探索规律(一)

小升初数学专题复习训练——数与代数探索规律（1）知识点复习一．算术中的规律【知识点归纳】在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的结果．例如：1×1=1；11×11=121；111×111=12321；1111×1111=1234321；通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出．①一个数乘11，101的规律一个数乘11的规律：可采用“两头一拉，中间相加”的方法计算．如：123×11=1353一个数乘101的规律：可采用“两两一位，隔位一加”的方法计算．如：58734×101=5932134②一个数乘5，15，25，125的规律一个数乘5，转化为一个数乘10，然后，再除以2．如：28×5=28×10÷2=280÷2=140这种情况可以概括为“添0求半”．根据同级运算可交换位置的性质，也可以先除以2，再乘10．如：28×5=28÷2×10=14×10=140．即“求半添0”的方法．一个数乘15，可分解为先用这个数乘10，再加上这个数乘5，乘5的方法同上．如：264×15=264×10+264×5=2640+264×10÷2=2640+2640÷2=2640+1320=3960．这种情况可以概括为“添0补半”一个数乘125，因为125×8=1000，所以，可将一个数乘125转化为先乘1000，再除以8，或先除以8，再乘1000．如：864×125=864×1000÷8=864000÷8=108000．【命题方向】常考题型：例1：4÷11的商用循环小数表示，则小数点后面第20位数字是（）A、0B、3C、7D、6分析：把4÷11的商用循环小数表示出来，看看循环节有几位小数，然后用20除以循环节的位数即可判断．解：4÷11=••63.0，循环节是36两个数字；20÷2=10，所以20位上的数是6；故选：D．点评：此题考查学生循环节的概念，以及分析判断能力．例2：按规律计算．3+6+12=12×2-3=213+6+12+24=24×2-3=453+6+12+24+48=48×2-3=933+6+12+24+…+192=192×2-3=381a+2a+4a+8a+16a+…+1024a=2047a．分析：由3+6+12=12×2-3=21，3+6+12+24=24×2-3=45，3+6+12+24+48=48×2-3=93可知：结果都是算式中的最后一个数乘以2再减去第一个数所得，由此得出结论．解：（1）3+6+12+24+…+192=192×2-3=381；（2）a+2a+4a+8a+16a+…+1024a=1024a×2-a=2048a-a=2047a．故答案为：381，2047a．点评：此题在于考查学生总结规律的能力．二．数列中的规律【知识点归纳】按一定的次序排列的一列数，叫做数列．（1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中．例如：1，2，3，4，5，6…相邻的差都为1；1，2，4，8，16，32…相邻的两数为2倍关系．（2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律．例如：1，0，0，1，1，0，0，1…从左到右，每四项为一组；1，2，3，5，8，13，21…规律为，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和．（3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律．例如，12，15，17，30，22，45，27，60…在这里，第1，3，5…项依次相差5，第2，4，6…项依次相差15．（4）相邻两数的关系中隐含着规律．例如，18，20，24，30，38，48，60…相邻两数依次差2，4，6，8，10，12…【命题方向】常考题型：例1：一列数1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…．中的第35个数为（）A、6B、7C、8D、无答案分析：从这组数可以得出规律，当数为n时，则共有n个n，所以第35个数为n，则1+2+3+…+n-1＜35＜1+2+3+…+n，可以求出n所以n=8．故选：C．点评：通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．例2：一对成熟的兔子每月繁殖一对小兔子，而每对小兔子一个月后就变成一对成熟的兔子．那么，从一对刚出生的兔子开始，一年后可变成144对兔子．分析：从第二个月起，每个月兔子的对数都等于相邻的前两个月的兔子对数的和．找到这个数列的第12项即可．解：兔子每个月的对数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，所以，从一对新生兔开始，一年后就变成了144对兔子．故答案为：144．点评：本题属于斐波那契数列，先找到兔子增加的规律，再根据规律求解．三．“式”的规律【知识点归纳】把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容．在探索“式”的规律时，要从组成“式”的要素中去探索．【命题方向】常考题型：例：观察1+3=4 4+5=9 9+7=16 16+9=25 25+11=36这五道算式，找出规律，则下一道算式分析：观察所给出的式子，知道从第二个算式起，第一个加数分别是前一算式的和；从第二个式子起，第二个加数分别是前一算式中的第二个加数加2所得；由此得出要求的算式．解：因为，要求的算式的前一个算式是：25+11=36，所以，要求的算式的第一个加数是：36，第二个加数是：11+2=13，所以要求的算式是：36+13=49，故答案为：36+13=49．点评：解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题．四．数与形结合的规律【知识点归纳】在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题．【命题方向】常考题型：搭n个要用3n+1根小棒．分析：能够根据图形发现规律：多一个正方形，则多用3根火柴．解：观察图形发现：第一个图形需要4根火柴，多一个正方形，多用3根火柴，则第n个图形中，需要火柴4+3（n-1）=3n+1．当n=10，3n+1=31，答：搭10个要用3根小棒，搭n个要用3n+1根小棒．故答案为：31，3n+1．点评：本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．五．数表中的规律【知识点归纳】【命题方向】常考题型：例：如图是一张月历卡，用形如的长方形去框月历卡里的日期数，每次同时框出3个数．框出的3个数的和最大是84，一共可以框出20种不同的和．分析：框出3个数是27，28，29时和最大．根据月历卡可知第2，3，4，5行每行有5种不同的和，依此即可求解．解：27+28+29=28×3=84，5×4=20（种）．故答案为：84，20．点评：考查了数表中的规律，月历卡中不同的和的情况要一行一行的找，再相加进行解答．。

