数列等差等比性质应用、证明

等差、等比中项在数列解题中的应用一、等差、等比中项的定义三个实数b A a ,,，满足b a A +=2，则b A a ,,成等差数列，A 叫做b a ,的等差中项。

即b A a ,,成等差数列的充要条件是b a A +=2或2b a A +=或A b a A -=- 三个非零实数b A a ,,，满足ab A =2，则b A a ,,成等比数列，A 叫做b a ,的等比中项。

即b A a ,,成等比数列的充要条件是ab A =2或ab A ±=或Ab a A = 二、等差、等比中项的应用例1 已知b a b a +,,成等差数列，ab b a ,,成等比数列，且 ()1log 0<<ab m ，则m 的取值范围.解：由b a b a +,,成等差数列，ab b a ,,成等比数列得，()b a a b ++=2，ab a b ⋅=2，解得4,2==b a ，因18log 0<<m ，解得8>m ，即m 的取值范围为()∞+.8.【点评】本题利用了等差中项与等比中项的性质，直接得到a 与b 的关系式，从而解得a 与b 的值，简化了解题过程。

对于等差中项或等比中项公式我们在数列中还可推广：1）等差数列{}n a 中，n a 是与n a 前后等距离的两项p n p n a a +-,的等差中项，即p n p n n a a a +-+=2（2≥n 且p n >）2）等比数列{}n a 中，n a 是与n a 前后等距离的两项p n p n a a +-,的等比中项，即p n p n n a a a +-⋅=2（2≥n 且p n >）。

利用这两个数列的重要性质，能使解题过程变得简捷。

例2 已知()1+=bx n f 为x 的一次函数，且()()()()()⎩⎨⎧>-==1111n n g f n n g ，若{}n a 中， ()()n g n g a n -+=1，其中*N n ∈，求证：数列{}n a 为等比数列证明：当1>n 时，Θ()()n g n g a n -+=1，∴()()121+-+=+n g n g a n ，()()232+-+=+n g n g a n()()[]()()[]2312+-+⋅-+=⋅+n g n g n g n g a a n n Θ()()[]()()()()[]121+-+⋅-+=n g f n g f n g n g ()()[]()()[]121+-+⋅-+=n bg n bg n g n g()()[]()()[]121+-+⋅-+=n g n g n bg n bg()()()()[]()()[]12111+-+⋅+-++=n g n g n bg n bg()()()()[]()()[]121+-+⋅-+=n g n g n g f n g f()()[]()()[]1212+-+⋅+-+=n g n g n g n g()()[]21212+=+-+=n a n g n g ， 而33221,0,0b a b a b a =≠=≠=，0≠∴n a ，且1=n 时，2231a a a =， 故数列{}n a 为等比数列【点评】证明数列是等差数列或等比数列，我们除了用定义证明之外，也可利用数列的中项的方法去证明，即若满足212+++=n n n a a a ，则数列为等差数列，若221++⋅=n n n a a a ，则数列为等比数列。

