微积分公式

微积分运算公式微积分是数学中的一个分支，主要研究函数的变化趋势和极限。

在微积分中，运算公式是非常重要的知识点，下面我们来介绍一些常见的微积分运算公式。

1. 导数的四则运算法则在微积分中，导数的四则运算法则是非常重要的。

具体来说，如果有两个函数f(x)和g(x)，那么它们的和、差、积、商的导数分别有以下的公式：（f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^22. 微分中值定理微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是用来研究函数的变化趋势的。

具体来说，如果f(x)在[a,b]上是可导的，那么在[a,b]中至少存在一个点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。

3. 泰勒展开式泰勒展开式是微积分中的一个重要定理，它可以将一个函数在某个点附近展开成无穷级数的形式。

具体来说，如果有一个函数f(x)，那么它在x=a处的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2!](x-a)^2+...+[f^(n)(a)/n!](x -a)^n+...。

4. 曲率公式曲率是描述一个曲线弯曲程度的量，曲率公式可以用来计算曲线在每个点处的曲率。

具体来说，如果有一条曲线y=f(x)，那么它在x 处的曲率为：k=(|y''|)/[1+(y')^2]^1.5。

以上就是微积分中的一些常见运算公式，掌握了这些公式可以更好地理解微积分的基础知识，也有助于在实际问题中应用微积分的方法来解决问题。

微积分基本公式
微积分中的一些基本公式包括：
1. 导数的基本运算法则：
- 可导函数的加减法：(f ± g)' = f' ± g'
- 可导函数的常数倍：(cf)' = cf'
- 可导函数的乘法法则：(fg)' = f'g + fg'
- 可导函数的除法法则：(f/g)' = (f'g - fg')/g^2 - 可导函数的链式法则：(f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)
2. 基本导函数：
- 常数函数的导数：(c)' = 0 （其中 c 是常数）- 幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)
- 指数函数的导数：(e^x)' = e^x
- 对数函数的导数：(log_a(x))' = 1/(xlna)
3. 不定积分的基本公式：
- 幂函数的不定积分：∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C （其中 C 是常数）
- 指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C
- 对数函数的不定积分：∫1/x dx = ln|x| + C
这些是微积分中的一些基本公式，但并不 Exhaustive（详尽）。

还有许多其他公式和规则可以用于求导和积分。

微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。

可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。

可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。

2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。

可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。

它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。

4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。

可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。

5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。

6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。

微积分的全部公式微积分是数学的一个重要分支，研究函数的变化规律和各种变化量之间的关系。

微积分的公式是研究微积分的基础，下面将介绍一些微积分的重要公式。

1. 导数的定义公式：导数可以理解为函数在某一点上的变化率，用数学符号表示为f'(x)或者dy/dx。

导数的定义公式为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f(x)是函数，h是无穷小的增量。

2. 导数的基本公式：导数具有一些基本的运算规则，包括常数因子法则、求和法则、乘积法则和商法则。

这些公式可以简化对函数的导数计算。

- 常数因子法则：如果f(x)是一个函数，k是一个常数，则有(d/dx)(k*f(x)) = k*(d/dx)f(x)- 求和法则：如果f(x)和g(x)都是函数，则有(d/dx)(f(x)+g(x)) = (d/dx)f(x) + (d/dx)g(x)- 乘积法则：如果f(x)和g(x)都是函数，则有(d/dx)(f(x)*g(x)) = f(x)*(d/dx)g(x) + g(x)*(d/dx)f(x)- 商法则：如果f(x)和g(x)都是函数，则有(d/dx)(f(x)/g(x)) = [g(x)*(d/dx)f(x) - f(x)*(d/dx)g(x)] / [g(x)]^23. 积分的定义公式：积分可以理解为函数在区间上的累积和，用数学符号表示为∫f(x)dx。

积分的定义公式为：∫f(x)dx = F(x) + C其中，F(x)是函数f(x)的原函数，C是常数。

4. 积分的基本公式：积分也具有一些基本的运算规则，包括常数法则、线性法则、分部积分法和换元积分法。

这些公式可以简化对函数的积分计算。

- 常数法则：∫k*f(x)dx = k*∫f(x)dx，其中k是一个常数- 线性法则：∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx- 分部积分法：∫f(x)*g(x)dx = f(x)*∫g(x)dx - ∫[f'(x)*∫g(x)dx]dx- 换元积分法：如果u = g(x)是一个可导函数，则有∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du5. 泰勒级数公式：泰勒级数是用一组多项式逼近函数的方法，可以将复杂的函数近似表示为多项式的形式。

