数学高考一轮复习同步训练文科第37讲基本不等式北师大版必修5A

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作北师大版高一数学必修5《基本不等式》同步检测训练姓名： 得分：一、选择题1．函数f (x )＝x ＋1x ＋2的值域为( )A ．[4，＋∞)B ．(32，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)2．若a <b <c ，则1c －b ＋1a －c 的值为( )A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数3．下列函数中，最小值是4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin xC ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝x 2＋1x 2＋1＋3 4．不等式(1)a 2＋2>2a ；(2)a 2＋b 2≤2(a －b －1)；(3)a 2＋b 2>ab 恒成立的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．35．给出下面四个推导过程： ①∵a ，b ∈R ＋，∴b a ＋a b≥2b a ·ab＝2； ②∵x ，y ∈R ＋，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ； ③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a ≥24a·a ＝4； ④∵x ，y ∈R ，xy <0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－yx )]≤－2(－x y )(－yx)＝－2. 其中正确的推导为( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④6．已知a 、b 、c ∈R ，则下列命题成立的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >bc⇒a >b C ．a 3>b 3，ab >0⇒1a <1bD ．a 2>b 2，ab >0⇒1a <1b7．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝(12)x 2－2(x <0)，则m ，n 之间的关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n8．若1a <1b <0，则不等式①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab >2中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大( )A ．3B ．4C ．5D ．610．若a ＝(x ＋1)(x ＋2)，b ＝(x ＋6)(3－x )，那么3－a与3b 的大小关系是( )A ．3－a >3bB ．3－a <3bC ．3－a ＝3bD ．由x 的取值决定二、填空题11．设0<x <2，则函数f (x )＝x (8－3x )取得最大值时的x ＝________. 12．比较大小：1n ＋1－n________2n (填“≥”“≤”“>”或“<”)．13．若x >0，则x ＋432x 2取得最小值时，x 的取值是________．14．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________． 15．若x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝1，则x 2y 的最大值为________． 三、解答题16．已知12<a <25,28<b <64.求a ＋b ，a －b 及ab 的范围．17．已知a >1,0<b <1，求证：log a b ＋log b a ≤－2.18．当x >1时，求y ＝3x ＋4x －1＋1的最小值．19．设实数x ，y ，m ，n 满足x 2＋y 2＝3，m 2＋n 2＝1，若a ≥mx ＋ny 恒成立，求a 的取值范围．20．巨幅壁画最高点离地面14 m ，最低点离地面2 m ，若从离地面1.5 m 处观赏此画，问离墙多远时，视角最大．高一数学必修5《基本不等式》同步检测训练答案一、选择题1．解析：函数f (x )定义域{x |x ≠0}．当x >0时f (x )＝x ＋1x ＋2≥2＋2＝4，值域为[4，＋∞)．当x <0时，f (x )＝－[(－x )＋(－1x )]＋2≤－2＋2＝0，值域(－∞，0]．∴f (x )＝x ＋1x＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，故选D.2．解析：由1c －b ＋1a －c ＝a －b (c －b )(a －c )，又∵a <b <c ，∴a －b <0，c －b >0，a －c <0，∴原式>0，故选A.3．解析：只有D 中，y ＝x 2＋1x 2＋1＋3＝(x 2＋1)＋1x 2＋1＋2≥2＋2＝4，当且仅当x 2＋1＝1，即x ＝0时，等号成立，故选D.4．解析：a 2＋2－2a ＝(a －1)2＋1>0，∴a 2＋2>2a ；a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)；a 2＋b 2－ab ＝a 2－ba ＋b 2＝(a －b 2)2＋3b 24≥0，∴当a ＝b ＝0时(3)不成立，故选B.5．