四年级上册数学教案探索规律（一）西师大版（）⏹教学内容教科书86页例1、例2相关的课堂活动及练习。

探求规律。

⏹教学提示计算器是用来协助先生能较快较准地计算出大数目计算题的结果，在此基础上发现各种规律。

所以我以为计算器只是本节课的一种辅佐工具，而非本课所学规律的重点。

我们不要把计算器神奇化，使得先生过火置信、依赖于计算器计算，这样只关键处且有益于先生数学思想的开展，数感的培育。

教学目的知识与技艺：能借助计算器探求出乘法算式的一些复杂规律。

进程与方法：经过观察、比拟、猜想、验证、推理、交流等数学活动，让先生阅历探求规律的进程。

情感态度与价值观：培育初步的逻辑思想才干和推理才干。

⏹重点、难点重点：能借助计算器探求出乘法算式的一些复杂规律。

难点：处置复杂实践效果的才干。

⏹教学预备教员预备：教学课件⏹教学进程〔一〕新课导入多媒体出示以下算式：1×1=11×11=111×111=1111×1111=师和先生交流：你发现了什么？预设：每个算式里的两个因数相等，每个因数的每个数位上都是数字1。

师质疑：从上往下看，比拟这些算式，你还能发现什么？预设：第1个算式两个因数都是一位数，第2个算式两个因数都是两位数，第3个算式两个因数都是三位数，第4个算式两个因数都是四位数。

师和先生交流：我们发现的都是这些算式的规律，既然这些算式有这么多的规律，那么它们的结果会不会也出现出一些规律呢？先生自在猜想。

师：明天我们就来探求规律。

板书课题。

设计意图：用有规律的一组算式让先生发现规律，并用猜想算式的积能否有规律的方式巧妙地引入本节课学习，能激起先生探求规律的兴味。

〔二〕探求新知1、教学例1。

教员：刚才大家的猜想对不对呢？我们先用计算器算出这些算式的结果。

先生用计算器计算，并把结果写上去。

先生汇报结果，教员板书：1×1=111×11=121111×111=123211111×1111=1234321生经过计算发现结果是有规律的。

1 …1 1234 56 7 8 9 §3.6 探索规律（教案）【教学目标】 1、知识与技能（1）会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律。

（2）培养学生的观察能力、动手能力、创新能力以及交往协作能力，并提高其分析问题和解决问题的能力。

2、过程与方法（1）经历探索数量关系，运用符号表示规律，通过验算验证规律的过程。

（2）在解决问题的过程中体验类比、转化等思维方法，培养学生良好的思维品质。

3、情感、态度与价值观认识知识来源于生活，体会数学就在身边，激发学生的探究热情，体验数学活动的探索性及创造性，培养学生实事求是的科学态度。

教学重点：探索实际问题中蕴涵的关系和规律。

教学难点：用代数式正确地表示实际问题中蕴涵的数学规律。

【教辅设备】多媒体白板【教学过程】师生活动设计一、走近游乐园——游戏激趣、引入课题规律是客观存在的，让我们一起走进丰富的生活世界，去寻求数学真谛！活动一、请同学们伸出左手，一起做下面的游戏：从大拇指开始，像图中显示的这只手那样依次数数字1、2、3、4、5、……，请问数字20落在哪个手指上？可先让学生独自思考，然后可针对学生在数数字过程中出现的困惑给出适当提示：如果大家觉得数字大不好数，过程太长，而且数也比较费时，那么请你想办法找一找有没有一种既简便又准确的方法。

