弯曲变形例题解读

2018/11/22 7


《 材 料 力 学 》—— 李章政
二、确定积分常数
1. 积分常数个数
梁分一段：2个积分常数 梁分 n 段：2n个积分常数
2. 积分常数确定
边界条件 光滑连续条件（分段点）
A A B A C B
A v A 0
vA 0
2018/11/22
vA vB 0
例题5.1
• 求图示简支梁跨中挠度、支座转角
解：
反力
1 q FA FB ql 2 A B 弯矩 x 1 2 M ( x) FA x qx F F l 2 y 1 1 2 qlx qx 2 2 挠曲线微分方程 EIv M ( x) 1 qlx 1 qx 2 2 2
5.1 梁的弯曲变形
1. 挠度和转角
第5章 弯曲变形

v x y v=f(x) F x
一、梁的弯曲变形参数
• 挠度（deflection） 梁轴线上点垂直于轴线方向的线位移v，称 为挠度。 各个挠度的连线=挠曲线 tan • 转角(rotation angle) dv 横截面转动的角度，称为转角。 v dx 数值上等于挠曲线切线与x轴的夹角 2018/11/22 4
B C a l y b RB x A RA
AC段
Fb EI v x l
Fb 2 EI x C1 2l
Fb 3 EIv x C1 x D1 6l
2018/11/22 15
《 材 料 力 学 》—— 李章政 CB段
Fb EI v x F ( x a) l Fb 2 1 2 EI x F ( x a ) C2 2l 2

M1x1
m l
x1
(0 x1 a)
17
例:求梁的 max、wmax y
FA
m l
FB
m l
A
2.列内力方程 FA
CB段： MO(F) 0
M2(x2) m FAx2 0
a
m
b
EI C
x2
l
m
B
x
FB
M2(x2)
x2
M 2 ( x2 )
FAx2
m
m l
x2
m
(a x2 l)
18
AC:
第11章 弯曲变形
11.1 弯曲变形的概念
1.弯曲变形问题实例
作业：11.2 (c), 11.3 (a)；11.6；11.8
1
2
3
2.弯曲变形的描述
y
挠曲线
弯曲使梁的 任意 x 截面 产生
w(x)
弯曲位移：
x x
F (1)截面形心的铅垂位移
——截面挠度w(x):向上为正
M
(2)截面绕中性轴转过的角度 M ——截面转角(x):逆时针转为正
(x) EI
平面曲线w = w(x) 的曲率为
(x)
1
(x)
w(x)
3
[1 (w(x))2 ]2
小变形简化：
tan dw( x)
dx
1
(x)
w(x)
w(x)
M (x) EI
tan 45 1
w' dw
1
dx
弯曲位移：截面挠度w(x)、截面转角(x)如何求解？
6
w(x)
M (x) EI
xl
截面挠度w(x):

4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω

B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq


+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI

Pl 2
梁的挠曲线方程和转角方程是
D1 = 0
D2
=
−
1 24
Pl 3
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 2EEIvI2'v1'==P2P2xx2212−−PPlxlx2 1+
3 16
Pl
2
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 2EEIvI2v1==P6P6xx2313−−P2Pl2lxx2212+
3 16
Pl 2 x2
−
1 24
Pl 3
(6) 最大挠度和最大转角发生在自由端 令x2=l：
⋅a
=
−
qa4 3EI
上海理工大学 力学教研室
7
θB
= θ B(1)
+ θB(2)
+ θ B(3)
=
−
qa3 4EI
fB
=
f B (1)
+
fB(2)
+
f B ( 3)
= − 5qa4 24EI
7.10. 桥式起重机的最大载荷为 P=20 kN。起重机大梁为 32a 工字钢，E=210 GPa，l=8.7 m。 规定[f]=l/500，试校核大梁刚度。
⎪ ⎪⎩
M
2
(
x2
)
=
−
q
(l
− x2 2

∈
[
l 2
,
l
]
(2) 挠曲线近似微分方程
⎧ ⎪⎪
EIv1"
=
M1( x1)
=
− 3ql 2 8
+
ql 2
x1
⎨
⎪ ⎪⎩
EIv2"
=
M2(x2 )