解析：①由于a ，b ∈R ＋，∴b a ，a b ∈R ＋，符合基本不等式的条件，故①推导正确；②虽然x ，y ∈R ＋，但当x ∈(0,1)或y ∈(0,1)时，lg x 或lg y 是负数，故②的推导过程是错误的； ③由a ∈R ，不符合基本不等式的条件，故4a＋a ≥24a·a ＝4是错误的． ④由xy <0，得x y 、y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x 提出负号后，(－x y )、(－yx )均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确，故选D.6．解析：∵a 3>b 3，∴a >b ，又∵ab >0，∴1a <1b ，故选C.7．解析：m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥8．解析：由1a <1b<0得，ab >0，b <a <0.故a ＋b <0<ab ，①正确；|b |>|a |，②错误；b <a ，③错误；b a ＋ab －2＝(a －b )2ab>0，④正确．故选B. 9．解析：求得函数式为y ＝－(x －6)2＋11，则营运的年平均利润 y x ＝－(x －6)2＋11x ＝12－(x ＋25x)≤12－225＝2，此时x ＝25x，解得x ＝5，故选C.10．解析：∵－a －b ＝－(x ＋1)(x ＋2)－(x ＋6)(3－x )＝－(x 2＋3x ＋2)＋(x ＋6)(x －3)＝－x 2－3x －2＋x 2＋3x －18＝－20<0，∴－a <b ⇒3－a <3b ，故选B.二、填空题11．解析：∵0<x <2时，f (x )＝x (8－3x )＝13·3x (8－3x )≤13·3x ＋(8－3x )2＝43＝433，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43∈(0,2)时，等号成立．答案：4312．解析：1n ＋1－n＝n ＋1＋n >2n . 答案：>13．解析：x ＋432x 2＝x 2＋x 2＋432x 2≥33x 2·x 2·432x2＝934，当且仅当x 2＝x 2＝432x2时，即x ＝634，取等号． 答案：63414．解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，－4<－|β|≤0.∴－3<α－|β|<3. 答案：(－3,3)15．解析：x 2y ＝12×(x ·x ·2y )≤12×(x ＋x ＋2y 3)3＝12×(23)3＝427.答案：427三、解答题16．解析：由28<b <64得⎩⎪⎨⎪⎧－64<－b <－28，164<1b <128.又因为12<a <25，所以40<a ＋b <89，－52<a －b <－3，316<a b <2528. 17．证明：因为a >1,0<b <1，故log a b <0，log b a <0，则－log a b >0，－log b a >0，从而－log a b ＋(－log b a )≥2(－log b a )(－log a b )＝2，即log a b ＋log b a ≤－2.18．解析：由x >1得x －1>0，则y ＝3x ＋4x －1＋1＝3(x －1)＋4x －1＋4≥43＋4， 当且仅当3(x －1)＝4x －1，即x ＝1＋233时，取等号．19．解析：解法1：mx ＋ny ＝3(m ·x 3＋n ·y 3)≤3[12(m 2＋x 23)＋12(n 2＋y 23)]＝32(m 2＋n 2＋x 2＋y 23)＝ 3. 当且仅当x ＝3m ，y ＝3n 时取等号．∴a ≥ 3. 解法2：设p ＝(x ，y )，q ＝(m ，n )，则|p |＝3，|q |＝1 ∵p·q ≤|p||q |，∴mx ＋ny ≤ 3当且仅当p ＝3q ，即x ＝3m ，y ＝3n 时取等号．∴a ≥ 3.20．解析：如图，设AD ＝14 m ，BD ＝2 m ，OD ＝1.5 m ．如图建立坐标系，则A (0,12.5)，B (0,0.5)．设C (x,0)，则 k AC ＝12.5－00－x ＝－12.5x ，k BC ＝0.5－00－x＝－0.5x ，tan ∠ACB ＝－0.5x ＋12.5x 1＋0.5x ·12.5x ＝12x ＋6.25x .∵x >0，∴x ＋6.25x≥2x ·6.25x＝5. ∴tan ∠ACB ≤125，当且仅当x ＝6.25x ，即x ＝2.5时，tan ∠ACB 取得最大值为125.∵∠ACB 为锐角，正切函数在(0，π2)上递增，∴当x ＝2.5时，∠ACB 最大． 即离墙2.5 m 时，视角最大．。

基本不等式（简答题：较难）1、（1）已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；（2）已知x>0，y>0且＝1，求x＋y的最小值．2、已知曲线上有一点列过点在x轴上的射影是，且1＋2＋3＋…＋n＝2n+1－n－2.（n∈N*）（1）求数列{}的通项公式（2）设四边形的面积是，求（3）在（2）条件下，求证： .3、在平面直角坐标系中，已知椭圆，如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（1）求的最小值；（2）若，求证：直线过定点.4、如图设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为4840 cm2，画面上下边要留8cm空白，左右要留5cm空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画面所用纸张面积最小？5、设函数的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中为自然对数的底数.