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第9章弯曲应力与弯曲变形习题解答

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工程力学 (杨庆生 崔芸 龙连春 著) 科学出版社 课后答案 第9章

工程力学 (杨庆生 崔芸 龙连春 著) 科学出版社 课后答案 第9章


m ( F ) 0 P 1 Q 0.5 0 Q 2 P
mA ( F ) 0 1.5Q 3.5P 5 FB 0 FB 1.3P mB ( F ) 0 1.5P 3.5Q 5FA 0 FA 1.7 P
课
P 2. 4 4 2. 4 9.6(kN m) 2 8 2 P =2.561(kN ) FN cos 2 2 22 2.42
w.
9.6
A
25
-
2.561
+
FN （kN
25
z
co
）
FQ D2
M
M 图（ kN .m ）
m
P/2
补充 2： 水塔盛满水时连同基础总重量为 G， 在离地面 H 处， 受一水平风力合力为 P 作用， 圆形基础直径为 d,基础埋深为 h，若基础土壤的许用应力[σ]=300kN/m ，试校核基础的承载
梁上各横截面上轴力弯矩均为常2510253应力分析判危险点如右所示图整个横截面上均有n引起的均布的拉应力my引起后拉前压的弯曲应力mz引起上拉下压的弯曲应力点于d100025pa1010101010206060mpa140mpa四点的应力值
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ww
w.
max
（4）强度计算选择槽钢的型号：
1）忽略轴力项的正应力，仅由弯曲项选槽钢的型号：
建筑力学 第9章 组合变形杆件的应力分析与强度计算

建筑力学 第9章 组合变形杆件的应力分析与强度计算

建筑力学
§9-1 组合变形的概念
一、组合变形的概念
前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。
由两种或两种以上基本变形组合的情况称为组合变形
组合变形
斜弯曲 拉（压）弯组合变形 偏心拉伸（压缩）变形 弯扭组合变形
§9-1 组合变形的概念
斜弯曲:
压弯组合变形:
F
Fy
z
Fz
x
y
§9-1 组合变形的概念
M z max Wz
z
Fx x
Fy
y
F
设图示简易吊车在当小车运行到梁端D时，吊车横梁处于最 不利位置。已知小车和重物的总重量F＝20kN， 钢材的许用应力[]=160MPa，暂不考虑梁的自重。 按强度条件选择横梁工字钢的型号。
C
2m
A
A
FAx FAy
30 3.46m
FBC
30 3.46m
解：1、横梁AD受力分析
z
F2
b
（最大拉应力）
l y
解：
h
z
l
F1
（最大压应力）y
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
横向力与轴向力共同作用的组合变形 一、荷载分解
Fx F cos
z
Fx x
Fy
y
F
Fy F sin
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
二、内力计算 a
z
Fx F cos
Fx Fy F sin
解：1、荷载分解
q
qy q cos 800 0.894 714 N / m A
B
L
qz q sin 800 0.447 358 N / m
材料力学习题解答(弯曲变形)

材料力学习题解答(弯曲变形)


Pl 2
梁的挠曲线方程和转角方程是
D1 = 0
D2
=
−
1 24
Pl 3
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 2EEIvI2'v1'==P2P2xx2212−−PPlxlx2 1+
3 16
Pl
2
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 2EEIvI2v1==P6P6xx2313−−P2Pl2lxx2212+
3 16
Pl 2 x2
−
1 24
Pl 3
(6) 最大挠度和最大转角发生在自由端 令x2=l：
⋅a
=
−
qa4 3EI
上海理工大学 力学教研室
7
θB
= θ B(1)
+ θB(2)
+ θ B(3)
=
−
qa3 4EI
fB
=
f B (1)
+
fB(2)
+
f B ( 3)
= − 5qa4 24EI
7.10. 桥式起重机的最大载荷为 P=20 kN。起重机大梁为 32a 工字钢，E=210 GPa，l=8.7 m。 规定[f]=l/500，试校核大梁刚度。
⎪ ⎪⎩
M
2
(
x2
)
=
−
q
(l
− x2 2

∈
[
l 2
,
l
]
(2) 挠曲线近似微分方程
⎧ ⎪⎪
EIv1"
=
M1( x1)
=
− 3ql 2 8
+
ql 2
x1
⎨
⎪ ⎪⎩
EIv2"
=
M2(x2 )
工程力学：弯曲变形 习题与答案

工程力学：弯曲变形 习题与答案

一、单选题1、研究梁的变形的目的是（）。

A.进行梁的正应力计算B.进行梁的刚度计算C.进行梁的稳定性计算D.进行梁的剪应力计算正确答案：B2、图示圆截面悬臂梁，若直径d增大1倍(其它条件不变)，则梁的最大正应力、最大挠度分别降至原来的（）。

