正电荷粒子在磁场中的运动方向

第3节 带电粒子在匀强磁场中的运动核心素养导学一、带电粒子在匀强磁场中的运动1．带电粒子沿着与磁场垂直的方向射入匀强磁场，由于带电粒子初速度的方向和洛伦兹力的方向都在与磁场方向 的平面内。

所以，粒子只能在该平面内运动。

2．洛伦兹力总是与粒子运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。

3．粒子速度大小不变，粒子在匀强磁场中所受洛伦兹力大小也不改变，洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，粒子做 运动。

带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，带电粒子的重力忽略不计，洛伦兹力提供向心力。

二、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期1．半径公式由洛伦兹力提供向心力q v B ＝m v 2r ，可得圆周运动的半径r ＝ 。

2．周期公式匀速圆周运动的周期T ＝2πr v ，将r ＝m v qB 代入，可得T ＝ 。

1.电子以某一速度进入洛伦兹力演示仪中。

(1)励磁线圈通电前后电子的运动情况相同吗？提示：①通电前，电子做匀速直线运动。

②通电后，电子做匀速圆周运动。

(2)电子在洛伦兹力演示仪中做匀速圆周运动时，什么力提供向心力？提示：洛伦兹力提供向心力。

2.如图，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。

判断下列说法的正误。

(1)运动电荷在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与速度有关。

( )(2)带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入匀强磁场时速度的大小有关。

( )(3)带电粒子若垂直进入非匀强磁场后做半径不断变化的运动。

( )新知学习(一)⎪⎪⎪带电粒子做圆周运动的半径和周期[任务驱动]美丽的极光是由来自太阳的高能带电粒子流进入地球高空大气层出现的现象。

科学家发现并证实，向地球两极做螺旋运动的这些高能粒子的旋转半径是不断减小的，这主要与哪些因素有关？提示：一方面磁场在不断增强，另一方面由于大气阻力粒子速度不断减小，根据r ＝m v qB，半径r 是不断减小的。

[重点释解]1．由公式r ＝m v qB 可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径r 与比荷q m 成反比，与速度v 成正比，与磁感应强度B 成反比。

带电粒子在磁场中做圆周运动的分析方法湖北省郧西县第二中学王兴青带电粒子在有界、无界磁场中的运动类试题在高考试题中出现的几率几乎为l00％，涉及临界状态的推断、轨迹图象的描绘等。

试题综合性强、分值大、类型多，能力要求高，有较强的选拔功能，故平时学习时应注意思路和方法的总结。

解答此类问题的基本规律是“四找”：找圆心、找半径、找周期或时间、找几何关系。

一、知识点：若v⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动，如右图所示。

1、轨道半径带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力: F=qvB粒子做匀速圆周运动的向心力:v2F向=mrv2粒子受到的洛伦兹力提供向心力: qvB=mrm v所以轨道半径公式: r=Bq带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径跟粒子的运动速率成正比．速率越大．轨道半径也越大．2、周期由r=Bqm v 和T=v r π2得：T= qB m π2 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T 跟轨道半径r 和运动速度v 无关．二、带电粒子在磁场中做圆周运动的分析方法1、圆心的确定带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关键。

首先，应有一个最基本的思路：即圆心一定在与速度方向垂直的直线上。

在实际问题中圆心位置的确定极为重要，通常有四种情况：(1)已知入射方向和出射方向，通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图l 所示，图中P 为入射点，M 为出射点)(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图2所示，P为入射点，M 为出射点)。

(3)两条弦的中垂线：如图3所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过0、A 、B 三点时，其圆心O ’在OA 、OB 的中垂线的交点上. (4)已知入射点、入射方向和圆周的一条切线：如图4所示，过入射点A 做v 垂线A0．延长v 线与切线CD 交于C 点，做∠ACD 的角平分线交A0于0点，0点即为圆心，求解临界问题常用。

