高一数学必修一函数奇偶性综合练习(含答案)

第1课时 函数奇偶性的概念必备知识基础练知识点一函数奇偶性的判断 1.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝2－|x |；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝xx －1； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x >0，－2x ＋1，x <0.知识点二 奇偶函数的图象2.已知函数y ＝f (x )是偶函数，且图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是( )A ．4B ．2C ．1D ．03．函数f (x )＝4x3＋x 3的图象( ) A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称知识点三 利用函数的奇偶性求值4.若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________；5．若函数f (x )＝x ＋1x ＋a x为奇函数，则a ＝________. 6．已知f (x )＝ax 5＋bx 3＋cx －8，且f (d )＝10，则f (－d )＝________.关键能力综合练一、选择题1．下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝－|x |B ．y ＝2－xC ．y ＝1x3 D ．y ＝－x 2＋8 2．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称3．已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －2，若f (－3)＝10，则f (3)＝( )A ．－8B ．18C ．10D ．－14(1)求证：f (x )是奇函数；(2)若f (－3)＝a ，试用a 表示f (12)．3．2.2 奇偶性第1课时 函数奇偶性的概念必备知识基础练1．解析：(1)∵函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(2)∵函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，又∵f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数．(4)f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝1－(－2x )＝1＋2x ＝f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝1＋(－2x )＝1－2x ＝f (x )．综上可知，对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f (－x )＝f (x )，f (x )为偶函数．2．解析：因为f (x )是偶函数，且图象与x 轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y 轴一定是对称的，故所有实根之和为0.选D.答案：D3．解析：∵f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－4x3－x 3＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，图象关于原点对称．答案：C4．解析：∵函数f (x )在[a －1,2a ]上是偶函数，∴a －1＋2a ＝0，得a ＝13. 又f (－x )＝f (x )，即13x 2－bx ＋1＋b ＝13x 2＋bx ＋1＋b 对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，23均成立，∴b ＝0.答案：130 5．解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即－x ＋1－x ＋a －x ＝－x ＋1x ＋a x. 显然x ≠0，整理得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ，故a ＋1＝0，得a ＝－1.答案：－16．解析：令g (x )＝ax 5＋bx 3＋cx ，则g (x )为奇函数．f (d )＝g (d )－8＝10，∴g (d )＝18，f (－d )＝g (－d )－8＝－g (d )－8＝－26.答案：－26 关键能力综合练1．解析：A 、D 两项，函数均为偶函数，B 项中函数为非奇非偶，而C 项中函数为奇函数．答案：C2．解析：∵函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x ＋x ＝－f (x )，∴f (x )＝1x－x 是奇函数，所以f (x )的图象关于原点对称，故选C. 答案：C3．解析：由f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －2，得f (x )＋2＝x 5＋ax 3＋bx .令G (x )＝x 5＋ax 3＋bx ＝f (x )＋2，∵G (－x )＝(－x )5＋a (－x )3＋b (－x )＝－(x 5＋ax 3＋bx )＝－G (x )，∴G (x )是奇函数．∴G (－3)＝－G (3)，即f (－3)＋2＝－f (3)－2，又f (－3)＝10，∴f (3)＝－f (－3)－4＝－10－4＝－14.答案：D4．解析：∵f (x )＝ax 2＋bx ＋c (c ≠0)是偶函数，∴b ＝0，∴g (x )＝ax 3＋cx ，∴g (－x )＝－g (x )，∴g (x )是奇函数，故选A.答案：A5．解析：F (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (x )．又x ∈(－a ，a )关于原点对称，∴F (x )是偶函数．答案：B6．解析：∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)＝2－2＝0，f (0)＝0＋1＝1.∴f [f (－2)]＝f (0)＝1.故选A.答案：A7．解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )且f (0)＝0，∴f (－2)＝－f (2)＝－5，∴f (－2)＋f (0)＝－5.答案：－58．解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，2－|x ＋2|≠0， 解得－2≤x ≤2且x ≠0，∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]．∵f (x )＝4－x 22－|x ＋2|＝4－x 2－x ＝－4－x 2x，定义域关于原点对称， ∴f (－x )＝4－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．答案：[－2,0)∪(0,2] 奇9．解析：在f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1中，令x ＝－1，得f (－1)－g (－1)＝1，又f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以f (1)＋g (1)＝1.答案：110．解析：(1)f (x )＝1x －1的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数．(2)f (x )＝－3x 2＋1的定义域是R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)f (x )＝1－x ·1＋x |x ＋2|－2的定义域是[－1,0)∪(0,1]， 所以f (x )的解析式可化简为f (x )＝1－x ·1＋xx ，满足f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(4)函数的定义域为R .当x >0时，－x <0，则f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1＝f (x )；当x ＝0时，f (－x )＝f (x )＝1；当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝f (x )．综上，对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．学科素养升级练1．解析：A 正确；B 错误，仅两个特殊的函数值相等不足以确定函数的奇偶性，需要满足“任意”；C 正确；D 错误，反例：f (x )＝0满足条件，该函数既是奇函数，又是偶函数．答案：AC2．解析：∵函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．对于选项A ，|f (－x )|－g (－x )＝|f (x )|＋g (x )≠±(|f (x )|－g (x ))，故其不具有奇偶性；对于选项B ，f (－x )－|g (－x )|＝f (x )－|g (x )|，故函数为偶函数；对于选项C ，|f (－x )|＋g (－x )＝|f (x )|－g (x )≠±(|f (x )|＋g (x ))，故其不具有奇偶性；对于选项D ，f (－x )＋|g (－x )|＝f (x )＋|g (x )|，故函数为偶函数．综上，选D.答案：D3．解析：(1)证明：由已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x 得f (0)＝f (x )＋f (－x )，令x ＝y ＝0得f (0)＝2f (0)，所以f (0)＝0.所以f (x )＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(2)因为f (x )为奇函数．所以f (－3)＝－f (3)＝a ，所以f (3)＝－a .又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，所以f(12)＝－4a.。

...函数的奇偶性问题一、选择题1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数，∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件． 答案：A2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（） A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．故选A ．3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2） 解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）． ∴(2)(0)()(2)(0),,x x x f x x x x ⎧⎨⎩-≥=--<即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26． 答案：A5．函数1111)(22+++-++=x xx x x f 是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0． 答案：B 6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数． 又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3． ∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1． 答案：C 二、填空题 7．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为____奇函数____（填奇函数或偶函数） ．8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝____0_____． 解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为____11)(2-=xx f ___．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，...可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ． 10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为___0 _____． 三、解答题11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．（21<m ） 12．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证f （x ）是偶函数．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．13.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．14.f （x ）是定义在（－∞，－5］Y ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明． 解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．15.设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证， f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0． 又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0， ∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数． 点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．。

