等比数列前n项和说课课件ppt
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等比数列的前n项和PPT课件
等比数列的前n项和ppt课件
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
等比数列前n项和说课ppt课件 (1)
※通过等比数列的前n项和公式的推导过程，增强 学生的建模意识，体会错位相减法，渗透分类讨论 思想，转化思想，优化思维品质。提高他们分析问 题解决问题的能力． ※通过经历对公式的探索，激发学生的学习兴趣， 鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新的精神， 并从中获得成功的体验。
情感与态度目标
四、重点难点分析
教学重点：公式的推导和公式的简单运用 公式运用
分类讨论 转换思想
彰武县第一 高级中学
分析解决 问题能力
公式推导
错位相减
探究质疑
创设情境
知识技能线
特殊到一般 具体到抽象
观察能力
情感态度线
过程方法线
四、重点难点分析
彰武县第一 高级中学
教学难点 等比数列前n项和公式推导思路的获得
一抓学生情感 二抓知识选 和思维的兴奋 抓两点、破难点 择的切入点 点
教学评价反馈
彰武县第一 高级中学
在这四步教学中，以学生的分组讨论和自主探究为主辅之 以启发性强的问题诱导点拨，运用完整直观的板书和计算 机等教辅用具，充分体现学生是主体，教师教学服务于学 生的思路。 学生在教师创设的问题情境中，通过感悟体验，从情境中 提炼数学问题，提高观察、概括、归纳和动手尝试的能力， 结合教师的点拨提问，经过研探论证形成对等比数列的前 n项和公式的认识，在反馈矫正环节，通过三道训练题， 发现自身不足，互动互检，在教师的及时点拨下提高对等 比数列的前n项和公式的应用能力，通过课堂小结回顾当 堂所学，自我评价是否实现学习目标并及时完善。整个过 程，体现了学生的主体地位，变学生被动接受式学习为主 动参与式学习，使学生提高了数学素养，形成了实事求是 的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。
等比数列前n项和
等比数列前n项和
情感与态度目标
四、重点难点分析
教学重点：公式的推导和公式的简单运用 公式运用
分类讨论 转换思想
彰武县第一 高级中学
分析解决 问题能力
公式推导
错位相减
探究质疑
创设情境
知识技能线
特殊到一般 具体到抽象
观察能力
情感态度线
过程方法线
四、重点难点分析
彰武县第一 高级中学
教学难点 等比数列前n项和公式推导思路的获得
一抓学生情感 二抓知识选 和思维的兴奋 抓两点、破难点 择的切入点 点
教学评价反馈
彰武县第一 高级中学
在这四步教学中，以学生的分组讨论和自主探究为主辅之 以启发性强的问题诱导点拨，运用完整直观的板书和计算 机等教辅用具，充分体现学生是主体，教师教学服务于学 生的思路。 学生在教师创设的问题情境中，通过感悟体验，从情境中 提炼数学问题，提高观察、概括、归纳和动手尝试的能力， 结合教师的点拨提问，经过研探论证形成对等比数列的前 n项和公式的认识，在反馈矫正环节，通过三道训练题， 发现自身不足，互动互检，在教师的及时点拨下提高对等 比数列的前n项和公式的应用能力，通过课堂小结回顾当 堂所学，自我评价是否实现学习目标并及时完善。整个过 程，体现了学生的主体地位，变学生被动接受式学习为主 动参与式学习，使学生提高了数学素养，形成了实事求是 的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。
等比数列前n项和
等比数列前n项和
等比数列的前n项和_优质PPT课件
条件,这时
k a1 . 1 q
5
4.等比数列的判定方法
(1)定义法: 列.
an1 an
(qq是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数
(2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是 等比数列.
(3)中项公式法
:a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}
(2)只有同号的两个数才有等比中项,且这两数的等比中项互 为相反数.
18
类型二
等比数列的基本量运算
解题准备:在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有 a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余 两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利 用方程组的思想求解.
19
7
解析:由数列中an与Sn的关系,当n=1时,a1=S1=a-2;当n≥2时 ,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公式不符合,故当 a≠1时,从第二项起成等比数列;当a=1时,an=0(n≥2),数列从 第二项起成等差数列.
