江苏省扬州中学2022-2023学年高三上学期1月月考(期末)数学试题 附答案

2022-2023学年度江苏省扬州中学第一学期考试高三物理试题 考试时间：75分钟一、单项选择题：共10小题，每小题4分，共计40分．每小题只有一个．．．．选项符合题意． 1．物理学家通过对实验的深入观察和研究，获得正确的科学认知，推动物理学的发展。

下列说法符合事实的是A ．汤姆孙发现了电子，并提出了“原子的核式结构模型”B ．卢瑟福用 粒子轰击N 714获得反冲核O 817，发现了质子 C ．查德威克发现了天然放射现象，说明原子核有复杂结构 D ．原子核在人工转变的过程中，一定放出能量2．如图是一根轻质细绳拴在两悬崖间，悬点等高，特种兵利用动滑轮在细绳上从一端滑向另一端，已知特种兵的质量为m ，特种兵滑到最低点时绳与水平方向夹角为θ，不计动滑轮重力和动滑轮与绳间的摩擦，则特种兵在最低点对绳的张力F 为A ．F =mg 2cos θB ．F =mg2sin θ C ．F >mg2cos θ D ．F >mg2sin θ3．火星探测项目是我国继载人航天工程、嫦娥工程之后又一个重大的太空探索项目，如图所示，探测器被发射到围绕太阳的椭圆轨道上，A 为近日点，远日点B 在火星轨道附近，探测器择机变轨绕火星运动，则火星探测器 A ．发射速度介于第二、第三宇宙速度之间 B ．在椭圆轨道上运行周期大于火星公转周期B C ．从A 点运动到B 点的过程中机械能逐渐减小D ．在B 点受到的太阳引力大于在A 点受到的太阳引力4．如图所示，两束单色光a 、b 平行射入一块平行厚玻璃砖，玻璃砖下表面有反射涂层，两束光线经过折射、反射、再折射后从上表面同一位置射出成为一束复色光，则下列说法正确的是A ．若a 光是黄色光，则b 光可能是紫色光B ．在玻璃砖中a 光的速率大于b 光的速率C ．若b 光能使某种金属发生光电效应，则a 光一定能使该金属发生光电效应D ．在相同条件下做双缝干涉实验，a 光条纹间距大于b 光条纹间距5．如图是变电所为市区用户供电的示意图。

江苏省扬州中学2022-2023学年度第一学期期初试卷高三数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合{}{2|450,|A x x x B x y =--≤==，则A B = （）A.{|15}x x <≤ B.{|15}x x -<≤ C.{}|15x x ≤≤ D.{}|15x x -≤≤2.若“2,[1]x ∃∈，使2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（）A.(,-∞B.92⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.(,3]-∞ D.9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.若1sin 72πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3sin 214πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.35B.12-C.12D.134.设0.40.5a =，0.5log 0.4b =，ln 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c<< B.c b a<< C.c a b<< D.b c a<<5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数且满足()1f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，()x f x a b =+（0a >且1a ≠）.若()()1412f f -+=，则20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.8- B.8C.4D.4-6.如图所示，在ABC 中，点M 是AB 的中点，且1,2AN NC BN =与CM 相交于点E ，若AE AB AC λμ=+，则,λμ满足（）A.45λμ+=B.2λμ= C.25λμ-=D.12λμ=7.如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若22345AB BF AF =∶∶∶∶，则双曲线的离心率为（）A.2B. C.D.8.已知函数()()()(0)0e x ln x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，，，若关于x 的方程()()2210f x a f x -+=有四个不相等实数根，则实数a 的取值范围是（）A.(]0e ，B.2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C.2e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D.2e e ⎛⎫++∞⎪⎝⎭，二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设a ，b ，c 为实数且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A.11a b> B.20201a b -> C.ln ln a b> D.()()2211a c b c +>+10.关于平面向量,,a b c，下列说法不正确的是（）A.若a c b c ⋅=⋅ ，则a b =B.()+⋅=⋅+⋅ a b c a c b cC.若22a b = ，则a c b c⋅=⋅ D.()()a b c b c a⋅⋅=⋅⋅ 11.已知向量()22sin ,cos (0),sin ,cos 242x x a x x b ωπωωωω⎛⎫⎛⎫=>=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x a b =⋅ ，则（）A.若()f x 的最小正周期为π，则()f x 的图象关于点3π1,82⎛⎫⎪⎝⎭对称B.若()f x 的图象关于直线π=2x 对称，则ω可能为12C.若()f x 在2ππ,56⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D.若()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到一个偶函数的图象，则ω的最小值为3212.()f x 是定义在R 上的函数，若()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，函数()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，则（）A.当()1,2x ∈时，()2264g x x x -+-= B.当()2,3x ∈时，()242020x g x x =-+-C.()2124212k g k N k g *+⎛⎫ ⎪⎝⎭=∈-⎛⎫⎪⎝⎭D.1212124nk nk g =--⎛⎫=⎪⎝⎭∑三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1tan 751tan 75-︒=+︒___________．14.已知函数()1,102,0x x f x x x ⎧+-<<⎪=⎨≥⎪⎩若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝___________.15.已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，若椭圆上存在点P （异于长轴的端点），使得1221sin sin c PF F a PF F ∠=∠，则该椭圆离心率e 的取值范围是______．16.若关于x 的不等式()()ee ln mxmx m xx mx x x +≤+-恒成立，则实数m 的最小值为________四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知集合{|(2)(31)0}A x x x a =---<，函数()22lg 1a xy x a -=-+的定义域为B ．（1）若2a =求集合B ；（2）若A B =，求实数a 的值．18.已知ABO 中，延长BA 到C ，使,AC BA D =是将OB分成2:1的一个分点，DC 和OA 交于E ，设,OA a OB b== （1）用,a b表示向量,OC DC ．（2）若OE OA λ=，求实数λ的值．19.已知1()sin ()cos sin (2)3234f x x x x ππ=+++-（1）求()f x 的值域；（2）若11226212a f x f x ππ⎛⎫⎛⎫⋅--+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意的,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．20.设a 是实数，2()(R)21x f x a x =-∈+.（1）若函数()f x 为奇函数，求a 的值；（2）试证明：对于任意a ，(f x 在R 上为单调函数；（3）若函数()f x 为奇函数，且不等式()()33990xxx f k f ⋅+--<对任意R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围.21.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，且2FA =+，F 到C 的渐近线的距离为1，过点()4,0B 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴分别交于M ，N 两点.（1）求双曲线C 的标准方程.（2）若直线MB ，NB 的斜率分别为1k ，2k ，判断12k k 是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22.已知函数()323e 2xf x x ax ax =--．（1）当e3a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有三个极值点，求a 的取值范围．江苏省扬州中学2022-2023学年度第一学期期初试卷高三数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{2|450,|A x x x B x y =--≤==，则A B = （）A.{|15}x x <≤ B.{|15}x x -<≤C.{}|15x x ≤≤ D.{}|15x x -≤≤【答案】C 【解析】【分析】解一元二次不等式求集合A ，由函数定义域求集合B ，最后应用集合交运算求结果.【详解】由{}2|450{|(5)(1)0}{|15}A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，{|{|1}B x y x x ===≥，所以A B = {}|15x x ≤≤.故选：C2.若“2,[1]x ∃∈，使2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（）A.(,-∞ B.92⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.(,3]-∞ D.9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先将条件转化为[]1,2x ∀∈，使2210x x λ-+≥成立，再参变分离构造函数，转化为最值问题即可求解.【详解】若“2,[1]x ∃∈，使2210x x λ-+<成立”是假命题,则[]1,2x ∀∈，使2210x x λ-+≥成立是真命题，即[]1,2x ∀∈，12x xλ≤+，令()[]1,212,f x x x x +∈=，则()22212120x f x x x-'=-=>，则()f x 在[]1,2x ∈上单调递增，()()min 13f x f ==，则3λ≤.故选:C.3.若1sin 72πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则3sin 214πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.35B.12-C.12D.13【答案】C 【解析】【分析】令7πθα=+可得7παθ=-，再代入3sin 214πα⎛⎫-⎪⎝⎭，结合诱导公式与二倍角公式求解即可【详解】令7πθα=+可得7παθ=-，故1sin2θ=，则33sin 2sin 214147πππαθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21sin 2cos 212sin 22πθθθ⎛⎫=-==-= ⎪⎝⎭故选：C4.设0.40.5a =，0.5log 0.4b =，ln 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c << B.c b a<< C.c a b<< D.b c a<<【答案】C 【解析】分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】∵0.4000.50.51a <=<=，0.50.5log 0.4log 0.51b =>=，ln 0.4ln10c =<=，∴c a b <<.故选：C.【点睛】本题主要考查指数，对数幂的比较大小，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数且满足()1f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，()x f x a b =+（0a >且1a ≠）.若()()1412f f -+=，则20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.8- B.8C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件可得()f x 的对称中心()0,0，对称轴1x =，可得4为()f x 的一个周期，由(4)(2)(0)0f f f =-==、(1)(1)f f -=-以及()()1412f f -+=列关于,a b 的方程组，进而可得[]1,2x ∈时，()f x 的解析式，再利用周期性即可求解.【详解】因为()f x 为奇函数，所以()f x 的图象关于点()0,0中心对称，因为()1f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于直线1x =对称.根据条件可知(2)()()f x f x f x +=-=-，则(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即4为()f x 的一个周期，则(4)(2)(0)0f f f =-==，又因为(1)(1)()f f a b -=-=-+，(1)(4)12f f -+=，所以()212a b a b ⎧-+=-⎨+=⎩，解得416a b =⎧⎨=-⎩或39a b =-⎧⎨=-⎩（舍），所以当[]1,2x ∈时，()416x f x =-，所以202153382222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：B.6.如图所示，在ABC 中，点M 是AB 的中点，且1,2AN NC BN = 与CM 相交于点E ，若AE AB AC λμ=+，则,λμ满足（）A.45λμ+= B.2λμ= C.25λμ-= D.12λμ=【答案】B 【解析】【分析】根据向量的线性运算及三点共线的定理，结合平面向量的基本定理即可求解.【详解】由1,2AN NC = 得31,AN AC = 因为点M 是AB 的中点，所以1,2AM AB =由,,N E B 三点共线知，存在实数m ，满足()()1311AE mAN m AB mAC m AB =+-=+-，由,,C E M 三点共线知，存在实数n ，满足()()1112AE nAM n AC nAB n AC =+-=+-，所以()()111123mAC m AB nAB n AC +-=+-，又因为,AC AB 为不共线的非零向量，所以112113m n m n -==-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得3545m n ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，所以2155AE AB AC =+ ，即21,55λμ==，所以213555λμ+=+=，故A 不正确；25215λμ==，故B 正确；D 不正确；211555λμ-=-=，故C 不正确.故选：B.7.如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若22345AB BF AF =∶∶∶∶，则双曲线的离心率为（）A.2B.D.C 【解析】【分析】不妨令3AB =，24BF =，25AF =，根据双曲线的定义可求得1a =，290ABF ∠= ，再利用勾股定理可求得2452c =，从而可求得双曲线的离心率．【详解】22345AB BF AF =：：：：，不妨令3AB =，24BF =，25AF =，22222||||AB BF AF += ，290ABF ∠∴= ，又由双曲线的定义得：122BF BF a -=，212AF AF a -=，11345AF AF ∴+-=-，13AF ∴=．123342BF BF a ∴-=+-=，1a \=．在12Rt BF F 中，222221212||||6452F F BF BF =+=+=，又2212||4F F c =，2452c ∴=，c ∴=∴双曲线的离心率ce a==．故选;C 8.已知函数()()()(0)0e x ln x x f x xx ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，，，若关于x 的方程()()2210f x a f x -+=有四个不相等实数根，则实数a 的取值范围是（）A.(]0e ，B.2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C.2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， D.2e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭，【答案】D 【解析】【分析】先作出()()()(0)0e x ln x x f x xx ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，的图象，由图象可得关于x 的方程()()2210f x a f x -+=有四个不相等实数根，令()t f x =，则()2210g t t at =-+=有两个不等的实根12,t t ，且1211,0e e t t ><<，进而10e g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，求解即可【详解】当0x ≥时，()e xxf x =，()1e xxf x -'=，令()0f x '>，解得01x ≤<；令()0f x '<，解得1x >；所以()e xx f x =在[)0,1递增，在()1,+∞递减，()()max 11ef x f ==，且当0x ≥时，()0ex xf x =>，作出函数()()()(0)0e x ln x x f x xx ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，，的图象如下：关于x 的方程()()2210f x a f x -+=有四个不相等实数根，令()t f x =，则()2210g t t at =-+=有两个不等的实根12,t t ，且1211,0e et t ><<，又()010g =>，所以2111210e e e g a ⎛⎫⎛⎫=-⨯+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2e ea>+，所以关于x 的方程()()2210f x a f x -+=有四个不相等实数根时2e ea >+，故选：D二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设a ，b ，c 为实数且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A.11a b> B.20201a b ->C.ln ln a b> D.()()2211a c b c +>+【答案】BD 【解析】【分析】根据不等式的性质以及指数函数和对数函数的性质，进行判断即可.【详解】对于A ，若0a b >>，则11a b<，所以A 错误；对于B ，因为0a b ->，所以20201a b ->，故B 正确；对于C ，函数ln y x =的定义域为()0,+¥，而a ，b 不一定是正数，所以C 错误；对于D ，因为210c +>，所以()()2211a c b c +>+，所以D 正确.故选：BD【点睛】本题考查不等式的概念和函数的基本性质，属于中档题.10.关于平面向量,,a b c，下列说法不正确的是（）A.若a c b c ⋅=⋅ ，则a b = B.()+⋅=⋅+⋅ a b c a c b cC.若22a b = ，则a c b c ⋅=⋅ D.()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅ 【答案】ACD 【解析】【分析】由数量积性质可判断A ，由分配律可判断B ，由相反向量可判断C ，由向量垂直可以判断D.【详解】对于A ，若c =，则不一定有a b = ，A 错误；对于B ，根据分配律即可得到，B 正确；对于C ，若22a b =，则可能a b=- ，那么a c b c ⋅≠⋅ ，C 错误；对于D ，若a b ⊥ ，则有0a b ⋅= ，那么就不一定有()()a b c bc a ⋅⋅=⋅ ，D 错误.故选：ACD11.已知向量()22sin ,cos (0),sin ,cos 242x x a x x b ωπωωωω⎛⎫⎛⎫=>=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x a b =⋅ ，则（）A.若()f x 的最小正周期为π，则()f x 的图象关于点3π1,82⎛⎫⎪⎝⎭对称B.若()f x 的图象关于直线π=2x 对称，则ω可能为12C.若()f x 在2ππ,56⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D.若()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到一个偶函数的图象，则ω的最小值为32【答案】ABC 【解析】【分析】由平面向量数量积运算，结合三角恒等变换将函数化简为()π1242f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据三角函数的性质逐一判断即可得解．【详解】由向量(sin ,cos )a x x ωω= ，22πsin ,cos 242x x b ωω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0>ω，则:22π1cos π1cos 2()sin sin cos cos sin cos 24222x x x x f x a b x x x xωωωωωωωω⎛⎫-+ ⎪+⎛⎫⎝⎭=⋅=++=+ ⎪⎝⎭111π1sin cos 222242x x x ωωω⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭对于选项A ，2ππ=2Tωω==⇒,令ππ4x k ω+=，则ππ28k x =-，Z k ∈，则()f x 的图像关于点3π1,82⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 正确，对于选项B ，即选项令πππ42x k ω+=+，则π2x =为方程的解，即122k ω=+，Z k ∈，即ω可能为12，即选项B 正确；对于选项C ，令πππ2π2π242k x k ω-≤+≤+，解得()f x 的单调递增区间为3ππ2π2π+44,k k ωω⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又()f x 在2ππ,56⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则3ππ2ππ44,,56ωω⎡⎤-⎢⎥⎡⎤-⊆⎢⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，即2π354ππ64ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，即3(0,]2ω∈，即选项C 正确，对于选项D ，将()f x 的图像向左平移π3个单位长度后得到的图像对应解析式为ππ1()342g x x ωω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由()y g x =为偶函数，则ππππ342k ω+=+，即334k ω=+，Z k ∈，则ω的最小值为34，即选项D 错误；故选：ABC ．12.()f x 是定义在R上的函数，若()2f x x+是奇函数，()fx x-是偶函数，函数()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，则（）A.当()1,2x ∈时，()2264g x x x -+-= B.当()2,3x ∈时，()242020x g x x =-+-C.()2124212k g k N k g *+⎛⎫ ⎪⎝⎭=∈-⎛⎫⎪⎝⎭D.1212124nk nk g =--⎛⎫=⎪⎝⎭∑【答案】AD 【解析】【分析】先求出()2f x x x =-，对四个选项一一一验证：对于A 、B ：利用代入法求解析式,即可判断；对于C:分别求出221()22k k g -+=和321()22k k g --=，求出21()2221(2k g k g +=-.即可判断;对于D ：由321(22k k g --=，利用等比数列的求和公式即可求得31211121()122424n nk k k g -=--=++++=∑ .【详解】因为()2f x x +是奇函数,()f x x -是偶函数,则有()()()()22f x x f x xf x x f x x⎧-+=--⎪⎨-+=-⎪⎩，解得()2f x x x =-.对于A ：任取()1,2x ∈，则()10,1x -∈，所以()()()()2242121126g x x x x x g x ⎡⎤=-=---=-+-⎣⎦.故A 正确；对于B ：任取()2,3x ∈，则()11,2x -∈，所以()()()()222648212114404g x x x g x x x ⎡⎤--+==-=-+-⎣⎦--.故B 错误；对于C:当x ∈(2,3)时,有x -1∈(1,2),x -2∈(0,1).所以()()()()214242g x g x g x f x =-=-=-，则有2211()()222k k g g k -+=+=，3211()()222k k g g k --=-=，故*21(22()21()2k g k N k g +=∈-.故C 错误;对于D ：由C 的结论,321()22k k g --=，则31211121()122424n nk k k g -=--=++++=∑ .故D 正确.故选：AD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1tan 751tan 75-︒=+︒___________．【答案】3-【解析】【分析】由两角差的正切公式化简求值．【详解】1tan 75tan 45tan 753tan(7545)tan 301tan 751tan 45tan 753-︒︒-︒==-︒-︒=-︒=-+︒+︒︒．故答案为：3-．14.已知函数()102,0x f x x x -<<=≥⎪⎩若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝___________.【答案】8【解析】【分析】根据函数定义，求出a 值后再计算函数值．【详解】因为()f x =10x -<<）是增函数，()2f x x =（0x ≥）也是增函数，要使()(1)f a f a =-成立，则有110010a a a -<-<⎧⇒<<⎨≥⎩，由()(1)f a f a =-2a =，解得14a =（0a =舍去），所以()14248f f a ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：8．【点睛】本题考查分段函数求函数值，解题时需根据自变量范围确定选用的函数解析式．15.已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，若椭圆上存在点P （异于长轴的端点），使得1221sin sin c PF F a PF F ∠=∠，则该椭圆离心率e 的取值范围是______．【答案】)1,1【解析】【分析】根据已知条件等式，结合正弦定理，得出21,,PF PF e 的关系，利用椭圆定义和2PF 的范围，即可求出e 的取值范围.【详解】由已知，得2112sin sin PF c e a PF F ∠==∠，由正弦定理，得121212sin sin PF PF F PF PF F ∠=∠，所以12222PF a PF e PF PF -==221aPF =-．由椭圆的几何性质，知2ac PF a c -<<+，所以221a a c PF a c -->+且221a a cPF a c +-<-，所以11e ee ->+且11ee e+<-，即2210e e +->且210e +>，结合01e <<，可解得)1,1e ∈-．故答案为：)1,1-.16.若关于x 的不等式()()e e ln m x mx m x x mx x x +≤+-恒成立，则实数m 的最小值为________【答案】ee 1-【解析】【分析】将不等式两边同时除以m x ，进而转化为()()ln e eln m x x xx m x x -+≤+-，令()e x f x x =+，进而将原不等式转化为()()()ln f x f m x x ≤-恒成立，再根据单调性转化为ln x m x x ≥-恒成立，进而构造函数()()0ln xg x x x x=>-，求导分析最大值即可.【详解】∵0x >，∴不等式两边同时除以m x，得：()e e ln mxxm x m x x x+≤+-∴()1lne eln mmx xx x m x x ++≤+-∴()ln ee ln xmx m x x m x x -+≤+-∴()()ln e e ln m x x x x m x x -+≤+-①令()e x f x x =+，可知()f x 单调递增.①式等价于()()()ln f x f m x x ≤-恒成立∴()ln x m x x ≤-恒成立.构造()()ln 0x x x x ϕ=->，则()1x x xϕ-'=，故当()0,1x ∈时()0x ϕ'<，当()1,x ∈+∞时()0x ϕ'>，所以()()ln 0x x x x ϕ=->在1x =时取得最小值.即()()ln 010x x x ϕϕ=-≥=>，∴ln 0x x ->∴ln xmx x≥-恒成立令()()0ln xg x x x x=>-∴()g x '()()221ln 11ln ln ln x x x x x x x x x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭==--∴当()0e x ∈，时，()0g x '>，∴()g 单调递增；当()e x +∞，ò时，()0g x '<∴()g x 单调递减；∴()g x 的最大值为()ee e 1g =-∴e e 1m≥-，故实数m 的最小值为e e 1-.故答案为：e e 1-【点睛】关键点点睛：本题关键是将已知不等式转化为()()ln e e ln m x x x x m x x -+≤+-，构造()e x f x x =+，进而将原不等式转化为()()()ln f x f m x x ≤-恒成立，再根据单调性即可得到.四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知集合{|(2)(31)0}A x x x a =---<，函数()22lg1a x y x a -=-+的定义域为B ．（1）若2a =求集合B ；（2）若A B =，求实数a 的值．【答案】（1）{|45}B x x =<<；（2）1a =-．【解析】【分析】（1）对数的真数大于零；（2）按2与31a +的大小分类讨论求解.【详解】（Ⅰ）由405xx ->-，得45x <<，故集合{|45}B x x =<<；（Ⅱ）由题可知，2(2,1)B a a =+①若231a <+，即13a >时，(2,31)A a =+，又因为A B=，所以222131a a a =⎧⎨+=+⎩，无解；②若231a =+时，显然不合题意；③若231a >+，即13a <时，(31,2)A a =+，又因为A B=，所以223112a a a =+⎧⎨+=⎩，解得1a =-．综上所述，1a =-．【点睛】本题考查函数的定义域和集合的运算.求函数定义域的常用方法：1、分母不为零；2、对数的真数大于零；3、偶次方根的被开方方数大于或等于零；4、零次幂的底数不等于零；5、tanx 中2x k ππ≠+.18.已知ABO 中，延长BA 到C ，使,AC BA D =是将OB分成2:1的一个分点，DC 和OA 交于E ，设,OA a OB b== （1）用,a b表示向量,OC DC．（2）若OE OA λ= ，求实数λ的值．【答案】（1）2a b - ；523a b - ；（2）45λ=.【解析】【分析】（1）根据A 是BC 的中点，D 是将OB分成2:1的一个分点，得到2,23OD OB OB OC OA =+= ，然后利用平面向量的线性运算求解；（2）根据OEOA λ=，利用线性运算得到EC ，然后根据//EC DC 求解.【详解】（1）由题意知：A 是BC 的中点，且2,23OD OB OB OC OA =+=，所以22OC OA AC OA BA OA OB a b =+=+=-=- ，25233OC OD OC D B a C O b =-=-=- ；（2）因为()22EC OC a b O a E a b λλ=-=---=- ，且//EC DC ，所以2135253λ--==-，解得45λ=．19.已知13()sin (cos sin (2)3234f x x x x ππ=+++-（1）求()f x 的值域；（2）若11226212a f x f x ππ⎛⎫⎛⎫⋅--+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意的,43x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）[]1,1-（2）1a ≥+【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）依题意可得sincos 2a x x -≥对任意的,43x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦恒成立，参变分离可得2cos sin x a x +≥对任意的,43x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦恒成立，再利用二倍角公式、同角三角函数基本关系及对勾函数的性质计算可得.【小问1详解】解：1()sin()cos sin(2)323f x x x x ππ=+++11sin cos cos sin(222234x x x x π⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭211sin cos sin(2)22234x x x x π=+++-1111sin 221))22223x x x π=⨯+⨯+++-111sin 2cos 2sin(222223x x x π⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭11sin 2sin 22323x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．即()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以([]1,1f x ∈-.【小问2详解】解：由11(()226212afx f x ππ--+≥得sin cos 2a x x -对任意的,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，因为,43x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以sin ,22x ∈⎣⎦，即2cos sin x ax +≥对任意的,43x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦恒成立，只需要max 2cos sin x a x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，又2222222sin 2cos cos sin 3cos sin 2cos 222222sin 2sin cos 2sin cos2222x x x x x xxx x x x x++-++==，令sin2tan 2cos2xx t x ==，当,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,862x ππ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以tan 1,23x ∈⎦，其中22tan8tan 141tan 8πππ==-，即2tan 2tan 1088ππ+-=，则tan 18π=-+或tan18π=--，∴1,3t ∈-⎥⎣⎦，又函数132y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在1,3x ∈-⎦上单调递减，所以22cos 33sin 222x t t x t t ++==+在1,3t ∈⎥⎣⎦上单调递减，∴当1t =-时，max3122t t ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以1a ≥+．20.设a 是实数，2()(R)21xf x a x =-∈+.（1）若函数()f x 为奇函数，求a 的值；（2）试证明：对于任意a ，()f x 在R 上为单调函数；（3）若函数()f x 为奇函数，且不等式()()33990x x x f k f ⋅+--<对任意R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）(),5-∞．【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义()()f x f x -=-，求出a 的值；（2）利用单调性的定义即得；（3）由题可得3399x x x k<-++在R 上恒成立，然后利用参变分离，再利用基本不等式求函数的最值即得．【小问1详解】由函数()f x 为R 上的奇函数，∴对任意的R x ∈，都有()()f x f x -=-，即222121x xaa -⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭，∴22222121x xa -=+=++，∴1a =；【小问2详解】因为()2121xf x =-+，R x ∈，任取1x 、2R x ∈，且12x x <，则()()()()()12121212222221121212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，12x x < ，1222x x ∴<，12120,10,102222x x x x -<+>+>，()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，∴函数()f x 在R 上单调递增；【小问3详解】不等式()()33990x x x f k f ⋅+--<对任意R x ∈恒成立，即()()3399x x x f k f ⋅<---在R 上恒成立，()f x 为R 上的奇函数，()()()3399399x x x x x f k f f ∴⋅<---=-++在R 上恒成立，又()f x 在R 上单调递增，3399x x x k ∴⋅<-++在R 上恒成立，即9133x xk-++<在R 上恒成立，设()91316153x x g x =-++≥-+-=，当且仅当933xx=，即1x =时取等号，所以5k<，即实数k 的取值范围是(),5-∞．21.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，且2FA =+，F 到C 的渐近线的距离为1，过点()4,0B 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴分别交于M ，N 两点.（1）求双曲线C 的标准方程.（2）若直线MB ，NB 的斜率分别为1k，2k ，判断12k k 是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y -=（2）是定值，148-【解析】【分析】（1）由题意可得2FA a c =+=+1b =，再结合222c a b =+可求出a ，从而可求出双曲线方程，（2）设直线l ：4xmy =+，22m -<<，()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线方程代入双曲线方程消去x ，利用根与系数的关系，表示出直线AP 的方程，可表示出点M的坐标，同理可表示出点N 的坐标，从而可表示1k ，2k ，然后计算化简12k k 即可【小问1详解】由题意得2FA a c =+=+，(c,0)F ，渐近线方程为by x a=±，则(c,0)F 1bcb c===，又因为222c a b =+，所以2a=，1b =，c =，故双曲线C 的标准方程为2214x y -=.【小问2详解】设直线l ：4x my =+，22m -<<，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立方程组224,1,4x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2248120m y my -++=，所以12284my y m +=--，122124y y m =-.因为直线AP 的方程为()1122y y x x =++，所以M 的坐标为1120,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭，同理可得N 的坐标为2220,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭.因为()1111122422y x y k x +==--+，()2222222422y x y k x +==--+，所以()()()()()121212122121212124224664636y y y y y y k k x x my my m y y m y y ===++++⎡⎤+++⎣⎦222222221231412483614448124843644m m m m m m m m -==--+-⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭，即12k k 为定值148-.22.已知函数()323e 2x f x x ax ax =--（1）当e3a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有三个极值点，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为()1,-+∞，单调递减区间为(),1-∞-（2）e ,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）将问题转化为()0f x '=恰有3个互不相等的实根，由()10f '-=得方程e 30x ax -=有2个异于-1的实根．令()e 3x h x ax =-，则()e 3x h x a '=-．分0a ≤，0a >讨论，结合函数的单调性以及函数的零点的个数判断a 的范围即可．【小问1详解】解：当e 3a=时，()32e e e 32xf x x x x =--，则()()()1e e x f x x x '=+-．令()e e x g x x =-，则()e e x g x '=-．当(),1x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增．所以()()10g x g ≥=，即e e 0x x -≥．当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<；当()1,x ∈-+∞时，()0f x '≥．故()f x 的单调递增区间为()1,-+∞，单调递减区间为(),1-∞-．【小问2详解】解：()()()()21e 331e 3x x f x x ax ax x ax '=+--=+-．若()f x 有3个极值点，则()0f x '=恰有3个互不相等的实根，分别记为1x ，2x ，3x ．因为()10f '-=，所以11x =-为()0f x '=的一个根．所以方程e 30x ax -=有2个异于-1的实根．令()e 3x h x ax =-，则()e 3x h x a '=-．①当0a≤时，()0h x '>，()h x 在R 上单调递增，所以()e 30xh x ax =-=至多有1个根，不符合题意．②当0a >时，令()0h x '=，即e 30x a -=，解得ln 3x a =．当(),ln 3x a ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()ln 3,x a ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．()010h =>，()()()ln3min ln 3e 3ln 331ln 3a h x h a a a a a ==-=-．当3e a ≤，即e03a <≤时，()ln 30h a ≥，()h x 至多有1个零点，不符合题意．当3ea>时，ln 31a >，()ln 30h a <，()1e 30h a =-<，因为()()()()22233e 3330a ha a a a =->-=，且3ln 3a a >，所以存在()20,1x ∈，()3ln 3,3x a a ∈，使得()20h x =，()30h x =，所以当3ea>时，若()1,x x ∈-∞，则()0f x '<，()12,x x x ∈，则()0f x '>，()23,x x x ∈，则()0f x '<，()3,x x ∈+∞，则()0f x '>，所以()f x 有3个极值点1x ，2x ，3x ．所以a 的取值范围为e ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．。

