杭州外国语学校2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

浙江省杭州外国语学校2019届高三3月月考数学（理科）试题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集R U =,集合{}2|lg(1)M x y x ==-,{}|02N x x =<<,则()U N M =ð（ ）A ．{}|21x x -≤<B ．{}|01x x <≤C ．{}|11x x -≤≤D ．{}|1x x <2. 函数的图像为 ( )3. 设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ）A ．,//,a b αβαβ⊥⊥B ．,,//a b αβαβ⊥⊥C ．,,//a b αβαβ⊂⊥D ．,//,a b αβαβ⊂⊥4. 阅读如图所示的程序框图,若输入919a =,则输出的k 值是（） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 5. 已知命题:(,0),34xxp x ∃∈-∞<； 命题:(0,),tan 2q x x x π∀∈> 则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧6．设不等式组4,010x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D ．若圆C:222(1)(1)(0)x y r r +++=>不经过区域D上的点,则r 的取值范围是（ ）A B C D2|log |1()2||x f x x x =--A． B．(32,)+∞C．(25,)+∞ D．(25,)+∞7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ） A ．1 B ．13 C ．12 D ．328. 现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则ξ的数学期望E ξ为（ ）A ．199 C ．2 D ．739. 已知函数321,,112()111,0,362x x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，函数()()sin 2206x g x a a a π=-+>，若存 在[]12,0,1x x ∈，使得()12()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A．]43,21[ B ．]23,43[ C．]34,32[ D ．]34,21[ 10.已知函数()f x =⎩⎨⎧>+-≤-)0(,1)1()0(,12x x f x x ,把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（ ） A ．2)1(-=n n a nB ．1-=n a nC ．)1(-=n n a nD ．22-=nn a二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分．11．设0a >，在二项式10(a 的展开式中，含x 的项的系数与含4x 的项的系数相等，则a 的值为 ．12.在平面直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==-，且O A 与OB 在直线l 上的射影长度 相等，直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率为 ．13. 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为___14.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位， 则这样的六位数共有___ 个．15.平面向量a ，b ，e 满足||1=e ，1⋅=a e ，2⋅=b e ，||2-=a b ，则⋅a b 的最小值为 ．倾斜角为__________17.已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①()1,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭； ②(){},sin 1M x y y x ==+； ③(){}2,log M x y y x ==； ④(){},2xM x y y e==-.其中是“垂直对点集”的序号是三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. （本题满分14分）已知函数()sin f x x ω= (0)ω>在区间[0,]3π上单调递增,在区间2[,]33ππ上单调递减; 如图,四边形OACB 中,a ,b ,c 为ABC △的内角A B C ，，的对边,且满足ACB AC B cos cos cos 34sin sin sin --=+ω. (1)证明:a c b 2=+(2)若c b =,θ=∠AOB ,(0)θπ<<,22OA OB ==, 求四边形OACB 面积的最大值.19. （本题满分14分）某工厂为扩大生产,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25%(1)设第n 年该生产线的维护费用为n a ,求n a 的表达式;(2)若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前n年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线?20. （本题满分14分）在如图所示的几何体中,ABC ∆是边长为2的正三角形,1,AE AE >⊥平面ABC , 平面BCD ⊥平面ABC , BD CD =,且.BD CD ⊥ (1)若2AE =,求证://AC 平面BDE(2)若二面角A DE B --为60°,求AE 的长.21. (本题满分15分)已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>,⊙222:O x y b +=, 点A,F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点, 点F 不是O 上的点，点P 是O 上的动点. (1)若(P -,PA 是O 的切线,求椭圆C 的方程; (2)是否存在这样的椭圆C,使得||||PA PF 恒为常数?如果存在,求出这个数及C 的离心率e;如果不存在,说明理由.22. (本题满分15分) 设x x f ln )(=．（1）若)1,0(∈α，求)1ln()1(ln )(x x x g --+=αα最大值; （2）已知正数α，β满足1=+βα．求证：)()()(2121x x f x f x f βαβα+≤+；（3）已知0>ix ，正数iα满足11=∑=ni i α．证明:∑∑==≤ni iiini ixx 11ln ln αα),2,1(n i =其中．