微积分的基本公式微积分是数学的一个分支，涉及到函数、极限、导数、积分等概念和理论。

在微积分中，有很多基本公式被广泛应用于解决各种问题。

下面是一些微积分的基本公式及其应用：1.导数公式：-常数导数公式：对于任意常数c，其导数为0。

- 幂函数导数公式：对于任意实数n，导数公式为d(x^n) / dx = n * x^(n-1)。

- 指数函数导数公式：对于任意实数a，指数函数e^x的导数为d(e^x) / dx = e^x。

- 对数函数导数公式：对于任意实数a和b，自然对数函数ln(x)的导数为d(ln(x)) / dx = 1 / x。

2.积分公式：- 幂函数积分公式：对于任意实数n（n ≠ -1），积分公式为∫(x^n)dx = (1 / (n+1)) * x^(n+1) + C，其中C为常数。

- 指数函数积分公式：对于任意实数a，指数函数e^x的积分公式为∫e^xdx = e^x + C，其中C为常数。

- 对数函数积分公式：对于任意实数a和b，自然对数函数ln(x)的积分公式为∫(1 / x)dx = ln，x， + C，其中C为常数。

3.基本微积分定理：基本微积分定理是微积分的核心定理之一，它定量描述了函数与其导函数之间的关系。

根据基本微积分定理，如果F(x)是函数f(x)的一个原函数，则有∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。

4.链式法则：链式法则是求复合函数导数的一个重要工具。

设有函数y = f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别是可导函数，那么复合函数关于自变量x的导数可以表示为dy / dx = dy / du * du / dx。

5.积分换元法：积分换元法是求定积分的一个常用方法。

当遇到被积函数中含有复杂的函数形式时，可以通过引入一个合适的变量代换，将原函数转化为较简单的形式来进行积分计算。

上述只是微积分中的几个基本公式，实际上微积分涉及到更多的公式和方法。

微积分在物理、工程、经济学等领域中具有广泛的应用，可以用于描述和分析各种变化过程，计算曲线的斜率、面积、体积等。

微积分公式tan -1x = x-33x +55x -77x +…+)12()1(12+-+n x n n + …(1+x)r=1+r x+!2)1(-r r x 2+!3)2)(1(--r r r x 3+… -1<x<1Γ(x) = ⎰∞0t x-1e -t d t = 2⎰∞0t 2x-12t e-d t = ⎰∞)1(ln tx-1d tβ(m , n ) =⎰10x m -1(1-x)n -1d x =2⎰20sinπ2m -1x cos2n -1xd x = ⎰∞+-+01)1(nm m x x d x 希腊字母 (Greek Alphabets)大写 小写 读音 大写 小写 读音 大写 小写 读音 Α α alpha Ι ι iota Ρ ρ rho Β β beta Κ κ kappa Σ σ, ς sigma Γ γ gamma Λ λ lambda Τ τ tau Δ δ delta Μ μ mu Υ υ upsilon Ε ε epsilon Ν ν nu Φ φ phi Ζ ζ zeta Ξ ξ xi Χ χ khi Η η eta Ο ο omicron Ψ ψ psi Θ θ theta Π π pi Ω ω omega 商数关系: tan θ= θθcos sin ; cot θ= θθsin cos平方关系: cos 2θ+ sin 2θ=1; tan 2θ+ 1= sec 2θ; 1+ cot 2θ= csc 2θ順位低順位高; ⎰ 顺位高d 顺位低 ;0*∞ =∞1 *∞ = ∞∞ = 0*01 = 00 00 = )(0-∞e ; 0∞ = ∞⋅0e ; ∞1 = ∞⋅0e顺位一: 对数; 反三角(反双曲)顺位二: 多项函数; 幂函数 顺位三: 指数; 三角(双曲)算术平均数(Arithmetic mean)中位数(Median) 取排序后中间的那位数字 众数(Mode)次数出现最多的数值 几何平均数(Geometric mean)调和平均数(Harmonic mean) 平均差(Average Deviatoin)变异数(Variance)nX Xni21)(-∑ or1)(21--∑n X Xni标准差(Standard Deviation)nX Xni21)(-∑ or1)(21--∑n X Xni1 000 000 000 000 000 000 000 000 10 yotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E1 000 000 000 000 000 1015 peta P1 000 000 000 000 1012 tera T 兆1 000 000 000 109 giga G 十亿1 000 000 106 mega M 百万1 000 103 kilo K 千100 102 hecto H 百10 101 deca D 十0.1 10-1 deci d 分，十分之一0.01 10-2 centi c 厘（或写作「厘」），百分之一0.001 10-3 milli m 毫，千分之一0.000 001 10-6 micro ? 微，百万分之一0.000 000 001 10-9 nano n 奈，十亿分之一0.000 000 000 001 10-12 pico p 皮，兆分之一0.000 000 000 000 001 10-15 femto f 飞（或作「费」），千兆分之一0.000 000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿0.000 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z0.000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y。