江苏省扬州中学2015届高三上学期1月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）设集合M={x|＜0}，N={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则集合M∩N=．2．（5分）已知复数z1=2+ai，z2=2﹣i，若|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是．3．（5分）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取辆、辆、辆．4．（5分）有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是．5．（5分）如图是一个算法流程图，则输出S的值是．6．（5分）设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的条件．7．（5分）取正方体的六个表面的中心，这六个点所构成的几何体的体积记为V1，该正方体的体积为V2，则V1：V2=．8．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，D为BC边上的点，且•=0，=2，则=．9．（5分）已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，则实数a的取值范围是．10．（5分）如图所示，已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点恰好是椭圆的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则该椭圆的离心率为．11．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是．12．（5分）如果函数f（x）=sin（ωπx﹣）（ω＞0）在区间（﹣1，0）上有且仅有一条平行于y轴的对称轴，则ω的最大值是．13．（5分）若实数a，b，c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，已知点N（3，3），则线段MN长度的最大值是．14．（5分）定义：若函数f（x）为定义域D上的单调函数，且存在区间（m，n）⊆D（m＜n），使得当x∈（m，n）时，f（x）的取值范围恰为（m，n），则称函数f（x）是D上的“正函数”．已知函数f （x）=a x（a＞1）为R上的“正函数”，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，A、B、C为三个内角，f（B）=4sinB•cos2（﹣）+cos2B．（Ⅰ）若f（B）=2，求角B；（Ⅱ）若f（B）﹣m＜2恒成立，求实数m的取值范围．16．（12分）如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．17．（15分）如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD的固定投食点A到两条平行河岸线l1、l2的距离分别为4米、8米，河岸线l1与该养殖区的最近点D的距离为1米，l2与该养殖区的最近点B的距离为2米．（1）如图甲，养殖区在投食点A的右侧，若该小组测得∠BAD=60°，请据此算出养殖区的面积S，并求出直线AD与直线l1所成角的正切值；（2）如图乙，养殖区在投食点A的两侧，试求养殖区面积S的最小值，并求出取得最小值时∠BAD的余弦值．18．（15分）直线l：y=k（x﹣1）过已知椭圆经过点（0，），离心率为，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值？若是，求出λ+μ的值，否则，说明理由；（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．19．（12分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a13+a23+a33+…+a n3=S n2，记S n 为数列{a n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=3n+（﹣1）n﹣1λ•2an（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意 n∈N*，都有b n+1＞b n．20．（14分）已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=ax﹣lnx．若对任意的x1∈[，2]，总存在唯一的x2∈[，e]（e为自然对数的底），使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．三、附加题（共4小题，满分12分）21．（12分）已知矩阵M=，N=，且MN=．（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的方程为+y2=1，试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．23．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB=BC=，BB1=3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？（2）设AF=1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．24．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ；（2）求恰好得到n（n∈N*）分的概率．江苏省扬州中学2015届高三上学期1月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）设集合M={x|＜0}，N={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则集合M∩N=（1，2）．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由分式不等式化简集合M，再由二元一次不等式化简集合N，则集合M交N的答案可求．解答：解：∵M={x|＜0}={x|﹣3＜x＜2}，N={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，∴M∩N={x|﹣3＜x＜2}∩{x|1＜x＜3}=（1，2）．故答案为：（1，2）．点评：本题考查了交集及其运算，考查了分式不等式和二元一次不等式的解法，是基础题．2．（5分）已知复数z1=2+ai，z2=2﹣i，若|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是﹣1＜a＜1．考点：复数的代数表示法及其几何意义；一元二次不等式的解法；复数求模．分析：直接对两个复数求模，解不等式即可．解答：解：由|z1|＜|z2|，即故答案为：﹣1＜a＜1．点评：复数的求模计算，和解不等式，是基础题．3．（5分）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取6辆、30辆、10辆．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出在三种型号的轿车抽取的数目．解答：解：因总轿车数为9200辆，而抽取46辆进行检验，抽样比例为=，而三种型号的轿车有显著区别，根据分层抽样分为三层按比例，故分别从这三种型号的轿车依次应抽取6辆、30辆、10辆．故答案为：6，30，10．点评：本题的考点是分层抽样，即保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（5分）有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：根据题意，共有5张扑克牌，其中红心3张，黑桃2张，由等可能事件的概率公式计算可得答案．解答：解：根据题意，共有5张扑克牌，其中红心3张，黑桃2张；从中随机抽取一张，抽到的红心的概率；故答案为点评：本题考查等可能事件的概率，是基础题，注意审题即可．5．（5分）如图是一个算法流程图，则输出S的值是25．考点：程序框图．专题：操作型；算法和程序框图．分析：按照程序框图的流程，写出前几次循环的结果，并判断每个结果是否满足判断框中的条件，直到不满足条件，输出结论．解答：解：S的初值为0，n的初值为1，满足进行循环的条件，经过第一次循环得到的结果为S=1，n=3，满足进行循环的条件，经过第二次循环得到的结果为S=4，n=5，满足进行循环的条件，经过第三次循环得到的结果为S=9，n=7，满足进行循环的条件，经过第四次循环得到的结果为S=16，n=9，满足进行循环的条件，经过第五次循环得到的结果为S=25，n=11，不满足进行循环的条件，退出循环，故输出的S值为25故答案为：25点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找出规律．6．（5分）设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的充要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：∵{a n}是等比数列，∴若“a1＜a2＜a3”，则“数列{a n}是递增数列”，充分性成立，若“数列{a n}是递增数列”，则“a1＜a2＜a3”成立，即必要性成立，故“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的充要条件，故答案为：充要点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的定义是解决本题的关键．7．（5分）取正方体的六个表面的中心，这六个点所构成的几何体的体积记为V1，该正方体的体积为V2，则V1：V2=．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：这六个点所构成的几何体是两个底面为正方形的四棱锥对接而成的图形，每个四棱锥的底面边长与棱长都相等，长度是，由此能求出V1：V2．解答：解：这六个点所构成的几何体是两个底面为正方形的四棱锥对接而成的图形，每个四棱锥的底面边长与棱长都相等，长度是，∴高度就是，∴每个四棱锥体积就是=，两个四棱锥的体积就是．∴这六个点所构成的几何体的体积V1=．该正方体的体积V2=a3，∴V1：V2=．故答案为：．点评：本题考查两个几何体的体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，D为BC边上的点，且•=0，=2，则=1．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由题意可知：⊥，且D为BC中点，∠B=∠C=30°，且易求得AD=1，，而==代入可得结果．解答：解：由题意可知：⊥，且D为BC中点，∠B=∠C=30°故在直角三角形ABD中可求得AD=1，，∴====1．故答案为：1点评：本题为向量的数量积的运算，把向量适当转化时解决问题的关键，属基础题．9．（5分）已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，则实数a的取值范围是．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：由直线y=﹣x+b得直线斜率为﹣1，直线y=﹣x+b不与曲线f（x）相切知曲线f（x）上任一点斜率都不为﹣1，即f′（x）≠﹣1，求导函数，并求出其范围[﹣3a，+∞），得不等式﹣3a＞﹣1，即得实数a的取值范围．解答：解：设f（x）=x3﹣3ax，求导函数，可得f′（x）=3x2﹣3a∈[﹣3a，+∞），∵存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，∴﹣1∉[﹣3a，+∞），∴﹣3a＞﹣1，即实数a的取值范围为故答案为：点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．（5分）如图所示，已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点恰好是椭圆的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则该椭圆的离心率为﹣1．考点：抛物线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：设椭圆的左焦点为F'，抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，连接AF'，可得Rt△AFF'中，AF=FF'=p，从而AF'=p，再根据椭圆的定义，可得AF+AF'=2a=（1+）p，最后用椭圆的离心率的公式求出该椭圆的离心率．解答：解：设椭圆的左焦点为F'，抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，连接AF'，∴F（，0），F'（﹣，0），可得焦距FF'=p=2c，（c=为椭圆的半焦距）对抛物线方程y2=2px令x=，得y2=p2，所以AF=|y A|=p∴Rt△AFF'中，AF=FF'=p，可得AF'=p再根据椭圆的定义，可得AF+AF'=2a=（1+）p，∴该椭圆的离心率为e===﹣1故答案为：﹣1点评：本题给出椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点，并且两曲线的通径合在一起，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的定义与简单几何性质和抛物线的标准方程等知识点，属于中档题．11．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（25，34）．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象．专题：数形结合．分析：画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨设a＜b＜c，求出a+b+c的范围即可．解答：解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则：b+c=2×12=24，a∈（1，10）则a+b+c=24+a∈（25，34），故答案为：（25，34）．点评：本题主要考查分段函数、函数的图象以及利用数形结合解决问题的能力．12．（5分）如果函数f（x）=sin（ωπx﹣）（ω＞0）在区间（﹣1，0）上有且仅有一条平行于y轴的对称轴，则ω的最大值是．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由f（0）＜0可得位于区间（﹣1，0）上的对称轴是y轴左边离它最近的对称轴，并且在此处函数取得最小值﹣1，由此建立关于ω的不等式，并解之可得ω的取值范围，可得最大值．解答：解：∵当x=0时，f（x）=﹣＜0，∴函数在区间（﹣1，0）上有且仅有一条对称轴时，该对称轴处函数取得最小值﹣1得ωπx﹣=﹣+2kπ，k∈Z，当k=0时，x=•（﹣）是距离y轴最近的对称轴，而x=•（﹣+）是y轴左侧，距离y轴第二近的对称轴∴﹣1＜•（﹣）＜0且•（﹣+）≤﹣1解得＜ω≤，∴ω的最大值是．故答案为：点评：本题考查正弦曲线的对称性和y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属基础题．13．（5分）若实数a，b，c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，已知点N（3，3），则线段MN长度的最大值是．考点：等差数列的性质；与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：等差数列与等比数列．分析：由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，整理后与直线方程ax+by+c=0比较发现，直线ax+by+c=0恒过Q（1，﹣2），再由点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，得到PM与QM垂直，利用圆周角定理得到M在以PQ为直径的圆上，由P和Q 的坐标，利用中点坐标公式求出圆心A的坐标，利用两点间的距离公式求出此圆的半径r，线段MN长度的最大值即为M与圆心A的距离与半径的和，求出即可．解答：解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，即a﹣2b+c=0，可得方程ax+by+c=0恒过Q（1，﹣2），又点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，∴∠PMQ=90°，∴M在以PQ为直径的圆上，∴此圆的圆心A坐标为（，），即A（0，﹣1），半径r=|PQ|==，又N（3，3），∴|AN|==5，则|MN|max=5+．故答案为：5+点评：此题考查了等差数列的性质，恒过定点的直线方程，圆周角定理，线段中点坐标公式，以及两点间的距离公式，利用等差数列的性质得到2b=a+c，即a﹣2b+c=0是解本题的突破点．14．（5分）定义：若函数f（x）为定义域D上的单调函数，且存在区间（m，n）⊆D（m＜n），使得当x∈（m，n）时，f（x）的取值范围恰为（m，n），则称函数f（x）是D上的“正函数”．已知函数f （x）=a x（a＞1）为R上的“正函数”，则实数a的取值范围是（1，e）．考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，y=f（x）﹣x=a x﹣x有两个零点，求导y′=lna•a x﹣1；从而得﹣＜0；从而求解．解答：解：由题意，y=f（x）﹣x=a x﹣x有两个零点，y′=lna•a x﹣1；故y=a x﹣x在定义域上先减后增，且当x=0时，y＞0；故当a x=时，y＜0；即﹣＜0；故a∈（1，e）；故答案为：（1，e）．点评：本题考查了函数的性质与应用，属于基础题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，A、B、C为三个内角，f（B）=4sinB•cos2（﹣）+cos2B．（Ⅰ）若f（B）=2，求角B；（Ⅱ）若f（B）﹣m＜2恒成立，求实数m的取值范围．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）化简可得f（B）=2sinB+1，结合已知可得sinB的值，可得B的值；（Ⅱ）由f （B）﹣m＜2恒成立集合三角函数的最值可得1+m＞2，解不等式可得．解答：解：（Ⅰ）化简可得f（B）=4sinB•cos2（﹣）+cos2B=4sinB•+1﹣2sin2B=2sinB（1+sinB）+1﹣2sin2B=2sinB+1=2，∴sinB=，又∵0＜B＜π，∴B=或．（Ⅱ）∵f （B）﹣m＜2恒成立，∴2sinB+1﹣m＜2恒成立，∴2sinB＜1+m∵0＜B＜π，∴2sinB的最大值为2，∴1+m＞2，∴m＞1．点评：本题考查三角函数化简求值，涉及二倍角公式和恒成立问题，属中档题．16．（12分）如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据正方形对边平行可得AB∥CD，结合线面平行的判定定理可得AB∥平面CDE；（2）由已知AE⊥平面CDE，可得AE⊥CD，结合正方形ABCD邻边垂直及线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ADE，进而由面面垂直的判定定理可得平面ABCD⊥平面ADE解答：证明：（1）正方形ABCD中，AB∥CD，又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE．（6分）（2）因为AE⊥平面CDE，且CD⊂平面CDE，所以AE⊥CD，（8分）又正方形ABCD中，CD⊥AD且AE∩AD=A，AE，AD⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE，（12分）又CD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ADE．（14分）点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间线面关系的判定定理是解答的关键．17．（15分）如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD的固定投食点A到两条平行河岸线l1、l2的距离分别为4米、8米，河岸线l1与该养殖区的最近点D的距离为1米，l2与该养殖区的最近点B的距离为2米．（1）如图甲，养殖区在投食点A的右侧，若该小组测得∠BAD=60°，请据此算出养殖区的面积S，并求出直线AD与直线l1所成角的正切值；（2）如图乙，养殖区在投食点A的两侧，试求养殖区面积S的最小值，并求出取得最小值时∠BAD的余弦值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；正弦定理；三角函数的最值．专题：计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用；解三角形；空间位置关系与距离．分析：（1）设AD与l1所成夹角为α，则AB与l2所成夹角为60°﹣α，从而得=，从而求面积及正切值；（2）设AD与l1所成夹角为α，∠BAD=θ∈（120°，180°），则AB与l2所成夹角为（180°﹣θ+α），从而得=，从而求S=（）2sinθ=9（），求导求最值．解答：解：（1）设AD与l1所成夹角为α，则AB与l2所成夹角为60°﹣α，对菱形ABCD的边长“算两次”得=，解得tanα=，所以，养殖区的面积S=（）2sin60°=42（m2）；（2）设AD与l1所成夹角为α，∠BAD=θ∈（120°，180°）；则AB与l2所成夹角为（180°﹣θ+α），对菱形ABCD的边长“算两次”得=，解得，tanα=；所以，养殖区的面积S=（）2sinθ=9（），由S′=﹣9（）=0得，cosθ=﹣；经检验得，当cosθ=﹣时，养殖区的面积有最小值，最小值为S=27（m2）；答：（1）养殖区的面积为42m2；（2）养殖区的最小面积为27m2．点评：本题考查了解三角形，三角变换，导数等在实际问题中的应用，属于中档题．18．（15分）直线l：y=k（x﹣1）过已知椭圆经过点（0，），离心率为，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值？若是，求出λ+μ的值，否则，说明理由；（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）由题设知，因为a2=b2+c2a2=4，c2=1，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线l方程y=k（x﹣1），且l与y轴交于M（0，﹣1），设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，再由韦达定理结合题设条件能够推导出当直线l的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值．（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点．证明：由A（x1，y1），B（x2，y2），知D（4，y1），E（4，y2）．当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点再证点也在直线l BD上；所以当m变化时，AE 与BD相交于定点．解答：解：（Ⅰ）由题设知，因为a2=b2+c2a2=4，c2=1，∴椭圆C的方程（3分）（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设直线l方程y=k（x﹣1），且l与y轴交于M（0，﹣k），设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）由得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴（6分）又由，∴（x1，y1）=λ（1﹣x1，﹣y1），∴，同理∴（8分）∴所以当直线l的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值；（10分）（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点（11分）证明：由（Ⅱ）知A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（4，y1），E（4，y2）当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点∵当时，==∴点在直线l AE上，同理可证，点也在直线l BD上；∴当m变化时，AE与BD相交于定点点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用圆锥曲线性质，注意合理地进行等价转化．19．（12分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a13+a23+a33+…+a n3=S n2，记S n 为数列{a n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=3n+（﹣1）n﹣1λ•2an（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意 n∈N*，都有b n+1＞b n．考点：数列递推式；数列的函数特性．专题：综合题．分析：（1）利用n=1求出a1，利用a13+a23+a33+…+a n3=S n2，a13+a23+a33+…+a n﹣13=S n﹣12，做差推出a n﹣a n﹣1=1证明是等差数列．（2）假设存在λ使得满足题意，然后计算化简b n+1﹣b n，再结合恒成立问题进行转化，将问题转化为：对任意的n∈N*恒成立．然后分n为奇偶数讨论即可获得λ的范围，再结合为整数即可获得问题的解答．解答：解：（1）在已知式中，当n=1时，a13=S12=a12∵a1＞0∴a1=1…（2分）当n≥2时，a13+a23+a33+…+a n3=S n2①a13+a23+a33+…+a n﹣13=S n﹣12②①﹣②得，a n3=S n2﹣S n﹣12=（S n﹣S n﹣1）（S n+S n﹣1）∵a n＞0∴a n2=S n+S n﹣1=2S n﹣a n③∵a1=1适合上式…（4分）当n≥2时，a n﹣12=2S n﹣1﹣a n﹣1④③﹣④得：a n2﹣a n﹣12=2（S n﹣S n﹣1）﹣a n+a n﹣1=2a n﹣a n+a n﹣1=a n+a n﹣1∵a n+a n﹣1＞0∴a n﹣a n﹣1=1∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为1，可得a n=n…（6分）（2）假设存在整数λ，使得对任意 n∈N*，都有b n+1＞b n．∵a n=n∴∴b n+1﹣b n=[3n+1+（﹣1）nλ•2n+1]﹣[3n+（﹣1）n﹣1λ•2n]=2•3n﹣3λ（﹣1）n﹣1•2n＞0∴⑤…（8分）当n=2k﹣1（k∈N*）时，⑤式即为⑥依题意，⑥式对k∈N*都成立，∴λ＜1…（10分）当n=2k（k∈N*）时，⑤式即为⑦依题意，⑦式对k∈N*都成立，∴…（12分）∴∴存在整数λ=﹣1，使得对任意n∈N*，都有b n+1＞b n…（14分）点评：本题考查的是数列与不等式的综合题．在解答的过程当中充分体现了数列通项与前n 项和的知识、分类讨论的知识以及恒成立问题的解答规律．值得同学们体会和反思．20．（14分）已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=ax﹣lnx．若对任意的x1∈[，2]，总存在唯一的x2∈[，e]（e为自然对数的底），使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：（1）求导函数，利用f（x）在x=1处取到极值2，可得f′（1）=0，f（1）=2，由此可求f（x）的解析式；（2）确定f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，从而可得f（x）的值域；依题意，记，从而可得，再分类讨论，确定g（x）在M上单调性，即可求a取值范围．解答：解：（1）…（2分）∵f（x）在x=1处取到极值2，∴f′（1）=0，f（1）=2∴，解得m=4，n=1，故…（5分）（2）由（1）知，故f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，由，故f（x）的值域为…（7分）依题意，记，∵x∈M∴（ⅰ）当时，g'（x）≤0，g（x）在M上单调递减，依题意由，得，…（8分）（ⅱ）当时，e＞当时，g′（x）＜0，当时，g′（x）＞0依题意得：或，解得，…（10分）（ⅲ）当a＞e2时，，此时g′（x）＞0，g（x）在M上单调递增，依题意得，即，此不等式组无解…（11分）．综上，所求a取值范围为…（14分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．三、附加题（共4小题，满分12分）21．（12分）已知矩阵M=，N=，且MN=．（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．考点：矩阵乘法的性质．专题：计算题；转化思想．分析：（Ⅰ）首先根据矩阵的乘法得到一组方程式，从而求出a、b、c、d的值；（Ⅱ）根据线性变换的基本知识，点在矩阵M的作用下的线性变换下还是点，然后求出像的方程．解答：解：（Ⅰ）由题设得，解得；（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=3x上的两（0，0），（1，3），由=，=得点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（﹣2，2），从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=﹣x．点评：本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的方程为+y2=1，试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．考点：椭圆的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先，根据直线l的参数方程为（t为参数），化简为普通方程为：x+2y=4，然后，设P（2cosθ，sinθ），根据点到直线的距离求解即可．解答：解：根据直线l的参数方程为（t为参数），得其普通方程为：x+2y=4，设P（2cosθ，sinθ），∴P到l的距离为d==≥=，当且仅当sin（θ+）=1，即θ=2kπ+时等号成立．此时，sinθ=cosθ=，∴P（2，）．点评：本题重点考查了参数方程和普通的互化、点到直线的距离公式等知识，属于中档题．23．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB=BC=，BB1=3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？（2）设AF=1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．考点：直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；压轴题．分析：本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系，给出有关点的坐标，设出点F的坐标，（I）由线面垂直转化为线的方向向量与面的法向量垂直，利用二者内积为零建立关于参数的方程参数．（II）求出两平面的法向量，利用夹角公式求二面角的余弦值即可．解答：解：（1）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠ABC=．以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．因为AC=2，∠ABC=90°，所以AB=BC=，从而B（0，0，0），A，C，B1（0，0，3），A1，C1，D，E．所以，设AF=x，则F（，0，x），.，所以．要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F．由=2+x（x﹣3）=0，得x=1或x=2，故当AF=1或2时，CF⊥平面B1DF．（5分）（2）由（1）知平面ABC的法向量为n1=（0，0，1）．设平面B1CF的法向量为n=（x，y，z），则由得令z=1得，所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．点评：考查用空间向量为工具解决立体几何问题，此类题关键是找清楚线的方向向量、面的法向量以及这些向量内积为0、共线等与立体几何中线面、面面位置关系的对应．24．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ；（2）求恰好得到n（n∈N*）分的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（1）由题意分析的所抛5次得分ξ为独立重复试验，利用二项分布可以得此变量的分布列；（2）由题意分析出令p n表示恰好得到n分的概率．不出现n分的唯一情况是得到n﹣（1分）以后再掷出一次反面．“不出现n分”的概率是1﹣p n，“恰好得到n﹣（1分）”的概率是p n﹣1，利用题意分析出递推关系即可．解答：解：（1）所抛5次得分ξ的概率为P（ξ=i）=（i=5，6，7，8，9，10），其分布列如下：ξ 5 6 7 8 9 10PEξ==（分）．（2）令p n表示恰好得到n分的概率．不出现n分的唯一情况是得到n﹣（1分）以后再掷出一次反面．因为“不出现n分”的概率是1﹣p n，“恰好得到n﹣（1分）”的概率是p n﹣1，因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有1﹣p n=p n﹣1，即p n﹣=﹣．于是是以p1﹣=﹣=﹣为首项，以﹣为公比的等比数列．所以p n﹣=﹣，即p n=．答：恰好得到n分的概率是．点评：此题考查了独立重复试验，数列的递推关系求解通项，重点考查了学生的题意理解能力及计算能力．。