参考答案 :1-10 BCCCD CBADB 11、1 12、2/5 13、14、120 15、5/4 16、4π或2π17、②④18、【答案】解:(Ⅰ)由题意知:243ππω=,解得:32ω=, AC B A C B cos cos -cos -2sin sin sin =+A C AB A AC A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴A C AB A sin 2)(sin )(sin =+++∴a cb A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴(Ⅱ)因为2b c a b c +==，,所以a b c ==,所以ABC △为等边三角形21sin 2OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+22sin -2cos )OA OB OA OB θθ=+⋅ 435cos 3-sin +=θθ2sin (-)3πθ=(0)θπ∈，,2--333πππθ∴∈(，),当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S的最大值为219、（1）722,7516(),84n n n n a n -+≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（2）第10年年初20、【答案】解: (Ⅰ)分别取BC BA BE ，， 的中点M N P ，，,连接DM MN NP DP ，，，,则MN ∥AC ,NP ∥AE ,且1=12NP AE = 因为BD CD =,2BC =,M 为BC 的中点, 所以DM BC ⊥,1DM =又因为平面BCD ⊥平面ABC , 所以DM ⊥平面ABC 又AE ⊥平面ABC , 所以DM ∥AE所以DM ∥NP ,且DM NP =,因此四边形DMNP 为平行四边形,所以MN ∥DP ,所以AC ∥DP ,又AC ⊄平面BDE ,DP ⊂平面BDE , 所以AC ∥平面BDE(或者建立空间直角坐标系,求出平面BDE 的法向量1n ,计算10AC ⋅=n 即证)(Ⅱ)解法一:过M 作MN ⊥ED 的延长线于N ,连接BN . 因为BC AM ⊥,BC DM ⊥,所以BC ⊥平面DMAE ,ED ⊂平面DMAE 则有BC ED ⊥.所以ED ⊥平面BMN ,BN ⊂平面BMN , 所以ED BN ⊥.所以MNB ∠为二面角A ED B --的平面角, 即=60MNB ︒∠在Rt BMN ∆中,=1BM ,则MN,BN . B EDCAMNPMB ED CAN在Rt MND ∆中,DN . 设1AE h =+,则DE =所以NE =,又BE =在Rt BNE ∆中,222BE BN NE =+,即()2212h ++=22++解得h =,所以1AE =解法二:由(Ⅰ)知DM ⊥平面ABC ,AM MB ⊥, 建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -. 设AE h =,则()0,0,0M ,()1,0,0B ,()0,0,1D ()A ,()E h ,()1,0,1BD =-,()BE h =-.设平面BDE 的法向量1(,,)x y z =n则110,0.BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn 所以0,0.x z x zh -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩令1x =, 所以1=n 又平面ADE 的法向量2(1,0,0)=n 所以1212121cos ,2⋅<>===⋅n n n n n nEz解得1h =+,即1AE =21、（1）221164x y += （2）1||,2||PA e PF -==1221()(1)1(1)xg x x x x x ααα--'=+-=--解：（）（10<<x ）),0(α∈∴x 当时，0)(>'x g ，当)1,(α∈x 时，0)(<'x g .即)(x g 在),0(α上递增，在)1,(α递减.故α=x 当时，有)1ln()1(ln )()(max ααααα--+==g x g .(3分))ln(ln ln )()()(F )2(1111x x x x x x f x f x f x βαβαβαβα+-+=+-+=）（构造函数，则.)()(F 111x x x x x x x x x βααββαββ+-=+-='）（易证)(x F 在在),0(1x 上递增，在),(1+∞x 上递减.∴1x x =当时，有)()()()()(11111max x x f x f x f x F x F βαβα+-+==0=. ∴)()(12x F x F ≤,即0)()()(2121≤+-+x x f x f x f βαβα， 即证)()()(2121x x f x f x f βαβα+≤+ （8分） 下：）用数学归纳法证明如（3 ① 当2,1=n 时，命题显然成立；② 假设当),2(N k k k n ∈≥=时，命题成立，即当1121=++++-k k αααα 时，)ln(ln ln ln ln 112211112211k k k k k k k k x x x x x x x x αααααααα++++≤++++---- .则当1+=k n ，即当11121=++++++-k k k ααααα 时，111111111211=-+-++-+-++-++k k k k k k αααααααα ，又假设知≤-+-++-+-+-+-++k k k k k k k k x x x x ln 1ln 1ln 1ln 11111212111αααααααα )1111ln(1111212111k k k k k k k k x x x x +-+-++-+-++-+-αααααααα ，即 )1ln()1(ln ln ln ln 11122111112211+--+---++++-≤++++k kk k k k k k k k x x x x x x x x αααααααααα 11112211ln ln ln ln ln ++--+++++k k k k k k x x x x x ααααα1111122111ln )1ln()1(+++--++-++++-≤k k k kk k k k x x x x x ααααααα]1)1ln[(1111122111+++--++-++++-≤k k k kk k k k x x x x x ααααααα=)ln(11112211++--+++++=k k k k k k x x x x x ααααα .这说明当1+=k n 时，命题也成立.综上①②知，当0>i x ，正数i α满足11=∑=ni i α时∑∑==≤ni iiin i ixx 11ln ln αα),2,1(n i =其中 （14分）（以上答案仅供参考，其他解法请作情给分.）。

