江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习(第一层次)专题3-不等式问题

专题6：三角恒等变换与解三角形（两课时）班级 姓名一、前测训练1．（1）已知cos(α＋π6)＝13，α∈(0，π2)，则cos α＝ ；sin(α＋π3)＝ ；，cos(2α＋π6)＝ ． 答案：16（3＋22）；13；16（22－3）； （2）已知cos(π4＋x )＝35， 17π12＜x ＜7π4，则sin2x ＋2sin 2x 1－tan x＝ ． 答案：2875（3）计算 2sin50°＋sin80°(1＋3tan10°)1＋cos10°＝ ． 答案：2（4）已知tan(π4＋α)＝12．则sin2α－cos 2α1＋cos2α＝ ． 答案：－562．（1）在△ABC 中，b ＝3，B ＝60°，c ＝1，则C ＝ ；a ＝ ．答案：30°；2；（2）在△ABC 中，A ＝1200，a ＝7，b ＋c ＝8，则b ＝ ；c ＝ ．答案：3或5；5或3（3） 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ， AD ＝10， AB ＝14，∠BDA ＝60︒， ∠BCD ＝135︒ ，则BC ＝ .答案：8 23．（1）在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为 ．答案：等腰或直角三角形（2） 在△ABC 中，sin A ＝2cos B sin C ，则△ABC 的形状为 ．答案：等腰三角形 二、方法联想1．三角变换基本想法（1）角：观察角的联系，实现角的统一．（2）名：弦切互化，异名化同名．形：公式变形与逆用．幂：平方降幂，根式升幂．解题前先观察角的联系，分析角的变化，实现角的统一，从而决定解题方向，再结合三角函数名、公式的变形、幂的升降，做出公式的选择．常见的角的变形有：（1）可化为特殊角；（2）可以化为同角；（3）可分析角与角之间的关系，如和，差，倍等等；（4）可实现条件、结论中角的转化．注意点：判断角的范围，确定三角函数值的正负或角的值．若在已知范围内不能确定时，利用三角函数值的正负或大小来缩小角的范围．变式1：已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β＝________. （答案：π4，考查用已知角表示所求的角） 2．解三角形（1）三角形的几个关系①角角关系：A ＋B ＋C ＝π；②边角关系：正弦定理和余弦定理，大边对大角；③边边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．（2）解三角形方法①三角形的六个量中只要知道其中三个量（至少已知一条边）便可以求出其他三个量；②正弦定理运用的条件是：两角一边，两边和其中一边说对的角；余弦定理运用的有条件是：两边一夹角，三边；其中两边和其中一边说对的角的条件，既可以用正弦定理也可以用余弦定理，但都必须注意“一解”和“两解”的问题．3．与三角形有关的三角函数问题具体做法：（1）A ＋B ＋C ＝π可消元；（2）遇到正弦要当心！优先考虑可能出现的一解和两解问题；（3）边角转化，利用（1）a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 或（2）cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等进行边角互化，即边化角或角化边．说明：在解答题中，由于考三角函数的变形较为常见，所以，常常“边化角”，而在填空题中，随意．变式1：在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝ ． （答案：－1010，考查平面几何图形中选用正弦定理与余弦定理求解相关的几何量） 变式2：若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是 . （答案：6－24，考查三角形中的边角转化)三、例题分析例1. 已知a ＝(1，－sin α)，b ＝(sin(α+2β)，2)，a ·b ＝0．（1）若sin β＝35，β是钝角，求tan α的值；（2）求证：tan(α+β)＝3tan β． 解答：a ＝(1，－sin α)，b ＝(sin(α+2β)，2)，a ·b ＝0，所以sin(α+2β)－2 sin α＝0．（1）－2443； （2）因为sin(α+2β)＝2 sin α，即sin[(α+β)+β]＝2sin[(α+β)－β] 得sin(α+β)cos β+ cos (α+β)sin β＝2[sin(α+β)cos β－cos(α+β)sin β]移项得sin(α+β)cos β＝3 cos(α+β)sin β，等式两边同时除以cos(α+β)cos β得 tan(α+β)＝3tan β〖教学建议〗（1）主要问题归类与方法：1．三角恒等变形主要是变角，变式，这个顺序也就决定解题的大的思路；2．变角是三角恒等变形中重要的第一步，根据问题的特征，主要是角的形式的统一．（2）方法选择与优化建议：1．三角函数的求值问题与代数问题的求知一致，根据问题的特点可以直接计算，也可以间接计算（解方程）．2．三角恒等变形，首先应该变角，本题解题的关键，就是实现已知角中的形式，向未知角中的形式转化．例2：在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b. （1）求sin C sin A 的值；（2）若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的大小． 答案：（1）sin C sin A＝2；（2） b ＝2. 〖教学建议〗（1）主要问题归类与方法：1．边角互化问题，方法有：①利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 将边化为角；②利用cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等将余弦化为边； ③c cos B ＋b cos C ＝a 等化角为边．2．求边长问题，方法有：①利用正弦定理求边；② 利用余弦定理求边．（2）方法选择与优化建议：1．对于等式cos A －2cos C cos B ＝2c －a b的右边，我们可以选择方法①，化变为角，推导出sin C ＝2sin A ； 如果利用cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc 等将等式cos A －2cos C cos B ＝2c －a b的左边余弦化为边来做，运算量较大， 所以不选择方法②．由于等式cos A －2cos C cos B ＝2c －a b可以化为b cos A ＋a cos B ＝2(b cos C ＋c cos B )，即c ＝2a ，所以也可以选择方法③．2．因为从第一问已经可以得到c ＝2a ，又a ＋b ＋c ＝5，所以三边可以转化为只含有一个未知量b ，利用减元消元解方程的方法解决问题，因此选择方法②的余弦定理解决问题比较方便．例3：已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，若满足3tan A tan B －tan A －tan B ＝3.（1）求∠C 的大小；（2）若c ＝2，且△ABC 为锐角三角形，求a 2＋b 2的取值范围.答案：（1）π3；（2）(203，8)] . 〖教学建议〗（1)主要问题归类与方法：1．求三角形中的某个角的大小：利用三角公式求这个角的某一三角函数．2．求代数式的范围问题.利用函数的知识，转化为求函数值域．（2)方法选择与优化建议：1．由于本题中涉及到的三角函数为正切，所以考虑求角的正切值，从而求角的大小；三角恒等变形中应注意公式的变形使用，解三角形问题时要注意利用隐含条件A ＋B ＋C ＝π.2．利用正弦定理将a 2＋b 2表示为角A 或角B 的三角函数关系式，并将之变形整理为f (x )＝A sin(ωx＋ϕ)＋B 的形式求范围.本题中需注意的是“△ABC 为锐角三角形”必须保证所有的角都是锐角，这是求范围的关键所在.例4：如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m /min .在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35. (1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？答案：(1) AB 的长为1 040 m.；(2)当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短． (3)乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．〖教学建议〗（1)主要问题归类与方法：1．求角及边长问题，方法为先利用两角和差关系求sin B ，再利用正弦定理求边长AB .2．余弦定理应用问题，其中涉及二次函数最值问题.方法为利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t 的函数．3．解三角形的实际应用问题，方法为利用正弦定理求BC ，将两位游客互相等待的时间不超过3分钟用不等式表示，利用两者的时间差所在范围求解速度范围.（2)方法选择与优化建议：1．已知两角一边或两边和一边对角利用正弦定理解三角形．注意点有：利用两边和一边对角求另一边的对角时容易忽视解的情况的判断.2．已知两边和夹角，常用余弦定理求出第三边.3．求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答．四、反馈练习1.已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝________. 答案：－34；(考查三角变换，二倍角公式). 2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A＝ . 答案：72；(考查正弦定理). 3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，若a 2－c 2＝3b ，且sin B ＝8cos A sin C ，则边b ＝ . 答案：4；(考查两角和差的三角函数关系，正余弦定理).4.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，，则△ABC 的面积为 . 答案：32；(考查正弦定理).5.△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则△ABC 的形状是 ． 答案：等边三角形；(考查正余弦定理，等差数列与等比数列).6. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________. 答案：8；(考查余弦定理，三角形面积).7.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 的面积的最大值为____________．答案：3；(考查正、余弦定理).8.钝角△ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝ . 答案：5；(考查正、余弦定理)9.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ， 3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为 .答案：6∶5∶4；(考查正、余弦定理).10.在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝________. 答案： －1010(考查解三角形，三角变换). 11.已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－7210． （1）求cos2α的值；（2）求2α－β 的值．答案：（1）cos2α＝－ 35； （2） 2α－β＝－π4． （考查两角和差的三角函数关系）.12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B ．(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小. 答案：(1)略；(2) A ＝π2或A ＝π4. （考查正、余弦定理，三角形面积与三角变换）.13.已知△ABC 的面积为S ，且─→AB ·─→AC ＝S .（1）求tan2A 的值；（2）若B ＝π4，|─→CB －─→CA |＝3，求△ABC 的面积S . 答案：（1）－43；（2）3. （考查正、余弦定理，平面向量，三角变换）.14.如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．答案：设计∠AMN 为60 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小． （考查正、余弦定理的应用，三角变换，求函数最值，解析几何，矩阵变换等）.APM N B C。

第3练“三个二次”的转化与应用[题型分析·高考展望］“二次函数、二次方程、二次不等式"是高中数学知识的基础，在高考中虽然一般不直接考查，但它是解决很多数学问题的工具．如函数图象问题、函数与导数结合的问题、直线与圆锥曲线的综合问题等．“三个二次”经常相互转化，相辅相成，是一个有机的整体．如果能很好地掌握三者之间的转化及应用方法，会有利于解决上述有关问题，提升运算能力．体验高考1．（2015·陕西改编)对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c（a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是________．①－1是f（x)的零点；②1是f（x)的极值点；③3是f（x）的极值;④点(2,8)在曲线y＝f(x)上．答案①解析①正确等价于a－b＋c＝0，(ⅰ）②正确等价于b＝－2a,（ⅱ）③正确等价于错误!＝3，(ⅲ)④正确等价于4a＋2b＋c＝8。