（1）求的解析式，并证明：当时，；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．6、已知关于x不等式x2﹣2mx+m+2<0（m∈R）的解集为M．（1）当M为空集时，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，求的最大值；（3）当M不为空集，且M [1，4]时，求实数m的取值范围．7、已知直线l经过点P（2，2）且分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A、B两点，O为坐标原点.(1)求面积的最小值及此时直线l的方程；(2)求的最小值及此时直线l的方程.8、. 问：是否存在正数m，使得对于任意正数，可使为三角形的三边构成三角形？如果存在：①试写出一组x,y,m的值，②求出所有m的值；如果不存在，请说明理由.9、若，，且|k＋b|＝|－kb|(k＞0)．（Ⅰ）用k表示数量积；（Ⅱ）求的最小值.10、已知曲线上有一点列过点在x轴上的射影是，且1＋2＋3＋…＋n＝2n+1－n－2.（n∈N*）（1）求数列{}的通项公式（2）设四边形的面积是，求（3）在（2）条件下，求证： .11、已知函数（其中，是自然对数的底数），为导函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）对任意，恒成立，求整数的最大值.12、已知函数，.（1）求证：（）；（2）设，若时，，求实数的取值范围.13、（2011年苏州B19）某企业有员工共100名，平均每人每年创造利润10万元．为了进一步提高经济效益，该企业决定优化产业结构，调整部分员工从事第三产业．经测算，若x（20≤x≤50，x∈）名员工从事第三产业，则剩下的员工平均每人每年创造的利润可提高20%，而从事第三产业的员工平均每人每年创造利润为万元．（1）如果要保证调整后该企业的全体员工创造的年总利润，至少比原来的年总利润多150万元，求可从事第三产业员工的最少人数与最多人数；（2）如果要使调整后该企业的全体员工创造的年总利润最大，求从事第三产业的员工人数．14、（2014年苏州B18）如图，在中，，，（1）求的长和的值；（2）延长到，延长到，连结，若四边形的面积为，求的最大值．15、在中，内角、、所对的边分别是、、，不等式对一切实数恒成立.(1)求的取值范围；(2)当取最大值，且的周长为9时，求面积的最大值，并指出面积取最大值时的形状.16、已知数列满足：.（1）求证：；（2）求证：.17、已知函数，（为常数）.（1）函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数的值；（2）若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围；（3）若，，且，都有成立，求实数的取值范围.18、宜昌一中江南新校区拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角（弧度）.（1）求关于的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为，求关于的函数关系式，并求出的最大值.19、（本小题满分10分）已知正数满足：，若对任意满足条件的:恒成立，求实数的取值范围．20、（1）已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；（2）已知x>0，y>0且＝1，求x＋y的最小值．21、已知实数，且，若恒成立.（1）求实数m的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数x的取值范围.22、（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知正实数满足：.（1）求的最小值;（2）设函数,对于（1）中求得的,是否存在实数,使得成立,说明理由.23、选修4—5：不等式选讲设，求证：．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数,（1）当时，求不等式的解集;（2）若的解集包含，求的取值范围．25、给定数列(1)判断是否为有理数,证明你的结论;(2)是否存在常数.使对都成立? 若存在,找出的一个值, 并加以证明; 若不存在,说明理由.26、已知a，b是正常数，，求证：，指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数的最小值，指出取最小值时x的值.27、已知函数（1）解关于的不等式；（2）若存在，使得的不等式成立，求实数的取值范围．28、已知,证明：，并利用上述结论求的最小值(其中．29、如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，AN的长应在什么范围内？(2)M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．30、已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若对，有成立，求实数的取值范围.31、某工厂建一个长方形无盖蓄水池，其容积为4800m3,深度为3m。

第四节 基本不等式导学案（第1课时）【学习目标】1.掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用2．利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”．3．学生积极主动，享受到学数学的乐趣，体验成功的快乐。