江苏省扬州中学2024届高三年级阶段性检测数学 2024.1.15一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}52A x x =-<<，{}33B x x =+<，则A B ⋃=（ ）A. ()5,0- B. ()6,2- C.()6,0- D. ()5,2-2. (2＋3i)(2－3i)＝A.5B. －1C. 1D.73. 已知向量()()1,2,3,1a b == ，则a 在a b +上的投影向量为（）A.B. C.24,55⎛⎫⎪⎝⎭ D. 86,55⎛⎫ ⎪⎝⎭4. 已知函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则“()()sgn ln sgn 11x x ⨯+=”是“1x >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知()()6221x x a x ++-展开式中各项系数之和为3，则展开式中x 的系数为（）A. 10- B. 11- C. 13- D. 15-6. 刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD 为矩形，顶棱PQ 和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()126V AB PQ BC h =+⋅（其中h 是刍薨的高，即顶棱PQ 到底面ABCD 的距离），已知24,AB BC PAD ==△和QBC △均为等边三角形，若二面角P AD B --和Q BC A --的大小均为150︒，则该刍薨的体积为（ ）A.B.C.D. 7．已知抛物线24y x =的焦点为F ，(1,0)A -，点P 是抛物线上的动点，则当PFPA的值最小时，PF =（ ）A. 1B. 2C. D. 48. 已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内不存在最值，且在区间ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，满足()f x ≥恒成立，则ω的取值范围是（ ）A. 1250,,336⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ B. 120,,133⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C.1150,,636⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D. 110,,163⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（ ）A. 数据1，2，3，4，5，6，8，9，11第75百分位数是7B. 若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且M ，N 相互独立，则()()1P N M P N +=C. 由两个分类变量X ，Y 的成对样本数据计算得到28.612χ=，依据0.001α=的独立性检验()0.00110.828x =，可判断X ，Y 独立D. 若一组样本数据()(),1,2,,i i x y i n = 的对应样本点都在直线47y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为1-10. 已知圆O ：224x y +=，过直线l ：60x y +-=上一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，则（ ）A. 若点P 的坐标为(1,5)，则PA = B. PAO面积的最小值为C. 直线AB 过定点22,33⎛⎫⎪⎝⎭D. 4AB ⎫∈⎪⎪⎭11. 已知()()2log ,2xf x x xg x x =+=+，若()()2f a g b ==，则（ ）A. 2b a = B. 2a b += C. 1a b ->D.324ab <<-12. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11AA D D 内运动（包括边界），Q 为棱DC 中点，则下列说法正确的有（ ）A. 存在点P 满足平面//PBD 平面11B D CB. 当P 为线段1DA 中点时，三棱锥111P A B D -的外接球体积为C. 若()101DP DA λλ=≤≤ ，则PQ PB -最小值为32D. 若QPD BPA ∠∠=，则点P 的轨迹长为2π9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知1sin cos 5αα+=-，()0,πα∈，则tan α=__________.14.数列{}n a 满足11a =，且()22*113202,n n n n a a a a n n ---+=≥∈N ，则该数列前5项和可能是___________(填一个值即可）15. 请写出一个同时满足下列两个条件的函数：()f x =__________.①()()2f x f x x ⋅-=-；②函数()f x y x=在()0,∞+上单调递增.16．已知双曲线C ：2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为E ，过2F 的直线交双曲线C 的右支于A ，B 两点（其中点A 在第一象限内），设M ，N 分别为12AF F △，12BF F △的内心，则当1F A AB ⊥时，1AF =____________；1ABF 内切圆的半径为____________.的四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足__________.①*n ∀∈N ，均有0n a >且()214n n a S +=，②首项11a =，*,m n ∀∈N 均有22m n n S S mn m +=++；从条件①和②中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题：（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2na na⋅前n 项和n T 的表达式.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，,,22AB CD AB BC AB BC CD PD PC ⊥====∥，设,,E F M 分列为棱,,AB PC CD 的中点．（1）证明：//EF 平面PAM ；（2）若PA PM =，求EF 与平面PCD 所成角的正弦值．19. 如图，在ABC 中，BAC ∠，点P 在边BC 上，且,2AP AB AP ⊥=．（1）若PC =，求PB ﹔（2）求ABC 面积的最小值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，斜率为2的直线l 与x 轴交于点M ，l 与C 交于A ，B 两点，D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时，ABD △面积为169．（1）求C 的方程；（2）当M 异于O 点时，记直线BD 与y 轴交于点N ，求OMN 周长的最小值．21. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神。