（ⅳ)下面分情况验证，若①错，由（ⅱ）、（ⅲ)、（ⅳ)组成的方程组的解为错误!符合题意;若②错，由（ⅰ)、（ⅲ)、(ⅳ)组成的方程组消元转化为关于a的方程后无实数解;若③错,由(ⅰ)、（ⅱ)、（ⅳ)组成方程组，经验证a无整数解；若④错，由（ⅰ）、(ⅱ)、(ⅲ)组成的方程组a的解为－错误!也不是整数．2．(2015·天津改编）已知函数f（x）＝错误!函数g(x）＝b－f(2－x），其中b∈R，若函数y＝f（x)－g(x）恰有4个零点，则b的取值范围是________．答案错误!解析记h(x)＝－f(2－x)在同一坐标系中作出f(x）与h（x)的图象如图，直线AB:y＝x－4,当直线l∥AB且与f（x)的图象相切时，由错误!解得b′＝－错误!，－错误!－（－4)＝错误!,所以曲线h(x)向上平移错误!个单位后，所得图象与f（x)的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当错误!＜b＜2时，f（x）与g(x)的图象有四个不同的交点，即y＝f(x）－g(x）恰有4个零点．3．（2016·江苏）函数y＝错误!的定义域是________．答案[－3,1]解析要使原函数有意义，需且仅需3－2x－x2≥0。

专题4：导数及其应用（两课时）班级 姓名一、前测训练1．（1）曲线y ＝x 3上在点(－1，－1)的切线方程为 ． （2）曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 过点(0，0)的切线方程为 ． 答案：（1）y ＝3x ＋2． （2）y ＝2x 或y ＝－14x ．解析：（1）y ′＝3x 2，则切线的斜率是3×（－1）2，再利用点斜式(2) y ′＝3x 2－6x ＋2，设切点为（x 0，x 03－3x 02＋2x 0）,则切线的斜率为3x 02－6x 0＋2. 切线方程为y －（x 03－3x 02＋2x 0）＝（3x 02－6x 0＋2）（x －x 0），（0，0）代入，得x 0的值，从而得到切线方程2．（1）函数f (x )＝2x 2－ln x 的减区间为 ．（2）函数f (x )＝13x 3－ax 2－4在(3，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为 ． 答案：（1）(0，12)．（2）a ≤32．解析：（1）定义域为（0，＋∞）；求导，f ′(x )＝4x －1x ，令f ′(x )＜0，解不等式(2) f (x )＝13x 3－ax 2－4在(3，＋∞)上是增函数，则f ′(x )＝x 2－2ax ≥0对x ∈(3，＋∞)恒成立 ∴2a ≤x ，∴2a ≤33．求下列函数极值(或最值)：（1） f (x )＝x ln x （2）f (x )＝sin x －12x ，x ∈[－π2，π2] 答案：（1）当x ＝1e 时，f (x )取极小值－1e ．（2）当x ＝－π3时，f (x )取最小值π6－32．当x ＝π3时，f (x )取最大值32－π6． 解析：（1）f ′(x )＝lnx ＋1，令f ′(x )＝0，则x ＝1e ，列表格得到单调性，求出极小值 (2)f ′(x )＝cosx －12，令f ′(x )＝0，则x ＝±π3，列表格得到单调性，求出极小值极大值4．已知函数f (x )＝ax 2－ln x －1(a ∈R )，求f (x )在[1，e ]上的最小值． 答案：当a ≤12e 2时，f (x )在[1，e ]上的最小值为f (e)＝a e 2－2．当12e 2＜a ＜12时，f (x )在[1，e ]上的最小值为f (12a )＝12(ln2a －1)．当a ≥12时，f (x )在[1，e ]上的最小值为f (1)＝a －1． 解析： 解：f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x ，当a ≤0时，f ′(x )＜0，f (x )在[1，e ]上为减函数，所以f (x )的最大值为f （1），最小值为f （e ）＝ae 2－2．当a ＞0时，令f （x ）＝0得2ax 2＝1，①由①得x ＝12a ，（1）若12a ≤1，即a ≥12时，f ′(x )≥0，f (x )在[1，e]上为增函数，∴最小值为f （1）＝a －1（2）若1＜12a ＜e ，即12e 2＜a ＜12时，f (x )在（1，12a ）上为减函数，在（12a ，e ）上为增函数，∴当x ＝12a ，函数f (x )取得极小值，同时也是最小值f （12a ）＝12(ln2a －1)．（3）若12a ≥e ，即a ≤12e2时，f (x )在（1，e ）上为减函数，最小值为f (e)＝a e 2－2． 综上得：当a ≤12e 2时，f (x )在[1，e ]上的最小值为f (e)＝a e 2－2． 当12e 2＜a ＜12时，f (x )在[1，e ]上的最小值为f (12a )＝12(ln2a －1)．当a ≥12时，f (x )在[1，e ]上的最小值为f (1)＝a －1．5．若不等式ax 2＞ln x ＋1对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 答案：a ＞e2解析：ax 2＞ln x ＋1∴a ＞ln x ＋1x 2，令f (x )＝ln x ＋1x 2，只要a ＞f (x )max6．已知f (x )＝ax 2，g (x )＝ln x ＋1，若y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有两个交点，求实数a 的取值范围． 答案：(0，e2)解析：ax 2＝ln x ＋1有两个根，则ax 2－ln x －1＝0有两解。

专题3：不等式问题班级 姓名一、前测训练1． 解下列不等式：(1)－3x 2＋4x ＋4＞0 (2)－2＋xx ＋1≤2 (3) 4x －3·2x ＋12－8≤0 （4）ax 2－ax ＋1＜0答案：(1)(－23，2)；(2) (－∞，－4]∪(－1，＋∞)； (3)(－∞，52]；(4) 当0≤a ≤4时，解集为∅；当a ＞4时，a －a 2－4a 2a ＜x ＜a ＋a 2－4a 2a ；当a ＜0时，x ＞a －a 2－4a 2a 或x ＜a ＋a 2－4a2a．2．(1)若对任意x ∈R ，都有(m －2)x 2－2(m －2)x －4＜0恒成立，则实数m 的取值范围是 ． (2) 若对任意x ＞0，都有mx 2－2x －1＜0恒成立，则实数m 的取值范围是 ．(3) 若对任意－1≤m ≤1，都有mx 2－2x ＋1－m ＜0恒成立，则实数x 的取值范围是 ． 答案：(1)(－2，2]；(2)(－∞，0]；(3)(3－1，2)．3．(1)函数y ＝1－4x ＋15－4x(x ＞54)的最大值为 ．(2)已知x ＞0，y ＞0 ，且1x ＋9y ＝2，则x ＋y 的最小值为 ．答案：(1)－6；(2)8． 4．求下列函数的值域：(1)y ＝ x 2＋5x 2＋4； (2)f (x )＝x ＋ax ，x ∈[1，2]答案：(1)52；(2)当a ≤1时，值域为[1＋a ，2＋a 2]，当1＜a ＜2时，值域为[2a ，2＋a2]，当2≤a ≤4．值域为[2a ，1＋a ]，当a ＞4时，值域为[2＋a2，1＋a ]．5．求下列函数的值域：(1)y ＝ x 2－2x ＋22x －1(x ＞12) (2)y ＝ x －1x 2－x ＋2(x ≤－1)答案：(1)[5－12，＋∞)；(2)[－12，0)． 6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1 ，则(1) z ＝x ＋2y 的最小值为 ；(2)z ＝2x －y 的最大值为 ； (3) z ＝x 2＋2x ＋y 2的最大值为 ；(4) z ＝yx ＋4的最大值为 ．答案：(1)3；(2)8；(3)39；(4)2225．二、方法联想1．一元二次不等式从四个方面考虑：(1)二次项系数为0和正负情况；(2)二次方程根是否存在情况(优先用十字相乘法求根)；(3)二次方程根的大小情况； (4)二次不等式的不等号方向． 分式不等式(1) f (x )g (x )＞0等价于f (x )g (x )＞0； f (x )g (x )＜0等价于f (x )g (x )＜0．(2) f (x )g (x )≥0等价于⎩⎨⎧f (x )g (x )≥0，g (x )≠0； f (x )g (x )≤0等价于⎩⎨⎧f (x )g (x )≤0，g (x )≠0．变式1、设0απ≤≤,不等式28(8s i n )c o s 20x x αα-+≥对x R ∈恒成立,则α的取值范围为____________. 答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,656,0 变式2、已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________． 答案：36 (判别式法)2．恒成立问题(1)二次不等式恒成立问题方法1 结合二次函数图象分析． 方法2 分离变量法 (2)一次不等式恒成立问题①若关于x 的不等式ax ＋b ≥0对任意x ∈ [m ，n ]上恒成立，则⎩⎨⎧f (m )≥0，f (n )≥0；②若关于x 的不等式ax ＋b ≤0 对任意x ∈[m ，n ]上恒成立，则⎩⎨⎧f (m )≤0，f (n )≤0．变式1、已知当x ∈(0，+∞)时，不等式9x -m ·3x +m +1>0恒成立，求实数m 的取值范围.答案：m <2+2 2.（数形结合解决恒成立）变式2、若对任意x R ∈，不等式23324x ax x -≥-恒成立，则实数a 的范围是 ． 答案：11a -≤≤ （分离参数求范围）变式3、已知函数()2ln x f x a x x a =+-，对任意的[]12,0,1x x ∈，不等式()()121f x f x a -≤-恒成立，则a 的取值范围是___________答案：[),e +∞（函数性质研究恒成立）变式4、若存在正数x 使1)(2<-a x x 成立,则a 的取值范围是 .答案：1->a(注意存在性问题与恒成立问题的关联)3．基本不等式求最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 三个不等式关系：(1)a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 变式1、设a >0，b >0，a +b =5，则a +1+b +3的最大值为 .解答：3 2变式2、若不等式x 2＋2xy ≤a (x 2＋y 2)对于一切正数x ，y 恒成立，则实数a 的最小值为________． 答案：215+(结构特征,消元)4．f (x )＝x ＋ax 型函数对于f (x )＝x ＋ax，当a ≤0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)为增函数；当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)为增函数；在(－a ，0)，(0，a )为减函数． 注意 在解答题中利用函数f (x )＝x ＋ax 的单调性时，需要利用导数进行证明．变式1、若函数222)(-+=xx ax f 的值域为[)+∞,0,则实数a 的取值范围是 . 答案：(]1,∞- (问题转化)变式2、设k >0，若关于x 的不等式kx +4x -1≥5在(1，+∞)上恒成立，则k 的最小值为 .答案：1解答：原不等式变为k (x -1)+4x -1≥5-k ，因为x >1，所以x -1>0，所以k (x -1)+4x -1≥4k ， 所以4k ≥5-k ，即(k )2+4k -5≥0，解得k ≥1， 所以k ≥1，即k 的最小值为1.5．f (x )＝ax 2＋bx ＋c dx ＋e (或f (x )＝dx ＋eax 2＋bx ＋c)型令dx ＋e ＝t 进行换元(即将二次部分用一次部分表示)，转化为f (x )＝x ＋ax 型函数问题．变式1、已知x ≥52，求f (x )＝x 2－4x ＋52x －4最小值．答案：14变式2、若不等式)(322b a b b a +≥+λ对任意R b a ∈,恒成立,则实数λ的最大值为 . 答案：2(结构特征,消元)6．利用线性规划区域求最值将求目标函数的最值转化为截距、距离、斜率的最值．变式1、已知函数c ax x f +=2)(,且5)2(2,3)1(1≤≤≤≤f f ,则)3(f 的取值范围是 .答案： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡335,31 (看成线性规划问题或同向不等式相加)变式2、三次函数()()32,,f x x bx cx d b c d R =+++∈在区间[]1,2-上是减函数，那么b c +的取值范围是答案： 15,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦（线性规划与二次函数、导数等知识结合） 变式3、已知,αβ是三次函数()()32112,32f x x ax bx a b R =++∈的两个极值点， 且()()0,1,1,2αβ∈∈，则21b a --的取值范围是 答案： 1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭（线性规划与根的分布结合）变式4、已知三个正实数,,a b c 满足2,2b a c b a b c a <+≤<+≤，则ab的取值范围是______ 答案：23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭（三个变量向两个变量转化的线性规划问题）三、例题分析例1 设函数f (x )＝x 2＋ax ＋3．(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围；(2)当x ∈[－2，2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围；(3)设不等式f (x )≥a 对于满足1≤a ≤3的一切a 的取值都成立，求x 的取值范围． 解：(1)－6≤a ≤2． (2) －7≤a ≤2．思路1：(利用二次函数的图象)注：此方法可改进，由f (2)≥a ，f (－2)≥a 得－7≤a ≤73．对称轴x ＝－a 2∈[－76，72]，可少讨论一种情况．思路2：(求函数的最值)注：此方法可改进，由f (2)≥a ，f (－2)≥a 得－7≤a ≤73，再进行分类讨论．思路3：(变量分离后，再求函数的最值) (3) x ≤－3或x ≥0． 【教学建议】1．本题涉及到不等式恒成立问题，通常思路有3种，①f (x )≥0，∀x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥0转化为求函数f (x )的最小值(求最值时，可能要对参数进行讨论)； ②选进行变量分离，再求函数的最值；即f (x )≥a ，∀x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ． ③利用函数的图象和几何意义； 2．本题是二次不等式恒成立问题，第一问是二次不等式对任意实数恒成立，可由图象法及判别式处理． 第二问是二次不等式对x ∈[－2，2]恒成立，所以图象法，求最值，或变量分量后求最值均可，以方法二较优．例2 设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，求m ＋n 的取值范围． 