要点精讲：1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一．预习案认真完成《金版教程》P92练习题二．探究、合作、展示1．认真完成《金版教程》P92例题1。

我的疑惑：（把你在自学或小组探究中碰到的问题写在这里）三．当堂检测案1．函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为( ) A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞) 解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x≥2， 当且仅当x ＝1时取等号．答案 C2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1. 答案 B3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )A.12B ．1C ．2D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12. 答案 A4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 x －1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －2我的收获：（总结规律及方法，构建自己的知识体系）第四节 基本不等式导学案（第2课时）【学习目标】1.掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用2．利用基本不等式求最值3．学生积极主动，享受到学数学的乐趣，体验成功的快乐。

课时作业(三十七)B [第37讲 基本不等式][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．已知a ，b ∈R ，下列不等式中不正确的是( )A ．a 2＋b 2≥2ab B.a ＋b 2≥ab C ．a 2＋4≥4a D.4b 2＋b 2≥42．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－43．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝4，则5x ＋5y的最小值是( ) A ．9 B ．25 C ．50 D ．1624．已知0<x <13，则x (1－3x )取最大值时x 的值是________．能力提升5．[2011·太原重点中学联考] 若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b 有最大值4 B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值226．[2010·重庆卷] 已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1127．若log 2x ＋log 2y ＝8，则3x ＋2y 的最小值为( )A ．4B ．8C ．4 6D ．8 68．设f (x )＝|2－x 2|，若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．(0,22) C ．(0,4) D ．(0，2) 9．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．10．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．11．设a ＞0，b ＞0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于________．12．(13分)(1)已知a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，求证：a 2x ＋b 2y ≥a ＋b 2x ＋y，指出等号成立的条件；(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值，指出取最小值时x 的值．难点突破13．(12分)如图K37－1，公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上．(1)设AD ＝x (x ≥0)，ED ＝y ，求用x 表示y 的函数关系式；(2)如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE图K37－1课时作业(三十七)B【基础热身】1．B [解析] 对于基本不等式成立的前提条件是a 、b 必须都非负．2．C [解析] ∵x <0，∴－x >0，∴x ＋1x －2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x －2≤－2·－x1－x －2＝－4，等号成立的条件是－x ＝1－x，即x ＝－1. 3．C [解析] 5x＋5y≥25x ＋y＝254＝50，当且仅当x ＝y ＝2时，5x ＋5y得最小值是50.4.16 [解析] 因为0<x <13，所以0<1－3x <1， 所以x (1－3x )＝13[3x (1－3x )]≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋－3x 22＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，x (1－3x )取得最大值． 【能力提升】5．