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等比数列的前n项和公式说课课件-标版

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等比数列的前n项和PPT课件

等比数列的前n项和PPT课件
等比数列的前n项和ppt课件
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。

等比数列的前n项和_优质PPT课件

等比数列的前n项和_优质PPT课件

条件,这时
k a1 . 1 q
5
4.等比数列的判定方法
(1)定义法: 列.
an1 an
(qq是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数
(2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是 等比数列.
(3)中项公式法
:a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}
(2)只有同号的两个数才有等比中项,且这两数的等比中项互 为相反数.
18
类型二
等比数列的基本量运算
解题准备:在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有 a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余 两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利 用方程组的思想求解.
19
7
解析:由数列中an与Sn的关系,当n=1时,a1=S1=a-2;当n≥2时 ,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公式不符合,故当 a≠1时,从第二项起成等比数列;当a=1时,an=0(n≥2),数列从 第二项起成等差数列.
答案:D
8
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=() A.64 B.81
2,3S2=a3-2,则公比q=(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 :
3S3 3S2
a4 a3
2① 2②
,
①
②得
:
3a3
a4
a3,
4a3
a4,
q a4 4. a3
答案:B
12
5.(2010·重庆)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的值 为( )

等比数列的前n项和说课课件

等比数列的前n项和说课课件

品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证
唯物主义观点．培养学生勇于探索、创新的精神。
设计意图： ： 体现了数学教学的首要环节----基础知识的落实、 、 基本技能的形成，数学教学的最终目的 -----通过思想方法的渗 透以及思维品质的锻炼，从而让学生在能力上得到发展．
一. 教材分析（3）
（三）.重点和难点
1 S n =a1q-1+ a1+a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-2 q
q2Sn= a1q2+a1q3+……+a1qn-2+a1qn-1+a1qn+a1qn+1
(4)
(1)–(2)
(1) –(3)
(1) –(4)
效果如何 有何启发
四.教学过程（9）
第三环节：发散思维
第二方面 :集思广益
设计意图：①更加有趣又贴近生活
②蕴涵公比分别为ｑ＝１与q ≠1两个等比数列， 开门见山，体现分类讨论思想,直击学生易错点
四.教学过程（3）
第一环节 创设情境、提出问题（2）
（二）、数学建模(应用问题数学化) {an}：100 ，100 ，100……100 q=1 {bn}： 1 ， 2 ， 22 …… 229 q=2 S30 = 100+100+……+100 与 T30 = 1+2+ 22 +…… +229 比较大小 ，求和问题如何化简？ （三）、给出课题：等比数列的前n项和（具体问题一般化） 等比数列{an} 当 q=1时 ，Sn= a1+a2+a3+……+an-1+an= na1 当 q≠1时，Sn= a1+a2+a3+……+an-1+an =？如何化简？

等比数列的前n项和 课件

等比数列的前n项和 课件

a11－qn 1－q
，已知
a1，q，an且q≠1时，用公式Sn＝a11－－aqnq.
3．等比数列前n项和的公式是如何推导的？
提示：设Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an① 则把①式两边同乘以q得：qSn＝a1q＋a2q＋a3q＋…＋an －1q＋anq＝a2＋a3＋a4＋…＋an＋an＋1② ①－②得(1－q)Sn＝a1－an＋1 ∴当q≠1时，Sn＝a11－－aqn＋1＝a111－－qqn. 又当q＝1时，∵a1＝a2＝…＝an，∴Sn＝na1.
(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住 房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？ (计算时取1.15＝1.6)
[分析] 本题以实际问题为载体，融函数建模、数列 的知识于一体，主要考查学生阅读资料提取信息以及用所 学知识解决实际问题的能力．
[解] 设第n年末实际住房面积为an(n∈N*)． (1)由题意，则a1＝1.1a－b(m2)． a2＝1.1a1－b＝1.1(1.1a－b)－b＝1.21a－2.1b(m2) (2)a3＝1.1a2－b＝1.1(1.12a－1.1b－b)－b＝1.13a－1.12b －1.1b－b a4＝1.1a3－b＝1.1(1.13a－1.12b－1.1b－b)－b ＝1.14a－1.13b－1.12b－1.1b－b
①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.
②
①－②得
(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1.
即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．
[点评] 所谓错位相减法是指在求和式子的左右两边 同乘等比数列的公比，然后错位相减，使其转化为等比数 列求和问题．此种方法一般应用于形如数列{anbn}的求和， 其中数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列．