引言
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：

当x1 x2 a时,
w1 w2 (1 2 )
w1 w2
EIw2
Pb l
x2
P( x2
a)
CB段：
EIw2
EI2
Pb l
x22 2
P
( x2
a)2 2
C2
EIw2
Pb l
x23 6
P
( x2
a)3 6
C2 x2
D2
由连续性条件，可求得
C1 C2
D1 D2
由边界条件，可求得
C1
C2
M pa
P PL
2
PL 2
x
P
qa2
2
q
M
qa
x qa 2 2
x
pa
§6.2 挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程的导出
力学公式 数学公式
1 M z (x)
EIz
d 2w
1
dx2
[1 ( dw)2 ]3/2
dx
纯弯曲梁变形后中性层的曲率 公式，对于横力弯曲（l>5h） 可近似使用。EIZ称为梁的抗 弯刚度。
最大转角和最大挠度分别为：
得：
ql 3 C ,
D0
24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
q (6lx2 4x3 l 3 )
24 EI
w qx (2lx2 x3 l3) 24EI
max
A
B
ql 3 24EI
wmax
w
x l 2
5ql 4 384EI
例： 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方
确定积分常数： （1）边界条件
固定端：w = 0,θ = 0

q0 B x 等价 MA A EI f q0 B
L
A
L
解：建立静定基 确定超静定次数 用反力代替多余约束 得新结构 —— 静定基
或
q0
A
B L RB
32
q0 A L B RB
几何方程——变形协调方程
f B f Bq f BRB 0
物理方程
=
A B RB q0 A B
qL RB L f Bq ; f BRB 8EI 3EI
A A 铰连接
P
C D
C
D
B
A点：f A 0, A 0
B点： f B左 f B右
C点： f C左 f C右 C左 C右
D点：f D 0
21
边界条件、连续条件应用举例
P
弯矩图分二段，
共积分常数 需4个边界条件 和连续条件
A B
C
(+)
A点： A 0 B点： f B左 f B右 , C点：f C 0
解：载荷分解如图
=
P A B
查梁的简单载荷变形表，
得到变形
Pa PA 4 EI
q B
2
Pa f PC 6 EI
3
+
A
qa qA 3EI
3
5qL f qC 24 EI24
4
P
A
C a a
q B
Pa PA 4 EI
qa 3 qA 3EI
2
Pa 3 f PC 6 EI
Differential Equation of beam deformation 1 M ( x) 已知曲率为 EI z x
M>0

二、叠加法求梁的变形 梁的刚度校核
1. 叠加法求梁的变形
当梁上同时受几种荷载作用时，我们可用叠加法来计算 梁的变形。其方法是：先分别计算每一种荷载单独作用时所 引起的 梁的变形（挠度或转角），然后求出各种荷载作用下 变形的代数和，即得到这些荷载共同作用下的变形。一般工 程中要找的是特定截面的变形（最大挠度和最大转角）。我 们将一些简单荷载作用下梁变形的计算公式列成教材中表81，以供选用。
2
式(8-2)再积分一次得：
y
1 EI
M( x)dxdx
Cx
D 8
3
式(8-2)、(8-3)为转角方程和挠曲线方程。式中常数C、D
可由边界条件确定。
图8-1a 图8-1b
（图8-1a）的边界条件为：
x 0, yA 0; x l, yB 0
（图8-1b）的边界条件为：
x 0, yA 0;
ql 3 24EI
, B
ql 3 24EI
转角 A 为负值，表明A截面绕中性轴作顺时针方向转动； 转角 B 为负值，表明B截面绕中性轴作逆时针方向转动。
例2：试计算图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求 ymax
例2图
设：a>b
解：（一）分段建立弯矩方程和挠曲线近似微分方程并积分二次
AC 段 (0 x1 a)
C1a D1 C2a D2 将 C1 C2, D1 0 代入上式得：D1 D2 0
将 D2
0 代入式e得：C2
Pbl 6
P(l a)3 6l
化简后得：
C1
C2
Pb 6l
(l 2
b
2)
（三） 列出转角方程和挠曲线方程：将C1,C2, D1, D2代入式 a,b,c,d得：

