全通滤波器的零极点关系

滤波器传输函数的零极点
滤波器传输函数的零极点
一、关于零点
零点描述的是相位特性。

1、线性滤波器。

它们的零点都是关于单位圆镜像对称，并且关于实轴对称。

2、最小、最大相位传输函数。

当所有零点都在单位圆内，就是最小相位传输函数。

当所有零点都在单位圆外，就是最大相位传输函数。

当零点既在单位圆外也在单位圆内，就是混合相位传输函数。

3、当有两个函数：最大相位函数H1和最小相位函数的H2
当H1的零点与H2的零点镜像对称时，它们具有相同的幅度响应，因为H1(z)*H1(z^-1)=H2(z)*H2(z^-1)。

而此时最大相位函数的相位比最小相位函数的相位滞后了π。

二、关于极点
极点描述的是滤波器的稳定特性。

ROC：收敛域
BIBO：输入输出有界。

1、当传输函数是因果序列，也就是右边序列，若所有极点都在单位圆内时，BIBO稳定。

否则，不是稳定系统。

2、当传输函数是反因果序列，也就是左边序列，若所有极点都在单位圆外时，BIBO稳定。

否则，不是稳定系统。

综上，也就是当ROC包含单位圆的时候，因为这时候该传输函数序列才是绝对可和的，也就是滤波器就是BIBO稳定的。

三、全通函数
全通函数的所有零、极点关于单位圆镜像对称。

也就是每一个零点都有一个极点与它镜像对称，或者说每一个极点都有一个零点与它镜像对称。

滤波器零点极点和单位圆1.引言1.1 概述在滤波器设计和信号处理领域中，零点和极点是非常重要的概念。

它们是描述滤波器频率响应和滤波器性能的关键参数。

零点和极点的分布直接影响着滤波器的幅频特性、相频特性以及相位延迟等方面的表现。

因此，深入理解和掌握零点和极点的定义、特点以及对滤波器性能的影响非常重要。

零点，顾名思义，是指滤波器的频率响应函数在某些频率上为零的点。

也就是说，当信号的频率达到零点时，滤波器不对该频率的信号进行响应，从而实现了信号的抑制或者消除。

零点可以在复平面上表示为一个点，其位置和数量多样化。

不同的零点分布方式将产生不同的滤波器特性。

与零点相对的是极点，极点指的是滤波器的频率响应函数在某些频率上发散的点。

极点是滤波器最重要的特性之一，它们决定了滤波器的幅频特性、相频特性以及相位延迟等。

极点可以分布在复平面的任意位置，并且可以是实数或者复数。

在本文中，我们将重点讨论单位圆在滤波器中的应用。

单位圆是代表单位频率的一个圆，它在复平面上的位置为半径为1的圆周。

单位圆的内部和外部分别代表了滤波器对低频和高频信号的响应。

单位圆上的点将直接决定了滤波器的频率响应，因此对于滤波器的设计和性能评估来说，单位圆是一个关键参考标准。

最后，我们还将探讨零点和极点对于滤波器性能的影响。

零点和极点的位置、数量以及分布方式将直接影响滤波器的频率响应特性。

通过合理的选取和调整零点和极点，可以实现不同的滤波器响应，如低通、高通、带通和带阻等。

因此，深入理解和掌握零点和极点对滤波器性能的影响将对滤波器设计和应用产生重要的指导作用。

在接下来的章节中，我们将详细阐述滤波器概念和作用，零点和极点的定义和特点，以及单位圆在滤波器中的应用。

我们还将通过具体的案例和实例，展示零点和极点对滤波器性能的影响。

这将有助于读者更好地理解和应用滤波器零点极点理论。

1.2文章结构文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的组织和结构进行介绍。

以下是一个参考的内容：文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。

数字信号处理知识点1、混叠是怎样产生的?答：采样信号的频率太低，低于被检测信号频率的二倍系统就会发生混叠。

2、如何判定线性时不变系统的因果性和稳定性?答：因果性：响应不出现在激励之前稳定性：1）、激励有界，响应有界2）、连续系统，h(t)绝对可积；系统频域函数的收敛域包含虚轴（极点全在左半平面）3)、离散系统，h(n)绝对可和；系统频域函数的收敛域包含单位圆（极点全在单位圆内）3、时域采样在频域产生什么效应?答：1）对连续信号进行等间隔采样形成的采样信号，其频谱是原模拟信号的频谱以采样频率为周期进行周期延拓形成的2)如果连续信号是带限信号,当采样角频率大于最高截止频率,让采样信号通过理想低通滤波器时,可以唯一地恢复出原连续信号。