1 江苏省扬州中学2022-2023学年度第一学期阶段测试高三化学2023.1试卷满分：100分 考试时间：75分钟 可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 S-32 Co-59 Ba-137选择题（共39分）单项选择题：共13题，每题3分，共39分。

每题只有一个选项最符合题意。

1．化学与科技、社会、生产、生活等联系紧密，下列相关说法不正确的是A ．中国航空空间站外层的热控保温材料属于复合材料B ．水晶和玛瑙主要成分都是SiO 2，制造光纤也与SiO 2有关C ．预防新冠病毒的疫苗应在较低温度下保存D ．为了防腐，港珠澳大桥可以在钢铁中增加含碳量2．尿素CO(NH 2)2是一种高效化肥，也是一种化工原料。

反应CO 2+2NH 3 CO(NH 2)2+H 2O 可用于尿素的制备。

下列有关说法不正确的是A ．NH 3与CO(NH 2)2均为极性分子B ．NH 3的电子式为C ．NH 3的键角大于H 2O 的键角D ．尿素分子σ键和π键的数目之比为6∶1阅读下列材料，完成3~6题：硫元素的很多化合物用途广泛。

烟气催化还原工艺将SO x 还原成硫蒸气，既符合环保要求，又可以合理利用宝贵的硫资源。

该催化反应体系中涉及反应23482214SO (g)3CH (g)S (g)3CO (g)6H O(g)2+++ 。

3．下列关于硫的化合物的结构与性质的说法正确的是A ．3SO 的空间构型为三角锥形B ．2SO 中混有的少量3SO 可以通过饱和23Na SO 溶液除去C ．223Na S O 溶液中加入足量氯水、氯化钡溶液产生白色沉淀D.两个硫酸分子脱去一分子水生成焦硫酸(H 2S 2O 7)，一个焦硫酸分子中硫氧键的数目为64．反应3482214SO (g)3CH (g)S (g)3CO (g)6H O(g)2+++ 在恒容条件下进行，下列有关说法不正确的是A.反应的0S ∆>B.反应的12(S O)12(C H)4(S S)6(C O)12(O H)H E E E E E ∆==+----=--（E 表示键能）C.CO 2的水溶液能导电，但CO 2D.更换更合适的催化剂，可提高CH 4的平衡转化率5．已知熔点：SO 2为-76.1℃，SO 3为16.8℃，沸点：SO 2为-10℃，SO 3为45℃。

扬州中学高三数学综合练习一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合{2,3},{1,},{2},A B a A B A B ====I U 若则 ▲ ． 2. 若复数z 满足2)1(=-i z （其中i 为虚单位），则=z ▲ ．3．一组数据8,12，x ，11，9的平均数是10，则这样数据的方差是 ▲ ． 4．从[]1,1-内任意取两个实数，这两个数的平方和小于1的概率为 ▲ ． 5.如图是一个算法的流程图， 则最后输出的S = ▲ ．6.在等比数列{}n a 中，378a a =，466a a +=， 则28a a += ▲ ．7.用半径为210cm ，面积为π2100cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ▲ cm 3． 8．设,αβ为互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①//,,//m n n m αα⊂若则 ②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则 ③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则 ④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； 其中正确命题的序号为 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点到一条渐近线l 的距离为4，若渐近线l 恰好是曲线3232y x x x =-+在原点处的切线，则双曲线的标准方程为 ▲ ．10.已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()()0,11f x f x f x f x +-=-=+，当[)0,1x ∈时，()31x f x =-，则13(log 12)f 的值为 ▲ ．11.在等腰梯形ABCD 中,//AB CD ,3AB =,2BC =45ABC ∠=o,则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为 ▲ ．12.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，ABC ∆的三个顶点都在抛物线上，并且ABC ∆的重心是抛物线的焦点，BC 边所在的直线方程为4200x y +-=，则抛物线的方程为 ▲ ．13. 设函数2()2f x x x a =++，若函数[()]y f f x =恰好有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14. 已知C B A ,,为ABC ∆的三个内角, 向量)2sin 3,2(cosBA B A +-=α,2||=α.如果当C 最大时,存在动点M , 使得|||,||,|成等差数列, ||AB 的最大值是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量())()sin 2,2cos ,r rm x x n x x R ==∈，函数1)(-⋅=n m x f ϖϖ,（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若()1,1,fA b ABC ==∆的面积a 边的长度.16．（本小题满分14分）如图,在三棱锥P ABC -中,BC ⊥平面PAB ，PA AB =,点D ,E 分别为PB ,BC 的中点.(1)求证: 平面ADC ⊥平面PBC ;(2)若F 在线段AC 上,且//AD 平面PEF ,求AFFC的值.17．(本小题满分14分)如图所示的一个不规则形铁片，其缺口边界是口宽4分米，深2分米（顶点至两端点,A B 所在直线的距离）的抛物线形的一部分，现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形． （1）若保持其缺口宽度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值； （2）若保持其缺口深度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值．18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，点12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一动点（异于左右顶点），12PF F ∆面积的最大值为1． (1)求椭圆的方程;(2)设四边形ABCD 是矩形,且四条边都与椭圆相切，证明：满足条件的所有矩形的顶点都在一个定圆上，并写出该定圆的方程．19．(本小题满分16分) 已知函数325()2f x x x ax b =+++（,a b 为常数），其图象是曲线C ． （1）当2a =-时，求函数()f x 的单调递减区间；（2）设函数()f x 的导函数为()f x '，若存在唯一的实数0x ，使得00()f x x =与0()0f x ='同时成立，求实数b 的取值范围；图（6）F 2F 1oyx（3）已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线12,l l 的斜率分别为12,k k ．问：是否存在常数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足1a x =，23a x =，2*1132(2,)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥，n S 是数列{}n a 的前n 项和．(1)若数列{}n a 为等差数列． （ⅰ）求数列的通项公式n a ； （ⅱ）设数列{}n b 满足()2**1112,,,21N N n n n k b b b b n k a +==+∈∈+， 求证：当n k ≤时都有1n b <.(2)若对任意*n ∈N ，不等式1n n a a +<恒成立，求实数x 的取值范围．高三数学附加题 2016.1(满分40分，考试时间30分钟)21. (选修4－2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b0满足：Mαi ＝λi αi ，其中λi (i ＝1，2)是互不相等的实常数，a i (i ＝1，2)是非零的平面列向量，λ1＝1，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵M ．22．(选修4－4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，设直线θ＝π3与曲线ρ2－10ρcosθ＋4＝0相交于A、B两点，求线段AB中点的极坐标．23. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2获胜的概率；（2）若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求甲队得分X 的分布列及数学期望．24．已知整数n ≥3，集合M ＝{1，2，3，…，n }的所有含有3个元素的子集记为A 1，A 2，A 3，…，3C nA ，设A 1，A 2，A 3，…，3C nA 中所有元素之和为S n ．（1） 求S 3，S 4，S 5，并求出S n ； （2）求和：S 3＋S 4＋S 5＋…＋S n ．（注：可用组合数表示）扬州中学高三数学试卷答案2016.1.3 1． {}1,2,3 2. i +1 3． 2 4．4π5.366. 97.331000cm π 8．④ 9．221416x y -= 10. 13-11. 3 12. 216y x = 13. 15．又Q AD⊂平面ADC∴⊂平面ADC⊥平面PBC AD17．解：（1）以抛物线顶点为原点，对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系，则(2,2),(2,2)A B -，从而边界曲线的方程为212y x =，[]2,2x ∈-． 因为抛物线在点B 处的切线斜率22x k y ='==，所以，切线方程为22y x =-，与x 轴的交点为(1,0)．此时梯形的面积1(24)262S =⨯+⨯=平方分米，即为所求． ………………6分（2）设梯形腰所在直线与抛物线切于2001(,)2P x x 时面积最小．此时，切线方程为20001()2y x x x x -=-，其与直线2y =相交于2004(,2)2x x +，与x 轴相交于01(,0)2x ．此时，梯形的面积200000414()222x S x x x x +=+⨯=+，(]00,2x ∈．……11分（这儿也可以用基本不等式，但是必须交代等号成立的条件）2042S x '=-=0，得02x =， 当(00,2x ⎤∈⎦时，0()S f x =单调递减；当(02,2x ⎤∈⎦时，0()S f x =单调递增，故，当02x =时，面积有最小值为42． ………………14分18. 解：（1）椭圆C 的方程为1222=+y x ．…………5分(2)由题意知,矩形ABCD 是椭圆1222=+y x 的外切矩形,(i) 若矩形ABCD 的边与坐标轴平行,则四个顶点满足223x y +=. …………6分(ii)若矩形ABCD 的边与坐标轴不平行,则可设一组对边所在直线的方程为(0)y kx m k =+≠,则由2212x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得222(12)4220k x mkx m +++-=, 于是2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=,化简得221m k =±+.所以矩形ABCD 的一组对边所在直线的方程为221y kx k =±+,即221y kx k -=±+, 则另一组对边所在直线的方程为22ky x k +=±+,于是矩形顶点坐标(x,y)满足2222()()(2)(12)y kx ky x k k -++=+++, 即2222(1)()3(1)k x y k ++=+,即223x y +=.综上得，满足条件的所有矩形的顶点在定圆223x y +=上. …………16分 注：仅写成结果223x y +=而没有过错的给1分。

2023—2024学年第一学期期末检测高一数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1命题“V xe R , si nx� I"的否定为（）A.3xER , sin x>IB.3xER, sinx�lC. VxER, sinx>ID.VxER, si nx<l2.下列四个函数中，与y=2x 有相同单调性和奇偶性的是（）A.y = 2xB.y =x 3C.y=e"D.y=sin xl x-l3若全集U = R , A= {xl�<x< l},B = {x|－—<0}，则（幻A)nB=（2 x ）A .(0,1)B.(0,½)C.（吟］D.[0,1]4“数摺聚清风，一抢生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，析扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA=20cm,乙A0B=l20°,M为OA的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（）A。