高一数学函数奇偶性练习题及答案解析函数的奇偶性是函数最重要的性质之一.掌握好函数的奇偶性对学好函数知识乃至整个高中数学都有着举足轻重的作用。

下面是店铺给大家带来的高一数学函数奇偶性练习题及答案解析，希望对你有帮助。

数学函数奇偶性练习题及答案解析1.下列命题中，真命题是( )A.函数y=1x是奇函数，且在定义域内为减函数B.函数y=x3(x-1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C.函数y=x2是偶函数，且在(-3,0)上为减函数D.函数y=ax2+c(ac≠0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数解析：选C.选项A中，y=1x在定义域内不具有单调性;B中，函数的定义域不关于原点对称;D中，当a<0时，y=ax2+c(ac≠0)在(0,2)上为减函数，故选C.2.奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为-1，则2f(-6)+f(-3)的值为( )A.10B.-10C.-15D.15解析：选 C.f(x)在[3,6]上为增函数，f(x)max=f(6)=8，f(x)min=f(3)=-1.∴2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×8+1=-15.3.f(x)=x3+1x的图象关于( )A.原点对称B.y轴对称C.y=x对称D.y=-x对称解析：选A.x≠0，f(-x)=(-x)3+1-x=-f(x)，f(x)为奇函数，关于原点对称.4.如果定义在区间[3-a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a=________.解析：∵f(x)是[3-a,5]上的奇函数，∴区间[3-a,5]关于原点对称，∴3-a=-5，a=8.答案：81.函数f(x)=x的奇偶性为( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析：选D.定义域为{x|x≥0}，不关于原点对称.2.下列函数为偶函数的是( )A.f(x)=|x|+xB.f(x)=x2+1xC.f(x)=x2+xD.f(x)=|x|x2解析：选D.只有D符合偶函数定义.3.设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )A.f(x)f(-x)是奇函数B.f(x)|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数D.f(x)+f(-x)是偶函数解析：选D.设F(x)=f(x)f(-x)则F(-x)=F(x)为偶函数.设G(x)=f(x)|f(-x)|，则G(-x)=f(-x)|f(x)|.∴G(x)与G(-x)关系不定.设M(x)=f(x)-f(-x)，∴M(-x)=f(-x)-f(x)=-M(x)为奇函数.设N(x)=f(x)+f(-x)，则N(-x)=f(-x)+f(x).N(x)为偶函数.4.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，那么g(x)=ax3+bx2+cx( )A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.是非奇非偶函数解析：选A.g(x)=x(ax2+bx+c)=xf(x)，g(-x)=-x•f(-x)=-x•f(x)=-g(x)，所以g(x)=ax3+bx2+cx是奇函数;因为g(x)-g(-x)=2ax3+2cx不恒等于0，所以g(-x)=g(x)不恒成立.故g(x)不是偶函数.5.奇函数y=f(x)(x∈R)的图象必过点( )A.(a，f(-a))B.(-a，f(a))C.(-a，-f(a))D.(a，f(1a))解析：选C.∵f(x)是奇函数，∴f(-a)=-f(a)，即自变量取-a时，函数值为-f(a)，故图象必过点(-a，-f(a)).6.f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x≤0时( )A.f(x)≤2B.f(x)≥2C.f(x)≤-2D.f(x)∈R解析：选B.可画f(x)的大致图象易知当x≤0时，有f(x)≥2.故选B.7.若函数f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数，则a=________.解析：f(x)=x2+(1-a)x-a为偶函数，∴1-a=0，a=1.答案：18.下列四个结论：①偶函数的图象一定与纵轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③f(x)=0(x∈R)既是奇函数，又是偶函数;④偶函数的图象关于y轴对称.其中正确的命题是________.解析：偶函数的图象关于y轴对称，不一定与y轴相交，①错，④对;奇函数当x=0无意义时，其图象不过原点，②错，③对.答案：③④9.①f(x)=x2(x2+2);②f(x)=x|x|;③f(x)=3x+x;④f(x)=1-x2x.以上函数中的奇函数是________.解析：(1)∵x∈R，∴-x∈R，又∵f(-x)=(-x)2[(-x)2+2]=x2(x2+2)=f(x)，∴f(x)为偶函数.(2)∵x∈R，∴-x∈R，又∵f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)，∴f(x)为奇函数.(3)∵定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数.(4)f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1]即有-1≤x≤1且x≠0，则-1≤-x≤1且-x≠0，又∵f(-x)=1-(-x)2-x=-1-x2x=-f(x).∴f(x)为奇函数.答案：②④10.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=(x-1) 1+x1-x;(2)f(x)=x2+x (x<0)-x2+x (x>0).解：(1)由1+x1-x≥0，得定义域为[-1,1)，关于原点不对称，∴f(x)为非奇非偶函数.(2)当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x)，当x>0时，-x<0，则f(-x)=(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x)，综上所述，对任意的x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，都有f(-x)=-f(x)，∴f(x)为奇函数.11.判断函数f(x)=1-x2|x+2|-2的奇偶性.解：由1-x2≥0得-1≤x≤1.由|x+2|-2≠0得x≠0且x≠-4.∴定义域为[-1,0)∪(0,1]，关于原点对称.∵x∈[-1,0)∪(0,1]时，x+2>0，∴f(x)=1-x2|x+2|-2=1-x2x，∴f(-x)=1-(-x)2-x=-1-x2x=-f(x)，∴f(x)=1-x2|x+2|-2是奇函数.12.若函数f(x)的定义域是R，且对任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立.试判断f(x)的奇偶性.解：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0.再令y=-x，则f(x-x)=f(x)+f(-x)，即f(x)+f(-x)=0，∴f(-x)=-f(x)，故f(x)为奇函数.。

函数奇偶性练习题(内含答案)新希望培训学校资料数学函数奇偶性练（内含答案）一、选择题1.已知函数 $f(x)=ax+bx+c(a\neq0)$ 是偶函数，那么$g(x)=ax+bx-cx$ 是（）A。

奇函数B。

偶函数C。

既奇又偶函数D。

非奇非偶函数2.已知函数 $f(x)=ax+bx+3a+b$ 是偶函数，且其定义域为$[a-1,2a]$，则（）A。

$a=2,\ b=\frac{1}{3}$B。

$a=-1,\ b=-\frac{1}{3}$C。

$a=1,\ b=-\frac{1}{3}$D。

$a=3,\ b=\frac{1}{3}$3.已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，当$x\geq0$ 时，$f(x)=x-2x$，则 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的表达式是（）A。

$y=x(x-2)$B。

$y=x(|x|-1)$C。

$y=|x|(x-2)$D。

$y=x(|x|-2)$4.已知 $f(x)=x+ax+bx-8$，且 $f(-2)=10$，那么 $f(2)$ 等于（）A。

$-26$B。

$-18$C。

$-10$D。

$10$5.函数$f(x)=\frac{5x^2}{1+x^2}+\frac{x-1}{x+1}$ 是（）A。

偶函数B。

奇函数C。

非奇非偶函数D。

既是奇函数又是偶函数6.若 $\phi(x),\ g(x)$ 都是奇函数，$f(x)=a\phi(x)+bg(x)+2$ 在 $(0,+\infty)$ 上有最大值 $5$，则$f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上有（）A。

最小值 $-5$B。

最大值 $-5$C。

最小值 $-1$D。

最大值 $-3$二、填空题7.函数 $f(x)=\frac{x-2}{1-x^2}$ 的奇偶性为（奇函数或偶函数）。

8.若 $y=(m-1)x+2mx+3$ 是偶函数，则 $m=$（）。

9.已知 $f(x)$ 是偶函数，$g(x)$ 是奇函数，若$f(x)+g(x)=\frac{1}{x-1}$，则 $f(x)$ 的解析式为（）。

高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上是减函数。

证明：对于x1<x2.由于x1和x2都小于0，所以有x1<x2<0，因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此，f(x)在（-∞，0）上是减函数.3、函数f(x)＝|x|＋1的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，0]和[0，∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞).5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是减函数，对于x<3，f(x)是增函数。

因此，f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x3，f(x)是增函数。

因此，f(2)>f(15).6、已知y＝f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1，1)上是减函数，所以对于0f(3a-2)。

因此，实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间：1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有f(x)>f(1)。

专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题1．设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集为A . []1,1-B ． []0,4C ． []2,2-D ． []1,3【答案】D2．若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（ ）A . 2B . 4C . 6D . 8【答案】C【解析】函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故有()132{3212a a a a +>--++＝，求得2a =，故选A .3．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（ ） A . 1,110⎛⎫⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D . ()()0,110,⋃+∞ 【答案】B【解析】试题分析：偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则在(],0-∞上为增函数，由()()lg 1f x f >可知，得，故选项B 正确．考点：偶函数的单调性及其运用．【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等式，解得，没有正确的选项可选．偶函数的图象关于y 轴对称，则其在原点两侧对称区间的单调性也是不同的，即一侧为单调增函数，则对称的另一侧为单调减函数．只有清楚了函数的单调性，才能正确的列出不等式，进而求出正确的解．4．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（ ）A . ()()()201f f f ->>B . ()()()102f f f >>-C . ()()()210f f f ->>D . ()()()120f f f >->【答案】A【解析】因为函数()y f x =是R 上的偶函数，所以()()22f f -= ，又因为()f x 在[)0+∞，上单调递增，所以()()()201f f f >>，故()()()201f f f ->>. 本题选择A 选项. 5．已知定义域为R 的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】6．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，若f （2）=﹣2，则满足f （x ﹣1）≥﹣2的x 的取值范围是 （ ） A ． （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B ． （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C ． [﹣1，﹣3] D ． （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 【答案】B 【解析】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有， 可得，解可得： 即的取值范围是；故选：B ．7．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减, ()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足( )A . a b c <<B . b a c <<C . c a b <<D . c b a <<【答案】B8．已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（ ）A . []1,2B . []3,5C . []1,1-D . 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由函数奇偶性的定义可知2101b b b +-=⇒=-，所以函数()f x 在[]0,2单调递增，则不等式可化为1{1102x x x ≤⇒-≤≤≤≤，应选答案C .9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上有单调性，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是 （ ）A . ()()()123f f f -<<B . ()()()234f f f <<-C . ()()1202f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D . ()()()531f f f <-<-【答案】D【解析】根据函数为偶函数，有()()()221f f f -=<，故函数在[)0,+∞上递减，所以()()()()()()10123452f f f f f f f ⎛⎫>>>>>> ⎪⎝⎭，故选D .10.若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】11.定义在的函数，已知是奇函数，当时，单调递增，若且，且值（ ）．A ． 恒大于B ． 恒小于C ． 可正可负D ． 可能为【答案】A【解析】由是奇函数，所以图像关于点对称，当时，单调递增，所以当时单调递增，由，可得，，由可知，结合函数对称性可知12.已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有.当时，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】f（）=f（）=14，∵＜＜，二、填空题13．设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（–2），f（–π），f（3）的大小顺序是__________．【答案】f（–π）>f（3）>（–2）【解析】由已知是上的偶函数，所以有，，又由在上单调增，且，所以有，所以π），故答案为：.14.已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】∵是偶函数，15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f =. 若实数a 满足()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 则实数a 的取值范围是____________．【答案】][10,1,55⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减， 根据对称性，所以函数()f x 在区间()0,+∞上也单调递减．又易推出()()()1100f f f -===．从而根据函数()f x 的性质作出图象, 即可求得()0f x ≥的解集为][(,10,1⎤-∞-⋃⎦．()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭等价于()5log 0f a ≥，故5log 1a ≤-或50log 1a ≤≤，解得105a <≤或15a ≤≤． 16.定义在区间[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若()()1g m g m -<，则实数m 的取值范围是____________．【答案】1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】不等式等价于：212 {221mmm m-≤-≤-≤≤->，求解关于实数m的不等式组可得实数m的取值范围是1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.17．设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为_________；【答案】【解析】18．已知函数是定义在区间上的偶函数，它在区间上的图像是如图所示的一条线段，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】 由题意，函数过点，，∴，又因为是偶函数，关于轴对称，所以，即，又作出函数在上的图像，当的时候，的图像恒在的上方，当的时候，令，，即当的时候，满足，即.故答案为：. 19．定义在上的奇函数是增函数，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】20.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-.若1132f ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 182log 1f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围为__________． 【答案】()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-， ()f x ∴ 在()0,+∞ 上递减，在(),0-∞ 上递增，12811112log ,log 2333f x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，因为()f x 是偶函数，所以2211log ,log 133x x ->->或2log 1x <- ，可得2x >或102x << ，故答案为()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.三、解答题21.已知函数()y f x =是定义在()0,+∞上的增函数，对于任意的0,0x y >>，都有()()()f xy f x f y =+，且满足()21f =.（1）求()()14f f 、的值；（2）求满足()()32f x f x +->的x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =， ()42f =；（2）4x >. 【解析】22.定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件： ()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时， ()1f x >. （1）求()0f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数；（3）解关于t 的不等式()221f t t -<.【答案】(Ⅰ) ()01f =；(Ⅱ)见解析；（Ⅲ） 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】23.若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且对一切x ， 0y >，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求()1f 的值；（2）若()61f =，解不等式()1323f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭． 【答案】（1）0；（2）()3,9- 【解析】24.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若m ， []1,1n ∈-， 0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+.（1）证明()f x 在[]1,1-上是增函数； （2）解不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； （3）若()221f x t at ≤-+对任意[]1,1x ∈-， []1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）增函数；（2）3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；（3）0t =或2t ≥或2t ≤-． 【解析】∵()f x 在[]1,1-上是增函数∴()()max 11f x f == ∴2221120t at t at -+≥⇒-≥对任意[]1,1a ∈-恒成立． 令()22g a at t =-+，则0{00t =≥恒成立或()20{120t g t t >=-+≥或()20{120t g t t <-=+≥，∴0t =或2t ≥或2t ≤-∴实数t 的取值范围为0t =或2t ≥或2t ≤-．25.函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对任意12,x x D ∈，有()()1212f x x f x x ⋅=+）（. （1）求()1f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（3）如果()41f =， ()12f x -<，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =；（2）见解析：（3）()()15,11,17-⋃. 【解析】点睛：本题给出抽象函数，求特殊的函数值、讨论函数的奇偶性，并依此解关于x 的不等式．着重考查了函数的单调性、奇偶性和绝对值不等式的解法等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法.26.设函数()y f x =是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时， ()0f x <；③()31f =-.（1）求()1f ， 19f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）见解析; （Ⅲ）(1,133-+）. 【解析】点晴：本题属于对函数单调性的证明和单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系. 27.已知函数的定义域为，若对于任意的实数，都有，且时，有.（1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数的单调性；（3）设，若对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，（2）单调递增函数，（3）或.【解析】（1）奇函数，证明如下：由题意知，令，得，所以；点睛：抽象函数单调性的证明绝大多数情况下都是用“定义法”去证，其步骤是：（1）取值：在给定区间上任取，且；（2）作差：将变形整理为其结果为因式乘积的形式或能够判断的符号的形式；（3）判断的符号；（4）根据定义得出结论.28．已知函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意非零实数满足，且当时，有.（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数在上为增函数，并求不等式的解集.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：⑴先求出，继而，令代入得⑵构造，然后利用已知代入证明详解：（Ⅰ）是偶函数。