否则,会造成采样信号中的频谱混叠现象,不能无失真地恢复原连续信号。

4、用离散傅里叶变换进行谱分析时，提高频域分辨率有哪些措施?答：增加采样点数5、何谓全通滤波器?其零极点分布有何特点?答：全通滤波器：幅度特性在整个频带[0,2π]上均为常数的滤波器零点和极点互成倒易关系，均以共轭对形势出现。

6、何谓最小相位系统?如何判断系统是最小相位系统与否?答：最小相位系统：全部零点位于单位圆内的因果稳定系统7、如何将模拟滤波器 H (s)转换为数字滤波器 H(z)脉冲响应不变法或双线性变换法答：优点：数字频率与模拟频率成线性关系 w=nT;缺点：会产生频率混叠现象，只适合低通和带通滤波器的设计。

8、补零和增加信号长度对谱分析有何影响?是否都可以提高频谱分辨率?答：时域补零和增加信号长度，可以使频谱谱线加密，但不能提高频谱分辨率。

9、什么是吉布斯现象?旁瓣峰值衰减和阻带最小衰减各指什么?有什么区别和联系?答：增加窗口长度 N 只能相应地减小过渡带宽度，而不能改变肩峰值。

例如，在矩形窗地情况下，最大肩峰值为 8.95%；当 N 增加时，只能使起伏振荡变密，而最大肩峰值总是 8.95%，这种现象称为吉布斯效应。

电子科技大学生命科学与技术学院标准实验报告
（实验）课程名称数字信号处理
2016-2017-第2学期
电子科技大学教务处制表
电子科技大学
实验报告
一、实验室名称：清水河校区，基础实验大楼 508 机房
二、实验名称：滤波器传输函数的零点和极点对滤波特性的影响
三、实验学时：2学时
四、实验原理：
五、实验目的：（详细填写）
1. 直观地了解滤波器传输函数的零点和极点（的个数和位置）对滤波特性的影响。

2. 利用设计的滤波器进行滤波
六、实验内容：（详细填写）
七、1、给定某个滤波器的传输函数H(z):
九、增加其零点和极点的个数，分析新的滤波器的滤波特性（幅度谱）。

十、
十一、2、利用设计的滤波器进行滤波。

七、实验器材（设备、元器件）：
八、实验步骤：
九、实验数据及结果分析：（详细填写）（包括程序、图、结果等）
十、1、实验程序
十一、实验图
十二、
十三、2、实验程序
十四、
十五、
十六、
十、实验结论：（详细填写）
1、添加零点可以将幅度谱曲线向下弯曲；
2、合理添加零极点可以更好地滤波
十一、总结及心得体会：（详细填写）
增强了对零极点对滤波器的作用的理解，matlab基本操作生疏，实验过程中思路不够清晰，在以后得学习中应在此方面多加改进。

十二、对本实验过程及方法、手段的改进建议：
报告评分：
指导教师签字：。

第8章 全通滤波器1、如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或1，|()|1,02j H e ωωπ=≤≤全通滤波器的频率响应函数可表示成 ()()j j H e e ωϕω=全通滤波器的系统函数的一般形式：12012012120(),11NN kN N N k k N NNkN k k a zz a z a z a H z a a z a z a za z-+--+-+=----=+++⋅⋅⋅+===+++∑∑ 二阶滤波器级联形式为：211221121()1Li ii i iz a z a H z a z a z ----=++=++∏ 证明：1000()()()NNN kkk kNNk k NNkkk k k k a za zD z H z zzD z a z a z-+---==--=====∑∑∑∑ 0()Nk k k D z a z -==∑由于系数k a 是实数， 所以 1()()()()()1()j j j j j j z e D e D z D eD e H e D e ωωωωωω*--*=====，如果将零点k z 和极点k p *组成一对， 将零点*k z 与极点k p 组成一对，那么全通滤波器的极点与零点便以共轭倒易关系出现， 即如果1k z -为全通滤波器的零点， 则k z *必然是全通滤波器的极点。

全通滤波器系统函数111()1Nkk k z z H z z z-*-=-=-∏ 2、一个因果稳定的时域离散线性非移变系统()H z ，其所有极点必须在单位圆内，但其零点可在z 平面上任意位置，只要频响特性满足要求即可。

如果因果稳定系统()H z 的所有零点都在单位圆内，则称之为“最小相位系统”，记为min ()H z ；反之，如果所有零点都在单位圆外，则称之为“最大相位系统”，记为max ()H z ，若单位圆内、外都有零点，则称之为“混合相位系统”。