BA.50冗cm 2B. JOO 兀cm 2C. 150兀cm 2D.200冗cm 25若实数m ,n 满足2"'=3"= 6,则下列关系中正确的是（）IlA—+－ = 1m n1 2 B.—+－= 2 m n2IC.—+－＝ 2 m nI 2 ID .—+－ = -m n2l亢6.若P,cos a �一，q： a三一，则P是q的（）23A充分不必要条件B必要不充分条件C.充分必要条件D既不充分也不必要条件7.某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的祛码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的怯码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金()A.小千20克B不大千20克 C.大千20克D不小千20克(o,�)8若a,/3E I O,－且满足sina cosa+sin/3COS/3 ＞2cosacos/3，设t= tan a tan/3，／ x = ,（）则下列判断正确的是()A.f(sina) <f (sin/3）B.f (co s a)< f(co s/3）C f(sina)<f(cos/3） D.f(cosa)<f(sin/3）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的有(31tA -—是第二象限角4B.tan 225° = lC小千90°的角一定是锐角 D.sin2>010下列命题为真命题的有（）A若a,beR,则矿＋b2� 2aba+m a B若a>b > O, m>O,则＞－b+m b1 lC若a<b<O,则－＞ － D.若ac2> b c2,则a>ba b II.已知函数f(x)=sinx-A.f(x)为奇函数2sin2x ，则下列结论正确的有（B. f(x)是以7t为周期的函数C.f(x)的图象关千直线x=：对称0.XE（叶］时，f(x)的最大值为丈[_2212如图，过函数f(x) = log e x (c >1)图象上的两点A,B作X轴的垂线，垂足分别为M(a,0),N(b,O) Cb>a>l)，线段BN与函数g(x) = log m x < m >c>1)的图象交千点C,且AC与X轴平行下列结论正确的有（）yA.点C 的坐标为(b,l o g c a)B 当a=2,b=4, c=3时，m 的值为9C.当b=a 2时，m =2c 2D 当a=2,b=4时，若x 1,x 2为区间(a,b)内任意两个变量，且X 1<X 2,则矿(x,)<b 瓜）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知角a 的终边经过点(1,-2)，则tan a-cos a 的值为14若x >Ly>I, xy =I O ,则l g x l gy 的最大值为x 2-x + I, 0 < x ::, 1l5 已知定义域为R 的奇函数f(x)，当x>0时，f （x)＝{l ，若当x e [ m,O )时，f (x ,x >I （） 2x-l3 的最大值为－一，则m 的最小值为416定义域为D 的函数f (x)．如果对千区间I 内(I三D)的任意三个数x 1,xz,入＾3'当X 1<X 2 < X 3时，有f（动－f(x i )� f (x 3)-f（凸）＜ 3 ,那么称此函数为区间I 上的＂递进函数“，若函数J(x)=x 悍2是区（） 入，2-x 1x, -x 2间[1,2]为＂递进函数”，则实数a的取值范围是X 四、解答题（本大题共6小题，计70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17化简求值：8 ;I(J)31og,2＋（司十lg5-lg½II(2)若豆＋X 一了＝石，求x气产的值18.已知tana=3求值：C 1)cos (a ＋勹－s n（专叫2si n (a ＋兀）＋cos (2兀－a )(2)2s n 2 a+ s n a c os a . 1 1119已知函数f (x)= l o g 主(4-x)＋忑了的定义域为集合A,函数g(x)=m✓云了s(xE[-½万－］）的值城为B.(I)当m=I时，求AuB:(2)若XE A是XE B的必要不充分条件，求实数m的取值范围（三），co>O20 已知f(x) = sinf(x)的单调增区间：(I)若f(x i)=I.f伈）＝－1'且伈－叫＝－ 兀m m 2 ，求函数亢（） (2)若f(x)的图象向左平移一个单位长度后得到的图象关千Y轴对称，当Q取最小值时，方程f(x)=m3在区间［琴］上有解，求实数m的取值范围．1-5-'21 已知函数f(x)＝一一—.g(x)= acos x+✓I了五百＋』了示言，其中a<O1+5x(I)判断并证明.f(x)的单调性；冗7t飞2]，求t的取值范围，并把g(x)表示为I的函数h(t);(2) ©设t＝打亢言＋打二言，XE[-�,f(x i)= g(x2)成立，求实数a的取值范围＠若对任意的X1E [-1,0]，总存在X2E[ 亢亢飞］使得22已知函数f(x) = log2 (2"'+m)-� X 2(I)若f(x)为定义在R上的偶函数，求实数rn的值；(2)若沁X E[ 0, 2], f (X) + rn � 1恒成立，求实数m的取值范围2023—2024学年第一学期期末检测高一数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1命题“Vxe R, sinx� I"的否定为（）A.3xeR, sinx>IB.3xeR, sinx�lC VxeR, sinx>l D.'i/xeR, sinx<l【答案l A【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得【详解】根据全称命题的否定为特称命题，则命题”'r:f x e R, sin x:,; I" 的否定为“3xe R, sin x>1''故选： A2下列四个函数中，与y=2x有相同单调性和奇偶性的是(A. y= 2x【答案】B［解析】B. y =x3C. y=e-'【分析】直接根据基本初等函数的奇偶性和单调性判断【详解】明显函数y=2x为奇函数，且在R上单调递地；对千AC:函数y=2x与y=e.｀均为指数函数，且为非奇非偶函数：对千B:y =x3为奇函数，且在R上单调递娟；：对千D:y=sinx为奇函数，但其在R上不是单调函数故选： B.D.y = sinxl x-l3若全集U=R,A={xl�<x<l},B={x|－—<0}，则（幻A)nB=< )2 xA.(0,1) B （吟）C.（畛］ D.[0,1]【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解法，求得集合B ={x l O<x<l }，结合集合的运算，即可求解x -1【详解】由不等式一—<0'解得O <x<L 所以集合B ={x l O<x<l },又由A={xi½勺<l}，可得沁A={x|勹2或x 之1},所以（c\;A)ns ={x l O<x叶｝＝｛畔］故选：C 4“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，析扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA=20cm,乙AOB=120°,M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是()AB。

2021-2022学年江苏省扬州市第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知若在处连续，则的值为（）(A) (B) (C) (D) 2参考答案：B，因为在处连续，所以，，即，解得2. 如图所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，下列结论中，正确的是( )A．EF⊥BB1 B．EF∥平面ACC1A1C．EF⊥BD D．EF⊥平面BCC1B1参考答案：D考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：在B中：连接A1B，由平行四边形的性质得EF∥A1C1，由此能推导出EF∥平面ACC1A1；在A中：由正方体的几何特征得B1B⊥面A1B1C1D1，由A1C1?面A1B1C1D1，得B1B⊥A1C1，由此能求出EF⊥BB1；在C 中：由正方形对角线互相垂直可得AC⊥BD，从而得到EF与BD垂直；在D中：由EF⊥BB1，BB1∩BC=B，得EF与BC不垂直，从而EF⊥平面BCC1B1不成立．解答：解：在B中：连接A1B，由平行四边形的性质得A1B过E点，且E为A1B的中点，则EF∥A1C1，又A1C1?平面ACC1A1，EF?平面ACC1A1，∴EF∥平面ACC1A1，故B正确；在A中：由正方体的几何特征可得B1B⊥面A1B1C1D1，又由A1C1?面A1B1C1D1，可得B1B⊥A1C1，由EF∥平面ACC1A1可得EF⊥BB1，故A正确；在C中：由正方形对角线互相垂直可得AC⊥BD，∵EF∥A1C1，AC∥A1C1，∴EF∥AC，则EF与BD垂直，故C正确；在D中：∵EF⊥BB1，BB1∩BC=B，∴EF与BC不垂直，∴EF⊥平面BCC1B1不成立，故D错误．故选：D．点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．3. 三棱锥A﹣BCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且△ABC、△BCD都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A﹣BCD的体积是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】利用等边、等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理、三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，连接OB，OC．∵△ABC、△BCD都是边长为1的等边三角形，∴OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC===．∴OB2+OC2=BC2，∴∠BOC=90°．∴三棱锥A﹣BCD的体积V===．故选D．4. 已知等比数列各项均为正数，公比则P与Q的大小关系是（）A．P<Q B．P=Q C．P>Q D．无法确定参考答案：C5. 已知为非零向量，则“函数为偶函数”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：C略6. 已知＝，把数列{}的各项排列成如下的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）＝A． B． C． D．参考答案：A7. 若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）A．（2，4] B．[2，4] C．（﹣∞，0）∪[0，4] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，4]参考答案：A【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出集合，利用集合的基本运算进行求解．【解答】解：A={x|1≤3x≤81}{x|0≤x≤4}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}={x|x2﹣x＞2}={x|x＞2或x＜﹣1}，则A∩B={x|2＜x≤4}，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．8. 已知复数在复平面内对应的点在一、三象限的角平分线上，则（）A、B、C、D、参考答案：B略9. 已知向量与向量的夹角为，，则（）A. B. C.D.参考答案：D试题分析：，当然也可数形结合考点：向量的模10. 已知集合，在区间上任取一实数，则“”的概率为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的最大值为。

2023~2024学年度第一学期开学检测高三数学一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)xABC D．若2222log 2log 1a b a b +<++，则（ ）A ．ln(21)b a -+<B ．ln(21)0b a -+>C ．ln |2|0a b ->D ．ln |2|a b -<二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）高三数学参考答案1有一个根12t=，1+有1个零点，C错误；，【16详解】因为20a -≤<，函数()f x 在[]1,2上单调递增，不妨设1212x x ≤≤≤，则()()121211f x f x m x x -≤-，可化为()()2121m m f x f x x x +≤+， 设()()21ln 12m mh x f x x a x x x=+=-++，则()()12h x h x ≥， 所以()h x 为[]1,2上的减函数，即()20a mh x x x x '=--≤在[]1,2上恒成立， 等价于3m x ax ≥-在[]1,2上恒成立，设()3g x x ax =-，所以max ()m g x ≥， 因20a -≤<，所以()30g x x a 2'=->，所以函数()g x 在[]1,2上是增函数， 所以()max ()28212g x g a ==-≤（当且仅当2a =-时等号成立）． 所以12m ≥.22．【详解】（1）当1a =时，()()221ln f x x x x x =+--，()12ln 1f x x x x x=-+-'，。