等差等比数列性质以及证明知识点：1．等差数列的性质 ⑴(),m nm n a a a a m n d d m n-=+-=- ⑵在等差数列中，若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+，若2m p q =+，则2m p q a a a =+ ⑶若{}{},n n a b 均为等差数列，且公差分别为12,d d ，则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +±也为等差数列，且公差分别为1112,,pd d d d ±．⑷在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,n n m n m a a a ++，．．．．，为等差数列，公差为md ．⑸等差数列的前n 项和也构成一个等差数列，即n S ，232,n n n n S S S S --，．．．为等差数列，公差为2n d ．⑹若等差数列的项数为2n ，则有1,nn S a S S nd S a +-==奇偶奇偶． ⑺等差数列的项数为奇数n ，则n n S S S a S S =+=-奇偶中间项奇偶且，11S n S n +=-奇偶． ⑻{}n a 为等差数列，()2121n n S n a -=-．⑼通项公式是n a An B =+ ()0A ≠是一次函数的形式；前n 项和公式()20n S An Bn A =+≠是不含常数项的二次函数的形式．（注当0d =时，1n S na =，1n a a =）（10）若10a >，0d <，n S 有最大值，可由不等式组10n n a a +⎧⎨⎩≥≤来确定n ．若10a <，0d >，n S 有最小值，可由不等式组10n n a a +⎧⎨⎩≤≥来确定n ．2.等比数列{}n a 的性质（其中公比为q ）：⑴n m n m a a q -=，n q =； ⑵若p q m n +=+，则有p q m n a a a a ⋅=⋅；若2m p q =+，则有2mp q a a a =⋅； ⑶等距离取出若干项也构成一个等比数列，即n a ，n m a +，2n m a +，为等比数列，公比为m q ．3．主要方法⑴解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．⑵深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n 项和公式的内在联系是解题的关键． ⑶错位相减求和法：非零的等差数列{}n a 、等比数列{}n b 构造数列{}n n a b ⋅，此数列称为差比数列，求它的前n 项和可用错位相减法．等比数列的n 项和也构成一个等比数列，即232n n n n n S S S S S --，，，为等比数列，公比为n q ．通项公式：11n n m n m a a q a q --==；前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩．等比数列前n 项和公式的推导：法一：由等比数列的定义知2132121,,,,n n n n a a q a a q a a q a a q ---====， 将这n 个等式的两边分别相加得：23121()n n a a a a a a q -+++=+++，即1()n n n S a S a q -=-，整理得111(1)n n n S q a a q a a q -=-=-，当1q ≠时，1(1)(2)1n n a q S n q-=-≥，显然此式对1n =也成立； 当1q =时，1n S na =． 法二：211111n n S a a q a q a q -=++++，将上式两边同乘以q 得：231111n n qS a q a q a q a q =++++，两式相减得：11(1)n n q S a a q -=-，以下讨论同法一． 法二称为错位相减法，是数列求和中常用的一种方法．板块一 等差数列与等比数列——性质以及运用 一、 利用“下标和相等” ①等差数列3071020251.30255,.S a a a a =+++（二星）等差数列前项的和求答案：34 123181920201.24,78,.a a a a a a S ++=-++=（二星）等差数列求 510131621251.20,_______.a a a a a S ++++==（二星）等差数列则 1.421467286（二星）等差数列前项和为，末项和为，且各项和为，求项数. 211212.(){0(2),4.2.0.1.2n n n n n a a a a n S n A B C D +---+=≥-=-（二星）江西文在各项均不为零的等差数列}中,若则（ ）221:20,2,42(21)42,.n n n n a a a S n n n A --=∴=∴-=--=-解选2.（一星）(2015全国2文)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S = A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 答案：A3.（二星）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且9420S S =+，则13S 的值为 . 解：S9-S4=a5+a6+a7+a8+a9=5a7=20，所以a7=4，S13=13(a1+a13)/2=13a7=526.（二星）（2016广州市调研）各项均为正数的等差数列{}n a 中，3694=a a ，则前12项和12S 的最小值为（D ）（A ）78 （B ）48 （C ）60 （D ）72②等比数列{}2199205080371127124.0,,10160[]28,512,.n n a a a a x x a a a a a a a a a q >-+=⋅⋅=++=⋅⋅=（二星）等比数列中为方程的两根，则类似题求答案：64 243546355.0,225,n a a a a a a a a a >⋅+⋅+⋅=+=（二星）等比数列则 答案：53.1100,2,.n n n +（二星）在与之间插入个正数使这个数成等比数列求插入的个数的积 答案：略 5631323106.0,9,log log log n a a a a a a >⋅=+++=（二星）等比数列则答案：10二、利用“连续等长片段和”为等差（比） ①等差数列101001101.3021003[]100,10,.m m m S S S ===（二星）等差数列中前项和为，前项和为，前项和类似题求答案：210。