5ql 4 Ml 2 17ql 4 384EI 16EI 384EI
M
=
q AM
C
wCM
q A q Aq q AM
B
ql3 Ml 5ql3 24EI 3EI 24EI
A
l
+
q A
Ml 2 wCM 16EI Ml q AM 3EI
q Aq
C wCq l
1 F (x l)2 C 2 1 1 EI w F ( x l ) 2 dx C x D F ( x l ) 3 Cx D 2 6
1 EI q EI w F ( x l )dx C F ( x l ) 2 C 21 1 EI w F ( x l ) 2 dx C x D F ( x l )3 Cx D 2 6 y F （4）确定积分常数 由边界条件 x 0 q A 0 wA 0 x
条件。
二 提高梁的刚度的措施
(1) 增大梁的弯曲刚度EI 由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同 (E≈210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢 并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均 采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增
挠度和转角的关系
y
q
B’ C’
q
B
w
wB x
dy tan q w dx
在小变形假设条件下
A
x
C
tan q q
挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角
dy w tan q q dx
二、挠曲线近似微分方程
M EI z
1
横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度 时，剪力对梁的变形可以忽略不计。但此时弯矩 不再为常数。

B2
B2

l 2
q( l )4 2
8EI
B2

l 2
w
C C1 C2
ql4 8EI
q( l )4 2
8EI


B
2

l 2
41ql4 384EI
C C1 C2 ql3
6EI

q( l )3 2
6EI
7ql4 48EI
第二类叠加法 逐段刚化法
384EI 48EI 48EI 384EI
例2 抗弯刚度EI为常量，用叠加法确定C和yC ?
q
A L/2
B
L/2
C
q
A L/2 B
L/2
C
q
q
q
q
C1


ql 4 8EI
C1
C1
C1


ql 3 6EI
,
C2
q( l )3
q
B2
B2
C2
B2
2 6 EI
c2
C 2
,
q
C1
ql
C2
C3
B1
B2
ql2
B3
3、变形叠加
B B1 B2 B3
ql 3
24EI
ql 3
16EI
ql 3
3EI
11ql3 48EI
C C1 C2 C3 5ql 4 (ql)l3 3ql 4 11ql 4
2
(x)
3 2
EI z
挠曲线微分方程 瑞士科学家Jacbi.贝努利；
没有采用曲率的简化式， 非线性的， 故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。 适用于弯曲变形的任何情况。

第6章 弯曲变形习题解答6-1 用直接积分法求下列各梁的挠曲线方程和最大挠度。

梁的抗弯刚度EI 为已知。

（a ）解：（1）弯矩方程 0≤ x ≤l+aM (x )=qlx －qx 2/2+q<x-l>2/2-ql 2/2（2）积分 EI θ (x )= qlx 2/2－qx 3/6+q<x-l>3/6-ql 2x /2+CEI ν(x )= qlx 3/6－qx 4/24+q<x-l>4/24-ql 2x 2/4+Cx+D （3）定常数x = 0 θ = 0 → C = 0 x = 0 ν= 0 → D = 0νmax =ν B =)341(84laEI ql +-(↓)（b ）解：（1）支反力 F A = M o / l (↑), F C =－M o / l (↓) （2）弯矩方程 0≤ x ≤ 4l/3M (x )= M o x / l －M o <x-l> / l （3）积分EI θ (x )= M o x 2 / 2l － M o <x-l>2 /2 l +CEI ν(x )= M o x 3 / 6l － M o <x-l>3/6 l +C x+D （4）定常数x = 0 ν= 0 → D = 0x = l ν= 0 → C =－M o l /6νmax =ν B =EIl M o 62(↑)6-2 写出下列各梁的边界条件，并根据弯矩图和支座情况画出挠度曲线的大致形状。

解：x = 0 ν= 0 x = a ν= 0x = l ν= ∆k = M o / lk x = 3a ν= ∆l = Fa /2EA(b) ν(b) (a)x = 0 θ = 0 x = 0 ν= 0 x = 0 ν=0 x = 3a ν= 0x = 0 ν= 0 x = 0 ν= 0 , θ = 0x =2a ν=0 x = 2a ν= 06-3 用叠加法求下列各梁C 截面的挠度和B 截面的转角。

