(2017河北衡水一模)定义:如果函数f (x )在[a ,b ]上存在x 1,x 2(a<x 1<x 2<b )满足f'(x 1)=f(b)-f(a)b -a ,f'(x 2)=f(b)-f(a)b -a,那么称函数f (x )是[a ,b ]上的“双中值函数”.已知函数f (x )=x 3-x 2+a 是[0,a ]上的“双中值函数”,那么实数a 的取值范围是( ).A .(13,12)B .(32,3)C .(12,1)D .(13,1)【解析】由题意可知,在区间[0,a ]存在x 1,x 2(0<x 1<x 2<a ),满足f'(x 1)=f'(x 2)=f(a)-f(0)a=a 2-a , ∵f (x )=x 3-x 2+a ,∴f'(x )=3x 2-2x ,∴方程3x 2-2x=a 2-a 在区间(0,a )上有两个不相等的解.令g (x )=3x 2-2x-a 2+a (0<x<a ),则{Δ=4−12(−a 2+a)>0,g(0)=-a 2+a >0,g(a)=2a 2-a >0,0<13<a,解得12<a<1.∴实数a 的取值范围是(12,1).【答案】C14.(2017四川南充一诊)已知函数f (x )=sin (2x+θ),f'(x )是f (x )的导函数,若函数f (x )+f'(x )为奇函数,则tanθ= .【解析】∵f (x )=sin (2x+θ),∴f'(x )=2cos (2x+θ),畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643则f (x )+f'(x )=sin (2x+θ)+2cos (2x+θ).∵f (x )+f'(x )为奇函数,∴sin (-2x+θ)+2cos (-2x+θ)=-sin (2x+θ)-2cos (2x+θ),即-sin (2x-θ)+2cos (2x-θ)=-sin (2x+θ)-2cos (2x+θ),则-sin 2x cos θ+cos 2x sin θ+2cos 2x cos θ+2sin 2x sin θ=-sin 2x cos θ-cos 2x sin θ-2cos 2x cos θ+2sin 2x sin θ,得2cos 2x sin θ=-4cos 2x cos θ,解得sin θ=-2cos θ,即tan θ=-2, 【答案】-215.(2017辽宁葫芦岛模考)已知函数f (x )=ax 3+x 2+bx+2中a ,b 为参数,且曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y=6x-1,则f (-1)= .【解析】∵f (x )=ax 3+x 2+bx+2,∴f'(x )=3ax 2+2x+b ,∴f (1)=a+b+3,f'(1)=3a+b+2,故切线方程为y-(a+b+3)=(3a+b+2)(x-1),即y=(3a+b+2)x-2a+1. 而y=6x-1,则{3a +b +2=6,-2a +1=−1,解得{a =1,b =1,故f (x )=x 3+x 2+x+2,则f (-1)=1. 【答案】116.(2017河北唐山一中月考)已知函数f (x )=ax 3+3x 2-6ax-11,g (x )=3x 2+6x+12和直线m :y=kx+9,且f'(-1)=0. (1)求a 的值.(2)是否存在k ,使直线m 既是曲线y=f (x )的切线,又是曲线y=g (x )的切线?如果存在,求出k 的值;如果不存在,请说明理由.【解析】 (1)由已知得f'(x )=3ax 2+6x-6a ,因为f'(-1)=0,所以3a-6-6a=0,所以a=-2.(2)存在.由已知得直线m 恒过定点(0,9),若直线m 是曲线y=g (x )的切线,则设切点为(x 0,3x 02+6x 0+12).因为g'(x 0)=6x 0+6,所以切线方程为y-(3x 02+6x 0+12)=(6x 0+6)(x-x 0),将(0,9)代入切线方程,解得x 0=±1. 当x 0=-1时,切线方程为y=9; 当x 0=1时,切线方程为y=12x+9. 由(1)知f (x )=-2x 3+3x 2+12x-11,①由f'(x )=0得-6x 2+6x+12=0,解得x=-1或x=2.在x=-1处,y=f(x)的切线方程为y=-18,在x=2处,y=f(x)的切线方程为y=9,所以y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9.②由f'(x)=12得-6x2+6x+12=12,解得x=0或x=1.在x=0处,y=f(x)的切线方程为y=12x-11,在x=1处,y=f(x)的切线方程为y=12x-10,所以y=f(x)与y=g(x)的公切线不是y=12x+9.综上所述,y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9,此时k=0.§5.2定积分与微积分基本定理一定积分的几何意义∫baf(x)d x(f(x)>0)的几何意义:表示直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的的面积.二定积分的性质1.∫ba kf(x)d x=k∫baf(x)d x(k为常数).2.∫ba [f1(x)±f2(x)]d x=∫baf1(x)d x±∫baf2(x)d x.3.∫ba f(x)d x=∫caf(x)d x+∫bcf(x)d x(其中a<c<b).畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP邀请码NJBHKZO，高佣联盟官方正版APP邀请码2548643三微积分基本定理一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且F'(x)=f(x),那么∫baf(x)d x=,这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿-莱布尼兹公式.为了方便,常把F(b)-F(a)记作,即∫ba f(x)dx=F(x)|ba=F(b)-F(a).☞左学右考∫1(e x+2x)d x等于().A.1B.e-1C.eD.e+1定积分∫2-2|x2-2x|d x等于().A.5B.6C.7D.8若∫Tx2d x=9,则常数T的值为.已知质点的速率v=10t,求从t=0到t=2质点所经过的路程.知识清单一、曲边梯形三、F(b)-F(a)F(x)|ba基础训练1.【解析】∫10(e x+2x)d x=(e x+x2)|1=e+1-1=e.【答案】C2.【解析】∫2-2|x2-2x|d x=∫0-2(x2-2x)d x+∫2(2x-x2)d x=(13x3-x2)|-2+(x2-13x3)|2=8.【答案】D3.【解析】由∫T0x2d x=9得13(T3-0)=9,解得T=3.【答案】34.【解析】S=∫20v d t=∫210t d t=5t2|2=20.题型一定积分的计算【例1】(1)∫1-1(x2+sin x)d x;(2)∫31√3+2x-x2d x.【解析】(1)∫1-1(x2+sin x)d x=∫1-1x2d x+∫1-1sin x d x=2·∫1x2d x=2·x33|1=23.(2)由定积分的几何意义知,∫31√3+2x-x2d x表示圆(x-1)2+y2=4和x=1,x=3,y=0围成的图形的面积,∴∫31√3+2x-x2d x=14×π×4=π.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【变式训练1】∫ 1-1(x 2+√1−x 2)d x= .(2)设f (x )={x 2,x ∈(0,1],1x,x ∈(1,e)(e 为自然对数的底数),则∫ e0f (x )d x 的值为 .【解析】 (1)原式∫ 1-1x 2d x+∫ 1-1√1−x 2d x=13x 3| 1 -1+∫ 1-1√1−x 2d x=23+∫ 1-1√1−x 2d x ,∵∫ 1-1√1−x 2d x 等于半径为1的圆的面积的12,∴∫ 1-1√1−x 2d x=π2,故原式=π2+23.