C [解析] 由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab 2，所以ab ≤14，故B 错；1a＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b 2≤a ＋b 2＝12，即a ＋b ≤2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错．6．B [解析] 依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋y ＋＝6， ∴x ＋2y ≥4，即x ＋2y 的最小值是4.7．D [解析] 由log 2x ＋log 2y ＝8，得log 2xy ＝8，所以xy ＝16，且x >0，y >0，所以3x ＋2y ≥26xy ＝86，当且仅当3x ＝2y ，xy ＝16时，取得最小值8 6.故选D.8．B [解析] 若0＜a ＜b ＜2，则有f (a )＞f (b )，与f (a )＝f (b )矛盾；若2＜a ＜b ，则有f (a )＜f (b )，与f (a )＝f (b )矛盾，故必有0＜a ＜2＜b ，因此由|2－a 2|＝|2－b 2|得2－a 2＝b 2－2，∴a 2＋b 2＝4，故a ＋b 2≤a 2＋b 22＝2(a ＝b 时取等号)，∴0＜a ＋b ＜2 2.9.94 [解析] 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋p x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，则2p ＋1＝4，解得p ＝94.10．18 [解析] 由基本不等式得xy ≥22xy ＋6，令xy ＝t 得不等式t 2－22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)，或者t ≥32，故xy 的最小值为18.11．－4 [解析] 由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0，得k ≥－a ＋b 2ab ，而a ＋b 2ab ＝b a ＋ab ＋2≥4(a＝b 时取等号)，所以－a ＋b 2ab ≤－4，因此要使k ≥－a ＋b2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.12．[解答] (1)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2y x ＋b 2x y ≥a 2＋b 2＋2a 2y x ·b 2xy＝(a ＋b )2，故a 2x ＋b 2y ≥a ＋b 2x ＋y， 当且仅当a 2y x ＝b 2x y ，即a x ＝b y时上式取等号．(2)由(1)得f (x )＝222x ＋321－2x ≥＋22x ＋－2x＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时上式取最小值，即f (x )min ＝25. 【难点突破】13．[解答] (1)在△ADE 中，y 2＝x 2＋AE 2－2x ·AE ·cos60°⇒y 2＝x 2＋AE 2－x ·AE .①又S △ADE ＝12S △ABC ⇒32＝12x ·AE ·sin60°⇒x ·AE ＝2.②将②代入①得y 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－2(y ＞0)，∴y ＝x 2＋4x2－2(1≤x ≤2)．(2)如果DE 是水管y ＝x 2＋4x2－2≥2·2－2＝2，当且仅当x 2＝4x2，即x ＝2时“＝”成立，故DE ∥BC ，且DE ＝ 2.如果DE 是参观线路，记f (x )＝x 2＋4x2，可知函数f (x )在[1，2]上单调递减，在[2，2]上单调递增， 故f (x )max ＝f (1)＝f (2)＝5，∴y max ＝5－2＝ 3. 即DE 为AB 边中线或AC 边中线时，DE 最长．。

课时作业(三十七)A [第37讲 基本不等式][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．[2011·合肥质检] 若M ＝a 2＋4a (a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( ) A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4] C ．[4，＋∞) D ．[－4,4]2．已知ab ≠0，a ，b ∈R ，则下列式子总能成立的是( ) A.b a ＋a b ≥2 B.b a ＋ab ≥－2C.b a ＋ab ≤－2 D.⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥23．[2011·重庆卷] 若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．44．对一切正数m ，不等式n <4m ＋2m 恒成立，则常数n 的取值范围为( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，42) C ．(42，＋∞) D ．[42，＋∞) 能力提升 5．[2011·陕西卷] 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜bC ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2 D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b6．[2011·安徽百校联考] 已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定7．