等差、等比的公式性质以及数列的求和方法第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。

2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推广公式：()n m a a n m d =+-变形推广：mn a a d mn --= 3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

等差数列与等比数列的证明方法等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式，它们在数学和实际问题中都有重要的应用。

下面我们来介绍等差数列和等比数列的证明方法。

等差数列是指数列中每两个相邻的数之间的差值都相等的数列。

等差数列的通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。

1. 通过公式法证明等差数列：假设有数列{an}，首项为a1，公差为d，我们可以使用数列的通项公式An = a1 + (n-1)d。

通过将通项公式代入证明，我们可以得到每一项与前一项之间的差值都为d，从而证明这是一个等差数列。

2. 通过递推法证明等差数列：假设有数列{an}，如果我们知道数列的首项a1和公差d，我们可以通过递推关系式an = an-1 + d来证明这是一个等差数列。

我们可以通过验证递推关系式对于所有项都成立，从而证明这是一个等差数列。

3.通过数列的性质证明等差数列：等差数列有很多重要的性质，例如，等差数列的中项等于首项与末项的平均数，等差数列的前n项和等于n倍首项与末项和的平均数。

如果我们通过对这些性质进行验证，可以得出结论这是一个等差数列。

等比数列是指数列中每两个相邻的数之间的比值都相等的数列。

等比数列的通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比，n是项数。

1. 通过公式法证明等比数列：假设有数列{an}，首项为a1，公比为r，我们可以使用数列的通项公式An = a1 * r^(n-1)。

通过将通项公式代入证明，我们可以得到每一项与前一项之间的比值都为r，从而证明这是一个等比数列。

2. 通过递推法证明等比数列：假设有数列{an}，如果我们知道数列的首项a1和公比r，我们可以通过递推关系式an = an-1 * r来证明这是一个等比数列。

我们可以通过验证递推关系式对于所有项都成立，从而证明这是一个等比数列。

3.通过数列的性质证明等比数列：等比数列有很多重要的性质，例如，等比数列的任意两项的比值都相等，等比数列的前n项和等于首项与末项和的乘积与公比的差的商。

证明或判断等差（等比）数列的常用方法湖北省 王卫华玉芳翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何 处理这些题目呢？且听笔者一一道来.一、利用等差（等比）数列的定义等差（等比）数更最主要的方法•如:记 bn""1"1,2,….1 1 所以｛b n ｝是首项为a ，公比为一的等比数列. 42评析：此题并不知道数列｛b n ｝的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明, 这是常规做法。