(2)∵f (x )={x 2,x ∈(0,1],1x,x ∈(1,e),∴∫ e0f (x )d x=∫ 10x 2d x+∫ e 11x d x=(13x 3)| 1 0+ln x | e 1=13+ln e =43.【答案】(1)π2+23(2)43题型二 定积分在平面几何中的应用【例2】求由曲线y=√x 、y=2-x 、y=-13x 所围成的图形的面积.【解析】画出草图,如图.解方程组{y =√x,x +y =2,{y =√x,y =−13x 及{x +y =2,y =−13x, 得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).所以S=∫ 10[√x -(-13x)]d x+∫ 31[(2-x)-(-13x)]d x=∫ 10(√x +13x)d x+∫ 31(2−x +13x)d x=(23x 32+16x 2)| 1 0+(2x -12x 2+16x 2)| 3 1=23+16+(2x -13x 2)| 3 1=56+6-13×9-2+13=136.利用定积分求曲边图形的面积时,一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时,要分不 【变式训练2】求抛物线y 2=2x 和直线y=-x+4所围成的图形的面积.【解析】先求抛物线和直线的交点,解方程组{y 2=2x,y =−x +4,得交点坐标为A (2,2)和B (8,-4).选取x 为积分变量,变化区间为[0,8],将图形分割成两部分(如图),则面积为S=S 1+S 2=2∫ 20√2x d x+∫ 82(√2x -x+4)d x=4√23x 32| 2+2√23x 32-12x 2+4x | 82=18.题型三 定积分在物理中的应用【例3】一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v (t )=7-3t+251+t (t 的单位:s ,v 的单位:m/s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m )是( ).A .1+25ln 5B .8+25ln 113C .4+25ln 5D .4+50ln 2【解析】令v (t )=0,得t=4或t=-83(舍去),∴汽车继续行驶的距离S=∫ 40(7−3t +251+t)d t=7t-32t 2+25ln (1+t )| 4=28-24+25ln 5=4+25ln 5.【答案】C畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP邀请码NJBHKZO，高佣联盟官方正版APP邀请码2548643定积分在物理中的两个应用:【变式训练3】一物体在力F(x)={5,0≤x≤2,3x+4,x>2(单位:N)的作用下沿与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F(x)做的功为J.【解析】由题意知,力F(x)所做的功为W=∫40F(x)d x=∫25d x+∫42(3x+4)d x=5×2+(32x2+4x)|42=10+[32×42+4×4−(32×22+4×2)]=36(J).【答案】36方法计算定积分的方法(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差,用积分性质求积分.(2)根据定积分的几何意义,转化为求封闭图形的面积.【突破训练】用min{a,b}表示a,b两个数中的较小的数,设f(x)=min{x2,√x},那么由函数y=f(x)的图象、x轴、直线x=12和直线x=4所围成的封闭图形的面积为.【解析】由题意知,所求图形的面积为如图所示的阴影部分的面积,即所求的面积S=∫ 112x2d x+∫ 41√x d x=13x 3| 112+23x 32| 4 1=13-13×18+(163-23)=11924.【答案】119241.(2017山东模拟)若f (x )=x+2∫ 10f (t )d t ,则f (x )=( ).A .2x-1B .2x+1C .x+1D .x-1【解析】记a=∫ 10f (t )d t ,则f (x )=x+2a ,故∫ 10f (x )d x=∫ 10(x+2a )d x=12+2a ,所以a=12+2a ,a=-12,故f (x )=x-1. 【答案】D2.(2017广东汕头模拟)已知等比数列{a n }中,a 5+a 7=∫ 2-2√4−x 2d x ,则a 6(a 4+2a 6+a 8)的值为( ).A .16π2B .4π2C .2π2D .π2【解析】∵∫ 2-2√4−x 2d x 表示以原点为圆心,2为半径的圆的面积的二分之一,∴∫ 2-2√4−x 2d x=12π×4=2π,∴a 5+a 7=2π.∵{a n }为等比数列,∴a 6(a 4+2a 6+a 8)=a 6a 4+2a 62+a 6a 8=a 52+2a 5a 7+a 72=(a 5+a 7)2=4π2.【答案】B3.(2017江西南昌模拟)若a=∫ 20x 2d x ,b=∫ 20x 3d x ,c=∫ 20sin x d x ,则a ,b ,c 的大小关系是( ).A .a<c<bB .a<b<cC .c<b<aD .c<a<b【解析】因为a=∫ 20x 2d x=13x 3| 2 0=83,b=∫ 20x 3d x=14x 4| 2 0=4,c=∫ 20sin x d x=(-cos x )| 2=1-cos 2<2,所以c<a<b.【答案】D畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码25486434.(2017广西南宁二模)定义min {a ,b }={a,a ≤b,b,a >b,设f (x )=min {x 2,1x },则由函数f (x )的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为( ).A .712B .512C .13+ln 2D .16+ln 2【解析】由1x =x 2,得x=1,又当x<0时,1x<x 2,所以根据新定义有f (x )=min x2,1x={x 2,0<x ≤1,1x,x <0或x >1.函数f (x )的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形为图中阴影部分(如图), 则其面积为S=∫ 10x 2d x+∫ 211x d x=13x 3| 1 0+ln x | 2 1=13+ln 2.【答案】C5.(2017湖南衡阳一模)下列4个不等式:①∫ 10√x d x<∫ 10√x 3d x ; ②∫ π40sin x d x<∫ π40cos x d x ; ③∫ 10e -x d x<∫ 10e -x 2d x ; ④∫ 20sin x d x<∫ 20x d x.其中,正确的个数为( ).A .1B .2C .3D .4【解析】①∵x ∈(0,1),∴√x <√x 3,∴∫ 10√x d x<∫ 10√x 3d x ;②∵x ∈[0,π4],∴sin x<cos x ,∴∫ π40sin x d x<∫ π40cos x d x ; ③∵x ∈(0,1),∴e -x <e -x 2,∴∫ 10e -x d x<∫ 10e -x 2d x ;④∵∫20sin x d x=-cos x|2=1-cos 2∈(1,2),∫2x d x=12x2|2=2,∴∫2sin x d x<∫2x d x.综上可知,正确的个数为4.【答案】D6.(2017安徽合肥期中)物体A以速度v=3t2+1(单位:m/s)在一直线l上运动,物体B在直线l上,且在物体A的正前方5 m处,同时以v=10t的速度与A同向运动,出发后物体A追上物体B所用的时间为().A.3B.4C.5D.6【解析】因为物体A在t s内行驶的路程为∫t0(3t2+1)d t,物体B在t s内行驶的路程为∫t10t d t,所以∫t 0(3t2+1-10t)d t=(t3+t-5t2)|t=t3+t-5t2=5,即(t-5)(t2+1)=0,所以t=5.