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常见递归数列通项公式的求解策略数列是中学数学中重要的知识之一，而递归数列又是近年来高考和全国联赛的重要题型之一。
数列的递归式分线性递归式和非线性递归式两种，本文仅就高中生的接受程度和能力谈谈几种递归数列通项公式的求解方法和策略。
一、周期数列如果数列满足：存在正整数M、T，使得对一切大于M的自然数n，都有成立，则数列为周期数列。
例1、已知数列满足a1 =2，an+1 =1－，求an 。
解:an+1 =1－an+2 =1－=－, 从而an+3 = 1－=1＋an－1=an ,即数列是以3为周期的周期数列。
又a1 =2，a2=1－=, a3 =－12 , n=3k＋1所以an= ,n=3k＋2 ( kN )－1 , n=3k＋3二、线性递归数列1、一阶线性递归数列：由两个连续项的关系式an= f (an-1 )（n,n）及一个初始项a1所确定的数列，且递推式中，各an都是一次的，叫一阶线性递归数列，即数列满足an＋1 =f (n) an＋g(n)，其中f (n)和g(n)可以是常数，也可以是关于n 的函数。
（一）当f (n) =p 时，g(n) =q（p、q为常数）时，数列是常系数一阶线性递归数列。
（1）当p =1时，是以q为公差的等差数列。
（2）当q=0，p0时，是以p为公比的等比数列。
（3）当p1且q0时，an＋1 =p an＋q可化为an＋1－=p(an－),此时｛an－｝是以p为公比，a1－为首项的等比数列，从而可求an。
例2、已知：=且，求数列的通项公式。
解：=－=即数列是以为公比，为首项的等比数列。
（二）当f(n)，g(n)至少有一个是关于n的非常数函数时，数列｛an｝是非常系数的一阶线性递归数列。
（1）当f(n) =1时，化成an＋1=an＋g(n),可用求和相消法求an。
例3、（2003年全国文科高考题）已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n--1＋an －1 (n2) , (1)求a2 ,a3 ; (2) 证明：an= .(1)解：a1 =1, a2=3＋1=4 , a3=32＋4=13 .(2)证明：an=3n--1＋an－1 (n2) ,an－an－1=3n—1 ,an－1－an－2=3n—2 ,an－2－an－3=3n—3……,a4－a3=33 ,a3－a2=32 ,a2－a1=31将以上等式两边分别相加，并整理得:an－a1=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31 ,即an=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31＋1= .（2）当g(n)=0时,化为a n＋1=f(n) an ，可用求积相消法求an 。
2013-04治学之法数列通项公式直接表述了数列的本质。
数列通项公式具备两大功能：（1）可以通过数列通项公式求出数列中任意一项；（2）可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题。
因此，求数列通项公式是高中数学中较为常见的题型之一，它既考查等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的理解深度，具有一定的技巧性，经常渗透在高考和数学竞赛中。
下面，本人结合自身的数学教学实践，就利用特征根法求某类数列通项的方法做些归纳延伸，以期能给大家一些启示。
一、常系数齐次线性递归数列一般地，我们称由初始值a 1，a 2，a 3，…a k 及递推关系a n+k =c 1a n+k -1+c 2a n+k -2+…+c k a n +f （n ）所确定的数列为k 阶常系数线性递归数列，其中c 1，c 2，…c k 为常数，且c k ≠0，当f （n ）时，称为常系数齐次线性递归数列（又称为k 阶循环数列）.我们把对应于常系数齐次线性递归数列a n+k =c 1a n+k -1+c 2a n+k -2+…+c k a n ①的方程x k =c 1x k -1+c 2x k -2+…+c k ②称为其特征方程，方程的根称为｛a n ｝的特征根.