微积分公式D x sin x=cos x cos x = -sin x tan x = sec 2 x cot x = -csc 2 x sec x = sec x tan x csc x = -csc x cot x ? sin x dx = -cos x + C ? cos x dx = sin x + C ? tan x dx = ln |sec x | + C ? cot x dx = ln |sin x | + C ? sec x dx = ln |sec x + tan x | + C ? csc x dx = ln |csc x – cot x | + C sin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = ? - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = ? - cot -1 x sec -1(-x) = ? - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 x D x sin -1 (a x )= 221x a -±cos -1 (ax )= tan -1 (a x )=22x a a+± cot -1 (ax )= sec -1 (a x )=22ax x a -±csc -1 (x/a)= ? sin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C ? cos -1 x dx = x cos -1 x-21x -+C? tan -1 x dx = x tan -1 x-?ln (1+x 2)+C ? cot -1 x dx = x cot -1 x+?ln (1+x 2)+C ? sec -1 x dx = x sec -1 x- ln |x+12-x |+C ? csc -1 x dx = x csc -1 x+ ln |x+12-x |+Csinh -1 (ax )= ln (x+22x a +) x ∈R cosh -1 (ax )=ln (x+22a x -) x ≧1 tanh -1 (a x )=a21ln (x a x a -+) |x| <1coth -1 (a x )=a21ln (a x ax -+) |x| >1sech -1(a x)=ln(x 1-+221xx -)0≦x ≦1 csch -1(a x )=ln(x 1+221x x +) |x| >0D x sinh x = cosh x cosh x = sinh x tanh x = sech 2 x coth x = -csch 2 x sech x = -sech x tanh x csch x = -csch x coth x? sinh x dx = cosh x + C ? cosh x dx = sinh x + C ? tanh x dx = ln | cosh x |+ C ? coth x dx = ln | sinh x | + C ? sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + C ? csch x dx = 2 ln |xx ee 211---+| + Cd uv = u d v + v d u? d uv = uv = ? u d v + ? v d u →? u d v = uv - ? v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1cosh 2θ-sinh 2θ=1 cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θ D x sinh -1(ax)=221x a +cosh -1(ax )=221ax -tanh -1(a x )= 22x a a -± coth -1(ax )=sech -1(a x)= 22xa x a --csch -1(x/a)=22x a x a +-? sinh -1 x dx = x sinh -1 x-21x ++ C ? cosh -1 x dx = x cosh -1 x-12-x + C? tanh -1 x dx = x tanh -1 x+ ? ln | 1-x 2|+ C ? coth -1 x dx = x coth -1 x- ? ln | 1-x 2|+ C ? sech -1 x dx = x sech -1 x- sin -1 x + C ? csch -1 x dx = x csch -1 x+ sinh -1 x + Csin 3θ=3sin θ-4sin 3θ cos3θ=4cos 3θ-3cos θ →sin 3θ= ? (3sin θ-sin3θ) →cos 3θ=?(3cos θ+cos3θ)sin x = j e e jx jx 2-- cos x = 2jxjx e e -+sinh x = 2x x e e -- cosh x = 2xx e e -+正弦定理:αsin a= βsin b =γsin c =2R余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bc cos αb 2=a 2+c 2-2ac cos β c 2=a 2+b 2-2ab cos γa bcα βγ Rsin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin β cos (α±β)=cos α cos βsin α sin β2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β)sin α + sin β = 2 sin ?(α+β) cos ?(α-β) sin α - sin β = 2 cos ?(α+β) sin ?(α-β) cos α + cos β = 2 cos ?(α+β) cos ?(α-β) cos α - cos β = -2 sin ?(α+β) sin ?