等比数列前n项和说课课件

等比数列前n项和说课课件

例1：已知等比数列{a n }，首项为a1，公比为q,Sn为前n项和
(1)若a 2
2, a5
16,
求S 5
（2）若a 1
an
66, a3an2
128,
S
n =126,求q, n
(3)若a1 1, S6 4S3, 求a4
变式练习：求和：x+x2 ... xn
解：Sn x x2 … xn. x 0时，Sn 0 ;
Sn= a1 + a2 + a3 +… + an-2 + an-1 + an Sn= an + an-1+ an-2 +… + a3 + a2 + a1
a1 an a2 an1 a3 an2 ......
算 法
两式相加得: 2Sn = (a1+an )×n
：
倒
S n(a a ) 1
n
思考：两式相加行吗？ 两式相减呢？
由 ① － ②得: – S64= 1 – 264
即 S64= 264 – 1. （错位相减法）
问题2：Sn
1 2
1 22
1 23
1 2n
=?
解：
Sn
1 2
1 22
1 23
1 2n
①
1 2
Sn
1 22
1 23
1 2n
1 2n1
②
由 ① － ②得:
1 11 2 Sn 2 2n1
课后作业，分层练习
必做：教材的练习第1,2题 补充：求和：
=
课后思考： 已知等差数列{an},Sn为其前n项和
则Sk ,S2k -Sk ,S3k -S2k (k N)成等差数列 你能否以类比的方法探究：已知等比数列 {an},Sn为其前n项和

等比数列的前n项和公式课件

等比数列的前n项和公式课件
5 10
5
10
a1 an q Sn 1 q
'
所以
课堂小结
(1)等比数列的前n项和公式
a1 1 q n a1 an q Sn , q 1 1 q 1 q Sn na1 q 1
若m+n=p+q, 则aman=apaq
Sn
？
引入新课
张明和王勇是中学同学，张明学习成绩优异，考上 了重点大学。王勇虽然很聪明，但对学习无兴趣，中学 毕业后做起了生意，凭着机遇和才智，几年后成了大款。 一天，已在读博士的张明遇到了王勇，寒暄后王勇流露 出对张明清苦的不屑。表示要资助张明，张明说：“好 吧，你只要在一个月30天内，第一天给我1分钱，第二 天给我2分钱，第三天给我4分钱，第四天给我8分钱， 依此类推，每天给我的钱都是前一天的2倍，直到第30 天。”王勇听了，立刻答应下来心想:这太简单了。没 想到不到30天，王勇就后悔不迭，不该夸下海口。同学 们，你们知道王勇一共应送给张明多少钱吗？
1 4 1 2
的前8项的和．
解 由题意知,
Sn a1 1 q n 1 q
1 a1 , q 2
1 , n8 2
代入公式
8 1 1 1 2 2 255 S8 1 256 1 2
a1 , q, n, Sn
练习 紧接例1,补充两个小问 (1) 因为
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1
③
两边同时乘以 q 为
qSn a1q a1q a1q
2 3
a1q
n1
a1q
n
错 位 4 相 减
由③- 4 得

等比数列前N项和的性质ppt课件

AX.Z2YB .Y Y Z Z Z X
C.Y2 XZ D .Y Y X X Z X
等比数列前n项和的性质三：
若等比 an共 数 2n 有 项 列，则：
S偶 q S奇
怎么证 明？
等比数列前n项和的性质四：
如 a n 为 果公 q 的比 等 ， 对 为 m 比 、 p N 数 有 ： 列 Smp SmqmSp
[提示] 本题应用等比数列的性质求S4更简捷．
[解] 法一：∵S2＝7，S6＝91，易知q≠1， a11＋q＝7，
∴a111－－qq6＝91. ∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91. ∴q4＋q2－12＝0.∴q2＝3. ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28. ∴S4＝28.
3
即S1 ： 0 0S偶 S奇 80
变式训练
5、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇 数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？
提示： q S偶 170 2 S奇 85
SnS偶 S奇 17 8 0 5255
由等比数列n前 项和公式得：
255 1 2n 1-2
n8
等差数列前n项和的性质：
变式训练
1 、等{a 比 n}的数 n项 前列 和 Sn， 为 S1若 0 2， 0 S2 08， 0 S3则 0 260 。 2、等比数 {an}列 的前 n项和S为 n，若 SS63 3， 求S9的值。
S6
3、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项
和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（ D）
1 an A.
1 a
1 a n1 B.
1 a
C.1 a n1 D.以上均不正确 1 a