案例1： 车削加工一等截面构件， 如果构件的的变形过大， 会加工成变截面；
案例2： 摇臂钻床简化为刚架， 受工件的反力作用； 如果钻床的变形过大， 不能准确定位。
车间桁吊大梁的变形
案例3： 车间桁吊大梁的过大变形
会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象； 还会引起较严重的振动；
案例4： 桥梁如果产生过大变形
（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
A
C
M B
a
L
讨论：挠曲线分段
（4）凡分段点处应列出连续条件；
根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确 定的挠度和转角；
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。
2
积分一次： EI' EI 1 qx3 C
6
转角方程
B x
积分二次： EI 1 qx4 Cx D
24
挠曲线方程
3、确定常数C、D. 边界条件：
xL: 0 0
C 1 qL3 6
D 1 qL4 8
q
A
B
L
EI' EI 1 qx3 C
6 EI 1 qx4 Cx D
连续性条件：
ω
边界条件
A
x 0: 0
xL: 0
P
B
C a
x
L
光滑连续性条件
x a:
C 左
C
右
连续性
C左
C
右
光滑性
连续性条件：
ω A
C a
M
B
x
L
xa:
特别强调

弯曲变形典型习题解析1 试用积分法写出图示梁的挠曲轴方程，说明用什么条件决定方程中积分常数，画出挠曲轴大致形状。

图中C 为中间铰。

为已知。

I E解题分析：梁上中间铰处，左、右挠度相等，转角不相等。

解：设支反力为，如图示。

yB A yA FM F、、1、建立各段挠曲轴近似微分方程并积分 将梁分为AC 、CB 、BD 段。

AC 段 a x ≤≤10挠曲轴近似微分方程 11x FM w I E yA A ⋅−=′′转角方程1211'12C x Fx Mw IE yA A+−= (a) 挠度方程1113121162D x C x F x M w I E y A A ++−=(b)CB 段 )(2b a x a +≤≤挠曲轴近似微分方程2"2x FMw I E yA A ⋅−=转角方程 222222C x F xM w I E yA A+−=′(c)挠度方程2223222262D x C xFx M w I E yA A++−= (d)BD 段 l x b a ≤≤+3)(挠曲轴近似微分方程[])(333b a x Fx FM w I E yB yA A+−+−=′′转角方程[]32323332)(2C b a x F x F x M w I E yB yA A++−+−=′ (e) 挠度方程[]33333332336)(62D x C b a x FxFxM w I E yB yA A+++−+−= (f)2、确定积分常数共有6个积分常数。

需要6个位移边界条件和光滑连续条件。

332211D C D C D C 、、、、、题1图M A边界条件：，代入(b)得 01=x 01=w 01=D (g)0'1=w 代入(a)得 01=C(h)b a x +=2，02=w (i)连续条件： ， a x x ==2121w w =(j) b a x x +==32， 32w w ′=′ (k) 32w w =(l)联立(i)、(j)、(k)、(l)，可求出。

Eq2 IF 2lxb 2 2F 2(x2a)2C 2
E2 Iw F 6 lxb 2 3F 6(x2a )3 C 2x2D 2
工程力学弯曲变形解析
工程力学
利用边界条件和连续条件确定四个积分常数
AC段 CB段
EqI1 F2lbx12 C1
y
A
EI1w F 6l bx13C1x1D1
FA
Eq2 IF 2lxb 2 2F 2(x2a)2C 2
qA左qA右
工程力学弯曲变形解析
工程力学
绘制挠曲线的方法：
1.绘制M图 2.由M图的正负、零点或零值区，确定 挠曲线的凹凸或拐点或直线区，
3.由位移边界条件确定挠曲线的位置。
工程力学弯曲变形解析
工程力学
例4-5 如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和
挠曲线方程，并求自由端的转角 q B 和挠度 w B 。
w1|x1aw2|x2a
工程力学弯曲变形解析
代入上面的式子
工程力学
得到转角方程和挠度方程
AC段
EqI1F 6l (b3x12b2l2)
Ew I1F 6l b x1 3(b2l2)x1
y A
FA
a EI
x1 x2 l
q CB段 E2IF 6 l (b 3 x1 2b2 l2)3 b l(x2a )2
dx
工程力学弯曲变形解析
工程力学
略去剪力的影响，则平面假设成立，弯曲 变形是因各个横截面绕各自的中性轴转动一个 角度，而中性轴本身也要发生位移。
截面形心位移 竖向位移 y=w=f(x)
弯曲变形 截面转角
水平位移 略去
qqtgqdwf(x)
dx
工程力学弯曲变形解析

