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位移变分方程 ppt课件

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5变形能与位移变分方程

5变形能与位移变分方程
δ f x u f y v f z w dxdydz δ f xu f y v f z w dS
δ f u f v f w d x d y d z f u f v f w d S x y z x y z 0 δU δ f u f v f w d x d y d z f u f v f w d S x y z x y z
Ve = W
—— 功能原理
弹性力学
ELASTICITY
应变能密度：单位体积的应变能。 设弹性体只在某一方向，如 x 方向，受均匀的正应力sx，相应的线应 变为 ex，则其单位体积内具有的应变能，即应变能密度为
1 U1 s x de x s xe x 0 2
ex
sx
应变能密度是以应变分量为自变量的泛函。
—— 虚功方程。 即：如果在虚位移发生之前，弹性体是处于平衡状态，那么，在
虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功就等于应力在相应的虚应
变上所做的虚功。
弹性力学
ELASTICITY
3. 最小势能原理
δU f x δu f y δv f z δw dxdydz f x δu f y δv f z δw dS
E 1 2 2 2 U e e y 2e x e y xy dxdy 2 x 2 2 1
应变能用位移分量表示为
2 2 2 E u v 1 v u u v U d xd yd z 2 2 2(1 ) x y 2 x y x y
U
E 1 2 2 2 2 2 2 2 e e e x y z yz zx xy dxdydz 2 1 1 2 2

位移变分法与位移变分法应用于平面问题

位移变分法与位移变分法应用于平面问题

V
( f
x
u f y v f z w )dxdydz
( f x u f y v f z w )dS

f x u m d xd yd z

系数Am、Bm、Cm的 一次线性方程组
求出Am、Bm、Cm。
11
3伽辽金法
同样选择(11-9)中的位移函数，使其满足位移边界和应力边界。
u u 0 Am u m
m
V
Am
Bm
(11-10)
Cm
一次线性方程
v v0
B
m
m
vm
w w0
C
m
m
wm
(11-9)
10
2 里茨法
位移边界条件 由待定系数Am 、 Bm、Cm的变分来 实现。 构造位移函数
u u 0 Am u m
v v0
w w0
(11-10)
由形变势能的性质(见(11-3)式)可知， 是系数Am、Bm、Cm的二次函数，所 V
以(11-10)是各个系数Am、Bm、Cm的一次方程。
V E 2(1 )
[

1 2
(
u x

v y

w z
) (
2
u x
) (
2
v y
) (
2
w z
u
V
V v
v

V w
w

u m Am m
u m Am
m


m
V V V Am Bm Cm Bm C m Am

第28讲位移变分方程

第28讲位移变分方程

§11.4 位移变分方程--最小势能原理学习要点:本节讨论最小势能原理。

首先根据虚功原理推导应变能的一阶变分表达式，然后根据任意几何可能位移场与真实位移场的总势能的关系，得到真实位移场的总势能取最小值的结论。

最小势能原理用数学方程描述：总势能的一阶变分为零，而且二阶变分大于零。

最小势能原理等价于以位移表示的平衡微分方程和以位移表示的面力边界条件，所以，对于一些按实际情况简化后的弹性力学问题，可以通过最小势能原理推导出其对应的平衡微分方程和面力边界条件。

本节通过例题对此作了说明。

推导中设应变能密度函数是应变分量的函数，因此最小势能原理是位移解法在变分原理中的应用。

进入本节内容学习之前，应该首先学习有关泛函和变分的基础知识。

学习思路：1. 总势能；2. 总势能的变分；3. 最小势能原理；4. 最小势能原理推导弯曲问题的平衡微分方程和面力边界条件；5. 最小势能原理推导扭转问题的平衡微分方程和面力边界条件。

下面根据虚功方程推导仅应用于弹性体的最小势能原理。

设应变能密度函数是应变分量的函数，则应变能密度函数的一阶变分为上式推导中，应用了格林公式，将上式代入虚功方程，则上式表示外力虚功等于弹性体应变能的一阶变分。

定义外力势能为注意到虚位移与真实的应力无关，因此在虚位移过程中外力保持不变，即变分与外力无关。

而且积分和变分两种运算次序可以交换的，所以外力势能的一阶变分可以写作回代可得其中E t称为总势能，它是应变分量的泛函。

由于应变分量通过几何方程可以用位移分量表示，所以总势能又是位移分量的泛函。

公式表明，在所有几何可能的位移中，真实位移将使弹性体总势能的一阶变分为零，因此真实位移使总势能取驻值。

以下证明:对于弹性体的稳定平衡状态，总势能将取最小值。

将几何可能位移对应的应变代入总势能表达式，可以得到几何可能位移对应的总势能将上式减去真实应变分量的总势能，可得将按泰勒级数展开，并略去二阶以上的小量，有回代可得由于总势能的一阶变分为零，因此总势能的二阶变分为由于由于应变能密度函数为正定函数，即只有在所有的应变分量全部为零时其才可能为零，否则总是大于零的,因此所以以上证明了在所有的可能位移场中，真实位移场的总势能取最小值。