当学生说出数字20刚好落在无名指上后，教师对学生进行表扬，继而追问：你们能很快地说出数字200落在哪个手指上吗？2000呢？鼓励学生采用画图、列表等方法进行思考、讨论。

最终引导他们概括规律，并说 出理由。

如，引导学生讨论他们得到的下表，问：你们发现了什么？学生： 除了第一排5个数字以外，其他的可先按从右到左、再从左至右的顺序，每8个数一组，故我们只需把要数的数字减去5，再除以8，将得到的余数从无名指开始先向左数、再向右数就可以知道落在什么地方了，比如：数字200，先计算（200－5）÷8＝24……3，所以，我只需从无名指开始向左数3就可以了，数到3时刚好落在食指上，即200落在食指上。

一年级下册数学教案认识图形探索规律北京版 (1)教案：一年级下册数学教案认识图形探索规律北京版一、教学内容今天我们要学习的是北京版一年级下册的数学内容，具体是第60页至61页的“认识图形探索规律”这一部分。

我们会通过观察和操作，认识长方形、正方形、圆形和三角形这些基本的平面图形，并了解它们的特征。

二、教学目标通过本节课的学习，我希望学生们能够：1. 能够识别并命名长方形、正方形、圆形和三角形。

2. 理解这些图形的特征和区别。

3. 能够用语言描述图形的特征。

三、教学难点与重点重点：让学生能够识别并命名长方形、正方形、圆形和三角形，并理解它们的特征。

难点：让学生能够用语言准确描述图形的特征。

四、教具与学具准备教具：我会准备一些图形卡片，包括长方形、正方形、圆形和三角形，以及一些实物模型，如纸板做的盒子、瓶子等。

学具：学生们需要准备一些纸和彩笔，用来画出他们观察到的图形。

五、教学过程1. 引入：我会通过展示一些实物，如盒子、瓶子等，让学生观察并猜测它们是什么形状的。

2. 展示：我会出示长方形、正方形、圆形和三角形的卡片，让学生们观察并说出它们的名称。

3. 操作：学生们会在纸上画出他们观察到的图形，并用自己的语言描述它们的特征。

4. 练习：我会给出一些练习题，让学生们通过观察和操作，找出符合题意的图形。

六、板书设计板书设计如下：长方形正方形圆形三角形七、作业设计1. 题目：请学生们在家里找一找长方形、正方形、圆形和三角形的物品，并画出来，下节课分享。

答案：根据学生们的观察和描绘，答案会有所不同。

八、课后反思及拓展延伸课后，我会反思学生们在课堂上的表现，看是否达到了教学目标，对于那些没有掌握的学生，我会进行个别辅导。

同时，我也会鼓励学生们在课后继续观察和探索图形的世界，拓展他们的学习兴趣。

重点和难点解析在上述教案中，有几个重要的细节是需要重点关注的。

引入环节的设计，是对教学难点的处理，接着是教学过程的安排，然后是板书设计，是作业的布置和课后反思。

探索规律 课题: 3.7探索规律（1） 课型: 新授课一、学习目标会用字母、运算符号表示简单问题的规律，并能验证所探索的规律二、重点、难点重难点： 会用代数式表示规律三、自学指导复习回顾：活动一：按下图方式摆放餐桌和椅子：（1）1张餐桌可坐6人，2张餐桌可坐_____人。

（2）按照上图方式继续排列餐桌，完成下表：桌子张数3 4 5 6 …… n 可坐人数（3）你能用不同的方法解释你所表示的规律吗？（4）一家餐厅有这样的长方形桌子30张，按照上图方式每5张拼成一张大桌子，共可坐多少人？若按照上图方式每6张拼成一张大桌子，共可坐多少人？若现在有131个客人去吃饭，那该如何拼摆桌子？典型例题：例题1：观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；（2）通过猜想写出与第n 个点阵相对应的等式_____________________。