难点之九：带电粒子在磁场中的运动 一、难点突破策略〔一〕明确带电粒子在磁场中的受力特点 1. 产生洛伦兹力的条件：①电荷对磁场有相对运动．磁场对与其相对静止的电荷不会产生洛伦兹力作用． ②电荷的运动速度方向与磁场方向不平行． 2. 洛伦兹力大小：当电荷运动方向与磁场方向平行时，洛伦兹力f=0；当电荷运动方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力最大，f=qυB； 当电荷运动方向与磁场方向有夹角θ时，洛伦兹力f= qυB·sin θ 3. 洛伦兹力的方向：洛伦兹力方向用左手定则判断 4. 洛伦兹力不做功．〔二〕明确带电粒子在匀强磁场中的运动规律 带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下：1. 假设带电粒子沿磁场方向射入磁场，即粒子速度方向与磁场方向平行，θ＝0°或180°时，带电粒子粒子在磁场中以速度υ做匀速直线运动．2. 假设带电粒子的速度方向与匀强磁场方向垂直，即θ＝90°时，带电粒子在匀强磁场中以入射速度υ做匀速圆周运动．①向心力由洛伦兹力提供：R v mqvB 2= ②轨道半径公式：qB mvR =③周期：qB m 2v R 2T π=π=，可见T 只与q m有关，与v 、R 无关。

〔三〕充分运用数学知识〔尤其是几何中的圆知识，切线、弦、相交、相切、磁场的圆、轨迹的圆〕构建粒子运动的物理学模型，归纳带电粒子在磁场中的题目类型，总结得出求解此类问题的一般方法与规律。

1. “带电粒子在匀强磁场中的圆周运动〞的根本型问题〔1〕定圆心、定半径、定转过的圆心角是解决这类问题的前提。

确定半径和给定的几何量之间的关系是解题的根底，有时需要建立运动时间t 和转过的圆心角α之间的关系〔T 2t T 360t πα=α=或〕作为辅助。

圆心确实定，通常有以下两种方法。

① 入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心〔如图9-1中P 为入射点，M 为出射点〕。

带电粒子在磁场中的运动因为洛伦兹力F始终与速度v垂直，即F只改变速度方向而不改变速度的大小，所以运动电荷非平行与磁感线进入匀强磁场且仅受洛伦兹力时，一定做匀速圆周运动，由洛伦磁力提==2/。

带电粒子在磁场中运动问题大致可分两种情况：1. 做供向心力，即F qvB mv R完整的圆周运动（在无界磁场或有界磁场中）；2. 做一段圆弧运动（一般在有界磁场中）。

无论何种情况，其关键均在圆心、半径的确定上。

1. 找圆心方法1：若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心。

方法2：若已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向，则可作出此两点的连线（即过这两点的圆弧的弦）的中垂线，再画出已知点v的垂线，中垂线与垂线的交点即为圆心。

2. 求半径圆心确定下来后，半径也随之确定。

一般可运用平面几何知识来求半径的长度。

3. 画轨迹在圆心和半径确定后可根据左手定则和题意画出粒子在磁场中的轨迹图。

4. 应用对称规律带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等，利用这一结论可以轻松画出粒子的轨迹。

临界点是粒子轨迹发生质的变化的转折点，所以只要画出临界点的轨迹就可以使问题得解。

一、由两速度的垂线定圆心例1. 电视机的显像管中，电子（质量为m，带电量为e）束的偏转是用磁偏转技术实现的。

电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图1所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r。

当不加磁场时，电子束将通过O点打到屏幕的中心M点。

为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感强度B应为多少？图1解析：如图2所示，电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点a、b分别为进入和射出的点。

做a、b点速度的垂线，交点O1即为轨迹圆的圆心。

图2设电子进入磁场时的速度为v，对电子在电场中的运动过程有=22/eU mv对电子在磁场中的运动（设轨道半径为R）有=2/evB mv R由图可知，偏转角θ与r、R的关系为θ2=r Rtan(/)/联立以上三式解得θ122=(/)/tan(/)B r mU e二、由两条弦的垂直平分线定圆心例2. 如图3所示，有垂直坐标平面的范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，方向向里。