✍✍✍高中数学必修一练习题（三）函数班号姓名✍✍奇偶性1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是() A．f(x)＝x B．f(x)＝|x| C．f(x)＝－x2D．f(x)＝1 x2．函数f(x)＝x2＋x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数3．已知f(x)是偶函数，且f(4)＝5，那么f(4)＋f(－4)的值为() A．5 B．10 C．8 D．不确定4．(2011·潍坊高一检测)已知函数f(x)在[－5，5]上是偶函数，f(x)在[0，5]上是单调函数，且f(－3)<f(－1)，则下列不等式一定成立的是() A．f(－1)<f(3) B．f(2)<f(3) C．f(－3)<f(5)D．f(0)>f(1)5．函数y＝ax2＋bx＋c为偶函数的条件是________．6．函数f(x)＝x3＋ax，若f(1)＝3，则f(－1)的值为________．7．已知函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1，1)上的奇函数，且f(12)＝25，求函数f(x)的解析式．8．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)<f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．✍✍函数的最大(小)值1．函数y＝1x2在区间[12，2]上的最大值是()A. 14B．－1 C．4 D．－42．函数f (x )＝9－ax 2(a >0)在[0，3]上的最大值为( ) A ．9B ．9(1－a )C ．9－aD ．9－a 23．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1），则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10，6B ．10，8C ．8，6D ．以上都不对4．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A ．90万元 B ．60万元 C ．120万元D ．120.25万元5．若一次函数y ＝f (x )在区间[－1，2]上的最小值为1，最大值为3，则y ＝f (x )的解析式为_____．6．(2011·合肥高一检测)函数y ＝－x 2－4x ＋1在区间[a ，b ](b >a >－2)上的最大值为4，最小值为－4，则a ＝__________，b ＝________．7．画出函数f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x ∈（－∞，0）x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞）的图象，并写出函数的单调区间，函数最小值．8．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5，5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数．✍✍指数与指数幂的运算1．下列等式一定成立的是( ) A ．a 13·a 32＝a B ．a12-·a 12＝0 C ．(a 3)2＝a 9D ．a 12÷a 13＝a 162.4a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．2≤a ＜4或a ＞4C ．a ≠2D ．a ≠43．(112)0－(1－0.5－2)÷(278)23 的值为( )A ．－13B. 13C. 43D. 734．设a 12－a12-＝m ，则a 2＋1a＝( )A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 25．计算：(π)0＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫21412＝________．6．若102x ＝25，则10－x 等于________．7．根据条件进行计算：已知x ＝12，y ＝13，求x ＋y x －y －x －y x ＋y 的值．8．计算或化简下列各式： (1)[(0.02723)－1.5]13＋[810.25－(－32)0.6－0.02×(110)－2]12；(2)（a 23·b －1）12-·a12-·b136a ·b 5.幂函数1．幂函数y ＝x n 的图象一定经过(0，0)，(1，1)，(－1，1)，(－1，－1)中的( ) A ．一点B ．两点C ．三点D ．四点2．下列幂函数中过点(0，0)，(1，1)的偶函数是( ) A ．y ＝x 12B ．y ＝x4C ．y ＝x －2D ．y ＝x 133．如图，函数y ＝x 23的图象是( ) 4．幂函数f (x )＝x α满足x >1时f (x )>1，则α满足的条件是( )A ．α>1B ．0<α<1C ．α>0D ．α>0且α≠15．函数y＝(2m－1)x2m是一个幂函数，则m的值是________．6．下列六个函数①y＝x 53，②y＝x34，③y＝x－13，④y＝x23，⑤y＝x－2，⑥y＝x2中，定义域为R的函数有________(填序号)．7．比较下列各组数的大小：(1)352-和3.152-；(2)－878-和－(19)78；(3)(－23)23-和(－π6)23-.8．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求该函数的解析式．参考答案函数的奇偶性1．选C f(x)＝|x|及f(x)＝－x2为偶函数，而f(x)＝|x|在(0，＋∞)上单调递增，故选C.2．选D函数的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数．3．选B f(4)＋f(－4)＝2f(4)＝10.4．选D函数f(x)在[－5，5]上是偶函数，因此f(x)＝f(－x)，于是f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，则f(3)<f(1)．又f(x)在[0，5]上是单调函数，从而函数f(x)在[0，5]上是减函数，观察四个选项，并注意到f(x)＝f(－x)，易得只有D正确．5．解析：根据偶函数的性质，得ax2＋bx＋c＝a·(－x)2＋b(－x)＋c，∴b ＝0.答案：b＝06．解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－3. 答案：－37．解：∵f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，∴f(0)＝0，即b1＋02＝0，∴b ＝0， 又f (12)＝12a 1＋14＝25，∴a ＝1，∴f (x )＝x 1＋x 2. 8．解：由f(x)在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减．∵2a 2＋a ＋1＝2(a ＋14)2＋78>0，2a 2－2a ＋3＝2(a －12)2＋52>0，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，∴2a 2＋a ＋1>2a 2－2a ＋3，即3a －2>0，解得a >23.函数的最大(小)值1．C2．选A f(x)＝－ax2＋9开口向下，在[0，3]上单调递减，所以在[0，3]上最大值为9.3．选A f(x)在[－1，2]上单调递增，∴最大值为f(2)＝10，最小值为f(－1)＝6.4．选C 设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售15－x 辆，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－(x －192)2＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．5．解析：设f(x)＝ax ＋b ，易知a≠0. 当a>0时，f(x)单调递增，则有⎩⎨⎧f （2）＝3f （－1）＝1，∴⎩⎨⎧2a ＋b ＝3－a ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23b ＝53，∴f (x )＝23x ＋53；当a <0时，f (x )单调递减，则有⎩⎨⎧f （2）＝1，f （－1）＝3，∴⎩⎨⎧2a ＋b ＝1－a ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23b ＝73， ∴f (x )＝－23x ＋73. 综上，y ＝f (x )的解析式为f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x＋73. 答案：f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋736．解析：∵y ＝－(x ＋2)2＋5，∴函数图象对称轴是x ＝－2. 故在[－2，＋∞)上是减函数．又∵b >a >－2，∴y ＝－x 2－4x ＋1在[a ，b ]上单调递减．∴f (a )＝4，f (b )＝－4.由f (a )＝4，得－a 2－4a ＋1＝4，∴a 2＋4a ＋3＝0，即(a ＋1)(a ＋3)＝0.∴a ＝－1或a ＝－3(舍去)，∴a ＝－1. 由f (b )＝－4，得－b 2－4b ＋1＝－4，b ＝1或b ＝－5(舍去)，∴b ＝1. 答案：－1 1 7.解：f(x)的图象如图所示，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f (0)＝－1.8．解：(1)当a ＝－1时，f(x)＝x2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5，5]，当x ＝1时，有f (x )min ＝1，当x ＝－5时，有f (x )max ＝37.(2)∵函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2图象的对称轴为x ＝－a ，f (x )在区间[－5，5]上是单调函数，∴－a ≤－5或－a ≥5，即a ≥5或a ≤－5.✍✍指数与指数幂的运算1．选D a 13·a 32＝a 1332+＝a 116；a 12-·a 12＝a0＝1；(a3)2＝a6；a 12÷a 13＝a1123-＝a 16，故D 正确．2．选B 要使原式有意义，应满足⎩⎨⎧a －2≥0a －4≠0，得a≥2且a≠4.3．选D 原式＝1－(1－4)÷3（278）2＝1＋3×49＝73. 4．选C 将a 12－a 12-＝m 平方得(a 12－a 12-)2＝m2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2，即a ＋1a ＝m 2＋2?a 2＋1a＝m 2＋2.5．解析：(π)0＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫21412＝1＋122×⎝ ⎛⎭⎪⎫9412＝1＋14×32＝118. 答案：1186．解析：由102x ＝25得：(10x)2＝25，∴10x 是25的平方根．由于10x>0，∴10x＝5，∴10－x＝110x ＝15. 答案：157．解：∵x ＋y x －y －x －y x ＋y＝（x ＋y ）2x －y －（x －y ）2x －y ＝4xyx －y ，把x ＝12，y ＝13代入得，原式＝412×1312－13＝4 6.8．解：(1)原式＝(310)3×23×(－32)×13＋(8114＋3235－2100×100)12＝103＋912＝193. (2)原式＝a 13-·b 12·a12-·b13a 16·b56＝a111326---·b115236+-＝1a. 幂函数1．选A 当n≥0时，一定过(1，1)点，当n<0时，也一定过(1，1)点． 2．选B y ＝x 12不是偶函数；y ＝x －2不过(0，0)；y ＝x 13是奇函数． 3．选D 幂函数y ＝x 23是偶函数，图象关于y 轴对称．4．选C 因为x>1时x α>1＝1α，所以y ＝x α单调递增，故α>0. 5．解析：令2m －1＝1得m ＝1，该函数为y ＝x. 答案：16．解析：函数①④⑥的定义域为R ，函数②定义域为[0，＋∞)，③⑤的定义域为{x|x≠0}． 答案：①④⑥ 7．解：(1)函数y ＝x52-在(0，＋∞)上为减函数，因为3<3.1，所以352->3.152-.(2)－878-＝－(18)78，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，因为18>19，则(18)78>(19)78， 从而－8－78<－(19)78.(3)(－23)23-＝(23)23-，(－π6)23-＝(π6)23-，函数y ＝x 23-在(0，＋∞)上为减函数，因为23>π6，所以(23)23-<(π6)23-，即(－23)23-<(－π6)23-.8．解：∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m －9<0，解得m<3.又m ∈N *，∴m ＝1，2. 又函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，故m ＝1. 即幂函数y ＝x 3m －9的解析式为y ＝x －6.。