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出⎝⎛⎭⎫如前10天的平均售出为f (10)10的月饼最少为( )A ．18B ．27C ．20D ．168．设a 、b 、c 都是正数，那么a ＋1b 、b ＋1c 、c ＋1a三个数( )A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于29．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系为________．10．[2011·吉林质检] 已知2a ＋3b ＝6，且a >0，b >0，则32a ＋1b 的最小值是________．11．下列函数中，y 的最小值为4的是________(写出所有符合条件的序号)．①y ＝x ＋4x (x >0)；②y ＝2(x 2＋3)x 2＋2；③y ＝e x ＋4e －x ；④y ＝sin x ＋4sin x .12．(13分)若x ，y ∈R ，且满足(x 2＋y 2＋2)(x 2＋y 2－1)－18≤0. (1)求x 2＋y 2的取值范围； (2)求证：xy ≤2.难点突破13．(6分)(1)[2011·惠州模拟] 若x、y、z均为正实数，则xy＋yzx2＋y2＋z2的最大值是()A.22 B. 2 C．2 2 D．2 3(6分)(2)设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值是________．课时作业(三十七)A【基础热身】1．A [解析] M ＝a 2＋4a (a ∈R ，a ≠0)，当a >0时，M ≥4，当a <0时，M ≤－4. 2.D [解析] 选项A 、B 、C 中不能保证b a 、ab 都为正或都为负．3．C [解析] ∵x ＞2，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．4．B [解析] 由题意知，n 小于函数f (m )＝4m ＋2m 在(0，＋∞)上的最小值，f (m )min＝4 2.【能力提升】5．B [解析] 因为0<a <b ，由基本不等式得ab <a ＋b 2，a <b ，故a ＋b 2<b ＋b2＝b ，a ＝aa <ab ，故答案为B.6．C [解析] 依题意得A ＝a ＋b 2，G ＝ab ，故AG ＝a ＋b2·ab ≥ab ·ab ＝ab .7．A [解析] 平均销售量y ＝f (t )t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t ＋10≥18，当且仅当t ＝16t，即t ＝4∈[1,30]等号成立，即平均销售量的最小值为18.8．D [解析] 假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2，则 ⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a <6， 而⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾， ∴a ＋1b 、b ＋1c 、c ＋1a 至少有一个不小于2.选D.9．P <Q <R [解析] ∵a >b >1，所以lg a >0，lg b >0，由基本不等式知12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，所以P <Q ，又a ＋b 2>ab ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，所以R >Q ，所以P <Q <R .10．2 [解析] ∵2a ＋3b ＝6，a >0，b >0，∴a 3＋b2＝1，∴32a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫32a ＋1b ⎝⎛⎭⎫a 3＋b 2＝1＋3b 4a ＋a 3b ≥1＋1＝2，当3b 4a ＝a3b 时，即3b ＝2a 时“＝”成立．11．①③ [解析] ①y ＝x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，等号成立的条件是x ＝2；②y ＝2(x 2＋3)x 2＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2＋1x 2＋2 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2＋1x 2＋2≥4，但等号不成立；③y ＝e x ＋4e －x ＝e x ＋4ex ≥4，等号成立的条件是x ＝ln2；④当sin x >0时，y ＝sin x ＋4sin x ≥4，但等号不成立； 当sin x <0时，y ＝sin x ＋4sin x <－4.12．[解答] (1)由(x 2＋y 2)2＋(x 2＋y 2)－20≤0， 得(x 2＋y 2＋5)(x 2＋y 2－4)≤0，因为x 2＋y 2＋5＞0，所以有0≤x 2＋y 2≤4， 故x 2＋y 2的取值范围为[0,4]．(2)证明：由(1)知x 2＋y 2≤4，由基本不等式得xy ≤x 2＋y 22≤42＝2，所以xy ≤2.【难点突破】13．(1)A (2)3 [解析] (1)∵x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴x 2＋y 2＋z 2＝x 2＋12y 2＋12y 2＋z 2≥2x 2·12y 2＋212y 2·z 2＝2(xy ＋yz )，当且仅当x ＝z ＝22y 时取等号，令u ＝xy ＋yz x 2＋y 2＋z 2，则xy ＋yz x 2＋y 2＋z 2≤xy ＋yz 2(xy ＋yz )＝22，∴当且仅当x ＝z ＝22y 时，u 取得最大值22. (2)由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，代入y 2xz 得y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz≥6xz ＋6xz 4xz ＝3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”．。