专题三：带电粒子在电磁场中的运动（全国卷高考真题版）1、（2011年全国卷，25题，19分）★★★★如图，与水平面成45°角的平面MN 将空间分成I 和II 两个区域。

一质量为m 、电荷量为q （q ＞0）的粒子以速度0v 从平面MN 上的0p 点水平右射入I 区。

粒子在I 区运动时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为E ；在II 区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向里。

求粒子首次从II 区离开时到出发点0p 的距离。

（粒子的重力可以忽略。

）00221()mv v l q E B=+2、（2011年全国新课标卷，25题，19分）★★★★如图，在区域Ⅰ（0≤x ≤d ）和区域Ⅱ（d ≤x ≤2d ）内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B 和2B ，方向相反，且都垂直于Oxy 平面。

一质量为m 、带电荷量q （q ＞0）的粒子a 于某时刻从y 轴上的P 点射入区域Ⅰ，其速度方向沿x 轴正向。

已知a 在离开区域Ⅰ时，速度方向与x 轴正方向的夹角为30°；因此，另一质量和电荷量均与a 相同的粒子b 也从p 点沿x 轴正向射入区域Ⅰ，其速度大小是a 的1/3。

不计重力和两粒子之间的相互作用力。

求：（1）粒子a 射入区域I 时速度的大小；（2）当a 离开区域II 时，a 、b 两粒子的y 坐标之差。

(1)2dqB m (2)23(3－2)d3、（2012年全国大纲版，24题，16分）★★如图，一平行板电容器的两个极板竖直放置，在两极板间有一带电小球，小球用一绝缘清线悬挂于O 点。

先给电容器缓慢充电，使两级板所带电荷量分别为﹢Q 和﹣Q ，此时悬线与竖直方向的夹角为π/6。

再给电容器缓慢充电，直到悬线和竖直方向的夹角增加到π/3，且小球与两极板不接触。

求第二次充电使电容器正极板增加的电荷量。

Q=2Q ∆4、（00年全国卷21题，13分）★★★如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a 、b 、c 和d ，外筒的外半径为r 0。

带电粒子在电磁场中的运动带电粒子在电磁场中的运动包括带电粒子在匀强电场、交变电场、匀强磁砀及包含重力场在内的复合场中的运动问题，是高考必考的重点和热点。

纵观近几年各种形式的高考试题，题目一般是运动情景复杂、综合性强，多把场的性质、运动学规律、牛顿运动定律、功能关系以及交变电场等知识有机地结合，题目难度中等偏上，对考生的空间想像能力、物理过程和运动规律的综合分析能力，及用数学方法解决物理问题的能力要求较高，题型有选择题，填空题、作图及计算题，涉及本部分知识的命题也有构思新颖、过程复杂、高难度的压轴题。

带电粒子在电磁场中的运动问题属于场的性质和力学规律及能量观点的综合应用，解决此类问题以力学思路为主线，突出场的性质，实现场、力和能的结合。

针对带电粒子在电磁场中的运动为核心的专题，可设置从运动和力的观点解决带电粒子在电场中的加速和偏转问题；从能量的观点解决带电粒子中的加速与偏转问题；从运动和力的观点解决带电粒子在磁场中的圆周运动问题。

近几年物理高考题总有一些似曾相识的题目。

所以应根据高考命题的热点改造试题、变换设问方式，克服思维定势。

同时设计出一些贴近高考的新颖试题：比如理论联系实际的题目、设计性的实验题目等，以使训练贴近高考。

一．带电粒子在电场中运动高考命题涉及的电场有匀强电场，也有非匀强电场和交变电场。

带电粒子在电场中的运动可分为三类：第一类为平衡问题；第二类为（包括有往复）问题；第三类为偏转问题。

解题的基本思路是：首先对带电粒子进行受力分析，再弄清运动过程和运动性质，最后确定采用解题的观点（力的观点、能的观点和动量观点）。

平衡问题运用物体的平衡条件；直线运动问题运用运动学公式、牛顿运动定律、动量关系及能量关系；偏转问题运用运动的合成和分解，以及运动学中的抛体运动规律等。

例1、如图所示，电子在电势差为U 1的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为U 2的两块平行金属板间的电场中，板长为l ，板间距离为d ，入射方向跟极板平行。