函数的奇偶性练习1．奇函数f (x )在区间［3,7］上为单调增函数，最小值为5，那么函数f (x )在区间［－7，－3］上为单调__________函数，且最__________值为__________．2．函数f (x )是R 上的偶函数，且在［0，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是__________．①f (－2)＞f (0)＞f (1)；②f (－2)＞f (1)＞f (0)；③f (1)＞f (0)＞f (－2)；④f (1)＞f (－2)＞f (0)．3．下列函数中是奇函数且在(0,1)上单调递增的函数是__________．①f (x )＝x ＋1x ；②f (x )＝x 2－1x；③(f x ；④f (x )＝x |x |．4．下列函数是奇函数的是__________． ①(1)1x x y x -=-；②y ＝－3x 2；③y ＝－|x |；④y ＝πx 3－35x ；⑤y ＝x 3·|x |． 5．若φ(x )，g (x )都是奇函数，f (x )＝aφ(x )＋bg (x )在(0，＋∞)上有最大值5，则f (x )在(－∞，0)上有__________．(填最值情况) 6．设函数()(1)()x x a f x x++=为奇函数，则a ＝__________． 7．若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则在R 上f (x )的表达式为__________．8．已知f (x )＝x 3＋1x，且f (a )＝1，则f (－a )＝____． 9．判断函数()(][)22(5)4,6,1,(5)4,1,6x x f x x x ⎧+-∈--⎪⎨--∈⎪⎩＝的奇偶性． 10．已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)，常数a ∈R ，讨论函数f (x )的奇偶性并说明理由． 11．若函数()22,0,,0,x x x f x ax x x ⎧-+>=⎨+≤⎩当a 为何值时，f (x )是奇函数？ 12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ＋3．(1)求f ［f (－1)］的值；(2)求函数f (x )的解析式；(3)求函数f (x )在区间［t ，t ＋1］(t ＞0)上的最小值．参考答案1．解析：根据题意作出如图所示的草图即可知．答案：增 大 －52．解析：由条件得f (－2)＝f (2)，因为f (x )在［0，＋∞)上单调递增，所以f (0)＜f (1)＜f (2)，即f (－2)＞f (1)＞f (0)．答案：②3．解析：由定义可知①④是奇函数，但对于函数f (x )＝x ＋1x 来说， 当x ＝12时，1()2f ＝52， 当x ＝13时，1()3f ＝103， 所以①不是递增函数．答案：④4．解析：先判断定义域关于原点是否对称，再确定f (－x )与－f (x )的关系．①中定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)关于原点不对称，所以排除①；②③均是偶函数；④⑤中函数的定义域是R ，可得f (－x )＝－f (x )，则它们是奇函数．答案：④⑤5．解析：由条件得f (－x )＝aφ(－x )＋bg (－x )＝－aφ(x )－bg (x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数，它的图象关于原点对称．答案：最小值－56．解析：由f (－x )＋f (x )＝0得(1)()(1)()x x a x a x x x++--+-＝0，解得a ＝－1． 答案：－17．解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ，∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ．综上所述，()222,0,2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩ 答案：()222,0,2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩8．解析：f (x )＝x 3＋1x的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝(－x )3＋1x -＝31x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． 因此f (－a )＝－f (a )＝－1．答案：－19．解：f (x )的定义域为(－6，－1］∪［1,6)，关于原点对称．当x ∈(－6，－1］时，－x ∈［1,6)，f (－x )＝(－x －5)2－4＝(x ＋5)2－4＝f (x )；当x ∈［1,6)时，－x ∈(－6，－1］，f (－x )＝(－x ＋5)2－4＝(x －5)2－4＝f (x )．综上可知，对于x ∈(－6，－1］∪［1,6)，都有f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．10．解：当a ＝0时，f (x )＝x 2对任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝f (x )，所以f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)，不妨取x ＝±1， f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，所以f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．所以函数既不是奇函数又不是偶函数．11．解：假设f (x )是奇函数，则有f (－x )＝－f (x )．当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝a (－x )2＋(－x )＝ax 2－x ．又∵x ＞0时，f (x )＝－x 2＋x ，∴－f (x )＝x 2－x ．∵f (－x )＝－f (x )，即ax 2－x ＝x 2－x ，∴a ＝1．下面证明()22,0,,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩是奇函数． 证明：当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )；当x ≤0时，－x ≥0，则f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )，于是22(),0,()(),0.x x x f x x x x ⎧--+>=⎨-+≤⎩－ ∴f (－x )＝－f (x )．∴假设成立，a ＝1．12．解：(1)因为f (－1)＝－f (1)＝0，故f ［f (－1)］＝f (0)，由奇函数的性质知f (0)＝0，从而有f ［f (－1)］＝0．(2)当x ＝0时，由奇函数的性质知f (0)＝0；当x ＜0时，－x ＞0，故f (x )＝－f (－x )＝－［(－x )2－4(－x )＋3］＝－x 2－4x －3． 综上所述，2243,0,()=0,0,43,0.x x x f x x x x x ⎧-+>⎪=⎨⎪---<⎩(3)当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，对称轴为x ＝2．当0＜t ≤1时，区间［t ，t ＋1］(t ＞0)在对称轴的左侧，此时f (x )min ＝f (t ＋1)＝t2－2t ；当1＜t ≤2时，对称轴在区间［t ，t ＋1］(t ＞0)内部，此时f (x )min ＝f (2)＝－1；当t ＞2时，区间［t ，t ＋1］(t ＞0)在对称轴的右侧，此时f (x )min ＝f (t )＝t 2－4t ＋3． 综上所述，()2min 22,01,1,12,43, 2.t t t f x t t t t ⎧-<≤⎪-<≤⎨⎪-+>⎩＝。