对应训练：1.如图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成．-2.观察下列几个算式，找出规律：1＋2＋1=41＋2＋3＋2＋1=91＋2＋3＋4＋3＋2＋1=161＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25……利用上面规律，请你迅速算出：(1) (2) (3) …… …………①1=12； ②1+3=22； ③1+3+5=32④ ； ⑤ ；①1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1=②据①你会算出1＋2＋3＋…＋100是多少吗？③据上你能推导出1＋2＋3＋…＋n 的计算公式吗？3.观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ）22n +B ．44n +C ．44n -D ．4n4.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆．当堂检测如图，都是由若干盆花组成的形如三角形的图案，则组成第n 个图案所需花盆的总数是___________________．* * * ** * * * * ** * * * * * * * *2.观察正方形图案，每条边上有)2(≥n n 个圆点，每个图案中圆点总数式S ，按此推断S 与n 的关系式为3.把棱长为a 的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个……按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形 ………第1个 第2个第3个 n=2,S=4n=3,s=8n=4,s=12………………4．将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到条折痕．如果对折n次，可以得到条折痕．拓展提升.计算并观察下列每组算式：⎩⎨⎧=⨯=⨯9788，⎩⎨⎧=⨯=⨯6455，⎩⎨⎧=⨯=⨯13111212；（2）已知25×25=625，那么24×26= ；（3）请用代数式把这个规律表示出来电话费与通话时间之间的关系如下表：(1)写出用通话时间x表示电话费y的公式：_________.(2)并用你所列的公式求当通话时间x=100分钟时的费用：__________.(3)小明家四月份电话费是96.6元，那么他家一共打了多长时间的电话：__________.通话时间x(分) 电话费y(元)1 0.3+0.62 0.6+0.63 0.9+0.64 1.2+0.65 1.5+0.6。