【答案】C7.(2017天津市红桥区期中)如图,由抛物线y2=x和直线x=1所围成的图形的面积等于().A.1B.43C.23D.13【解析】由抛物线y2=x和直线x=1所围成的图形的面积等于2∫10√x d x=2×23x32|1=43.【答案】B8.(2017山东烟台期中)曲线y=x3与直线y=x所围成的图形的面积为().A.13B.12C.1D.2【解析】曲线y=x3与直线y=x的交点坐标为(0,0),(1,1),(-1,-1).曲线y=x3与直线y=x在第一象限所围成的图形的面积是∫10(x-x3)d x=(12x2-14x4)|1=12-14-0=14.由y=x3与y=x都是奇函数,可知它们在第三象限的面积与第一象限的面积相等.所以曲线y=x3与y=x所围成的图形的面积为12,故选B.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【答案】B9.(2017山东联考)由曲线y=x 3与y=√x 围成的封闭图形的面积是 .【解析】如图,在同一平面直角坐标系内画出y=x 3与y=√x 的图象,则封闭图形的面积S=∫ 10(√x -x 3)d x=(23x 32-14x 4)| 1=23-14=512.【答案】51210.(2017山西晋中月考)如图,矩形OABC 内的阴影部分由曲线f (x )=sin x 及直线x=a (a ∈(0,π))与x 轴围成.向矩形OABC 内随机掷一点,该点落在阴影部分的概率为38,则a= .【解析】根据题意,阴影部分的面积为∫ a 0sin x d x=-cos x | a 0=1-cos a ,矩形的面积为a ·4a =4.由几何概型的概率公式可得1−cosa 4=38, 即cos a=-12,又a ∈(0,π),∴a=2π3.【答案】2π311.(2017广东湛江二模)曲线y=2x与直线y=x-1及x=1所围成的封闭图形的面积为( ).A .2-ln 2B .2ln 2-12C .2+ln 2D .2ln 2+12【解析】联立方程组{y =2x ,y =x -1,解得x=2,y=1,则曲线y=2x与直线y=x-1及x=1所围成的封闭图形的面积为S=∫ 21(2x -x +1)d x=(2ln x-12x 2+x )| 2 1=(2ln 2-2+2)-(0-12+1)=2ln 2-12.【答案】B12.(2017邯郸一模)如图,在边长为2的正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,则过C 、M 、D 三点的抛物线与CD 围成的阴影部分的面积是( ).A .23B .43C .52D .83【解析】由题意,建立平面直角坐标系,如图所示,则D (2,1),设抛物线方程为y 2=2px ,代入D ,可得p=14,∴y=√12x ,∴S=2∫ 20√12x d x=√2·23x 32| 2 0=83,故选D .【答案】D畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码254864313.(2017哈尔滨六中一模)设函数f (x )是R 上的奇函数,f (x+π)=-f (x ),当0≤x ≤π2时,f (x )=cos x-1,则当-2π≤x ≤2π时,f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积为( ).A .4π-8B .2π-4C .π-2D .3π-6【解析】由f (x+π)=-f (x ),得f (x+2π)=f (x ),即函数的周期是2π.若-π2≤x ≤0,则0≤-x ≤π2,即f (-x )=cos (-x )-1=cos x-1.∵f (x )是R 上的奇函数,∴f (-x )=cos x-1=-f (x ),即f (x )=1-cos x ,-π2≤x ≤0.∵函数的周期是2π,∴当3π2<x ≤2π时,-π2<x-2π≤0,即f (x )=f (x-2π)=1-cos (x-2π)=1-cos x.当π2<x ≤π时,-π2<x-π≤0,即f (x )=-f (x-π)=cos (x-π)-1=-cos x-1,当π<x ≤3π2时,0≤x-π≤π2,即f (x )=-f (x-π)=-cos (x-π)+1=cos x+1,综上,f (x )={ cosx -1,0≤x ≤π2,-cosx -1,π2<x ≤π,cosx +1,π<x ≤3π2,1−cosx,3π2<x ≤2π.则由定积分的公式和性质可知,当-2π≤x ≤2π时,f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积S=2∫ 2π0f (x )d x=4∫ π0f (x )d x=8∫ π20|f (x )|d x=8∫ π20|(cos x-1)|d x=8∫ π20(1-cos x )d x=8(x-sin x )| π2 0=4π-8.【答案】A14.(2016山东济南二模)已知曲线y=1x与直线x=1,x=3,y=0围成的封闭区域为A ,直线x=1,x=3,y=0,y=1围成的封闭区域为B ,在区域B 内任取一点P ,该点P 落在区域A 的概率为 .【解析】由题意,A 对应区域的面积为∫ 311x d x=ln x | 31=ln 3,B 对应区域的面积为2,由几何概型的公式得所求概率为ln32. 【答案】ln3215.(2017山东德州期中)设函数f (x )对x ≠0的实数满足f (x )-2f (1x)=-3x+2,那么∫ 21f (x )d x= .【解析】∵函数f (x )对x ≠0的实数满足f (x )-2f (1x)=-3x+2,∴{f(x)-2f (1x )=−3x +2,f (1x)-2f(x)=-3x+2,解得f (x )=x+2x-2, ∴∫ 21f (x )d x=∫ 21x d x+∫ 212x d x-∫ 212d x=x 22| 21+2ln x | 2 1-2x | 2 1=2ln 2-12.【答案】2ln 2-1216.(2017江西南昌模拟)已知函数y=f (x )的图象是折线段ABC ,其中A (0,0)、B (12,5)、C (1,0),则函数y=xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为 .【解析】当0≤x ≤12时,线段AB 的方程为y=10x ;当12<x ≤1时,线段BC 方程为y -05−0=x -112-1,整理得y=-10x+10,即f (x )={10x,0≤x ≤12,-10x+10,12<x ≤1,∴y=xf (x )={10x 2,0≤x ≤12,-10x 2+10x,12<x ≤1,故函数y=xf (x )(0≤x ≤1)与x 轴围成的图形的面积为S=∫ 12010x 2d x+∫ 112(-10x 2+10x )d x=103x 3| 12+(-103x 3+5x 2)|1 12=54.【答案】54。