3.1 基本不等式课时过关·能力提升1.若a>b>0,则下列不等式成立的是( )A.a>b >a+b 2>√abB.a >a+b 2>√ab >bC.a >a+b 2>b >√abD.a >√ab >a+b 2>ba>b>0,∴a =a+a2>a+b2. ∵a+b2>√ab,且√ab >√bb =b, ∴a >a+b2>√ab >b.2.下列不等式中,对任意实数x 都成立的是( )A.lg(x 2+1)≥lg 2xB.x 2+1>2xC .1x +1≤1 D.x +1x ≥2中,当x<0时都不成立,B 中,当x=1时不成立,故选C .3.若x>0,y>0,则A=(√π)x +y 与B =π√xy 的大小关系是( )A.A>BB.A ≥BC.A<BD.A ≤Bx>0,y>0,∴x+y2≥√xy.又A=(√π)x +y =πx+y2,且指数函数y=πx 是增函数,∴A ≥B.4.若0<a<1,0<b<1,则a+b ,2√ab,a2+b2,2ab 中,最大的一个是()A.a+bB.2√abC.a2+b2D.2ab,得a2+b2≥2ab,a+b≥2√ab.∵0<a<1,0<b<1,∴(a2+b2)-(a+b)=a(a-1)+b(b-1)<0.∴a2+b2<a+b.∴最大的一个是a+b.5.若x>0,y>0,且x+y=4,则下列不等式恒成立的是()A.1x+y >4 B.1x+1y≥1C.√xy≥2D.1xy≥1x>0,y>0,且x+y=4,∴1x+y =14,故A错误.√xy≤x+y2=2,故C错误.∵xy≤(x+y2)2=4,∴1xy≥14,故D错误.1 x +1y=x+y4x+x+y4y=14+y4x+x4y+14≥12+2√y4x·x4y=12+12=1,当且仅当x=y=2时,等号成立,故选B.6.已知a>b>c,则√(a-b)(b-c)与a-c2的大小关系是_____________.a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴√(a-b)(b-c)≤a-b+b-c2=a-c2.√(a-b)(b-c)≤a-c27.已知log2x+log2y=1,则x+2y的最小值为.log2x+log2y=1,∴log2xy=1,∴xy=2,x·2y=4.又x>0,y>0,∴x+2y≥2√=4,当且仅当x=2y=2时,等号成立.8.设a>0,b>0,给出下列不等式:①(a+1a )(b+1b)≥4;②(a+b)(1a +1b)≥4;③a2+9>6a;④a2+1+1a+1>2.其中恒成立的有.(填序号)a+1a ≥2√a·1a=2,b+1b≥2√b·1b=2,∴(a+1a )(b+1b)≥4,当且仅当a=1,b=1时,等号成立,故①正确;(a+b)(1a +1b)=1+1+ba+ab≥2+2·√ba·ab=4,当且仅当a=b时,等号成立,故②正确;a2+9≥2√a2·9=6a,当且仅当a=3时,等号成立,即当a=3时,a2+9=6a,故③不正确;a2+1+1a2+1≥2√(a2+1)·1a2+1=2,当且仅当a2+1=1a+1,即a=0时,等号成立.∵a>0,∴等号不成立,故④正确.★9.已知a>b>1,P=√Q=lga+lgb2,R=lg(a+b2),试比较P,Q,R的大小.a>b>1,根据对数函数的单调性有lg a>lg b>0,可以用基本不等式比较三个式子的大小.a>b>1,∴lg a>lg b>0,∴√lga·lgb<lga+lgb2,即P<Q.对√ab<a+b2两边取常用对数,得l g√ab<lg(a+b2),∴lga+lgb2<lg(a+b2),即Q<R.∴P<Q<R.★10.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:√a+12+√b+12≤2.+12=√1·(a+12)≤1+a+122=34+a2,当且仅当a=12时,等号成立.同理√b+12≤34+b2,当且仅当b=12时,等号成立.∴√a+12+√b+12≤34+a2+34+b2=32+12(a+b)=32+12=2,当且仅当a=b=12时,等号成立.∴√a+12+√b+12≤2.。

§3 基本不等式（数学北京师大版必修5）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.下列函数中，最小值为4的函数是（）A.y=x+B.y=sin x+(0＜x＜π)C.y=D.y=+2.已知f(x)＝x+ 2(x＜0),则f(x)的（）A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为-4D.最小值为-43.设a＞1，b＞1且ab-（a+b）=1，那么（）A.a+b有最小值2（2+1）B.a+b有最大值（2+1）2C.ab有最大值2+1D.ab有最小值2（2+1）4.设，则a2+的最小值是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题(每小题5分，共20分) 5．若实数a，b满足ab=a+b+3，则a+b的取值范围是.6．当a＞1时，+a的最小值为. 7.已知关于x的不等式在x∈(a,+∞)上恒成立，则实数a的最小值为____________.8.