A.1/2 1/4B.1/4 1/8C.1/8 1/8D.1/8 1/16正确答案：D3、下面关于梁、挠度和转角的讨论中，正确的结论是（）。

A.挠度最大的截面转角为零B.挠度最大的截面转角最大C.转角为零的截面挠度最大D.挠度的一阶导数等于转角正确答案：D4、已知两悬臂梁的抗弯截面刚度EI相同，长度分别为l和2l，在自由端各作用F1和F2，若二者自由端的挠度相等，则F1/F2=（）。

A.2B.4C.6D.8正确答案：D5、梁上弯矩为零处（）。

A.梁的转角一定为零B.梁的挠度一定为零C.挠度一定为零，转角不一定为零D.梁的挠曲线的曲率一定为零正确答案：D6、已知等直梁在某段上的挠曲轴方程w(x)=–Cx4，C为常量，则在该段梁上（）。

A.分布载荷是x的一次函数B.分布载荷是x的二次函数C.无分布载荷作用D.有均匀分布载荷作用正确答案：D7、在等直梁弯曲变形中，挠曲线曲率最大值发生在（）。

A.剪力最大处B.转角最大处C.弯矩最大处D.挠度最大处正确答案：C8、材料相同的（a）悬臂梁和（b）悬臂梁，长度也相同，在自由端各作用2P和P，截面形状分别是b（宽）×2b（高）、b×b。

关于它们的最大挠度正确的是（）。

A.（a）梁最大挠度是（b）梁的1/4倍B.（a）梁最大挠度是（b）梁的1/2倍C.（a）梁最大挠度与（b）梁的相等D.（a）梁最大挠度是（b）梁的2倍正确答案：A9、已知简支梁的EI为常数，在梁的左端和右端分别作用一力偶m1和m2今欲使梁的挠曲线在x=l/3处出现一拐点，则比值m1/m2为（）。

A.2B.3C.1/2D.1/3正确答案：C10、两根梁尺寸，受力和支承情况完全相同，但材料不同，弹性模量分别为E1和E2，且E1=7E2，则两根梁的挠度之比y1/y2为（）。

工程力学第九章

工程力学第九章


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9.4

梁的弯曲变形与刚度
2.
挠度和转角
(1) 挠度 是指梁轴线上的一点在垂直于轴线方向上的位移， 通常用y表示。

一般规定向上的挠度为正，向上的挠度为负。它的单位是mm。 (2) 转角 是指梁的各截面相对原来位置转过的角度，用θ 表
示。

一般规定，逆时针方向的转角为正，顺时针的转角为负。它 的单位是弧度(rad)或度(º)。
远的边缘处。其计算公式为
max

(2) 梁的正应力强度条件为
M max y max M max Iz Wz
M max ≤[σ ] Wz
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max
小

结

max
* FQ S z
(3) 梁横截面上的切应力与切应力强度条件 对矩形截面梁，横截面上的切应力计算公式为 其最大切应力在截面的中性轴上，计算公式为 梁的切应力强度条件为τ max≤[τ ]
上一页 返回
9.2


梁弯曲时正应力强度计算
梁弯曲时正应力强度计算
9.2
为了保证梁在载荷作用下能够正常工作，必须使梁具备足够 的强度。也就是说，梁的最大正应力值不得超过梁材料在单 向受力状态(轴向拉、压情况)下的许用应力值[σ ]，即 M max max ≤[σ ] （9.10） Wz 式(9.10)就是梁弯曲时的正应力强度条件。需要指出的是， 式(9.10)只适用于许用拉应力[σ l]和许用压应力[σ y]相等 的材料。如果两者不相等(例如铸铁等脆性材料)，为保证梁 的受拉部分和受压部分都能正常工作，应该按拉伸式
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My Iz
(9.4)
第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)

第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)


m
V
( Stresses in Beams)
m

m
M
V
m m
只有与剪应力有关的切向内力元素 d V = dA 才能合成剪力
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力V 内力 弯矩M 正应力 剪应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力， 又有 剪应力
先观察下列各组图
所以，可作出如下 假设和推断：
1、平面假设：
2.单向受力假设： 各纵向纤维之间互不挤压，纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。 因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
各横向线代表横截面，实验表 明梁的横截面变形后仍为平面。
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层. 中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条形心轴。 且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时， 各横截面绕中性轴转动。
(3)横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)为