解 m ＋n ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)．思路1：(基本不等式)思路2：(消元转化为求函数的值域) 思路3：(利用图形的几何意义)【教学建议】1．本题是求二元函数的值域问题．这类问题主要有3种解题思路： ①直接利用基本不等式，这种方法往往只能求最大值或最小值；②消元转化为一元函数，再求最值；③将两个变量看成一个有序实数对，当作平面内一个动点，从图形的几何意义方面，考虑求目标函数的值域．2．本题3种方法均可，方法一只适用于本题，方法二是一般方法，本题中方法三难度较大，对思维的要求很高，但比较直观，在小题中使用较好．例3 在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 中点，且BD ＝3，求△ABC 的面积的最大值． 解：S 取最大值2． 思路1：（代数方法）建立目标函数，求最值．思路2：（几何方法）【教学建议】1．本题是实际问题中的最值问题．这类问题通常有2种思路： ①根据图形的几何意义，确定取得最值的情形，再进行计算； ②建立目标函数，转化为求函数的最值．2．本题采用思路2，通过建立目标函数，再求函数的最值，再表示面积时，有两种方法，一是通过两边及夹角求面积，一是通过底边与高求面积，因而有方法一与方法二．3．方法一有纯代数的方法，转化为求双二次函数的最值，运算量较大；方法二结合图形的几何性质，由于BD 已知，因而要使面积最大，只需A 到BD 的距离最大，由于点A 要求满足AB ＝2AD ，因而它的轨迹是一个圆，问题就转化为求轨迹上的点到直线BD 距离的最大值问题，所以法二采用了建系求轨迹的方法，运算量小，比方法一简单，但思维的要求更高．四、反馈练习(专题3：不等式问题)1. (1)若正实数y x ,满足xy y x =++62，则xy 的最小值是 ；答案 )0,(-∞(考查基本不等式).(2)函数)1(11072->+++=x x x x y 的最小值是 ；答案 9(考查基本不等式).2．（1）(2016江苏)已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x 2+y 2的取值范围是 ；答案 4[,13]5(考查线性规划).（2）设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-,0,0,048,022y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a y abx z 的最大值为8，则ba +的最小值为 ；答案 4(考查线性规划).3.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a 的值为________；(考查线性规划).答案 14.（1）（2016上海）设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________;答案2+∞（，）(考查基本不等式).（2）已知632,,,=++∈c b a R c b a ，则22294c b a ++的最小值为 ；答案 12(考查基本不等式).5.若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________；答案233(考查基本不等式).6．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，若f (x )恒为正值，则k 的取值范围是________；答案 (－∞，－1＋22)(考查不等式恒成立).7.已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________；答案 2(考查不等式恒成立).8. 当[]1,2-∈x 时，不等式03423≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是________；答案 [-6,-2] (考查不等式恒成立).9．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________；答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞(考查不等式恒成立).10．如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为_________________.答案 18 (考查函数的单调性, 线性规划).11．已知函数f (x )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥+.0,1)21(,0),11(log 2x x x x 若f (3－2a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围为________；答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1，＋∞) (考查函数性质应用).12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a 的最小值为________；答案 4(考查函数性质应用,基本不等式).13．已知f (x )是定义在(－∞，4]上的减函数，是否存在实数m ，使得f (m －sinx )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m －74＋cos 2x 对定义域内的一切实数x 均成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解 假设实数m 存在，依题意， 可得⎩⎪⎨⎪⎧m －sin x ≤4，m －sin x ≥1＋2m －74＋cos 2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧m －4≤sin x ，m －1＋2m ＋12≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122.因为sin x 的最小值为－1，且－(sin x －12)2的最大值为0，要满足题意，必须有⎩⎪⎨⎪⎧m －4≤－1，m －1＋2m ＋12≥0，解得m ＝－12或32≤m ≤3.所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12. (考查函数性质应用,基本不等式).14．某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f (x )的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？ 解 (1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为： 4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多： 100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列， 所以函数表达式为： y ＝f (x )＝800x ＋x (x －1)2×20＋9 000＝10x 2＋790x ＋9 000(x ∈N *)；(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：g (x )＝f (x )2 000x ×10 000 ＝5(10x 2＋790x ＋9 000)x＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋900x ＋79≥50×(2900＋79)＝6 950(元)．当且仅当x ＝900x ，即x ＝30时等号成立．答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低． (考查函数性质应用,基本不等式). 15．某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员x (x >0)户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x %，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 50(a >0)万元．(1)在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入，试求x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，要使100户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入，试求实数a 的最大值． 解 (1)由题意得3(100－x )(1＋2x %)≥3×100， 即x 2－50x ≤0，解得0≤x ≤50， 又因为x >0，所以0<x ≤50.(2)从事蔬菜加工的农民的年总收入为3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 50x 万元，从事蔬菜种植农民的年总收入为3(100－x )(1＋2x %)万元，根据题意，得3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 50x ≤3(100－x )(1＋2x %)恒成立，即ax ≤100＋x ＋x 225恒成立．又x >0，所以a ≤100x ＋x 25＋1恒成立，而100x ＋x25＋1≥5(当且仅当x ＝50时取得等号)．所以a 的最大值为5. (考查函数性质应用,不等式恒成立).16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，比较f (x )与m 的大小．解(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)·(x－n)，当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)＞0，即a(x＋1)(x－2)＞0.当a＞0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|x＜－1或x＞2}；当a＜0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|－1＜x＜2}．(2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜1 a，∴x－m＜0,1－an＋ax＞0.∴f(x)－m＜0，即f(x)＜m.(考查函数性质,二次不等式应用).。

【知识网络】【考点聚焦】1.原题（必修5第75页习题3.1A 组第2题）变式 若0,a m n >>>试比.<2.原题（必修5第80页习题 3.2A 组第3题）变式 已知方程22(1)0x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围.【解析】依题意有：(m 1)0,0,(0)022f -+∆>->>⋅，故032m <<或3m >+3.原题（必修5第81页习题 3.2B 组第二题）变式 1 若函数m x m mx y +--=)1(2的定义域为R ，则m 的取值范围是．【解析】要使m x m mx y +--=)1(2有意义，即0)1(2≥+--m x m mx 对Rx ∈∀恒成立，则⎩⎨⎧≤-->04)1(022m m m ，即31≥m . 变式2 若0)1(2<+--m x m mx 恒成立，则m 的取值范围是．变式3 若函数2log [(1)]a y mx m x m =--+的定义域不是R ，则m 的取值范围是．【解析】要使函数2log [(1)]a y mx m x m =--+有意义，则存在R x ∈，使得0)1(2>+--m x m mx （*）当0=m 时，（*）等价于：0-> x ，即0<x ，满足题意；当0>m 时，04)1(22≥--m m ，即310≤<m ；当0<m 时，04)1(22≥--m m ，即01<≤-m ；综上，311≤≤-m ．变式4 若函数2log [(1)]a y mx m x m =--+的值域是R ，则m 的取值范围是．4.原题（必修5第81页习题3.2B 组第四题）变式 如图，气象部门预报：在海面上生成了一股较强台风，在距台风中心60千米的圆形区域内将会受严重破坏．台风中心正从海岸M 点登陆，并以72千米/时的速度沿北偏西60°的方向移动．已知M 点位于A 城的南偏东15°方向，距A 城M 点位于B 城的正东方向，距B 城风在移动过程中，其风力和方向保持不变，请回答下列问题：（1）A 城和B 城是否会受到此次台风的侵袭？并说明理由；（2）若受到此次台风侵袭，该城受到台风侵袭的持续时间有多少小时？【解析】（1）A 城不会受到台风影响：B 城会受到台风影响；（2）56小时；5.原题（必修5第80页习题 3.2A 组第四题）变式 已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式260x x +-<的解集是B . （1）求AB ；（2）若不等式20x ax b ++<的解集是,AB 求20ax x b ++<的解集.6.原题（必修5第87页例题）变式 横坐标、纵坐标都是整数的点是整点坐标．若直线2y x k =-+（为正整数），与坐标轴围成三角形内的整点坐标（含周界）的个数是100，则等于（ ） A ．9 B ．18 C ．11 D ．22 【解析】B.7.原题（必修5第100页练习题第1题）变式 求函数2710,(1)1x x y x x ++=>-+的值域.8.原题（必修5第91页练习题第1(2)题） 【解析】目标函数为35z x y =+，可行域如图所示， 作出直线35z x y =+可知，直线经过点B 时，Z 取得最大值. 直线经过点A 时， Z 取得最小值.解方程组 153y x x y =+⎧⎨-=⎩，和15315y x x y =+⎧⎨+=⎩可得点(2,1)A --和点(1.5,2.5)B .所以max 3 1.55 2.517z =⨯+⨯=，min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-变式1(2014·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝________. 