（第3题图）高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作杭州外国语学校2014学年高三（文）数学月考试卷（5月）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1. 已知角α的终边经过点(4,-3)，则cos α等于( A ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－452.已知函数()y f x x =+是偶函数，且(2)1f =，则(2)f -=（ D ） A. 1- B. 1 C. 5- D. 53.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ A ）A ．2B ．32C ．3D ．52 4. 已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( C ) A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心 C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心5.已知实数,x y 满足140x x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩，且目标函数2z x y =+的最大值为6，最小值为1，其中0,cb b≠则的值为 （ A ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．16.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值为 （ B ）A ．4B ．5C ．234D ．67. 已知P 点是以F 1，F 2为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝2，则此双曲线的离心率等于( A )A.5 B ．5 C ．25 D ．38．已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A .若⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( A )A.⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 解析∵⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，∴f (a )<f (0)，∴a (1＋a |a |)<0，解得－1<a <0，可排除C. ∵f ⎝⎛⎭⎫－12＋a <f ⎝⎛⎭⎫－12，∴⎝⎛⎭⎫－12＋a ⎝⎛⎭⎫1＋a ⎪⎪⎪⎪－12＋a <－12⎝⎛⎭⎫1＋a 2，∴a ⎝⎛⎭⎫－12＋a ⎪⎪⎪⎪－12＋a <－54a . ∵－1<a <0，∴⎝⎛⎭⎫－12＋a ⎪⎪⎪⎪－12＋a >－54，∴－⎝⎛⎭⎫－12＋a 2>－54，∴⎝⎛⎭⎫－12＋a 2<54， ∴1－52<a <0.排除B ，D.应选A.二、填空题：9.已知全集为R ，集合{}{}221,680xA xB x x x =≥=-+≤，则[0,2)(4,)R A C B =⋃+∞.()(,2)(4,)R C A B =-∞⋃+∞..10.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1, P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S . 则当1(0,]{1}2CQ ∈⋃.时,S 为四边形;当CQ =12时S 为等腰梯形; 当1CQ =时, S 的面积为62..11.已知等差数列{}n a 中，21920,28a a a =-+=-.数列{}n b 满足 2log n n a b =，则224n a n =-，若设12n n T b b b =，且1n T =，则n 的值是 23 .12. 将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则函数的最大值是 2 ，m 的最小值6π. 13. .已知圆C ：x 2＋y 2＋bx ＋ay －3＝0 (a ，b 为正实数)上任意一点关于直线l ：x ＋y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则1a ＋3b 的最小值为 312+ .14. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为221205x y += 15. 设,a b R ∈，函数2()(1)f x ax b x =++．若对任意实数b ，函数()()2g x f x x =--有两不同的零点，求实数a 的取值范围 (0,1) .三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解 (1)由余弦定理及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233，则△ABC 的面积S ＝12bc ＝233；当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433.则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233，综上，△ABC 的面积为23317. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设数列{b n }满足b n ＝a n ＋2n .(1)求证数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)若数列c n ＝6n －3b n，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明T n <3.(1)解 当n ≥2时，由⎩⎨⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋12S n －1＝a n －2n＋1⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n ，所以a n ＋1＝3a n ＋2n ， 从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )＝3b n ，故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列， b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －1＝3n ，a n ＝3n －2n (n ≥2)，因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n －2n .(2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －13n －1，则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，①13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②得，23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n ，故T n ＝3－n ＋13n －1<3.18. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．(1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB ，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．