V S I zb
Z
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
b——需求剪应力处的横截面宽度 S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以外(以下或以上)部分面积A*(如图 ）对 中性轴的静矩
V
3V 4 y2 (1 2 ) 2bh h
应力状态按主应力分类：
（1）单向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中只有一个主应力不等于零。 （2）双向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中有两个主应力不等于零。
（3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例 如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应 力状态下.
第9章 钢筋混凝土受弯构件的应力、裂

第9章 钢筋混凝土受弯构件的应力、裂

第9章 钢筋混凝土受弯构件的应力、裂缝和变形计算9.1 概 述在前面几章里，根据持久状况承载能力极限状态计算原则，已详细介绍了钢筋混凝土构件的承载力计算及设计方法。

但是，钢筋混凝土构件除了可能由于材料强度破坏或失稳等原因达到承载能力极限状态以外，还可能由于构件变形或裂缝过大影响了构件的适用性及耐久性，而达不到结构正常使用要求。

因此，钢筋混凝土构件除要求进行持久状况承载能力极限状态计算外，还要进行持久状况正常使用极限状态的计算，以及短暂状况的构件应力计算。

本章以钢筋混凝土受弯构件为例，介绍《公路桥规》对钢筋混凝土构件进行这类计算的要求与方法。

对于钢筋混凝土受弯构件，《公路桥规》规定必须进行使用阶段的变形和最大裂缝宽度验算，除此之外，还应进行受弯构件在施工阶段的混凝土和钢筋应力验算。

与承载能力极限状态计算相比，钢筋混凝土受弯构件在使用阶段的计算有如下特点：1) 钢筋混凝土受弯构件的承载能力极限状态是取构件破坏阶段，例如，其正截面承载力计算即取图3-10所示的Ⅲa状态为计算图式基础；而使用阶段一般取图3-10所示的第II阶段，即梁带裂缝工作阶段。

2) 在钢筋混凝土受弯构件的设计中，其承载力计算决定了构件设计尺寸、材料、配筋数量及钢筋布置，以保证截面承载能力要大于最不利荷载效应：≤，计算内容分为截面设计和截面复核两部分。

使用阶段计算是按照构件使用条件对已设计的构件进行计算，以保证在正常使用状态下的裂缝宽度和变形小于规范规定的各项限值，这种计算称为“验算”。

当构件验算不满足要求时，必须按正常使用极限状态要求对已设计好的构件进行修正、调整，直至满足两种极限状态的设计要求。

3) 承载能力极限状态计算时汽车荷载应计入冲击系数，作用（或荷载）效应及结构构件的抗力均应采用考虑了分项系数的设计值；在多种作用（或荷载）效应情况下，应将各设计值效应进行最不利组合，并根据参与组合的作用（或荷载）效应情况，取用不同的效应组合系数。

工程力学第9章 梁弯曲时的刚度计算

工程力学第9章 梁弯曲时的刚度计算

挠曲线

w

x
qx
F
x
9.1 挠曲线近似微分方程
9.1.2 挠度和转角的关系
◆挠曲线方程 ： w f x
w
挠曲线

w

x
qx
F
x
tan dw
dx
dw
dx
9.1.3 挠曲线近似微分方程
一、挠曲线的曲率公式
1M EI

1
x

M x
EI
d2w

1
x


6EI 2l
l 2
2l 2


l 2
2



11Fl3 96EI
未知约束力单独作用引起的B处挠度
wB FB

FB 2l 3
48EI

FBl 3 6EI
将上述结果代入式（b），得到补充方程
11Fl3 FBl3 0 96EI 6EI
w Mex x2 l2 6EIl
（c）
Me 3x2 l2 6EIl
（d）
（4）计算最大挠度与截面的转角
作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。其最大 挠度处的转角为零。故由式（c）有
dw Me 3x2 l2 0 dx 6EIl
从而得最大挠度所在截面的坐标为
2
在集中力 F 单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材表
7–1第5栏中查出为
wC
F


Fl 3 48EI
将以上结果叠加，即得在均布载荷 和q 集中力 的F 共同作用
下，大梁跨度中点C的挠度
工程力学习题库-弯曲变形

工程力学习题库-弯曲变形

第8章 弯曲变形本章要点【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。

剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。

【公式】 1. 弯曲正应力 变形几何关系：yερ=物理关系：Ey σρ=静力关系：0N AF dA σ==⎰，0y AM z dA σ==⎰，2zz AAEI EM y dA y dA σρρ===⎰⎰中性层曲率：1MEIρ=弯曲正应力应力：，My Iσ=，max max z M W σ=弯曲变形的正应力强度条件：[]maxmax zM W σσ=≤ 2. 弯曲切应力矩形截面梁弯曲切应力：bI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F bh F S S 2323max ==τ工字形梁弯曲切应力：dI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F dh F S S ==max τ圆形截面梁弯曲切应力：bI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F S 34max =τ弯曲切应力强度条件：[]ττ≤max3. 梁的弯曲变形梁的挠曲线近似微分方程：()''EIw M x =-梁的转角方程：1()dwM x dx C dx EIθ==-+⎰ 梁的挠度方程：12()Z M x w dx dx C x C EI ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭⎰⎰ 练习题一. 单选题1、 建立平面弯曲正应力公式zI My /=σ,需要考虑的关系有（）。