函数的性质(奇偶性)题组训练【奇偶性的判断】1．(2020·全国高一专题练习)判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋x ；(2)()f x =(3)222()1x xf x x +=+；(4)1,0()0,0,1,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩2．(2019·全国高一课时练习)判断下列函数的奇偶性：(1)()21x xf x x +=+；(2)()f x =3．(2018·上海市上南中学高一期中)已知函数()f x =，求(1)函数()f x 的定义域； (2)判断函数()f x 的奇偶性.【利用奇偶性求解析式】1．(2016·徐汇。

上海中学高一期末)已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()f x x x =+，则函数()f x 的解析式为()f x =______.2．(2020·浙江高一课时练习)函数()f x 在(,)-∞+∞上为奇函数，且当0x 时，()(1)f x x x =+，则当(0,)x ∈+∞时，()f x =________．3．(2020·吉林宁江.松原市实验高级中学高三其他(文))已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x <时，()23f x x =-，则当0x >时，()f x =______．4．(2020·呼和浩特开来中学高二期末(文))已知定义在R 上的奇函数()f x ,当0x >时, ()21f x x x =+-,那么当0x <时, ()f x 的解析式为( ). A ．()21f x x x =++B ．()21f x x x =--+C ．()21f x x x =-+-D ．()21f x x x =-++【利用奇偶性求参数】1．(2020·林芝市第二高级中学高二期末(文))已知函数()33f x x x =+，若()2f a -=，则()f a 的值为( )A ．2B ．2-C ．1D ．1-2．(2020·上海高一开学考试)函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数.若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 取值范围是( )A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]3．(2019·浙江南湖。

第 1 页 共 9 页 2020-2021学年高一上数学新教材必修一第3章：奇偶性的应用
一、选择题
1．已知函数y ＝f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，则当x <0时，f (x )的解析式是( )
A ．f (x )＝－x 2＋2x －3
B ．f (x )＝－x 2－2x －3
C ．f (x )＝x 2－2x ＋3
D ．f (x )＝－x 2－2x ＋3
2．已知f (x )是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f (－0.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是( )
A ．f (－0.5)＜f (0)＜f (－1)
B ．f (－1)＜f (－0.5)＜f (0)
C ．f (0)＜f (－0.5)＜f (－1)
D ．f (－1)＜f (0)＜f (－0.5)
3．若函数f (x )＝ax 2＋(2＋a )x ＋1是偶函数，则函数f (x )的单调递增区间为
( )
A ．(－∞，0]
B ．[0，＋∞)
C ．(－∞，＋∞)
D ．[1，＋∞)
4．一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图像如图，下列说法正确的是(
)
A ．这个函数仅有一个单调增区间
B ．这个函数有两个单调减区间
C ．这个函数在其定义域内有最大值是7
D ．这个函数在其定义域内有最小值是－7
5．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13的x 的取值范围是( )。

高一数学函数的奇偶性试题答案及解析1.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数【答案】A【解析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）-|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|-g（x）的奇偶性均不能确定故选A【考点】函数奇偶性的判断2.若定义在上的奇函数和偶函数满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】为奇函数和为偶函数，由可得，即，，可解得.故选A.【考点】函数的奇偶性.3.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，如图所示，那么不等式f(x)cosx＜0的解集是( ).A．B．C．D．【解析】图1图2如图1为f(x)在（-3，3）的图象，图2为y=cosx图象，要求得的解集，只需转化为在寻找满足如下两个关系的区间即可：，结合图象易知当时，，当时，，当时，，故选B.【考点】奇函数的性质，余弦函数的图象，数形结合思想.4.已知函数为偶函数，且若函数，则= ．【答案】2014【解析】由函数为偶函数，且得从而，故应填入2014．【考点】函数的奇偶性．5.若函数在其定义域上为奇函数，则实数 .【答案】【解析】小题可采用带特殊值法求得，检验此时在处有定义.【考点】奇函数定义及特殊值法.6.函数的图像大致是（）【答案】A【解析】因为的定义域为且，所以为上的偶函数，该函数的图像关于轴对称，只能是图像A、C选项之一，而，故选A.【考点】1.函数的图像；2.函数的奇偶性.7.已知，，则_ ____．【答案】5【解析】函数，，又为奇函数，所以.【考点】函数奇偶性.8.已知是奇函数，且，则．【解析】令，因为此函数是奇函数，所以。

