九年级数学上册2.6应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题课件(新版)北师大版

D.x2+3x+16=0
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
3. 如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P
沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从 点C向B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点 也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
变式 如图，要利用一面墙 (墙长为 25 m) 建羊圈，用 80 m 的
围栏围成面积为 600 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的
长各是多少米？
25 m
解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得
A
D
(80 − 2x)x = 600.
整理得 x2 − 40x + 300 = 0，
方法点拨
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的 性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是 求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
例2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用 58 m的围栏围
成面积为 200 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的长各是
B
C
解得 x1 = 10，x2 = 30. 当 x = 10 时，80 − 2x = 60 > 25(舍去)；
当 x = 30 时，80 − 2x = 20 < 25.
答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 30 m，20 m.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
变式 如图，一农户要建一个矩形鸡场，鸡场的一边利用长为 12

3.如图③,围栏总长为a,BC
−
的长为b,则S能形ABCD= ×b.

知识点 2：动态几何问题(难点)
1.关键：“以静代动”，把动的点进行转换，用时间表示长度.
2.方法：时间变路程.
3.求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”，也
就是求线段的长度.
4.常找的数量关系——面积、勾股定理等.
九年级北师上册
6 应用一元二次方程
第1课时 一元二次方程的应用——几何问题
1.通过阅读课本可以根据实际面积问题中的等量关系
列出方程，提高学生的应用意识
2.通过归类面积问题的题型，构建解决面积问题的数
学模型，发展学生的建模能力.
3.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并
解决问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界
AB 边向点 B 以 1厘米/秒的速度移动，点 Q从点 B 开始沿BC 边向
点C 以2 厘米/秒的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，其
中一点到达终点后两点均停止运动.
(1)经过几秒，△PBQ的面积等于8平方厘米?
解：(1)设运动时间为t秒( ≤ ≤ ,由题意得， = ሺ
准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900 平方米的一块
矩形绿地，并且长比宽多10 米，那么绿地的长和宽各
为多少？
栽种鲜花(如图中阴影部分),原空地一边减少了1 m,另一边减少了2
m,剩余空地的面积为18 m²,求原正方形空地的边长.设原正方形空
地的边长为x m,则可列方程为(
A
)
A.(x-1)(x-2)=18
B.x²-3x+16=0
C.(x+1)(x+2)=18

例题精讲
知识点 1 列一元二次方程解增长(或下降)率问题 例1 (教材 P55T4) 某公司今年 10 月的营业额为 2 500 万 元，按计划第四季度的总营业额要达到 9 100 万元，求该公 司 11，12 两个月营业额的月均增长率．
【思路点拨】用“增长后的量＝增长前的量×(1＋平均增 长率)n”表示出 11 月与 12 月的营业额，根据第四季度的总营 业额要达到 9 100 万元，列方程求解．
度继续航行，在途中是否会遇到台风？ 不不会会 (填“会”或“不会”)．
5. 如图，在△ ABC 中，AB＝6 cm，BC＝7 cm，∠ABC ＝30°，点 P 从 A 点出发，以 1 cm/s 的速度向 B 点移动，点 Q 从 B 点出发，以 2 cm/s 的速度向 C 点移动．如果 P，Q 两 点同时出发，经过几秒后△ PBQ 的面积等于 4 cm2？
根据题意得，(x－30)[600－10(x－40)]＝10 000， 整理得，x2－130x＋4 000＝0， 解得 x1＝50，x2＝80(舍去)．
600－10(x－40)＝600－100＝500. 因此，这种台灯的售价应定为 50 元，这时应购进台灯 500 个．
【归纳总结】列一元二次方程解决利润问题，应根据利 润，售价，成本之间的关系，找准等量关系，正确列出一元 二次方程，注意问题中的限制条件，舍去与条件不符合的解．
解：如图，过点 Q 作 QE⊥PB 于点 E，则∠QEB＝90°. ∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB.∴S△ PQB＝12PB·QE. 设经过 t s 后△ PBQ 的面积等于 4 cm2，则 PB＝(6－t)cm， QB＝2t cm，QE＝t cm.
根据题意，得12(6－t)·t＝4，即 t2－6t＋8＝0.∴t1＝2，t2 ＝4.

答案
(x-1);
1 2
x(x-1);
1 2
x(x-1)=28;x2-x-56=0;x1=8,x2=-7;x=8;8
解析 设应邀请x支球队参赛,则每队共打(x-1)场比赛,比赛总场数用代
数式表示为 1 x(x-1).
2
根据题意,可列出方程 1 x(x-1)=28.
2
整理,得x2-x-56=0, 解得 x1=8,x2=-7. 合乎实际意义的解为 x=8. 答:应邀请 8支球队参赛.
销售单价/元
x
销售量y/件
销售玩具获得的利润W/元
(2)在(1)问的条件下,若商场获得了10 000元的销售利润,求该玩具的销 售单价应定为多少元.
分析 (1)由销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具,得y=600-(x-40)×10= 1 000-10x,W=(1 000-10x)(x-30)=-10x2+1 300x-30 000; (2)令-10x2+1 300x -30 000=10 000,解这个方程即可求出x的值.
A.7 m
图2-6-1 B.8 m
C.9 m
D.10 m
答案 A 设原正方形空地的边长为x m,依题意得(x-3)·(x-2)=20,解得x1 =7,x2=-2(不合题意,舍去),∴原正方形空地的边长为7 m.故选A.
3.已知一个两位数,个位上的数字比十位上的数字少4,这个两位数十位和个
位交换位置后,新两位数与原两位数的积为1 612,那么这个两位数是 ( )
4.某市体育局要组织一次篮球赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛
一场),计划安排28场比赛,应邀请多少支球队参加比赛?学习以下解答过
程,并完成填空.