答案:D
8
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=() A.64 B.81
2,3S2=a3-2,则公比q=(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 :
3S3 3S2
a4 a3
2① 2②
,
①
②得
:
3a3
a4
a3,
4a3
a4,
q a4 4. a3
答案:B
12
5.(2010·重庆)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的值 为( )
4.3.2.1等比数列的前n项和公式课件(人教版)
1－3n 解：(1)由题设知{an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列，所以 an＝3n－1，Sn＝ 1－3 ＝
12(3n－1)． (2)因为 b1＝a2＝3，b3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d，
所以公差 d＝5， 故 T20＝20×3＋20×219×5＝1 010.
6．将数列{an}中的所有项按“第一行三项，以下每一行比上一行多一项”的规则 排成如下数表． 记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知： ①在数列{bn}中，b1＝1，对于任何n∈N*，都有(n＋1)·bn＋1－nbn＝0； ②表中每一行的数从左到右均构成公比为q(q>0)的等比数列； ③a66＝25.
当已知a1，q与an时，用Sn＝a11－－aqnq 比较方便．
在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求{an}的通项公式． (2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得a22 ＝a1a5， 则(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，将a1＝1代入并化简得d2－2d＝0，解得d＝2或d＝0(舍去). 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由(1)知bn＝22n－1，所以bn＋1＝22n＋1，所以bbn＋n 1 ＝22n＋1－(2n－1)＝4，所以数列{bn} 是首项为2，公比为4的等比数列．
∴an＝3an－1(n≥2)，
∴数列{an}是首项 a1＝－2，公比 q＝3 的等比数列，
∴S5＝a1
1－q5 1－q
－2× 1－35 ＝
1－3
＝－242.故选 B.
5．设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*. (1)求{an}的通项公式及前n项和Sn； (2)已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.
12(3n－1)． (2)因为 b1＝a2＝3，b3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d，
所以公差 d＝5， 故 T20＝20×3＋20×219×5＝1 010.
6．将数列{an}中的所有项按“第一行三项，以下每一行比上一行多一项”的规则 排成如下数表． 记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知： ①在数列{bn}中，b1＝1，对于任何n∈N*，都有(n＋1)·bn＋1－nbn＝0； ②表中每一行的数从左到右均构成公比为q(q>0)的等比数列； ③a66＝25.
当已知a1，q与an时，用Sn＝a11－－aqnq 比较方便．
在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求{an}的通项公式． (2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得a22 ＝a1a5， 则(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，将a1＝1代入并化简得d2－2d＝0，解得d＝2或d＝0(舍去). 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由(1)知bn＝22n－1，所以bn＋1＝22n＋1，所以bbn＋n 1 ＝22n＋1－(2n－1)＝4，所以数列{bn} 是首项为2，公比为4的等比数列．
∴an＝3an－1(n≥2)，
∴数列{an}是首项 a1＝－2，公比 q＝3 的等比数列，
∴S5＝a1
1－q5 1－q
－2× 1－35 ＝
1－3
＝－242.故选 B.
5．设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*. (1)求{an}的通项公式及前n项和Sn； (2)已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.
等比数列前n项和公式课件PPT
等比数列的特殊前n项和
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和说课课件
例1：已知等比数列{a n }，首项为a1，公比为q,Sn为前n项和
(1)若a 2
2, a5
16,
求S 5
（2）若a 1
an
66, a3an2
128,
S
n =126,求q, n
(3)若a1 1, S6 4S3, 求a4
变式练习：求和：x+x2 ... xn
解：Sn x x2 … xn. x 0时，Sn 0 ;
Sn= a1 + a2 + a3 +… + an-2 + an-1 + an Sn= an + an-1+ an-2 +… + a3 + a2 + a1
a1 an a2 an1 a3 an2 ......
算 法
两式相加得: 2Sn = (a1+an )×n
：
倒
S n(a a ) 1
n
思考：两式相加行吗？ 两式相减呢？
由 ① － ②得: – S64= 1 – 264
即 S64= 264 – 1. （错位相减法）
问题2：Sn
1 2
1 22
1 23
1 2n
=?