函数的单一性和奇偶性例 1（1）画出函数y＝ -x2+2｜ x｜+3 的图像，并指出函数的单一区间．解：函数图像以以下图所示，当 x≥0时，y＝ -x2+2x+3 ＝ -（ x-1）2+4；当 x＜ 0 时，y＝ -x2-2x+3 ＝ -（ x+1）2+4 ．在（ -∞，-1］和［ 0， 1］上，函数是增函数：在［-1， 0］和［ 1， +∞）上，函数是减函数．评析函数单一性是对某个区间而言的，对于单唯一个点没有增减变化，所以对于区间端点只需函数存心义，都能够带上．（ 2）已知函数 f（ x）＝ x2+2 （ a-1）x+2在区间（ -∞， 4］上是减函数，务实数 a 的取值范围．剖析要充足运用函数的单一性是以对称轴为界限这一特点．解： f（ x）＝ x2+2（ a-1）x+2 ＝［ x+ （ a-1）］２x＝ 1-a．因为-（ a-1）2+2，此二次函数的对称轴是在区间（ -∞， 1-a］上 f（ x）是单一递减的，若使f（ x）在（ -∞，4］上单一递减，对称轴x＝1-a 一定在 x=4 的右边或与其重合，即 1-a≥4， a≤-3．评析这是波及逆向思想的问题，即已知函数的单一性，求字母参数范围，要注意利用数形联合．例 2判断以下函数的奇偶性：（ 1） f （ x）＝-（ 2） f （ x）＝（ x-1）．解：（ 1）f （ x）的定义域为R．因为f （ -x）＝｜ -x+1 ｜ -｜ -x-1 ｜＝｜ x-1｜ -｜ x+1 ｜＝ -f （x）．所以 f（ x）为奇函数．（2） f （ x）的定义域为｛ x｜ -1≤x＜ 1｝，不对于原点对称．所以f（ x）既不是奇函数，也不是偶函数．评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法以下：（1）求函数的定义域，并考察定义域能否对于原点对称．（ 2）计算 f（ -x），并与f（ x）比较，判断 f （ -x）＝ f（ x）或 f（-x）＝ -f（ x）之一能否建立．f （ -x）与 -f （ x）的关系其实不明确时，可考察f（ -x）±f（x）＝ 0 能否建立，从而判断函数的奇偶性．例 3已知函数f（ x）＝．（1）判断 f（ x）的奇偶性．（2）确立 f（ x）在（ -∞， 0）上是增函数仍是减函数 ?在区间（ 0，+∞）上呢 ?证明你的结论．解：因为 f （ x）的定义域为R，又f （ -x）＝＝＝ f （ x），所以 f（ x）为偶函数．（ 2）f（ x）在（ -∞，0）上是增函数，因为f（ x）为偶函数，所以f（x）在（ 0，+∞）上为减函数．其证明：取 x1＜ x2＜ 0，f （ x1） -f （ x2）＝-＝＝．因为 x1＜ x2＜ 0，所以x2-x1＞ 0， x1+x 2＜ 0，x21 +1＞ 0， x22+1＞ 0，得 f （ x1） -f （ x2）＜ 0，即 f （ x1）＜ f（x2）．所以 f（ x）在（ -∞， 0）上为增函数．评析奇函数在（ a,b）上的单一性与在（ -b,-a）上的单一性同样，偶函数在（ a,b）与（ -b,-a）的单一性相反．例 4 已知 y=f （ x）是奇函数，它在（ 0， +∞）上是增函数，且 f（ x）＜ 0，试问 F（ x）＝在（ -∞， 0）上是增函数仍是减函数 ?证明你的结论．剖析依据函数的增减性的定义，能够任取x1＜ x2＜ 0，从而判断F（ x1）-F（ x2）＝-＝的正负．为此，需分别判断f（ x1）、 f （ x2）与 f （ x2）的正负，而这能够从已条件中推出．解：任取 x1、x2∈（ -∞，0）且 x1＜ x2，则有 -x1＞ -x2＞ 0．∵ y＝f （x）在（ 0，+∞）上是增函数，且 f （ x）＜ 0，∴ f （ -x2）＜ f（ -x1）＜ 0．①又∵ f（ x）是奇函数，∴ f （ -x2）＝ -f（ x2）， f（ -x1）＝ -f （ x1）②由①、②得f（ x2）＞ f（x1）＞ 0．于是F（x1） -F（ x2）＝＞ 0，即F（x1）＞ F（ x2），所以 F（ x）＝在（ -∞， 0）上是减函数．评析本题最简单发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在（0， +∞）内任取 x1＜ x2，睁开证明．这样就不可以保证-x1，-x2，在（ -∞， 0）内的随意性而致使错误．防止错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地睁开证明活动．-1， 1）内的单一性．例 5 议论函数 f（ x）＝（ a≠0）在区间（剖析依据函数的单一性定义求解．解：设 -1＜ x1＜ x2＜１，则f （ x1） -f （ x2）＝-＝∵ x1， x2∈（ -1，1），且 x1＜ x２，∴x1-x2＜ 0， 1+x1x2＞ 0，（ 1-x 21）（ 1-x 22）＞ 0于是，当a＞ 0 时， f （x1）＜ f（ x2）；当 a＜ 0 时， f （x1）＞ f（ x2）．故当 a＞0 时，函数在（-1， 1）上是增函数；当a＜0 时，函数在（-1， 1）上为减函数．评析依据定义议论（或证明）函数的单一性的一般步骤是：（ 1）设 x1、x2是给定区间内随意两个值，且x1＜ x2；（2）作差 f（ x1） -f （ x2），并将此差式变形；（3）判断 f（ x1） -f （ x2）的正负，从而确立函数的单一性．例 6 求证： f（ x）＝ x+（k＞0）在区间（0，k］上单一递减．解：设 0＜x1＜x2≤k，则f （ x1） -f （ x2）＝ x1+-x2-＝∵ 0＜ x1＜ x2≤k，∴x1-x2＜ 0， 0＜ x1x2＜ k2，∴f （ x1） -f （ x2）＞ 0∴f （ x1）＞ f （ x2），∴f （ x）＝ x+中（0，k］上是减函数．评析函数 f （ x）在给定区间上的单一性反应了函数 f （x）在区间上函数值的变化趋向，是函数在区间上的整体性质．所以，若要证明f（ x）在［ a,b］上是增函数（减函数），就一定证明对于区间［ a,b］上随意两点x1， x2，当 x1＜ x2时，都有不等式f（ x1）＜ f（ x2）（ f （x1）＞ f （ x2））近似能够证明：函数 f（ x）＝ x+（k＞0）在区间［k，+∞］上是增函数．例 7剖析判断函数f（ x）＝的奇偶性．确立函数的定义域后可脱去绝对值符号．解：由得函数的定义域为［-1，1］．这时，｜x-2 ｜＝ 2-x．∴ f （ x）＝，∴ f （ -x）＝＝＝f（x）．且注意到 f （x）不恒为零，从而可知， f （x）＝是偶函数，不是奇函数．评析因为函数分析式中的绝对值使得所给函数不像拥有奇偶性，若不作深入思虑，便会作出其非奇非偶的判断．但隐含条件（定义域）被揭露以后，函数的奇偶性就特别显然了．这样看来，解题中先确立函数的定义域不单能够防止错误，并且有时还能够避开议论，简化解题过程．函数奇偶性练习一、选择题1．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠ 0）是偶函数，那么g（ x）＝ ax3＋ bx2＋ cx（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（）A．1a， b＝0． a＝－， b＝0． a＝，b＝0．a＝， b＝0C D33．已知f（x）是定义在 R 上的奇函数，当x≥ 0 时，f（x）＝x2－ 2x，则f（x）在 R 上的表达式是（）A．y＝ x（ x－ 2）B．y ＝ x（｜ x｜－ 1） C．y ＝｜ x｜（ x－2）D．y＝ x（｜ x｜－ 2）4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－ 8，且f（－ 2）＝ 10，那么f（ 2）等于（）A．－ 26B．－ 18C．－ 10D．105．函数1x 2x1）f ( x)x 2是（1x1A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数6．若(x) ，g（x）都是奇函数， f ( x)a bg ( x) 2 在（0，＋∞）上有最大值5，则 f （ x）在（－∞，0）上有（）A．最小值－ 5B．最大值－ 5C．最小值－ 1D．最大值－ 3二、填空题x22 7．函数f ( x)1的奇偶性为 ________（填奇函数或偶函数）．x 28．若y ＝（－1）x2＋2＋ 3 是偶函数，则＝ _________．m mx m9．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若1，则 f （ x）的分析式为_______．f (x) g (x)x110．已知函数f（ x）为偶函数，且其图象与 x 轴有四个交点，则方程 f（ x）＝0的全部实根之和为________．三、解答题11．设定义在［－ 2，2］上的偶函数f （）在区间［ 0， 2］上单一递减，若f（1－）＜f（），务实x m m数 m的取值范围．12．已知函数 f （ x）知足 f （x＋ y）＋ f （ x－ y）＝2f （ x）· f （ y）（x R，y R），且f（0）≠0，试证 f （ x）是偶函数．13. 已知函数f （）是奇函数，且当x＞0 时，f（）＝x3＋2 2—1，求f（）在 R上的表达式．x x x x14. f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且 f （x）在［5，＋∞）上单一递减，试判断 f （x ）在（－∞，－ 5］上的单一性，并用定义赐予证明．15. 设函数 y ＝ f （ x ）（ x R 且 x ≠0）对随意非零实数x 1、 x 2 知足 f （ x 1· x 2）＝ f （ x 1）＋ f （ x 2），求证 f （ x ）是偶函数．函数的奇偶性练习参照答案1． 分析： f （ x ）＝ ax 2＋ bx ＋ c 为偶函数， ( x) x 为奇函数，∴ g （ x ）＝ ax 3＋ bx 2＋ cx ＝ f （ x ）· ( x) 知足奇函数的条件． 答案： A2．分析： 由f（ ）＝2＋ bx＋ 3 ＋ b 为偶函数，得 b ＝ 0．xax a1 ．应选 A ．又定义域为［ a －1， 2a ］，∴ a － 1＝2a ，∴ a33．分析： 由 x ≥ 0 时， f （ x ）＝ x 2－ 2x ， f （ x ）为奇函数，∴当 x ＜ 0 时， f （ x ）＝－ f （－ x ）＝－（ x 2＋2x ）＝－ x 2－ 2x ＝ x （－ x －2）．x(x 2) ( x 0) ,∴ f ( x)2) ( x 0) 即 f （x ）＝ x （| x | － 2）x( x,答案： D4．分析： f （x ）＋ 8＝x 5＋ ax 3＋ bx 为奇函数，f （－ 2）＋ 8＝ 18，∴ f （2）＋ 8＝－ 18，∴ f （ 2）＝－ 26．答案： A5．分析： 本题直接证明较烦，可用等价形式f （－ x ）＋ f （x ）＝ 0．答案： B6．分析：( x) 、 g （x ）为奇函数，∴ f (x)2 a ( x) bg (x) 为奇函数．又 f （x ）在（ 0，＋∞）上有最大值5，∴ f （ x ）－ 2 有最大值3．∴ f （ x ）－ 2 在（－∞， 0）上有最小值－ 3， ∴ f （ x ）在（－∞， 0）上有最小值－ 1． 答案：C7．答案： 奇函数8．答案： 0 分析： 因为函数 y ＝（ m － 1） x 2＋ 2mx ＋ 3 为偶函数，∴ f （－ x ）＝ f （x ），即（ m － 1）（－ x ） 2＋ 2m （－ x ）＋ 3＝（ m — 1） x 2＋ 2mx ＋ 3，整理，得 m＝ 0．9．分析： 由 f （ x ）是偶函数， g （ x ）是奇函数，可得f (x)g( x) 1 ，联立 f ( x) g ( x)1x 1x，∴1 (1111f ( x)x 11 ) ．2 x x 2 1答案： f (x)1 10．答案： 011 ． 答案： m1x21212． 证明： 令 x ＝ ＝ 0，有 f （ 0）＋f （0）＝ 2 （ 0）· （0），又 f （ 0）≠ 0，∴可证 f （ 0）＝ 1．令xyf f＝ 0，∴ f （ y ）＋ f （－ y ）＝ 2f （0）· f （ y ） f （－ y ）＝ f （ y ），故 f （ x ）为偶函数．13． 分析： 本题主假如培育学生理解观点的能力．f （ x ）＝ x 3＋ 2x 2－ 1．因 f （x ）为奇函数，∴ f （ 0）＝ 0．当 x ＜0 时，－ x ＞ 0， f （－ x ）＝（－ x ） 3＋ 2（－ x ） 2－1＝－ x 3＋ 2x 2－ 1， ∴ f （ x ）＝ x 3－ 2x 2＋ 1．x 3 2 x 21 ( x 0) , 所以， f (x)( x 0) ,x 32x 21( x0) .评论： 本题主要考察学生对奇函数观点的理解及应用能力．14． 分析： 任取 x 1＜ x 2≤－ 5，则－ x 1＞－ x 2≥－ 5．因 f （x ）在［ 5，＋∞］上单一递减，所以f （－ x 1）＜ f （－ x 2） f （ x 1）＜－ f （ x 2） f （ x 1）＞f （ x 2），即单一减函数．评论： 本题要注意灵巧运用函数奇偶性和单一性，并实时转变．15． 分析： 由 x 1， x 2 R 且不为 0 的随意性，令 x 1＝ x 2＝ 1 代入可证，f （ 1）＝ 2f （ 1），∴ f （ 1）＝0．又令 x 1＝x 2＝－ 1，∴ f ［－ 1×（－ 1）］＝ 2f （1）＝ 0，∴（－ 1）＝ 0．又令 x 1＝－ 1， x 2＝ x ，∴ f （－ x ）＝ f （－ 1）＋ f （ x ）＝ 0＋ f （ x ）＝ f （ x ），即 f （ x ）为偶函数．评论： 抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特别值，如，x 1＝ x 2＝ 1， x 1＝x 2＝－ 1 或 x 1＝x2＝0等，而后再联合详细题目要求结构出合适结论特点的式子即可．。