3.6 探索规律（一）◆基础训练一、选择题1．百货大楼进了一批花布，出售时要在进价（进货价格）的基础上加一定的利润，其数量x与售价y如下表：下列用数量x表示售价y的关系中，正确的是（）．A．y=8x+0.3 B．y=（8+0.3）x C．y=8+0.3x D．y=8+0.3+x2．当n非常大时，与314nn接近的值是（）A．34B．0 C．43D．－14二、填空题3．从2开始，将连续的偶数相加，其和的情况如下：2=1×2，2+4=6=2×3，2+•4+•6=12=3×4，2+4+6+8=20=4×5，…，2+4+6+…+24=_______×________．如从2开始n个连续的偶数相加，试写出用n表示的代数式2+4+6+…+2n=_______．4．研究下列算式，你可以发现一定的规律：1×3+1=4=22，2×4+1=9=32，3×5+1=16=42，4×6+1=25=52…，请你将找出的规律用代数式表示出来：__________．5．观察下列等式：9－1=8，16－4=12，25－9=16，36－16=20，49－25=24…这些等式反映出自然数间某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来________．三、解答题6．观察一列数表：1 2 3 4 … 第一行2 3 4 5 … 第二行3 4 5 6 … 第三行4 5 6 6 … 第四行… … … …第第第第一二三四列列列列根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为多少？第n•行与第n列交叉点上的数应为多少？（用n表示）7．1×2×3×4+1=52，2×3×4×5+1=112，3×4×5×6+1=192，4×5×6×7+1=292．你能由以上的结果推测出：10×11×12×13+1等于哪个数的平方吗？你能推测出：n （n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方吗？8．观察下列各正方形图案，每条边上有n（n≥2）个圆点，•每个图案中圆点的总数为s．n=2，s=4 n=3，s=8 n=4，s=12按此规律推断出s与n的关系式．◆能力提高 一、填空题9．观察下列各式，你会发现什么规律： 3×5=15，而15=42－1 5×7=35，而35=62－1 …11×13=143，而143=122－1 …将你观察到的规律用只含一个字母的式子表示出来为__________． 10．观察算式：1+3=(13)2(15)3(17)4,135,1357,222+⨯+⨯+⨯++=+++= (19)5135792+⨯++++=，…，按规律可得：1+3+5+7+•9+…+99=________． 二、解答题11．（1）看一看：下列两组算式（3×5）2与32×52；[（－12）×4] 2与（－12）2×42，•每组两个算式的计算结果是否相等？ （2）想一想：（ab ）2等于什么？（3）猜一猜：当n 为正整数时，（ab ）n 等于什么？12．将1，－12，13，－14，15，－16，…按一定规律排列如下：第1行 1第2行－1213第3行－1415－16第4行17－1819－110第5行11111 1112131415 --…请你写出第20行从左到右第10个数是多少？◆拓展训练13．用火柴棒按下图中的方式拼图形：（1）按图示规律填空：（2）拼第13个图形需要多少根火柴棒？（3）拼第n个图形需要多少根火柴棒？答案:1．B 2．A 3．156，12，13，n（n+1）4．n（n+2）+1=（n+1）2（n≥1）5．（n+3）2－（n+1）2=4（n+2）（n≥0）6．11，2n－17．131，n（n+3）+1 8．s=4（n－1）9．（2n+1）·（2n+3）=（2n+2）2－1（n≥1）10．250011．（1）相等，（2）a2b2，（3）a n b n12．－1 20013．（1）5，9，13，17，21，（2）53，（3）4n+1．3.6 探索规律（二）◆基础训练 一、选择题1．如图，甲、乙两人沿着边长为40cm 的正方形，按A→B→C→D→A→B…的方向行走，甲从A 以65米/分的速度行走，同时乙从B 以72米/分的速度行走，•当乙第一次追上甲时在正方形的（ ）． A ．AB 边上 B ．DA 边上C ．BC 边上D ．CD 边上2．有以下两数串：1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，•4，•7，•10，•…，1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中相同的数共有（ ）． A ．333个 B ．334个 C ．335个 D ．336个二、填空题 3．按规律填空：12，－16，112，－111,,______,203056． 4．下列一组数：－4，－1，4，11，20，…则第6个数是_______． 5．比较下面两列算式结果的大小（在横线上选填“>”、“<”、“=”） 52+72______2×5×7（－9）2+42_______2×（－9）×4（－6）2+（－8）2_______2×（－6）×（－8） 32+32______2×3×3通过观察归纳，写出能反映出一般规律的式子为________．三、解答题6．如图是由长方形与正方形从左到右逐个交替并连而成，请观察图形并填下表（表中n 为正整数）：7．把立方体的六个面分别涂上六种不同的颜色，并画出朵数不等的花，各面上的颜色与花的朵数情况如下：现将上述大小相同，颜色，花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个水平位置的立方体，如图所示，你知道立方体的下底面共有多少朵花吗？8．用火柴棒按如图的方式拼图形．（1）①中需要多少根火柴棒？②中需要多少根火柴棒？③中需要多少根火柴棒？（2）以此类推，第n个图形中需要多少根火柴棒？①②③◆能力提高一、填空题9．（1）通过计算比较下列各组数中两个数的大小，在空格中填写“>”、“<”、“=”．①12______21，②23______32，③34______43，④44______54．（2）从第（1）题的结果通过归纳可以猜想n n+1与（n+•1）n的大小关系为______，•比较20032004与20042003的大小为______．10．如图①是棱长为a的小立方体，图②、图③是由这样的小立方体摆放而成．按照这样的方式继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二层，…，第n层，第n•层的小立方体的个数记为s．解答下列问题：（1）按照规律填表：①②③（2）写出当n=10时，s=________．二、解答题11．如果依次用a1，a2，a3，a4分别表示①，②，③，④中三角形的个数，那么a1=3，a2=8，a3=15，a4=_______．如果按上述规律继续画图，那么a9与a8之间的关系是a9=a8+_______，•你能写出a n与a n－1之间的关系吗？①②③④12．依次计算：1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…，根据计算结果猜想1+2+3+…·+n+（n－1）+…+3+2+1的表达式．◆拓展训练13．如图所示，某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式．一天中午，•餐厅要接待98位顾客共同就餐，但餐厅中只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，•你打算选择哪种拼接方式来摆餐桌？(1) (2)答案:1．B 2．B 3．－1424．31 5．>，>，>，=，a2+b2≥2ab6．18，6n+2 17．17 8．（1）7，12，17，（2）5n+29．（1）①<，②<，③>，④>，（2）n n+1<（n+1）n（1≤n≤2），n n+1>（n+1）n（n≥3），20032004>2004200310．（1）10，15，（2）55 11．24，19，a n=a n－1+（2n+1）12．1，4，9，16，n213．按方式（1）来摆，因为，设所使用桌子张数为n张，由方式（1）得：4n+2=•98，•n=24<25，由方式（2）得：2n+4=98，n=47>25.。