下面不加证明地引进两个定理：定理1若递推关系①对应的特征方程②有k 个不同的单根x 1，x 2…x k ，（包括虚根在内）那么a n =A 1x n 1+A 2x n 2+…A k x nk ，其中A 1，A 2，A k是待定系数，可由初始值确定.定理2若递推关系①对应的特征方程②有不同的特征根x 1，x 2…x s （s <k ），（包括虚根在内），其中x i （1≤i ≤s ）是②的t i 重根，那么t 1+t 2+…+t =R ，那么a n =A 1（n ）x n 1+A 2（n ）x n 2+A s （n ）x n s .其中A i （n）=B （i ）1+B （i ）2…+B （i ）t n ti -1，i =1，2…s ，这里B （i ）1，B （i ）2…B （i ）t （i =1，2…s ）的是待定系数，可由初始值确定.下面我们通过两个典型的例子来深入地理解线性递归数列.例：设数列｛a n ｝满足a 1=1，a 2=2，a n +2+a n +1+a n =0，n =1，2…求数列｛a n ｝的通项.解析：依题其特征方程为x 2+x +1=0，特征根为x 1=-12+3√2i ，x 2=-12-3√2i ，所以a n =A 1x n 1+A 2x n 2，由初始条件解得A 1=-9+3i √6，A 2=-9-3i √6因此a n =-9+3i √6，（-12+3√2i ）n +-9-3i √6（-12-3√2i ）n 评注：此类型问题解决的关键在于要熟记引入的定理1，注意特征根包括虚根，剩下的任务就是计算.例：设数列｛a n ｝满足a 1=a 2=1，a 3=2，3a n +3=4a n +2+a n +1-2a n ，n =1，2…求数列｛a n ｝的通项.解析：依题其特征方程为3x 3-4x 2-x +2=0，特征根为x 1=x 2=1，x 3=2，所以a n =（A 1+A 2n ）x n 1+A n3，有初始条件解得A 1=125A 2=35，A 3=2750因此a n =125［1+15n -272（-23）n］评注：这里的x =1是二重根，请注意，要利用定理2.二、常系数非齐次线性递归数列一般地，a n+k =c 1a n+k -1+c 2a n+k -2+…+c k a n +f （n ），其中c 1，c 2，…c k 为常数，且c k ≠0，当f （n ）≠0时，可以分成三类：第一类：f （n ）常数例：设数列｛a n ｝满足a 1=1，a 2=2，a n +2=5a n +1-6a n +2，求数列｛a n ｝的通项.解析：已知：a n +2=5a n +1-6a n +2…①把①式中的n 用n -1代替可得a n +1=5a n -6a n -1+2…②①和②整理可得：a n +2=6a n +1-11a n +6an -1就回归到常系数齐次线性递归数列，按部就班利用特征根法就可以解决问题.评注：此类型问题解决的关键在于应用化归转化的数学解题思想，化归成常系数齐次线性递归数列.第二类：f （n ）关于n 的多项式例：设数列｛a n ｝满足a 1=1，a 2=2，a n +2=5a n -1-6a n +n 2，求数列｛a n ｝的通项.解析：已知：a n +2=5a n -1-6a n +n 2……①把①式中的n 用n -1代替可得a n +1=5a n -6a n -1+（n -1）2…②①和②整理可得：a n +2=6a n+1-11a n +6a n -1+2n -1…③把③式中的n 用n -1代替可得：a n +1=6a n -11a n -1+6a n -2+2（n -1）-1…④③和④整理可得：a n +2=7a n +1-17a n +17a n -1-6a n -2+2就回归到常系数齐次非线性递归数列第一类，参照第一类方法即可解决问题.评注：若f （n ）关于n 的p 次多项式，我们只需重复上述p +1次替代就可化归至常系数齐次线性递归数列，利用特征根法即可解决问题.第三类：f （n ）关于n 的指数函数形式例：设数列｛a n ｝满足a 1=1，a 2=2，a n +2=5a n +1-6a n +2n ，求数列｛a n ｝的通项.解析：已知：a n +2=5a n +1-6a n +2n …①把①式两边同时除以2n +2，整理得：a n +22n +2=52a n +12n +1-32a n 2n +14…②令b n =a n 2n 可得：b n +2=52，b n +1-32b n +14就回归到常系数齐次非线性递归数列第一类，参照第一类方法即可解决问题.评注：若f （n ）关于n 的指数函数形式，我们只需等式两边同时除以适当的指数幂，就可划归为第一类题型，最终转化为常系数齐次线性递归数列，利用特征根法即可解决问题.当然，本文只是对适合特征根法求通项的数列做点归纳及延伸.数列通项的求解方法灵活多变，望读者能多加思考和总结，对数列通项的各种类型的解决方法有自己独特的见解.（作者单位福建省泉州南安一中）摘要：数列通项公式不仅在高考中占有一席之地.而且在中学数学竞赛中也是常客。