(α-β) tan (α±β)=βαβαtan tan tan tan ±, cot (α±β)=βαβαcot cot cot cot ±e x=1+x+!22x +!33x +…+!n x n+ …sin x = x-!33x +!55x -!77x +…+)!12()1(12+-+n x n n + …cos x = 1-!22x +!44x -!66x +…+)!2()1(2n x n n -+ …ln (1+x) = x-22x +33x -44x +…+)!1()1(1+-+n x n n + …tan -1x = x-33x +55x -77x +…+)12()1(12+-+n x n n + …(1+x)r=1+r x+!2)1(-r r x 2+!3)2)(1(--r r r x 3+… -1<x<1∑=ni 11= n∑=ni i 1= ?n (n +1)∑=ni i 12=61n (n +1)(2n +1) ∑=ni i13= [?n (n +1)]2Γ(x) =⎰∞0t x-1e -t d t = 2⎰∞t 2x-12t e -d t =⎰∞)1(ln tx-1 d tβ(m , n ) =⎰1xm -1(1-x)n -1d x =2⎰2sin π2m -1x cos 2n -1x d x =⎰∞+-+01)1(nm m x x d x 希腊字母 (Greek Alphabets)大写 小写读音 大写 小写读音 大写 小写 读音 Α α alpha Ι ι iota Ρ ρ rho Β β beta Κ κ kappa Σ σ, ? sigma Γ γ gamma Λ λ lambda Τ τ tau Δ δ delta Μ μ mu Υ υ upsilon Ε ε epsilon Ν ν nu Φ φ phi Ζ ζ zeta Ξ ξ xi Χ χ khi Η η eta Ο ο omicron Ψ ψ psi Θθ thetaΠπ piΩωomega倒数关系: sin θcsc θ=1; tan θcot θ=1; cos θsec θ=1 商数关系: tan θ=θθcos sin ; cot θ= θθsin cos 平方关系: cos 2θ+ sin 2θ=1; tan 2θ+ 1= sec 2θ; 1+ cot 2θ= csc 2θ順位低順位高; ? 顺位高d 顺位低 ;0*? =∞1 *? = ∞∞ = 0*01 = 00 00 = )(0-∞e ; 0∞ = ∞⋅0e ; ∞1 = ∞⋅0e顺位一: 对数; 反三角(反双曲) 顺位二: 多项函数; 幂函数 顺位三: 指数; 三角(双曲)算术平均数(Arithmetic mean)中位数(Median) 取排序后中间的那位数字 众数(Mode)次数出现最多的数值 几何平均数(Geometric mean) 调和平均数(Harmonic mean) 平均差(Average Deviatoin)变异数(Variance)nX Xni21)(-∑ or1)(21--∑n X Xni标准差(Standard Deviation)nX Xni21)(-∑ or1)(21--∑n X Xni分配机率函数f (x )期望值E(x )变异数V(x )动差母函数m (t )Discrete Uniform21(n +1) 121(n 2+1)Continuous Uniform 21(a +b ) 121(b -a )2Bernoullip x q 1-x (x =0, 1)p pq q +pe t Binomial⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x n p x q n -x npnpq(q+ pe t )nNegative Binomial⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x k 1p k q xMultinomialf (x 1, x 2, …, x m -1)=m xm x x m p p p x x x n ...!!...!!212121np inp i (1-p i )三项 (p 1e t 1+ p 2e t 2+p 3)nGeometricpq x-1Hypergeometricn ⎪⎭⎫⎝⎛N k ⎪⎭⎫ ⎝⎛--1N n N n ⎪⎭⎫⎝⎛N kPoissonλλNormal μσ2Beta Gamma ExponentChi-Squared χ2=f (χ2)E(χ2)=nV(χ2)=2n=212222)(221χχ--⎪⎭⎫ ⎝⎛Γen n nWeibull1 000 000 000 000 000 000 000 000 1024 yotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z 1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E 1 000 000 000 000 000 1015 peta P 1 000 000 000 000 1012 tera T 兆 1 000 000 000 109 giga G 十亿 1 000 000 106 mega M 百万 1 000 103 kilo K 千 100 102 hecto H 百 10 101 deca D 十0.1 10-1 deci d 分，十分之一0.01 10-2 centi c 厘（或写作「厘」），百分之一 0.001 10-3 milli m 毫，千分之一0.000 001 10-6 micro ? 微，百万分之一 0.000 000 001 10-9 nano n 奈，十亿分之一 0.000 000 000 001 10-12 pico p 皮，兆分之一0.000 000 000 000 001 10-15 femto f 飞（或作「费」），千兆分之一 0.000 000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿 0.000 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z 0.000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y。