1猜想：｛b n ｝是公比为一的等比数列.21 1 证明如下：因为b n^a 2n^V-a 2n 2n 42bn,(nN )在数列{a n }中，若a na n-1（d 为常数）或a na n-1q （ q 为常数），则数列｛a n｝为等差（等比） 数列.这是证明数列｛耳｝为例1 • （2005北京卷）设数列｛a n ｝的首项a1 =:a =丄，且a41-an 2 1|a 」 an 4n 为偶数n 为奇数 所以b 1 （n ）判断数列｛b n ｝是否为等比数列，并证明你的结论.)a ? = a 1 ■—4 =a ；，a 3a ?=-2 : * 1 13 1 a4 = a 3 = a，所以 a5 = 4 2 82 1 1 b 2 = 1 1 =a 1a - 4 *3 一 a 1 4 3 4 2 . J a 」， 4 .4(i)求 a ?, 83 ；解：（i 1a 1 ；2 81 3a 4 一 4a16， 1 4」例2 •（ 2005山东卷）已知数列｛a n｝的首项a i =5 ,前n项和为S n ,且Sn 1 =2S n n •5（T N）（i）证明数列｛a n 1｝是等比数列；（n）略.解：由已知S n .1 =2S n • n • 5(n • N*)可得n _ 2时，& -n • 4两式相减得：S n 1 -S n = 2(S n -S ni) 1，即a n 1 = 2a n • 1，从而a n 1 T = 2(a n 1), 当n =1 时，s2=20 1 5，所以a2 a^2a1 6,又q =5，所以a2=11，从而a2 1 ^2(a1 1).a +1故总有a n「仁2(a n 1), n • N ”，又=5, a1 ^0，从而亠2 .a n +1所以数列｛a n 1｝是等比数列.评析：这是常见题型，由依照含S n的式子再类似写出含S n」的式子，得到a n pa n q 的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论.本题若是先求出通项a n的表达式，则较繁.注意事项：用定义法时常采用的两个式子a n—a n」=d和a n 4 -a n = d有差别，前者必a须加上“ n > 2 ”否则n=1时a0无意义，等比中一样有：n > 2时，有亠才|| = q (常a n」数式0 )；②n w N州时，有(常数=0).二•运用等差或等比中项性质a n■ a n2 - 2a n1 ：= ｛a n｝是等差数列，a n a n2 - a n1(a n0) ：= ｛a n｝是等比数列，这是证明数列｛坯｝为等差(等比)数列的另一种主要方法.例3. (2005江苏卷)设数列｛a n｝的前项为S n，已知a1 =1, a2 = 6, a3 = 11，且(5n -8)S n 1 -(5n 2)S n=An B, n =1,2,3,|,其中A, B 为常数.(1 )求A与B的值；(2)证明数列｛a n｝为等差数列；(3)略.解：(1 )由印=1, a2 =6, a3 =11，得S =1, S2 = 7, S3 = 18 .― A B 二-28, 把n =1,2 分别代入(5n-8)S1-(5n 2)S=An B，得2A• B =-48L解得，A = -20 , B = -8 .(n )由(I )知，5n(S n 1—S n) -8S n 1 —2£ = -20n -8，即又 5(n l)a n 2 -8S 2 -2S n i = -20(n 1) —8 . ②②-①得，5(n 1)a n 2 -5na n彳-8a n 2 -2a n* - -20 ,即(5n -3间2 -(5n 2)a. 1 = -20 . ③又(5n 2)a n 3 -(5n 7)% 2 - -20 . ④④-③得，(5n 2)(a n 3 — 2a. .2 a. .J =0 ,二兔3 — 2a. .2 a. 1 =0 ,…a n 3・一a n 2 = 2・一1 | = a3 —玄2 =5，又玄2 —玄1 =5 ,因此，数列是首项为1,公差为5的等差数列.评析：此题对考生要求较高，通过挖掘S n的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算.例4.(高考题改编)正数数列｛a n｝和｛b n｝满足：对任意自然数n, a n, b n, a n..成等差数列，b n, a n i, b n.成等比数列.证明：数列｛Jb n｝为等差数列.证明：依题意，a n 0, b n 0,2b n =a n •a n 1，且a n d ='••、b n b n 1 ,a n =b n」b n(n > 2).2b n 二.b n」b n b n b n 1 .