带电粒子在磁场中的运动一、对称思想带电粒子垂直射入匀强磁场后，将做匀速圆周运动。

分析粒子运动，会发现它们具有对称的特点，即：粒子的运动轨迹关于入射点P 与出射点O 的中垂线对称，轨迹圆心O 位于对称轴上，入射速度与出射速度跟PQ 线间的夹角（也称为弦切角）相等，并有t ωθαϕ===2，如图所示。

应用这一粒子运动中的“对称性”不公可以轻松地画出粒子在磁场中的运动轨迹，对于某些临界问题的求解也非常便捷。

二、放缩法带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示，图中只画出粒子带正电的情景，速度0v 越大，运动半径也越大。

可以发现这样的粒子源产生的粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP ’上。

由此我们可得到一种确定临界条件的方法：在确定这类粒子运动的临界条件时，可以以入射点P 为定点，圆心位于PP ’直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，使问题迎刃而解，这种方法称为“放缩法”。

（2010河北全国Ⅰ）26.（21分） 如下图，在a x 30≤≤区域内存在与xy 平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy 平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y 轴正方向的夹角分布在0～180°范围内。

已知沿y 轴正方向发射的粒子在0t t =时刻刚好从磁场边界上P ()a a ,3点离开磁场。

求：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R 及粒子的比荷q ／m;（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y 轴正方向夹角的取值范围； （3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。