(1)证明 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD . ∵PD ⊥底面ABCD ， ∴PD ⊥AC . 又PD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面PDB . 又AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面PDB . (2)解 设AC ∩BD ＝O ，连接OE .由(1)知，AC ⊥平面PDB 于点O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角．∵点O 、E 分别为DB 、PB 的中点，∴OE ∥PD ，且OE ＝12PD ，又∵PD ⊥底面ABCD ，∴OE ⊥底面ABCD ，∴OE ⊥AO .在Rt △AOE 中，OE ＝12PD ＝22AB ＝AO ，∴∠AEO ＝45°.即AE 与平面PDB 所成的角为45°.19. 在直角坐标系xOy 中，点M (2，－12)，若F 为抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)的焦点，线段MF恰被抛物线C 平分． (1)求m 的值；(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，设直线F A 、FM 、FB 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，问k 1、k 2、k 3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由．解 (1)由题意得抛物线C 的焦点F 的坐标为(0，14m )，线段MF 的中点N (1，18m －14)在抛物线C 上，∴18m －14＝m,8m 2＋2m －1＝0，∴m ＝14(m ＝－12舍)． (2)由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，F (0,1)．设l 的方程为y ＋12＝k (x －2)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧y ＋12＝k (x －2)x 2＝4y，得x 2－4kx ＋8k ＋2＝0，又Δ＝16k 2－4(8k ＋2)>0，∴k <2－62或k >2＋62.⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k x 1x 2＝8k ＋2， 假设k 1、k 2、k 3能成公差不为零的等差数列，则k 1＋k 3＝2k 2.而k 1＋k 3＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝x 2y 1＋x 1y 2－x 2－x 1x 1x 2＝x 221x 4＋x 122x 4－x 2－x 1x 1x 2＝(x 1x 24－1)(x 1＋x 2)x 1x 2＝(8k ＋24－1)·4k 8k ＋2＝4k 2－k 4k ＋1，k 2＝－34，∴4k 2－k 4k ＋1＝－32，8k 2＋10k ＋3＝0，解得k ＝－12<2－62(符合题意)，或k ＝－34(此时直线l 经过焦点F ，k 1＝k 2＝k 3，不合题意，舍去)．∴直线l 的方程为y ＋12＝－12(x －2)，即x ＋2y －1＝0.故k 1、k 2、k 3能成公差不为零的等差数列，此时直线l 的方程为x ＋2y －1＝0. 20. 定义函数φ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0，f (x )＝x 2－2x (x 2－a )·φ(x 2－a )．(1)解关于a 的不等式f (1)≤f (0)；(2)在0<a ≤1的条件下，若()(1)f x f ≥在x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的最大值．解 (1)f (1)≤f (0)，即1－2(1－a )φ(1－a )≤0.当a >1时，φ(1－a )＝－1，所以1＋2(1－a )≤0，解得a ≥32.当a ≤1时，φ(1－a )＝1，所以1－2(1－a )≤0，解得a ≤12.综上，a 的解集为{a |a ≤12或a ≥32}．(2)由题意，∀x ∈[0,1]，f (x )≥f (1)恒成立．当0<a ≤1时，由f (x )≥f (1)， 得x 2－2x (x 2－a )φ(x 2－a )≥2a －1.(i)当a ≤x ≤1时， x 2－2x (x 2－a )≥2a －1，即2a (x －1)≥2x 3－x 2－1.②当x ＝1时，②式成立,当x ∈[a ，1)，②式即2a ≤2x 3－x 2－1x －1，即2a ≤2x 2＋x ＋1，所以对一切x ∈[a ，1]恒成立，所以2a ≤2a ＋a ＋1.此式恒成立． (ii)当0≤x ≤a 时， x 2＋2x (x 2－a )≥2a －1，即2a (x ＋1)≤2x 3＋x 2＋1.③因为x ∈[0，a ]，③式即2a ≤2x 3＋x 2＋1x ＋1，即2a ≤2x 2－x ＋1.1)当a ≤14，即0<a ≤116时，2a ≤2(a )2－a ＋1，所以a ≤1.结合条件得0<a ≤116.2)当a >14，即116<a ≤1时， 2a ≤1－18，所以a ≤716.结合条件得116<a ≤716，716.即a的取值范围为{a|0<a≤716}．a 的最大值是716由1)，2)得0<a≤。

浙江省杭州外国语学校届高三月月考数学理试题浙江省杭州外国语学校2021届高三3月月考数学（科学）试卷注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟2．整场考试不准使用计算器一、多项选择题：本大题共有10个子题，每个子题得5分，共计50分。

在每个子问题中给出的四个选项中，只有一个符合问题的要求1．设全集u?r,集合m??x|y?lg(x2?1)?,n??x|0?x?2?,则n(eum)?（）a、 ?。

？x |？2.十、1.2.功能y1b．?x|0?x?1?c．?x|?1?x?1?d．?x|x?1?f（x）？2 | log2x |？|十、y11x1 | x的图像是（）y11xy11xoooo1xabcd开始输入A3，假设a和B是两条直线，？，？是两架飞机，还是一架飞机？B的一个充分条件是（）a．a??,b//?,b．a??,b??,?//?c．a??,b??,?//?d．a??,b//?,4.阅读如图所示的程序框图。

如果输入？a、 9b.10c.11d.125。

已知命题p:？十、(??,0),3? 4、命题q:？十、（0，xxk？1，s？0）s?s?1(2k?1)(2k?1)k?k?19,则输出的k值是（）19s?a?否是输出k?2),tanx?x则下列命题中真命题是（）A.P.结束？qb.p？（？q）c.p？（？q）d.（？p）？Qxy4,2226．设不等式组?y?x?0表示的平面区域为d．若圆c:(x?1)?(y?1)?r(r?0)不十、1.0通过D区点后，R的取值范围为（）a．[22,25]b．(0,22)c．(0,22)(32,??)(25,??) d、（0,32）（25，？）7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）a.1b。