最小相位系统在工程理论中较为重要，下面给出最小相位系统的几个重要特点：(1) 任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均可由一个最小相位系统min ()H z 和一个全通系统()p H z 级联而成， 即min ()()()ap H z H z H z =(2) 在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中， 最小相位系统的相位延迟(负的相位值)最小。

全通滤波器传递函数
全通滤波器传递函数是指将输入信号通过全通滤波器后得到的输出信号的函数关系。

全通滤波器可以将信号的频谱全部通过，不改变信号的幅度和相位。

因此，全通滤波器的传递函数可以表示为： H(z) = G(z)*G*(1/z*)
其中，z表示信号的复频域变量，G(z)表示全通滤波器的传递函数，G*表示G的复共轭，1/z*表示复频域中z的共轭倒数。

全通滤波器的传递函数中，G(z)和G*(1/z*)是互为复共轭的，因此可以满足传递函数的实数性质。

全通滤波器的传递函数也可以表示为：
H(z) = B(z)/A*(1/z*)
其中，B(z)和A(z)分别表示全通滤波器的分子和分母多项式。

这个形式的传递函数展示了全通滤波器的零点和极点的对称性，也可以帮助我们更好地理解全通滤波器的特性。

总之，全通滤波器传递函数是描述输入信号通过全通滤波器后输出信号的数学函数关系，它的形式可以是G(z)*G*(1/z*)或者
B(z)/A*(1/z*)。

全通滤波器的传递函数反映了其零点和极点的对称性，以及不改变输入信号幅度和相位的特性。

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浅析零点与极点对滤波器特性的影响作者：田慕晨来源：《科学与财富》2019年第08期摘要：滤波器特性决定了输出信号与输入信号的关系，因此研究滤波器的特性十分必要，尤其是其幅频响应。