023q m B tπ=⑥(2)依题意，同一时刻仍在磁场内的粒子到O 点距离相同。

在0t 时刻仍在磁场中的粒子应位于以O 点为圆心、OP 为半径的弧 MN 上．如图所示。

设此时位于P 、M 、N 三点的粒子的初速度分别为P M N v v v 、、。

带电粒子在磁场中的运动带电粒子在磁场中的运动问题，可归纳为解运动学、动力学问题和数形结合问题．而对于力学问题，先得了解带电粒子在磁场中的受力情况．一．洛伦兹力带电粒子在磁场中运动，受到磁场的作用力叫洛伦兹力．1．洛伦兹力的大小洛伦兹力的公式：F=qvBsina；说明：（1）α为v与B的夹角；（2）当带电粒子的运动方向与磁场方向互相平行时，F=0；（3）当带电粒子的运动方向与磁场方向互相垂直时，F=qvB；（4）只有运动的电荷在磁场中才有可能受到洛伦兹力作用，静止电荷在磁场中受到的磁场对电荷的作用力一定为02．洛伦兹力的方向运动电荷在磁场中受力方向可用左手定则来判定：伸开左手，使大拇指跟其余四个手指垂直，且处于同一平面内，把手放入磁场中，让磁感线垂直穿入手心，四指指向正电荷运动的方向，拇指所指的方向就是正电荷所受洛伦兹力的方向．若粒子带负电，四个手指的指向与负电荷的运动方向相反．3．洛伦兹力的特性（1）洛伦兹力的方向既与电荷的运动方向垂直，又与磁场方向垂直，即F垂直于υ和B所在平面．（2）由于洛伦兹力F的方向始终与速度υ的方向垂直，所以洛伦兹力对带电粒子不做功．洛伦兹力不改变速度大小，只改变速度方向．（3）洛伦兹力实际上是磁场对通电导体作用的微观表现．即F安＝NF．(N为通电导体中自由电荷的总数)二．带电粒子在磁场中的运动1．在非匀强磁场中，定性判定带电粒子运动情况．例1. 如图25-1所示，在长直导线中有恒电流I通过，导线正下方电子初速度v０方向与电流I的方向相同，电子将( )A．沿路径a运动，轨迹是圆B．沿路径a运动，轨迹半径越来越大C．沿路径b运动，轨迹半径越来越小D．沿路径b运动，轨迹半径越来越大图25-1 分析与解：由电流方向可知电子所在处磁场方向垂直纸面向外，洛伦兹力使电子向下偏转．因通电直导线周围的磁场为非均匀磁场，离导线越远，磁场越弱，带电粒子受洛伦兹力越小，运动方向改变越慢，其轨道半径变大．故选D．2．下面我们再来研究带电粒子在匀强磁场中的运动．不计重力的带电粒子在匀强磁场中的运动可分三种情况：（1）匀速直线运动；（2）匀速圆周运动；（3）螺旋运动．(1) 带电粒子的运动方向与磁场方向平行时，带电粒子在磁场中不受洛伦兹力的作用，带电粒子做匀速直线运动．例2．一长直螺线管通有交流电，一个电子以速度v沿着螺线管的轴线射入管内，则电子在管内的运动情况是：( )A．匀加速运动B．匀减速运动C．匀速直线运动D．在螺线管内来回往复运动分析与解：因螺线管内部磁场沿轴线方向， 电子速度方向与磁场方向平行， 故电子不受洛伦兹力的作用，电子作匀速直线运动．选C ．(2)带电粒子的运动方向与磁场方向垂直时，因带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力始终与带电粒子的运动方向垂直，只改变其运动方向，不改变其速度大小因而带电粒子做匀速圆周运动．轨迹半径 qBmv r =; 其运动周期 qB m T π2=(与速度大小无关)． 例3．两个粒子带电量相等，在同一匀强磁场中只受磁场力而做匀速圆周运动，则( )A ． 若速率相等，则半径相等;B ． 若速率相等，则周期相等C ． 若动量大小相等，则半径相等D ． 若动能相等，则周期相等分析与解：由轨迹半径公式及周期公式可知选C ．带电粒子在匀强磁场中常做不完整圆周运动，这时我们要做到数形结合，其解题思路为： ①用几何知识确定圆心并求半径．因为F 方向指向圆心，根据F 一定垂直v ，画出粒子运动轨迹中任意两点(大多是射入点和出射点)的F 或半径方向，其延长线的交点即为圆心，再用几何知识求其半径与弦长的关系．②确定轨迹所对的圆心角，求运动时间．先利用圆心角与弦切角的关系，或者是四边形内角和等于360°(或2π)计算出圆心角θ的大小，再由公式0360Tt θ= (或πθ2T t =)， T 为周期， 可求出运动时间． 例4．如图25-2(a)所示，在x 轴上方有匀强磁场B ，一个质量为m ，带电量为-q 的的粒子，以速度v 从O 点射入磁场，角θ已知，粒子重力不计，求(1)粒子在磁场中的运动时间．(2)粒子离开磁场的位置．分析与解：(1)先定性地确定其大概的轨迹，然后由几何关系确定圆心角、弦长与半径的关系．