【答案】6变式2实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)，∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值范围是2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的值最小为OA 2(取不到)，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)，∴OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5， ∴z 的取值范围是(1,5]． 引申探究1．若z ＝y －1x －1，求z 的取值范围．2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值． 【解析】z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋ (y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方，(PQ 2)max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，(PQ 2)min ＝(|1－1＋1|12＋－2)2＝12， ∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.变式3已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －，若z ＝2x ＋y的最小值为1，则a ＝________. 【答案】 12【思维升华】(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：①x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)的距离；②yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，y－bx－a表示点(x，y)与点 (a，b)连线的斜率．(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件．9.原题（必修5第93页练习题第3题）分析：将所给信息下表表示：设每周播放连续剧甲次，播放连续剧乙次，收视率为.答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率.变式(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.【答案】 18【解析】 设每天甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)．则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)． 【感受高考】1.【2016高考新课标1卷】若101a b c >><<，,则( )（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <【答案】C2.【2016年高考四川理数】设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的( )（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选A.3.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元．【答案】216000【解析】二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩?…………②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.。

专题1：基本初等函数班级 姓名一、前测训练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥1，－x 2＋4，x ＜1，①若f (x )≥2，则x 的取值范围为 ．②f (x )在区间[－1，3]的值域为 ． 答案：①[－2，＋∞)；②[2，4].2．①若f (x 2＋1)＝x 2，则f (x )＝ ．②已知f [f (x )]＝9＋4x ，且f (x )是一次函数，则f (x )＝ ．③已知函数满足2f (x )＋f (1x )＝x ，则f (2)＝ ；f (x )＝ ． 答案：①x －1(x ≥1)；②2x ＋3或－2x －9；③76，23x －13x ．3．①若二次不等式f (x )＜0的解集为(1，2)，且函数y ＝f (x )的图象过点(－1，2)，则f (x )＝ ．②已知f (x )＝－x 2＋2x －2，x ∈[t ，t ＋1]，若f (x )的最小值为h (t )，则h (t )＝ ．答案：①13x 2－x ＋23；②⎩⎨⎧－t 2＋2t －2，t ＜12－t 2－1， t ≥12．4．①已知2x 2＋x ≤(14)x －2，则函数y ＝(3)x 2＋2x 的值域为 ．②设log a 13＜2，则实数a 的取值范围为 ． 答案：①[33，81]；②(0，33)∪(1，＋∞).5． ①lg 25＋lg2lg50＝ ．②已知函数y ＝log 12(x 2－2x ＋2)，则它的值域为 ．③已知函数y ＝log 12(2－ax )在区间[)1,0上单调递增，则实数a 的取值范围为 ．答案：①1；②(－∞，0]；③(]2,0.6．①函数f (x )＝lg x －sin x 零点的个数为 ．②函数f (x )＝2x ＋x －4零点所在区间为(k ，k ＋1 )，k ∈N ，则k ＝ ． 答案：①3；②1.二、方法联想1．分段函数方法：分段函数，分段处理．变式1. 设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+= .答案：9（分段函数求值）变式2.设函数f (x )=⎩⎨⎧2x3－1，x ≥0，1x ，x ＜0，若f (f (b ))=-2，求实数b 的值.答案：b=34或-2.（已知函数值，求自变量的值） 变式3.已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 答案：4（分段函数与方程）变式4.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-=01ln 022x x x x x x f ，若()f x a x ≥，则a 的取值范围是 .答案：[－2，0] （分段函数与不等式） 变式5、已知函数()2|ln |,041,0x x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩，若关于x 的方程()()()20,f x bf x c b c R -+=∈有8个 不同的实数根，则b c +的取值范围是 ．答案：(0，3) （分段函数与零点）变式6、设函数,2)(2a x x x f -+=若2>a ,则函数)(x f 的最小值为 .(去掉绝对值转化为分段函数问题,分段函数的最小值是每段函数的最小值的较小值) 2．解析式求法方法1 换元法、整体代换法；方法2 待定系数法；方法3 方程组法． 变式1、若xx x x xx f 634)2(22+-+=-,则=)(x f .答案： 432+-x x (整体换元)变式2、若x x f x f =--)()(2,则=)(x f .答案：3)(x x f =(函数代换) 3．二次函数二次函数解析式求法一般设为三种形式：(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)；(3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．二次函数最值求法求二次函数最值，根据其图像开口方向考虑对称轴与区间的相对位置关系，即左、中偏左、中偏右、右，再根据具体问题对四种情况进行合并(或取舍),本质是确定函数在相应区间上的单调性．变式1、已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c 图象的顶点为(-1，10)，且方程ax 2+bx+c=0的两根的平方和为12，求二次函数f (x )的解析式. 答案：f (x )=－2x 2－4x+8 （求二次函数解析式）变式2、函数f (x )=2x 2－2ax+3在区间[-1，1]上的最小值记为g (a )，求g (a )的函数表达式及g (a )的最大值.答案：，g (a )=225-23--2225-2 2.a a aa a a +<⎧⎪⎪≤≤⎨⎪>⎪⎩，，，，，（分段讨论，求二次函数的最值） 4．指数函数(1)指数方程与不等式问题关键是两边化同底．(2)与指数函数有关的值域问题，方法一：复合函数法，转化为利用指数函数的单调性；方法二：换元法． 变式1、222)(-+=x x ax f 的定义域为R ,则实数a 的取值范围是 . 答案：1≥a (关于x2的函数)变式2：若不等式3ax 2－2ax >13对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.答案：[0，1).(解简单的指数不等式） 5．对数函数(1)对数式化简可利用公式log a m b n ＝nm log a b 将底数和真数均化成最简形式． (2) 对数方程与不等式问题关键是两边化同底． 注意:定义域的限定(真数大于零).变式1、 已知函数x x f ln )(=,若)2()(a f a f =,则=a .答案：22 (利用图像确定范围)变式2、若函数y=lg(x 2+2x+m )的值域是R ，则实数m 的取值范围是 .答案：m ≤1.（对数函数的定义域与值域）6．零点问题方法1 数形结合法； 方法2连续函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有f (a )f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上至少存在一个零点．反之不一定成立．二次函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有f (a )f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上存在唯一一个零点． 变式1、判断函数f (x )=log 2(x+2)-x 在区间[1，3上是否存在零点.答案：存在解答：方法一：因为f (1)=log 23-1>log 22-1=0，f (3)=log 25-3<log 28-3=0，所以f (1)·f (3)<0， 故f (x )=log 2(x+2)-x 在[1，3]上存在零点.方法二：设y=log 2(x+2)，y=x ，在同一直角坐标系中画出它们的图象如图所示，从图象中可以看出，当1≤x ≤3时，两图象有1个交点，因此f (x )=log 2(x+2)-x 在[1，3]上存在零点.（判断是否存在零点）变式2、已知函数()()2,0ln ,0kx x f x k R x x +≤⎧=∈⎨>⎩，若函数()y f x k =+有三个零点，则实数k 的取值范围是 .答案：k ≤－2(给定零点个数，确定参数的范围）变式3、已知函数a e x f x+=)(在[]n m ,上的值域为[]n m 2,2,则a 的取值范围是 .答案：)22ln 2,(--∞ (转化为函数零点问题)三、例题分析例1.已知函数f (x )＝log a (8－2x )(a ＞0，且a ≠1).（1）当a ＝2时，求满足不等式f (x )≤2的实数x 的取值范围； （2）当a ＞1时，求函数y ＝f (x )＋f (－x )的最大值. 解：（1）实数x 的取值范围为[2，3).（2）函数y ＝f (x )＋f (－x )的最大值为log a 49.〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法： 1．解指(对)数不等式问题： 2．与指(对)数有关的函数值域： (2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法①，因为本题既含对数，也含有指数，用换元不能一次转化为代数不等式，所以选择方法①．对于问题2，学生一般会选择方法②，因为用换元法转化为几个基本函数的值域，处理比较方便，所以选择方法①．指数函数、对数函数的单调性受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时，首先要看底数的范围.本题的易错点有两个，一是第一问中的“8－2x ＞0”的定义域部分；二是第二问中函数y ＝f (x )＋f (－x )的定义域.例2.设命题p ：函数f (x )＝1ax 2－ax ＋1的定义域为R ；命题q ：不等式3x －9x ＜a －1对一切正实数x 均成立.（1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围； （2）如果命题p 且q 为真命题，求实数a 的取值范围. 解：（1）实数a 的取值范围为[0，4).（2）实数a的取值范围为[1，4).〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．已知函数的定义域，求参数的范围：2．不等式恒成立问题：方法：①分离变量转化为求函数的最值．②直接求函数的最值，再解不等式；③利用函数的图象，观察临界情况，再进行相应的计算(主要用于解填空题)．3．复合命题的真假判断：(2)方法选择与优化建议：对于问题1，因为它是二次不等式对于任意实数恒成立，只需研究判定式及二次项系数的符号即可；对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题分离变量较容易，而且对应函数的值域比较容易求，所以选择方法①．在考查命题p是真命题时，容易漏掉a＝0的情况，另外容易出现因为忽视“ax2－ax＋1”出现的位置，在限制条件中将“△＞0”错写为“△≥0”.例3.已知函数f(x)＝a－1|x|.（1）求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；（2）若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数y＝f(x)在[m，n]上的值域是[m，n](m≠n)，求实数a的取值范围．解：（1）f(x)在(0，＋∞)上为增函数．（2）a的取值范围为(－∞，3]．（3）a的取值范围为{0}∪(2，＋∞)．〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．讨论函数的单调性问题：方法:①利用函数的图象；②复合函数的单调性；③利用函数单调性的定义．④利用导函数来求函数的单调区间．2．不等式恒成立问题：3．已知函数的值域，求参数的取值：(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法③或④，因为本题是证明函数的单调性，方法①②不能用作证明，所以选择方法③或④．