C语言递归函数递归的原理和应用场景递归函数是指在函数的定义中调用函数本身的一种方式。
通过递归函数，可以实现对问题的逐级拆分与求解，便于理解和编码。
本文将介绍C语言递归函数的原理和一些常见的应用场景。
一、递归函数的原理递归函数的原理基于分治法，将原问题不断分解为更小规模的子问题，直到满足某个递归终止条件，然后通过逐级返回求解出整个问题。
递归函数通常具有以下结构：1. 基线条件（递归终止条件）：判断是否满足递归的结束条件，当满足条件时，递归不再继续，直接返回结果。
2. 递归条件：由于递归是调用函数本身，需要满足某个条件时才执行递归调用，将问题规模缩小一步，继续求解更小规模的子问题。
3. 递归调用：在函数体内部直接调用函数本身，将问题规模不断缩小，直到满足基线条件。
二、递归函数的应用场景1. 阶乘计算：阶乘是指对于非负整数n，将其与前面所有的正整数相乘。
使用递归函数可以轻松实现阶乘的计算。
例如，计算n的阶乘可以通过函数调用factorial(n)来实现，其中factorial(n)表示计算n的阶乘。
```c#include <stdio.h>int factorial(int n) {if (n == 0 || n == 1) {return 1; // 基线条件} else {return n * factorial(n - 1); // 递归调用}}int main() {int n = 5;int result = factorial(n);printf("%d的阶乘为：%d\n", n, result);return 0;}```2. 斐波那契数列：斐波那契数列是指前两个数为1，之后的每个数都是前两个数之和。
递归函数可以简洁地实现斐波那契数列的计算。
例如，计算斐波那契数列的第n个数可以通过函数调用fibonacci(n)来实现，其中fibonacci(n)表示计算第n个斐波那契数。
二阶常系数线性齐次微分方程在微积分中，二阶常系数线性齐次微分方程是一个非常重要的概念。
它在数学和物理学领域中广泛应用，并且具有丰富的解法和性质。
本文将介绍二阶常系数线性齐次微分方程的基本定义、解法和一些应用。
一、定义二阶常系数线性齐次微分方程是指形如以下形式的微分方程：\[ay''+by'+cy=0\]其中\(a\)、\(b\)、\(c\)为常数，\(y\)是自变量\(x\)的函数。
二、特征方程和特解为了求解上述微分方程，首先需要求解其对应的特征方程。
将\(y=e^{rx}\)代入微分方程可以得到特征方程：\[ar^2+br+c=0\]解特征方程可以得到两个互不相同（或相同）的根\(r_1\)和\(r_2\)。
根据这些根的不同情况，可以得到微分方程的通解。
情况一：\(r_1\)和\(r_2\)为实数且不相等。
此时通解为：\[y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}\]其中\(c_1\)和\(c_2\)为任意常数。
情况二：\(r_1\)和\(r_2\)为实数且相等。
此时通解为：\[y=(c_1+c_2x)e^{r_1x}\]其中\(c_1\)和\(c_2\)为任意常数。
情况三：\(r_1\)和\(r_2\)为共轭复数。
此时通解为：\[y=e^{ax}(c_1\cos bx+c_2\sin bx)\]其中\(a\)和\(b\)为实数，\(c_1\)和\(c_2\)为任意常数。
三、应用举例二阶常系数线性齐次微分方程在物理学和工程学中有广泛应用。
以下是几个简单的应用举例。
1. 振动方程振动系统通常可以用二阶常系数线性齐次微分方程来描述。
例如自由振动的弹簧质量系统的运动方程可以表示为：\[m\frac{{d^2x}}{{dt^2}}+kx=0\]其中\(m\)为质量，\(k\)为弹性常数，\(x\)为位移。
2. 电路方程电路中的某些电路元件，如电感、电容和电阻，遵循二阶常系数线性齐次微分方程。