高一年级线上教学调研数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）.1.设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,6,5A a =+，{}22,1U A a =-ð，则a 的值为（）A .3- B.3-和2- C.2- D.22.“sin 1θ=”是“2πθ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()11f x f x +=，当[]1,1x ∈-时，()21f x x =+，则()2022.5f =（）A.1716B.54C.2D.14.函数2cos 2()22xxx xf x -=+的图象大致为（）A. B.C. D.5.已知函数()y f x =在定义域中满足()()f x f x -=，且在(,0)-∞上单调递减，则()y f x =可能是（）A.1()f x x=-B.2()f x x =- C.()e ex xf x -=+ D.1()ln1x f x x-=+6.函数()()2sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（）A .[π，2π）B.9,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.139,122ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.917,88ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭7.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为a ，则π2πcos 33a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.32B. C.12D.12-8.设4log 3a =，πsin 3b =，πcos32c -=，则（）A.a b c >>B.b c a >>C.c a b>> D.b a c>>二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.命题“R x ∀∈，sin 1x ≥-”的否定是“R x ∃∈，sin 1x <-”B.若α是第二象限角，则()πsin ,tan π2αα⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在第三象限C.已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）为的弧度数为12 D.若角α的终边过点()(),20≠a a a ，则25sin 5α=10.已知0a >，0b >，且1a b +=，则（）A.2728a b +≥B.114a b+≤ C.14ab ≤D.+≤11.函数()()sin 0,0,0πy A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图像如图所示，则（）A.该函数的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.该函数的对称中心为ππ,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈C.()f x 在区间ππ,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎣D.把函数22sin 3y x ⎛⎫=⎪⎝⎭的图像上所有点的向左平移π2个单位可得到该函数图像12.函数()f x 在[],a b 上有定义，若对任意1x ，[]2,x a b ∈，有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫≥+⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭，则称()f x 在[],a b 上具有性质M ，设()f x 在[]1,2021上具有性质M ，则下列说法正确的是（）A.()f x 在[]1,2021上的图像是连续不断的B.()2f x在[]1,2021上具有性质MC.对任意1x ，2x ，3x ，[]41,2021x ∈，有()()()()12341234144x x x x f f x f x f x f x +++⎛⎫≥+++⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭D.若()f x 在1011x =处取得最小值1011，则()1011f x =，[]1,2021x ∈三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设幂函数()f x 同时具有以下两个性质：①函数()f x 在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数a ，b ，都有()()0f a f b a b-<-恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数()f x =___________.14.已知111f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则()f x =_________．15.摩天轮的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面42m （即OM 长），摩天轮的半径长为40m ，摩天轮逆时针旋转且每12分钟转一圈．摩天轮上悬挂吊舱，点M 为吊舱的初始位置，经过10分钟，吊舱运动到点P 处，此时有2AM BP ==m ，则P 距离地面的高度h 为______________m ．16.已知关于0a >，b ∈R ，若0x >时，关于x 的不等式()()2140ax x bx -+-≥恒成立，则3b a+的最小值为______.四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，角α的终边OA 与单位圆的交点坐标为()1,02A m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ弧度．．后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y f θ=（1）求函数()y fθ=的解析式，并求2f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）若()4f θ=，()0,θπ∈，求tan 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值18.在①22{|1}1x A x x -=<+，②{||1|2}A x x =-<，③23{|log }1xA x y x -==+这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.设全集U =R ，______，22{|0}.B x x x a a =++-<（1）若2a =，求()()U UC A C B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.19.2020年初，一场突如其来的“新冠肺炎”袭击了我国，给人民的身体健康造成了很大的威胁，也造成了医用物资的严重短缺，为此，某公司决定大量生产医用防护服.已知该公司生产防护服的固定成本为30万元，每生产一件防护服需另投入40元.设该公司一个月内生产该产品x 万件，且能全部售完.若每万件防护服的销售收入为()h x 万元，且()()12020,03,20056030,32x x h x x x x x -<≤⎧⎪=-⎨+>⎪-⎩（1）求月利润P （万元）关于月产量x （万件）的函数关系式（利润=销售收入一成本）；（2）当月产量x 为多少万件时，该公司可获得最大利润，并求该公司月利润的最大值.20.已知函数()()log 1xa f x a bx =+-（a ＞0且1,R ab ≠∈）是偶函数，函数()x g x a =（a ＞0且1a ≠）．（1）求实数b 的值；（2）当a ＝2时，若12(1,),R x x ∞∀∈+∃∈，使得()()()112220g x mg x f x +->恒成立，求实数m 的取值范围．21.已知函数()()()0,0f x x ωϕωϕ=+><<sin π的最小正周期为π，且直线π2x =-是其图像的一条对称轴.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图像向右平移π4个单位，再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数记作()y g x =，已知常数R λ∈，*n ∈N ，且函数()()212sin F x x g x λ=-+在()0,πn 内恰有2021个零点，求常数λ与n 的值.22.若函数()f x 在定义域内存在实数x 满足()()f x kf x -=-，Z k ∈，则称函数()f x 为定义域上的“k 阶局部奇函数”.（1）若函数()tan 2sin f x x x =-，判断()f x 是否为()0,π上的“二阶局部奇函数”并说明理由；（2）若函数()()lg f x m x =-是[]22-,上的“一阶局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（3）已知函数()f x 的定义域为D ，若恰好存在n 个不同的实数1x ，2x ，…，n x D ∈，使得()()i i f x kf x -=-（其中1,2,,,*i n n N =∈ ），则称函数()f x 为“n 级k 阶局部奇函数”，若函数()()24224x xm f x m =-+⋅+是定义在R 上的“4级1阶局部奇函数”，求实数m 的取值范围高一年级线上教学调研数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）.1.设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,6,5A a =+，{}22,1U A a =-ð，则a 的值为（）A.3-B.3-和2- C.2- D.2【答案】C【分析】利用集合补集的定义求解即可.【详解】因为{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,6,5A a =+，{}22,1U A a =-ð，由补集的定义可知6a +的可能取值为3或4，当63a +=即3a =-时，218a -=不满足题意；当64a +=即2a =-时，213a -=，此时{1,4,5},{2,3}U A A ==ð满足题意，综上2a =-，故选：C2.“sin 1θ=”是“2πθ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解三角函数的方程，由小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围可得结果.【详解】∵sin 1θ=，∴22k πθπ=+，Z k ∈，∴2,Z 22k k ππθπθ=+∈=¿且2,Z 22k k ππθθπ=⇒=+∈，∴“sin 1θ=”是“2πθ=”的必要不充分条件.故选：B.3.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()11f x f x +=，当[]1,1x ∈-时，()21f x x =+，则()2022.5f =（）A.1716B.54C.2D.1【答案】B【分析】由()()11f x f x +=可知，函数()f x 的周期为2，利用周期性把所给的自变量转化到区间[]1,1-上，代入求值即可.【详解】由()()11f x f x +=可知()()()()11211f x f x f x f x +===+，函数()f x 的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()1f x x =+，∴1115(2020.5)202012244f f f ⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B4.函数2cos 2()22x xx xf x -=+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【分析】利用函数奇偶性和特殊值法进行判断．【详解】因为()2cos 2()22x xx xf x f x --==+，所以()f x 是偶函数，故A ，C 错误；2111cos 2(1)022f -=<+，选项B 符合函数()f x ，D 不符合故选：B.5.已知函数()y f x =在定义域中满足()()f x f x -=，且在(,0)-∞上单调递减，则()y f x =可能是（）A.1()f x x=- B.2()f x x =- C.()e e x xf x -=+ D.1()ln1x f x x-=+【答案】C【分析】求出各个选项中函数的定义域，再判断该函数是否同时满足两个条件作答.【详解】对于A ，函数1()f x x =-的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，1()()f x f x x-==-，A 不是；对于B ，函数2()f x x =-的定义域是R ，而()f x 在(,0)-∞上单调递增，B 不是；对于C ，函数()e e x x f x -=+的定义域是R ，()e e ()x x f x f x -=-=+，1212,(,0),x x x x ∀∈-∞<，1122121212()()e e e e e e e 1()()1)e(x x x x x x x x f x f x ---==-⋅++--，因120x x <<，则120<e e 1x x <<，有121210,e e e 10exx x x -<-<⋅，即有12())0(f x f x ->，因此12()()f x f x >，()f x 在(,0)-∞上单调递减，C 正确；对于D ，函数1()ln 1x f x x -=+的定义域是(1,1)-，1()ln()1xf x f x x+-==--，D 不是.故选：C6.函数()()2sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（）A.[π，2π）B.9,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.139,122ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.917,88ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】首先代入求4x πω+的取值范围，再根据三角函数的图象，列式求ω的取值范围.【详解】当[]0,2x ∈时，,2444x πππωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若函数在此区间恰取得两个最大值，则592242πππω≤+<，解得：91788ππω≤<.故选：D7.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为a ，则π2πcos 33a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.32B. C.12D.12-【答案】C【分析】根据“数字黑洞”的定义，任取一个数字串,确定“数字黑洞”，根据三角函数的诱导公式计算，可得答案.【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过第一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即123a =，则π2π123π2π2π2π2ππ1cos cos cos 41πcos πcos cos 333333332a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=+=-==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选:C .8.设4log 3a =，πsin 3b =，πcos32c -=，则（）A.a b c >>B.b c a >>C.c a b >>D.b a c>>【答案】D【分析】根据题意化简得32b =，22c =能得出b c >，4log 3a =化为指数2log 3t =根据当02x <<或4x >时，22x x >判定a b <，将,a c 两边同时取底数为4的指数，通过放缩比较的c a <进而得出答案.【详解】因为πsin 32b ==，πcos 312222c --===，所以b c >，对于421log 3log 32a ==，令2log 3t =，则23t =故(1,2)t ∈当02x <<或4x >时，22x x >，所以22t t >，即23,1t t >∴<<所以322t a b =<=，将,a c 两边同时取底数为4的指数得4log 3443,4ac====因为3223,c a<=<∴<所以b a c >>故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.命题“R x ∀∈，sin 1x ≥-”的否定是“R x ∃∈，sin 1x <-”B.若α是第二象限角，则()πsin ,tan π2αα⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在第三象限C.已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）为的弧度数为12D.若角α的终边过点()(),20≠a a a，则sin 5α=【答案】A【分析】根据含量词的命题否定,弧长,面积公式,诱导公式,任意角三角函数定义分别判断选项即可.【详解】对于A :命题“R x ∀∈，sin 1x ≥-”的否定是“R x ∃∈，sin 1x <-”故A 正确;对于B :因为()πsin cos ,tan πtan 2αααα⎛⎫+=-+=⎪⎝⎭,又因为α是第二象限角,cos 0,tan 0αα<<,所以()πsin cos 0,tan πtan 02αααα⎛⎫+=->+=<⎪⎝⎭,则()πsin ,tan π2αα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在第四象限,故B 错误;对于C :已知扇形的面积为4，周长为10，则210142l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩81l r =⎧⎨=⎩或24l r =⎧⎨=⎩,l r α= 8α∴=或者12α=，故C 错误；对于D ：角α的终边过点()(),20≠a a a ，当a<0时，25sin 5α===-，故D 错误；故选：A .10.已知0a >，0b >，且1a b +=，则（）A.2728a b +≥B.114a b +≤ C.14ab ≤D.+≤【答案】ACD【分析】对于选项A,消元利用二次函数的图象和性质判断；对于选项B,C,D 都利用基本不等式判断.【详解】解：因为0a >，0b >，且1a b +=，所以01a <<，所以22221a b a a +=-+，二次函数的抛物线的对称轴为14a =，所以当14a =时，221a a -+的最小值为78，所以2728a b +≥，所以选项A 正确；()11111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭成立，当且仅当a ＝b ＝12时取等号），故选项B 错误；1a b =+≥ ，14ab ∴≤成立，（当且仅当a ＝b ＝12时取等号），故选项C 正确；∵()222a b a b =+++=≤a ＝b ＝12时取等号），故选项D 正确.故选：ACD11.函数()()sin 0,0,0πy A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图像如图所示，则（）A.该函数的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.该函数的对称中心为ππ,03k ⎛⎫-⎪⎝⎭，Z k ∈C.()f x 在区间ππ,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎣D.把函数22sin 3y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像上所有点的向左平移π2个单位可得到该函数图像【答案】AD【分析】对于选项A:根据图像和已知条件求出A 和最小正周期T ，然后利用正弦型函数的最小正周期公式求出ω，通过代点求出ϕ即可；对于选项BC:结合正弦函数的性质，利用整体代入法求解即可；对于选项D ：利用伸缩变换即可求解.【详解】由题图可知，2A =，周期2ππ4π3π4T ω⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以23ω=，则22sin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为当π4x =时，2π2sin 234y ϕ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π62k ϕ+=+，Z k ∈，即π2π3k ϕ=+，Z k ∈，又0πϕ<<，故π3ϕ=，从而2π2sin 33y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，故A 正确；令2ππ33x k +=，Z k ∈，得π3π22x k -=+，Z k ∈，函数的对称中心为,π203π2k -+⎛⎫⎪⎝⎭Z k ∈，故B 错误；因为ππ2ππ2π,,,462333x x ⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2π1sin ,1332x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[]2π2sin 1,233y x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭,故C 错误；把函数22sin 3y x ⎛⎫=⎪⎝⎭的图像上所有点的向左平移π2个单位可得到该函数图像2π2sin 32y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,可得到2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故D 正确．故选:AD .12.函数()f x 在[],a b 上有定义，若对任意1x ，[]2,x a b ∈，有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫≥+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，则称()f x 在[],a b 上具有性质M ，设()f x 在[]1,2021上具有性质M ，则下列说法正确的是（）A.()f x 在[]1,2021上的图像是连续不断的B.()2f x在[]1,2021上具有性质MC.对任意1x ，2x ，3x ，[]41,2021x ∈，有()()()()12341234144x x x x f f x f x f x f x +++⎛⎫≥+++⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭D.若()f x 在1011x =处取得最小值1011，则()1011f x =，[]1,2021x ∈【答案】CD【分析】AB 选项可以举出反例，CD 选项可以利用函数具有性质M ，进行变形推出出结果.【详解】对于A ，设()lg ,120210,2021x x f x x ≤<⎧=⎨=⎩，在[]1,2021上具有性质M ，但()f x 不连续，故A 错误；对于B ，设()f x x =，在[]1,2021上具有性质M ，但()22f xx =在[]1,2021上不具备性质M ，故B 错误；对于C ，34121234341212242222x x x x x x x x x x x x f f f f ++⎛⎫+ ⎪+++⎡+⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≥+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭()()()()123414f x f x f x f x ≥+++⎡⎤⎣⎦，故C 正确；对于D ，由性质M 得，当[]1,2021x ∈时，()()()2022210112022f x f x f +-≤=，又因为()1011f x ≥，()20221011f x -≥，故()1011f x =，[]1,2021x ∈，D 正确.故选：CD .三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设幂函数()f x 同时具有以下两个性质：①函数()f x 在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数a ，b ，都有()()0f a f b a b-<-恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数()f x =___________.【答案】21x （答案不唯一）【分析】利用幂函数的图像、单调性得到指数满足的条件，写出一个满足题意的幂函数即可.【详解】由题意可得，幂函数()af x x =需满足在第二象限内有图象且在(0,)+∞上是单调递减即可，所以*2(N )a k k =-∈，故满足上述条件的可以为()21f x x =.故答案为：21x （答案不唯一）.14.已知111f x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()f x =_________．【答案】1xx-（0x ≠且1x ≠）【分析】使用换元法求解，在换元时，需注意定义域.【详解】由111f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭，令1t x=，（0x ≠且1x ≠，0t ≠且1t ≠），则1x t=，（0t ≠且1t ≠），∴()1111tf t t t==--（0t ≠且1t ≠）,∴()1xf x x=-（0x ≠且1x ≠）.故答案为：1xx-（0x ≠且1x ≠）.15.摩天轮的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面42m （即OM 长），摩天轮的半径长为40m ，摩天轮逆时针旋转且每12分钟转一圈．摩天轮上悬挂吊舱，点M 为吊舱的初始位置，经过10分钟，吊舱运动到点P 处，此时有2AM BP ==m ，则P 距离地面的高度h 为______________m．【答案】20【分析】以M 为坐标原点，MO 为y 轴，与MO 垂直的线为x 轴，建立坐标系，设点B 的方程为sin()y A x k ωϕ=++，由题意求得解析式，当10x =代入计算即可得出结果.【详解】以M 为坐标原点，MO 为y 轴，与MO 垂直的线为x 轴，建立坐标系如图所示，设点B 的方程为sin()y A x k ωϕ=++，依题意得822A k A k +=⎧⎨-+=⎩,解得：40,42,A k ==又因为212T πω==，所以6π=ω，此时40sin 426y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又当0x =时，2y =，所以40sin 422,sin 1,2πϕϕϕ+==-=-，所以40sin 4240cos 42626y x x πππ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，所以当10x =时，40cos 1042226y π⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，所以P 距离地面的高度22220h =-=故答案为：20.16.已知关于0a >，b ∈R ，若0x >时，关于x 的不等式()()2140ax x bx -+-≥恒成立，则3b a+的最小值为______.【答案】42【分析】根据不等式分类讨论分析可知，1a为24y x bx =+-的零点，可得方程，运算整理结合基本不等式求值.【详解】0x >时，关于x 的不等式()()2140ax x bx -+-≥恒成立，0a >，由110ax x a ->Þ>，则240+-≥x bx ；由1100ax x a-<Þ<<，则240+-≤x bx ，即1a 为24y x bx =+-的零点，∴2140b y a a⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，14b a a =-.∴32442b a a a +=+≥，当且仅当2242a a a =Þ=时，等号成立.故答案为：42.四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，角α的终边OA 与单位圆的交点坐标为()1,02A m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ弧度．．后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y f θ=（1）求函数()y fθ=的解析式，并求2f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）若()34f θ=，()0,θπ∈，求tan 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值【答案】（1）()7πsin 6f θθ⎛⎫=+⎪⎝⎭,32（2）13【分析】（1）根据特殊值对应的特殊角及三角函数的定义，结合函数值的定义即可求解；（2）根据（1）中结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系及商数关系即可求解.【小问1详解】因为点A 在单位圆上，所以由三角函数的定义可得1sin 2α=-，又因为0m <，所以7π6α=，所以()7πsin 6f θθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，ππ7π2π3sin sin 22632f ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】由()34f θ=可得7ππ3sin sin 664θθ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即π3sin 64θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，由于()0,θπ∈得ππ7π,666θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又πsin 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以πcos 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，由平方关系得π13cos 64θ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，所以πsin π396tan π613cos 6θθθ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭.18.在①22{|1}1x A x x -=<+，②{||1|2}A x x =-<，③23{|log }1x A x y x -==+这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.设全集U =R ，______，22{|0}.B x x x a a =++-<（1）若2a =，求()()U U C A C B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1{}1|x x x ≤-≥或（2）(][),34,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据除法不等式，绝对值不等式，对数函数的定义域即可分别求出三种情形下的集合A ；（2）对集合B 中不等式进行因式分解，再根据充分必要条件和集合包含关系即可求解.【小问1详解】若选①：222213{|1}{|0}{|0}{|13}1111x x x x A x x x x x x x x x --+-=<=-<=<=-<<++++，()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.若选②：{|12}{|212}{|13}A x x x x x x =-<=-<-<=-<<()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.若选③：()(){}233{|log }03111x x A x y x x x x x x ⎧⎫--====-+=⎨⎬++⎩⎭{|13}x x -<<，()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.【小问2详解】由（1）知{|13}A x x =-<<，()22{|0}{|()10}B x x x a a x x a x a ⎡⎤=++-<=++-<⎣⎦，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，（i）若(1)a a -<--，即12a >，此时{|(1)}B x a x a =-<<--，所以1,3(1)aa -≥-⎧⎨≤--⎩等号不同时取得，解得4a ≥.故4a ≥.（ii）若(1)a a -=--，则B =∅，不合题意舍去；（iii）若(1)a a ->--，即12a <，此时{|(1)}B x a x a =--<<-，1(1),3a a -≥--⎧⎨≤-⎩等号不同时取得，解得3a ≤-.综上所述，a 的取值范围是(][),34,-∞-⋃+∞.19.2020年初，一场突如其来的“新冠肺炎”袭击了我国，给人民的身体健康造成了很大的威胁，也造成了医用物资的严重短缺，为此，某公司决定大量生产医用防护服.已知该公司生产防护服的固定成本为30万元，每生产一件防护服需另投入40元.设该公司一个月内生产该产品x 万件，且能全部售完.若每万件防护服的销售收入为()h x 万元，且()()12020,03,20056030,32x x h x x x x x -<≤⎧⎪=-⎨+>⎪-⎩（1）求月利润P （万元）关于月产量x （万件）的函数关系式（利润=销售收入一成本）；（2）当月产量x 为多少万件时，该公司可获得最大利润，并求该公司月利润的最大值.【答案】（1）2208030,0316010170,32x x x P x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--++>⎪-⎩（2）当月产量6万件时，该公司可获得最大利润，月利润最大值为70万元，【分析】（1）由题意列式求解，（2）由二次函数性质与基本不等式求解，【小问1详解】由题意得()4030P xh x x =--，()12020,03,20056030,3(2)x x h x x x x x -<⎧⎪=-⎨+>⎪-⎩，当03x <≤时，2208030P x x =-+-，当3x >时，2005601603040301017022x P x x x x x --=--+=-++--故2208030,0316010170,32x x x P x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--++>⎪-⎩【小问2详解】当03x <≤时，P 在2x =时最大，最大值801603050P =-+-=，当3x >时，由基本不等式得160[10(2)]802x x --+≤---，当且仅当16010(2)2x x -=-即6x =时等号成立，故P 在6x =时最大，最大值60401707050P =--+=>，综上，当月产量6万件时，该公司可获得最大利润，月利润最大值为70万元，20.已知函数()()log 1xa f x a bx =+-（a ＞0且1,R ab ≠∈）是偶函数，函数()xg x a =（a ＞0且1a ≠）．（1）求实数b 的值；（2）当a ＝2时，若12(1,),R x x ∞∀∈+∃∈，使得()()()112220g x mg x f x +->恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）12b =；（2）32m ≥-.【分析】（1）利用偶函数的性质，可得()()log 1log 1xx a a abx a bx -++=+-，整理即可求b 的值.（2）令42x x y m +⋅=且(1,)x ∈+∞，2log (41)xt x =+-且x ∈R ，问题转化为min y t >恒成立，根据对数复合函数的单调性判断t 的单调性并求出最小值，再应用换元法及二次函数的性质求不等式恒成立时m 的范围.【小问1详解】由题设，()()f x f x -=，即()()log 1log 1x x a a a bx a bx -++=+-，所以log (1)(1)log (1)xxa a ab x a bx ++-=+-，则1b b -=-，可得12b =.【小问2详解】由（1）及a ＝2知：2()log (21)2xxf x =+-，()2x g x =，所以12122log ()2144xxxx m +⋅->+在12(1,),R x x ∞∀∈+∃∈上恒成立，令42x x y m +⋅=且(1,)x ∈+∞，2log (41)xt x =+-且x ∈R ，只需min y t >恒成立，而21log (2)2xx t =+，由20x m =>在x ∈R 上递增，1n m m=+在(0,1)m ∈上递减，(1,)m ∈+∞上递增，2log t n =在定义域上递增，所以t 在(,0)-∞上递减，(0,)+∞上递增，故min 0|1x t t ===，综上，4210x x m +⋅->在(1,)x ∈+∞上恒成立，令2(2,)x k =∈+∞，则210k mk ->+在(2,)+∞上恒成立，而240m ∆=+>，故2{2230mm -≤+≥，可得32m ≥-.【点睛】关键点点睛：第二问，设42x x y m +⋅=且(1,)x ∈+∞，2log (41)x t x =+-且x ∈R ，将问题转化为miny t >恒成立，求参数范围.21.已知函数()()()0,0f x x ωϕωϕ=+><<sin π的最小正周期为π，且直线π2x =-是其图像的一条对称轴.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图像向右平移π4个单位，再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数记作()y g x =，已知常数R λ∈，*n ∈N ，且函数()()212sin F x x g x λ=-+在()0,πn 内恰有2021个零点，求常数λ与n 的值.【答案】（1）()cos2f x x =（2）1λ=-，1347n =.【分析】(1)由最小正周期得2ω=,由π2x =-是其图像的一条对称轴得π2ϕ=,进而得答案；（2）根据题意得()sin g x x =，进而整理得()22sin sin 1F x x x λ=-++，令[]sin 1,1t x =∈-，得2210t t λ--=，根据判别式得关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根且异号，再分当101t <<且201t <<时,当11t =得212t =-，当11t =-时，则212t =，此时1λ=-,当有一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0且小于1，四种情况讨论求解.【小问1详解】由三角函数的周期公式可得2π2πω==，()()sin 2f x x ϕ∴=+，令()π2πZ 2x k k ϕ+=+∈，得()ππZ 422k x k ϕ=-+∈，由于直线π2x =-为函数()y f x =的一条对称轴，所以()πππZ 2422k k ϕ-=-+∈，得()3ππZ 2k k ϕ=+∈，由于0πϕ<<，1k ∴=-，则π2ϕ=，因此，()πsin 2cos22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.【小问2详解】将函数()y f x =的图像向右平移π4个单位，得到函数ππcos 2cos 2sin242y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数为()sin g x x =.()()()22sin sin 1F x f x g x x x λλ=+=-++ .令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ--=，令[]sin 1,1t x =∈-，得2210t t λ--=，280λ∆=+>，则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根1t ､2t ，则1212t t =-，1t ，2t 异号.①当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()*0,πN n n ∈均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()*0,πNn n ∈也有偶数个根，不合题意;②当11t =，则212t =-，此时1λ=，当()0,2πx ∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346π,1347π上只有一个根，在区间()1347π,1348π上无实解，方程2sin x t =在区间()1346π,1347π上无实数解，在区间()1347π,1348π上有两个根，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2020个根，在区间()0,1348π上有2022个根，不合题意;③当11t =-时，则212t =，此时1λ=-，当()0,2πx ∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346π,1347π上无实数根，在区间()1347π,1348π上只有一个实数根，方程2sin x t =在区间()1346π,1347π上有两个实数解，在区间()1347π,1348π上无实数解，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2021个根，满足题意.④若有一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0且小于1，有偶数个根，不合题意;综上所述：1λ=-，1347n =.22.若函数()f x 在定义域内存在实数x 满足()()f x kf x -=-，Z k ∈，则称函数()f x 为定义域上的“k 阶局部奇函数”.（1）若函数()tan 2sin f x x x =-，判断()f x 是否为()0,π上的“二阶局部奇函数”并说明理由；（2）若函数()()lg f x m x =-是[]22-,上的“一阶局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（3）已知函数()f x 的定义域为D ，若恰好存在n 个不同的实数1x ，2x ，…，n x D ∈，使得()()i i f x kf x -=-（其中1,2,,,*i n n N =∈ ），则称函数()f x 为“n 级k 阶局部奇函数”，若函数()()24224xxmf x m =-+⋅+是定义在R 上的“4级1阶局部奇函数”，求实数m 的取值范围【答案】（1）是，理由见解析.（2）（3）(2+【分析】(1)当(0,π)x ∈时，解方程()2()0f x f x -+=，即可得出结论；(2)由()()0f x f x -+=可得出221m x =+在[]2,2x ∈-上有解，再结合对数的整数恒为正数可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围；(3)由()()f x f x -=-将问题等价转化为方程244(2)(22)02xxxxmm --+-+++=恰好有4个解，令22x x t -=+，进而转化为方程22(2)202m t m t -++-=在(2,)+∞上有两个不等式的实根，利用二次函数的性质即可求解.【小问1详解】由题意可得：()2()0f x f x -+=，即tan()2sin()2tan 4sin x x x x ---=-+，也即tan 2sin x x =，因为(0,π)x ∈，所以sin 0x ≠且sin tan cos x x x=，可得：1cos 2x =，因为(0,π)x ∈，所以π3x =.所以()f x 是()0,π上的“二阶局部奇函数”.【小问2详解】由()()0f x f x -+=可得22lg()lg()lg()0m x m x m x ++-=-=，所以221m x -=，可得221m x =+在[]2,2x ∈-上有解，当[]2,2x ∈-时，2115x ≤+≤，即215m ≤≤，对[2,2]x ∀∈-，由0m x +>可得：max ()2m x >-=；对[2,2]x ∀∈-，由0m x ->可得：max 2m x >=；所以2152m m⎧≤≤⎨<⎩，解得：2m <≤，综上所述，实数m 的取值范围为.【小问3详解】由()()f x f x -=-可得：244(2)(22)02xxxxmm --+-+++=，由题意可知：关于x 的方程244(2)(22)02xxxxmm --+-+++=恰好有4个解，令22(2)x x t t -=+≥，因为当2t =时，0x =，所以方程22(2)202m t m t -++-=在(2,)+∞上有两个不等式的实根，令22()(2)22m g t t m t =-++-，则有()()()222Δ242022222422202m m m m g m ⎧⎛⎫=+-->⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪+⎪>⎨⎪⎪=-+⨯+->⎪⎪⎩，解得：26m +<<，所以实数m的取值范围为(2+.。