113c．d．3228.现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量那么，三个盒子里球最多的盒子里球的数量是多少？数学周期望e?为（）a．19717b．c．2d．在x1，X2？？0,1?，做f（x1）？Gx2？如果是，实数a的取值范围为（）a.[，1333]B.[，]2442c。

杭州市萧山区第三高级中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（ ）A ．（，1，1）B ．（﹣1，﹣3，2）C ．（﹣，，﹣1）D ．（，﹣3，﹣2）2． 在数列{}n a 中，115a =，*1332()n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是 （ ）A ．21a 和22aB ．22a 和23aC ．23a 和24aD ．24a 和25a3． 487被7除的余数为a （0≤a ＜7），则展开式中x ﹣3的系数为（ ）A ．4320B ．﹣4320C ．20D ．﹣204． 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形， 则该几何体的体积为（ ）A ．64B ．32C ．643 D ．3235． 下列命题正确的是（ ）A ．很小的实数可以构成集合.B ．集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合.C ．自然数集 N 中最小的数是.D ．空集是任何集合的子集.6． 已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ）A ． 4B ． ﹣4C ． 2D ． ﹣27． 直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC ===,直线:l x t =截该梯形所得位于左边图 形面积为，则函数()S f t =的图像大致为（ ）8． 函数的零点所在区间为（ ）A ．（3，4）B ．（2，3）C ．（1，2）D ．（0，1）9． 如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A 射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）ABCD10．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A ．2sin 2cos 2αα-+B ．sin 3αα-+C. 3sin 1αα+ D ．2sin cos 1αα-+11．已知x ，y ∈R ，且，则存在θ∈R ，使得xcos θ+ysin θ+1=0成立的P （x ，y ）构成的区域面积为（ ）A ．4﹣B ．4﹣C ．D ．+12．已知双曲线和离心率为4sinπ的椭圆有相同的焦点21F F 、，P 是两曲线的一个公共点，若21cos 21=∠PF F ，则双曲线的离心率等于（ ） A ． B ．25 C ．26 D ．27二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上） 13．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22x f x =-，则不等式()16f x -≤的解集 是 ▲ ．14．设x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x ﹣3y 的最小值是 ．所示的框图，输入，则输出的数等于16．抛物线y 2=8x 上到顶点和准线距离相等的点的坐标为 ．三、解答题（本大共6小题，共70分。

2019年浙江省杭州市外国语学校高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知偶函数在区间上满足，则满足的的取值范围是A． B． C． D．参考答案：D因为偶函数在区间上满足，所以函数在区间上单调递增，在区间内单调递减，所以由可得，所以满足的的取值范围是。

2. a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，函数有唯一零点，则的取值范围是（）A. (1,3)B.C.D. (1,2)参考答案：D【分析】由，所以，利用余弦定理，得，再由正弦定理，得，求得，结合锐角，求得，，根据，即可求解的取值范围.【详解】由题意，函数为偶函数且有唯一零点，则，所以.由余弦定理，得，整理得，即，所以，由正弦定理，得，即，所以，所以，所以或（舍），故，结合锐角，，则，，所以，由，又因为，所以，即的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.3. 设全集R，集合=，，则( )A． B． C． D．参考答案：D4.在某学校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的成绩近似服从正态分布.已知成绩在分以上(含分)的学生有名,则此次竞赛的学生总人数约( )人.(参考数据：)A. B.C. D.参考答案：答案：B5. 已知向量满足，且与夹角为，则（）A. -3B. -1C. 1D. 3参考答案：B【分析】根据向量的运算法则与数量积的运算求解即可.【详解】.故选：B【点睛】本题主要考查了向量的运算法则与数量积的运算,属于基础题型.6. 已知F1和F2分别是椭圆C： +y2=1的左焦点和右焦点，点P（x0，y0）是椭圆C上一点，切满足∠F1PF2≥60°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣，] C．[1，] D．[，]参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】设当点P在第一象限时，求出∠F1PF2=60°时，PF2的大小，由焦半径公式的PF2=a﹣ex0解得x0，根据对称性，则x0的取值范围【解答】解：∵a=，b=1，∴c=1．设当点P在第一象限时，|PF1|=t1，|PF2|=t2，则由椭圆的定义可得：t1+t2=2…①在△F1PF2中，当∠F1PF2=60°，所以t12+t22﹣2t1t2?cos60°=4…②，由①﹣②得t2=，由焦半径公式的a﹣ex0=，解得x0=，当点P向y轴靠近时，∠F1PF2增大，根据对称性，则x0的取值范围是：[﹣，]故选：B【点评】本题考查了椭圆的性质及焦点三角形的特征，属于中档题．7.若集合，则等于A．（1，3） B． C． D．参考答案：答案：C8. 如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱面，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的侧视图面积为( )A. B.C. D.4参考答案：A9. 已知平面向量共线，则=A． B． C． D．5参考答案：A略10. 已知实数满足，且目标函数的最大值为6，最小值为1，[ 其中的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果实数满足,若直线将可行域分成面积相等的两部分，则实数的值为______.参考答案：-312. 已知棱长为2的正方体内接于球O，点P是正方体的一个顶点，点Q是正方体一条棱的中点，则直线PQ被球O截得线段长的最大值为__.参考答案：【分析】由题可得球的半径为正方体的体对角线的一半，当直线被球截得线段最长时，两点刚好在正方体体对角线的两条棱上。