对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题分离变量较容易，而且对应函数的值域比较容易求，所以选择方法①．四、反馈练习(专题1：基本初等函数)1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (a )＝4，则实数a ＝________；答案 －4或2 (考查分段函数的问题，分类讨论的思想).2. 已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ． 答案 0, 322- (考查分段函数的问题).3.函数x x x f -+=1ln )(的定义域为 ；答案 (]1,0(考查函数的定义域问题). 4.若1log 112<-a a，则a 的取值范围是 ；答案 ()+∞,4(考查函数的单调性)5. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=.2,12,2,2)(2x x ax x x f x 若23))1((a f f >，则a 的取值范围是 ；答案 ()3,1-(考查分段函数，函数的单调性)6. 设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则f （5a ）的值是 . 答案25- (考查分段函数的问题).7. 已知函数.322)(2-+=x ax x f 如果函数)(x f y =在区间[]1,1-上有零点，则实数a 的取值范围是 ；答案 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21(考查函数的零点)8.已知函数12)(+-=x x f ，kx x g =)(.若方程)()(x g x f =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 ；答案 ⎪⎭⎫⎝⎛1,21(考查方程解的问题)9.已知0,2,0=++-<<->c b a a b a a ,则223aacb -的取值范围是 ；答案⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,43 (考查函数思想) 10.函数11ln 2)(-+=x x x f 的零点所在的区间是()Z n n n ∈+,1,，则=n ；答案 2(考查函数的零点)11.已知函数⎩⎨⎧>+-≤+=.0,12,0,1)(2x x x x x x f 若关于x 的方程0)()(2=-x af x f 恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是 ；答案 ()1,0(考查函数的零点)12.线段EF 的长度为1，端点F E 、在边长不小于1的正方形ABCD 的四边上滑动，当F E 、沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 的周长为l ，其围成的面积为S ，则l S -的最大值是 ；答案 π45(考查函数的应用)13.若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．(考查二次函数的解析式,不等式恒成立)解 (1)由f (0)＝1得，c ＝1， ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ， ∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝1b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1. (2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．14.已知函数f (x )＝2a ＋1a －1a 2x ，常数a ＞0.(1)设m ·n ＞0，证明：函数f (x )在[m ，n ]上单调递增；(2)设0＜m ＜n 且f (x )的定义域和值域都是[m ，n ]，求常数a 的取值范围．(考查函数的单调性,方程解的分布)(1)证明 任取x 1，x 2∈[m ，n ]，且x 1＜x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝1a 2·x 1－x 2x 1x 2.因为x 1＜x 2，x 1，x 2∈[m ，n ]，所以x 1x 2＞0， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在[m ，n ]上单调递增． (2)解 因为f (x )在[m ，n ]上单调递增，f (x )的定义域、值域都是[m ，n ]⇔f (m )＝m ，f (n )＝n ， 即m ，n 是方程2a ＋1a －1a 2x ＝x 的两个不等的正根⇔a 2x 2－(2a 2＋a )x ＋1＝0有两个不等的正根．所以Δ＝(2a 2＋a )2－4a 2＞0，2a 2＋a a 2＞0⇒a ＞12.即常数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 15.已知函数)0(1)(2>++=a bx ax x f ， ⎩⎨⎧<->=.0),(,0),()(x x f x x f x F 若0)1(=-f ，且对任意实数x 均有0)(≥x f 成立. (1)求)(x F 的表达式；（2）当[]2,2-∈x 时，kx x f x g -=)()(是单调函数，求k 的取值范围. (考查分段函数解析式，函数的单调性)(1)⎪⎩⎪⎨⎧<+->+=.0,)1(,0,)1()(22x x x x x F (2) ,2-≤k 或6≥k 16.设函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c (a >0，a ，c ∈R )．(1)设a >c >0.若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，求c 的取值范围； (2)函数f (x )在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？(考查不等式恒成立,函数零点)解 (1)因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴为x ＝a ＋c3a ，由条件a >c >0，得2a >a ＋c ， 故a ＋c 3a <2a 3a ＝23<1，即二次函数f (x )的对称轴在区间[1，＋∞)的左边， 且抛物线开口向上，故f (x )在[1，＋∞)内是增函数． 若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立， 则f (x )min ＝f (1)>c 2－2c ＋a ，即a －c >c 2－2c ＋a ，得c 2－c <0，所以0<c <1. (2)①若f (0)·f (1)＝c ·(a －c )<0，则c <0，或a <c ，二次函数f (x )在(0,1)内只有一个零点． ②若f (0)＝c >0，f (1)＝a －c >0，则a >c >0.因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴是x ＝a ＋c 3a .而f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ＝－a 2＋c 2－ac3a<0，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋c 3a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ，1内各有一个零点，故函数f (x )在区间(0,1)内有两个零点．。

专题三（1）-不等式解法与线性规划【教学目标】1.掌握常规不等式的解法2.理解三个二次之间的关系3.会解决简单的线性规划问题 【教学要点】重点：理解三个二次之间的关系 难点：不等式中参数的讨论 【考情分析】不等式在高考中很少单独成题，常常与其他知识点相互渗透在一起，是求解数学问题的重要工具.【例题分析及变式】类型1：不等式的解法例1.（1）(2016·江苏第5题)函数的定义域是 .【答案】[-3，1]【解析】由题意知3-2x-x 2≥0，解得-3≤x ≤1，所以原函数的定义域为[-3，1].（2）.(2015·江苏第7题)不等式2-2xx<4的解集为 .【答案】(-1，2)【解析】由2-2x x <4，知x 2-x<2，解得-1<x<2，所以原不等式的解集为(-1，2). （3）(必修5 P73习题6改编)已知不等式ax 2+bx-1<0的解集为{x|x<3或x>4}，则a= ，b= .【答案】-112 712【解析】由题意知3和4是方程ax 2+bx-1=0的两根，所以a (x-3)(x-4)=0，所以a=-112，b=712.例2（东莞市2017届高三上学期期末）已知函数 f (x ) ＝｜x －1｜＋｜x +3｜ （1）解不等式 f (x ) ≥8；（2）若不等式 f (x ) ＜2a －3a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围.（1）22,3()|1||3|4,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩， 当3x <-时，由228x --≥，解得5-≤x ；当31x -≤≤时，()4f x =，()8f x ∴≥无解；当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥．（2()min 4f x = 又不等式a a x f 3)(-<的解集不是空集，所以432>-a a , 所以14-<>a a 或 即实数a 的取值范围是),4()1,(+∞--∞ 例3 解关于x 的一元二次不等式(x-2)(ax-2)>0.【解答】当a=0时，原不等式可化为x-2<0，所以x<2.当a ≠0时，原不等式化为a (x-2)x-2a>0，①当a>1时，2a <2，原不等式化为(x-2)2-x a ⎛⎫⎪⎝⎭>0，所以x<2a 或x>2. ②当a=1时，2a=2，原不等式化为(x-2)2>0，所以x ∈R 且x ≠2. ③当0<a<1时，2a >2，原不等式化为(x-2)2-x a ⎛⎫⎪⎝⎭>0，则x<2或x>2a . ④当a<0时，2a <2，原不等式化为(x-2)2-x a ⎛⎫⎪⎝⎭<0，所以2a <x<2. 综上所述，当a=0时，原不等式的解集为{x|x<2}；当a>1时，原不等式的解集为2|2x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当a=1时，原不等式的解集为{x|x ∈R 且x ≠2}；当0<a<1时，原不等式的解集为22x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当a<0时，原不等式的解集为22x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.变式 解关于x 的一元二次不等式ax 2+(a-1)x-1>0.【解答】由ax 2+(a-1)x-1>0，得(ax-1)(x+1)>0.当a>0时，(ax-1)(x+1)>0⇔1-x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x+1)>0⇔x<-1或x>1a ； 当-1<a<0时，(ax-1)(x+1)>0⇔1-x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x+1)<0⇔1a <x<-1； 当a=-1时，(ax-1)(x+1)>0⇔-(x+1)2>0⇔(x+1)2<0⇔x ∈∅；当a<-1时，(ax-1)(x+1)>0⇔1-x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x+1)<0⇔-1<x<1a . 综上所述，当a>0时，不等式的解集为1|-1xxx a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当-1<a<0时，不等式的解集为1|-1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当a=-1时，不等式的解集为∅；当a<-1时，不等式的解集为1|-1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.题组小结：.类型2：三个二次之间的关系例4（1）.(2016·启东调研测试)已知偶函数f (x )在[0，+∞)上单调递增，且f (3)=0，则不等式f (x 2-2x )<0的解集为 .【答案】(-1，3)【解析】根据偶函数的性质，可得-3<x 2-2x<3，解得-1<x<3，从而不等式的解集为(-1，3). （2）(必修1 P32习题7改编)若定义在R 上的二次函数f (x )=ax 2-4ax+b 在区间[0，2]上是增函数，且f (m )≥f (0)，则实数m 的取值范围是 .【答案】{m|0≤m ≤4}【解析】由函数的对称轴为x=2，且在[0，2]上为增函数，知a<0，根据函数图象可得实数m 的取值范围是{m|0≤m ≤4}.（3）.(2014·江苏第10题)已知函数f (x )=x 2+mx-1，若对于任意的x ∈[m ，m+1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是 .【答案】-02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】因为二次函数开口向上，在区间[m ，m+1]上始终满足f (x )<0，所以只需()0(1)0f m f m <⎧⎨+<⎩，即可，由222-10(1)(1)-10m m m m m ⎧+<⎨+++<⎩，，解得3-02m m ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，故实数m的取值范围为02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 例5 (2016·苏州调研测试)已知函数f (x )=x|x-a|，a ∈R ，g (x )=x 2-1.(1)当a=1时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)记函数f (x )在区间[0，2]上的最大值为F (a )，求F (a )的表达式.【解答】(1)由f (x )≥g (x )，当a=1时，即解不等式x|x-1|≥x 2-1. 当x ≥1时，不等式为x 2-x ≥x 2-1，解得x ≤1，所以x=1； 当x<1时，不等式为x-x 2≥x 2-1，解得-12≤x ≤1，所以-12≤x<1.