3位移和应变分析ppt课件

3位移和应变分析ppt课件

y
B
A
变形前 P
变形后
P
u v
v v dy y
B
u u dy y
A
u u dx x
A v v dx
x
B
;.
u u dy
B
y v v dy
y
10
注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。
PA的正应变：
O
x
u
u x
dx
u
dx
u x
PB的正应变：
P v dy
y
v
v y
dy
dy
v
v y
P点的剪应变：
dy2 dr2
, n2
dz2 dr2
变形前夹角 cos l1l 2 m1m2 n1n2
变形后夹角 cos l1l 2 m1m2 n1n2
;.
23
l1
dx1 dr1
dx1 du1
(1 1)dr1
dx1
u x
dx1
u y
dy1
(1 1)dr1
u z
dz1
1
(1 1)
(1
x
)l1
u y
m1
M M 称为点M的位移
M M 在x,y,z三轴上的投影u,v,w称为该点的位移分量
符号规定：u,v,w与坐标轴正方向一致为正，相反为负。
考虑外力作用下的两种状态：
平衡状态：M点只随位置变化，不随时间变化；位移分量（u,v,w）只随位置变化， 不随时间变化。
运动状态： M点不仅随位置变化，而且随时间变化；位移分量（u,v,w）随位置和
)
m2
(1
2
)
cos
n2

2.2 课时1 位移变化规律课件

2.2 课时1 位移变化规律课件

C.探测器上升的最大高度为288 m
D.图中BC过程中探测器的平均速度大小为40 m/s
作者编号：43999
当堂检测
4.有些航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某型号的战斗机在跑道
上加速时可能产生的最大加速度为5.0 m/s2，当飞机的速度达到50 m/s时才能离
开航空母舰起飞。设航空母舰处于静止状态。问：
若物体做匀加速运动,a取正值,
若物体做匀减速运动,则a取负值.
作者编号：43999
新知学习
例题：汽车从开始制动到停止所行驶的距离，是衡量汽车制动性能的参数
之一。某型号的汽车以100 km/h的速度在柏油路面上行驶，急刹车后做匀
减速直线运动。若匀减速时的加速度大小为5m/s2，开始制动后2s内汽车行
D.物体在第2 s内的位移大小为6 m
作者编号：43999
当堂检测
2.(多选)由静止开始做匀加速直线运动的火车,在第10 s末
的速度为2 m/s,下列叙述中正确的是（ ABC ）
A.前10 s内,火车通过的位移为10 m
B.火车每秒速度变化0.2 m/s
C.前10 s内,火车的平均速度为1 m/s



2
a
2 a
2a
2
2 − 02 = 2
作者编号：43999
公式变形
2
=
2
2 − 02
=
2
新知学习
注意： 2 − 0 2 = 2
1.该公式只适用匀变速直线运动
2.该公式是矢量式
因为v0、v、α、s均为矢量，使用公式时应先规定正方向。
（一般以v0的方向为正方向）
1.从v-t图象中探究匀变速直线运动的位移

物理鲁科版(2019)必修第一册2.2位移变化规律课件(共22张PPT)

物理鲁科版(2019)必修第一册2.2位移变化规律课件(共22张PPT)

二、匀变速直线运动的位移
一段时间内的匀变 速直线运动
将该段时间 无限分割
将“匀变速”转化为“匀速”
近似认为物体在每一时段以 某一速度做匀速直线运动
微分求和
一段时间内的匀变 速直线运动的位移
二、匀变速直线运动的位移
V （m/s）
10 8 6 4 2
01
V（m/s）
10
8 6 4 2
01
x=16m
2 3 4 t/s
二、匀变速直线运动的位移
t/s
0
1
2
3
4
5
v/(m/s)
0
2
4
6
8
10
s/m
0
1
4
9
16
25
尝试用图像来描述匀加速行驶的汽车的位移与时间的关系
s/m 25
s
v0
t
1 2
at
2
20
15
结合位移公式可得，
10
图像是抛物线的一部
5
分
o 1 2 3 4 5 6 t/s
三、匀变速直线运动的位移--速度关系
vt2 v02 2as2
s2
vt2 v02 2a
77.3m
所以，开始制动2s后汽车的位移是45.6m；从开始制动到完全停止，汽 车行驶的位移是77.3m
策略提炼
1、明确运动情景
紧急刹车
汽车做匀减速直线运动
2、画出运动过程 示意图
3、选定正方向， 根据题目中的已知 量和未知量选定合 适的表达式求解
例2、一辆汽车以1m/s2的加速度加速行驶了12s，驶过了180m,汽 车开始加速时的速度是多少？
解：以初速度 v0 方向为正方向