解：
Sn
1 2
1 22
1 23
1 2n
①
1 2
Sn
1 22
1 23
1 2n
1 2n1
②
由 ① － ②得:
1 11 2 Sn 2 2n1
课后作业，分层练习
必做：教材的练习第1,2题 补充：求和：
=
课后思考： 已知等差数列{an},Sn为其前n项和
则Sk ,S2k -Sk ,S3k -S2k (k N)成等差数列 你能否以类比的方法探究：已知等比数列 {an},Sn为其前n项和
第6章第3节等比数列及其前n项和课件共66张PPT
等比数列基本量的运算 等比数列的判定与证明 等比数列性质的应用
第三节 等比数列及其前n项和
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 数学文化 课后限时集训
考点一 等比数列基本量的运算 等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q， n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．
∴{an＋bn}是首项为32，公比为34的等比数列，
两式相减，得an＋1－bn＋1＝14(an－bn)． 又∵a1－b1＝12≠0，
∴{an－bn}是首项为12，公比为14的等比数列．
第三节 等比数列及其前n项和
1
2
3
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(2)由(1)得，an＋bn＝3234n－1，①
a11－qn
2142＝2，所以q＝2，所以Sann＝
1－q a1qn－1
＝22n－n－11＝2－21－n，故选B.]
第三节 等比数列及其前n项和
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 数学文化 课后限时集训
3．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m. [解] (1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，
第三节 等比数列及其前n项和
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 数学文化 课后限时集训
2．在等比数列{an}中，a3＝32，S3＝92，则a2的值为(
2.5等比数列的前n项和课件人教新课标4
等比数列
Sn
a1 1 qn 1q
q 1
a1 anq 1q
推导方法
倒序相加
错位相减
【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑
公比是否为1 .
求和：
(x
1) y
(x2
1 y2
)
(xn
1 yn
)
(x 0).
an+1=Aan+B的数列通项
例：求数列{an}的通项公式 （1）在{an}中，a1=2,an+1=3an+2 （2）在{an}中，a1=2,a2=5,且an+2-3an+1+2an=0
40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。所以国王
是不可能同意发明者的要求。
等比数列的前n项和
设等比数列 a1, a2 , a3,, an ,
它的前n项和是 Sn a1 a2 a3 an 即 Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1. ⑴
⑴×q, 得
qSn a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 a1qn. ⑵
na1 ,
a1 1 qn ,
1 q
{ 已知 a1, an , q 则 Sn
na1 ,
a1 anq ,
1 q
( q=1). (q≠1). ( q=1). (q≠1).
2.对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况。
填表
数列
等差数列
前n 项和 公式
Sn
na1
2
an
nn 1
na1 2 d
两边同乘公比２， 得
2S64 2 4 8 16 263 264.
将上面两式列在一起，进行比较
等比数列前n项和 说课ppt
三
教学目标
知识与技 能
目标
过程与方 法
情感态度 与价值观
知识与技能
理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程 、公式的特点，在此基 础上，并能初步应用公 式解决与之有关的问题 。
过程与方法
通过对公式推导方法的 探索与发现，向学生渗 透特殊到一般、类比与 转化、分类讨论等数学 思想。
情感态度与价值观
3.得出结论
* 引出求等比数列前n项和的方法——错位相减 法：等式左右各项乘以公比q，两式相减去掉相 同项，得求和公式 。
*
Sn = ɑ1+ ɑ1q+ɑ1q2+...+ɑ1qn-1 qSn = ɑ1q+ɑ1q2+...+ɑ1qn-1 +ɑ1qn ③-④ ， (1-q)Sn=ɑ1-ɑ1qn
a1 (1 q n ) S n= （q≠1） 1 q
(三)实践应用
练习: 1.在等比数列{an}中， 1 (1)已知a1=-4,q=2 ,求S10。 (2)已知a1=1，ak=243，q=3，求Sk。 2.某制糖厂第一年制糖5万吨，如果平均每年的产 量比上一年增加10 %，那么从第一年起，约几年 内能使总产量达到30万吨（保留到万位）？