查看答案A 、平衡关系,物理关系，变形几何关系B 、变形几何关系，物理关系，静力关系；C 、变形几何关系，平衡关系，静力关系D 、平衡关系, 物理关系，静力关系；2、 利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（）来确定积分常数。

查看答案A 、平衡条件B 、边界条件C 、连续性条件D 、光滑性条件3、 在图1悬臂梁的AC 段上，各个截面上的（）。

第9章 梁的应力

第9章 梁的应力

第9章 梁的应力
本章主要讨论梁在外力作用下横截面上的应力和强
度条件及其应用。
工程中的弯曲杆件
9.1 梁内正应力、正应力强度条件
9.1.1 纯弯曲时梁内的正应力
纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩 而无剪力的弯曲（横截面上只有 正应力而无切应力的弯曲），这 种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁的横截面上既有弯
矩又有剪力的弯曲（横截面上既 有正应力又有切应力的弯曲）， 这种弯曲称为横力弯曲。
3 3
压应力
3
3. C截面上最大正应力
C max
MC MC 60 10 6 92.6MPa 2 2 9 Wz bh 6 120 180 10
上压下拉
4.全梁上最大正应力
ql 2 60 32 M max 8 8 67.5kN m M max M max max 2 Wz bh 6
矩形截面：
bh 3 Iz 12
bh 2 Wz 6
圆形截面：
I y Iz
I y Iz
d
4
64
4
Wy Wz W
d
3
32
圆环截面：
D
64
(1 )
4
4
Wy Wz W
D3
32
(1 )
d D
②截面关于中性轴不对称Байду номын сангаас最大拉应力：
y1 yC 96.4mm
y2 200 50 96.4 153.6mm
4、计算弯矩最大截面 上的最大拉应力和最大压应力

拉 max
M max y2 Iz
16 103 153.6 103 1.02 108 1012 24.09 106 Pa 24.09 MPa
第9章 弯曲应力

第9章 弯曲应力

应变分布规律 直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比
第9章 弯曲内力
9.2 弯曲正应力
2、物理关系
Hooke’s Law 所以
E（弹性范围内） M
y
?
O
z x
E

?
y
应力分布规律
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离 成正比 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
9.2 弯曲正应力
max
M max [ ] W
对塑性材料而言，由于材料的抗拉和抗压性能相同。因此对等 截面直梁来说，危险截面仅有一个，既 M max 所在的截面，而截 面上的危险点，既 y max 所在之点 横截面关于中性轴对称的等直梁 b o
σ t max c max
o
M max Wz
2 2
第9章 弯曲内力
9.2 弯曲正应力
尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使抗
弯截面系数Wz增大。
由四根100 mm×80 mm×10 mm不等边角钢按四种不
同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度
均为160 mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性 轴的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz如下：
?
第9章 弯曲内力
9.2 弯曲正应力
3、静力关系
内力与外力相平衡可得
待解决问题
中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
FN A dFN A dA 0 (1)
Mz
M
O
z
y
dA
x σdA
FN
M y dM y zdA 0 (2)
A A
My
y

(修订)第9章 弯曲应力与弯曲变形-习题解答

第9章 弯曲应力与弯曲变形 习题解答题9 – 1 试计算下列各截面图形对z 轴的惯性矩I z （单位为mm ）。

解：（a ）mm 317400250500350200400250250500350≈⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=c y()()49323mm 107314002502003171240025050035025031712500350⨯≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.I Z （b ）mm 431550400800500375550400400800500≈⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=c y()()410323mm 1054615504003754311255040080050040043112800500⨯≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.I Z （c ）()mm 3060202060506020102060=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=c y()()46323mm103616020503012602020601030122060⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.Z I(a)(b) (c)题9-1图题9–2 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。