微积分公式D x sin x=cos x cos x = -sin x tan x = sec 2 x cot x = -csc 2 x sec x = sec x tan x csc x = -csc x cot x⎰ sin x dx = -cos x + C ⎰ cos x dx = sin x + C ⎰ tan x dx = ln |sec x | + C ⎰ cot x dx = ln |sin x | + C⎰ sec x dx = ln |sec x + tan x | + C ⎰ csc x dx = ln |csc x – cot x | + C sin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = π - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = π - cot -1 x sec -1(-x) = π - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 xD x sin -1 (a x )= 221xa -±cos -1 (a x)=tan -1 (a x )=22x a a +± cot -1 (ax )=sec -1 (a x )=22ax x a-±csc -1 (x/a)= ⎰ sin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C ⎰ cos -1 x dx = x cos -1 x-21x -+C ⎰ tan -1 x dx = x tan -1 x-½ln (1+x 2)+C ⎰ cot -1 x dx = x cot -1 x+½ln (1+x 2)+C ⎰ sec -1 x dx = x sec -1 x- ln |x+12-x |+C⎰ csc -1 x dx = x csc -1 x+ ln |x+12-x |+Csinh -1 (a x)= ln (x+22x a +) x ∈Rcosh -1 (a x)=ln (x+22a x -) x ≧1tanh -1 (a x )=a 21ln (xa xa -+) |x| <1coth -1 (a x )=a 21ln (a x a x -+) |x| >1 sech -1(a x )=ln(x 1-+221xx -)0≦x ≦1 csch -1(a x )=ln(x 1+221xx +) |x| >0 D x sinh x = cosh xcosh x = sinh xtanh x = sech 2 x coth x = -csch 2 x sech x = -sech x tanh x csch x = -csch x coth x ⎰ sinh x dx = cosh x + C ⎰ cosh x dx = sinh x + C⎰ tanh x dx = ln | cosh x |+ C ⎰ coth x dx = ln | sinh x | + C ⎰ sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + C ⎰ csch x dx = 2 ln |xxee 211---+| + Cd uv = u d v + v d u⎰ d uv = uv = ⎰ u d v + ⎰ v d u →⎰ u d v = uv - ⎰ v d u cos 2ΰ-sin 2ΰ=cos2ΰ cos 2ΰ+ sin 2ΰ=1 cosh 2ΰ-sinh 2ΰ=1cosh 2ΰ+sinh 2ΰ=cosh2ΰ D x sinh -1(a x )= 221xa + cosh -1(ax)=221ax - tanh -1(a x )= 22x a a -±coth -1(ax )=sech -1(a x )= 22x a x a --csch -1(x/a)=22xa x a +-⎰ sinh -1 x dx = x sinh -1 x-21x ++ C⎰ cosh -1 x dx = x cosh -1 x-12-x + C ⎰ tanh -1 x dx = x tanh -1 x+ ½ ln | 1-x 2|+ C⎰ coth -1 x dx = x coth -1 x- ½ ln | 1-x 2|+ C⎰ sech -1 x dx = x sech -1 x- sin -1 x + C⎰ csch -1 x dx = x csch -1 x+ sinh -1 x + Csin 3ΰ=3sin ΰ-4sin 3ΰ cos3ΰ=4cos 3ΰ-3cos ΰ →sin 3ΰ= ¼ (3sin ΰ-sin3ΰ) →cos 3ΰ=¼(3cos ΰ+cos3ΰ)sin x = j e e jxjx 2-- cos x = 2jx jx e e -+ sinh x = 2x x e e -- cosh x = 2xx e e -+正弦定理:αsin a = βsin b =γsin c=2R餘弦定理: a 2=b 2+c 2-2bc cos Ωb 2=a 2+c 2-2ac cos Ϊ c 2=a 2+b 2-2ab cos Ϋa b cαβγ Rsin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin β cos (α±β)=cos α cos β sin α sin β 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β)sin α + sin β = 2 sin ½(α+β) cos ½(α-β)sin α - sin β = 2 cos ½(α+β) sin ½(α-β) cos α + cos β = 2 cos ½(α+β) cos ½(α-β) cos α - cos β = -2 sin ½(α+β) sin ½(α-β) tan (α±β)=βαβαtan tan tan tan ±, cot (α±β)=βαβαcot cot cot cot ±e x=1+x+!22x +!33x +…+!n x n+ …sin x = x-!33x +!55x -!77x +…+)!12()1(12+-+n x n n + …cos x = 1-!22x +!44x -!66x +…+)!2()1(2n x nn -+ …ln (1+x) = x-22x +33x -44x +…+)!1()1(1+-+n x n n + …tan -1x = x-33x +55x -77x +…+)12()1(12+-+n x n n + …(1+x)r=1+r x+!2)1(-r r x 2+!3)2)(1(--r r r x 3+… -1<x<1 ∑=ni 11= n∑=ni i 1= ½n (n +1)∑=ni i 12=61n (n +1)(2n +1) ∑=ni i13= [½n (n +1)]2Γ(x) = ⎰∞t x-1e -t d t = 2⎰∞t 2x-12t e -d t =⎰∞)1(ln tx-1 d t Ϊ(m , n ) =⎰10x m -1(1-x)n -1 d x =2⎰20sin π2m -1x cos 2n -1x d x=⎰∞+-+01)1(nm m x x d x 希腊字母 (Greek Alphabets)大写小写读音 大写 小写读音 大写 小写读音 Α Ω alpha Ι α iota Ρ ι rhoΒ Ϊ beta Κ β kappa ΢ κ, ς sigmaΓ Ϋ gamma Λ γ lambda Σ λtau Δ ά delta Μ δ mu Τ μ upsilonΕ έ epsilon Ν ε nu Υ νphi Ζ ή zeta Ξ ζ xi Φ ξkhi Η ί eta Ο η omicron Χ οpsi Θ ΰthetaΠθpiΨω omega倒数关系: sin θcsc θ=1; tan θcot θ=1; cos θsec θ=1 商数关系: tan θ=θθcos sin ; cot θ= θθsin cos 平方关系: cos 2θ+ sin 2θ=1; tan 2θ+ 1= sec 2θ; 1+ cot 2θ= csc 2θ順位低順位高; ⎰ 顺位高d 顺位低 ;0*∞ =∞1 *∞ = ∞∞= 0*01 = 0000 = )(0-∞e ; 0∞ = ∞⋅0e ; ∞1 = ∞⋅0e顺位一: 对数; 反三角(反双曲) 顺位二: 多项函数; 幂函数 顺位三: 指数; 三角(双曲)算术平均数(Arithmetic mean) nX X X X n+++= (21)中位数(Median) 取排序后中间的那位数字 众数(Mode)次数出现最多的数值几何平均数(Geometric mean) n n X X X G ⋅⋅⋅= (21)调和平均数(Harmonic mean))1...11(1121nx x x n H +++=平均差(Average Deviatoin)nX Xni||1-∑变异数(Variance)nX Xni21)(-∑ or1)(21--∑n X Xni标准差(Standard Deviation)nX Xni21)(-∑ or1)(21--∑n X Xni分配 机率函数f (x )期望值E(x )变异数V(x )动差母函数m (t )Discrete Uniform n 1 21(n +1) 121(n 2+1) tnt t ee e n --1)1(1 Continuous Uniform ab -1 21(a +b ) 121(b -a )2 ta b e e atbt )(--Bernoulli p x q 1-x (x =0, 1)p pq q +pe t Binomial ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x n p x q n -x npnpq(q+ pe t )nNegative Binomial ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x k 1p k q x pkq 2p kq kt kqe p )1(-Multinomialf (x 1, x 2, …, x m -1)= m xm x x m p p p x x x n ...!!...!!212121np inp i (1-p i )三項 (p 1e t 1+ p 2e t 2+ p 3)nGeometric pq x-1p1 2pq ttqe pe -1 Hypergeometric⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n N x n k N x k n ⎪⎭⎫ ⎝⎛N k ⎪⎭⎫ ⎝⎛--1N n N n ⎪⎭⎫ ⎝⎛N kPoisson!x e xλλ- γ γ)1(--t e eλNormal 2)(21 21σμπσ--x eδκ222 21 t t eσμ+Beta 11)1(),(1---βαβαx x Bβαα+2))(1(βαβααβ+++Gammax e x λαλαλ--Γ1)()( λα 2λα αλλ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-t Exponentxeλλ-λ121λt-λλ Chi-Squared ξ2 =f (ξ2)=212222)(221χχ--⎪⎭⎫⎝⎛Γen n nE(ξ2)=nV(ξ2)=2n2)21(n t --Weibullαβα--x e1⎪⎭⎫⎝⎛+Γ+111λαβλ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ111222λλαλ1 000 000 000 000 000 000 000 000 1024 yotta Y1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z 1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E 1 000 000 000 000 000 1015 peta P 1 000 000 000 000 1012 tera T 兆 1 000 000 000 109 giga G 十亿 1 000 000 106 mega M 百万 1 000 103 kilo K 千 100 102 hecto H 百 10 101 deca D 十0.1 10-1 deci d 分，十分之一 0.01 10-2 centi c 厘（或写作「厘」），百分之一 0.001 10-3 milli m 毫，千分之一0.000 001 10-6 micro ? 微，百万分之一 0.000 000 001 10-9 nano n 奈，十亿分之一 0.000 000 000 001 10-12 pico p 皮，兆分之一0.000 000 000 000 001 10-15 femto f 飞（或作「费」），千兆分之一 0.000 000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿 0.000 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z 0.000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y。