由此可得2 m=.昭「b n?.即._昭-m - bn -兀(门> 2).数列｛.,0｝为等差数列.5na n i . —8S n i. -2S h = _20n -8 , ①评析：本题依据条件得到an与bn的递推关系，通过消元代换构造了关于 f. bj的等差数列，使问题得以解决.三.运算数学归纳法这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“n = k时命题成立”到“ n = k • 1时命题成立”要会过渡.例5 . (2004全国高考题)数列的前n项和记为& ,已知a^1 ,n 亠2 i S Ia* 1 = S n(n =1,2」1().证明：数列-n是等比数列.n L n J证明：由a1 -1, a n 1 =Sn (n - 1,2j H)，知a? ― S = 3a1, —1 = 2 ,1 2 2勺=1，猜测 S n 是首项为1,公比为2的等比数列.1 nS下面用数学归纳法证明：令 b^S n .n（1）当 n =2时，b 2 =2b\，成立.⑵当 n = 3时，S 3 = a 1 a 2 a 3 =13 2(1 3) = 12,0 = 4 = 2b 2，成立. 假设n =k 时命题成立，即b k =2b k 」.c k 2S S + ----------------------- 2那么当 n =k 1 时，b k j =汪1 二 S k ' a k 1 Jk+1 k+1k+1综上知 §n 是首项为1，公比为2的等比数列.I n J例6. （2005浙江卷）设点 代（人,0, P n （X n ,2n 」）和抛物线2 * 1G ： y =x - a n X b n （n ・N ）,其中a . = -2 -4n - ^nJ , X n 由以下方法得到：花=1,点P （x 2,2）在抛物线G 注仝 a 1x b 上，点A （x 1,0）到p 的距离是 A 到G 上点的最短距离，…，点P n 1（X n 1,2"）在抛物线C n ： y = X 2 * a n X * b n 上，点A （绻0）到P n 1的距离是A到C n 上点的最短距离.(1 )求X 2及C 1的方程.(2)证明 {X n } 是等差数列. 解：(I)由题意得：A(1,0), G : y =x 2-7x • d .设点 P(x, y)是 C 1 上任意一点，贝U |AP|「(x-1)2 y 2「(x-1)2 (x 2-7x bj 2 令 f (x) =(x -1) (x -7x bi),则f (x) =2(x -1)2(x -7x bi)(2x _7).由题意：f ，(x 2) =0,即 2( x 2 -1) 2(X 22 -7X 2 bj(2x 2 _7) =0.又 F 2(x 2,2)在 C 1 上，2=x 22-7x 2 d,解得：x 2 =3,3 =14.，故 C 1 方程为 y =x 2 -7x • 14.2& = 2b k ,命题成立.(II)设点P(x, y)是C n上任意一点，则I A n PF ・.(X-X n)2• (X2• a n X • b n)2令g(x) =(x -X n)2(X2a n X b n)2,则g'(x) =2(x -X n) 2(X2a n X b n)(2x a n).由题意得 g '(X n 』=O ，即 2(X n 卑—X n )+2(X nf +a n X n 申 +b n )(2X n 出 +a n )=O 又；"2n =Xn] +anXn 卑 +g ,■ (X n 1 -X n ) 2n (2X nia." 0(n 一 1).即(1 2「1)X ni-X n 2匕=0(* )F 面用数学归纳法证明 x n =2n -1①当n 二1时，X-] =1,等式成立.即当n =k T 时，等式成立.由①②知，等式对 n N 成立..｛x n ｝是等差数列.评析：例5是常规的猜想证明题， 考查学生掌握猜想证明题的基本技能、 掌握数列前n 项和 这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法； 例6是个综合性比较强的题目， 通过求二次 函数的最值得到递推关系式，再直接猜想然后用归纳法证明， 解法显得简洁明了， 如果直接 利用递推关系式找通项，反而不好作.四.反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发， 理和运算，最后得到所要求的结论， 但有时会遇到从正面不易入手的情况， 考虑.如：例7.（2000年全国高考（理））设｛a .｝，b n ｝是公比不相等的两等比数列, 明数列｛C n ｝不是等比数列.