设q = 60kN/m ，F = 100kN 。

试求（1）梁1– 1截面上A 、B 两点的正应力。

（2）整个梁横截面上的最大正应力和最大切应力。

解：（1）求支反力kN 220100260=+⨯=A F （↑）m kN 32021001260⋅=⨯+⨯⨯=A M （ ） （2）画F S 、M 图（3）求1-1截面上A 、B 两点的正应力 m kN 1305016011001⋅=⨯⨯+⨯=.MF MA 点：MPa 254Pa 1025412150100550101306331=⨯≈⨯⨯⨯==...I y M zA t σB 点：MPa 162Pa 107816112150100*********331=⨯≈⨯⨯⨯==....I y M σzB c （4）求最大正应力和最大切应力M P a 853Pa 10385361501010320623max max =⨯≈⨯⨯==...W M σzM P a 22Pa 10221501010220232363max =⨯≈⨯⨯⋅=⋅=..A F τS 题9 - 3 简支梁受力如图所示。

第9章-梁的弯曲变形与刚度计算


y
M
M
M＜0 w’’<0
O O
x
曲线向下凸 时： w’’>0, M＞0
因此, M与w’’的正负号相同。 y
M
M
w
M (x)
(1 w2 )32 EI
M＞0 w’’>0
x
w
(1
w2
)
3 2
M (x) EI
由于挠曲线是一条非常平坦的曲线, w'2远比1小, 可以略去不计, 于是上式可写成
w M (x) EI
转角(): 横截面 y
绕中性轴(即Z轴)转 A 过的角度（或角位 移）, 称为该截面 的 转 角 (Slope rotation angle) 。
F CBx
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
挠度和转角符号的规定：
挠度：在图示坐标系中, 向上为正, 向下为负。
转角： 逆时针转向为正,顺时针转向为负。
在这种情况下, 梁在几项载荷 (如集中力、集中力 偶或分布力)同时作用下某一横截面的挠度和转角, 就 分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的 叠加。此即为叠加原理。
例1：一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。
试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC 和支座处横
截面的转角A ,B 。
q Me
解：将梁上荷载分为两项 A
C
B
简单的荷载。
l
wC wCq wCM
5ql4 M el2 384EI 16EI
A Aq AM
ql3 M el 24EI 3EI
B
Bq BM
ql3 M el 24EI 6EI
例2:试利用叠加法, 求图示抗弯刚度为EI的简支

第九章梁的弯曲应力


一、梁横截面上的正应力
横力 F 弯曲 A a F (+)
V图
纯弯曲 C l D
F
横力 弯曲 B
纯弯曲——梁弯曲变形
时，横截面上只有弯矩
F
a
F 而无剪力（M 0,V 0）。
F
(-)
横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又 有剪力（M 0,V 0）。
Fa
M图
(+) Fa
一、梁横截面上的正应力
* z
max
* Vmax Sz Vmax max * Izd ( I z Sz max )d
* 对于工字钢， I z Sz
max
可由型钢表中查得。
3．工字形截面梁的剪应力
V
三、梁的强度条件
1、弯曲正应力强度条件：
max
Mmax [ ] Wz
可解决工程中有关强度方面的三类问题：
3.在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：
（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是
主要的，剪应力的强度条件是次要的。但对于较粗的
短梁，当集中力较大时，截面上的剪力较大而弯矩较
小，或是薄壁截面梁时，也需要校核剪应力强度。 （2）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该
正应力最大。
注意：
（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力
的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状
态来确定。 （4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯 性矩的计算式。
二、梁横截面上的剪(切)应力
1．剪(切)应力分布规律假设
V
A*

（1）各点处的剪(切)应力 都与剪力V方向一致； （2）横截面上距中性轴等距离各点处剪(切)应力大小 相等，即沿截面宽度为均匀分布。 （3）剪(切)应力大小沿截面高度按抛物线规律变化。