而零点与极点作为波滤器的重要参量，其数量、形态、存在位置与相对位置对滤波器特性有着至关重要的影响。

本文将通过matlab仿真，构造简单滤波器，并增删移动零点和极点，以探究其对滤波器特性的影响。

关键词：滤波器;幅频特性;零点;极点一、实验过程1.设置fdatool编辑参数1.1Gain：增益，设置为1。

1.2Coordinates：可选极坐标系或直角坐标系。

1.3Conjngate：勾选则所画零极点成对。

2.设置fdatool显示参数1.1脉冲响应与阶跃响应右键单击横轴名称可选横轴为时间或采样点数，右键单击横轴可设置观测长度，若缺省则为50个采样点。

1.2频率响应左键单击横轴名称可选横轴为模拟频率或数字频率。

右键单击横轴可设置纵轴显示方式（线性增益或对数增益，弧度或角度），和观测范围，本实验选择[0，2π）。

二、实验结果及讨论1.当设置所有极点均位于单位圆内。

单位脉冲响应（h[n]）趋于0，阶跃响应（s[n]）趋于常数，即系统稳定，与零点位置无关。

当任意极点在单位圆外，h[n]和s[n]都发散。

2.当系统为二阶系统，且极点成对，极点在单位圆上。

h[n]和s[n]均有规律徘徊在固定幅值上下，既不收敛也不发散。

但若一对极点重合于（-1，0）或（1，0），则h[n]和s[n]均线性增长。

3.当极点在单位圆内，极点离单位圆越近，振荡幅度越大，趋于稳定时间越长。

4.零点可抵消极点作用，零点离极点越近，抵消作用越明显，即h[n]振荡幅度越小，但趋于零所需采样点数不变。

零极点重合，幅度响应为1，输出等于输入。

5.当极点均位于左半平面，脉冲响应大致正负交替，但不严格。

当极点全部为于负实轴上，脉冲响应将严格逐点正负交替。

当极点全位于正实轴，脉冲响应趋于零前每个采样点值均大于零。

全通系统零极点关系嘿，朋友们！今天咱来聊聊全通系统零极点关系这个有意思的事儿。

你说这全通系统啊，就好像是一套特别的组合拳。

零极点呢，就是这套组合拳里的关键招式。

极点就像是那刚猛有力的一拳，能产生很大的影响力；而零点呢，就像是巧妙化解对方攻势的一招，有着它独特的作用。

咱可以想象一下，这全通系统就是一个大舞台，零极点就是舞台上的主角们。

极点一出现，那就是舞台上的闪光点，吸引着大家的目光，决定着系统的一些关键特性。

而零点呢，默默地在旁边发挥着自己的作用，和极点相互配合，让整个表演更加精彩。

比如说，极点的位置能决定系统的稳定性。

要是极点跑到了不该去的地方，哎呀，那可就麻烦啦，系统可能就不稳定啦，就像人走路摇摇晃晃的，多别扭呀！而零点呢，它能帮忙调整系统的响应，让系统的表现更加出色。

你看啊，在实际应用中，我们就像是导演，得好好安排这些零极点的位置，让它们在合适的地方发挥作用，这样才能拍出一部精彩的“大片”来。

如果我们对零极点的关系不清楚，那不就像个糊涂导演，把电影拍得乱七八糟的嘛！而且哦，这零极点的关系还挺微妙的。

有时候一个小小的变动，就能让整个系统发生很大的变化。

这就跟我们生活中一样，一个小小的决定，可能就会带来意想不到的结果。

咱再深入想想，这零极点的关系不就像是人与人之间的关系吗？大家相互配合，相互影响，共同创造出美好的结果。

要是配合不好，那可就容易出问题啦。

所以啊，我们可得好好研究这全通系统零极点关系，把它弄明白，就像我们了解自己的朋友一样。

这样我们才能在各种实际问题中，运用好它们，让系统发挥出最佳的性能。

总之呢，全通系统零极点关系可真是个有趣又重要的东西，我们可不能小瞧了它呀！它就像一把神奇的钥匙，能打开很多未知的大门，让我们看到更多精彩的世界。

我们要用心去感受它，去探索它，让它为我们的生活和工作带来更多的便利和惊喜！你说是不是呢？。

全通滤波器的零极点关系
全通滤波器是一种特殊类型的滤波器，其特点是在频率响应中没有截止频率，即能够通过所有频率的信号。

全通滤波器的零极点关系可以通过其传递函数来描述。

设全通滤波器的传递函数为H(z)，其中z为复变量。

传递函数可以表示为H(z) = N(z) / D(z)，其中N(z)和D(z)分别为分子多项式和分母多项式。

在全通滤波器中，零极点关系可以表示为D(z) = N(z)。

也就是说，分母多项式和分子多项式的系数是相等的。

具体来说，如果全通滤波器的传递函数为H(z) = (z - z1) / (z - p1)，其中z1和p1分别为零点和极点，那么零极点关系可以表示为 (z - z1) = (z - p1)。

总结起来，全通滤波器的零极点关系是分母多项式和分子多项式的系数相等，即D(z) = N(z)。

一阶全通滤波器系统函数推导关于这一判据做如下两点说明:首先为什么零极点要共轭出现?因为只有零极点共轭,全通滤波器的系数才是实数,接下来解释一下为什么零极点共轭时,该系统函数所对应的冲激响应系数是全实数我们知道,从S域到Z域的变换就是在时域从连续到离散的抽样.所以如果S域中系统函数所对应的冲激响应的系数是全实数,那么离散后,系数不可能突然变为虚数,也一定是全实数的.首先考虑全极点系统,为了便于讨论,我们可以将任意以系统函数拆分为一阶或二阶子系统的级联,通式如下H ( s ) = ∏ 1 s 2 + a i s + b i H(s)=\prod \frac 1{s^2+a_i s+b_i}H(s)=∏s2+ais+bi1对于任意一阶系统 H ( s ) = 1 s + n + m j H(s)=\frac 1{s+n+mj} H(s)=s+n+mj1不难得出其冲激响应为 h ( t ) = e − ( n + m j ) t h(t)=e^{-(n+mj)t}h(t)=e−(n+mj)t所以当且仅当 m = 0 m=0 m=0时,冲激响应为实数,此时极点为 s = − n s=-n s=−n,满足共轭出现的条件对于二阶系统来说 H ( s ) = 1 s 2 + n s + m H(s)=\frac 1{s^2+ns+m} H(s)=s2+ns+m1其中n,m为任意数,即可为实数,也可以是虚数.然后将系统写为如下形式 1 ( s + x ) 2 + y \frac 1{(s+x)^2+y} (s+x)2+y1,对应的冲激响应就是 e − x t sin ⁡ y t e^{-xt}\sin yt e−xtsinyt,因为要求是实数响应,所以此时的x,y均要求也是实数.现在该二阶子系统所对应的极点就是 s = − n ± m j s=-n\pm \sqrt{m}js=−n±mj,满足共轭条件综上,极点满足共轭出现的条件时,冲激响应为实数为什么零极点关于单位圆镜像对称这一点是全通滤波器系统函数所决定的，所以才可以作为全通滤波器的判据之一.全通滤波器可以拆解为多个子系统的级联 H a p ( z ) = K ∏ i = 1 N z − 1 − a i ∗ 1 − a i z − 1H_{ap}(z)=K\prod_{i=1}^N \frac{z^{-1}-a^*_i}{1-a_iz^{-1}} Hap(z)=Ki=1∏N1−aiz−1z−1−ai∗若当 z = a z=az=a时为极点,不难得出 z = 1 a ∗ z=\frac 1{a^*} z=a∗1为系统零点.结合上文给出的极点共轭出现的条件:极点共轭,而每一个极点在单位圆外对应着一个零点,因此零点也是共轭出现的.综上,对于全通来说,零极点共轭出现,而且关于圆周对称。