江苏省扬州中学2022-2023学年度第一学期期初试卷高三数学2022.08试卷满分：150分，考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{2|450,|A x x x B x y =--≤==，则A B = （）A ．{|15}x x <≤B ．{|15}x x -<≤C ．{}|15x x ≤≤D ．{}|15x x -≤≤2．若“2,[1]x ∃∈，使2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（）A ．(,-∞B ．92⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(,3]-∞D ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．若1sin 72πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3sin 214πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.35 B.12-C.12D.134．设0.40.5a =，0.5log 0.4b =，ln 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c <<B.c b a <<C.c a b<< D.b c a<<5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数且满足()1f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，()x f x a b =+（0a >且1a ≠）.若()()1412f f -+=，则20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.8- B.8C.4D.4-6．如图所示，在∆ABC 中，点M 是AB 的中点，且1,2AN NC BN =与CM 相交于点E ，若AE AB AC λμ=+，则,λμ满足（）A ．45λμ+=B ．2λμ=C ．25λμ-=D ．12λμ=7．如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若22345AB BF AF =∶∶∶∶，则双曲线的离心率为（）A.2B.C.D.8．已知函数()()()(0)0e x ln x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，，，若关于x 的方程()()2210f x a f x -+=有四个不相等实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．(]0e ，B ．2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D ．2e e⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭，二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设a ，b ，c 为实数且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A.11a b> B.20201a b ->C.ln ln a b> D.()()2211a c b c +>+10.关于平面向量a b c ，，，下列说去不正确的是（）A ．若··a c b c = ，则a b =B ．·(··)a b c a c b c =++C ．若22a b = ，则··a c b c= D ．()()····a b c b c a= 11.已知向量sin cos 0()()a x x ωωω= ，＞，22πsin ,cos 242ωω⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ x x b ，函数()f x a b =⋅，则（）A.若f (x )的最小正周期为π，则f (x ),B.若f (x )的图象关于直线π2x =对称，则ω可能为12C.若f (x )在2π,56π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D.若f (x )的图象向左平移π3个单位长度后得到一个偶函数的图象，则ω的最小值为3212．()f x 是定义在R 上的函数，若()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，函数()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，则（）A.当()1,2x ∈时，()2264g x x x -+-=B ．当()2,3x ∈时,()242020x g x x =-+-C ．()2124212k g k N k g *+⎛⎫ ⎪⎝⎭=∈-⎛⎫⎪⎝⎭D ．1212124nk nk g =--⎛⎫=⎪⎝⎭∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.1tan 751tan 75-︒=+︒___________．14.已知函数()102,0x f x x x -<<=≥⎪⎩若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝___________.15.已知椭圆()222210,0x y a b ab +=>>的左、右焦点分别为()1,0Fc -，()2,0F c ，若椭圆上存在点P （异于长轴的端点），使得1221sin sin c PF F a PF F ∠=∠，则该椭圆离心率e 的取值范围是_________．16.若关于x 的不等式()()ee ln mxmx m x x mx x x +≤+-恒成立，则实数m 的最小值为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{|(2)(31)0}A x x x a =---<，函数()22lg 1a xy x a -=-+的定义域为B ．（1）若2a =，求集合B ；（2）若A B =，求实数a 的值．18.已知ABO 中，延长BA 到C ，使,AC BA D =是将OB分成2:1的一个分点，DC 和OA 交于E ，设,OA a OB b==（1）用,a b表示向量,OC DC ．（2）若OE OA λ=，求实数λ的值．19.已知1()sin ()cos sin (2).323f x x x x ππ=+++(1)求()f x 的值域；(2)若11226212a f x f x ππ⎛⎫⎛⎫⋅--+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意的,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．20.设a 是实数，2()(R)21x f x a x =-∈+.(1)若函数()f x 为奇函数，求a 的值；(2)试证明：对于任意a ，()f x 在R 上为单调函数；(3)若函数()f x 为奇函数，且不等式()()33990x x xf k f ⋅+--<对任意R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围.21．已知双曲线C ：()222210,0x y a b ab -=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，且2FA =+，F 到C 的渐近线的距离为1，过点()4,0B 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴分别交于M ，N 两点.(1)求双曲线C 的标准方程.(2)若直线MB ，NB 的斜率分别为1k ，2k ，判断12k k 是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22.已知函数()323e 2x f x x ax ax =--．(1)当e3a =时，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 有三个极值点，求a 的取值范围.参考答案：一、单选题1．C 2．C 3．C 4．C 5．B 6．B 7．C8．D【详解】当0x ≥时，()e xxf x =，()1e x x f x -'=，令()0f x '>，解得01x ≤<；令()0f x '<，解得1x >；所以()e xxf x =在[)0,1递增，在()1,+∞递减，()()max 11ef x f ==，且当0x ≥时，()0e xxf x =>，作出函数()()()(0)0exln x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，，的图象如下：关于x 的方程()()2210fx a f x -+=有四个不相等实数根，令()t f x =，则()2210g t t at =-+=有两个不等的实根12,t t ，且1211,0e e t t ><<，又()010g =>，所以2111210e e e g a ⎛⎫⎛⎫=-⨯+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2e e a >+，所以关于x 的方程()()2210f x a f x -+=有四个不相等实数根时2e ea >+，二、多选题9.BD10.ACD11.ABC 12.AD三、填空题13.14..815..)1,1-16.e e 1-【详解】∵0x >，∴不等式两边同时除以mx ，得：()e e ln mxxm x m x x x+≤+-∴()1lne e ln mmx x x x m x x ++≤+-∴()ln e eln x mx m xx m x x -+≤+-∴()()ln e eln m x x xx m x x -+≤+-①令()e xf x x =+，可知()f x 单调递增.①式等价于()()()ln f x f m x x ≤-恒成立∴()ln x m x x ≤-恒成立.构造()()ln 0x x x x ϕ=->，则()1x x xϕ-'=，故当()0,1x ∈时()0x ϕ'<，当()1,x ∈+∞时()0x ϕ'>，所以()()ln 0x x x x ϕ=->在1x =时取得最小值.即()()ln 010x x x ϕϕ=-≥=>，∴ln 0x x ->∴ln x m x x≥-恒成立令()()0ln xg x x x x =>-∴()g x '()()221ln 11ln ln ln x x x x x x x x x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭==--∴当()0e x ∈，时，()0g x '>，∴()g x 单调递增；当()e x +∞，ò时，()0g x '<∴()g x 单调递减；∴()g x 的最大值为()e e e 1g =-∴ee 1m ≥-，故实数m 的最小值为ee 1-.四、解答题17.（1）{|45}B x x =<<；（2）1a =-．18.（1）2a b - ；523a b - ；（2）45λ=.19.(1)[]1,1-(2)1a ≥+20.(1)1；(2)证明见解析；(3)(),5-∞．（1）由函数()f x 为R 上的奇函数，∴对任意的R x ∈，都有()()f x f x -=-，即222121x x a a -⎛⎫-=--⎪++⎝⎭，∴22222121xxa -=+=++，∴1a =；（2）因为()2121xf x =-+，R x ∈，任取1x 、2R x ∈，且12x x <，则()()()()()12121212222221121212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，12x x < ，1222x x ∴<，12120,10,102222x x x x -<+>+>，()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，∴函数()f x 在R 上单调递增；（3）不等式()()33990xx x f k f ⋅+--<对任意R x ∈恒成立，即()()3399xx x f k f ⋅<---在R 上恒成立，()f x 为R 上的奇函数，()()()3399399x x x x x f k f f ∴⋅<---=-++在R 上恒成立，又()f x 在R 上单调递增，3399x x x k ∴⋅<-++在R 上恒成立，即9133xx k -++<在R 上恒成立，设()91316153xx g x =-++≥-+=-=，当且仅当933xx =，即1x =时取等号，所以5k <，即实数k 的取值范围是(),5-∞．21.(1)2214x y -=(2)是定值，148-(1)由题意得2FA a c =+=+，(c,0)F ，渐近线方程为b y x a=±，则(c,0)F1bcb c===，又因为222c a b =+，所以2a =，1b =，c =故双曲线C 的标准方程为2214x y -=.(2)设直线l ：4x my =+，22m -<<，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立方程组224,1,4x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2248120m y my -++=，所以12284my y m +=--，122124y y m =-.因为直线AP 的方程为()1122y y x x =++，所以M 的坐标为1120,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭，同理可得N 的坐标为2220,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.因为()1111122422y x y k x +==--+，()2222222422y x y k x +==--+，所以()()()()()121212122121212124224664636y y y y y y k k x x my my m y y m y y ===++++⎡⎤+++⎣⎦222222221231412483614448124843644m m m m m m m m -===--+-⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭，即12k k 为定值148-.22.(1)单调递增区间为()1,-+∞，单调递减区间为(),1-∞-；(2)e ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（1）解：当e 3a =时，()32e e e 32xf x x x x =--，则()()()1e e x f x x x '=+-．令()e e xg x x =-，则()e e xg x '=-．当(),1x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增．所以()()10g x g ≥=，即e e 0x x -≥．当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<；当()1,x ∈-+∞时，()0f x '≥．故()f x 的单调递增区间为()1,-+∞，单调递减区间为(),1-∞-．（2）解：()()()()21e 331e 3x x f x x ax ax x ax '=+--=+-．若()f x 有3个极值点，则()0f x '=恰有3个互不相等的实根，分别记为1x ，2x ，3x ．因为()10f '-=，所以11x =-为()0f x '=的一个根．所以方程e 30x ax -=有2个异于-1的实根．令()e 3x h x ax =-，则()e 3x h x a '=-．①当0a ≤时，()0h x '>，()h x 在R 上单调递增，所以()e 30xh x ax =-=至多有1个根，不符合题意．②当0a >时，令()0h x '=，即e 30x a -=，解得ln 3x a =．当(),ln 3x a ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()ln 3,x a ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．()010h =>，()()()ln3min ln 3e 3ln 331ln 3a h x h a a a a a ==-=-．当3e a ≤，即e03a <≤时，()ln 30h a ≥，()h x 至多有1个零点，不符合题意．当3ea >时，ln 31a >，()ln 30h a <，()1e 30h a =-<，因为()()()()22233e 3330a h a a a a =->-=，且3ln 3a a >，所以存在()20,1x ∈，()3ln 3,3x a a ∈，使得()20h x =，()30h x =，所以当3ea >时，若()1,x x ∈-∞，则()0f x '<，()12,x x x ∈，则()0f x '>，()23,x x x ∈，则()0f x '<，()3,x x ∈+∞，则()0f x '>，所以()f x 有3个极值点1x ，2x ，3x ．所以a 的取值范围为e,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．。