杭州市高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x ，y ）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式为（）A ．y=x+2B ．y=C ．y=3x D ．y=3x 32． “m=1”是“直线（m ﹣2）x ﹣3my ﹣1=0与直线（m+2）x+（m ﹣2）y+3=0相互垂直”的（ ）A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3． 已知定义在R 上的可导函数y=f （x ）是偶函数，且满足xf ′（x ）＜0， =0，则满足的x 的范围为（）A ．（﹣∞，）∪（2，+∞）B ．（，1）∪（1，2）C ．（，1）∪（2，+∞）D ．（0，）∪（2，+∞）4． 如图所示，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若=+x+y，则（）A ．x=﹣B ．x=C ．x=﹣D ．x=5． 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公比q=2，S k+2﹣S k =48，则k 等于（ ）A ．7B ．6C ．5D ．46． 若a ＞b ，则下列不等式正确的是（ ）A ．B ．a 3＞b 3C ．a 2＞b 2D ．a ＞|b|班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________7． 在的展开式中，含项的系数为（ ）10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭2x （A ） （ B ） （C ）（D ） 1030451208． 已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁U A ）∩（∁U B ）=（ ）A ．{5，8}B ．{7，9}C ．{0，1，3}D ．{2，4，6}9． 已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A ⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个10．已知函数f （x ）=2x ﹣+cosx ，设x 1，x 2∈（0，π）（x 1≠x 2），且f （x 1）=f （x 2），若x 1，x 0，x 2成等差数列，f ′（x ）是f （x ）的导函数，则（ ）A ．f ′（x 0）＜0B ．f ′（x 0）=0C ．f ′（x 0）＞0D ．f ′（x 0）的符号无法确定11．双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于()222210,0x y a b a b-=>>12F F 、2F 两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（ ）A B 、1F AB ∆A 2e =A ．B ．C ．D ．1+4-5-3+12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则异面直线EF 和BC 1所成的角是（）A ．60°B ．45°C ．90°D ．120°二、填空题13．在等差数列{a n }中，a 1=7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n=8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 ． 14．利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a 和b ，在a+b 为偶数的条件下，|a ﹣b|＞2发生的概率是 ．　15．在空间直角坐标系中，设，，且，则 .)1,3(，m A )1,1,1(-B 22||=AB =m 16．已知i 是虚数单位，复数的模为 ．17．直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1，3），则l 1与l 2的夹角的正切值等于　_________　。

浙江省杭州外国语学校2018届高三月考数学（文科）试卷注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟 2．整场考试不准使用计算器一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合2{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，则A B = （ ） A ．{|01}x x ≤≤ B ．{|0x x >或1}x <- C ．{|12}x x <≤ D ．{|02}x x <≤2. 已知向量(1,2)a =- ,(3,)b m =,R m ∈,则“6m =-”是“//()a a b +”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3. 右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，样本重量均在[5,20]内，其分组为[5,10)，[10,15)，[15,20]，则样本重量落在[15,20]内的频数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40 4. 执行右图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．115. 函数22sin y x =图象的一条对称轴方程可以为（ ）A ．4x π=B ．3x π= C ．34x π= D ．x π=6. 函数22)(3-+=x x f x 在区间(0,2)内的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37. 设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则能得出a b ⊥的是（ ）A ．a α⊥，//b β，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，//b β，αβ⊥8．实数,x y 满足2240240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,若z kx y =+的最大值为13,则实数k 的值为（ ） A. 2 B.132C. 94D. 59. 已知双曲线2212y x -=，点A （﹣1，0），在双曲线上任取两点P ，Q 满足AP ⊥AQ ，则直线PQ 恒过定点（ ）A ． （3，0）B ． （1，0）C ． （﹣3，0）D ． （4，0） 10. 在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意,R a b ∈，a b *为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意R a ∈，0a a *=；（2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*. 则函数1()()x xf x e e =*的最小值为 （ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．8二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