当的降价措施，调查发现，如果这种牛奶售价每降价0.05元，那么平均每
天可多售出200袋.摊主要想平均每天赢利180元，每袋牛奶应降价多少元?
解：设每袋牛奶应降价x元.依据题意，得：
0.3 x 500 x 200 180
解得：
3
x1=40
0.05 ,x2=0.1，
∵为了尽快减少库存，∴x=0.1.
答：每袋牛奶应降价0.1元.
降价前 降价后
8 84 x
50
2900 2500 2900 x 2500
解：设每台冰箱应降价x元. 依据题意，得：
2900 x 2500 8 4 x 5000 50
解这个方程，得：
x1 x2 150.
2900 150 2750.所以，每台冰箱应定Fra bibliotek为2750元.
总销售利润/元
2900 2500 8
5000
总销售利润=一台冰箱的利润×销售冰箱数量 一台冰箱的利润=一台的售价-一台的进价
解：设每台冰箱的应降价x元.
降价前 降价后
每天的销售量/台
8 84 x
50
每台的销售利润/元
2900 2500 2900 x 2500
总销售利润/元
2900 2500 8
5000
二、典例分析
每天的销售量/台
每台的销售利润/元
四、随堂练习
2.某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超 过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利 1600元，每件应降价多少元?
解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：
(44−x)(20+5x)=1600 解方程得：x1=4，x2=36， ∵在降价幅度不超过10元的情况下， ∴x=36不合题意舍去， 答：每件服装应降价4元.

解：设相遇时用的时间为x，
依题意可列方程为(3x)2＝(7x－10)2－102，
整理，得2x2－7x＝0.
解这个方程，得 x1＝0(不合题意，舍去)，
x2＝3.5，
∴3x＝3×3.5＝10.5，7x＝7×3.5＝24.5.
答：相遇时，甲走了24.5步，乙走了10.5步．
4．用一根长40cm的铁丝围成一个面积为91cm2的矩形，问这个
当BC＝15 m时，AB＝CD＝10 m.
即这个长方形鸡场的长与宽分别为20 m，7.5 m或15 m，10 m；
(2)当墙长为18 m时，显然BC＝20 m时，所围成的鸡场会
在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围
成的长方形鸡场的长与宽只能是15 m，10 m；
A
D
B
C
(3)不能围成面积为160 m2的长方形鸡场．理由如下：
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
随堂练习
1．直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边
长为 ( B )A．
C． 37
B．5
D．72．从正方形铁皮的一边切去一个2
38
cm宽的长方形，若余下的长方形面积是48 cm2，则原来
正方形铁皮的面积是_________．
64 cm2
在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有
一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰沿A出发,经B到C匀速巡航,一
艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军
舰.
已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的
途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了

解:设矩形温室的宽为xm,则长为2xm. 根据题意，得(x-2)(2x-4) =288， 整理得想x²-4x- 140=0, 配方得(x-2) ²=144, ∴x-2= ±12， x₁=14,x₂= -10(不合题意，舍去)， ∴ x=14,2x=2×14= 28. 答:当矩形温室的长为28m.宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m².
2.列方程解应用题的一般步骤.
活学巧记 列方程解应用题，
审设列解和验答;
审题弄清已未知，
设元直间两办法;
等量关系列方程，
解方程时守章法;
检验准且合题意,
问求同一才作答.
情景引入
1．李明准备进行如下操作实验：把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
如何列一元二次方程解决图形类的应用题呢？ 根据几何问题中的数量关系列一元二次方程并求解.
解:设出发后x s时,S ∆MON=1/12 S菱形ABCD. 已知在相同时间内,若BQ=xcm(x≠0),则AP=2xcm,CM=3cm DN=x ²cm.
分析：利用正方形的性质，结合勾股定理列方程，据题意,画图如图所示， (2)在运动过程中，△PBQ的面积能否等于矩形ABCD的面积的四分之一？若能，求出运动的时间；
动点M从点A出发沿AC方向以每秒2cm的速度做匀速直线运动，动点N从点B 出发沿BD方向以每秒1cm的速度做匀速直线运动,若M,N同时出发,问出发后几秒时,△MON的面积为菱形
ABCD面积的1/12.
自的位置． 解得x₁=-10(舍去),x₂=4
某村计划建造如图的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1,在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道。
拓展探究
如围,菱形ABCD中AC, BD交于点0.4C=8 cm.BD=6cm.动点M从点A出发沿AC方向以 每秒2cm的速度做匀速直线运动，动点N从点B 出发沿BD方向以每秒1cm的速度做匀速 直线运动,若M,N同时出发,问出发后几秒时,△MON的面积为菱形ABCD面积的1/12.