微积分公式sin x=cos xsin x dx = 一cos x 卜Csirf'(-x) = -sin -1 xcos x = -sin x cos X dx = sin x + ccos'1 (~x)二 - cos'1 Xtan x = sec 2x tan x dx = In ；sec x I + C tan'1(~x) = -tan"1xcot X = -CSC’ X cot X dx = In sin x | + Ccot'1 (~x) =- cot'1Xsec x = sec x tan xsec x dx = In [secx + tan x 1 + sec'1 (~x) = - sec'1xCSC X = 一CSC x cot XcCSC XCdx = In esc :< - cot X1 +esc'1(~x) = - esc'1X・-i / x \ —±1c ； i n (・ -1 sm x dx = x sin -1 x+ J1 - X 2 +c sinh'1 ( —)= In (x+Ja'+f a ）〉:eRcos -1x dx = x cos'1X- J1 - X 2+ccos (—) 一cosh -1 ( —)=ln (x+jF-/)X Mla tan -1J < dx = x tan' x-Viln (l+x 「)+C a-x zX.±a tan-----cot -1 J < dx = x cot': x+%ln (l+x')+Ctanh -1 (%)= 1 In (心“) Ixl <1a crci la a 一 xcof 1 (i) =sec -1 x dx = x sec'1 x- Incoth -1 (X )= 1 In (" + ")Ixl >1|x+J/ -a1 l+ca 2ax-a-i / x 、_ 土“ sec (—)_ ---------------------CSC -1 x dx = x esc'1x+ Insech _1( —)=ln(— + J )0 = xa - Cl 1 |x+J/ - 1 l+cA V Aesc"" (x/a)=csch'1 (-)=ln(l + J^-)lx>0a x V 2sinh x = cosh x sinh x dx = cosh x+ c duv = udv + vducosh x = sinh x cosh x dx = sinh x+ cduv = uv = udv +tanh x = sech" x tanh x dx = In cosh x + C fudv - uv -vducoth x = 一csch~ x coth x dx 二 In sinh x j + ccos 2Q -sin 20 =cos2 0sech x = -sech x tanhsech x dx = -2tan -1 (Q) + Ccos 2 0 + sin : 0 =1Xcschx dx = 2 In1 +厂 11 + ccosh 2 0 -sinh 2 0 =1Xcsch x = -csch x coth Jl -严cosh 2 9 +sinh : 9 =cosh2 01sin ( a ± 0 )=sin a cos P 土cos a sin P sin a + sin P = 2 sin %(a + B) COS !6(a-p) cos ( Q ± 0 )=cos a cos P +sin a sin P sin a - sin P = 2 cos %(a + B) sin2 sin a cos P = sin ( a + 0) + sin (a-0) cos a + cos P = 2 cos %(a + B) cos %(a-B) 2 cos a sin P = sin ( a + 0) - sin (a-0) cos a - cos 0 二-2 sin %(a + 0) sin %(a-0)2 cos a cos P = cos ( a - 0) + cos (a+0) (.o x tan a 土tan 0tan (a ± P)= ---------------------- 、cot (a t2 sin a sin 0 = cos ( Q - 0) - cos (a+0) + tan a tan pc、 + cot a cot BB)二-------- 2cot a ± cot 0/=l+x+ —+ —+•••+ —+ 2!3! n!■■n£1二门/-isin xX3 X5 x1二X———+——一—亠(_1)”严丄• • •工j 二'kn (Ml)/-I3! 5! 7! ⑵2 + 1)!cos X■A-2 X4 X6二]_ -- + -- _ --.丄(-1)7 丄.••川 1yi2=-刀(/T+1) (2/rH) 2! 4! 6! ⑵2)! 幺 6In (1+x)二x- —+ —- x4・+…y/3= v/zn (n+1)]22 3 4 5 + 1)!tan':X5 X5 X£ = X 一一 + —一一+•..+(_])叹泅 +⑵ 2 + 1) • • •r (x)=(厂y 厂:r (In-) r d t t(l+x)J―r(r-1)二l+rx+ -------- x—一2!—2)沙3! …-1<X<1 P S, n)二J；L(1 -x)"d记2] [sin 2n-l X cos'^x d-YD；： sinh-1(-) =a cosh-1(-) =atanh^C—)=a yla1 +x:1>jx2 - a2±a_牙・sinh'1cosh'1x dx = x sinh'1 x-\/l + x2 + Cdx = x cosh'1 x-Vx2 -1 + Ccoth气丄)二asech'^ —)=a—uXyla2 -x2 csch-1(x/a)=tanh-11-X2 + Ccoth'11-x2 + Csech':Ccsch"1x dx = x tanh': x+ % Inx dx = x coth'1 x- % In\x\yla1 + X2sin 3 0 =3sin 0 -4sin3 0cos3 0 =4cos3 0 -3cos 0 f sir? 0 二％(3sin 0 -sin3 0 ) -*-cos3 0 =%(3cos 0 +cos3 0 )----------- COS X 二2jsin x =sinh x = cosh x =e +e-x正弦定理:余弦定理:sin a sin pa:=b:+c:-2bcb"=a:+c2-2acc:=a:+b2-2abb丄=2Rsinycos acos 0cos YE v-W-1希腊字母倒数关系：sin 0 esc（）=1; tan ° cot 0 =1; cos 0 sec 0 =1商数关系：仃sin& x n cos。