2022版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用45分钟 100分一、选择题每小题6分，共36分能拉长弹簧1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，需做功A JB JC JD J＝2与＝所围成图形的面积，其中正确的是AS＝∫错误!2－d BS＝∫错误!－2dCS＝∫错误!2－d DS＝∫错误!－错误!d32022·珠海模拟错误!d等于A－2n2 B2n2 C－n2 Dn242022·韶关模拟由曲线＝2，＝3围成的封闭图形的面积为A错误! B错误! C错误! D错误!＝e，＝2，＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择为积分变量，则积分区间为A[0，e2] B[0,2] C[1,2] D[0,1]6给出如下命题：①∫错误!d＝∫错误!dt＝b－aa，b为常数且a0与直线＋－6＝0及＝0所围成的图形的面积【解析】由题意，作出图形如图所示，解方程组错误!，得错误!或错误!舍去，所以2＝8>0与直线＋－6＝0的交点为2,4，所以所求面积为S＝∫错误!错误!d＋∫错误!6－d＝错误!×错误!|错误!＋6－错误!2|错误!＝错误!＋[6×6－错误!×62－6×2－错误!×22]＝错误!＋8＝错误!11【解析】1由＝a2＋b通过点1,2可得a＋b＝2，即b＝2－a，由＝a2＋b与＝－2＋2联立方程组，解得1＝错误!⎰[a2＋b－－2＋2]d则＝a2＋b与＝－2＋2所围的面积S与a的函数关系为S＝1x⎰[a2＋2－a－－2＋2]d＝1x＝[错误!a＋13－错误!a2]|1x＝错误!a＋1错误!3－错误!a错误!2＝－错误!2求导可得S′＝－错误!·错误!＝－错误!·错误!＝－错误!·错误!由S′>0得－3<a<－1，由S′<0得－1<a<0或a<－3，所以当a＝－3时，S取得极小值，即最小值此时b＝2－a＝5，最小值S－3＝错误!【探究创新】【解析】面积S1等于边长为t与t2的矩形的面积去掉曲线＝2与轴、直线＝t围成的面积，即S1＝t·t2－∫错误!2d＝错误!＝2与轴、＝t，＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2，1－t，即S2＝∫错误!2d－t21－t＝错误!t3－t2＋错误!所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝错误!t3－t2＋错误!0≤t≤1，由S′t＝4t2－2t＝4tt－错误!＝0，得t＝0或t＝错误!经验证知，当t＝错误!时，S最小。

2022年高中数学选择性必修第二册第2课时 导数的几何意义学习目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一 导数的几何意义 1．割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，直线AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 知识点二 导函数的定义从求函数f (x )在x ＝x 0处导数的过程可以看出，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个唯一确定的数．这样，当x 变化时，y ＝f ′(x )就是x 的函数，我们称它为y ＝f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数记作f ′(x )或y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx.特别提醒：区别联系f ′(x 0) f ′(x 0)是具体的值，是数值 在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一f ′(x )f ′(x )是函数f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值1．函数在某点处的导数f ′(x 0)是一个常数．( √ )2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．( √ ) 3．函数f (x )＝0没有导数．( × )4．直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点．( × )一、求切线方程例1 已知曲线C ：y ＝f (x )＝x 3＋x . (1)求曲线C 在点(1,2)处切线的方程；(2)设曲线C 上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围． 解 因为Δy Δx ＝(x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－x 3－xΔx ＝3x 2＋3x ·Δx ＋1＋(Δx )2，所以f ′(x )＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋1＋(Δx )2]＝3x 2＋1. (1)曲线C 在点(1,2)处切线的斜率为k ＝f ′(1)＝3×12＋1＝4.所以曲线C 在点(1,2)处的切线方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.(2)曲线C 在任意一点处切线的斜率为k ＝f ′(x )＝tan α， 所以tan α＝3x 2＋1≥1. 又α∈[0，π)， 所以α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2.反思感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 答案 －3解析 ∵y ′|x ＝2＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx ＝lim Δx →0 (4＋Δx )＝4， ∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3. ∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3. 二、求切点坐标例2 过曲线y ＝x 2上某点P 的切线满足下列条件，分别求出P 点． (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)与x 轴成135°的倾斜角． 解 f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， 设P (x 0，y 0)是满足条件的点． (1)∵切线与直线y ＝4x －5平行， ∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4， 即P (2,4)是满足条件的点．(2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， ∴2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝⎛⎭⎫－32，94是满足条件的点． (3)∵切线与x 轴成135°的倾斜角， ∴其斜率为－1.即2x 0＝－1， 得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14是满足条件的点． 反思感悟 求切点坐标的一般步骤 (1)设出切点坐标．(2)利用导数或斜率公式求出斜率．(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标．(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．跟踪训练2 已知曲线f (x )＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线g (x )＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，求x 0的值． 解 对于曲线f (x )＝x 2－1， k 1＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝2x 0.对于曲线g (x )＝1－x 3， k 2＝lim Δx →0g (x 0＋Δx )－g (x 0)Δx＝lim Δx →0 1－(x 0＋Δx )3－(1－x 30)Δx ＝－3x 20. 由题意得2x 0＝－3x 20， 解得x 0＝0或x 0＝－23.经检验，均符合题意．