而圆心一定在过O 点且与速度v 垂直的一条直线上．如图25-2(b)qBmv r =，qB m T π2= 圆心角为2π-2θ，所以时间qBm T t )(2222θππθπ-=-= (2)离开磁场的位置与入射点的距离即为弦长qBmv r s θθsin 2sin 2== 例5．如图25-3所示，匀强磁场磁感应强度为B ，方向垂直xOy 平面向外．某一时刻有一质量为m ， 带电量为e 的粒子a 从点(L 0，0)处沿y 轴负向进入磁场， 同一时刻另一质图25-2量为4m ， 带电量为2e 的粒子b 从点(-L 0，0)进入磁场，速度方向在xOy 平面内．不计两粒子间相互作用．(1)如果a 粒子能够经过坐标原点O ，则它的速度多大?(2)如果b 粒子第一次到达原点时能够与a 粒子相遇，求b 粒子的速度．分析与解： (1)质子能够过原点，则质子运动的轨迹半径为20L r = 再由qBmv r =，且q =e 即可得：m eBL v 20= 由于圆心位置一定在垂直于速度的直线上，所以质子的轨迹圆心一定在x 轴上．(2)上一问是有关圆周运动的半径问题，而这一问则是侧重于圆周运动的周期问题了．两个粒子在原点相遇，则它们运动的时间一定相同 即2)12(a a b T n t t ⨯+==，n =0，1，2…… 且b 粒子运动到原点的轨迹为一段圆弧，设所对应的圆心角为θ，则有 eBm n T n eB m a πππθ221)12(21)12(2422⨯⨯+=⨯⨯+=⨯⨯ 可得2)12(πθ⨯+=n 依题意，b 粒子第一次到达原点， 对应的θ为2π或23π 两种情况下，b 粒子的轨迹半径 022l R = 而eBv m R 24'= 则m eBL v 420=' ，与x 轴正方向的夹角为4π右向上或43π左向上 带电粒子在磁场中的运动往往会出现多解，下面再举一例．例６．如图25-4所示在一个半径为R 的绝缘橡皮圆筒中有一个沿轴向的磁感应强度为B 的匀强磁场．一个质量为m ，带电量为q 的带负电的粒子，在很小的缺口A 处垂直磁场沿半径方向射入，带电粒子与圆筒碰撞时无动能损失．要使带电粒子在里面绕行一周后，恰从A 处飞出．问入射的初速度的大小应满足什么条件？（重力不计）分析与解：带电粒子在筒内碰一次从A 处飞出是不可能的，因为带电图25-3图25-4粒子在磁场内不可能是直线运动的．如果带电粒子在圆筒内碰撞两次则可以从A 处飞出，譬如在B 点、C 点处碰撞后再从A 点飞出．如图25-4＇所示，由于带电粒子轨迹弧AB 是对称的，当带电粒子在A 点的速度是半径方向，则在B 点的速度方向也是沿半径方向，同样在C 点速度方向也是沿半径方向，最后从A 点出来时的速度也沿半径方向出来．设∠AO Ｂ=2θ，则2θ=32π，θ=31π 又轨迹半径r =R tan θ，由于qv 0B =m r v 20 ∴v 0=mBqr =m BqR θtan =m BqR 3 碰撞次数只要大于等于两次，均有可能从A 处飞出，故v 0的一般解为：θ=1+n π； v 0=m BqR tan 1+n π (其中n =2，3，4……) 在带电粒子在磁场中运动的问题中还有与动能定理以及穿木块问题结合的物理模型，这里举一例．例７．如图25-5所示，匀强磁场中，放置一块与磁感线平行的均匀薄铅板，一个带电粒子进入磁场，以半径Ｒ1=20cm 做匀速圆周运动，第一次垂直穿过铅板后，以半径R 2=19cm 做匀速圆周运动(设其电量始终保持不变)则带电粒子还能够穿过铅板 次．分析与解：在磁场中做匀速圆周运动的带电粒子其轨迹半径变化有两种情况：其一是带电粒子的动能变化也就是速率变化，可由qBmv R =得知Ｒ也随之发生变化；其二是磁感应强度B 发生变化Ｒ也会随之变化，这里是第一种情形． 由于qB mE qB mv R k2==有21222R mB q E k = 每次穿过铅板损耗能量相等为 )(222212221R R mB q E E E k k k -=-=∆ 则穿过的次数为kk E E n ∆=1 解得 n ≈10 故还能穿过铅板9次．(3)带电粒子初速度方向与磁场方向成一定夹角时，可将速度分解成与磁场方向平行的//v 和与磁场方向垂直的⊥v 两个分速度，这样，带电粒子的运动可视为以⊥v 作匀速圆周运动图25-5图25-4＇ Ｂ ＣＯＯ＇和以//v 作匀速直线运动的合运动——螺旋运动．例８．如图25-6，在水平向右的匀强磁场Ｂ中，一质量为m （忽略重力），带正电q 的粒子沿与磁场方向成θ角射入，速度为v 0，求带电粒子的轨迹半径和一个周期内前进的水平距离？