综上，不等式f (x )≥g (x )的解集为1-12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. (2)因为x ∈[0，2]，当a ≤0时，f (x )=x 2-ax ，则f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以F (a )=f (2)=4-2a.当0<a<2时，f (x )=22-0-2x ax x a x ax a x ⎧+≤<⎨≤≤⎩，，，，则f (x )在区间02a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，在区间2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，在区间[a ，2]上是增函数，所以F (a )=max (2)2a f f ⎧⎫⎛⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭，， 而f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a ，f (2)=4-2a ，令f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<f (2)，即24a <4-2a ，解得-4-<a<-4+4， 所以当0<a<4-4时，F (a )=4-2a ；令f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥f (2)，即24a ≥4-2a ，解得a ≤-4-4或a ≥-4+4，所以当4-4≤a<2时，F (a )=24a .当a ≥2时，f (x )=-x 2+ax ，当1≤2a <2，即2≤a<4时，f (x )在区间02a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，则F (a )=f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a ；当2a≥2，即a ≥4时，f (x )在区间[0，2]上是增函数，则F (a )=f (2)=2a-4； 综上，F (a )=24-2442-4 4.a a aa a a ⎧<⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩，，，， 变式 (2016·苏锡常镇一调)已知函数f (x )=2x-1+a ，g (x )=bf (1-x )，其中a ，b ∈R .若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(-∞，-2]∪1-4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，【解析】因为g (x )=b (2-x +a )，所以f (x )≥g (x )，即2x-1+a ≥2x b +ab ，即(2x )2-2a (b-1)2x-2b ≥0.由二次不等式与二次方程的根的关系知，关于2x 的方程(2x )2-2a (b-1)2x -2b=0的2x的值分别为4，-2b .因为2x 取正值，要想2x 最小为4，所以-2b ≤0，即b ≥0.又因为4-2b=2a (b-1)，所以b=4(2)41a a ++≥0，解得a ≤-2或a>-14.题组小结：.类型3：线性规划问题例6 (2016·全国卷)若实数x ，y 满足约束条件-10-202-20x y x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，，，则z=x+y 的最大值为 .【答案】32【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.联立-202-20x y x y =⎧⎨+=⎩，，得A 112⎛⎫⎪⎝⎭，，当直线z=x+y 过点A 时，z 取得最大值，所以z max =1+12=32.变式1 (2016·山东卷)若变量x ，y 满足约束条件22-390x y x y x +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，，，则x 2+y 2的最大值是.【答案】10【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，设z=x 2+y 2，联立22-39x y x y +=⎧⎨=⎩，，得3-1x y =⎧⎨=⎩，，由图可知，当x 2+y 2=z 过点(3，-1)时，z 取得最大值，即(x 2+y 2)max =32+(-1)2=10.变式2 (2016·苏州中学)若实数x ，y 满足约束条件-30--3001x y x y y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩，，，则z=2x y x y ++的最小值为.【答案】53【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，易知z=21y x y x ++=1+15231y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+，. 变式3 (2016·江苏第12题)已知实数x ，y 满足约束条件-2402-203--30x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，那么x 2+y 2的取值范围是.【答案】4135⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】作出实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则x 2+y 2即为可行域内的点(x ，y )到原点O 的距离的平方.由图可知点A 到原点O 的距离最近，点B 到原点O 的距离最远.点A 到原点O 的距离即原点O 到直线2x+y-2=0的距离=5，则(x 2+y 2)min =45；点B 为直线x-2y+4=0与3x-y-3=0的交点，即点B 的坐标为(2，3)，则(x 2+y 2)max =13.综上，x 2+y 2的取值范围是4135⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.变式4 (必修5 P77练习2改编)不等式组-2-1y xy xy≤+⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，，所表示的平面区域的面积为. 【答案】14【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由题意知x B=1，x C=2.由-2-1y xy x=+⎧⎨=⎩，，解得y D=12，所以S△BCD=12×(x C-x B)×12=14.变式5 若变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤2，y≥x－2，y≥－12x＋52，且目标函数z＝－kx＋y当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝1时取得最小值，则实数k的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎫－12，114【解析】由题意知不等式组所表示的可行域为如图所示的△ABC及其内部，其中A(3,1)，B(4,2)，C(1,2)．将目标函数变形得y＝kx＋z，当z取得最小值时，直线的纵截距最小．由于直线当且仅当经过点(3,1)时纵截距最小，结合动直线y＝kx＋z绕定点A旋转进行分析，知－12<k<1，故所求实数k的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1.题组小结：.【课堂总结】1.含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．2.解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．【巩固作业】 学案作业专题三（1）-不等式解法与线性规划 作业：一、 填空题1.(2016·苏州暑假测试)已知变量x ，y 满足约束条件2-203x y x y y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩，，，则目标函数z=2x-y 的最大值是 .【答案】7 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，可知当目标函数过点A (5，3)时，z 取得最大值，所以z max =2×5-3=7.2.若对任意实数x ∈[-1，1]，不等式x 2+ax-3a<0恒成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】12∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 【解析】设f (x )=x 2+ax-3a.因为对任意实数x ∈[-1，1]，不等式x 2+ax-3a<0恒成立，所以(-1)1--30(1)1-30f a a f a a =<⎧⎨=+<⎩，，解得a>12.3.(2015·山东卷)若变量x ，y 满足约束条件-131y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则z=x+3y 的最大值为 .【答案】7 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，当直线x+3y-z=0经过可行域内的点A 时，z 取得最大值.联立-13y x x y =⎧⎨+=⎩，，解得12x y =⎧⎨=⎩，，即A (1，2)，故z max =1+3×2=7.4.若关于x 的不等式ax 2+2x+a>0的解集为R ，则实数a 的取值范围是 .【答案】(1，+∞) 【解析】当a=0时，易知条件不成立；当a ≠0时，要使不等式ax 2+2x+a>0的解集为R ，必须满足204-40a a >⎧⎨∆=<⎩，，解得a>1. 5.(必修5 P90习题6改编)若x ，y 满足约束条件24-1-22x y x y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，，，则z=x+y 的最小值是.【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=x+y ，得y=-x+z.令z=0，画出y=-x 的图象，当它的平行线经过点A (2，0)时，z 取得最小值，最小值为z=2.6.(2016·淮阴中学)已知x ，y ∈R ，且x 2+2xy+4y 2=6，则z=x 2+4y 2的取值范围是 .【答案】[4，12] 【解析】因为2xy=6-(x 2+4y 2)，而2xy ≤2242x y +，所以6-(x 2+4y 2)≤2242x y +，所以x 2+4y 2≥4，当且仅当x=2y 时取等号.又因为(x+2y )2=6+2xy ≥0，即2xy ≥-6，所以z=x 2+4y 2=6-2xy ≤12.综上可得4≤x 2+4y 2≤12.7.(2016·苏大考前卷)已知不等式(ax+3)(x 2-b )≤0对任意x ∈(0，+∞)恒成立，其中a ，b 是整数，则a+b 的取值集合为 .【答案】{8，-2} 【解析】当b ≤0时，由(ax+3)(x 2-b )≤0得ax+3≤0在x ∈(0，+∞)上恒成立，则a<0，且a ·0+3≤0，矛盾，故b>0.当b>0时，由(ax+3)(x 2-b )≤0可设f (x )=ax+3，g (x )=x 2-b ，又g (x )的大致图象如图所示，那么由题意可知03-a a<⎧⎪⎨=⎪⎩，再由a ，b 是整数得到-19a b =⎧⎨=⎩，或-31a b =⎧⎨=⎩，，因此a+b=8或-2.8.(2016·启东中学)已知f (x )=x 2+2x+a ln x ，若f (x )在区间(0，1]上恒为单调函数，则实数a 的取值范围为 .【答案】(-∞，-4]∪[0，+∞) 【解析】由题意知f'(x )=2x+2+a x =222x x a x++，因为f (x )在区间(0，1]上恒为单调函数，所以f'(x )在区间(0，1]上恒大于等于0或恒小于等于0，所以2x 2+2x+a ≥0或2x 2+2x+a ≤0在区间(0，1]上恒成立，即a ≥-(2x 2+2x )或a ≤-(2x 2+2x )，而函数y=-2x 2-2x在区间(0，1]上的值域为[-4，0)，所以a ≥0或a ≤-4. 9.(2016·扬州中学)已知函数f (x )=13x 3+2x ，对任意的t ∈[-3，3]，f (tx-2)+f (x )<0恒成立， 则实数x 的取值范围是 . 【答案】51--33⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】函数f (x )=13x 3+2x 是R 上的奇函数且单调增，f (tx-2)+f (x )<0化为f (tx-2)<f (-x )，即tx-2<-x ，问题变为g (t )=(x+1)t-2<0在t ∈[-3，3]上恒成立，故有(-3)0(3)0g g <⎧⎨<⎩，，解得-53<x<-13. 10.(2015·宿迁一模)已知函数f (x )=x 2-2ax+a 2-1，若关于x 的不等式f (f (x ))<0的解集为空集，则实数a 的取值范围是 .【答案】(-∞，-2]【解析】因为f (x )=[x-(a+1)][x-(a-1)]，所以f (f (x ))<0等价于[f (x )-(a+1)][f (x )-(a-1)]<0，从而a-1<f (x )<a+1，要使f (f (x ))<0的解集为空集，根据函数的图象，则需y=a+1与y=f (x )至多有一个交点.又因为f (x )=(x-a )2-1≥-1，所以a+1≤-1，解得a ≤-2.二、 解答题11.（惠州市2017届高三第三次调研）已知函数f (x )＝|x －a |.（Ⅰ）若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）由f (x )≤3，得|x －a |≤3.解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. （Ⅱ）当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，∴g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立，知实数m 的取值范围是(－∞，5]．12.