三、利用图象理解导数的几何意义例3 已知函数f (x )的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 答案 C 解析 k AB ＝f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)， f ′(2)为函数f (x )的图象在点B (2，f (2))处的切线的斜率， f ′(3)为函数f (x )的图象在点A (3，f (3))处的切线的斜率， 根据图象可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．反思感悟 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．(1)曲线f (x )在x 0附近的变化情况可通过x 0处的切线刻画．f ′(x 0)>0说明曲线在x 0处的切线的斜率为正值，从而得出在x 0附近曲线是上升的；f ′(x 0)<0说明在x 0附近曲线是下降的． (2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．跟踪训练3 若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )答案 A解析 依题意，y ＝f ′(x )在[a ，b ]上是增函数，则在函数f (x )的图象上，各点的切线的斜率随着x 的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A 满足．过某点的曲线的切线典例 求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．解 设切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)， 则切线的斜率为k ＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx ＝2x 0＋1.又k ＝(x 20＋x 0＋1)－0x 0－(－1)＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，∴2x 0＋1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1.解得x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过(－1,0)的切线方程为 y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0. 故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0.[素养提升] (1)首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点． (2)过点(x 1，y 1)与曲线y ＝f (x )相切的直线方程的求法步骤 ①设切点(x 0，f (x 0))． ②建立方程f ′(x 0)＝y 1－f (x 0)x 1－x 0.③解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．(3)本例考查了切线的含义及切线方程的求法．体现了直观想象和数学运算的数学核心素养．1．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)等于( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2 答案 D解析 由导数的几何意义知f ′(1)＝2. 2．(多选)下面说法不正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在 答案 ABD解析 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0，y 0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A ，B ，D 错误．3．曲线f (x )＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120° 答案 C解析 f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝9lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝－9lim Δx →0 1(x ＋Δx )x ＝－9x 2，所以f ′(3)＝－1.又切线的倾斜角α的范围为0°≤α<180°，所以所求倾斜角为135°. 4．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________． 答案 (3,30)解析 令f (x )＝2x 2＋4x ，设点P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx ＝4x 0＋4， 令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30)．5．已知直线y ＝4x ＋a (a <0)和曲线y ＝x 3－2x 2＋3相切，则切点坐标为________，实数a 的值为________． 答案 (2,3) －5解析 设直线与曲线相切于点P (x 0，y 0)，则f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx＝3x 2－4x . 由导数的几何意义，得k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)． 当切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝⎛⎭⎫－23＋a ， ∴a ＝12127(舍去)．当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5， 因此切点坐标为 (2,3)，a 的值为－5.1．知识清单： (1)导数的几何意义． (2)导函数的概念． (3)切线方程．2．方法归纳：方程思想、数形结合．3．常见误区：切线过某点，这点不一定是切点．1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案 B解析 因为f ′(x 0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0. 2．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则在点A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 答案 C解析 k ＝y ′|x ＝2＝lim Δx →0 2(2＋Δx )2－2×22Δx＝8. 3．若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －4＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0 答案 A解析 设切点为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4， 即f ′(x 0)＝2x 0＝4，所以x 0＝2.所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0，故选A.4．已知函数f (x )满足f ′(x 1)>0，f ′(x 2)<0，则在x 1和x 2附近符合条件的f (x )的图象大致是( )答案 D解析 由f ′(x 1)>0，f ′(x 2)<0可知，f (x )的图象在x 1处切线的斜率为正，在x 2处切线的斜率为负．5．