设计意图：第一题是对求和公式的直接运 用，第二题是对求和公式的实际运用，在 与实际生活息息相关的利率付款问题中， 既考察学生把实际问题建立成数学模型的 能力，也检验了学生对求和公式的掌握情 况。练习的设计由易到难，由理论到实际 ，符合学生认知规律。
通过对公式推导方法的 探索与发现，优化学生 的思维品质，渗透事物 之间等价转化和理论联 系实际的辩证唯物主义 观点。
四
教学重难点
教学重点：等比数列前n项和公式的推导、 公式的特点和公式的运用。
人教版高中数学5等比数列前n项和 (共45张PPT)教育课件
（2）
a1
27,
a9
1, 243
q
0
（1） 1 ，1 ，1，~~~
248
a1
1 2
,
q
1 2
,
n
8
S8
a1(1 q8) 1 q
1
[1
（
1
8
）]
22
1 1
255 256
（2）
a1
27,
a9
1, 243
q
0
2
a9
a1 q8
1 243
27
q8
q0
q 1 3
S8
a1(1 q8) 1 q
27[1
（
1
8
项数为奇数 S奇 a1 q S偶
S偶 q S 奇 a2n1
作业
（1）若等比数列 an 中，S n 4 • 3n2 5a 则实数a=_______
(2) 已知一个项数为偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和
为 21 ，偶数项的和为 21 ，求这个数列的通项公式
16
32
等比数列前n•项和的性质2
成等比数列
(Y X )2 X (Z Y ) Y 2 X 2 2XY XZ XY
Y 2 XY XZ X 2 Y(Y-X)=X(Z-X)
等比数列前n项和性质4
等比数列 an 中，公比为q，前n项和为 S n 任意m、p N*
Sm p Sm qm S p
首项 a1, q 1
Sm p
练习
（1）等比数列 an 中，前n项和为 S n S10 20，S20 80 S30 260
S10 20，S20 80
S10，S20 S10 , S30 S20 成等比数列
《等比数列的前n项和》课比赛一等奖课件
直观示例
通过具体生活案例和直观图示 ,帮助学生理解等比数列前n项 和的概念。如房地产投资、人 口增长等。
分步讲解
循序渐进地讲解等比数列的定 义、通项公式、首项和公比, 再推导前n项和公式。引导学 生理解各步骤。
应用实践
设计大量应用实例,如财务分 析、自然科学等,让学生运用 所学解决实际问题,增强学习 兴趣。
数学模型构建
等比数列前n项和在数学建模中扮演着关键 角色,帮助建立描述实际问题的数学模型,为 后续分析决策提供基础。
经济金融模型
对于一些经济金融问题,如现金流分析、股 票收益预测等,等比数列前n项和模型是有效 的数学工具。
工程技术应用
在工程技术领域,等比数列前n项和模型可用 于设备寿命分析、材料疲劳计算等,提高设 计方案的可靠性。
探索发现
鼓励学生自主探索等比数列前 n项和的性质和应用,激发其主 动学习的积极性和创造力。
等比数列前n项和的重要性及意 义
1 数学概念的深入理解
等比数列前n项和涉及数列、 级数、函数等多个数学概念,有 助于学生全面理解数学知识体 系。
2 实际应用的广泛性
等比数列前n项和在工程、经 济、金融等领域有广泛应用,体 现了数学在现实生活中的重要 作用。
等比数列前n项和在风险投资、保险定价等场景中帮助分析师权衡风
险和收益。通过寻找最优n,可以达到风险收益的最佳平衡点。
等比数列前n项和的变形计算
边界条件变形
根据实际问题的需求, 可以将等比数列的首项和公比等情况进行适当变形处理, 以获得更加精确的计算结果。
等价转换
有时通过等价变形, 可以将等比数列前n项和问题转化为更容易解决的形式,从而 简化计算过程。
等比数列的前n项和
等比数列前n项和ppt课件
的前８
项的和
解：由
a11 2,q1 41 21 2,n8得
1
1
1
8
S8
2 2 1 1
255 256
2
.
13
例2：某商场第1年销售计算机５０００台，如果平均每年的销售量比上一年增 加10%，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到３００００台 （保留到个位）？ 分析：由题意可知，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起， 每年的销售量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n项和.
所以
当 q = 1 时 Sn = n a1.
9
等 比 数 列 前
n 项 和 公 式
.
10
等比数列前n项和公式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ推导方法三: 借助和式的代数特征进行恒等变形
S n a 1 a 2 a 3 .. a .n
a 1 q ( a 1 a 2 a 3 . .a . n 1 )
a1q(Snan)
当q≠1时，
16 17 18 19 20 21 22 23
22 2 2 2 2 2 2
24 25 26 27 28 29 30 31
2 2 2 2 2 2 2 2.
32 33 34 35 36 37 38 39
2 2 2 2 2 2 2 2..
40 41 42 43 44 45 46 47
2 2 2 2 2 2 2 2..
.