(2016·江苏怀仁中学)设函数f (x )=ax 2+(b-2)x+3(a ≠0).(1)若不等式f (x )>0的解集为(-1，3)，求a ，b 的值；(2)若f (1)=2，a>0，b>0，求1a +4b的最小值. 解：(1) 由题意得(-1)0(3)0f f =⎧⎨=⎩，，即-5093-30a b a b +=⎧⎨+=⎩，，解得-14.a b =⎧⎨=⎩， (2) 因为f (1)=2，所以a+b=1，所以1a +4b =(a+b )14a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=5+b a +4a b ≥9， 当且仅当b=2a=12时取等号. 13.(2016·泰州中学)已知函数f (x )=ax 2+2x+c (a ，c ∈N *)满足①f (1)=5；②6<f (2)<11.(1)求函数f (x )的表达式；(2)若对任意的x ∈[1，2]，都有f (x )-2mx ≥0恒成立，求实数m 的取值范围.解：(1) 由题知5=a+c+2，即c=3-a.又6<4a+c+4<11，所以-13<a<43. 又a ∈N *，所以a=1，c=2.所以f (x )=x 2+2x+2. (2) 由已知得2(m-1)≤x+2x在x ∈[1，2]上恒成立. 因为当x ∈[1，2]时，x+2x∈⎡⎤⎣⎦，所以2(m-1)≤2，即m+1，所以实数m 的取值范围为(-∞+1].14.(2016·苏州一模)如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120°，AB ，AC 的长度均大于200 m ，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆.(1)若围墙AP ，AQ 总长度为200 m ，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大?(2)已知AP 段围墙高1 m ，AQ 段围墙高1.5 m ，造价均为100元/m 2.若围围墙花费了20 000 元， 问如何围可使竹篱笆用料最省?解(1) 设AP=x m ，AQ=y m ，则x+y=200，△APQ 的面积S=12xy ·sin 120°=xy ， 所以S≤242x y +⎫⎪⎝⎭=2 500，S max =当且仅当200x y x y =⎧⎨+=⎩，，即x=y=100时取“=”. (2) 设AP=x m ，AQ=y m ，由题意得100×(x+1.5y )=20 000，即x+1.5y=200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以PQ 2=x 2+y 2-2xy cos 120°=x 2+y 2+xy=(200-1.5y )2+y 2+(200-1.5y )y=1.75y 2-400y+40000 =1.752800-7y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+120000740003y ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，当y=8007时，PQ有最小值7，此时x=2007. 15.(2016·启东中学)设x>0，y>0，a=x+y ，m ∈N *).求证：若对任意正数x ，y 可使a ，b ，c 为三角形三边，则m 的取值集合为{1，2，3}. 证明：①因为，c>0，故a+c>b 恒成立.②若a+b>c 恒成立，即.=2m<2.故当m<2+时，a+b>c 恒成立.③若b+c>a 恒成立，即=.令(t≥2)，则，当t=2时，取得最大值，得m>2，故当m>2时，b+c>a恒成立.综上，2<m<2+.由m∈N*，得m的取值集合为{1，2，3}，即得证.。

专题限时集训(七) 利用导数解决不等式、方程的解、曲线交点个数问题(建议用时：45分钟)1．已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2(a ∈R )．(1)判断曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )的公共点个数；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，若函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点，求a 的取值范围．[解] (1)f ′(x )＝ln x ＋1，所以斜率k ＝f ′(1)＝1.1分 又f (1)＝0，曲线在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋ax －2，y ＝x －1 2分⇒x 2＋(1－a )x ＋1＝0，由Δ＝(1－a )2－4＝a 2－2a －3可知：当Δ>0时，即a <－1或a >3时，有两个公共点； 当Δ＝0时，即a ＝－1或a ＝3时，有一个公共点；当Δ<0时，即－1<a <3时，没有公共点. 4分 (2)y ＝f (x )－g (x )＝x 2－ax ＋2＋x ln x ，由y ＝0得a ＝x ＋2x＋ln x ， 6分令h (x )＝x ＋2x＋ln x ，则h ′(x )＝x －x ＋x 2. 8分当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，由h ′(x )＝0得x ＝1， 10分 所以，h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递减，在[1，e]上单调递增， 因此，h (x )min ＝h (1)＝3，11分由h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e＋2e －1， 12分h (e)＝e ＋2e＋1比较可知h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e>h (e). 13分所以，当3<a ≤e＋2e ＋1时，函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点. 14分2．设函数f (x )＝e 2x－a ln x .(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a x(x >0). 1分 当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点； 3分 当a >0时，设u (x )＝e 2x，v (x )＝－a x，因为u (x )＝e 2x在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－a x在(0，＋∞)上单调递增， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增. 5分又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点. 6分(2)证明：由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0； 8分当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0.9分故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于2e 2x 0－ax 0＝0， 12分所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a. 14分3．(2013·江苏高考)设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x－ax ，其中a 为实数． (1)若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围；(2)若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论． [解] (1)令f ′(x )＝1x －a ＝1－axx＜0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a ＞0，进而解得x ＞a －1，即f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数. 2分同理，f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a －1，＋∞)，从而a －1≤1，即a ≥1. 4分令g ′(x )＝e x－a ＝0，得x ＝ln a .当x ＜ln a 时，g ′(x )＜0；当x ＞ln a 时，g ′(x )＞0. 又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a ＞1，即a ＞e.综上可知，a ∈(e ，＋∞). 6分 (2)当a ≤0时，g (x )必为单调增函数； 当a ＞0时，令g ′(x )＝e x －a ＞0，解得a ＜e x， 即x ＞ln a ．7分因为g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a ≤－1，即0＜a ≤e －1. 综合上述两种情况，得a ≤e －1.①当a ＝0时，由f (1)＝0以及f ′(x )＝1x＞0，得f (x )存在唯一的零点； 8分②当a ＜0时，由于f (e a )＝a －a e a ＝a (1－e a )＜0，f (1)＝－a ＞0，且函数f (x )在[e a,1]上的图象连续，所以f (x )在(e a,1)上存在零点. 9分另外，当x ＞0时，f ′(x )＝1x－a ＞0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f (x )只有一个零点．③当0＜a ≤e －1时，令f ′(x )＝1x－a ＝0，解得x ＝a －1.当0＜x ＜a －1时，f ′(x )＞0；当x ＞a －1时，f ′(x )＜0，所以，x ＝a －1是f (x )的最大值点，且最大值为f (a －1)＝－ln a －1. 10分a ．当－ln a －1＝0，即a ＝e －1时，f (x )有一个零点x ＝e. b ．当－ln a －1＞0，即0＜a ＜e －1时，f (x )有两个零点．实际上，对于0＜a ＜e －1，由于f (e －1)＝－1－a e －1＜0，f (a －1)＞0，且函数f (x )在[e －1，a －1]上的图象连续，所以f (x )在(e －1，a －1)上存在零点．另外，当x ∈(0，a －1)时，f ′(x )＝1x－a ＞0，故f (x )在(0，a －1)上是单调增函数， 所以f (x )在(0，a －1)上只有一个零点． 下面考虑f (x )在(a －1 ，＋∞)上的情况． 先证f ()e a－1＝a ()a －2－e a －1＜0.为此，我们要证明：当x ＞e 时，e x＞x 2.设h (x )＝e x －x 2，则h ′(x )＝e x －2x ，再设l (x )＝h ′(x )＝e x－2x ， 则l ′(x )＝e x－2. 12分当x ＞1时，l ′(x )＝e x－2＞e －2＞0，所以l (x )＝h ′(x )在(1，＋∞)上是单调增函数． 故当x ＞2时，h ′(x )＝e x－2x ＞h ′(2)＝e 2－4＞0，零点. 13分 又当x ＞a －1时，f ′(x )＝1x－a ＜0，故f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数， 所以f (x )在(a －1，＋∞)上只有一个零点．综合①②③可知，当a ≤0或a ＝e －1时，f (x )的零点个数为1，当0＜a ＜e －1时，f (x )的零点个数为2. 14分4．(2016·苏锡常镇调研二)已知函数f (x )＝a ·e x＋x 2－bx (a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，其导函数为y ＝f ′(x ).(1)设a ＝－1，若函数y ＝f (x )在R 上是单调减函数，求b 的取值范围； (2)设b ＝0，若函数y ＝f (x )在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；(3)设b ＝2，且a ≠0，点(m ，n )(m ，n ∈R )是曲线y ＝f (x )上的一个定点，是否存在实数x 0(x 0≠m )，使得f (x 0)＝f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋m 2(x 0－m )＋n 成立？证明你的结论．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝－e x＋x 2－bx ，∴f ′(x )＝－e x＋2x －b ，1分 由题意f ′(x )＝－e x＋2x －b ≤0对x ∈R 恒成立﹒ 由－e x＋2x －b ≤0，得b ≥－e x＋2x ，令F (x )＝－e x＋2x ，则F ′(x )＝－e x＋2，令F ′(x )＝0，得x ＝ln 2.3分当x ＜ln 2时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增，当x ＞ln 2时，F ′(x )＜0，F (x )单调递减， 5分从而当x ＝ln 2时，F (x )有最大值2ln 2－2，所以b ≥2ln 2－2. 6分 (2)当b ＝0时，f (x )＝a e x ＋x 2，由题意a e x ＋x 2＝0只有一解.7分 由a e x＋x 2＝0，得－a ＝x 2e x ，令G (x )＝x 2e x ，则G ′(x )＝x－xex， 令G ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x ≤0时，G ′(x )≤0，G (x )单调递减，G (x )的取值范围为[0，＋∞)，8分当0＜x ＜2时，G ′(x )＞0，G (x )单调递增，G (x )的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2，9分 当x ≥2时，G ′(x )≤0，G (x )单调递减，G (x )的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，4e 2， 10分由题意，得－a ＝0或－a ＞4e 2，从而a ＝0或a ＜－4e2，∴当a ＝0或a ＜－4e 2时，函数y ＝f (x )只有一个零点.12分(3)f (x )＝a e x＋x 2－2x ，f ′(x )＝a e x＋2x －2， 假设存在，则有f (x 0)＝f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋m 2(x 0－m )＋n ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋m 2(x 0－m )＋f (m )，13分即f x 0－f m x 0－m ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋m 2，∵f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋m 2＝a e＋2·x 0＋m2－2，f x 0－f m x 0－m＝ax 0－e m ＋x 20－m2－x 0－m x 0－m＝ax 0－e m x 0－m＋(x 0＋m )－2，∴a e＝ax 0－e mx 0－m.