位移与应变 ppt课件


Chapter 4
＊刚体位移和大变形不是 弹性力学的研究范畴
位移P与ag应e变 7
4.1 General Deformations （变形）
Quantify deformation（定量描述变形）
Displacement of Po and P : uo ,u
u
u
o
u x
rx
u y
ry
u z
rz
v
Theory of Elasticity 弹性力学
Chapter 4 Displacements and Strains
(位移与应变)
位移与应变
Content（内容）
1. Introduction（概述） 2. Mathematical Preliminaries （数学基础） 3. Stress and Equilibrium（应力与平衡） 4. Displacements and Strains （位移与应变） 5. Material Behavior- Linear Elastic Solids（弹性应力应变关系) 6. Formulation and Solution Strategies（弹性力学问题求解） 7. Two-Dimensional Formulation （平面问题基本理论） 8. Two-Dimensional Solution （平面问题的直角坐标求解） 9. Two-Dimensional Solution （平面问题的极坐标求解） 10. Three-Dimensional Problems（三维空间问题） 11. Bending of Thin Plates （薄板弯曲） 12. Plastic deformation – Introduction（塑性力学基础） 13. Introduction to Finite Element Mechod（有限元方法介绍）

变分法

13
最小势能原理的简单例子
例如在两端固定的柔索，可以有各种形状，但 只有一种是真实的，这一种使得柔索的总势能为最 小。 再以最简单的轴向受压的杆件为例， 总势能包括外力势能和弹性体的变形势 能，这两个势能都以杆件顶部的位移为 参数，随位移增大，弹性体的应变能增 大，而外力势能减小，其变化曲线如图 所示： 1 2 U Cu 2 V Fu 其中C为杆的刚度。
6
x, x yz , yz
y, y zx , zx
z z xy , xy
1 有 U x x y y z z yz yz zx zx xy xy dxdydz 2 U δ x ... δ yz ... d x d y d z yz x
15
使用最小势能原理的解题方法： 直接法：假设容许位移函数，用最小势能原理求其中的 待求参数。如果假设的位移函数不完备，则解是近似的， 相当于多加了位移约束，结构偏刚硬，近似解小于真实 位移。
欧拉法：用最小势能原理推导出等效的平衡方程和力边界
条件，求解微分方程的边值问题。
Chapter 10.4
ui 0
0 ain
19
迦辽金法 (Galerkin)
基本思路： 寻找一组（n个）满足所有边界条件的容许函数。用这 些容许函数的组合构造一个试函数 。
用微分方程的加权余量格式得到近似解，不需要泛函。
弹性力学问题的基本微分方程存在对应的泛函，故可 以从能量的极值原理推导出Galerkin法的基本方程。
最小势能原理������ ������ 在给定的外力作用下，满 足位移边界条件的各组位移中， 实际存在的位移，应使系统的总 势能成为驻值。当系统处于稳定 衡时，总势能取极小值，通常也 为最小值。

第2节 位移变化规律精品课件

解析：(1)由于 v0＝30 m/s，a＝－5 m/s2，由 v＝v0＋at0 知汽车 的刹车时间为 t0＝v－av0＝0－ －350 s＝6 s 由于 t0<20 s，所以刹车后 20 s 内汽车滑行的距离等于汽车从刹 车到停止运动过程中滑行的距离． s1＝12v0t0＝12×30×6 m＝90 m.
栏目 导引
第2章 匀变速直线运动的研究
加速直线运动的位移公式 s＝12at2 得，加速度 a＝2t2s＝（2×1 2s）m2＝ 4 m/s2，进一步我们可求得第 2 s 内的位移 s2＝12×4×22 m－12 ×4×12 m＝6 m，所以 C 项错误，D 项正确．
栏目 导引
第2章 匀变速直线运动的研究
2．推导
速度公式 位移公式
vs＝t＝___vv__00__＋t_＋___a_12_t_a__t_2_．．
由以上公式可得：v2t －v20＝__2_a_s_____．
栏目 导引
第2章 匀变速直线运动的研究
思维辨析 (1)匀速直线运动的位移与时间成正比．( √ ) (2)匀变速直线运动的位移与时间成正比．( × ) (3)初速度越大，时间越长，做匀变速直线运动的物体的位移一 定越大．( × ) (4)公式 v2－v20＝2as 适用于所有的直线运动．( × ) (5)做匀加速直线运动的物体，位移越大，物体的末速度一定越 大．( × )
栏目 导引
第2章 匀变速直线运动的研究
匀变速直线运动的位移－速度公式
问题导引
如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为 a，起飞速度
为 v，则跑道的长度至少为多长？
[要点提示]
v2 2a
飞机起飞所用时间 t＝va，起飞发生的位移 s＝
12at2＝12·ava2＝2va2.