(多选)下列各点中，在曲线y ＝x 3－2x 上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)答案 BC解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，则0=|x x y'＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )－(x 30－2x 0)Δx＝3x 20－2＝tan π4＝1， 所以x 0＝±1， 当x 0＝1时，y 0＝－1. 当x 0＝－1时，y 0＝1.6．已知函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝2＝________. 答案 3解析 因为直线3x －y －2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y ′|x ＝2＝3.7．已知f (x )＝x 2＋ax ，f ′(1)＝4，曲线f (x )在x ＝1处的切线在y 轴上的截距为－1，则实数a 的值为________． 答案 2解析 由导数的几何意义，得切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4. 又切线在y 轴上的截距为－1，所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝4x －1， 从而可得切点坐标为(1,3)， 所以f (1)＝1＋a ＝3，即a ＝2.8．设f (x )存在导函数，且满足lim Δx →0 f (1)－f (1－2Δx )2Δx＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为______． 答案 －1 解析 lim Δx →0f (1)－f (1－2Δx )2Δx ＝lim Δx →0 f (1－2Δx )－f (1)－2Δx＝f ′(1)＝－1.9．在抛物线y ＝x 2上哪一点处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？解 y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . 设抛物线上点P (x 0，y 0)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0， 则0=|x x y'＝2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝x 20＝4，即P (2,4)，经检验，符合题意．设抛物线上点Q (x 1，y 1)处的切线垂直于直线4x －y ＋1＝0， 则1=|x x y'＝2x 1＝－14，解得x 1＝－18，所以y 1＝x 21＝164，即Q ⎝⎛⎭⎫－18，164，经检验，符合题意． 故抛物线y ＝x 2在点(2,4)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0，在点⎝⎛⎭⎫－18，164处的切线垂直于直线4x －y ＋1＝0.10．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2，求直线l 2的方程． 解 因为y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－(x 2＋x －2)Δx ＝2x ＋1， 所以y ′|x ＝1＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3， 设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)， 则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)． 因为l 1⊥l 2，所以2x 0＋1＝－13，x 0＝－23，所以直线l 2的方程为3x ＋9y ＋22＝0.11．若曲线y ＝x ＋1x 上任意一点P 处的切线斜率为k ，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)答案 C解析 y ＝x ＋1x 上任意一点P (x 0，y 0)处的切线斜率为k ＝0=|x x y'＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )＋1x 0＋Δx －⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0Δx＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫1－1x 20＋x 0Δx ＝1－1x 20<1. 即k <1.12．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 2解析 由题意知a ＋b ＝3，又y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2＋b －(a ＋b )Δx ＝2a ＝2， ∴a ＝1，b ＝2.13．若点P 是抛物线y ＝x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________． 答案728解析 由题意可得，当点P 到直线y ＝x －2的距离最小时，点P 为抛物线y ＝x 2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y ＝x －2，设y ＝f (x )＝x 2，由导数的几何意义知y ′＝f ′(x )＝ lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝2x ＝1，解得x ＝12，所以P ⎝⎛⎭⎫12，14，故点P 到直线y ＝x －2的最小距离为d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.14．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，在点P 处的切线恰好过坐标原点，则实数c 的值为________． 答案 4 解析 y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝2x －1， 在点P 处的切线斜率为2×(－2)－1＝－5. 因为点P 的横坐标是－2， 所以点P 的纵坐标是6＋c ，第 11 页 共 11 页 故直线OP 的斜率为－6＋c 2， 根据题意有－6＋c 2＝－5，解得c ＝4.15．已知函数f (x )＝x 3，过点P ⎝⎛⎭⎫23，0作曲线f (x )的切线，则其切线方程为________________．答案 y ＝0或3x －y －2＝0解析 设切点为Q (x 0，x 30)，得切线的斜率为k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－x 30Δx＝3x 20， 切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.因为切线过点P ⎝⎛⎭⎫23，0，所以2x 20－2x 30＝0， 解得x 0＝0或x 0＝1，从而切线方程为y ＝0或3x －y －2＝0.16．点P 在曲线f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标．解 设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1，f ′(x 0)＝lim Δx →0＝(x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx＝2x 0， 所以过点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x 20，而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1， 得2x 2＋2x 0x ＋2－x 20＝0，则Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0，解得x 0＝±233，则y 0＝73， 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫233，73或⎝⎛⎭⎫－233，73.。