(*) 14分∵a ≠0，∴e＝e x 0－e mx 0－m ，不妨设t ＝x 0－m ＞0，则e t 2＋m ＝e t ＋m－e mt.∴h (t )在(0，＋∞)上单调递增， 又∵h (0)＝0，∴h (t )＞0对t ∈(0，＋∞)恒成立，即g ′(t )＞0对t ∈(0，＋∞)恒成立， ∴g (t )在(0，＋∞)上单调递增，又g (0)＝0， ∴g (t )＞0对t ∈(0，＋∞)恒成立，即(*)式不成立，∴不存在实数x 0(x 0≠m )，使得f (x 0)＝f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋m 2(x 0－m )＋n 成立. 16分5．(2016·南通三模)设函数f (x )＝x e x－a sin x cos x (a ∈R ，其中e 是自然对数的底数)． (1)当a ＝0时，求f (x )的极值；(2)若对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围；(3)是否存在实数a ，使得函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有两个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【导学号：19592022】[解] (1)当a ＝0时，f (x )＝x e x，f ′(x )＝e x(x ＋1)， 令f ′ (x )＝0，得x ＝－1. 2分 列表如下：所以函数f (x )的极小值为f (－1)＝－e，无极大值. 4分(2)①当a ≤0时，由于对于任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，有sin x cos x ≥0，所以f (x )≥0恒成立，当a ≤0时，符合题意； 5分②当0＜a ≤1时，因为f ′(x )≥e x(x ＋1)－a cos 2x ≥e 0(0＋1)－a cos 0＝1－a ≥0，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上为增函数，所以f (x )≥f (0)＝0，即当0＜a ≤1，符合题意；6分③当a ＞1时，f ′(0)＝1－a ＜0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝e π4⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋1＞0，所以存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，使得f ′(α)＝0，且在(0，α)内，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，α)上为减函数，所以f (x )＜f (0)＝0. 即当a ＞1时，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是(－∞，1]. 8分(3)不存在实数a ，使得函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有两个零点，由(2)知，当a ≤1时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，且f (0)＝0，故函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上无零点．当a ＞1时，f ′(x )≥e x(x ＋1)－a cos 2x ， 9分 令g (x )＝e x(x ＋1)－a cos 2x ，g ′(x )＝e x(x ＋2)＋2a sin 2x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，恒有g ′(x )＞0，所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，由g (0)＝1－a ＜0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝e π2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋1 ＋a ＞0，故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上存在唯一的零点x 0，即方程f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上存在唯一解x 0，11分且当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫x 0，π2，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(0，x 0)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2上单调递增， 12分 当x ∈(0，x 0)时，f (x )＜f (0)＝0，即f (x )在(0，x 0)无零点； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，f (x 0)＜f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝π2e ＞0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫x 0，π2上有唯一零点， 14分所以，当a ＞1时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有一个零点．综上所述，不存在实数a ，使得函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有两个零点. 16分6．设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2e x .已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行．(1)求a 的值；(2)是否存在自然数k ，使得方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，求m (x )的最大值．[解] (1)由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2. 2分又f ′(x )＝ln x ＋a x＋1，所以a ＝1. 4分 (2)当k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的根．设h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)ln x －x 2e x ，当x ∈(0,1]时，h (x )<0.5分又h (2)＝3ln 2－4e 2＝ln 8－4e2>1－1＝0，所以存在x 0∈(1,2)，使得h (x 0)＝0. 6分 因为h ′(x )＝ln x ＋1x＋1＋xx －ex，所以当x ∈(1,2)时，h ′(x )>1－1e >0，当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0，所以当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增.7分所以当k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根.8分(3)由(2)知，方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的根x 0， 且x ∈(0，x 0)时，f (x )＜g (x )，x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )＞g (x )， 所以m (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ，x ∈，x 0]，x2ex ，x ∈x 0，＋ 10分当x ∈(0，x 0)时，若x ∈(0,1]，m (x )≤0； 若x ∈(1，x 0)，由m ′(x )＝ln x ＋1x＋1>0，可知0<m (x )≤m (x 0)；故m (x )≤m (x 0). 12分 当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝x－xex， 可得x ∈(x 0,2)时，m ′(x )>0，m (x )单调递增；x ∈(2，＋∞)时，m ′(x )<0，m (x )单调递减．可知m (x )≤m (2)＝4e2，且m (x 0)<m (2)．综上可得，函数m (x )的最大值为4e2.14分。

江苏省2017年高考一轮复习专题突破训练不等式一、填空题1、（2016年江苏高考）已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x 2+y 2的取值范围是 ▲ .2、（2015年江苏高考）不等式224x x-<的解集为_______________.3、(2015年江苏高考)已知函数1)(2-+=mx xx f ,若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．4、（南京市2016届高三三模）若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则错误!的最大值为错误!5、（南通、扬州、泰州三市2016届高三二模)设实数,x y 满足2214x y -=,则232xxy -的最小值是 ▲ ．6、（南通市2016届高三一模)已知函数),(32)(2R b a b axx f ∈+=.若对于任意]1,1[-∈x ，都有1|)(|≤x f 成立，则ab 的最大值是7、（苏锡常镇四市2016届高三一模）若实数x,y 满足x 2 —4xy+4y 2 +4x 2y 2=4,则当x+2y 取得最大值时，x y的值为 ．8、（苏锡常镇四市市2016届高三二模）已知函数2()f x x xa=-,若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是 ▲9、（镇江市2016届高三一模）已知实数x ，y 满足错误!则z ＝2x ＋y 的最小值是________．10、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）设c b a ,,是正实数，满足a c b ≥+，则ba cc b ++的最小值为 ．11、（南京、盐城市2016届高三上期末）已知实数,x y 满足50,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =-的最小值为 ▲ 。

12、(南通市海安县2016届高三上期末）二次函数)()(2R x c x ax x f ∈++=的部分对应值如下表：则关于的不等式0)(≤x f 的解集为 ；13、（苏州市2016届高三上期末）已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ▲14、（泰州市2016届高三第一次模拟）若正实数,x y满足2(21)(52)(2)xy y y -=+-,则12x y+的最大值为 ▲15、（镇江市2016届高三第一次模拟)已知实数x ，y 满足错误!则z ＝2x ＋y 的最小值是________．二、解答题1、（南京市2016届高三三模）如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD ，其四条边均为道路，AD ∥BC ,∠ADC ＝90°，AB ＝5千米，BC ＝8千米，CD ＝3千米．现甲、乙两管理员同时从A 地出发匀速前往D 地，甲的路线是AD ，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．（1）若甲、乙两管理员到达D 的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围；（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D ,且乙从A 到D 的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v 的取值范围．2、（苏州市2015届高三上期期中考试）已知函数2()1f x x=-，()1g x a x =-，()()()F x f x g x =-． (1） 2a =,[]0,3x ∈,求()F x 值域；(2)2a >,解关于x 的不等式()F x ≥0．3、(常州市2015届高三）某校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（m）,三块种植植物的矩形区域的总面积为S．．．（m2)．（1）求S关于x的函数关系式；（2）求S的最大值．4、（南京市2016届高三9月情调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段（注：一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n＝ax ＋5．已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍．（1）写出新建道路交叉口的总造价y（万元）与x的函数关系式;（2）设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20％，且k≥3．问：P能否大于错误!,说明理由．参考答案一、填空题1、4[,13]52、由于()2x f x =单调递增，所以原不等式等价于2212x x x -<⇒-<<3。