2022-2023学年鲁科版(2019)必修第一册 2-2 位移变化规律 课件(共23张PPT)


1．公式的适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的 关系，适用于匀变速直线运动．
2．公式的意义：公式 2as＝v2－v02反映了初速度 v0、末速度 v，加速 度 a、位移 s 之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求另一个未知量．
3．公式的矢量性：公式中 v0、v、a、s 都是矢量，应用时必须选取 统一的正方向，一般选 v0 方向为正方向．
v2－v02 s＝ 2a
由题意知，v0＝54 km/ h＝15 m/ s，v＝0，a1＝－2.5 m/s2，
a2＝－5 m/s2
代入数据得，超载时 s1＝45 m 不超载时 s2＝22.5 m. (2)超载货车与轿车碰撞时， 由 v2－v20＝2as 知
相撞时货车的速度
v＝ v20＋2a1s＝ 152－2×2.5×25 m/s＝10 m/s. [答案] (1)45 m 22.5 m (2)10 m/s
[答案] (1)45 m/s (2)504 m对比匀变速Biblioteka 线运动的公式：v v0 at
x
v0t
1 2
at 2
x
1 2 (v0
v)t
不涉及位移；
不涉及末速度； 五个量知道 了三个量，
不涉及加速度； 就能求出其 不涉及时间； 余两个量。
v2 v02 2ax
【课堂小结：】
s
v0t
1 2
at 2
这就是匀变速直线运动的位移公式并且在v-t图像中，我们可以用图线和时
间轴所包围的面积来计算位移
思想方法: 微积分,即无限分割,逐渐逼近真实状况.
【典例】：1、飞机着陆后以6m/s2的加速度做匀减速直线运动，着陆 速度为60m/s，求： （1）飞机能滑行多远？ (2)静止前4s内飞机滑行的距离?
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位移变分方程
U W 0,
( n )
其中U─形变势能的变分，如式( j )所示， W─外力功的变分，如式(g)所示。
可以证明，式(n)可以写成为
[U W ]0,
( o)
其中U─弹性体的形变势能，如§5-4式(d),
W─弹性体的外力功， 如§5-4式(a)。
位移变分方程
• 证明如下：
U AU1dxd y
位移变分方程
• 最小势能原理： • 数学表示如图(a)，物理意义如图(b)
Ep δ2Ep0
Ep
δEp0
u'
u（实际位移）
(a)
位移变分方程
Epmin
u'
u
(b)
又一形式
• （5）位移变分方程的又一形式 ─式(l)
• 中U 可化为
δU A(σxδxyδyxyδx)ydxdy • A[σxxδuσyyδvx(yxδvyδu)d]xdy.
外力势能的变分：
V W .
( h )
由于虚位移引起虚应变，
x xu ,y yv ,xy xv yu . (i)
位移变分方程
虚位移上功和能
•
形变势能的变分，即实际应力在虚应变
上的虚功,
•
•
•
U A ( σ x x σ y y xy x) y d x d y .( j
)
•
由于实际应力在虚应变之前已存在,
• 其中的自变量为坐标变量x,y；
• 而因变量为函数，如位移，有
•
duudxudy. (d)
x y
位移变分方程
变分与微分
• 变分─是在同一点位置上，由于状态改
变而引起泛函的改变。
• 其中的自变量为状态函数，如位移；
• 而因变量为泛函，如 ， ， ，有
•
U V Ep
UUuUv.
(e)
u v
位移变分方程
（2）位移变分方程 ─将式(g)的 W代入上式 ,得
U A (fxu fyv )d x d y s (fxu fyv )d s . (l)
它表示，在实际平衡状态发生位移的变
分 (u,v) 时，所引起的形变势能的变
分 (U) ，等于外力功的变分 (W) 。
位移变分方程
位移变分方程
位移变分方程
§5－5 位移变分方程
•
在位移变分法中，所取泛函为总
势能 E p，其宗量为位移状态数 ，u。v
•
现在来导出位移变分方程。
位移变分方程
实际位移