某商场中秋节前30天月饼销售总量f(t)（单位：盒）与时间t(0＜t≤30，单位：天)的关系大致满足＝，则该商场前t天的平均销售量最少为______________.三、解答题(共60分)9．（12分）已知，，∈（0，+∞），求证：2ab+2bc+2ca≥a+b+c.10. (12分)求函数f（x）=2x（5-3x），x∈（0，53）的最大值.11．（12分）已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，求1x+1y的最小值.12.（12分）某单位决定投资3 200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元.计算：仓库底面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？13.（12分）某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x张(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x).(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由.§3 基本不等式（数学北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6． 7． 8．三、解答题9.10.11.12.13.§3 基本不等式（数学北京师大版必修5）参考答案一、选择题1.C 解析：A 项，y =x + 4≥4或x + 4≤-4，∴ A 项不正确；B 项等号不能取到；D 项，y log 34log 3与A项相同，所以只有C 项正确.2.C 解析：∵ x ＜0，∴ -x ＞0，∴ x + 1-2=-[(-x )+ 1]-2≤-2·1-2=-4，等号成立的条件是-x =1，即x =-1.3.A 解析：∵ ab-（a+b ）=1，ab ≤（2a b +）2， ∴ （2a b +）2-（a+b ）≥1，它是关于a+b 的一元二次不等式， 解得a+b ≥2（2+1）或a+b ≤2（1-2）（舍去）. ∴ a+b 有最小值2（2+1）. 又∵ ab-（a+b ）=1，a+b ≥2ab ，∴ ab-2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式， 解得ab ≥2+1，或ab ≤1-2（舍去）. ∴ ab ≥3+22，即ab 有最小值3+22，选A. 4. D 解析：a 2+1ab +1()a a b -=a 2-ab+ab+1ab +1()a ab - +1()a a b -+ ab +1ab≥2+2=4，当且仅当a （a-b ）=1且ab =1，即a =2，b =22时取等号. 二、填空题5. （-∞，-2］∪［6，+∞） 解析：∵ ab ≤，∴ ab =a+b+3≤，∴ （a+b ）2-4（a+b ）-12≥0， 即［（a+b ）-6］·［（a+b ）+2］≥0， ∴ a+b ≥6或a+b ≤-2，∴ 所求a+b 的取值范围是（-∞，-2］∪［6，+∞）.6.5解析：41a-+a=41a-+（a-1）+1≥24(1)1aa∙--+1=5，当且仅当41a-=a-1，即a=3时取等号，所以41a-+a的最小值为5.7. 32解析：因为x＞a，所以2x+ 2 =2(x-a)+ 2 +2a≥2 22 +2a=2a+4，即2a+4≥7，所以a≥32，即a的最小值为32.8.18 解析：平均销售量y= 21016 =t+ 16 +10≥18，当且仅当t= 16，即t=4∈［1，30］时等号成立，即平均销售量最少为18.三、解答题9.证明：∵a，b∈（0，+∞），∴2ab+b≥22a=2a，同理2bc+c≥22b=2b，2ca+a≥22c=2c，当且仅当a=b=c时，上述三式均取“=”.三式两边分别相加得2ab+b+2bc+c+2ca+a≥2a+2b+2c，即2ab+2bc+2ca≥a+b+c.10．解：∵x∈(0，53)，∴5-3x＞0.∴f（x）=2x·（5-3x）=23［3(53)x x-］2≤23·(3532x x+-)2=256.当且仅当3x=5-3x，即x=56时，等号成立.故f（x）的最大值为25 6.11.解：因为x＞0，y＞0，且x+2y=1，所以1x+1y=2x yx++2x yy+=1+2+2yx+xy≥3+23+22.当且仅当2yx=xy且x+2y=1，即x=2-1，y=1-22时，取等号.所以1x+1y的最小值为3+22.12.解：设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则有S=xy.由题意得40x+2×45y+20xy 3 200.由基本不等式得3 200≥2 y+20xy=120xy+20xy=120S+20S，∴S+6S≤160，即（S+16）（S-10）≤0.∵S+16＞0，∴S-10≤0，从而S≤100.因此S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x=90y，而xy=100，由此求得x=15，即铁栅的长应是15米.13.解：(1)设题中比例系数为k，若每批购入x张书桌，则共需分36批，每批价值为20x元，由题意得f(x)= 36·4+k·20x.由x=4时，f(x)=52，得k= 1680 = 15.∴f(x)= 144 +4x(0＜x≤36，x∈N).(2)由(1)知f(x)= 144 +4x(0＜x≤36，x∈N)，∴f(x)≥2 144448(元). 当且仅当144 =4x，即x=6时，上式等号成立.故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用.。