等比数列的前n项和课件人教新课标B版


1 若q 2, S4 1,求S8
2 若a1
a3
10, a4
a6
5 4
, 求a4和S5
能力提升
求和：
a a2 a3 a4
an
乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式
或 Sn
a1
(1 q 1q
n
)
q1
na1
q 1
a1 anq
Sn
1q
na1
q1 q1
知三求二
小结
左端点（a
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天
的2倍．
提出问题
八戒吸纳的资金
返还给悟空的钱数
=? T30 1 2 3 30 S30 1, 22, 2222, 2233, , 229
465 (万元)
等比数列的前30项和
第一天给你１万， 每天给你投资比 前一天多１万元， 连续一个月(30天)
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天
的2倍．
知识探究
等比数列的前n项和
=? Sn a1 a2 a3 an1 an
即
=? Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1
知识探究 等比数列 {an},公比为 q ,它的前 n 项和
§2.5等比数列的前n项和
情境设置
高老庄集团
情境设置
周转不 灵……
第一天出１分入１万；第 二天出２分入２万;第三天 出这4猴分子入会３不万会元又；在……耍哇我，？发
了…………
猴哥,能不能帮帮 我……
情境设置
No problem！第一 天给你１万，每天给 你投资比前一天多１ 万元， 连续一个月 (30天)，但有一个条

高中数学《等比数列前n项和公式》课件


反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列 的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计 算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n， 其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一 分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热 气球上升的高度能超过125 m吗？
跟踪训练2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
方法二 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
a111－－qq2＝30，
①
所以a111－－qq3＝155，
②
两式作比，得1＋1＋q＋q q2＝361，
解得aq1＝＝55，
a1＝180， 或q＝－65，
达标检测
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
1－xn
√
C.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
解析 当x＝1时，Sn＝n； 1－xn
当 x≠1 时，Sn＝ 1－x .
D.1－1－xnx－1，x≠1， n，x＝1
1234
2.设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于
A.2 解析
B.4
√C.125
17 D. 2
方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝aq2＋a2＋a2q＋
a2q2，得Sa42＝1q＋1＋q＋q2＝125. 方法二 ∵S4＝a111－－qq4，a2＝a1q，∴Sa42＝11－－qq4q＝125.

等比数列的前n项和(第一课时)说课课件


错位相减法
S64=1+2+22+23+· · · +263 ①
2S64= 2+22+23+· · · +263+264
②
两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就 可以消去相同的项，得到 s 6 4 = 2 6 4 -． 1 反思： 纵观全过程，①式两边为什么要乘以2 ？
设计意图：
学生经过繁难的计算之苦后，突然发现上 述解法，会惊呼：真是太简洁了！让学生在探 索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而 增强学习数学的兴趣和学好数学的信心．而反 思更好地为一般化结论的推导起了引导作用。
3．类比联想，解决问题
问题： 设等比数列
a n ，首相为
a 1，公比为
2
q , 如何求前
n1
n 项和 S n？
s n a 1 a 1q a 1q a 1q
qs
n