2020年高中数学《函数的奇偶性》精选练习一、选择题1.函数y=-x4+x2+2的图像大致为( )2.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f(2x-1)<f()的x取值范围是( )A.(,)B.[,)C.(,)D.[,)3.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时，f(x)=x-2，那么不等式f(x)<0.5的解集是( )A.{x|0≤x<2.5}B.{x|－1.5<x≤0}C.{x|－1.5<x<0，或x>2.5}D.{x|x<－1.5或0≤x<2.5}4.已知f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)=(1-x)x，则x<0时，f(x)=( )A.-x(1＋x)B.x(1＋x)C.-x(1-x)D.x(1-x)5.已知f(x)=x7＋ax5＋bx-5，且f(-3)=5，则f(3)=( )A.-15B.15C.10D.-106.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0,＋∞)上是减函数，若f(a)≥f(-2)，则a取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[2,＋∞)C.(-∞,-2]∪[2,＋∞)D.[-2,2]7.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(-∞，0]上是减函数，且f(3)=0，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )A.(-∞，3)∪(3，＋∞)B.(-∞，3)C.(3，＋∞)D.(-3,3)8.已知f(x)为奇函数，当x∈(-∞，0)时，f(x)=x＋2，则f(x)>0的解集为( )A.(-∞，-2)B.(2，＋∞)C.(-2,0)∪(2，＋∞)D.(-∞，-2)∪(0,2)9.设f(x)在[-2,-1]上为减函数,最小值为3,且f(x)为偶函数,则f(x)在[1,2]上( )A.为减函数，最大值为3B.为减函数，最小值为-3C.为增函数，最大值为-3D.为增函数，最小值为310.设f(x)是偶函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则x ∙f(x)<0的解集为（ ） A. B.C.D.11.若f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在[0,+∞)上是减函数，则f(-1.5)与f(a 2+2a+2.5)的大小关系是（ ）A.f(-1.5)>f(a 2+2a+2.5)B.f(-1.5)<f(a 2+2a+2.5)C.f(-1.5)≥f(a 2+2a+2.5)D.f(-1.5)≤f(a 2+2a+2.5) 12.已知函数f(x)=(m-1)x 2+(m-2)x+(m 2-7m+12)为偶函数，则m 的值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.413.定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(0.5)=0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf(x)＞0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x<－12或x>12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0<x<12或－12<x<0C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x<12或x<－12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x<0或x>12 14.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增的，则满足f(2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 15.已知函数f(x)=px 2＋2q －3x 是奇函数，且f(2)=－53，则函数f(x)的解析式f(x)=________.二 、填空题16.设f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≤0时,f(x)=2x 2－x,则f(1)=________.17.定义在R 上的奇函数f(x)，当x ＞0时，f(x)=2x －x 2，则f(－1)＋f(0)＋f(3)=_________.18.偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为________.19.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x ＋2)=－f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)=x ，则f(7.5)=________.20.已知奇函数f(x)的定义域为R，且对于任意实数x都有f(x＋4)=f(x)，又f(1)=4，那么f[f(7)]=________.21.已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=2x－2，则不等式f(x－1)≤2的解集是__________.22.已知f(x)，g(x)均为奇函数，F(x)=af(x)＋bg(x)－2，且F(－3)=5，则F(3)的值为______.23.函数y=f(x)在定义域（-1，1）上是单调递减函数，且f(1-a)<f(a2-1)，则a取值范围是___________.三、解答题24.已知f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数，且在(0,1)上为增函数，若f(a-2)-f(4-a2)<0，求实数a的取值范围．25.已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与f(0.75)的大小.26.f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数，且是单调递减函数，若f(2-a)+f(2a-3)<0，求a的取值范围.27.已知函数（1）判断并证明f(x)的奇偶性；（2）证明：函数f(x)在区间(1,+∞)上为增函数；（3）求函数f(x)在区间[1,3]的最值.28.已知定义在R上的函数f(x)，对任意的x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x＞0时,f(x)＞0．（1）求f(0)的值，判断f(x)的奇偶性并说明理由；（2）求证：f(x)在(﹣∞，+∞)上是增函数；（3）若不等式f(k•2x)+f(2x﹣4x﹣2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．29.函数f（x）的定义域为{x|x∈R,x≠0}对一切x、y∈R，都有f(xy)=f(x)+f(y). （1）判断函数的奇偶性，并证明；（2）如果f(4)=1，且f(x)在（0,＋∞)）上是增函数,解不等式：f(3x+1)+f(2x-6)≤3.30.已知分段函数f(x)是奇函数,x∈(0,+∞)时的解析式为f(x)=.(1)求f(-1)的值.(2)求函数f(x)在(-∞,0)上的解析式.(3)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.答案解析31.D32.A 33.D 34.B35. [答案]A [解析]解法设g(x)=x 7＋ax 5＋bx ，则g(x)为奇函数， ∵f(-3)=g(-3)-5=-g(3)-5=5，∴g(3)=-10，∴f(3)=g(3)-5=－15. 36.D37. [答案] D [解析] ∵f(x)为偶函数，f(3)=0，∴f(-3)=0，又f(x)在(-∞，0]上是减函数，故-3<x ≤0时，f(x)<0.x<-3时，f(x)>0，故0<x<3时，f(x)<0，x>3时，f(x)>0，故使f(x)<0成立的x ∈(-3,3)． 38.C39. [答案] D[解析]∵f(x)在[-2，-1]上为减函数，最大值为3，∴f(-1)=3，又∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[1,2]上为增函数，且最小值为f(1)=f(-1)=3. 40.C 41.C 42.B43.答案为：B解析：∵函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f(0.5)=0， ∴f(-0.5)=0，且在区间(－∞，0)上单调递减， ∵当－0.5＜x ＜0时，f(x)＜0，此时xf(x)＞0， 当0＜x ＜0.5时，f(x)＞0，此时xf(x)＞0，综上，xf(x)＞0的解集为0<x<0.5或－12<x<0.44.答案为：A;解析：∵f(x)在[0，＋∞)上是单调递增，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，∴－13＜2x －1＜13，解得13＜x ＜23.45.答案为：－2x 2＋23x；解析：f(x)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，q 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫q 3，＋∞，若f(x)是奇函数，则q 3=0，得q=0. 故f(x)=px 2＋2－3x ，又f(2)=－53，得p ×4＋2－6=－53，得p=2，因此f(x)=2x 2＋2－3x =－2x 2＋23x.二 、填空题46.答案:-3.47.答案为：－2；解析：由函数f(x)在R 上是奇函数，则f(0) =0，又x ＞0时，f(x)=2x －x 2， 则f(3)=－1，f(－1)=－f(1)=－1，则f(－1)＋f(0)＋f(3)=－2. 48.答案为：[－1,0]，[1，＋∞)；解析：偶函数的图象关于y 轴对称，可知函数f(x)的增区间为[－1,0]，[1，＋∞). 49.答案为：－0.5； 50.答案为：0；解析：∵f(7)=f(3＋4)=f(3)=f(－1＋4)=f(－1)=－f(1)=－4，∴f[f(7)]=f(－4)=f(－4＋4)=f(0)=0.51.答案为：[－1，3]；解析：当x≥0时，f(x)=2x－2，当x＜0时，f(x)=2－x－2，不等式f(x)≤2得－2≤x≤2，则不等式f(x－1)≤2得－2≤x－1≤2，得－1≤x≤3.52.答案为：－9；解析：设G(x)=af(x)＋bg(x).∵f(x)，g(x)为奇函数，∴G(x)为奇函数.∵F(－3)=G(－3)－2=5，∴G(－3)=7.∴G(3)=－G(－3)=－7.∴F(3)=G(3)－2=－7－2=－9.53.答案为：0<a<1；解析：f(1-a)<f(a2-1)0<a<1.三、解答题54. [解析]由f(a-2)-f(4-a2)<0得 f(a-2)<f(4-a2)又f(x)在(-1,1)上为偶函数，且在(0,1)上递增，∴-1<a-2<1,-1<4-a2<1,0<|a-2|<|4-a2|,解得<a<，且a≠2.55.解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.56.解：f(2-a)+f(2a-3)<0错误!未找到引用源。

第13课时函数的奇偶性课时目标1.掌握利用函数的奇偶性定义判断函数奇偶性的方法和步骤．2．掌握奇偶函数的图象的对称性，并能利用其正确作出奇偶函数的草图．识记强化1．奇(偶)函数的概念．(1)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．(2)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．(3)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，就说f(x)具有奇偶性．2．奇(偶)函数的图象特点．(1)奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数．(2)偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．(3)若当x＝0时奇函数f(x)有意义，则f(0)＝0.课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．函数f(x)＝(x－1)·1＋x1－x，x∈(－1,1)()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．是非奇非偶函数答案：B解析：∵x∈(－1,1)，∴x－1＜0.∴f(x)＝(x－1)·1＋x1－x＝－1－x2.g (x )是偶函数得g (－x )＝g (x )， H (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x ) ＝－H (x )所以H (x )＝f (x )·g (x )在区间D 上为奇函数．6．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a －b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝( ) A ．－13 B.13C ．0D ．1 答案：B解析：由偶函数的定义，知[a －1,2a ]关于原点对称，所以2a ＝1－a ，解得a ＝13.又f (x )为偶函数，则b＝0. 所以a ＋b ＝13.二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3x ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a ]，则2a ＋3b ＝________. 答案：－253解析：因为偶函数的定义域关于原点对称， 所以(a －1)＋2a ＝0，所以a ＝13.因为偶函数的图象关于y 轴对称， 所以－b ＋32a ＝0，所以b ＝－3.故2a ＋3b ＝－253.8．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜0的解集为________．答案：(－2,0)∪(2,5]解析：由奇函数的图象关于原点对称，作出函数f (x )在[－5,0)的图象，由图象可以看出，不等式f (x )＜0的解集是(－2，0)∪(2,5]，如图所示．9．已知f (x )、g (x )是R 上的奇函数，若F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在区间(0，＋∞)上的最大值为5，则F (x )在(－∞，0)上的最小值为________．答案：－1∴f(－7)＝g(－7)＋7＝－17，得g(－7)＝－24.∴f(7)＝g(7)＋7＝24＋7＝31.13．(15分)函数f(x)的图象关于y轴对称，且x≥0时f(x)＝x2－2x.求满足f(x－1)<3的x取值范围．解：∵f(x)图象关于y轴对称，所以函数f(x)为偶函数x≥0时，x2－2x＝3，x＝3或x＝－1(舍去)即f(3)＝3.∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)结合图象f(x－1)<3，f(|x－1|)<f(3)∴|x－1|<3，－2<x<4.。