x
l
EIw M( x) Fl Fx (2)
对挠曲线近似微分方程进行积分
EIw

Flx

Fx 2 2

C1
(3)
EIw


Flx 2 2

Fx 3 6

C 1x

C2
(4)
F
Bx
2
EIw

Flx

Fx 2 2

C1
(3)
EIwFlx 22Fx 3 6

C 1x

C
2q
将AB 段看成B端固定的悬臂
梁,BC段看成简支梁.
A
B截面两侧的相互作用为：
2qa
a
MB qa2
2q
2qa
MB qa2
MB qa2
A
B
B
2qa
q
B
D
a
2a
q D
C
C
23
2qa
简支梁BC的受力情况与
q
外伸梁AC 的BC段的受力情
况相同
MB qa2
B
D
由简支梁BC求得的B,wD
q

qa 3 3EI
(B )MB


MBl 3EI
2qa3 3EI
C
(wD )q

5ql 4 384EI

5qa4 24EI
(wD )MB

MBl2 16EI

qa4 4EI
由叠加原理得:
C
B
( B)q
(B )MB

qa3 3EI
wD

第6章 弯曲变形习题解答6-1 用直接积分法求下列各梁的挠曲线方程和最大挠度。

梁的抗弯刚度EI 为已知。

（a ）解：（1）弯矩方程 0≤ x ≤l+aM (x )=qlx －qx 2/2+q<x-l>2/2-ql 2/2（2）积分 EI (x )= qlx 2/2－qx 3/6+q<x-l>3/6-ql 2x /2+CEI ν(x )= qlx 3/6－qx 4/24+q<x-l>4/24-ql 2x 2/4+ （3）定常数x = 0 = 0 → C = 0 x = 0 ν= 0 → D = 0νmax =ν B =)341(84laEI ql +-(↓)（b ）解：（1）支反力 F A = M o / l (↑), F C =－M o / l (↓)（2）弯矩方程 0≤ x ≤ 4l/3M (x )= M o x / l －M o <x-l> / l（3）积分EI (x )= M o x 2 / 2l － M o <x-l>2 /2 l +CEI ν(x )= M o x 3 / 6l － M o <x-l>3/6 l +C x+D （4）定常数x = 0 ν= 0 → D = 0x = l ν= 0 → C =－M o l /6νmax =ν B =EIl M o 62(↑)6-2 写出下列各梁的边界条件，并根据弯矩图和支座情况画出挠度曲线的大致形状。

解：x = 0 ν= 0 x = a ν= 0x = l ν= ∆k = M o / lk x = 3a ν= ∆l = Fa /x AB C ν l q a l/3ν ABC xl(b) M oνa Axa EA aa CBF(b) x B ν A k(a)C2l2lM oxBC ν A•xBCA2EAx = 0 = 0 x = 0 ν= 0 x = 0 ν=0 x = 3a ν= 0x = 0 ν= 0 x = 0 ν= 0 , = 0 x =2a ν=0 x = 2a ν= 06-3 用叠加法求下列各梁C 截面的挠度和B 截面的转角。

二、工程实例
实例一：起重机大梁
实例二、机床摇臂
7.2
梁的挠曲线近似微分方程
一、挠度和转角
梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿 x 轴方向的直线变 成一条在 xy 平面内的曲线，该曲线称为挠曲线。
y
q
C’
挠曲线 B’
转角
wB B x
某截面的竖向位移，称为 该截面的挠度。 某截面的法线方向与x轴 的夹角称为该截面的转角。
EI zq EIw M ( x)dx C
EI z w ( M ( x)dx)dx Cx D
其中， C 和 D 是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确 定其大小。
一、边界条件
在约束处的转角或挠度可以确定
F
EI z w ( M ( x)dx)dx Cx D
q
B
w
A
x
C
挠度和转角的大小和截面所处的 x 方向的位 置有关，可以表示为关于 x 的函数。 w f1 ( x) 挠度方程（挠曲线方程）
挠度
转角方程
q f 2 ( x)
y
q
B’ C’
挠度和转角的正负号规定
q
B w wB x
A
x
C
在图示的坐标系中， 挠度 w 向上为正，向下为负。转 角规定截面法线与 x 轴夹角，逆时针为正，顺时针为负, 即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角 q 为正。
挠度和转角的关系
y
q
B’ C’
q
B
w
wB x
dy 件下
A
x
C
tan q q
挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角
dy w tan q q dx