微积分公式大全一、基本公式：1.微分基本公式（导数）：（1）常量函数导数：(k)'=0；（2）幂函数导数：(x^n)'=n·x^(n-1)；（3）指数函数导数：(a^x)'= ln(a)·a^x；（4）对数函数导数：(log_a x)'= 1/(x·ln(a))；（5）三角函数导数：(sin x)'=cos x, (cos x)'=-sin x, (tan x)'=sec^2 x；（6）反三角函数导数：(arcsin x)'=1/√(1-x^2), (arccos x)'=-1/√(1-x^2), (arctan x)'=1/(1+x^2)；（7）复合函数导数：f(g(x))'=f'(g(x))·g'(x)；2.积分基本公式：（1）不定积分：∫(k)dx=kx+C, ∫(x^n)dx= (x^(n+1))/(n+1)+C；（2）定积分：∫(a~b)f(x)dx= F(b)- F(a)，其中 F(x) 是 f(x) 在[a, b] 上的一个原函数；（3）换元积分：∫f(g(x))·g'(x)dx=∫f(u)du, 其中 u = g(x)；（4）分部积分：∫u·dv = u·v - ∫v·du；二、微分学公式：1.高阶导数：如果函数f(x)的n阶导数存在，则记作f^(n)(x)，有以下公式：（1）常函数的n阶导数为0；（2）幂函数的n阶导数为n!(n-1)!·x^(n-m)；（3）指数函数的 n 阶导数为a^x·ln^n(a)；（4）对数函数的n阶导数为(-1)^(n-1)·(n-1)!/x^n；（5）三角函数的n阶导数：sin(x)：n 为奇数时，n 阶导数为sin(x+ nπ/2)；n 为偶数时，n 阶导数为cos(x+ nπ/2)；cos(x)：n 为奇数时，n 阶导数为 -cos(x+ nπ/2)；n 为偶数时，n 阶导数为sin(x+ nπ/2)；tan(x)：n 为奇数时，n 阶导数为 (-1)^(n-1)·2^(n-1)·B_n·(2n)!·x^(2n-1)，其中 B_n 为 Bernoulli 数；n为偶数时，n阶导数为0；2.泰勒展开：函数f(x)的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)·(x-a)+f''(a)·(x-a)^2/2!+......+f^(n)(a)·(x-a)^n/n!+......；当x接近a时，可以使用前n阶导数来估算函数的值；三、积分学公式：1.牛顿-莱布尼茨公式：设函数F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则有∫(a~b)f(x)dx= F(b)- F(a)；2.反常积分：（1）瑕积分：∫(1/x)dx 在曲线 y=0, x=0 和 x=1 构成的区域内发散；（2）收敛式积分：∫(1/x)dx 在曲线 y=0, x=0 和 x=1 构成的区域外收敛为 ln，x；（3）点收敛、条件收敛和绝对收敛；3.广义积分：（1）广义积分存在：∫(a~+∞)f(x)d x= A 表示对于任意定义域上的f(x)，在 a 之后的任意区间上都是收敛的；（2）比较判别法：若存在p>0和M>0，使得，f(x)，<=M·g(x)，那么当f(x)的积分是收敛的，那么g(x)的积分也是收敛的；（3）绝对收敛：如果，f(x)，在定义域上是收敛的，那么f(x)的积分是绝对收敛的；（4）积分判别法：如果积分是收敛的，但是f(x)的绝对值不是；或者f(x)的绝对值是收敛的，但是积分是发散的，那么f(x)的积分是条件收敛的；以上仅是微积分常用公式的集合，只能作为参考，实际应用仍需根据具体问题进行判断和运用。