全通系统零极点关系
《全通系统零极点关系》
嘿呀，今天咱就来唠唠这个全通系统零极点关系。

你说啥是全通系统零极点关系呢？其实啊，就好像咱生活中的一件事儿。

有次我去超市买东西，我在货架前挑啊挑，看到那些琳琅满目的商品，就跟全通系统里的各种元素似的。

有的商品特别显眼，就像极点，一下子就吸引了我的目光；而有些商品呢，不那么起眼，但也是整体的一部分，就像零极点里的零点。

在挑选的过程中，我得综合考虑它们的特点呀，就像要搞清楚全通系统里零极点的相互作用一样。

我得看看这个商品是不是我真正需要的，价格合不合适，质量过不过关。

这就好比在研究全通系统时，要仔细分析零极点对整个系统性能的影响。

有时候我会因为一个特别吸引人的极点商品而忽略了一些零点商品的好处，等回过头来才发现，哎呀，原来那些不显眼的商品也有它的价值呢。

就像在理解全通系统零极点关系时，不能只关注极点而忘了零点的重要性。

总之啊，这全通系统零极点关系就跟咱生活中买东西挑挑拣拣一样，得全面考虑，不能片面。

咱得好好琢磨琢磨这其中的门道，才能真正搞明白呀！哈哈，你说是不是这个理儿呢？
哎呀，说了这么多，还是觉得这全通系统零极点关系真的挺有意思的，就像生活中的各种小细节一样，等着我们去发现和体会呢！。

数字信号处理课程设计报告书课题名称 零极点对系统滤波器性能的影响 姓 名学 号 院、系、部 电气工程系 专 业 电子信息工程 指导教师2012年 6 月20日※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※2009级数字信号处理 课程设计零极点对系统滤波器性能的影响一、设计目的掌握通过系统函数画零极点分布图；掌握通过零极点设计滤波器的方法；掌握MATLAB设计FIR和IIR数字滤波器的方法并且学会用MATLAB对信号进行分析和处理；了解系统的零极点对滤波器特性的影响。

二、设计要求1、画出系统的零极点分布图；2、根据设定的零极点设计滤波器并对含噪信号进行滤波处理；3、增加系统的极点分析系统的滤波性能是否有所改变。

三、使用说明编制MATLAB程序，完成以下功能，由系统函数求出系统的零极点分布图，根据设定的零极点设计滤波器并对含噪信号进行滤波处理，观察改变系统极点滤波器性能的变化。

四、程序流程图开始↓根据系统函数绘制零极点图↓根据零极点绘制脉冲响应↓根据零极点绘制频响特性↓将一加噪信号通过滤波器↓绘制此信号的幅频特性↓得到低频信号，即低通滤波器↓增加零极点↓绘制出零极点图，观察幅频特性的变化↓结束五、程序设计subplot(4,2,1);B=[1,3,3,1];A=[6,0,2,0];Zplane(B,A);legend('零点','极点') title('零极点分布')%绘制零极点图； subplot(4,2,2);impz(B,A,10);%绘制脉冲响应； [H,w]=freqz(B,A); %绘制频率响应subplot(4,2,3);plot(w/pi,abs(H));axis([0,1,0,1]); subplot(4,2,4);plot(w/pi,angle(H)); subplot(4,2,5) t=0:0.05:30;x=cos(0.05*pi*t)+cos(1000*pi*t) z=fft(x) plot(abs(z)); subplot(4,2,6) y=filter(B,A,z) plot(abs(y))axis([0,800,0,500]); subplot(4,2,7) B=[1,3,3,1] A=[6,-3,2,-1,0] y=filter(B,A,z) plot(abs(y));axis([0,800,0,500]);-202-1013Real PartI m a g i n a r y P a r t零极点分布零点极点2468-0.500.5n (samples)Am p l i t u d eImpulse Response0.510.5100.51-505020040060080050002004006008005000200400600800500五、心得体会通过这次的课程设计，我更加清楚得了解了零极点对系统滤波器性能的影响。