a 1q a 1q
2
a 1q
n1
a 1q
n
设计意图：
在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知 到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体 验到学习的成功和愉快．
x + 2x
2
+ 3x
3
+ + nx .
n
因材施教，为学有余力的学生提供思考的空间．
出选作题的目的是注意分层教学和 设计意图：
四、教法分析
对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去 脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分 体现公式之间的联系．在教学中，我采用 “问题 ―― 探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规 律、总结规律、应用规律四个阶段． 利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使 学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大 大提高了课堂教学效率．
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知识与技能目标： 1、能够推导出等比数列前n项和公式，并能运用公式解 决一些简单的数列求和问题。 过程与方法目标： ．通过对等比数列前n项和公式的推导探究过程，初步体会 类比、递推、方程等数学思想，加深分类讨论的数学意识， 并学会错位相减这一数学计算技巧。 情感、态度与价值观目标： 通过情景问题与实际解决方案的关系建立过程，增强联想、 类比与理论联系实际的开放式的思维方式。
印度国王要奖赏国际象棋的 发明者西萨，问他有什么要 （一）创设情景、引入新课 求，发明者说：“请在棋盘 的第1个格子里放1颗麦粒， 在第2个格子里放2颗麦粒， 在第3个格子里放4颗麦粒， 在第4个格子里放8颗麦粒， 依次类推，每个格子里放的 麦粒都是前一个格子里麦粒 数的2倍，直到第64个格子， 请给我足够的粮食来实现上 述要求。” 你认为国王有 能力满足发明者的上述要求 吗？
64
（三）类比联想 推导公式
提出问题一：
设等比数列an , 首项为a1,
公比为q, 如何求其前n项和？
等比数列的求和公式
一般地，设有等比数列： a1 , a2 , a3 ,
an
S n a1 a2 a3 an 1 an
2 3 n2 n 1 S n a1 a1q a1q a 1 q a1q a1q
由刚才的分析可知：实际上就是一个以1为 首项，2为公比的等比数列的前64项的求和 问题，即：
S64
…… 1 2 2 2
2 3
2 2
62
63
①
2S64 2 2 2
2 3
把上式左右两边同乘以2得：
……
由②- ①得：
2 63 2 64
②
S 64 2 1
P50练习A 1、2
选做：
x 2x 3x nx ( x 0)
2 3 n
必做题，有助学生课后巩固提高，选 作题是注意分层教学和因材施教，让 学有余力的学生有思考的空间．
§2.5等比数列的前n项和 1．奖励西萨 小麦故事 2.分析小麦的 总和（错位相 减法） 3.推导到一般 4总结 情况 例题二
该题有助于培养学生对含有参数的问 题进行分类讨论的数学思想．训练学 生注意考察q是否为1的情况，突破易 错点。
2
3
n-1
含参问题
分类讨论
逐层深化 突破难点
发展思维 提高素养
等比数列前n项和求和公式。 推导数列求和公式的错位相减法 对含字母的等比数列要注意考察q是否
为1。
必做：
学号 201308140733
石杨凤

《等比数列的前n项和》，是在学生学习了等差数 列、等比数列的概念及通项公式，等差数列的前n 项和公式的基础上进行的。是进一步学习数列知 识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。 它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储 蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过 程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换 和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中 必备的数学素养．

源于历史，富有人文气息. 图中算数，激发学习兴趣. 承上启下，探讨求和方法
1+ 2 + 2 + 2 + +2
2 3Βιβλιοθήκη 63（二）初步探索，体会方法
探讨1： S 1 2 22 263 64
有何特征？ 探讨2：如果把每一项都乘以2有何变化？
让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变 “加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生 看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章， 从而培养学生的辩证思维能力
qSn a1q a1q 2 a1q3 a1q n2 a1q n1 a1q n
1 qSn a1 a1q
n
提出问题二： 能否得到(1 q ) S n a1 (1 q n )或 （ 1 q ) S n a1 an q 为什么？
a1 (1 q ) Sn 1 q
5例题一


等比数列前n项和公式的推导与简单应用是教学重 点。

获得等比数列前n项和公式推导的思路是教学难点。
四、教法与学法分析：
1.教法分析 主要采用的方法有： （1）实例教学法 （2）引导发现法 （3）讲练结合法
学生对等比数列前n项和公式的推导方法——错位 相减法比较陌生，学生思维上存在障碍。 在本节课的教学中，引导学生开展“动脑想、多交 流、勤钻研、善提炼”的“研讨式学习方法” 。
2、 等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , , 求第5项到第10项的和. 通过以上形式，让 2 4 8 16 全体学生都参与教学，
以此培养学生的参与 意识和竞争意识．
例2：求和 1+a+a +a ++a .
变式练习：求和 1 1 1 （1 ) (2 2 ) (n n )(n N x 0 x x x
n
例1: 求等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , 前8项和； 2 4 8 16
变式练习：
63 1、 等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , 前多少项的和是 ? 2 4 8 16 64
采用变式教学设计题 组，深化学生对公式 的认识和理解，通过 直接套用公式、变式 运用公式、研究公式 特点这三个层次的问 题解决，促进学生新 的数学认知结构的形 成．