杭州外国语学校2014届高三3月月考数学（理科）试卷注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟 2．整场考试不准使用计算器一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集R U=,集合{}2|lg(1)M x y x ==-,{}|02N x x =<<,则()U N M = ð（ ）A ．{}|21x x -≤<B ．{}|01x x <≤C ．{}|11x x -≤≤D ．{}|1x x <2. 函数的图像为 ( )3. 设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ）A ．,//,a b αβαβ⊥⊥B ．,,//a b αβαβ⊥⊥C ．,,//a b αβαβ⊂⊥D ．,//,a b αβαβ⊂⊥4. 阅读如图所示的程序框图,若输入919a =,则输出的k 值是（） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 5. 已知命题:(,0),34xxp x ∃∈-∞<； 命题:(0,),tan 2q x x x π∀∈> 则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧6．设不等式组4,010x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D ．若圆C:222(1)(1)(0)x y r r +++=>不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是（ ）AB2|log |1()2||x f x x x=--A． B．(0,)+∞C．)+∞ D．)+∞ 7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ） A ．1 B ．13 C ．12 D ．328. 现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则ξ的数学期望E ξ为（ ） A．199 C ．2 D ．739. 已知函数321,,112()111,0,362x x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，函数()()sin 2206x g x a a a π=-+>，若存在[]12,0,1x x ∈，使得()12()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．]43,21[ B ．]23,43[ C ．]34,32[ D ．]34,21[ 10.已知函数()f x =⎩⎨⎧>+-≤-)0(,1)1()0(,12x x f x x ,把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（ ） A ．2)1(-=n n a nB ．1-=n a nC ．)1(-=n n a nD ．22-=nn a二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分．11．设0a >，在二项式10(a 的展开式中，含x 的项的系数与含4x 的项的系数相等，则a 的值为 ．12.在平面直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==- ，且O A 与OB在直线l 上的射影长度相等，直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率为 ．13. 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为___14.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位， 则这样的六位数共有 ___ 个．15.平面向量a ，b ，e 满足||1=e ，1⋅=a e ，2⋅=b e ，||2-=a b ，则⋅a b 的最小值为 ．倾斜角为__________17.已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①()1,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭； ②(){},sin 1M x y y x ==+； ③(){}2,log M x y y x ==； ④(){},2xM x y y e==-.其中是“垂直对点集”的序号是三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18. （本题满分14分）已知函数()sin f x x ω= (0)ω>在区间[0,]3π上单调递增,在区间2[,]33ππ上单调递减; 如图,四边形OACB 中,a ,b ,c 为ABC △的内角A B C ，，的对边,且满足ACB AC B cos cos cos 34sin sin sin --=+ω. (1)证明:a c b 2=+(2)若c b =,θ=∠AOB ,(0)θπ<<,22OA OB ==, 求四边形OACB 面积的最大值.19. （本题满分14分）某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25% (1)设第n 年该生产线的维护费用为n a ,求n a 的表达式;(2)若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前n 年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线?20. （本题满分14分）在如图所示的几何体中,ABC ∆是边长为2的正三角形,1,AE AE >⊥平面ABC , 平面BCD ⊥平面ABC , BD CD =,且.BD CD ⊥ (1)若2AE =,求证://AC 平面BDE(2)若二面角A DE B --为60°,求AE 的长.21. (本题满分15分)已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>,⊙222:O x y b +=, 点A,F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点, 点F 不是O 上的点，点P 是O 上的动点. (1)若(P -,PA 是O 的切线,求椭圆C 的方程; (2)是否存在这样的椭圆C,使得||||PA PF 恒为常数?如果存在,求出这个数及C 的离心率e;如果不存在,说明理由.22. (本题满分15分) 设x x f ln )(=．