江苏省仪征中学、江苏省江都中学2022-2023学年度第一学期高三阶段联合测试数学试卷命题单位：江苏省江都中学命题人：审核人：注意事项：1.试卷满分150分，考试时间为120分钟.2.所有试题必须作答在答题卡上相应的位置，否则答题无效.3.答题前，请将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答题卡的相应位置.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.已知集合24{|}A x x =≤，{|3}B x =<则A B ⋃=（）A.{|9}x x <B.{|29}x x -≤<C.{|29}x x -≤≤ D.{|02}x x ≤≤2.复数z 满足()12i 3i z -=-，则z 在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若向量(1,1)a =- ，向量(4,3)b = ，则向量a 在向量b上的投影向量为（）A.34,2525⎛⎫⎪⎝⎭ B.43(,)2525-C.43(,)2525-- D.43(,)55--4.已知0,0a b >>且1a b +=，则2a ab+的最小值是（）A.9B.10C.5D.5+5.已知πsin 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 1tan αα-的值为（）A .34-B.34C.32-D.326.已知圆C 的圆心在直线6y x =-上，且与直线l ：10x y --=相切于点()3,2P ，则圆C 被直线3470x y -+=截得的弦长为（）A.2B.4C.6D.87.ABC 中6,2,BC AB AC ==点D 在边BC 上且2CD BD =，则tan ADC ∠的最大值为（）A.43B.34C.255D.558.若16a =，17e 1b =-，13ln 11c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a c b >>B.a b c >>C.c a b>> D.b a c>>二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.下列说法中正确的是（）A.一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17B.若随机变量()23,N ξσ~，且()60.84P ξ<=，则()360.34P ξ<<=．C.袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球．记事件{A =第一次抽到的是红球}，事件{B =第二次抽到的是白球}，则2(|)5P B A =D.已知变量x 、y 线性相关，由样本数据算得线性回归方程是ˆˆ0.4yx a =+，且由样本数据算得4x =， 3.7y=，则ˆ 2.1a =10.已知函数π()cos()0,0,||2f x A x A ωωϕ⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数()g x 的图像，则（）A.π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.π()2cos 2112g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C.()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()g x 在(0,)3π上单调递减11.设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若()()32g x f x --=，()()1f x g x ''=-，且()2g x +为奇函数，()11g =，则（）A.()()13g g -=B.()()244f f +=-C.()20221g = D.()202214043k f k ==-∑12.已知点P 为抛物线2:2(0)C x py p =>上的动点，F 为抛物线C 的焦点，若PF 的最小值为1，点()0,1A -，则下列结论正确的是（）A.抛物线C 的方程为24x y=B.PF PA的最小值为12C.点Q 在抛物线C 上，且满足2PF FQ =，则92PQ =D.过()2,1P -作两条直线12,l l 分别交抛物线（异于点P ）于两点,M N ，若点F 到12,l l 距离均为12，则直线MN 的方程为1515110x y --=三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.二项式62x-的展开式的常数项为________．14.为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．15.已知12,F F 是双曲线2222:1,(0,0)x y a b C a b -=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点，且113F N F M =，22F M F N =，则双曲线C 的离心率为___________16.已知菱形ABCD 的各边长为4,60D ∠= ，如图所示，将ACD 沿AC 折起，使得点D 到达点S 的位置，连接SB ，得到三棱锥S ABC -，若6SB =则三棱锥S ABC -的体积为___________，E 是线段SA 的中点，点F 在三棱锥S ABC -的外接球上运动，且始终保持EF AC ⊥，则点F 的轨迹的周长为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112a =，*112,n n S a n N +=-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n b a =，且2141n n c b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18.团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传.极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信.为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量.最近.某研究性学习小组就是否观看过电影《夺冠（中国女排）》对影迷们随机进行了一次抽样调查.其列联表如表（单位：人）.2.5%的前提下，认为是否观看过电影《夺冠（中国女排））与年龄层次有关？（2）（i ）现从样本的中年人中按分层抽样方法取出5人.再从这5人中随机抽取3人.求其中至少有2人观看过电影（夺冠（中国女排》）的概率；（ii ）将频率视为概率.若从众多影迷中随机抽取10人.记其中观看过电影《夺冠（中国女排））的人数为ξ.求随机变量ξ的数学期望及方差.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.其中.n a b c d =+++参考数据：()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63519.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，()()222221tan b b c aA =+--.（1）求角C ；（2）若c =D 为BC 中点，25cos 5B =，求AD 的长度.20.如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE ∠=∠=︒，二面角F DC B --的平面角为60︒．设M ，N 分别为,AE BC 的中点．（1）证明：FN AD ⊥；（2）求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．21.已知椭圆2222:1,(0)x y M a b a b+=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆M 的方程；（2）O 为坐标原点，,,A B C 是椭圆M 上不同的三点，并且O 为ABC 的重心，试探究ABC 的面积是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，说明理由.22.设()e 21x f x a x =--，其中a ∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）令5()e ()(0)4xF x f x a a=+≠，若()0F x ≤在R 上恒成立，求a 的最小值．。

江苏省扬州中学2022-2023学年高二（上）第一次月考-数学试卷满分：150分；考试时间：120分钟第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）1．经过两点(4,21)A y +，(2,3)B -的直线的倾斜角为3π4，则y =（）A ．1-B ．3-C ．0D ．22．已知,a b 是单位向量，且()2b a b ⊥+ ，则a 与b 的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π33．下列说法中错误的是（）A ．平面上任意一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）表示B ．当0C =时，方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）表示的直线过原点C ．当0A =，0B ≠，0C ≠时，方程0Ax By C ++=表示的直线与x 轴平行D ．任何一条直线的一般式方程都能与其他两种形式互化4．若某平面截球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离是4，则此球的体积为（）A ．1003πB ．2083πC ．5003πD ．4163π5．过点()2,3M 作圆224x y +=的两条切线，设切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为（）A ．220x y +-=B ．2340x y +-=C ．2340x y --=D ．3260x y +-=6．将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（）A ．712πB ．4πC ．12πD ．6π7．已知圆()()()22:140C x y m m ++-=>和两点()2,0A -，()10B ,，若圆C 上存在点P ，使得2PA PB =，则m 的取值范围是（）A ．[8，64]B ．[9，64]C ．[8，49]D ．[9，49]8．已知函数，若方程()()()0f g x g x m +-=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知复数z 满足(i 1)2z -=，给出下列四个命题其中正确的是（）A ．z 的虚部为1-B ．||2z =C ．1iz =+D ．22iz =10．已知直线l 过点()11P -，，且与直线1l ：230x y -+＝及x 轴围成一个底边在x 轴上的等腰三角形，则下列说法正确的是（）A ．直线l 与直线1l 的倾斜角互补B ．直线l 在x 轴上的截距为12C ．直线l 在y 轴上的截距为－1D ．这样的直线l 有两条11．已知圆O ：224x y +=和圆C ：()()22231x y -+-=.现给出如下结论，其中正确的是()A ．圆O 与圆C 有四条公切线B ．过C 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为5x y +=或10x y -+=C ．过C 且与圆O 相切的直线方程为916300x y -+=D ．P ､Q 分别为圆O 和圆C 上的动点，则PQ 的最大值为133+，最小值为133-12．在正方体ABCD —1111D C B A 中，12AA =，点P 在线段1BC 上运动，点Q 在线段1AA 上运动，则下列说法中正确的有()A ．当P 为1BC 中点时，三棱锥P -1ABB 的外接球半径为2B ．线段PQ 长度的最小值为2C ．三棱锥1D -APC 的体积为定值D ．平面BPQ 截该正方体所得截而可能为三角形、四边形、五边形第II 卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．若直线4y x b =+与坐标轴围成的面积为9，则b =__________．14．已知函数()22,02,0x x f x x x -<⎧=⎨-≥⎩，则不等式()()2134f a f a +>-的解集为___________.15．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，ABC 的三条边长分别为BC a =，AC b =，AB c =.延长线段CA 至点1A ，使得1AA a =，以此类推得到点2121,,,A B B C 和2C ，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知4,3,5a b c ===，则由ABC 生成的康威圆的半径为___________.16．已知直线l ：40x y -+=与x 轴相交于点A ，过直线l 上的动点P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为C ，D 两点，记M 是CD 的中点，则AM 的最小值为__________．四、解答题（本大题共6小题，计70分.）17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，直线l 过点()1,2A .(1)若直线l 的倾斜角为4π，求直线l 的方程；(2)直线:2m y x b =+，若直线m 与直线l 关于直线1x =对称，求b 的值与直线l 的一般式方程.18．(本小题满分12分)已知圆221:230C x y x +--=与圆222:4230C x y x y +-++=相交于A 、B 两点.(1)求公共弦AB 所在直线方程；(2)求过两圆交点A 、B ，且过原点的圆的方程.19．(本小题满分12分)已知圆C 与直线30x -=相切于点(P ，且与直线50x ++=也相切.(1)求圆C 的方程；(2)若直线:30l mx y ++=与圆C 交于A ，B 两点，且0CA CB ⋅<，求实数m 的范围.20．(本小题满分12分)在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且sin(2)sin sin A B B A +=-.(1)求C 的大小；(2)若CD 平分ACB ∠交AB 于D 且CD =，求ABC 面积的最小值.21．(本小题满分12分)为了选择奥赛培训对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：(1)利用组中值估计本次考试成绩的平均数；(2)从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；(3)已知学生成绩评定等级有优秀､良好､一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率.22．(本小题满分12分)已知圆22:16O x y +=，点P 是圆O 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ．(1)已知直线l ：(2)(21)690m x m y m +++--=与圆22:16O x y +=相切，求直线l 的方程；(2)若点M 满足2QP QM =，求点M 的轨迹方程；(3)若过点(2,1)N 且斜率分别为12,k k 的两条直线与（2）中M 的轨迹分别交于点A 、B ，C 、D ，并满足NA NB NC ND ⋅=⋅，求12k k +的值.江苏省扬州中学2022-2023学年高二（上）第一次月考-数学参考答案1．B2．D3．D4．C5．B6．C7．D8．C 【详解】令(),0t g x t =≥，当1m =时，方程为()10f t t +-=，即()1f t t =-，作出函数()y f t =及1y t =-的图象，由图象可知方程的根为0=t 或1t =，即()20x x -=或()21x x -=，作出函数()()2g x x x =-的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD 错误；当0m =时，方程为()0f t t +=，即()f t t =-，由图象可知方程的根01t <<，即()()20,1x x t -=∈，结合函数()()2g x x x =-的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，故A 错误.9．AD 10．AC11．AD12．ABC【详解】对于A ，当P 为1BC 中点时，∵11BCC B 是正方形，∴11B P BC ⊥，∵AB ⊥平面11BCC B ，1B P ⊂平面11BCC B ，∴AB ⊥1B P ，∵AB ∩1BC =B ，AB 、1BC ⊂平面ABP ，∴1B P ⊥平面ABP ，∵1B P ⊂平面AP 1B ，∴平面AP 1B ⊥平面ABP ，易知Rt △ABP 外接圆圆心为AP 中点，Rt △AP 1B 外接圆圆心为1AB 中点，则过Rt △ABP 外接圆圆心作平面ABP 的垂线，过Rt △AP 1B 外接圆圆心作平面AP 1B 的垂线，易知两垂线交点为1AB 中点，则三棱锥P -1ABB 的外接球球心即为1AB 中点，外接球半径即为122AB =，故A 正确；对于B ，如图过P 作PG ⊥BC 于G ，过Q 作QE ⊥PG 于E ，易知PQ ≥QE =AG ≥AB ，故线段PQ 长度的最小值为AB =2，故B 正确；对于C ，∵1BC ∥1AD ，1AD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ，∴1BC ∥平面1ACD ，∵P ∈1BC ，故P 到平面1ACD 的距离为定值，又1ACD S 为定值，则11D APC P ACD V V --=为定值，故C 正确；对于D ，易知，截面BPQ 与平面11BCC B 的交线始终为1BC ，连接1AD ，易知1BC ∥1AD ，过Q 作QF ∥1AD 交11A D 于F ，连接1FC 、QB ，则1BQFC 即为截面，其最多为四边形：当Q 与1A 重合，P 与1C 重合，此时截面BPQ 为三角形：平面BPQ 截该正方体所得截面不可能为五边形，故D 错误﹒故选：ABC ﹒13．62±14．()5,+∞1537【详解】设M 是圆心，因为122121AC A B B C ==，因此M 到直线,,AB BC CA 的距离相等，从而M 是直角ABC 的内心，作MN AC ⊥于N ，连接2MC ，则34512MN CN +-===，2156NC =+=，所以2221637MC =+=37．16．22【详解】由题意设点(),4P t t +，()11,C x y ，()22,D x y ，因为PD ，PC 是圆的切线，所以OD PD ⊥，OC PC ⊥，所以,C D 在以OP 为直径的圆上，其圆的方程为:()222244()()224t t t t x y +++-+-=，又,C D 在圆224x y +=上，将两个圆的方程作差得直线CD 的方程为：()440tx t y ++=－，即()()410t x y y ++=－，所以直线CD 恒过定点()1,1Q －，又因为OM CD ⊥，M ，Q ，C ，D 四点共线，所以OM MQ ⊥，即M 在以OQ 为直径的圆22111()()222x y ++-=上，其圆心为11',22O ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为22r =，如图所示:所以'22min AM AO r ===－所以AM 的最小值为17．(1)10x y -+=(2)0b =，直线l 的方程为240x y +-=（1）因为直线l 的倾斜角为4π，所以直线l 的斜率为tan 14π=，因为直线l 过点()1,2A ，所以直线l 的方程为21y x -=-，即10x y -+=（2）因为()1,2A 在对称轴1x =上，所以点()1,2A 也在直线:2m y x b =+上，所以22b =+，得0b =所以直线m 为2y x =，过原点(0,0)O ，则(0,0)O 关于直线1x =的对称点为(2,0)B ，所以点(2,0)B 在直线l 上，所以直线l 的斜率为20212-=--，所以直线l 的方程为22(1)y x -=--，即240x y +-=18．(1)30x y --=(2)2230x y x y +-+=（1）22230x y x +--=，①224230x y x y +-++=，②①-②得2260x y --=即公共弦AB 所在直线方程为30x y --=.（2）设圆的方程为()2222234230x y x x y x y λ+--++-++=即22(1)(1)(24)2330x y x y λλλλλ+++-++-+=因为圆过原点，所以330λ-+=，1λ=好老师好成绩好口碑所以圆的方程为2230x y x y +-+=19．(1)()2214x y ++=(2)1m >或7m <-(1)解：设圆C 的方程为()222()x a y b r -+-=，由题意得(2221b a r a b r ⎧⎛⨯=-⎪ ⎝⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪+=⎪⎩，即(22222(1))54a r b b a a r ⎧⎪⎪+=⎨⎪+==⎩+⎪，解得1a =-，0b =，2r =，即圆C 的方程为()2214x y ++=.(2)解：由题意，得ACB ∠为钝角或平角，当A ，B ，C 共线时，3m =，此时ACB ∠为平角；当A ，B ，C 不共线时，3m ≠，ACB ∠为钝角，设圆心C 到直线l 的距离为d ，则0d <<，于是，有0<解之得m >1或m − <7，且m ≠3；综上，实数 m 的取值范围是m >1或m − <7.20．(1)π3C=；（1）依题意，sin(2)sin sin A B B A +=-，则()sin()sin sin A B A C A A ++=+-，故()sin(π)sin sin A C C A A +-=+-，则()sin()sin sin C A C A A -=+-，sin cos cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C A A -=+-，2cos sin sin C A A =，由于0,πA C <<，所以sin 0A >，所以1cos 2C =，则C 为锐角，且π3C =.（2）依题意CD 平分ACB ∠，在三角形ACD中，由正弦定理得πsin sin 6AD A =，在三角形BCDπsin 6BD =，所以sin sin AD A BD B ⋅=⋅，由正弦定理得AD b BD a=.在三角形ACD中，由余弦定理得222π3cos336AD b b b =+-⋅=-+，在三角形BCD中，由余弦定理得222π3cos 336BD a a a =+-⋅=-+，所以2222223333AD b b b BD a a a -+==-+，整理得()()0a b ab a b +--=，所以a b =或a b ab +=.当a b =时，三角形ABC 是等边三角形，CD AB ⊥，1AD BD ==，2AB AC BC ===，所以1π22sin 23ABC S =⨯⨯⨯= 当a b ab +=时，2,4ab a b ab =+≥≥≥，当且仅当2a b ==时等号成立，所以三角形11sin 422ABC S ab C =≥⨯ 综上所述，三角形ABC21．(1)66.8(2)73(3)57（1）由频率分布直方图可知平均数()450.01550.026650.02750.03850.008950.0061066.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.（2） 成绩在[)40,70的频率为()0.010.0260.02100.56++⨯=，成绩在[)40,80的频率为0.560.03100.86+⨯=，∴第65百分位数位于[)70,80，设其为x ，则()0.56700.030.65x +-⨯=，解得：73x =，∴第65百分位数为73.（3）第5组的人数为：500.008104⨯⨯=人，可记为,,,A B C D ；第6组的人数为：500.006103⨯⨯=人，可记为,,a b c ；则从中任取2人，有(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B C ，(),B D ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C D ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共21种情况；其中至少1人成绩优秀的情况有：(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共15种情况；∴至少1人成绩优秀的概率155217p ==.22．．(1)158680x y +-=或40x -=(2)221164x y +=(3)0(1)圆22:16O x y +=，圆心()0,0，半径为4，直线l ：(2)(21)690m x m y m +++--=与圆22:16O x y +=相切，故()()22694221m m m --=+++，解得122m =或12m =-，故直线l 的方程为158680x y +-=或40x -=.(2)设(,),(,)M x y P x y ''，则2x x y y=⎧⎨=''⎩，又点P 在圆O 上，2216x y ''+=，即()22216x y +=，化简得221164x y +=.(3)设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 所在直线方程为11(2)y k x -=-，联立得1221(2)1164y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()2221111148(12)4(12)160k x k k x k ++-+--=，则()()21111212221181241216,1414k k k x x x x k k ---+=-=++，NA NB ⋅=(1==()()()()21221121212141216124114k k x x x x k k --=+-++=+++()22228114k NC ND k +⋅=+，由NA NB NC ND ⋅=⋅可得()()2212221281811414k k k k ++=++，化简2212k k =，又12k k ≠，故12k k =-，即120k k +=.。