009 第九章1 弯曲应力




应力之比
max M max 2 A L 16.7 max W z 3Q h
25
60kN A 1m
q= 30kN/m B 5m 112.5kN 52.5kN
Q
例：图示梁为工字型截面，已知 〔σ〕=170MPa，〔τ〕=100MPa 试选择工字型梁的型号。 解：1、画Q、M图 YA=112.5kN ；YB=97.5kN 2、按正应力确定截面型号 x M 97.5kN max max WZ x 6
1
§9-1-1 概述
剪力“Q”——剪应力“τ”； 弯矩“M”——正应力“σ” 一、纯弯曲： 梁的横截面上只有弯矩
P a A
Q x
x M
2
P a B
而无剪力的弯曲。
梁的横截面上只有正应力 而无剪应力的弯曲 二、横力弯曲（剪切弯曲）： 梁的横截面上既有弯矩又有 剪力的弯曲。
梁的横截面上既有正应力又有剪应力的弯曲
y
QS z I zb
注意：Q为横截面的剪力；Iz为整个横截 面对Z轴的惯性矩；b为Y点对应的宽度； 20 Sz*为Y点以外的面积对Z轴的静面矩。
3、剪应力的分布：
h y h b h2 S z yc A 2 b( y ) ( y2 ) 2 2 2 4
Q
a
c
b
a
d c
M
b
3、假设：
d
（1）、平面假设：梁变形前的横截面变形后仍为平面，且仍垂 直于变形后的轴线，只是各横截面绕某轴转动了一个角度。
4
（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。
中性轴
中性面
4、中性层：不发生变形的一层纤维。 5、中性轴：中性层与横截面的交线。 推论：梁变形实际上是绕中性轴转动了一个角度， 等高度的一层纤维的变形完全相同。

第9章_直梁

WZ
max
IZ 1.067106 ymax
M max 141 MN/m2 150MN/m2 WZ
故压板的强度足够
第九章 直梁弯曲
例9-8 一起重量原为 50kN 的吊车,其跨度l = 10.5m (如图)，由 45a号工字钢制成。为发挥其潜力，现欲将 起重量提高到Q =70kN，试校核梁的强度；若强度不足， 再计算其可能承载的起重量。设梁的材料为 Q235钢， 许用应力[σ]=140MN/m2，电葫芦自重G = 15kN，梁
第九章 直梁弯曲
推断和假设
假设：(1) 梁在纯弯曲时，各横截 面始终保持为平面，并垂直于梁轴。
此即弯曲变形的平面假设。
(2) 纵向纤维之间没有相互挤压,每 根纵向纤维只受到简单拉伸或压缩。 中性层：从伸长到缩短区，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短。这 一长度不变的过渡层称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线 在纯弯曲的条件下，所有横截面仍保持平面，只是绕中性轴作 相对转动，横截面之间并无互相错动的变形，而每根纵向纤维 则处于简单的拉伸或压缩的受力状态。
Q max P M max Pl
Q O
x P
第九章 直梁弯曲
例9-3
一简支梁 AB ,受均布载荷 q 的作用，试作此梁的弯矩图。
解： 1、求支反力
由对称性知： ql FA FB 2
2、建立剪力方程和弯矩方程
ql Q = FA qx = qx (0 < x < 1) 2 qx2 qlx qx2 M = FA x = (0 ≤x < 1) 2 2 2
非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但 外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
第九章 直梁弯曲

工程力学 第九章 梁的应力及强度计算

平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩M，而无剪力Q = 0，这种弯曲称为纯弯曲。
1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察
现象：
（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；
（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。
对剪应力的分布作如下假设：
(1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行；
(2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。
根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：
式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力；
Q—该截面上的剪力；
b—需求剪应力作用点处的截面宽度；
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩；
Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
应力σ的正负号直接由弯矩M的正负来判断。M为正时，中性轴上部截面为压应力，下部为拉应力；M为负时，中性轴上部截面为拉应力，下部为压应力。
第二节 梁的正应力强度条件
一、弯曲正应力的强度条件
等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即
对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：
圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。
其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。
结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。
五、梁的剪应力强度校核
梁的剪应力强度条件为：
在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。
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第9章 弯曲应力与弯曲变形 习题解答题9 – 1 试计算下列各截面图形对z 轴的惯性矩I z （单位为mm ）。

解：（a ）mm 317400250500350200400250250500350≈⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=c y()()49323mm 107314002502003171240025050035025031712500350⨯≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.I Z （b ）mm 431550400800500375550400400800500≈⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=c y()()410323mm 1054615504003754311255040080050040043112800500⨯≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.I Z （c ）()mm 3060202060506020102060=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=c y()()46323mm103616020503012602020601030122060⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.Z I(a) (b) (c)题9-1图题9–2 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。

设q = 60kN/m ，F = 100kN 。

试求（1）梁1– 1截面上A 、B 两点的正应力。

（2）整个梁横截面上的最大正应力和最大切应力。

解：（1）求支反力kN 220100260=+⨯=A F （↑）m kN 32021001260⋅=⨯+⨯⨯=A M （ ） （2）画F S 、M 图（3）求1-1截面上A 、B 两点的正应力 m kN 1305016011001⋅=⨯⨯+⨯=.MF MA 点：MPa 254Pa 1025412150100550101306331=⨯≈⨯⨯⨯==...I y M zA t σB 点：MPa 162Pa 107816112150100*********331=⨯≈⨯⨯⨯==....I y M σzB c （4）求最大正应力和最大切应力MPa 853Pa 10385361501010320623max max =⨯≈⨯⨯==...W M σzMPa 22Pa 10221501010220232363max =⨯≈⨯⨯⋅=⋅=..A F τS 题9 - 3 简支梁受力如图所示。