高一数学函数练习题一、求函数的定义域1、 求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-+-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是二、求函数的值域4、求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈31y x x =-++y =三、求函数的解析式系已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。

已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。

已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。

设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y = ⑶ 261y x x =--7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g =； ⑷x x f =)(， ()g x = ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。

A 、⑴、⑵B 、 ⑵、⑶C 、 ⑷D 、 ⑶、⑸10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ）A 、(－∞,+∞)B 、(0,43]C 、(43,+∞)D 、[0,43)11、若函数()f x =R ，则实数m 的取值范围是（ ）(A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ）(A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<<13、函数()f x = ）A.[2,2]- B.(2,2)- C.(,2)(2,)-∞-+∞ D.{2,2}-14、函数1()(0)f x x x x=+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数15、函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x =16、已知函数f x ()的定义域是(]01，，则g x fxafxa a ()()()()=+⋅--<≤120的定义域为 。

人教版高中数学必修一《函数的奇偶性》精选习题（含答案）一、选择题1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)2．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)<f(1)，则下列不等式中一定成立的是()A．f(－1)<f(－3) B．f(2)<f(3)C．f(－3)<f(5) D．f(0)>f(1)3．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则() A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式f(x)－f(－x)x<0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于()A．0.5B．－0.5C．1.5D．－1.56．若奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则{x|x·f(x)<0}等于() A．{x|x>3，或－3<x<0}B．{x|0<x<3，或x<－3}C．{x|x>3，或x<－3}D．{x|0<x<3，或－3<x<0}二、填空题7．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1，那么x<0时，f(x)＝____________.8．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递增区间是____________．9．已知f(x)＝ax7－bx＋2且f(－5)＝17，则f(5)＝____________.三、解答题10．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．11．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)<f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．能力提升12．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)＋1为奇函数D．f(x)＋1为偶函数13．若函数y＝f(x)对任意x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)指出y＝f(x)的奇偶性，并给予证明；(2)如果x>0时，f(x)<0，判断f(x)的单调性；(3)在(2)的条件下，若对任意实数x，恒有f(kx2)＋f(－x2＋x－2)>0成立，求k的取值范围．参考答案与解析1．A [∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，又∵f (x )在[0，＋∞)上是增函数，∴f (2)<f (3)<f (π)，即f (π)>f (－3)>f (－2)．]2．D [∵f (－3)＝f (3)，∴f (3)<f (1)．∴函数f (x )在x ∈[0,5]上是减函数．∴f (0)>f (1)，故选D.]3．A [f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x 1)＝f (x 1)．又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，x 2>－x 1>0，∴f (－x 2)＝f (x 2)<f (－x 1)．]4．C [∵f (x )为奇函数，∴f x －f －x x <0，即f x x <0，当x ∈(0，＋∞)，∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数且f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )<0.由奇函数图象关于原点对称，所以在(－∞，0)上f (x )为减函数且f (－1)＝0，即x <－1时，f (x )>0.综上使f x x <0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]5．B [由f (x ＋2)＝－f (x )，则f (7.5)＝f (5.5＋2)＝－f (5.5)＝－f (3.5＋2)＝f (3.5)＝f (1.5＋2)＝－f (1.5)＝－f (－0.5＋2)＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5.]6．D [依题意，得x ∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f (x )<0；x ∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f (x )>0.由x ·f (x )<0，知x 与f (x )异号，从而找到满足条件的不等式的解集．]7．－x 2＋x ＋1解析 由题意，当x >0时，f (x )＝x 2＋|x |－1＝x 2＋x －1，当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )2＋(－x )－1＝x 2－x －1，又∵f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝x 2－x －1，即f (x )＝－x 2＋x ＋1.8．(－∞，0]解析 因为f (x )是偶函数，所以k －1＝0，即k ＝1.∴f (x )＝－x 2＋3，即f (x )的图象是开口向下的抛物线．∴f (x )的递增区间为(－∞，0]．9．－13解析 (整体思想)f (－5)＝a (－5)7－b (－5)＋2＝17⇒(a ·57－5b )＝－15， ∴f (5)＝a ·57－b ·5＋2＝－15＋2＝－13.10．解 由f (m )＋f (m －1)>0，得f (m )>－f (m －1)，即f (1－m )<f (m )．又∵f (x )在[0,2]上为减函数且f (x )在[－2,2]上为奇函数，∴f (x )在[－2,2]上为减函数．∴⎩⎨⎧ －2≤1－m ≤2－2≤m ≤21－m >m ，即⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m ≤3－2≤m ≤2m <12，解得－1≤m <12.11．解 由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增， 可知f (x )在(0，＋∞)上递减．∵2a 2＋a ＋1＝2(a ＋14)2＋78>0， 2a 2－2a ＋3＝2(a －12)2＋52>0，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，∴2a 2＋a ＋1>2a 2－2a ＋3，即3a －2>0，解得a >23. 12．C [令x 1＝x 2＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋1，解得f (0)＝－1.令x 2＝－x 1＝x ，得f (0)＝f (－x )＋f (x )＋1，即f (－x )＋1＝－f (x )－1，令g (x )＝f (x )＋1，g (－x )＝f (－x )＋1，－g (x )＝－f (x )－1，即g (－x )＝－g (x )．所以函数f (x )＋1为奇函数．]13．解 (1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0.令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )，∴f (x )＋f (－x )＝0，即f (x )＝－f (－x )，所以y ＝f (x )是奇函数．(2)令x ＋y ＝x 1，x ＝x 2，则y ＝x 1－x 2， 得f (x 1)＝f (x 2)＋f (x 1－x 2)．设x 1>x 2，∵x >0时f (x )<0，∴f (x 1－x 2)<0， 则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 所以y ＝f (x )为R 上的减函数．(3)由f (kx 2)＋f (－x 2＋x －2)>0， 得f (kx 2)>－f (－x 2＋x －2)，∵f (x )是奇函数，有f (kx 2)>f (x 2－x ＋2)， 又∵f (x )是R 上的减函数，∴kx 2<x 2－x ＋2，即(k －1)x 2＋x －2<0对于x ∈R 恒成立， 即⎩⎨⎧ k －1<0Δ＝1＋8k －1<0，故k <78.。

《函数的奇偶性》练习题1．函数f （x ）=x(-1﹤x ≦1)的奇偶性是（ ）A ．奇函数非偶函数B ．偶函数非奇函数C ．奇函数且偶函数D ．非奇非偶函数2. 已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是( ）A .奇函数B .偶函数C .既奇又偶函数D .非奇非偶函数 3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( )A.(-∞,2)B. (2,+∞)C. (-∞,-2)⋃(2,+∞)D. (-2,2) 4．已知函数f (x )是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.当x ∈(－∞,0)时，f (x )=x -x 4，则 当x ∈(0.+∞)时，f (x )= . 5. 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝lg (12+x -x ); (2)f (x )＝2-x +x -211)()3(22-⋅-=x x x fx x x x f -+-=11)1()()4(221)()5(2-+-=x x x f6.已知g (x )=－x 2－3,f (x )是二次函数，当x ∈[-1,2]时，f (x )的最小值是1，且f (x )+g (x )是奇函数，求f (x )的表达式。

7.定义在（-1，1）上的奇函数f （x ）是减函数，且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求a 的取值范围8.已知函数21()(,,)ax f x a b c N bx c+=∈+是奇函数,(1)2,(2)3,f f =<且()[1,)f x +∞在上是增函数,(1)求a,b,c 的值;(2)当x ∈[-1,0)时,讨论函数的单调性.9.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数；(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．10下列四个命题：（1）f （x ）=1是偶函数；（2）g （x ）=x 3，x ∈（－1，1]是奇函数；（3）若f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则H （x ）=f （x ）·g （x ）一定是奇函数； （4）函数y =f （|x |）的图象关于y 轴对称，其中正确的命题个数是 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．411下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是( )A.()sin f x x =B.()1f x x =-+C.()1()2x x f x a a -=+ D.2()2xf x lnx-=+ 12若y =f （x ）（x ∈R ）是奇函数，则下列各点中，一定在曲线y =f （x ）上的是（ ） A ．（a ，f （－a ）） B ．（－sin a ，－f （－sin a ））C ．（－lg a ，－f （lg a1）） D ．（－a ，－f （a ））13. 已知f （x ）=x 4+ax 3+bx －8，且f （－2）=10，则f （2）=_____________。