分析与解：如图25-6＇，速度v 0可分解为与磁场方向垂直的v 1和与磁场方向平行的v 2， 则轨迹半径为qB mv qB mv r θsin 01== 周期为qBm T π2= 则一个周期内前进的距离为qB mv T v s θπcos 202== 此带电粒子以半径为qBmv qB mv r θsin 01== 综上所述，解决带电粒子在磁场中的运动问题，力学知识是基础，数形结合是关键．练习二十五１．一个带电粒子沿垂直于磁场的方向射入一个匀强磁场，粒子后段轨迹如图25-7所示，轨迹上的每一小段都可近似看成是圆弧．由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减少(带电量不变)．从图中情况可以确定：( )A ．粒子从a 到b ，带正电；B ．粒子从b 到a ，带正电；C ．粒子从a 到b ，带负电；D ．粒子从b 到a ，带负电；2．图25-8中，虚线MN 是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直纸面向外．O 是MN 上的一点，从O 点可以向磁场区域发射电量为＋ｑ、质量为m 、速率为v 的粒子．粒子射入磁场时的速度可在纸面内向各个方向．已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P 到O 的距离为L ，不计重力及粒子间的相互作用．(1)求所考查的粒子在磁场中的轨道半径． (2)求这两个粒子从O 点射入磁场的时间间隔．3．正负电子对撞机的最后部分的简化示意图如图25-9所示，位于水平面内的粗实线所示的圆环形真空管道是正、负电子做圆周运动的“容器”，经过加速器加速后的正、负电子被分别引入该管道时，具有相等的速率v ，它们沿管道向相反的方向运动．在管道内控制它们转弯的是一系列圆形电磁铁，即图中的A 1、A 2、A 3、……A n ，共n个，均匀分布在整个圆图25-6图25-6＇图25-7 图25-8环上(图中只示意性地用细实线画了几个，其余的用细虚线表示)，每个电磁铁内的磁场都是匀强磁场，并且磁感应强度都相同，方向竖直向下，磁场区域的直径为d ．改变电磁铁内电流的大小，就可改变磁场的磁感应强度，从而改变电子偏转的角度．经过精确的调整，首先实现电子在环形管道中沿图中粗虚线所示的轨迹运动，这时电子经过每个电磁铁时射入点和射出点都在电磁铁的同一条直径的两端，如图(2)所示．这就为进一步实现正、负电子的对撞作好了准备．(1)试确定正、负电子在管道内各是沿什么方向旋转的?(2)已知正、负电子的质量都是m ，所带电荷都是元电荷e ，重力不计．求电磁铁内匀强磁场的磁感应强度B 的大小?4．如图25-10所示，小车A 的质量M =2kg ，置于光滑水平面上，初速度为v 0=14 m/s ．带正电荷q =0.2 C 的可视为质点的物体B ，质量m =0.1 kg ，轻放在小车A 的右端，在A 、B 所在的空间存在着匀强磁场，方向垂直纸面向里，磁感应强度B =0.5 T ，物体与小车之间有摩擦力作用，设小车足够长，求：（1）B 物体的最大速度？（2）小车A 的最小速度？（3）在此过程中系统增加的内能？（g =10 m/s 2）5．将带电量Q =0.3 C ，质量m ′=0.15 kg 的滑块，放在小车的绝缘板的右端，小车的质量M =0.5 kg ，滑块与绝缘板间的动摩擦因数μ=0.4，小车的绝缘板足够长，它们所在的空间存在着磁感应强度B =20 T 的水平方向的匀强磁场，开始时小车静止在光滑水平面上，当一个摆长为L =1.25 m ，摆球质量m =0.4 kg 的单摆从水平位置由静止释放，摆到最低点时与小车相撞，如图25-11所示，碰撞后摆球恰好静止，g 取10 m/s 2．求：（1）摆球与小车碰撞过程中系统损失的机械能E 是多少？（2）碰撞后小车的最终速度是多少？参考答案：1．B 2．(1)R =qB mv (2)Δt =qB m 4ar cco s (mvqBL 2) 3．(1)正电子是沿逆时针方向运动，负电子是沿顺时针方向运动． (2) 4．（1）v max =Bq mg =10 m/s ．(2) v =13.5 m/s;（3）J mv Mv Mv E 75.82121212m ax 220=--=∆ 5．(1)ΔE =1 J (2)v m =3.25 m/s图25-11 图25-10 den B ππυsin 2=图25-9。