梁为圆截面，其直径d = 40 mm ，求梁横截面上的最大正应力和最大切应力。

解：（1）求支反力A F （↓）=B F （↑）kN 10203⨯= （2）画F S 、M 图M e =4.4kN ·m题9-3图（3）求最大正应力与最大切应力382MPa Pa 10381.97320.04π102.4633max max =⨯≈⨯⨯==zW M σ 21.2MPa Pa 1021.20.02π10203434623max max =⨯≈⨯⨯⋅=⋅=A F τS题9 - 4 空心管梁受载如图所示。

已知管的外径D = 60 mm ，内径d = 38mm ，管材的许用应力[σ] = 150MPa ，试校核此梁的强度（长度单位为mm ）。

解：（1）求支反力F SM题9-4图kN 510.F A =（↑） kN 59.F B =（↑）（2）画F S 、M 图（3）校核强度()()63306038107816330132060π132π54343.D d ...D W ===⨯=-⨯=-=-αα []σ≤=⨯≈⨯⨯==-MPa 5147Pa 104714710781106252653max max ....W M σz 满足强度要求。

题9- 5 某圆轴的外伸部分系空心圆截面，载荷如图所示，其许用应力[σ]=120MPa ，试校核其强度（长度单位为mm ）。

解：（1）求支反力kN 363.F A =（↑） kN 647.F B =（↑）题9-5图F SM 2.625m kN ⋅（2）画M 图（3）校核强度C 点：[]σ≤=⨯≈⨯⨯==63.4MPa Pa 1063.4320.06π101.344633max max zW M σ B 点：75.06045===D d α ()543101.450.751320.06π-⨯=-⨯=z W []σ≤=⨯≈⨯⨯==-62.1MPa Pa 1062.1101.45100.9653max max z W M σ 题9–6 一单梁桥式吊车如图所示，梁为№28b 工字钢制成，电葫芦和起重量总重F =30kN ，材料的许用正应力[σ]=140MPa ，许用切应力[τ]=100MPa ，试校核梁的强度。

解：（1）求支反力M0.9题9－6图15kN ==B A F F （↑）（2）画M 图 （当吊车在梁中间时有最大弯矩）（3）校核强度查表得：24m 1061-⨯=A 36m 10534-⨯=x W[]σ≤=⨯≈⨯⨯==-84.3MPa Pa 1084.27105341045663max max x W M σ []τ≤=⨯≈⨯⨯==- 4.9MPa Pa 104.9210611030643max max A F τS 题9 – 7 外伸梁受力如图所示.已知：F =20kN ，[σ]=160 MPa ，[τ]=90 MPa ，试选择工字钢的型号。

解：（1）求支反力5kN =A F （↓） 25kN =B F （↑）（2）画F S 、M 图题9-7图M（3）选择工字钢型号根据正应力强度选择工字钢的型号[]σ≤zW M max []33663max cm 125m 10125101601020=⨯=⨯⨯=≥-σM W z 查表得：№16的3cm 141=x W 24m 1013126-⨯=.A切应力强度校核[]τ≤=⨯≈⨯⨯==-7.7MPa Pa 107.71026.1311020643max max A F τS 选择№16工字钢。

题9– 8 一矩形截面梁如图所示。

已知：F = 2 kN ，横截面的高宽比h / b = 3；材料的许用应力[σ]= 8 MPa ，试选择横截面的尺寸。

解：（1）求支反力题9-8图MF S3kN 22323=⨯===F F F B A （↑） （2）画M 图（3）选择横截面的尺寸 []σσ≤==2maxmax max 6bh M W M z ∵3=bh， b h 3=代入上式 []σ96max 3M b ≥[]cm 7m 069010831042323633max =≈⨯⨯⨯⨯=≥.M b σcm 21733=⨯==b h题9 – 9 外伸梁受力如图所示，梁为T 形截面。

已知：[σ]= 160 MPa ，试确定截面尺寸a 。

解：（1）求支反力kN 340=A F （↑） kN 380=B F （↑） （2）画F S 、M 图题9 - 9图C（3）确定截面尺寸a ① C Z a a a a a a a a a a a Z C 95.1445345.05=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=② 截面对形心轴的惯性矩z I()422322336707495.14312452195.14125a a a a a a a a a a a I z =⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯=③ 确定截面尺寸a[]σ≤z I y M max max []σmax max yM I z ≥mm 221m 0212010160707369514510980363...a =≈⨯⨯⨯⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯≥题9 - 10 一受均布载荷的外伸梁，梁为№18工字钢制成，许用应力[σ]= 160 MPa ，F S3M试求许可载荷。