4.7一元二次方程的应用 （几何图形）
九年级上册
学习目标：
1、会列出一元二次方程解决简单的实际问题（几何问题）， 培养应用意识和分析问题、解决问题的能力。 2、能根据问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
1.将一根长64cm的铁丝剪成两段,再将每段分别围成正方形(如图),
如果这两个正方形的面积和等于160cm2,求两个正方形的边长。
解:设温室宽为x m，长为3x m,那么蔬菜种植区的长为(3x-
6)m，宽为(x-2)m 根据题意，得：（3x-6）(x-2)=300 整理,得 x2 -4x-96=0
解得 x1 =12,x2=-8
经检验,当温室的宽是12m时，符合题意.
当x =12时,3x=3×12=36.
答：温室宽度为12m时，蔬菜种植面积300m2.
当x -x =16-4 =12.
答：两个正方形的边长分别是12cm和4cm.
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m), 四边用木栏围成,木栏长40m.
(1)设养鸡场宽为x m， 则长为（__4_0___2__x_）__m__,_即__(_2_0_-__x_)_m；
经检验,当道路的宽是2m时，符合题意.
答：道路宽度为2m时，绿化面积7644m2.
课本152页练习1
4.天泉村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长宽的比为3：1,在温室内,沿前后两侧
内墙各留3m的空地放置工具，其他两侧内墙各留1m宽通道.当矩形温室的长与宽多少时,
蔬菜种植区的面积是300m2?
等量关系式:蔬菜种植面积=300m2
同步117页跟踪3
3.如图，在边长100m,宽80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互
相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2,则道

【解析】
设九(2)班有x名同学,则每名同学交换出(x-1)件小礼物,
根据题意得,x(x-1)=1 560,解得x1=40,x2=-39(不合题意,舍去).
故九(2)班有40名同学.
易错分析
注意理解此类问题与握手问题的区别.解答时,往往容易忽略每两名同学都要互换一件礼物,


而得出错误的方程 x(x-1)=1 560.
【解析】
(1)设出发x s时,可使△PCQ的面积为8 cm2,则0<x≤4.

根据题意,得 (6-x)×2x=8,

解得x1=2,x2=4.
答:出发2 s或4 s时,可使△PCQ的面积为8 cm2.
(2)不存在. 理由如下:
设出发y s时,△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.






根据题意,得 (6-y)×2y= × ×6×8,
向点C以1 cm/s的速度移动,同时点Q从点C出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动.当点Q运
动到B点时,P,Q停止运动.
(1)出发几秒时,可使△PCQ的面积为8 cm2?
(2)在点P,Q的移动过程中,是否存在某个时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC面积的一半?
若存在,求出运动的时间;若不存在,请说明理由.
名师点睛
(1)用各数位上的数字表示出两位数,两位数=十位数字×10+个位数字.
(2)把已知条件和所求的未知量都填在如下表格中,易于寻找各量之间的关系.
十位数字 个位数字
原来
现在
两位数
8.三个连续整数两两相乘,再求和,其结果为242,则这三个整数分别为
【解析】
设第一个数为x,则第二个数为x+1,第三个数为x+2,

答：共有10个队参加了比赛.
当堂小练
3. 一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对 调后得到一个两位数,这两个两位数之积是2296, 则这个两位数是多少？
解：设这个数十位上数字为x,则个位数字为(10-x), 原数为10x+(10-x)=9x+10. 对调后得到的数为10(10-x)+x=100-9x. 依题意(9x+10)(100-9x)=2296. 解得 x1=8, x2=2. 当x=8时，这个两位数是82；当x=2时，这个两位数是28.
∴每千克核桃应降价6元. 此时,售价为60-6=54(元) ， 54 ×100%=90%.
60
答: 该店应按原售价的九折出售.
课堂小结
增长率问题 平 均 变 化 率 问 题 降低率问题
a(1+x)2=b，其中 a 为增长前的量，x 为 增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量.
a(1-x)2=b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低 后的量.注意 1 与 x 位置不可调换.
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时
学习目标
1.会分析实际问题中的数量关系并会列一元二次方程.
（重点）
2.正确分析问题中的数量关系.
（难点）
3.会找出实际问题中的相等关系并建模解决问题.
新课导入
知识回顾
1.解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
A．560(1＋x)2＝315
B．560(1－x)2＝315
C．560(1－2x)2＝315
D．560(1－x2)＝315
新课讲解
2 某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利 润是25万元，若利润平均每月的增长率为x，则依题意 列方程为( D ) A．25(1＋x)2＝82.75 B．25＋50x＝82.75 C．25＋25(1＋x)2＝82.75 D．25[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝82.75