（1）若)1,0(∈α，求)1ln()1(ln )(x x x g --+=αα最大值;（2）已知正数α，β满足1=+βα．求证：)()()(2121x x f x f x f βαβα+≤+；（3）已知0>ix ，正数iα满足11=∑=ni i α．证明:∑∑==≤ni iiini ixx 11ln ln αα),2,1(n i =其中．参考答案:1-10 BCCCD CBADB 11、1 12、2/5 13、14、120 15、5/4 16、4π或2π17、②④18、【答案】解:(Ⅰ)由题意知:243ππω=,解得:32ω=,ACB AC B cos cos -cos -2sin sin sin =+ A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴ A C A B A sin 2)(sin )(sin =+++∴a cb A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴(Ⅱ)因为2b c a b c +==，,所以a b c ==,所以ABC △为等边三角形21sin 2OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+22sin -2cos )OA OB OA OB θθ=++⋅ 435cos 3-sin +=θθ2sin (-)3πθ=(0)θπ∈ ，,2--333πππθ∴∈(，), 当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S的最大值为2+19、（1）722,7516(),84n n n n a n -+≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（2）第10年年初20、【答案】解: (Ⅰ)分别取BC BA BE ，， 的中点M N P ，，,连接DM MN NP DP ，，，,则MN ∥AC ,NP ∥AE ,且1=12NP AE = 因为BD CD =,2BC =,M 为BC 的中点, 所以DM BC ⊥,1DM =又因为平面BCD ⊥平面ABC , 所以DM ⊥平面ABC 又AE ⊥平面ABC , 所以DM ∥AE所以DM ∥NP ,且DM NP =,因此四边形DMNP 为平行四边形,所以MN ∥DP ,所以AC ∥DP ,又AC ⊄平面BDE ,DP ⊂平面BDE , 所以AC ∥平面BDE(或者建立空间直角坐标系,求出平面BDE 的法向量1n ,计算10AC ⋅=n 即证)(Ⅱ)解法一:过M 作MN ⊥ED 的延长线于N ,连接BN . 因为BC AM ⊥,BC DM ⊥,所以BC ⊥平面DMAE ,ED ⊂平面DMAE 则有BC ED ⊥.所以ED ⊥平面BMN ,BN ⊂平面BMN , 所以ED BN ⊥.所以MNB ∠为二面角A ED B --的平面角, 即=60MNB ︒∠在Rt BMN ∆中,=1BM ,则MN=BN . B EDCAMNPMB ED CAN在Rt MND ∆中,DN . 设1AE h =+,则DE =,所以NE =又BE =在Rt BNE ∆中,222BE BN NE =+,即()2212h ++=22++解得h=,所以1AE =+解法二:由(Ⅰ)知DM ⊥平面ABC ,AM MB ⊥, 建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -. 设AE h =,则()0,0,0M ,()1,0,0B ,()0,0,1D ()A ,()E h ,()1,0,1BD =-,()BE h =-.设平面BDE 的法向量1(,,)x y z =n则110,0.BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn 所以0,0.x z x zh -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 令1x =, 所以1=n 又平面ADE 的法向量2(1,0,0)=n 所以1212121cos ,2⋅<>===⋅n n n n n nEz解得1h =+,即1AE =+21、（1）221164x y += （2）1||,2||PA e PF ==1221()(1)1(1)xg x x x x x ααα--'=+-=--解：（）（10<<x ） ),0(α∈∴x 当时，0)(>'x g ，当)1,(α∈x 时，0)(<'x g .即)(x g 在),0(α上递增，在)1,(α递减.故α=x 当时，有)1ln()1(ln )()(m ax ααααα--+==g x g .(3分))ln(ln ln )()()(F )2(1111x x x x x x f x f x f x βαβαβαβα+-+=+-+=）（构造函数，则 .)()(F 111x x x x x x x x x βααββαββ+-=+-='）（易证)(x F 在在),0(1x 上递增，在),(1+∞x 上递减.∴1x x =当时，有)()()()()(11111m ax x x f x f x f x F x F βαβα+-+==0=.∴)()(12x F x F ≤,即0)()()(2121≤+-+x x f x f x f βαβα， 即证)()()(2121x x f x f x f βαβα+≤+ （8分） 下：）用数学归纳法证明如（3 ① 当2,1=n 时，命题显然成立；② 假设当),2(N k k k n ∈≥=时，命题成立，即当1121=++++-k k αααα 时， )ln(ln ln ln ln 112211112211k k k k k k k k x x x x x x x x αααααααα++++≤++++---- .则当1+=k n ，即当11121=++++++-k k k ααααα 时，111111111211=-+-++-+-++-++k k k k k k αααααααα ，又假设知≤-+-++-+-+-+-++k k k k k k k k x x x x ln 1ln 1ln 1ln 11111212111αααααααα )1111ln(1111212111k k k k k k k k x x x x +-+-++-+-++-+-αααααααα ，即 )1ln()1(ln ln ln ln 11122111112211+--+---++++-≤++++k kk k k k k k k k x x x x x x x x αααααααααα 11112211ln ln ln ln ln ++--+++++k k k k k k x x x x x ααααα1111122111ln )1ln()1(+++--++-++++-≤k k k kk k k k x x x x x ααααααα]1)1ln[(1111122111+++--++-++++-≤k k k kk k k k x x x x x ααααααα=)ln(11112211++--+++++=k k k k k k x x x x x ααααα . 这说明当1+=k n 时，命题也成立.综上①②知，当0>i x ，正数i α满足11=∑=ni i α时∑∑==≤ni iiin i ixx 11ln ln αα),2,1(n i =其中 （14分）（以上答案仅供参考，其他解法请作情给分.）。