2022高考数学必考知识点：导数的应用在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上为增函数.f′(x)≤0?f(x)在(a，b)上为减函数.1、f′(x)>0与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不肯定.如函数f(x)=x3在(-∞，+∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件.2、可导函数的极值点必需是导数为0的点，但导数为0的点不肯定是极值点，即f′(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处有y′|x=0=0，但x=0不是极值点.此外，函数不行导的点也可能是函数的极值点.3、可导函数的极值表示函数在一点四周的状况，是在局部对函数值的比拟;函数的最值是表示函数在一个区间上的状况，是对函数在整个区间上的函数值的比拟.二、函数的极值1、函数的微小值：函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a四周其它点的函数值都小，f′(a)=0，而且在点x=a四周的左侧f′(x)0，则点a叫做函数y=f(x)的微小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的微小值.2、函数的极大值：函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b四周的其他点的函数值都大，f′(b)=0，而且在点x=b四周的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.微小值点，极大值点统称为极值点，极大值和微小值统称为极值.三、函数的最值1、在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有值与最小值.2、若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的值;若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的值，f(b)为函数的最小值.四、求可导函数单调区间的一般步骤和方法1、确定函数f(x)的定义域;2、求f′(x)，令f′(x)=0，求出它在定义域内的一切实数根;3、把函数f(x)的连续点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的挨次排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;4、确定f′(x)在各个开区间内的符号，依据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.五、求函数极值的步骤1、确定函数的定义域;2、求方程f′(x)=0的根;3、用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格;4、由f′(x)=0根的两侧导数的符号来推断f′(x)在这个根处取极值的状况.六、求函数f(x)在[a，b]上的值和最小值的步骤1、求函数在(a，b)内的极值;2、求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b);3、将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比拟，其中的一个为值，最小的一个为最小值.。

高中数学 微积分一、导数1．导数的定义定义：设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限()()00limx x f x f x x x →--存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限值为函数f 在点0x 处的导数，记为()0f x '（或000|||x x x x x x dy dfy dx dx==='，，）．若令0x x x =+∆，()()00y f x x f x ∆=+∆-，则()()00limx x f x f x x x →--可改写为()()()0000limx f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆．所以，导数是函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比的极限．这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数()0f x '则为f 在0x 处关于x 的变化率．若()()00limx x f x f x x x →--极限不存在，则称f 在点0x 处不可导．2．导函数若函数在区间I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称f 为I 上的可导函数．此时，对每一个x I ∈，都有f 的一个导数()f x '（或单侧导数）与之对应，这样就定义了一个在I 上的函数，称为f 在I 上的导函数，也简称为导数，记为f '或y '，即()()()limx f x x f x f x x I x∆→+∆-'=∈∆，．3．导数的几何意义函数f 在点0x 处的导数()0f x '是曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线斜率．曲线()y f x =在点()00x y ，处的切线方程为()()000y y f x x x '-=-．4．求导法则 （1）基本求导法则 ①()u v u v '''±=±；②()uv u v uv '''=+，()cu cu ''=（c 为常数）；③2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭，21v v v ''-⎛⎫= ⎪⎝⎭； ④反函数导数 1dy dxdx dy =；⑤复合函数导数dy dy dudx du dx=⋅． （2）基本初等函数导数公式 ①()0c '=（c 为常数）；②()1x x ααα-'=（α为任意实数）； ③()sin cos x x '=，()cos sin x x '=-； ④()2tan sec x x '=，()2cot csc x x '=-，()sec sec tan x x x '=，()csc csc cot x x x '=-；⑤ ()ln x x a a a '=，()x x e e '=． ⑥()1log ln a x x a '=，()1ln x x'=． 5．导数的应用 （1）判断函数单调性定理：设函数()f x 在区间I 上可导，则()f x 在I 上递增（减）的充要条件是()()00f x '≥≤．推论：设函数()f x 在区间I 上可导，若()()00f x '><，则()f x 在区间I 上严格递增（严格递减）．（2）函数的极值定义：若函数()f x 在点0x 的某邻域()0U x 内对一切()0x U x ∈有()()()()()00f x f x f x f x ≥≤，则称函数()f x 在点0x 取得极大（小）值，称点0x 为极大（小）值点．极大值和极小值统称为极值；极大值点和极小值点统称为极值点．