证明：设｛a n ｝｛ b n ｝的公比分别为p , q , p = q , c^ a n b n ，为证｛q ｝不是等比数 列只需证 c ；工 G L C 3 .事实上， c 2 =（a i p bq ）2 二a ： p 2 b 2q 2 2aib pq二佝 bOG b ?） = （a 「b ）（4 p 2 dq 2） =aip 2 b ^2q 2 a 1b 1（p 2 q 2）Tp^q, p 2+q 2 >2pq ，又a , b 不为零，二c f ^^Lc 3，故｛cj 不是等比数列.评析：本题主要考查等比数列的概念和基本性质、 推理和运算能力， 对逻辑思维能力有较高要求.要证｛c n ｝不是等比数列，只要由特殊项（如c f =6“）就可否定.一般地讲,否定性的命题常用反证法证明， 其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的②假设当n =k 时，等式成立, 即 x k =2k-1,则当n 二k T 时，由（* ）知 k 山1k(1 2 风 - X • 2 % 兰1又 a k = -2 -4k -2 肓X k 1kX k _ 2 a ^- 厂占=2k 1 .经过一系列的推 这时可从反面去五•看通项与前n项和法若数列通项a能表示成a n= a n・b ( a, b为常数)的形式，则数列是等差数列；右通项a n能表示成a n - cq (c, q均为不为0的常数，n・N ) 的形式，则数列^n? 是等比数列.若数列：a n f的前n项和Sn能表示成& = an2• bn(a,b为常数)的形式，则数列：a n f 等差数列；若S n能表示成S n =Aq n-A(A, q 均为不等于0的常数且1)的形式，则数列是公比不为1的等比数列•这些结论用在选择填空题上可大大节约时间.例8 (2001年全国题)若S n是数列牯」的前n项和，S n = n2,则｛a j是( ).A.等比数列，但不是等差数列 B .等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列解析：用到上述方法，一下子就知道答案为B,大大节约了时间，同时大大提高了命中率.六•熟记一些常规结论，有助于解题若数列｛a n｝是公比为q的等比数列，则(1)数列｛a n｝｛ a n｝( ■为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；(2)若｛b n｝是公比为q ■的等比数列，则数列｛a n Lb n｝是公比为qq ■的等比数列；‘1〕 1(3)数列」丄〉是公比为1的等比数列；冃J q(4)｛a n｝是公比为q的等比数列；(5)在数列｛a n｝中，每隔k(k・N )项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为q k 1；(6) {a n a n 1}{ a n —an 1}{ a2n4}{ a2n}, g a2 a3, a4 a5 a6, a? p等都是等比数列；(7)若m , n , p(m n, p N )成等差数列时，a m, a. , a p成等比数列；(8)S n , S2n _S n , S3^ _ S2n均不为零时，则S , Sn〜, §3^ S2n成等比数列;(9)若｛log b a n｝是一个等差数列，则正项数列｛a n｝是一个等比数列.若数列｛a n｝是公差为d等差数列，则(1) ｛ka n b｝成等差数列，公差为kd (其中k = 0, k, b是实常数)；(2)｛S(n i)k -S kn｝, ( k • N , k为常数)，仍成等差数列，其公差为k2d ；(3) 若｛a n｝｛ b n｝都是等差数列，公差分别为d i, d2，则｛a n二b n｝是等差数列，公差为d^d2;(4)当数列｛a n｝是各项均为正数的等比数列时，数列｛lg a n｝是公差为lgq的等差数列；(5)m, n, p(m, n, p N )成等差数列时，a m，a n，a p成等差数列.例9.(96年全国高考题)等差数列｛a n｝的前n项和为30,前2n项和为100则它的前3n 项和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 260解：由上面的性质得：S n, S zn-S, S3n-S2n成等比数列，故2(S2n - S n) =S n (S3n - S2n),.2(100-30) =3O(S3n -100),S3n =210 .故选c.评析：此题若用其它方法，解决起来要花比较多的时间，对于选择题来说得不断尝试. 记住上面这些结论，在做选择填空题时可大大节约时间，并且能提高命中率.。