解：（1）求支反力 q q F F B A 51021=⨯==（↑） （2）画M 图q M M B A 2-== q q q M 5.25.2535=⨯-⨯=中（3）求许可载荷查表得:№18的36m 10185-⨯=x W[]σ≤xW M max[]x W q ⋅≤σ5.2 12kN/m 1184N/m 2.5101851016066≈=⨯⨯⨯≤-q 题9 – 11 简支梁受力如图所示，梁为№25a 槽钢制成，许用应力[σ] = 160 MPa ，试求题9 – 10 图在截面横放和竖放两种情况下的许用力偶M e 。

解：（1）求支反力5e A M F =（↑） 5eB M F =（↓） （2）画M 图（3）求许用力偶矩截面横放，查表得：36m 10630-⨯=.W y[]σ≤yW M max 6610160106.3053⨯≤⨯-e M m 8.16kN m 8160N 31030.610160566⋅=⋅=⨯⨯⨯⨯≤-e M 截面竖放，查表得：36m 10270-⨯=x W题9-11图m 72kN m 72000N 31027010160566⋅=⋅=⨯⨯⨯⨯≤-e M 题9 – 12 铸铁梁受力和截面尺寸如图所示。

已知：q = 10 kN/m ，F = 20 kN ，许用拉应力[σt ]= 40 MPa ，许用压应力[σc ]= 160 MPa变，将T 形截面倒置成为⊥形，是否合理？解：（1）求支反力∑=0BM01524=⨯+⨯⨯+⨯-F q FAkN 30412052104152=⨯+⨯⨯=⨯+⨯⨯=F q F A （↑）∑=0yF02=+-⨯-B A F F q FkN 1030202102=-+⨯=-+⨯=A B F F q F （↑）（2）画M 图（3）强度校核题9-12图① 求形心c z 157.5mm 23152200302152003010020030==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=c z② 惯性矩z I()()462323m 10600.030.20.15750.215120.030.20.20.030.10.1575120.20.03-⨯≈⨯⨯-+⨯+⨯⨯-+⨯=z I ③ 强度校核 A 截面：[]t σ≤⨯=⨯⨯⨯==-Pa 1024.210600.07251020663max,max max ,zt t I y M σ []c σ≤⨯=⨯⨯⨯==-Pa 1052.510600.15751020663max,max max ,z c c I y M σ B 截面：[]t σ≤⨯=⨯⨯⨯==-Pa 1026.2510600.15751010663max,max max ,zt t I y M σ 满足强度要求。

载荷不变，将T 形截面倒置成为⊥形，不合理。

因为在A 截面上弯矩最大，此时，将使该截面处的拉应力变大。

而铸铁抗拉能力差。

题9 – 13 图示各梁，弯曲刚度EI 均为常数。

试用积分法求各梁的转角方程和挠曲线方程，以及指定截面的转角和挠度。

（a ）求θB ，w B （b ）求θA ，w A(a)解：（1）取坐标轴如图，列弯矩方程()e M x M =(2) 建立微分方程并积分(a)(b)题9-13图qEI M xw e=22d d C EIx M x w θe +==d d （a ） D Cx EIx M w e ++=22（b ） （3）确定积分常数当0=x 时，00==w ,θ，代入（a ）、（b ）两式 0,0==D C∴ 转角方程 ()EIxM x e =θ （c ） 挠曲线方程 ()EIx M x w e 22= （d ）（4）求B B w ,θ将l x =代入（c ）（d ）得：EIl M e B =θ（ ） EIl M w e B 22= (↑)(b)解：（1）取坐标轴如图，列弯矩方程()22qx qlx x M +=(2) 建立微分方程并积分⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=21d d 222qx qlx EI xw ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++==C qx qlx EI x w θ621d d 32 （a ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=D Cx qx qlx EI w 246143 （b ） （3）确定积分常数当l x =时，00==w ,θ，代入（a ）（b ）两式2411,3243ql D ql C =-= ∴ 转角方程 ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=31621332ql qx qlx EI x θ （c ） 挠曲线方程 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=24113224614343ql x ql qx qlx EI x w （d ） （4）求A A w ,θ将0=x 代入（c ）（d ）得：EIql A 323-=θ（ ） EIql w A 24114= (↑)题9 – 14 用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程，梁的弯曲刚度EI 为常数。