（3）最值对于闭区间[],a b 上的连续函数()f x ，我们只要比较f 在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到f 在区间[],a b 上的最大值与最小值．二、定积分1.定义：设f 是定义在[]a b ，上的一个函数，J 是一个确定的实数．若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[]a b ，的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{}i ξ，只要T δ<，就有()1niii f x Jξε=∆-<∑，则称函数f 在区间[]a b ，上可积或黎曼可积；数J 称为f 在区间[]a b ，上的定积分或黎曼积分，记为()baJ f x dx =⎰，其中f 称为被积函数，x 称为积分变量，[]a b ，称为积分区间，,a b分别称为这个定积分的下限和上限．牛顿—莱布尼茨公式：若函数f 在[]a b ，上连续，且存在原函数F ，即()()F x f x '=，[]x a b ∈，，则f 在[],a b 上可积，且()()()ba f x dx Fb F a =-⎰，这称为牛顿—莱布尼茨公式，它也常写为()()|bb a a f x dx F x =⎰．2.几何意义：对于[],a b 上的连续函数f ，当()0f x ≥，[]x a b ∈，，定积分的几何意义就是()y f x =，x a =，x b =，0y =所围成的曲边梯形的面积；当()0f x ≤，[]x a b ∈，时，这时()ba J f x dx =--⎡⎤⎣⎦⎰是位于x 轴下方的曲边梯形面积的相反数，不妨称之为“负面积”；对于一般非定号的()f x 而言，定积分J 的值则是曲线()y f x =在x 轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和．3.性质：性质1：若f 在[],a b 上可积，k 为常数，则kf 在[]a b ，上也可积，且()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰．性质2：若f 、g 都在[],a b 上可积，则f g ±在[]a b ，上也可积，且()()()()bb baa a f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰．性质3：若f 、g 都在[]a b ，上可积，则f g ⋅在[]a b ，上也可积．性质4：f 在[],a b 上可积的充要条件是：任给(),c a b ∈，f 在[]a b ，与[]a b ，上都可积．此时又有等式()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰．性质5：设f 为[],a b 上的可积函数．若()0f x ≥，[],x a b ∈，则()0baf x dx ≥⎰．性质6：若f 在[],a b 上可积，则f 在[]a b ，上也可积，且()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰．性质7：（积分第一中值定理）若f 在[]a b ，上连续，则至少存在一点[]a b ξ∈，，使得()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰．性质8：设f 在[]a b ，上连续，若()()xaF x f t dt =⎰，[],x a b ∈则()F x 在[]a b ，上处处可导．4.定积分的应用①求平面图形的面积：由连续曲线()(0)y f x =≥以及直线x a =，()x b a b =<，0y =所围成的曲边梯形的面积为()bbaaA f x dx ydx ==⎰⎰，如果f 在[]a b ，上不都是非负的，则所围成图形的面积为()b baaA f x dx y dx ==⎰⎰．一般地，由上、下两条连续曲线()2y f x =与()1y f x =以及两条直线x a =，()x b a b =<所围成的平面图形的面积为()()21ba A f x f x dx =-⎡⎤⎣⎦⎰． 三、例题选讲例1 求下列函数的导数．（1）x x x y ++=35； （2）x x y cos sin +=； （3）xxy +=1； （4）13cos 2++=x x x y ． 解析：根据求导法则及四则运算进行求解．（1）()()1352435++='+'+'='x x x x x y ；（2）()()x x x x y sin cos cos sin -='+'='；（3）()()()()22111111x x x x x x x x y +=+'+-+'='⎪⎭⎫ ⎝⎛+='； （4）()()3sin cos 23cos cos 222+-=+'+'='x x x x x x x x y ．例2 求过曲线x y ln 2=上点()2，e A 处的切线方程． 解析：利用导数的几何意义得到切线斜率是解题关键．()xx y 2ln 2='=' ，由导数的几何意义，曲线在点()2，e A 处的斜率ex k e x 2|2===，故所求的切线方程为()e x ey -=-22，即02=-ey x ． 例3 求8224+-=x x y 的单调区间．解析：令()()()0114144423=-+=-=-='x x x x x x x y ，得01=x ，12-=x ，13=x ，列表如下：所以()x f 在区间()01，-，()∞+，1上单调递增；在区间()1-∞-，，()10，上单调递减．例4 已知函数()c bx x x x f ++-=2321．（1）若()x f 有极值，求b 的取值范围；（2）若()x f 在1=x 处取得极值，当[]21，-∈x 时，()2c x f <恒成立，求c 的取值范围；（3）若()x f 在1=x 处取得极值时，证明：对[]21，-内的任意两个值1x ，2x ，都有()()2721≤-x f x f ．解析：（1）()b x x x f +-='23，令()0='x f ，由0>∆，得0121>-b ，即121<b ； （2）因为()x f 在1=x 处取得极值，故()01='f ，即013=+-b ，得2-=b ，令()0='x f ，得321-=x ，12=x ，当x 的取值为32-，1，1-，2时，经比较，当2=x 时，()c x f +=2max ，所以22c c <+，解得2>c 或1-<c ；（3）可以计算得()c x f +=2max ，()c x f +-=23min ，所以对[]21，-内的任意两个值1x ，2x ，都有()()2723221=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+≤-c c x f x f ．例5 计算：（1）()dx x ⎰+1022；（2）()dx x x ⎰+20cos π；（3）()dx bx ax ⎰+212，其中a ，b 为实数．解析：（1）()37231|231210312=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎰x x dx x ； （2）()18|sin 21cos 220220+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎰πππx x dx x x ；（3）()233723238|232123212b a b a b a x b x adx bx ax +=--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎰． 例6 计算由曲线2x y =与x y =2所围成的图形的面积． 解析：如图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==，，x y x y 22得交点横坐标为0=x 及1=x ．．曲边梯形曲边梯形313132|31|3210310231021=-=-=-=-=∴⎰⎰x x dx x dx x S S S OABD OABC。