1.实际平衡状态的ห้องสมุดไป่ตู้移 u、 v，必须满足
⑴ 用位移表示的平衡微分方程（在A中）
⑵ 用位移表示的应力边界条件（在 s上σ ）
⑶
位移边界条件（在
s
上）
u
。
(a)
其中⑴、⑵属于静力平衡条件，⑶属于 约束条件。
对于实际位移，可将⑶看成是必要条 件，而⑴、⑵是充分条件。
位移变分方程
虚位移
• 2.虚位移状态
• ⑴ 虚位移（数学上称为位移变分） ，u v 表, 示在 约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量 ，如图所示。
•
虚位移应满足su 上的约束边界条件，即
s [l σ x ( m y x fx ) δ u ( m σ y lx y fy ) δ v ] d s 0 . ( u )
位移变分方程
又一形式
应用分部积分公式 AudvA[d u)( vvdu],
和格林公式
A( P x Q y)dxdys(lP m)d Q s,
（其中s为平面域A的边界，l，m为边
界外法线的方向余弦），可将U 进行转
换。
位移变分方程
又一形式
例如，对第一项计算，
A [ σ x x ( δ u ) ] d x d y A [ x ( σ x δ u ) ( x σ x ) δ u ] d x d y
•
∴作为常力计算，故无
1 2
系数。
位移变分方程
位移变分方程
4.弹性力学中位移变分方程的导出
（1）在封闭系统中，假设没有非机械能的
改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒
定律，在虚位移过程中形变势能的增加 (U)
应等于外力势能的减少（即等于外力所做的
虚功 W）。∴
U W .
( k)
位移变分方程
位移变分方程
（3）虚功方程 ─将式(j)的 代U入上 式，
得
A(σxδxεσyδyετxδy xγ)ydxdy A(fxδ ufyδ)vdxdys(fxδ ufyδ)vds. (m )
它表示，在实际平衡状态发生虚位移时， 外力在虚位移上所做的虚功等于应力在 虚应变上所做的虚功。
位移变分方程
（4）最小势能原理─式(k)可写成
s sσxδudlsA ( xx)δudxdy, (s)
∵在 u上，虚位移 δu，∴0
s σ xδ ud s ls σ xδ ud s l.
(t)
对U其余几项进行同样的转换，并代入式(
) ,可l 得又一形式的位移变分方程：
位移变分方程
又一形式
A [ ( σ x x y y xfx)δ u ( σ y y x x yfy)δ v ]d x d y
EpUVUW ,
故式(o)可以表示为
δEp0.
(p)
再将总势能E p 对其变量（位移或应变）作二
次变分运算，可得
δ2Ep 0.
(q)
综合式(p)，(q)，即得
Ep mi.n
(r)
位移变分方程
位移变分方程
这就是最小势能原理。它表示在给 定的外力作用下，在满足位移边界条件 的所有各组位移状态中，实际存在的一 组位移对应于总势能为极小值。
位移变分方程
A
Ux1
x
U1
y
y
U1
xy
xy
d
x
d
y
A(xx yy xyxy)d xd y U;
W
A( fxu fyv)d xd y s ( fxu fyv)ds
A( fxu
fyv)d xd y
位移变分方程
s ( fxu
fyv)ds W.
位移变分方程
由于弹性体的总势能为
变分与微分
由于微分和变分都是微量，所以 a.它们的运算方式相同，如式(d)，(e)； b.变分和微分可以交换次序，如
(u) (u).
(f)
x x
位移变分方程
虚位移上功和能
3.在虚位移上弹性体的功和能
当发生虚位移（位移变分） u , v 时，
外力的虚功（外力功的变分）：
W A (fxu fyv ) d x d y s (fxu fyv ) d s . ( g )
•
uv0, （在su上）。 (b)
位移变分方程
虚位移
•
虚位移不是实际外力作用下发生
的，而是假想由其他干扰产生的。因此 ，虚位移状态
•
u*uu,v*vv, (c)
• 就构成实际平衡状态附近的一种邻近状 态。
位移变分方程
变分与微分
⑵ 变分与微分的比较
• 微分─是在同一状态下，研究由于位置
• (坐标) 改变而引起函数的改变。