等差数列与等比数列的性质与应用数列是数学中一个重要的概念，它由一系列按特定规律排列的数所组成。

在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的形式，它们都有着独特的性质和广泛的应用。

本文将探讨等差数列和等比数列的性质，并介绍其在数学和实际生活中的应用。

一、等差数列的性质与应用等差数列是指数列中相邻两项之差保持相等的数列。

等差数列的通项公式可以用来表示第n项与首项之间的关系，其形式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

等差数列的性质如下：1. 公差：等差数列中相邻两项的差称为公差，常用字母d表示。

公差决定了等差数列中每一项之间的差距大小。

2. 前n项和：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn=n(a1+an)/2来计算，其中Sn表示前n项的和，a1为首项，an为第n项。

3. 性质应用：等差数列的性质在数学中有着广泛的应用。

例如，等差数列可以用来求解数字排列问题、时间序列问题等。

此外，在数学类题目中，等差数列也经常用于证明数学关系和推导数学公式。

二、等比数列的性质与应用等比数列是指数列中相邻两项之比保持相等的数列。

等比数列的通项公式可以用来表示第n项与首项之间的关系，其形式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

等比数列的性质如下：1. 公比：等比数列中相邻两项的比称为公比，常用字母r表示。

公比决定了等比数列中每一项与前一项的比值大小。

2. 前n项和：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)来计算，其中Sn表示前n项的和，a1为首项，r为公比。

3. 性质应用：等比数列的性质在数学和实际生活中都有重要应用。

在数学中，等比数列可以用来模拟人口增长、金融投资、质量衰减等问题。

在实际生活中，等比数列的应用更为广泛，例如在经济领域中用于分析利润、销售额、成本等指标的变化规律。

三、等差数列与等比数列的联系与区别等差数列和等比数列都是有序排列的数列，它们之间存在联系与区别。

【说明】）d -a （dn d ）1-n （a a 1m n +=+=，nS =d 2）1-n （n na 1´+【说明】d a -a a ac c c c 1-n n 1-n n ==7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S += 当n 为偶数时，d 2n S -S 奇偶´=当n 为奇数时，n a S中n´=，中偶奇a S -S =，1-n 1n S S 偶奇+=【说明】当n 为偶数时，d 2n ）a -a （）a -a （）a -a （S -S 123-n 2-n 1-n n 奇偶´=+¼¼++= 当n 为奇数时，中11-n n 231偶奇a d 21-n a ）a -a （）a -a （a S -S =+=+¼¼++=，，1-n 1n 21-n ）a a （2121n ）a a （21S S 1-n 2n 1偶奇+=´++´+=n a S S -S S S 中n 偶奇偶奇==+ 8、设1-2n 1-n 2n n n n n n T Sb a项和，则n 的前}{b 、}{a 分别表示等差数列T 和S = 【说明】nn 中中1-2n 1-n 2b ab ）1-n 2（a ）1-n 2（T S == 【例】等差数列1515n n n n n n b a，求1-n 31n 5T S ，若T 和S 项和分别为n 的前}{b 、}{a +=9、1-d ，0a），则q p （p a ，q a qp qp==¹==+q--p a），则q p （p S ，q S qp qp=¹==+a），则q p （S S qp qp=¹=+= n ）2d-a （n ）2d （12´+´ 6、若、若数列数列}{a n是等差数列，则}{c n a 为等比数列，c>0+ïîí，q -1q a -a q -1）q -1（a n 11【说明】m 2k m k a a a a ++【说明】n 22n 1n n n 2a a a a a a S S -S +¼¼++++++【说明】q log a a log a log -a log c 1-n nc1-n c n c == 7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S +=；若n 为偶数时，q a a 奇偶=；当n 为奇数时，q S a -S 偶1奇=；【说明】当n 为偶数时，q a a a a a a a a 1-n 41n 42奇偶=+¼¼+++¼¼++=； 当n 为奇数时，q a a a a a a S a -S 1-n 42n 53偶1奇=+¼¼+++¼¼++=； 8、设偶奇n 偶奇n T T T 表示偶数项的积，则T 表示奇数项的积，T 项积，n 是前T ×=当n 为偶数时，n 中奇中偶奇2n 奇偶a T ，a T T 为奇数时，n ；当q T T ===；【说明】当n 为偶数时，2n 1-n 42n42奇偶q a a a a a a T T =×¼¼×××¼¼××=；当n 为奇数时，中1-n 42n421偶奇a a a a a a a a T T =×¼¼×××¼¼××=；n中1-n 2n 1n 21奇a a a a a a a a T =¼¼××=×¼¼××=。