1
复习回顾
1、等比数列的定义：
an+1 a n . =q
(q=0)
2、等比数列的通项公式： a = a qn-1 n1
3、等比数列的性质: (1) 若 a , G , b成等比数列
G 2=a b
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ylo2x g和 ylo3x g
设计意图:古诗词中蕴含的数学问题作为引例，使得
课堂变得生动不枯燥。文理相结合，使得学生的思
维得以全面发展。这个例题是对公式的简单应用， 让学生熟y练log2公x 式的几个变量。
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学习态度，提高数学能力。
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四.教法分析
教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、 应用知识阶段。
探索与发现公式推导的思路是教学的难点。所以 在教学中从未知到已知、从特殊到一般启发学生获 得公式的推导方法。
一.教材分析
数列是高中数学的重要内容之一，现实生活和 高等数学的很多内容常用到它。并且数列起着承上 启下的作用。数列是函数的延续，又为今后学习数 列的极限打下基础。高中数列研究的主要对象是等 差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等比 数列前n项和公式的推导及其简单应用。
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六.教学过程
情境引入
探究新知
巩固练习
归纳小结
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布置作业
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1、引入情境
国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他 想要什么，发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦子，第2个格 子里放上2颗麦子，第3个格子里放上4颗麦子，以此类推，每个格子里放 的麦粒数都是前一个格子的2倍，直到第64个格子，请给我足够的麦粒以 实现上述要求。”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了，假定千粒麦子 的质量为40克，据查，目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据上述数据， 判断国王能否实现他的诺言。
S6 412222 3 2 63
2S64 2 2 2 2 3 2 6 32 64
学生很快就能得出所要求得结果，此时提问：为何乘 以2？乘以2的目的是什么？
设计意图:观察数列的特点，运用数列本身的性质进行分
析，这就回到了数列的本质上，紧紧围绕着等比数列这个中 心。
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三.教学目标
1 知识目标：掌握等比数列前n项和公式，能较熟练应
用等比数列前n项和公式求和。
2 能力目标：经历公式的推导过程，体验从特殊到一般
的研究方法，学会观察、分析、归纳。
3 情感目标：获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的
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重点： 等比数列前n项和公式及其应 难点： 等比数列前n项和公式推导的思路
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二.学情分析
学生在这节课之前已经学过了数列的定义，等 差数列及其前n项和、等比数列的知识，对等比数列 的前n项和已经有初步的求知欲望和准备。
设计意图:利用学生的好奇心，调动学生的学
习积极性，也增加趣味性。并且一个实际的例 子让学生利用已有的知识与经验，同化和索引 出当前的新知识。并且问题的内容紧扣本节的 主题与重点。
Байду номын сангаасPage 10
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2.探求新知
让学生S6计 41 算 22223263的结果，并给 定与学 的思考，同时 用提 已示 有学 的生 知识 列（ 的等 求差 和数 ）考
人民教育出版社A版站高长中素数材 学SC必.CH修IN5A第Z.C二OM章第5节
2.5 等 比 数 列 前 n 项 和
柳州市第九中学 李林卉
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设计意图:呼应了开头的引例，两种方式解决问题，
让学生体会公式的便捷，也是对公式的一个简单的 应用。
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例：
远望巍巍塔七层, 红光点点倍自增, 小小尖头三点亮, ylo2x g和 ylo3xg 共灯几盏挂塔楼?
设计意图:层层递进，从特殊到一般，提高学生
的模仿能力、归纳能力
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Sna1(1 1 q qn)或a者 1 1 a qnq(q1)
Snna1(q1)
让学生自己通过公式解决引例中的问题，并告知以后凡是等比数列的求 和都能够运用公式。
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改动数字，让学生模仿数学方法，加深这种思维的理解
S n 1 2 2 2 2 3 2 n
S n 1 5 5 2 5 3 5 n
最后引出公比为q的等比数列的求和
S n a 1 a 1 q a 1 q 2 a 1 q n 1
设计意图:引导学生用已有的知识进行解题，这本身就是一
种数学思维。当学生发现行不通的时候就为我的下一步的引入 奠定基础。
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2.探究新知——“探”
提示学生回忆等比数列的定义得到后一项与前一项的关系
an an1q 得出下面的式子
应用公式是教学的重点。为了让学生较熟练掌握 公式，采用设计变式题的教学手段，通过“选择公 式”，“变用公式”，来促进学生新知识的掌握。
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五.学法分析
让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展 ，通过观察、分析、类比、交流、反思，认识和理 解数学知识，学会学习，发展能力。